C7 cursoD Matematica prof 25aulas

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FRENTE 1 – ÁLGEBRA
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 D
– 121
1. O conjunto verdade da equação 2x3 + 4x2 + 5x – 1 = 0 é 
V = {a; b; c}. Obtenha:
a) a + b + c b) ab + ac + bc
c) a b c d) + + 
e) a2 + b2 + c2
RESOLUÇÃO:
a) a + b + c = = – 2
b) a b + a c + b c = 
c) a b c = 
d) + + = = = 5
e) a + b + c = – 2 ⇒ (a + b + c)2 = (– 2)2 ⇒
⇒ a2 + b2 + c2 + 2 . (a b + a c + b c) = 4 ⇒
⇒ a2 + b2 + c 2 + 2 . = 4 ⇒ a2 + b2 + c2 = –1 
2. (MACKENZIE) – Se p(x) = 4x3 – 16x2 – x + m, m real, admite
duas raízes opostas, o valor de m é
a) 3 b) – 2 c) 2 d) – 4 e) 4
RESOLUÇÃO:
Sejam α , – α, β as raízes do polinômio 
p(x) = 4x3 – 16x2 – x + m. Pelas Relações de Girard, temos
α + (– α) + β = – ⇒ β = 4
Portanto: p(4) = 0 ⇒ 4 . 43 – 16 . 42 – 4 + m = 0 ⇒ m = 4
Resposta: E 
3. (FUVEST) – Sabe-se que o produto de duas raízes da equação
algébrica 2x3 – x2 + kx + 4 = 0 é igual a 1. Então, o valor de k é:
a) – 8 b) – 4 c) 0 d) 4 e) 8
RESOLUÇÃO:
Sejam r1, r2 e r3 as raízes.
Do enunciado e das Relações de Girard, temos
�
r1 . r2 = 1
– a3 – 4 ⇒ r3 = – 2
r1 . r2 . r3 = ––––– = ––––a0 2
Se – 2 é raiz da equação, então 2 . (– 2)3 – (– 2)2 + k . (– 2) + 4 = 0 ⇒
⇒ – 16 – 4 – 2k + 4 = 0 ⇒ k = – 8
Resposta: A
4. (FGV) – Considere a equação x3 – 6x2 + mx + 10 = 0 de incógnita
x e sendo m um coeficiente real. Sabendo que as raízes da equação
formam uma progressão aritmética, o valor de m é:
a) 4 b) – 5 c) 5 d) – 3 e) 3
RESOLUÇÃO:
Sejam α – r, α e α + r, as raízes da equação, em progressão aritmética de
razão r:
1o. ) α – r + α + α + r = ⇔ 3α = 6 ⇔ α = 2
2o.) Para x = 2, temos: 
23 – 6 . 22 + m . 2 + 10 = 0 ⇔ 8 – 24 + 2m + 10 = 0 ⇔ m = 3
Resposta: E
MÓDULO 28
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS I
1
––
c
1
––
b
1
––
a
– 4
––––
2
5
––
2
1
––
2
5
–––
2
–––––
1
––
2
b c + a c + a b 
–––––––––––––
a b c
1
––
c
1
––
b
1
––
a
5
–––
2
(– 16)
––––––
4
– (– 6)
––––––
1
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1. Seja o polinômio P(x) = (x – 2)2 . (x2 – 4) . (x – 3).
Assinale a afirmativa falsa.
a) O grau de P(x) é 5.
b) O conjunto verdade da equação P(x) = 0 é V = {– 2; 2; 3}.
c) 3 é raiz simples de P(x) = 0.
d) 2 é raiz dupla de P(x) = 0.
e) 0 não é raiz de P(x) = 0.
RESOLUÇÃO:
P(x) = (x – 2)2.(x2 – 4).(x – 3) = (x – 2)2.(x – 2).(x + 2).(x – 3) =
= (x – 2)3.(x + 2).(x – 3) = (x – 2).(x – 2).(x – 2).(x + 2).(x – 3)
O polinômio P(x) é de grau 5 e suas raízes são r1 = 2, r2 = 2, r3 = 2, 
r4 = – 2 e r5 = 3.
O conjunto verdade da equação P(x) = 0 é V = {– 2; 2; 3}, sendo – 2 raiz
simples, 2 raiz tripla e 3 raiz simples.
Resposta: D
2. Sabe-se que 2 é raiz dupla da equação 
x3 – x2 + mx + n = 0, sendo m, n ∈ �. Então, m + n é igual a
a) – 1 b) 1 c) 3 d) 4 e) 6
RESOLUÇÃO:
Se as raízes da equação são r1 = 2, r2 = 2 e r3 = r, então 
r1 + r2 + r3 = 1 ⇔ 2 + 2 + r = 1 ⇔ r = – 3
Portanto, as raízes são r1 = 2, r1 = 2 e r3 = – 3.
⇒ ⇒
⇒ ⇒ m + n = – 8 + 12 = 4
Resposta: D
3. O número complexo 3 – 2i é raiz da equação de coe ficientes reais
x3 – 9x2 + mx + n = 0. O valor de n é
a) – 39 b) – 13 c) 0 d) 13 e) 39
RESOLUÇÃO:
Se 3 – 2i é raiz da equação, então 3 + 2i também o é. Seja r a terceira raiz.
