Fenomeno de Transporte.AULA6

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Fenômenos de Transporte I
Aula 06
Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez
1
5.3- A Primeira Lei da Termodinâmica
A primeira lei da termodinâmica é um enunciado da
conservação da energia. A formulação de sistema para a
primeira lei foi estabelecida na forma
onde a energia total do sistema é dada por
e
 W Q 
dt
dE
 
..
Sistema



( 1 )
 ρdV dm E 
M(sistema) V(sistema)
sistema   ee ( 2 )
 gz 
2
v
 u 
2
e ( 3 )
2
Na equação 1, a taxa de transferência de calor, , é positiva
quando o calor é adicionado ao sistema pelo meio que o envolve
(vizinhança); a taxa de transferência de trabalho, , é positiva
quando trabalho é realizado pelo sistema sobre o meio.
Para deduzir a formulação de volume de controle da primeira
lei da termodinâmica, fazemos:
N = E e  = e
Na equação
 A.dvρ ρdV
t
 
dt
dN
 
SCVCs
 



 
 A.dvρ ρdV
t
 
dt
dE
 
SCVCs
 



 ee
3
( 4 )
.
W
.
Q
4
Substituindo a equação 1 na equação 4, temos:
A equação 5 fornece a formulação de volume de controle da
primeira lei da termodinâmica. Para obter uma formulação
adequada e conveniente à solução de problemas,
examinaremos o termo de taxa de trabalho, .
Taxa de trabalho realizado por um volume de controle
A taxa de trabalho realizado pelo VC é convenientemente
subdividida em quatro classificações:
 A.dvρ ρdV
t
 W Q 
SCVC
..
 



ee
( 5 )
.
W
 W W W W W outros
.
tocisalhamen
.
normal
.
s
..

5
s
.
W
1. Trabalho de eixo Ws
Designaremos o trabalho de eixo por Ws e, portanto, a taxa de
trabalho de eixo transferido para fora através da superfície de
controle é designada por .
Exemplos de trabalho de eixo são o trabalho produzido por uma
turbina a vapor (trabalho de eixo positivo) de um central
termelétrica, e o trabalho requerido para acionar um compressor de
um refrigerador ou bomba centrífuga (trabalho de eixo negativo).
2. Trabalho realizado por tensões normais na superfície de
controle
A taxa de trabalho para fora através da SC é o negativo do trabalho
feito sobre o VC; a taxa total de trabalho para fora do volume de
controle devido às tensões normais é
 A.dvP A.dvP)( A.dv W 
SCSCSC
nnormal
.
 


6
3. Trabalho realizado por tensões de cisalhamento na superfície
de controle
Para uma superfície de controle (SC) perpendicular a
velocidade, a taxa de trabalho por cisalhamento será igual a
zero.
4. Outros trabalhos
Energia elétrica poderia ser adicionada ao volume de controle.
Energia eletromagnética também poderia ser absorvida, como
em radares ou feixes a laser. Na maioria dos problemas, tais
contribuições estão ausentes, mas devemos considerá-las em
nossa formulação geral.
 0 W tocisalhamen
.

SC
v

7
Com avaliação de todos os termos em , obtemos
Substituindo a equação 6 na equação 5, temos
.
W
 W W A.dvP W W outros
.
tocisalhamen
.
SC
s
..
 

( 6 )





















SCVC
outros
.
tocisalhamen
.
s
..
SCSCVC
outros
.
tocisalhamen
.
s
..
SCVC
outros
.
tocisalhamen
.
SC
s
..
A.dvρ
ρ
P
 ρdV
t
 W W W Q
A.dv
ρ
ρ
P A.dvρ ρdV
t
 W W W Q
A.dvρ ρdV
t
 W W A.dvP W Q



ee
ee
ee
 gz 
2
v
 u 
2
e
0
0
8
 A.dvρgz 
2
v
 
ρ
P
 u ρdV
t
 W W W Q 
SC
2
VC
outros
.
cis
.
s
..
 









