169404614 DINAMICA II APOSTILA

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Prof. DSc. Valtency F. Guimarães
Dinâmica II
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Dinâmica II
Bibliografia Recomendada
Bibliografia BBibliografia Báásica:sica:
HIBBELER, R.C. Dinâmica – Mecânica para Engenharia, 12º ed. Editora Pearson. 2010.
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica, 7 ed., Mc 
Graw Hill, 2006.
MERIAM, J. L. Dinâmica. 2ª Edição. Traduzido por Frederico Felgueiras Gonçalves e José
Rodrigues de Carvalho. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1989. 
Bibliografia Complementar:Bibliografia Complementar:
SHAMES, I. H. Dinâmica. Mecânica para Engenharia. 4 ed. Prentice Hall, 2003.
GIACAGLIA, G. E. O. Mecânica Geral. Campus, 1982.
KRAIGE, G.; MERIAM, J. L. Mecânica - Dinâmica. 5ª Edição. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, 2003. 496p.
NORTON, Robert L. Projeto de Máquinas – Uma abordagem integrada. Traduzido por João 
Batista de Aguiar et al. 2ª Edição. Porto Alegre: Bookman, 2004. 887p.
ARFKEN, George B. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física. 
Traduzido por Arlete Simille Marques. 1ª Edição. Rio de Janeiro: Campus, 2007. 900p.
Prof. DSc. Valtency F. Guimarães
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Cinemática plana de corpos rígidos
1. Introdução
2. Corpos Rígidos
2.1 - Movimento de translação
2.2 - Movimento de rotação
i - breve revisão - Rotações e Velocidade Angular
i i - Aceleração Angular 
i i i - Rotação com Aceleração Angular Constante 
iv - Relação entre Velocidade e Aceleração, Lineares e Angulares 
3. Atividades Introdutórias
Dinâmica II
Introdução - Dinâmica
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1 - Introdução
O fenômeno mais óbvio e fundamental que observamos à nossa volta é o 
movimento. Praticamente todos os processos imagináveis têm como 
origem o movimento dos corpos. A Terra e os outros planetas movem-se 
em torno do Sol que, por sua vez, faz girar o sistema solar em torno do 
centro da galáxia; os elétrons, em movimento no interior dos átomos, dão 
lugar à absorção e à emissão da luz e, no interior de um metal, produzem 
corrente elétrica; as moléculas de um gás, em movimento aleatório, dão 
origem à pressão e aos processos de difusão. 
Nossa experiência diária nos mostra que o movimento de um corpo é
influenciado pelos corpos que o rodeiam, isto é, pelas interações com 
eles. Num tubo de televisão ou no monitor de um sistema de computação, 
por exemplo, o feixe de elétrons deve mover-se de forma a produzir uma 
imagem na tela.
Introdução - Dinâmica
5
Introdução
Um dos objetivos dos físicos e dos engenheiros é descobrir a relação 
existente entre os movimentos e as interações que os produzem e dispor 
as coisas de modo a produzir movimentos úteis. 
Para análise e previsão do movimento de partículas (ou de corpos rígidos) 
resultante de diferentes tipos de interações, alguns conceitos primordiais 
como momento, força, e energia foram criados. Estes conceitos são tão 
importantes que raramente podemos analisar um processo sem expressá-
lo em termos destes conceitos.
Introdução - Dinâmica
6
A mecânica de Newton é uma mecânica voltada para o estudo do 
movimento de um objeto puntiforme. Diz-se que a mecânica de Newton 
é a mecânica do ponto. Mas os casos de maior interesse são aqueles em 
que estudamos não uma partícula (um ponto), mas um sistema de 
partículas, ou seja, estudamos um conjunto muito grande de objetos 
puntiformes. 
As leis de Newton valem para cada um deles. Um corpo rígido é um 
sistema constitusistema constituíído de partdo de partíículasculas (átomos, por exemplo) agregadas de agregadas de 
um modo tal que a distância entre as vum modo tal que a distância entre as váárias partes que constituem o rias partes que constituem o 
corpocorpo (ou o sistema) não varia com o temponão varia com o tempo (não mudam), ou seja, as 
distâncias entre as várias partes que compõem o corpo são 
rigorosamente constantes. 
Introdução - Dinâmica
2 - Corpos Rígidos
7
Pode-se dizer então que um Corpo RCorpo Ríígidogido pode ser definido como um 
corpo em que todos os pontos materiais conservam as distâncias entre si, 
mesmo sob aplicação de um esforço externo.
Um corpo rígido executa basicamente dois tipos de movimento: 
movimento de translação, quando todos os pontos percorrem trajetórias 
paralelas, como em (A), e movimento de rotação, quando os pontos 
percorrem trajetórias circulares, como em (B). 
Introdução - Dinâmica
Corpos Rígidos
8
Destaca-se, porém, que o caso mais genérico do movimento de um corpo 
rígido é dado no exemplo (C); ou seja, uma combinação de translação e 
rotação.