Das Relações de Girard, decorre que 3 – 2i + 3 + 2i + r = 9 ⇒ r = 3
O produto das raízes é igual a – n.
Portanto, – n = (3 – 2i)(3 + 2i) . 3 ⇒ – n = (9 – 4i2) . 3 ⇒
⇒ – n = 39 ⇒ n = – 39
Resposta: A
4. (UNICAMP) – Dada a equação polinomial com coeficientes reais
x3 – 5x2 + 9x – a = 0:
a) Encontre o valor numérico de a de modo que o número complexo
2 + i seja uma das raízes da referida equação.
b) Para o valor de a encontrado no item anterior, determine as outras
duas raízes da mesma equação.
RESOLUÇÃO:
a) Se 2 + i é raiz, então 2 – i também o é.
Sendo r a terceira raiz, das Relações de Girard, resulta
2 + i + 2 – i + r = 5 ⇔ r = 1
Então, 13 – 5 . 12 + 9 . 1 – a = 0 ⇔ a = 5
b) As outras raízes da equação são 2 – i e 1.
Respostas: a) a = 5
b) 2 – i e 1
� r1r2 + r1r3 + r2r3 = mr1r2r3 = – n �
2 . 2 + 2 . (– 3) + 2 . (– 3) = m
2 . 2 . (– 3) = – n
� m = – 8n = 12
MÓDULO 29
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS II
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122 –
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1. As raízes da equação x3 + mx2 + nx – 216 = 0 (m, n ∈ �) são reais
e estão em progressão geométrica de razão igual a 3. O valor de 
m + n é:
a) 80 b) 130 c) 144 d) 182 e) 196
RESOLUÇÃO:
Sejam a = , b = r e c = 3r as raízes.
Como abc = 216, temos . r . 3r = 216 ⇒ r3 = 63 ⇒ r = 6
Portanto, a = 2, b = 6 e c = 18.
Resposta: B
2. (UNESP) – O polinômio 2x4 – 14x3 + 34x2 – 34x + 12 admite a
raiz 1 com multiplicidade 2, e as raízes a e b, a < b, com mul ti pli -
cidade simples. A distância entre os pontos (a; b) e (– 1; 7) é igual a:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
RESOLUÇÃO:
P(x) = 2x4 – 14x3 + 34x2 – 34x + 12
1 é raiz dupla de P(x) ⇒ P(x) = (x – 1)(x – 1). Q(x) e Q(1) ≠ 0 
P(x) = (x – 1) . (2x3 – 12x2 + 22x – 12) =
= (x – 1)(x – 1)(2x2 – 10x + 12) = (x – 1)2 . 2(x – 2)(x – 3)
Se a e b (a < b) são as outras raízes, então a = 2 e b = 3. A distância entre
os pontos A(a;b) = (2;3) e B(– 1; 7) é
dAB = (– 1 – 2)2 + (7 – 3)2 = 9 + 16 = 5
Resposta: D
3. (UFF) – Considere o polinômio 
p(x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 2.
a) Verifique se o número complexo i é raiz de p(x).
b) Calcule todas as raízes complexas de p(x).
RESOLUÇÃO:
a) Como p(i) = i4 + 2i3 + 3i2 + 2i + 2 = 1 – 2i – 3 + 2i + 2 = 0, segue-se que
i é uma raiz de p(x).
b) Como i é raiz de p(x), – i também o é. Portanto, o polinômio p(x) é
divisível por (x – i)(x + i) = x2 + 1. 
Dividindo-se p(x) por x2 + 1, obtemos x2 + 2x + 2 como quociente.
Portanto, p(x) = (x2 + 1)(x2 + 2x + 2).
Para determinarmos as outras raízes de p(x), basta resolver a equação
x2 + 2x + 2 = 0. Logo, as raízes de p(x) são i, – i, – 1 + i e – 1 – i.
Respostas: a) i é raiz
b) i, – i, – 1 + i, – 1 – i 
2
2
2
– 14
– 12
– 10
34
22
12
– 34
– 12
0
12
0
1
1
MÓDULO 30
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS III
r
–––
3
r
–––
3
� a + b + c = – mab + ac + bc = n
a = 2, b = 6 e c = 18
⇒ � 2 + 6 + 18 = – m2 . 6 + 2 . 18 + 6 . 18 = – n ⇒
⇒ � m = – 26n = 156 ⇒ m + n = 130
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FRENTE 2 – ÁLGEBRA
1. (UFMG) – O quadro a seguir apresenta a massa em toneladas e o
percentual de resíduos recuperados em Belo Horizonte no ano de
2006.
Diagnóstico do Manejo de Resíduos Sólidos Urbano 2006 – 
Sistema Nacional de Informações sobre Saneamento (SNIS).
O gráfico de setores, a seguir, apresenta a participação de papel e
papelão, plásticos, metais, vidros e outros no total de resíduos
recuperados, conforme os dados do quadro acima.
Considerando as informações acima, o valor em graus do ângulo α é
a) 210 b) 216 c) 220 d) 227
RESOLUÇÃO:
Observe que, em toneladas, a massa correspondente a papel e papelão é a
que mais contribui para o total de materiais recuperados e, portanto,
corresponde ao ângulo α. Assim, α = 60,0% de 360° = 216°.