e ( 7 )
Cada termo de trabalho da equação 7 representa a taxa
de trabalho realizado pelo volume de controle sobre o
meio (vizinhança). Note que na termodinâmica, por
conveniência, a combinação u + P/ é substituída pela
entalpia específica, h = u + P/. O termo 1/ é conhecido
como volume específico, .
Equação da conservação da energia
9
Exemplo 01: Ar a 14,7 psia, 70F, entra em um compressor
com velocidade desprezível e é descarregado a 50 psia, 100F,
através de um tubo com área transversal de 1 ft2. A vazão
mássica é 20 lbm/s. A potência fornecida ao compressor é 600
hp. Determine a taxa de transferência de calor.
Dado:
h = CpT (entalpia específica)
Cp = 0,24 Btu/lbm.R (capacidade calorífica a pressão constante do ar)
WS = 600 hp
10
 0 A.dvρ ρdV
t
 
SCVC





 








SC
2
VC
outros
.
tocisalhamen
.
s
..
A.dvρ
ρ
P
 gz 
2
v
 u ρdV
t
 W W W Q

e
Equações básicas:
Considerações:
1) Escoamento permanente;
2) Propriedades uniformes nas seções de entrada e saída;
3) O ar é tratado como um gás ideal;
4) As áreas de SC em (1) e (2) são perpendiculares à velocidade;
5) Z1 = Z2
6) Energia cinética desprezível na entrada;
7) Não há outros trabalhos.
= 0 (1)
= 0 (1)= 0 (4) = 0 (7)
11
Com estas considerações, a primeira lei torna-se
A equação da conservação de massa torna-se




























SC
2
s
..
SC
2
s
..
SC
2
h
s
..
A.dvρgz 
2
v
 h W Q
A.dvρgz 
2
v
 h W Q
A.dvρgz 
2
v
 
ρ
P
 u W Q




0 A.dvρ
SC


12
Para propriedades uniformes, consideração (2) e consideração (5),
podemos escrever
   2222
2
2
21111
2
1
1s
..
AvρgZ 
2
v
 h AvρgZ 
2
v
 h W Q 












= 0 (6)
Da conservação de massa para escoamento permanente, vem
= 0 (5) = 0 (5)
    222
2
2
21111s
..
Avρ
2
v
 h Avρh W Q 





 ( 1 )
0 A.dvρ
SC

     0 Avρ Avρ 222111 

 m Avρ Avρ 222111 ( 2 )
13
Substituindo a equação (2) na equação (1), temos
  







2
v
 T TCm W Q
2
2
12ps
..
( 3 )
 
 
 








































m
2
v
 T TCm W Q
m
2
v
 h hm W Q
m
2
v
 h m h W Q
2
2
12ps
..
2
2
T TC
12s
..
2
2
21s
..
12p

14
Da continuidade ou conservação de massa, temos:
2
22
0
02
22
2
2
0
2
2
2
22
2
222111
144in
ft
50lbf
in
R560
Rlbm.
ft.lbf
3,53
1ft
1
s
20lbm
 
PA
TRm
 v
Rlbm.
ft.lbf
53,3 R ; 
TR
P
 ρ ; 
Aρ
m
 v
m Avρ Avρ






 ft/s 82,9 v2 
( Constante universal para o ar )
Tabelado
   
  R560 459,67 100 RT
459,67 FT RT
00
00


15
Da equação (3), temos
   
 
slug.ft
lbf.s
778ft.lbf
Btu
32,2lbm
slug
s
ft
2
9,82
s
lbm
20 
R30
Rlbm.
Btu
0,24
s
lbm
20 
ft.lbf 778
Btu
 
hp.s
ft.lbf
550 hp600 Q
2
v
m T TCm W 
2
v
 T TCm W Q
2
2
22
0
0
.
2
2
12ps
.2
2
12ps
..