Corpos Rígidos
A figura abaixo mostra o movimento parabólico do centro de massa de 
um objeto lançado ao ar, enquanto o objeto gira em torno do seu centro 
de massa.
Introdução - Dinâmica
9
O movimento de translação pode ser analisado observando-se 
exclusivamente o centro de massa do corpo. O corpo executa movimento 
de translação se o seu centro de massa se desloca à medida que o tempo 
passa. Assim, o movimento de translação do corpo rígido está associado 
ao movimento do centro de massa.
O que provoca o movimento de translação são as forças externas
agindo sobre o corpo rígido. O corpo rígido se desloca de tal forma que 
tudo se passa como se todas as forças estivessem atuando sobre o centro 
de massa.
“Nos movimentos de translação valem as leis de Newton e a 
conservação da quantidade de movimento”.
2.1 - Movimento de translação
Introdução - Dinâmica
10
Movimento de translação
Seja um corpo rígido em translação e sejam e duas partículas quaisquer 
no interior do corpo. Num sistema de referência fixo, define-se: 
Derivando a expressão em relação ao termo, obtém-se: 
Ou seja, quando um corpo rígido se encontra em translação, todos os 
pontos do corpo têm, em qualquer instante, a mesma velocidade e a 
mesma aceleração.
Introdução - Dinâmica
11
Movimento de translação
Para um corpo que se move uma distância Δs durante um intervalo de 
tempo Δt sua velocidade média é definida como: 
A velocidade instantânea v é definida como o limite para o qual tende esta 
razão quando Δt se aproxima de zero: 
Se a velocidade do corpo variar Δv num intervalo de tempo Δt, ele tem 
uma aceleração média definida como: 
e a aceleração instantânea a é definida como limite desta razão quando Δt
tende a zero: 
t
svm Δ
Δ=
dt
ds
t
sv
t
=Δ
Δ= →Δ 0lim
t
v
tt
vvam Δ
Δ=−
−=
12
12
dt
dv
t
va
t
=Δ
Δ= →Δ 0lim
Introdução - Dinâmica
12
O outro movimento do corpo rígido é o movimento de rotação, que se 
observa sempre que um torque é a ele aplicado, como num pião. Por 
exemplo, em espetáculos de patinação artística no gelo, frequentemente 
se vê uma patinadora girar em torno de si mesma com os braços abertos 
na horizontal.
2.2 - Movimento de rotação
Ao encolher os braços sobre o peito, nota-se que a sua velocidade angular 
aumenta consideravelmente. A distribuição de massa do corpo no espaço 
afeta a rotação.
Introdução - Dinâmica
13
No movimento de translação, quando a mesma força é aplicada a objetos 
de massas diferentes, observam-se acelerações diferentes. Já no 
movimento de rotação, quando o mesmo torque é aplicado em objetos 
idênticos com distribuição diferente de massa, observam-se 
acelerações angulares diferentes. 
Então, não é a massamassa que afeta a velocidade angular da patinadora mas a 
distribuidistribuiçção da massaão da massa do seu corpo. Essa distribuição pode ser expressa 
através de uma quantidade denominada momento de inércia.
Movimento de rotação
Introdução - Dinâmica
14
Vamos relembrar o movimento dos corpos extensos (corpos sólidos), 
aqueles corpos que não podem ser tratados como tendo toda a massa 
concentrada em ponto. Que pode mudar tanto a sua posição quanto a sua 
direção. Objetos que apresentem movimento de rotação em torno de um 
eixo próprio.A descrição do movimento de um corpo extenso requer, em geral, três 
ângulos de orientação assim como as três coordenadas do seu centro de 
massa. 
i - breve revisão - Rotações e Velocidade Angular
φxˆ
yˆ
zˆ
Introdução - Dinâmica
15
Quando um corpo sólido gira em torno de um eixo próprio, as 
coordenadas x, y e z de cada ponto no corpo aumentam e diminuem 
continuamente à medida que o objeto percorre uma trajetória circular. 
i - breve revisão - Rotações e Velocidade Angular
zˆ
xˆ 2ϕ ϕΔ
yˆ
1ϕ
r
r
Introdução - Dinâmica
16
Como o uso de coordenadas x, y e z é, em geral, uma forma sofisticada 
de descrever as rotações, 
e sendo elas confinadas em um único 
plano facilmente descritas por um 
ângulo, isto será considerado nesta 
revisão.
Lembrando que nos é familiar a utilização de medidas envolvendo 
ângulos (graus e radianos). 
i - breve revisão - Rotações e Velocidade Angular
xˆ
yˆ
ˆˆ ≡z n
)(tϕ
r
ρ
)( tt Δ+ϕ )(tϕΔ
ω r
Introdução - Dinâmica
17
Considere o comprimento S do segmento de um círculo contido em um 
ângulo θ, como indicado na figura (a). Se o círculo tem um raio r, o 
comprimento de sua circunferência é dado por rC π2=
Então, , com θ em graus.