Resposta: B
2. (FGV) – Um supermercado fez a seguinte oferta para a compra de
determinada marca de suco de laranja em caixa de 1litro:
Expresse, em porcentagem, o desconto obtido por unidade em relação
ao preço original, para quem comprar 8 sucos de laranja.
RESOLUÇÃO:
Na compra do tipo “compre 6 e leve 8”, o cliente paga 
6 . R$ 3,60 = R$ 21,60 pelos 8 sucos que leva. Cada suco sai por
= R$ 2,70. Dessa forma, o desconto, por unidade, foi de
= = 0,25 = 25%.
Resposta: 25%
3. (UFJF) – Uma lanchonete vende cada copo de suco de laranja por
R$ 1,50, obtendo um lucro de 50% sobre o custo do suco. Devido a
uma queda na safra, o preço da laranja subiu, o que acarretou um
aumento de 20% no custo do suco. O dono da lanchonete, para não
diminuiras vendas de suco de laranja, decidiu manter o preço de cada
copo de suco em R$ 1,50 e reduzir o tamanho do copo de modo a
conservar a margem de lucro de 50% sobre o custo do suco.
Originalmente, a capacidade do copo era 300 m�. O novo copo deve
ter capacidade de:
a) 150 m� b) 200 m� c) 250 m�
d) 275 m� e) 280 m�
RESOLUÇÃO:
Resolução oficial:
Como o lucro com a venda do copo de 300 m� de suco de laranja por R$ 1,50
era de 50% sobre o custo, tem-se que “custo + 50% do custo = R$ 1,50”,
ou seja, 1,5 × custo = R$ 1,50, o custo de R$ 1,00.
Com o aumento de 20%, o custo de um copo com 300 m� de suco de
laranja aumentou em R$ 0,20 (que corresponde a 20% de R$ 1,00),
passando a ser R$ 1,00 + R$ 0,20 = R$ 1,20. Ao decidir manter o preço em
R$ 1,50 pelo copo de suco de laranja e manter a margem de lucro de 50%
sobre o preço de custo do suco, foi necessário diminuir a capacidade do
copo de maneira a que o custo permanecesse igual a R$ 1,00. Represen -
tando por x a capacidade do novo copo, temos:
R$ 1,20 ––––– 300 m�
R$ 1,00 ––––– x m�
1 × 300 300
x = –––––––– = ––––– = 250 m�
1,20 1,20
Resposta: C
MÓDULO 28
PORCENTAGEM R$ 21,60
–––––––––
8
0,90
–––––
3,60
R$ 3,60 – R$ 2,70
–––––––––––––––––
R$ 3,60
Quan -
tidade
Materiais recuperados, exceto material orgânico e rejeito
Papel e
papelão Plásticos Metais Vidros Outros Total
Massa
(t) 4131,0 912,0 33,5 788,1 1022,0 6886,6
% 60,0 13,2 0,5 11,4 14,8 100
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4. (UFG) – Um pecuarista deseja fazer 200 kg de ração com 22% de
proteína, utilizando milho triturado, farelo de algodão e farelo de soja.
Admitindo-se que o teor de proteína do milho seja 10%, do farelo de
algodão seja 28% e do farelo de soja seja 44%, e que o produtor
disponha de 120 kg de milho, calcule as quantidades de farelo de soja
e farelo de algodão que ele deve adicionar ao milho para obter essa
ração.
RESOLUÇÃO:
Sendo s e a respectivamente as quantidades, em kg, de farelo de soja e
farelo de algodão na mistura, temos:
⇔
⇔ ⇔ ⇔
⇔ ⇔ a = 20 e s = 60
Resposta: 60kg de farelo de soja e 20kg de farelo de algodão. 
1. Maria aplicou a quantia de R$ 3 600,00 durante um período de 8
meses no regime de juros simples, obtendo no final um montante de
R$ 3 960,00. A taxa de juros anual dessa aplicação foi de:
a) 9% b) 10% c) 11%
d) 13% e) 15%
RESOLUÇÃO:
Sr. Professor, utilize essa questão para comentar o que é montante e a
fórmula para cálculo de juros simples.
Sendo J o juro simples obtido na aplicação de um capital C durante um
tempo t a uma taxa de i%, na mesma unidade de tempo:
3 600,00 + J = 3 960,00 ⇒ J = 360,00
J = = = 360,00 ⇔ i = 15
Resposta: E
2. (U. F. Mato Grosso do Sul) – Dois amigos dividiram entre si uma
quantia de R$ 850,00, em partes não iguais. Após a divisão, cada um fez
uma aplicação, em juros simples, da seguinte forma:
• O primeiro aplicou todo o seu dinheiro a uma taxa de 4% ao mês,
durante 1 ano e 8 meses.
• O segundo aplicou todo o seu dinheiro a uma taxa de 5% ao mês
durante 1 ano e meio.
Sabendo-se que os juros obtidos ao final das duas aplicações foram
iguais e considerando as informações fornecidas, assinale a(s)
proposição(ões) verdadeira(s).
(001) O valor dos juros obtidos pelo primeiro amigo foi de R$ 360,00.
(002) O valor do montante obtido pelo segundo amigo foi de R$ 760,00.