 277Btu/s Q 
.

ft.lbf 778,2 Btu 1; lbm 32,2 slug 1 ; 
ft
lbf.s
 1 slug 1 ; 
s
ft.lbf
550 hp 1
2

    459,67 FT RT 00 
16
Exemplo 02: Um tanque, com volume de 0,1m3, está conectado
a uma linha de ar de alta pressão (linha de ar comprimido);
tanto a linha quanto o tanque estão inicialmente a uma
temperatura uniforme de 20C. A pressão manométrica inicial
no tanque é 100kPa. A pressão absoluta na linha de ar é 20
MPa; a linha é suficientemente grande, de forma que a
temperatura e a pressão do ar comprimido podem ser
consideradas constantes. A temperatura no tanque é
monitorada por um termopar de resposta rápida.
Imediatamente após a abertura da válvula, a temperatura do
ar no tanque sobe à taxa de 0,05C/s. Determine a vazão em
massa (g/s) instantânea de ar entrando no tanque se a
transferência de calor for desprezível.
Dado: u = CvT (energia interna específica)
Cv = 717N.m/kg.K (capacidade calorífica a volume
constante do ar)
17
Considerações:
1) (dado);
2) ;
3) ;
4) ;
5) As velocidades na linha e no tanque são pequenas;
6) Energia potencial é desprezível Z1 = Z2;
7) Escoamento uniforme na entrada do tanque;
8) Propriedades uniformes no tanque
9) Gás ideal, , du = CvdT
0 Q
.

0 Ws
.

0 Wcis
.

0 Woutros
.

TRρ P 
18
 








SC
2
VC
outros
.
tocisalhamen
.
s
..
A.dvρ
ρ
P
 gz 
2
v
 u ρdV
t
 W W W Q

e
 gz 
2
v
 u 
2
e
= 0 (1) = 0 (2) = 0 (3) = 0 (4) = 0 (5) = 0 (6)
= 0 (6)= 0 (5)
 































entrada de fluxo
ideal gás
VC
SCVC
ρvA TR u ρdVu 
t
 0
A.dvρ
ρ
P
 u ρdVu 
t
 0
19
Uma vez que as propriedades no tanque são uniformes, temos 

 
    m TR u 
dt
uMd
m TR u 
dt
ρVu d
 0
M


















 tanqueno ainstantâne massa a é M
mássica) (vazãoρvA m 

20
   

 m TR u 
dt
uMd

 mTR mu 
dt
du
M 
dt
dM
u ( 1 )
O termo dM/dt pode ser avaliado pela equação da conservação da massa.

 m ρvA 
dt
dM
 
  0 ρvA 
t
ρV
0 A.dvρ ρdV
t
 
SCVC








( 2 )
Substituindo (2) em (1) temos :
21

 mTR mu 
dt
du
M mu
   
TR
dT/dtρVC
 
TR
dT/dtMC
 m
mTR mu 
dt
dT
MC mu
vv
v




 
)(Ar 
kg.K
N.m
 287 R
(Ar) 
kg.K
N.m
 717 C ; ideal gás dTC du vv


22
 
 
TR
dT/dtρVC
 m v

(dado) 
s
C
0,05 
dt
dT 0

   
   
3
tanque
23
atmmantanque
tanque
kg/m 2,39 ρ
K273,15 20 K287N.m/kg.
N/m10101,3 100
 
TR
P P
 
TR
P
 ρ






kg
g
1000
293K
1
287N.m
kg.K
s
K
0,05
kg.K
N.m
7170,1m
m
kg
2,39 m 3
3


 g/s 0,102 m 

Os dois problemas ilustram o uso da primeira lei
da termodinâmica para VC. É, também, um
exemplo do cuidado que se deve ter com as
conversões de unidades, energia e potência.
23
5.3.1- Equação de Bernoulli interpretada como uma equação de
energia.
Considere um escoamento permanente na ausência de forças de
cisalhamento. Escolhamos um volume de controle (VC) limitado
por linhas de corrente ao longo da periferia do escoamento. Um VC
como este, mostrado na Figura 1, é usualmente chamado de tubo de
corrente.
Figura 1: Escoamento através de um tubo de corrente
24
 








SC
2
VC
outros
.
tocisalhamen
.
s
..
A.dvρ
ρ
P
 gz 
2
v
 u ρdV
t
 W W W Q

e
Equação básica da energia:
gz 
2
v
 u 
2
e
Restrições:
1-
2-
3-
4- Escoamento permanente 
5- Escoamento e propriedades uniformes em cada seção
0 Ws
.