Vemos que, para um dado ângulo θ, s e r são proporcionais. Devido ao 
frequente uso da relação de proporcionalidade entre r e s na dinâmica das 
rotações, é bastante conveniente definir: , com θ em radianos.
rs πθ 2
360°=
θrS =
i - breve revisão - Rotações e Velocidade Angular
Introdução - Dinâmica
18
Na figura (b), a linha de referência OP de um corpo em rotação faz um 
ângulo θ1 com a linha de referência fixa OX, em um instante t1. Num 
instante posterior t2 o ângulo cresceu para θ2. A velocidade angular média
( ) do corpo, no intervalo entre t1 e t2, é definida como a razão entre o 
deslocamento angular Δθ = θ2-θ1 e o intervalo de tempo Δt = t2 - t1:
ϖ
tΔ
Δ= θϖ
i - breve revisão - Rotações e Velocidade Angular
Introdução - Dinâmica
19
A velocidade angular instantânea é definida como o limite para o qual 
tende esta razão quando Δt aproxima de zero:
Como o corpo rígido, a velocidade angular é uma característica do corpo 
como um todo e não somente de uma linha nele situada. Se o ângulo for 
medido em radianos, a unidade de velocidade angular é o radiano por 
segundo (rad/s). Outras unidades como, por exemplo, rotações por 
minuto (r.p.m.), são de uso comum. 
i - breve revisão - Rotações e Velocidade Angular
Introdução - Dinâmica
20
Se a velocidade angular de um corpo variar, diz-se que ele tem uma 
aceleração. Se ω1 e ω2 forem as velocidades angulares instantâneas, no 
tempo t1 e t2 a aceleração angular média é definida como:
e a aceleração angular instantânea α é definida como limite desta razão 
quando Δt tende a zero: 
A unidade de aceleração angular é o rad/s2 = 1/s2.
A velocidade angular e a aceleração angular são exatamente análogas à
velocidade e à aceleração lineares. Sendo ω = dθ/dt, a aceleração pode 
ser escrita como:
i i - Aceleração Angular
Introdução - Dinâmica
21
O caso mais simples de movimento de rotação acelerado é aquele no 
qual a aceleração é constante. Neste caso, as expressões da velocidade e 
do deslocamento angulares são facilmente encontradas por integração. 
Tem-se:
Se ωo é a velocidade angular quando t = 0, segue-se que C1 = ωo e pode-
se escrever:
Como ω = dθ/dt, temos:
cuja solução é
Ou, de outra forma:
i i i - Rotação com Aceleração Angular Constante
→ →
Introdução - Dinâmica
22
A Tabela mostra a analogia entre as equações do movimento com 
aceleraaceleraçção angular constanteão angular constante e as do movimento com aceleraaceleraçção linear ão linear 
constanteconstante.
i i i - Rotação com Aceleração Angular Constante
Movimento com aceleração 
linear constante
Movimento com aceleração 
angular constante
a = constante α = constante
Introdução - Dinâmica
23
Quando um corpo rígido está animado de rotação em torno de um eixo 
fixo, cada ponto do corpo descreve um círculo cujo centro está sobre o 
eixo de rotação e cujo plano é perpendicular ao eixo. Existem algumas 
relações simples e úteis entre a velocidade e a aceleração angulares do 
corpo em rotação e a velocidade e aceleração lineares dos seus pontos.
iv - Relação entre Velocidade e Aceleração, Lineares e Angulares 
Introdução - Dinâmica
24
Seja “r” a distância do eixo ao um ponto P do corpo que se move sobre 
uma circunferência de raio “r”. Quando o raio faz um ângulo “θ” com o 
eixo de referência, a distância “s” percorrida pelo ponto P é
Derivando ambos os membros desta equação em relação a t e tendo em 
vista que r é constante, vem:
Diferenciando a equação da velocidade em função do tempo 
temos: , onde r é constante.
A componente radial v2/r da aceleração do ponto P também pode ser 
expressa em termos da velocidade angular:
iv - Relação entre Velocidade e Aceleração, Lineares e Angulares 
θrs =
θrdds =
dt
dr
dt
ds θ= ωrv =
αω r
dt
dr
dt
dva ===
Introdução - Dinâmica
25
Isto é verdade mesmo quando ω e v não são constantes. As equações 
radial e tangencial da aceleração de um ponto arbitrário de um corpo em 
movimento de rotação são representadas na figura a seguir.
iv - Relação entre Velocidade e Aceleração, Lineares e Angulares 
xˆ
yˆ
zˆ
θ
ϕ
r
ρ
s
ω
v
ta
Na
α
Introdução - Dinâmica
26
o Rotação
1. Um corpo rígido pode girar livremente em torno de um eixo fixo. É possível 
que a aceleração angular deste corpo seja diferente de zero, mesmo que a sua 
velocidade angular seja nula (talvez, instantaneamente)? Qual o equivalente 
linear desta situação? Ilustre ambas as situações com exemplos.