(004) O valor investido inicialmente pelo segundo amigo foi de 
R$ 450,00.
(008) O valor investido inicialmente pelo primeiro amigo foi de 
R$ 400,00.
(016) O valor da soma dos montantes dos dois amigos foi de 
R$ 1210,00.
RESOLUÇÃO:
O primeiro aplicou x reais e o segundo aplicou (850 – x) reais. Os juros
obtidos por ambos são tais que:
= ⇔ 8x = (850 – x) . 9 ⇔
⇔ 17x = 7 650 ⇒ x = 450
Desta forma, os juros obtidos por ambos foram:
J = = 360 reais
O montante do primeiro foi de M1 = 450 + 360 = 810 reais.
O montante do segundo foi de M2 = (850 – 450) + 360 = 760 reais. 
A soma dos montantes dos dois amigos foi, em reais, 810 + 760 = 1570.
Resposta: Somente 001 e 002 são verdadeiras.
3. (FGV) – João divide suas economias e as aplica em dois fundos:
A e B. No primeiro mês, o fundo A rendeu 50% e o fundo B, 30%. No
segundo mês, ambos renderam 20%. Se a rentabilidade que João
obteve no bimestre foi de 63,2%, que porcentagem de sua economia
foi aplicada no fundo B?
a) 50% b) 60% c) 40% d) 70% e) 30%
RESOLUÇÃO:
Se x for a quantia de sua economia aplicada em B, e T toda a economia de
João, então T – x será a quantia aplicada em A. Assim sendo:
1,2 . 1,5 . (T – x) + 1,2 . 1,3x = 1,632T ⇔
⇔ 1,8T – 1,8x + 1,56x = 1,632T ⇔ 0,24x = 0,168T ⇔ x = ⇔
⇔ x = 0,7 . T ⇔ x = 70%T
Resposta: D
(850 – x) . 5 . 18
–––––––––––––––
100
x . 4 . 20
–––––––––
100
450 . 4 . 20
–––––––––––
100
MÓDULO 29
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
� s + a + 120 = 20010% . 120 + 28% . a + 44% . s = 22% . 200 
� a + s = 801200 + 28a + 44s = 4400 �
a + s = 80
7a + 11s = 800
� 4s = 240
a + s = 80
Cit
––––––
100
8
3600,00 . i . –––
12
–––––––––––––––––
100
0,168T
–––––––
0,24
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126 –
4. (PMSC) – Júlio juntou os R$ 5 000,00 que possuía com uma de -
ter minada quantia de seu irmão e aplicou o total por 2 meses, a uma
taxa de juros compostos de 2% ao mês, recebendo, de juros, ao final
da aplicação, um total de R$ 323,20. Sabendo-se que o valor recebido
de juros foi dividido entre eles de forma proporcional à contribuição
de cada um para a formação do valor inicialmente aplicado, pode-se
afirmar que o irmão de Júlio recebeu:
a) R$ 202,00 b) R$ 198,10 
c) R$ 154,20 d) R$ 121,20 
e) R$ 118,30
RESOLUÇÃO:
O valor total C aplicado é tal que
1,02 . 1,02 , C – C = 323,20 ⇔ 0,0404C = 323,20 ⇔ C = 8000,00
Dessa forma, em milhares de reais, Júlio aplicou 5 e seu irmão aplicou 3.
A parte dos juros que cabe ao irmão de Júlio é . R$ 323,20 = R$ 121,20.
Resposta: D
1. (UFBA) – Um capital aplicado no prazo de dois anos, a uma taxa
de juros compostos de 40% ao ano, resulta no montante de 
R$ 9 800,00. Sendo x% a taxa anual de juros simples que, aplicada ao
mesmo capital durante o mesmo prazo, resultará no mesmo montante,
determine x.
RESOLUÇÃO:
Um capital C aplicado durante dois anos a uma taxa de juros compostos
de 40% ao ano rende juros de 1,40 . 1,40 . C – C = 0,96C.
Se aplicado a juros simples, no mesmo período, à taxa de x% ao ano, os
juros obtidos serão y = = .
Desta forma, = 0,96 C ⇒ x = 48
Resposta: 48
2. (FGV) – Numa loja, os preços dos produtos expostos na vitrina
incluem um acréscimo de 50% sobre o preço de custo.
Durante uma liquidação, o lojista decidiu vender os produtos com um
lucro real de 20% sobre os preços de custo.
a) Calcule o desconto que ele deve dar sobre os preços da vitrina.
b) Quando não há liquidação, sua venda é a prazo, com um único
pagamento após dois meses e uma taxa de juros compostos de
10% ao mês. Nessa condição, qual será a porcentagem do lucro
sobre o preço de custo?
RESOLUÇÃO:
Sendo c o preço de custo, os preços expostos na vi trina são 1,5 . c.
a) Na liquidação, devemos ter 1,5 . c (1 – i) = 1,2c, sen do i o desconto a
ser concedido.
Logo, 1 – i = ⇔ 1 – i = 0,8 ⇔ i = 0,2 = 20%
b) Após dois meses, o comprador deverá pagar pela compra o valor 
V = 1,5 . c (1 + 0,1)2 ⇔ V = 1,815c, o que indica um lucro de 81,5%
sobre o preço de custo.