0 Woutros
.

0 Wcis
.

= 0 (1) = 0 (2) = 0 (3) = 0 (4)
25
 





SC
2.
A.dvρ
ρ
P
 gz 
2
v
 u Q

Sob estas restrições, a equação da energia torna-se
    Avρ
ρ
P
 gz 
2
v
 u Avρ
ρ
P
 gz 
2
v
 u Q 222
2
2
2
2
2111
1
1
2
1
1
.













Porém, da continuidade sob estas restrições, torna-se
0 A.dvρ ρdV
t
SCVC





= 0 (4)
0 A.dvρ
SC

     0 Avρ Avρ 222111 
 m Avρ Avρ 222111


26
 m
dm
δQ
 
dt
dm
dm
δQ
 
dt
δQ
 Q 
. 

Assim a equação de conservação de energia, torna-se:
0 
dm
δQ
 u u 
ρ
P
 gz 
2
v
 
ρ
P
 gz 
2
v
m
ρ
P
 gz 
2
v
 u m
ρ
P
 gz 
2
v
 u m
dm
δQ
12
1
1
2
12
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1

















































( 8 )
A equação (8) ficaria reduzida à equação de Bernoulli se o
termo entre parênteses fosse zero.
 
dm
δQ
 u u 
ρ
P
 gz 
2
v
 
ρ
P
 gz 
2
v
 12
2
2
2
21
1
2
1





 
27
 0 
dm
δQ
 u u 12 





 ( 9 )
Assim, sob a restrição da equação (9), tem-se a equação de
Bernoulli.
 gz 
2
v
 
ρ
P
 gz 
2
v
 
ρ
P
 2
2
22
1
2
11  ( 10 )
 constante gz 
2
v
 
ρ
P
 
2

A equação de Bernoulli é válida para:
1- Escoamento permanente;
2- Fluido incompressível;
3- Escoamento sem atrito;
4- Escoamento ao longo de uma linha de corrente.
28
Exemplo 03: Água escoa em regime permanente de um
grande reservatório aberto através de um tubo curto e de um
bocal com área de seção transversal A = 0,864 in2. Um
aquecedor de 10kW, bem isolado termicamente, envolve o
tubo. Determine o aumento de temperatura da água.
29
Equações básicas:
 constante gz 
2
v
 
ρ
P
 
2

0 A.dvρ ρdV
t
SCVC





 








SC
2
VC
outros
.
cis
.
s
..
A.dvρ
ρ
P
 gz 
2
v
 u ρdV
t
 W W W Q

e
Equação de Bernoulli
Equação da conservação de massa
Equação da conservação da energia
30
Considerações:
1- Escoamento permanente;
2- Escoamento sem atrito;
3- Fluido incompressível;
4- Não há trabalho de eixo, de cisalhamento e outros;
5- Escoamento ao longo de uma linha de corrente.
0 A.dvρ ρdV
t
SCVC





 








SC
2
VC
outros
.
cis
.
s
..
A.dvρ
ρ
P
 gz 
2
v
 u ρdV
t
 W W W Q

e
= 0 (1)
= 0 (1)= 0 (4) = 0 (4) = 0 (4)
31
Com as considerações adotadas, a primeira lei da
termodinâmica para VC mostrado torna-se:






