2. Imagine uma roda girando sobre o seu eixo e considere um ponto em sua 
borda. O ponto tem aceleração radial quando a roda gira com velocidade 
angular constante? Tem aceleração tangencial?
3. Qual a relação entre as velocidades angulares de um par de engrenagens 
acopladas, de raios diferentes?
3. Atividades Introdut3. Atividades Introdutóóriasrias
Introdução - Dinâmica
27
4. Uma roda gira com uma aceleração angular α dada por:
α = 4at3 – 3bt2, onde t é o tempo, e a e b são constantes. Se ω0 é a 
velocidade angular inicial e θ0 a posição angular inicial da roda, deduza 
as equações para:
(a) a velocidade angular, e 
(b) o deslocamento angular em função do tempo.
oo As variAs variááveis de Rotaveis de Rotaççãoão
Introdução - Dinâmica
28
5. Uma roda tem oito raios de 30 cm. Está montada sobre um eixo fixo e 
gira à razão de 2,5 rev/s. Você pretende atirar uma flecha de 20 cm de
comprimento através da roda, paralelamente ao seu eixo, sem que a 
flecha colida com qualquer raio. Suponha que tanto a flecha quanto os 
raios sejam muito finos; veja a figura. 
(a) Qual a velocidade mínima que a flecha deve ter?
(b) A localização do ponto que você mira, entre o eixo e a borda da roda, 
tem importância? Em caso afirmativo, qual a melhor localização?
Introdução - Dinâmica
29
6. Um pino rosqueado com 12 voltas/cm e diâmetro 1,18 cm é montado 
horizontalmente. Uma barra com um furo rosqueado de forma a se 
ajustar ao pino é aparafusada nele; veja a figura. A barra gira a 
237 rev/min. Quanto tempo levará para a barra se mover 1,50 cm ao 
longo do pino?
Introdução - Dinâmica
30
7. Um disco gira em torno de um eixo fixo, partindo do repouso com 
aceleração angular constante até alcançar a rotação de 10 rev/s. Depois 
de completar 60 revoluções, sua velocidade angular é 15 rev/s. Calcule:
(a) a aceleração angular,
(b) o tempo necessário para completar as 60 revoluções; 
(c) o tempo necessário para alcançar a velocidade angular de 10 rev/s;
(d) o número de revoluções desde o repouso ate a velocidade de10 rev/s.Introdução - Dinâmica
31
8. Uma turbina com 1,20 m de diâmetro está girando a 200 rev/min. 
(a) Qual a velocidade angular da turbina em rad/s? 
(b) Qual a velocidade linear de um ponto na sua borda?
(c) Que aceleração angular constante (rev/min2) aumentará a sua 
velocidade para 1000 rev/min em 60 s? 
(d) Quantas revoluções completará durante esse intervalo de 60 s?
Introdução - Dinâmica
oo As variAs variááveis Lineares e Angularesveis Lineares e Angulares
32
9. Um método antigo de se medir a velocidade da luz utiliza uma roda 
dentada girante. Um feixe de luz passa por uma fenda na borda da roda, 
como na figura, propaga-se até um espelho distante e retorna à roda no 
tempo exato para passar através da fenda seguinte na roda. Uma destas 
rodas dentadas possui raio de 5,0 cm e 500 dentes em sua borda. Medidas 
tomadas quando o espelho se encontrava à distância de 500 m da roda 
indicaram uma velocidade de 3,0.105 Km/s.
(a) Qual era a velocidade angular (constante) da roda?
(b) Qual era o módulo da velocidade linear em um ponto em sua borda?
Introdução - Dinâmica
33
10. As lâminas de um moinho de vento partem do repouso e giram com 
aceleração angular de 0,236 rad/s2. Quanto tempo passa até que um ponto 
da lâmina assuma os mesmo valores para os módulos da aceleração 
centrípeta e da aceleração tangencial?
Introdução - Dinâmica
34
11. Um corpo rígido se move no plano de xy de forma que x = R.cosωt e 
y = R.senωt, sendo x e y as coordenadas do objeto, t o tempo e R e ω
constantes. 
(a) Elimine t entre estas equações para encontre a equação da curva na 
qual o objeto se move. Que curva é essa? Qual é o significado da constante 
ω? 
(b) Derive as equações de x e y em relação ao tempo para encontrar as 
componentes x e y da velocidade do corpo, vx e vy. Combine vx e vy para 
encontrar o módulo, a direção e o sentido de v.Descreva o movimento do 
objeto. 
(c) Derive vx e vy com relação ao tempo para obter o módulo, a direção e o 
sentido da aceleração resultante.