Respostas: a) 20% b) 81,5%
3. (UFPR) – Ana investiu R$ 1 000,00 em uma financeira, a juro
composto de 1% ao mês. O gráfico que representa o montante M em
função do tempo t (em meses) de investimento é uma 
a) exponencial passando pelos pontos (0; 1000) e (1; 1010).
b) reta passando pelos pontos (0; 1000) e (1; 1010).
c) parábolapassando pelos pontos (1; 1010) e (2; 1020).
d) hipérbole passando pelos pontos (1; 1030) e (2; 1010).
e) senoide passando pelos pontos (0; 1000) e (2; 1020).
RESOLUÇÃO:
Aplicar a 1% ao mês, a juros compostos, é o mesmo que multiplicar
mensalmente o capital investido por 1,01. Assim, o montante M, em reais,
é tal que M = 1000,00 . 1,01t e o seu gráfico é
Resposta:A
4. (UFMG) – No período de um ano, certa aplicação financeira
obteve um rendimento de 26%. No mesmo período, porém, ocorreu
uma inflação de 20%.
Então, é correto afirmar que o rendimento efetivo da referida aplicação
foi de 
a) 3% b) 5% c) 5,2% d) 6%
RESOLUÇÃO:
Admita que o capital C a ser aplicado seja capaz de comprar n1 produtos
a um preço unitário p. Ao final do período, o capital C rendeu um
montante de 1,26 C e o preço unitário do produto passou a ser de 1,20p
(devido à inflação).
A quantidade n2 de produtos a ser comprada é tal que:
⇔ = ⇔ n2 = n1 ⇔
⇔ n2 = 1,05n1 = 105%n1
Como o aplicador consegue comprar 5% a mais do que comprava, o
rendimento efetivo foi de 5%.
Resposta: B
1,26 
–––––
1,20
n1 . p
––––––––
n2 . 1,20p
C 
––––––
1,26C
C = n1 . p
1,26 C = n2 . 1,20p
�
MÓDULO 30
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
x . C
––––––
50
C . x . 2
––––––––
100
x . C
–––––
50
3
––
8
1,2
––––
1,5
C7_MAT_D_Rose_prof 31/05/11 15:20 Página 126
FRENTE 3 – GEOMETRIA ANALÍTICA
1. (FGV) – Um mapa é localizado sobre um sistema de eixos
cartesiano ortogonal, de modo que a posição de uma cidade é dada
pelo ponto P(1; 3).
Um avião descreve uma trajetória retilínea segundo a equação 
x + 2y = 20. Qual a menor distância da cida de ao avião?
RESOLUÇÃO:
A menor distância entre a cidade e o avião é dada por
=
Resposta: A menor distância entre a cidade e o avião é 
2. (UEG) – Calcule a área da circunferência cujo centro está na
origem do sistema de coordenadas e que é tangente à reta de equação 
4x + 3y = 12.
RESOLUÇÃO:
I) A distância entre o centro da circunferência (origem) e a reta de
equação 4x + 3y – 12 = 0 é o seu raio r. Assim,
r = ⇔ r = 
II) A área S do círculo é 
S = π .
2
⇔ S = (unidades de área)
Resposta: (unidades de área)
3. (FGV) – No plano cartesiano, seja P o ponto situado no 1o. qua -
drante e pertencente à reta de equação y = 3x. Sabendo que a
distância de P à reta de equação 3x + 4y = 0 é igual a 3, podemos
afirmar que a soma das coordenadas de P vale:
a) 5,6 b) 5,2 c) 4,8 d) 4,0 e) 4,4
RESOLUÇÃO:
Se P é o ponto do 1o. quadrante e pertencente à reta de equação y = 3 . x,
então P (x; 3x), com x positivo.
Sabendo que a distância de P (x; 3x) à reta de equação 3x + 4y = 0 é igual
a 3, temos:
= 3 ⇔ �15 . x � =15 ⇔ x = 1 (pois x > 0)
O ponto P tem coordenadas (1; 3) cuja soma é 4.
Resposta: D
4. (UFPB) – As margens de um rio estão representadas pelas retas de
equações (r) 6x + 8y + 400 = 0 e (s) 3x + 4y + 25 = 0, em que x e y
são medidos em metros. Sabendo-se que um atleta de natação nadou
nesse rio de uma margem a outra, conclui-se que esse atleta nadou no
mínimo
a) 30 m b) 35 m c) 28 m 
d) 32 m e) 40 m 
RESOLUÇÃO:
As retas r e s são paralelas e representam as margens de um rio. A
distância mínima que o atleta pode nadar representa a distância entre as
retas paralelas, assim:
(r) 6x + 8y + 400 = 0 ⇔ 3x + 4y + 200 = 0
(s) 3x + 4y + 25 = 0
dr,s = = = 35 metros
Resposta: B
MÓDULO 28
DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UMA 
RETA E ENTRE DUAS RETAS PARALELAS
13 ���5 
–––––––
5
|1 + 2 . 3 – 20|
––––––––––––––
���������� 12 + 22
13 ���5 
–––––––
5
12
–––
5
� 4 . 0 + 3 . 0 – 12 �
––––––––––––––––––
��������42 + 32
144π
–––––
25
12�–––�5
144π
–––––
25
�3 . x + 4 . 3 . x �
–––––––––––––––––
����32 + 42
�200 – 25�
–––––––––––
��������� 32 + 42
175
––––
5
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 D
– 127
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M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 D
128 –
1. (FATEC) – A circunferência de centro (2; 1) e raio 3 intercepta o
eixo das abscissas nos pontos de abscissas 
a) – 2 + 2���2 e – 2 – 2���2 b) 2 + 2���2 e 2 – 2���2 
c) 2 + ���2 e 2 – ���2 d) – 1 – ���5 e – 1 + ���5
e) 1 + ���5 e 1 – ���5
RESOLUÇÃO:
A circunferência de centro (2;1) e raio 3 tem equação (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9
e intercepta o eixo das abscissas nos pontos tais que y = 0.