2A
2
A
2.
SC
2.
A.dvρ
ρ
P
 gz 
2
v
 u A.dvρ
ρ
Pgz 
2
v
 u Q
A.dvρ
ρ
P
 gz 
2
v
 u Q
1


Para propriedades uniformes na seção 1 e 2, fica:
   22222
2
2
2111
1
1
2
1
1
.
Avρ
ρ
P
 gz 
2
v
 u Avρ
ρ
P
 gz 
2
v
 u Q 












Da conservação da massa, temos:

 m Avρ Avρ 222111
32












































1
2
11
2
2
22
12
.
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
.
gz 
2
v
 
ρ
P
 gz 
2
v
 
ρ
P
 u um Q
m
ρ
P
 gz 
2
v
 u m
ρ
P
 gz 
2
v
 u Q
Para escoamento incompressível, sem atrito, permanente e ao
longo de uma linha de corrente,
Portanto,
 constante gz 
2
v
 
ρ
P
 
2

  u um Q 12
.


( 1 )
33
Como, para um fluido incompressível, u2 – u1 = Cágua( T2 – T1).
A equação 1 fica:
Da conservação de massa, para a seção 4, temos:
Para determinar v4, escreva a equação de Bernoulli entre as
seções 3 e 4.
 
Cm
Q
 T T 
água
.
12 
 ( 2 )
 Aρv m 44

( 3 )
 gz 
2
v
 
ρ
P
 gz 
2
v
 
ρ
P
 4
2
44
3
2
33  ( 4 )
34
Como P3 = P4 = Patm e v3  0, segue que
 
  x10ft
s
ft
2x32,2 z z2g v
z z2g v
gz 
2
v
 
ρ
P
 gz 
2
v
 
ρ
P
2
434
43
2
4
4
2
4atm
3
2
3atm






= 0 
 ft/s 25,4 v4  ( 5 )
2
2
2
344 144in
ft
xx0,864in
s
ft
x25,4
ft
slug
1,94 Aρv m 

 slug/s 0,296 m 

( 6 )
35
Admitindo que não há perda de calor para o ambiente e que
Cágua = 1 Btu/lbmR, obtemos:
Btu 1
Rlbm.
x
32,2lbm
slug
x
0,296slug
s
x
3600s
h
x
kW.h
Btu
10kWx3413 T T
Cm
Q
 T T
0
12
v
.
12



 R0,995 T T 012 
lbm 32,2 slug 1 ;
h
Btu
3413 kW 1 
36
Exemplo 04: Um tubo em U atua como um sifão de água. A
curvatura no tubo está 1 m acima da superfície da água; a
saída do tubo está 7 m abaixo da superfície da água. A água sai
pela extremidade inferior do sifão como um jato livre para a
atmosfera. Determine (após listar as condições necessárias) a
velocidade do jato livre e a pressão absoluta mínima da água
na curvatura (ponto A).
37
Considerações:
1- Atrito desprezível;
2- Escoamento permanente;
3- Escoamento incompressível;
4- Escoamento ao longo de uma linha de corrente;
5- O reservatório é grande comparado com o tubo.
Aplique a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2.
2
2
22
1
2
11 gz 
2
v
 
ρ
P
 gz 
2
v
 
ρ
P

38
Visto que a área do reservatório é muito maior que a área do
tubo, então v1 = 0. Também P1 = P2 = Patm, v1 = 0, z1 = 0, logo:
 m72x9,81m/s v
2gz v
2gz v
gz 
2
v
 0
2
22
2
2
2
2
2
2




 m/s 11,7 v2 
39
Para determinar a pressão no ponto A, escrevemos a equação
de Bernoulli entre 1 e A.
A
2
AA
1
2
11 gz 
2
v
 
ρ
P
 gz 
2
v
 
ρ
P

40
Novamente, v1 = 0 e, da conservação da massa, vA = v2. Então, 
 
   
2
22
3232
5
A
2
2
A11A
A
A
2
2
1
1
A
2
2A
1
1
s
m
2
11,7
m
kg
999 m1 0
s
m
x9,81
m
kg
999 
m
N
1,01x10 P
2
v
ρ z zρg P P
ρ
P
 gz 
2
v
 gz 
ρ
P
gz 
2
v
 