Introdução - Dinâmica
35
Cinemática plana de corpos rígidos
Movimento de Corpos Rígidos
1 - Movimento Absoluto
2 - Movimento Relativo: Velocidade
2.1 - Posição 
2.2 – Deslocamento
2.3 – Velocidade
3 - Centro Instantâneo de Velocidade Nula
3.1 – Definição
3.2 - Localização
4 - Movimento Relativo: Aceleração
Dinâmica
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
36
Para estudar a cinemática dos corpos rígidos devemos estabelecer as 
relações que existem entre o tempo, as posições, as velocidades e as 
acelerações dos vários pontos materiais que formam um corpo rígido. 
Como veremos, os diversos tipos de movimento de um corpo rígido podem 
ser relacionados:
1. Translação. Diz-se que um movimento é de translação quando 
qualquer reta unindo dois pontos quaisquer do corpo conserva a mesma 
direção durante o movimento. Pode-se observar também que na translação 
todos os pontos materiais que formam o corpo deslocam-se segundo 
trajetórias paralelas. Se estas trajetórias são retas, diz-se que o movimento 
é uma translação retilínea; se as trajetórias são curvas, o movimento uma 
translação curvilínea.
Movimento de Corpos Rígidos
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
37
2. Rotação em torno de um Eixo Fixo. Neste movimento, os pontos 
materiais que formam o corpo rígido se deslocam em planos paralelos ao 
longo de circunferências, cujos centros estão sobre uma mesma reta fixa, 
como mostrado na figura abaixo.
Se essa reta, chamada de eixo de rotação, intercepta o corpo rígido, os 
pontos materiais situados sobre ela possuem velocidade e aceleração nulas.
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
38
Não se deve confundir o movimento de rotação com certos tipos de 
translação curvilínea. Por exemplo, a placa ilustrada na Figura (a) está
em translação curvilínea, havendo grupos de pontos materiais 
deslocando-se segundo circunferências paralelas. Enquanto a placa 
ilustrada na Figura (b) está em rotação, já que todos os pontos materiais 
descrevem circunferências concêntricas. 
No primeiro caso, qualquer reta da placa conserva a mesma 
orientação, enquanto, no segundo, o ponto O permanece fixo.
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
39
3. Movimento Plano Geral. Há outros tipos de movimento plano, isto é, 
movimento em que todos os pontos materiais do corpo se deslocam em 
planos paralelos. Qualquer movimento plano que não seja de rotação ao 
redor de um eixo fixo sem translação, considera-se como um movimento 
plano geral. Dois exemplos de movimento plano geral são dados na
Figura abaixo.
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
40
4. Movimento em torno de um Ponto Fixo. Este é movimento 
tridimensional de um corpo rígido com um ponto fixo O. Um exemplo 
típico é o movimento de um pião sobre o solo.
5. Movimento Geral. Qualquer movimento de um corpo rígido que não 
esteja incluído nos tipos anteriormente mencionados é denominado 
movimento geral.
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
41
Será abordado o movimento de translação, a rotação de um corpo 
rígido em torno de um eixo fixo. 
Definiremos a velocidade angular e a aceleração angular do corpo e 
relacionaremos a velocidade e aceleração de um ponto qualquer do 
corpo com seu vetor de posição e as quantidades angulares 
mencionadas. 
Serão estudados mecanismos como engrenagens, barra de conexão e 
articulações; bem como o método de análise das velocidades no 
movimento plano que se baseia no conceito de centro instantâneo de 
rotação.
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
42
“O movimento absoluto O movimento absoluto éé completamente definido pelo conhecimento completamente definido pelo conhecimento 
da rotada rotaçção de uma linha fixa do corpo e do movimento ão de uma linha fixa do corpo e do movimento 
de um ponto desse corpode um ponto desse corpo””..
Uma maneira de definir esses movimentos é utilizar uma coordenada de 
posição retilínea s para situar o ponto em sua trajetória e uma coordenada 
de posição angular θ para especificar a rotação da linha. 
A velocidade e a aceleração de um ponto P em movimento retilíneo 
podem ser relacionadas com a velocidade e a aceleração angulares de 
uma linha pertencente ao corpo pela aplicação direta das equações 
diferenciais:
“relacionar o movimento de um corpo com o de outro a ele 
conectado; e estudar o movimento de um corpo sujeito a uma 
rotação em torno de um eixo fixo.”
MOVIMENTO ABSOLUTO
dt
dsv =
dt
dva =
dt
dθω =
dt
dωα =
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
43
Exemplo 1:
A barra DC gira uniformemente em torno do eixo em D com uma 
velocidade angular ω constante. Determinar a velocidade e a 
aceleração da barra AB que é obrigada pelas guias a se mover 
verticalmente.
MOVIMENTO ABSOLUTO
B
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
44
MOVIMENTO ABSOLUTO
B
)..(cos.cos 2θθθθθθθ &&&&&&& senlaylvylseny yy −==⇒==⇒=
Solução:
Analisando o movimento vertical da barra, para sua coordenada y
podemos escrever:
Como vAB = vy , aAB = ay , = ω e = α = 0;
Temos: 
θ& θ&&
θωωθ cos...cos llvy == θω senlay ..2−=
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
45
Exemplo 2:
O bloco B desliza para a direita com a velocidade de 300 mm/s. 