Assim: (x – 2)2 + (0 – 1)2 = 9 ⇔ (x – 2)2 = 8 ⇔ x – 2 = ± ���8 ⇔ x = 2 ± 2���2
As abscissas desses pontos são: 2 + 2���2 e 2 – 2���2.
Resposta: B
2. (FGV) – No plano cartesiano, o ponto C(2; 3) é o centro de uma
circunferência que passa pelo ponto médio do seg mento 
–––
CP, em que
P é o ponto de coordenadas (5; 7). A equação da circunferência é:
a) x2 + y2 – 4x – 6y + 7 = 0
b) 4x2 + 4y2 – 16x – 24y + 29 = 0
c) x2 + y2 – 4x – 6y + 8 = 0
d) 4x2 + 4y2 –16x – 24y + 31 = 0
e) 4x2 + 4y2 – 16x – 24y + 27 = 0 
RESOLUÇÃO:
O ponto médio do segmento CP
––
é 
M = ; = ; 5
O raio da circunferência é 
CM = 
– 2
2
+ (5 – 3)2 =
A equação da circunferência é
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 
2
⇔ x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = ⇔
⇔ x2 + y2 – 4x – 6y + 13 – = 0 ⇔
⇔ 4x2 + 4y2 – 16x – 24y + 52 – 25 = 0 ⇔ 4x2 + 4y2 – 16x – 24y + 27 = 0
Resposta: E
3. (PUC-RS) – O comprimento da curva de equação 
(x – 1)2 + (y + 1)2 – 9 = 0 é
a) – 1 b) 3 c) π d) 3π e) 6π
RESOLUÇÃO:
(x – 1)2 + (y + 1)2 – 9 = 0 é a equação de uma circunferência de centro 
(1; – 1) e raio r = 3.
O comprimento C, dessa curva é tal que:
C = 2π r ⇔ C = 6π
Resposta: E
1. Determine o centro e o raio de cada circunferência representada
algebricamente.
a) x2 + y2 – 14x – 6y – 6 = 0
b) x2 + y2 – x = 0
c) x2 + y2 – 6x – 10y + 30 = 0
RESOLUÇÃO:
a) C(7; 3) e r = 8
b) C� ; 0� e r = 
c) C(3; 5) e r = 2
2. (FGV) – Dada a circunferência de equação 
x2 + y2 – 6x – 10y + 30 = 0, seja P seu ponto de ordenada máxima. A
soma das coordenadas de P é:
a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 1
RESOLUÇÃO:
A circunferência x2 + y2 – 6x – 10y + 30 = 0 tem centro C (3; 5) e 
raio r = �������������32 + 52 – 30 = 2.
O ponto P, de ordenada máxima, é P (3; 5 + 2) = P (3; 7).
A soma das coordenadas de P é 10.
Resposta: A
3. (FGV-2011) – No plano cartesiano, uma circunferência, cujo
centro se encontra no segundo quadrante, tangencia os eixos x e y.
Se a distância da origem ao centro da circunferência é igual a 4, a
equação da circunferência é:
a) x2 + y2 + (2����10)x – (2����10) y + 10 = 0
b) x2 + y2 + (2���8)x – (2���8) y + 8 = 0
c) x2 + y2 – (2����10)x + (2����10) y + 10 = 0
d) x2 + y2 – (2���8)x + (2���8) y + 8 = 0
e) x2 + y2 – 4x + 4y + 4 = 0
RESOLUÇÃO
Se r for a medida do raio da circunferência, o centro será (– r; r) e a
distância desse centro à origem é:
���������������������(– r – 0)2 + (r – 0)2 = 4 ⇔ r���2 = 4 ⇔ r = 2���2
A equação da circunferência é:
(x + r)2 + (y2 – r)2 = r2 ⇔ x2 + y2 + 2rx – 2ry + r2 = 0 ⇔
⇔ x2 + y2 + 4���2x – 4���2y + 8 = 0, pois r = 2���2 ⇔
⇔ x2 + y2 + 2���8x – 2���8y + 8 = 0
Resposta: B
MÓDULO 30
CIRCUNFERÊNCIA II
1
––
2
1
––
2
MÓDULO 29
CIRCUNFERÊNCIA I
� 2 + 5––––––2
3 + 7
––––––
2 �
7
––
2
� 7––2 � 5–––2
5�––�2
25
–––
4
� �
25
–––
4
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FRENTE 4 – GEOMETRIA DOS SÓLIDOS
1. (UFLA) – A intersecção de um plano com uma esfera é um círculo
de 16π dm2 de área. Sabendo-se que o plano dista 3 dm do centro da
esfera, o volume da esfera é:
a) 100π dm3 b) π dm3 c) 400π dm3
d) 500π dm3 e) π dm3
RESOLUÇÃO:
R2 = 32 + 42 ⇔ R = 5 dm
V = . π . R3 = . π . 53 = π dm3
Resposta: E
2. (UNESP) – Um troféu para
um campeonato de futebol tem
a forma de uma esfera de raio 
R = 10 cm cortada por um pla -
no situado a uma distância de 
5 ���3 cm do centro da esfera,
determinando uma circunfe rên -
cia de raio rcm, e sobreposta a
um cilindro circular reto de 
20 cm de altura e raio r cm, co -
mo na figura (não em escala).