ρ
P
 gz 
ρ
P




 ca)(manométri kPa5,78ou ta)kPa(absolu 22,8 P A 
Obs: Neste problema, desprezar atrito é razoável se o tubo for
de parede lisa e relativamente curto.
41
Exemplo 05: Água escoa sob uma comporta, num leito horizontal
na entrada de um canal. A montante da comporta, a
profundidade da água é 1,5 ft e a velocidade é desprezível. Na
seção contraída (vena contracta) a jusante da comporta, as linhas
de corrente são retilíneas e a profundidade é 2 in. Determine a
velocidade do escoamento a jusante da comporta e a vazão em
pés cúbicos por segundo por pé de largura (Q/w = ft3/s/ft).
42
Considerações:
1- Atrito desprezível;
2- Escoamento permanente;
3- Escoamento incompressível;
4- Escoamento ao longo de uma linha de corrente;
5- Escoamento uniforme em cada seção;
6- Distribuição hidrostática de pressão.
Se considerar a linha de corrente que passa ao longo do
chão do canal (z = 0), devido a consideração 6, as pressões
em 1 e 2 são:
2atm2
1atm1
ρgD P P
ρgD P P

+ h
43
Aplicando a equação de Bernoulli para a linha de corrente
entre os pontos 1 e 2, com z1 = z2 = 0, temos:
   
  21212
2
2
2
1
2
1
2
22atm
2
11atm
 v D D2g v
gD 
2
v
 gD 
2
v
2
v
 
ρ
ρgD P
 
2
v
 
ρ
ρgD P






Porém v1  0, logo
 





 

12in
ft
2in 1,5ft 
s
32,2ft
2 v
D D2g v
22
212
 ft/s 9,27 v2 
12in
1ft
in2
s
ft
9,27 D v 
w
Q
wD vA v Q
22
222


 largura de /s/péft 1,55 
w
Q
 3
+ h
44
Exemplo 06: Água escoa em um tanque muito grande através
de um tubo de 2 in de diâmetro. O líquido escuro no
manômetro é mercúrio. Estime a velocidade no tubo e a vazão
de descarga.
45
Considerações:
1- Atrito desprezível;
2- Escoamento permanente;
3- Escoamento incompressível;
4- Escoamento ao longo de uma linha de corrente;
5- Escoamento uniforme na tubulação;
6- Distribuição hidrostática de pressão.
A equação de Bernoulli para a linha de corrente passando
pelos pontos 1 e 2 é:
 gz 
2
v
 
ρ
P
 gz 
2
v
 
ρ
P
 2
2
22
1
2
11 
46
Considerando que v1  0 (tanque grande), z2 = 0 e que P1 = Patm,
a equação de Bernoulli fica:
 2gz 
ρ
P P
2 v
1
água
2atm
2







 

1
água
2atm2
2
2
2
água
2
1
água
atm
2gz 
ρ
P P
2 v
2
v
 
ρ
P
 gz 
ρ
P







 


( 1 )
( 1 )
( 2 )


47
 hSG Dgρ P P
ghρ gDρ P P
ghρ P P
gDρ P P
Hgágua2atm
Hgágua2atm
HgAatm
água2A




Por manometria, temos:
( 2 )
P2
PA
Patm




+ h
48
 
 
  









 





12ft 
12in
1ft
13,6x6in 2ft 
s
ft
2x32,2 v
z hSG D2g v
2gz hSG D2g v
2gz 
ρ
hSG Dg2ρ
 v
22
1Hg2
1Hg2
1
água
Hgágua
2
Substituindo 2 em 1, temos:
 ft/s 21,5 v
2