Calcule as velocidades do corpo deslizante A e dos pontos C e D dos 
cabos.
MOVIMENTO ABSOLUTO
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
46
MOVIMENTO ABSOLUTO
Solução:
Considerando os deslocamentos constantes representado podemos escrever:
Como vB = 300 mm/s → vA = 200 mm/s
Para encontrar a velocidade do ponto C:
Como vA = 200 mm/s → vC = 600 mm/s
Para o ponto D:
Então → vD = - 200 mm/s
3
22323 BABABA
vv
dt
dx
dt
dxctexx =⇒=⇒=−
AC
CA
CA vvdt
dx
dt
dxctexx 333 =⇒=⇒=−
AD
DA
DA vvdt
dx
dt
dxctexx −=⇒−=⇒=+Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
47
Atividades
1. Uma roda de raio r rola sobre uma superfície plana sem deslizar. 
Determinar (a) o movimento angular da roda, em função do movimento 
linear do seu centro O e (b) a aceleração de um ponto na extremidade da 
roda, quando o ponto entra em contato com a superfície sobre a qual a roda 
rola. R: (a) s = r.θ; v0 = r.ω ; a0 = r.α; (b) ay = r.ω2
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
MOVIMENTO ABSOLUTO
48
2. Considerando que a mola mantém o contato entre o rolete e a superfície 
de acionamento da haste mostrada na figura, determine a aceleração da 
haste B para θ = 60º. A manivela AO tem uma velocidade angular de 
2 rad/s e uma aceleração angular de 6 rad/s2 nessa posição. 
R: -37,1 mm/s2
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
49
3. Ao ponto A é fornecida uma aceleração constante a para a direita, 
partindo do repouso com x praticamente nulo. Determine a velocidade 
angular ω da barra de ligação AB em função de x e de a.
R: 
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
224
2
xb
ax
−=ω
50
4. O braço ranhurado AO mostrado na figura gira com uma velocidade 
angular constante durante um intervalo limitado de seu movimento, e 
move o bloco deslizante pivotado ao longo da ranhura horizontal. Escreva 
as expressões para a velocidade vB e para a aceleração aB do bloco 
deslizante em função de θ.
R: vB = bω sec2 θ, aB = 2bω2 sec2 θ tg θ
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
51
5. A extremidade R da barra mostrada na figura mantém-se em contato 
com a came por meio de uma mola. Se a came gira em torno de um eixo 
pelo ponto O, com uma aceleração angular α e velocidade angular ω, 
determine a velocidade e a aceleração da barra quando a came tem uma 
posição arbitrária θ. 
R: vR = -2rωsen θ; aR = -2r(αsen θ + ω2cos2 θ)
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
52
6. Usa-se o mecanismo para converter o movimento de rotação com 
velocidade angular constante ω = 4 rad/s da barra AB, de comprimento
l = 50 cm, em movimento de translação da barra CD. Determine a 
velocidade e a aceleração de CD para um ângulo θ = 45º.
R: vx = - 4,41 m/s; ax = - 5,66 m/s2
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
53
7. A carga L é içada pela combinação polia-cabo. Se o sistema parte do 
repouso e o cabo superior adquire uma velocidade igual a v = 4 m/s com 
aceleração constante quando a carga está a 6 m acima da sua posição de 
partida, calcular a aceleração da carga e determinar a sua velocidade neste 
instante.
R: a = 0,0208 m/s2
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
54
Para visualizar as componentes (translação e rotação) separadamente 
utiliza-se uma análise de movimento relativo envolvendo dois conjuntos 
de eixos coordenados:
. o sistema x, y, z fixo; mede a posição absoluta entre dois pontos, A e B
por exemplo.
. outro sistema x', y', z'; com origem fixada no ponto de referência A (que 
tem um movimento conhecido). Estes eixos não giram com o corpo, eles 
poderão apenas transladar em relação ao sistema fixo.
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
55
- Posição
rA: vetor posição que caracteriza a localização do ponto de referência A.
rB/A: posição relativa que localiza B em relação à A.
A posição de B é escrita:
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade 
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
56
- Deslocamento
Num pequeno intervalo de tempo dt, os pontos A e B se deslocam de drA e 
drB. Considerando o movimento plano geral por partes, pode-se 
inicialmente transladar o corpo como um todo de uma quantidade drA de 
modo que o ponto da base se move para posição final, e B se move para 
B'. O corpo então gira de um ângulo dθ em torno de A, de modo que B'
sofre um deslocamento relativo drB/A, movendo para sua posição final B.