O volume do cilindro, em cm3,
é
a) 100 π b) 200 π
c) 250 π d) 500 π
e) 750 π
RESOLUÇÃO:
No triângulo retângulo AOB, da figura, temos:
(r cm)2 + (5��3 cm)2 = (10 cm)2 ⇒ r = 5 cm
Assim, o volume V do cilindro, em centímetros cúbi cos, é:
V = π . 52 . 20 = 500π
Resposta: D
3. (UFES) – Um ourives deixou como herança para seus oito filhos
uma esfera maciça de ouro. Os herdeiros resolveram fundir o ouro e,
com ele, fazer oito esferas iguais. Cada uma dessas esferas terá um
raio igual a
a) do raio da esfera original.
b) do raio da esfera original.
c) do raio da esfera original.
d) do raio da esfera original.
e) do raio da esfera original.
RESOLUÇÃO:
. π . r3 = . . π . R3 ⇔ = ⇔
⇔
3 
= 
3
⇔ = ⇔
Resposta: A
MÓDULO 28
ESFERA E SUAS PARTES
100
––––
3
500
––––
3
4
––
3
4
––
3
500
––––
3
1
––
2
1
––
3
1
––
4
1
––
6
1
––
8
1
–––
8
r3
–––
R3
4
–––
3
1
–––
8
4
–––
3
R
r = –––
2
1
–––
2
r
–––
R�1–––2��r–––R�
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 D
– 129
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M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 D
130 –
4. (MACKENZIE) – Uma boia marítima
construída de uma determinada liga
metálica tem o formato de uma gota que,
separada em dois sólidos, resulta em um
cone reto e em uma semiesfera, conforme
a figura ao lado, na qual r = 50 cm. Se o
preço do m2 da liga metálica é 1200 reais,
adotando-se π = 3, o custo da superfície da
bóia é, em reais, igual a
a) 4200 b) 5700
c) 4500 d) 5200
e) 3800
RESOLUÇÃO:
Sendo S a área da superfície da gota, em metros qua drados, temos:
S = Slateral do cone + Ssemiesfera =
= π . r . 3r + = 3 . 0,5 . 3 . 0,5 + = 3,75
Assim, o custo da superfície da boia é, em reais, 3,75 . 1200 = 4500
Resposta: C
5. (UNESP) – Com um recipiente de vidro fino e transparente na for -
ma de um paralelepípedo reto retângulo, que tem como base um qua -
drado cujo lado mede 15 cm e a aresta da face lateral mede 40 cm,
Márcia montou um enfeite de natal. Para tanto, colocou no interior
desse recipiente 90 bolas coloridas maciças de 4 cm de diâmetro cada
uma e completou todos os espaços vazios com um líquido colorido
transparente. Desprezando-se a espessura do vidro e usando (para
facilitar os cálculos) a aproximação π = 3, 
a) dê, em cm2, a área lateral do recipiente e a área da superfície de
cada bola.
b) dê, em cm3, o volume do recipiente, o volume de cada esfera e o
volume do líquido dentro do recipiente.
RESOLUÇÃO:
a) Sejam AR e AS as áreas, em cm2, da lateral do reci piente e da superfície
de cada bola, respectivamente. 
AR = 4 . (15 . 40) = 2400
AS = 4 . π . 22 = 4 . 3 . 4 = 48
b) Sejam VR, VE e VL os volumes, em cm3, do recipien te, de cada esfera
e do líquido, respectivamente.
VR = (15 . 15) . 40 = 9000
VE = . π . 23 = . 3 . 8 = 32
VL = VR – 90 . VE = 9000 – 90 . 32 = 6120
Respostas: a) 2400 cm2 e 48 cm2
b) 9000 cm3, 32 cm3 e 6120 cm3
1. (MACKENZIE) – A razão entre o volume de uma esfera e o
volume de um cilindro circular reto circunscrito a esta esfera é igual
a:
a) b) c) ���3 d) e)
RESOLUÇÃO:
= = =
Resposta: B
���3 
––––
3
1 
––
3
2 
––
3
4 
––
3
4
––
3
4
––
3
MÓDULO 29
INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS
4 . 3 . (0,5)2
––––––––––––
2
4π r2
––––––
2
2
––
3
4 π R3
–––––––
6 π R3
4
–– π R3
3 
–––––––––
πR2(2R)
Ve
––––
Vc
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M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 D
– 131
2. (FATEC) – Duas esferas maciças iguais e tangentes entre si estão
inscritas em um paralele pípedo reto retângulo oco, como mostra a fi -
gura abaixo. Observe que cada esfera tangencia as quatro faces
laterais e uma das bases do paralelepípedo.