2
2 ft
in12
in2
4s
ft
21,5 A v Q 





 
s
ft
 0,469 Q 
3

49
Exemplo 07: O respiro do tanque mostrado na Figura está
fechado e o tanque foi pressurizado para aumentar a vazão Q.
Qual é a pressão no tanque, P1, para que a vazão no tubo seja
igual ao dobro daquela referente à situação onde o respiro
está aberto?
50
Considerações:
1- Atrito desprezível;
2- Escoamento permanente;
3- Escoamento incompressível;
4- Escoamento ao longo de uma linha de corrente;
5- Escoamento uniforme na tubulação;Considerar a linha de corrente no tubo (z = 0). A equação de Bernoulli
para a linha de corrente passando pelos pontos 1 e 2 com o suspiro
aberto é:


( 2 )
( 1 )
51
 
2
v
 gz
P P P ; 0 v; 0 z gz 
2
v
 
ρ
P
 gz 
2
v
 
ρ
P
2
2
1
atm21122
2
22
1
2
11


x3,05m
s
m
2x9,81 2gz v
212
 m/s 7,74 v2 
Considerando o suspiro fechado, qual seria a pressão P1 para que a
vazão no tubo seja o dobro quando o suspiro estava aberto?
Aplicando a equação de Bernoulli para o suspiro fechado, fica:
 
2
v
 
ρ
P
 gz 
ρ
P
0 v; 0 z gz 
2
v
 
ρ
P
 gz 
2
v
 
ρ
P
2
22(atm)
1
1(abs)
122
2
22(atm)
1
2
11(abs)


Considerando o suspiro aberto:
52
21(man) m
N
 89.804,8 P 
 
 
 


















3,05m
s
m
9,81 
2
x7,74m/s2
m
kg
999 P
gz 
2
2v
ρ P
2
2v
 
ρ
P
 gz 
ρ
 P P
2
2
31(man)
1
2
2
1(man)
2
2atm
1
1(man)atm
 89,8kPa P 1(man) 
       
S/suspiro2C/suspiro2S/suspiro22C/suspiro22
S/suspiroC/suspiro
v2 v Av2 Av
2Q Q


53
Exemplo 08: Ar na condição padrão escoa na chaminé
axisimétrica mostrada na Figura. Determine a vazão em
volume na chaminé sabendo que o fluido utilizado no
manômetro é água. Admita que os efeitos viscosos são
desprezíveis.
Dado: ar = 1,23 kg/m
3
54
Aplicando as considerações para o uso da equação de Bernoulli
através da linha de corrente no tubo (z = 0), temos:

( 2 )
( 1 )
2
2
22
1
2
11 gz 
2
v
 
ρ
P
 gz 
2
v
 
ρ
P

 
2
 v v
 
ρ
P P
 
2
1
2
221 

( 1 )


( P1 )
( P2 )

h
55
Por manometria, P1 – P2, é:
Pela conservação de massa em regime permanente, entre os pontos
1 e 2, temos:
 
2
v
16 
2
v
 
1m
2m
2
v
 
2
v
D
D
2
v
 
2
v
 
D
D
 v 
A
A
 v v
0 A.vρ A.vρ
2
1
2
2
42
1
2
2
4
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
12
2211



























 
 
 
221
0
2321
0
água21
0
água21
m.s
kg
50,73 P P
sen15m02,0
s
m
9,81
m
kg
999 P P
sen150,02mgρ P P
sen150,02m h ;gh ρ P P




h ( P1 )
( P2 )
56
 
2
 v v
 
ρ
P P
 
2
1
2
221 

 
2
v
16 
2
v
 
2
1
2
2






 
m.s
kg
50,73 P P 
221

 m/s 2,35 v1 
3
2
1
2
1
2
1
2
1
ar
2
m
kg
23,1
m.s
kg
50,73
15
2
 v
2
15v
 
2
 v 16v
 
ρ
m.s
kg
50,73










4
π(2m)
s
m
2,35 
4
πD
 vA v Q
22
11  /sm 7,38 Q 
3