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade 
O deslocamento se escreve:
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
57
- Velocidade
Tomando as velocidades como derivadas dos deslocamentos, tem-se:
vB: velocidade absoluta do ponto B (medida em relação aos eixos 
fixos x, y, z).
vA: velocidade absoluta do ponto A (medida em relação aos eixos 
fixos x, y, z).
vB/A: Velocidade relativa do ponto B em relação ao ponto A.
Devido a rotação em torno de A, escreve-se:
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
58
A rotação em torno de A é um movimento relativo circular, em que o 
módulo da velocidade é v = ωrB/A e sua direção é perpendicular a rB/A.
Uma vez que a velocidade relativa (vB/A) representa o efeito de um 
movimento circular em relação a A, esse termo pode ser expresso pelo 
produto vetorial:
Então:
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
59
Exemplo 1
Uma roda de raio r rola para a esquerda sem deslizar e, no instante 
considerado, o centro O tem uma velocidade v0 para a esquerda. 
Determinar a velocidade dos pontos A e C sobre a roda no instante 
mostrado.
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
60
Resolução:
A velocidade de A pode ser determinada usando-se O como ponto de 
referência da equação:
onde
Como a roda não desliza, o ponto C apresenta velocidade nula no instante 
do contato com o solo e é, consequentemente, o centro instantâneo de 
velocidade nula.
00
0/0
0/0
.rvv
rvv
vvv
A
AA
AA
ω
ω
+=
×+=
+=
rrrr
rrr ω00/ rv A =
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
61
Exemplo 2
A conectora OB do mecanismo oscila em torno de O formando um 
arco limitado, o que faz com que a conectora AC passe a oscilar em 
torno de C. Quando o mecanismo passa pela posição mostrada com OB
normal ao eixo x e CA normal ao eixo y, a velocidade angular de OB é
2 rad/s no sentido horário e constante. Para este instante, calcular as 
velocidades angulares de CA e AB.
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
62
Resolução:
Os movimentos das três barras podem ser descritos, igualando-se o 
movimento de A, em sua trajetória circular absoluta em torno de C, ao 
movimento de A determinado a partir do seu movimento relativo a B. A 
equação correspondente é:
Que pode ser escrita como:
onde 
BABA vvv /
rrr +=
BAABBOBACA rrr /
rrrrrr ×+×=× ωωω
mmjirmmjrmmirksradkk BABAABABOBCACA ˆ100ˆ175;ˆ100;ˆ75;ˆ;/ˆ2;ˆ / +−====== rrrrrr ωωωωω
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
63
A substituição fornece:
Igualando-se os respectivos coeficientes dos termos i e j e temos:
0 = – 200 – 100 ωAB e 75 ωCA = – 175 ωAB
Cujas soluções:
ωAB = – 2 rad/s e ωCA = 4,67 rad/s
Como o vetor unitComo o vetor unitáário aponta para dentro do papel na direrio aponta para dentro do papel na direçção de z positivo, ão de z positivo, 
vêvê--se que a velocidade angular de AB se que a velocidade angular de AB éé no sentido antino sentido anti--horhoráário e que a de CA rio e que a de CA 
éé no sentido horno sentido horááriorio.
ijij
jikjkik
ABABCA
ABCA
ˆ100ˆ175ˆ200ˆ75
)ˆ100ˆ175(ˆ)ˆ100ˆ2()ˆ75(
ωωω
ωω
−−−=
+−×+×=×
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
64
Atividades
1. O cilindro rola sem deslizar sobre a superfície de uma correia 
transportadora que se move a 2 m/s. Determine a velocidade do ponto A. 
O cilindro tem uma velocidade angular no sentido horário ω = 15 rad/s 
no instante mostrado.
R: v = 12,5 m/s
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
65
2. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira 
inferior estacionária; a velocidade do seu centro A é 1,2 m/s para a direita 
e sua velocidade angular é igual a 8 rad/s no sentido horário. Determine 
os módulos das velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da 
engrenagem.
R: vR = 2 m/s; vD = 1,7m/s
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
66
3. O carrinho mostrado na figura tem uma velocidade de 1,2 m/s para a 
direita. Determine a velocidade angular ω da roda de modo que o ponto A
no topo de sua borda tenha uma velocidade (a) igual a 1,2 m/s para a 
esquerda, (b) igual a zero e (c) igual a 2,4 m/s para a direita.
R: (a) 91,7 rpm, (b) 45,8 rpm, (c) 45,8 rpm
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
67
4. O cubo da roda rola sem escorregar na superfície horizontal. Se a 
velocidade de seu centro é vC = 2 m/s para a direita, determine o módulos 
das velocidades dos pontos A e B, mostrados na figura.
R: vA = 2,84 m/s; vB = 7,37 m/s
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
68
5. O elemento de controle de um mecanismo de aplicação específica é
submetido a um movimento no plano da figura. Se, em um determinado 
instante, a velocidade do pino B em relação ao pino A tem um módulo de 
0,926 m/s, qual é o módulo correspondente da velocidade do pino C
relativamente ao pino D?