O espaço entre as esferas e o paralelepípedo está
preen chi do com um líquido. Se a aresta da base do
paralele pípedo mede 6 cm, o volume do líquido
nele contido, em litros, é aproxima damente igual a:
a) 0,144 b) 0,206 c) 1,44
d) 2,06 e) 20,6
RESOLUÇÃO:
Sejam R e h, respec tiva mente, as me didas, em cen tímetros, do raio da
esfera e da altura do paralelepípedo.
Assim:
a) R = = 3
b) h = 4R = 4 . 3 = 12
Sendo VL o volume do líquido, VP o volume do paralelepípedo e VE o
volume da esfera, em cen tímetros cúbicos, temos:
VL = VP – 2 . VE = 62 . 12 – 2 . π . 33 = 432 – 72π ≅ 205,92
Logo, o volume do líquido é aproximadamente 0,206 litro.
Resposta: B
3. (PUC-SP) – Um cone circular reto, cujo raio da base é 3 cm, está
inscrito em uma esfera de raio 5 cm, conforme mostra a figura a
seguir.
O volume do cone corresponde a que
porcentagem do volume da esfera?
a) 26,4 %
b) 21,4 %
c) 19,5 %
d) 18,6 %
e) 16,2 %
RESOLUÇÃO:
= =
Assim:
= = = 16,2%
Resposta: E
4. (MACKENZIE) – Um cubo está inscrito numa es fera. Se a área
total do cubo é 8, o volume da esfera é:
a) b) c) d) 12π e) 8π
RESOLUÇÃO:
Sendo a a medida da aresta do cubo, d a medida da diagonal do cubo e R
o raio da esfera, temos:
I) 6a2 = 8 ⇔ a2 = ⇔ a = 
II) 2R = d ⇔ R = ⇔ R = ⇔ R = ⇔ R = 1
Assim, o volume V da esfera é dado por:
V = π R3 ⇔ V = π . 13 ⇔ V = 
Resposta: B
6
–––
2
4
–––
3
r2h
–––––
4R3
1 
––πr2h
3
––––––––
4
––πR3
3
Vcone
–––––––
Vesfera
81
––––
500
32(5 + 4)
–––––––––
4 . 53
Vcone
–––––––
Vesfera
16π
––––
3
4π
–––
3
8π
–––
3
2��3
–––––
3
4
––
3
2��3
––––– . ��3
3
––––––––––––
2
a��3
–––––
2
d
––
2
4π
–––
3
4
––
3
4
––
3
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1. (UNIFESP) – Considere o poliedro cujos vértices são os pontos
médios das arestas de um cubo.
O número de faces triangulares e o número de faces quadradas desse
poliedro são, respectivamente:
a) 8 e 8 b) 8 e 6 c) 6 e 8
d) 8 e 4 e) 6 e 6
RESOLUÇÃO:
O cubo possui exatamente 6 faces e 8 vértices.
Assim sendo, o novo poliedro possui exatamente 8 faces triangulares (uma
para cada vértice do cubo) e 6 faces quadradas (uma para cada face do
cubo).
Resposta: B
2. (FUVEST) – Quantas faces tem um poliedro convexo com 6 vér -
tices e 9 arestas? Desenhe um poliedro que satisfaça essas con dições.
RESOLUÇÃO:
6 – 9 + F = 2 ⇔ F = 5
Resposta: 5 faces
3. (UNIV. SÃO JUDAS TADEU) – Um poliedro con vexo apresenta
8 faces quadrangulares e 6 faces trian gu lares. O número de vértices
desse poliedro é:
a) 27 b) 25 c) 18 d) 15 e) 13
RESOLUÇÃO:
I) F = 8 + 6 ⇔ F = 14
II) A = = 25
III) V + F = A + 2 ⇔ V + 14 = 25 + 2 ⇔ V = 13
Resposta: E
4. (CESGRANRIO) – O poliedro da figura (uma invenção de
Leonardo da Vinci utilizada moder namente na fabricação de bolas de
futebol) tem como faces 20 hexágonos e 12 pentágonos, todos
regulares. O número de vértices do poliedro é:
a) 64 b) 90 c) 60 d) 72 e) 56
RESOLUÇÃO:
V – A + F = 2 (Relação de Euler)
Assim:
V – + (20 + 12) = 2 ⇔ V – 90 + 32 = 2 ⇔ V = 60
Resposta: C
5. O número de vértices do dodecaedro regular é:
a) 10 b) 12 c) 18 d) 20 e) 30
RESOLUÇÃO:
O dodecaedro tem 12 faces pentagonais. Assim:
I) F = 12
II) A = = 30
III) V + F = A + 2 ⇔ V + 12 = 30 + 2 ⇔ V = 20
Resposta: D
8 . 4 + 6 . 3
––––––––––––
2
�12 . 5 + 20 . 6–––––––––––––2�
12 . 5
––––––
2
MÓDULO 30
POLIEDROS
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 D
132 –
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