R: vC/D = 0,579 m/s
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
69
- Definição 
A expressão da velocidade relativa permite calcular a 
velocidade de um ponto quando conhecemos a velocidade de um ponto 
base. Esta determinação se simplifica quando a velocidade do ponto base 
é nula. O ponto base se torna o Centro Instantâneo de velocidade nula 
(CI) – Centro Instantâneo de Rotação (C.I.R.). 
Então:
¾ O eixo de velocidade nula é perpendicular ao plano do movimento. 
¾ Os pontos se movem em trajetória circular em torno do CI. 
CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
70
A figura mostra uma roda girando com velocidade angular ω. Como os 
pontos em contato têm a mesma velocidade, no contato com o piso v = 0, 
este ponto é o CI e todos os outros pontos têm naquele instante uma 
trajetória circular em relação ao CI.
CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
Em geral, um novo centro instantâneo CI existirá para cada nova posição 
do corpo durante o seu movimento. O lugar geométrico desses centros no 
espaço é conhecido como centrodo espacial, e o lugar geométrico sobre o 
corpo (ou prolongamento do corpo) é conhecido como centrodo de corpo.
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
71
- Localização
Em função das grandezas conhecidas, podemos distinguir três casos:
1. A velocidade instantânea vA e a velocidade angular ω são 
conhecidas. 
Então rA/CI = vA / ω.
CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
72
- Localização
2. As direções das velocidades de dois pontos A e B são conhecidas. 
Neste caso o CI localiza-se no ponto de encontro das perpendiculares 
às direções das velocidades nos pontos A e B.
CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
73
- Localização 
3. Os módulos e direção de duas velocidades paralelas são conhecidas. 
CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
Tem-se: rA/CI + rB/CI = d ou rB/CI – rA/CI = d
Obs.: O CI só vale para um determinado instante. Não significa que a 
aceleração é nula.
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
74
Exemplo
Para o mecanismo da conectora-manivela, a manivela OB tem uma 
velocidade angular constante, no sentido horário, de 1200 rpm. Para 
o instante no qual o ângulo da manivela é θ = 30º, determinar as 
velocidades do pistão A e do centro de massa G da barra conectora.
CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
75
Resolução:
O centro instantâneo de velocidade nula C de AB está localizado na 
interseção das normais às direções conhecidas das velocidades de dois 
pontos A e B sobre a barra. As distâncias radiais A, G e B estão em escala. 
A velocidade de B em seu movimento circular em torno de O pode ser 
calculado:
smvrv BOBOBB /1,2560
2)1200(2,0 ==⇒×= πωrrr
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
76
A velocidade angular de AB é a mesma que a velocidade angular do 
triângulo CBA considerado como prolongamento do corpo rígido AB e 
pode ser determinada:
no sentido anti-horário.
As velocidades lineares de A e G são, então:
srad
r
v
CB
CB
B
CBCBAB /4,44566,0
1,25 ==⇒=⇒= ωωωω
smvrv AABACA /0,17)4,44).(383,0( ==⇒×= ωrrr
smvrv GABGCG /5,17)4,44).(395,0( ==⇒×= ωrrr
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
77
Atividades
1. O disco rola sem deslizamento sobre duas chapas A e B, as quais 
movem-se paralelamente uma a outra, mas em direções opostas. Se 
vA = 2 m/s e vB = 4 m/s, posicionar o centro instantâneo de velocidade nula 
para o disco, e determinar a velocidade do ponto D no instante 
representado.
R: vD = 3,16 m/s
CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
78
2. O módulo da velocidade absoluta do ponto A sobre o pneu de um 
automóvel é de 12 m/s quando ocupa a posição mostrada. Quais são as 
correspondentes velocidades v0 do veículo e a velocidade angular ω da 
roda? (A roda rola sem deslizar)
R: 8,49 m/s, 28,3 rad/s
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
79
3. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira 
inferior estacionária; a velocidade do seu centro A é 1,2 m/s para a direita. 
Determine as velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da 
engrenagem usando o método do centro instantâneo de rotação.
R: vR = 2 m/s; vD = 1,7 m/s
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
80
4. A extremidade A da barra possui uma velocidade vA = 2 m/s para baixo 
durante um certo intervalo de seu movimento. Para a posição em que 
θ = 30º, determine, pelo método do centro instantâneo de rotação, a 
velocidade angular ω da barra AB e a velocidade vG do centróide G da 
barra.
R: ω = 11,55 rad/s vG = 1,155 m/s, 
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
81
5. O eixo do conjunto da roda mostrada na figura rola sem deslizar sobre a 
superfície horizontal fixa, e o ponto O possui uma velocidade de 0,8 m/s 
para a direita. Utilizando o procedimento do CI, determine as velocidades 
dos pontos A, B, C e D.
R: vA = 4,8 m/s, vB = 3,2 m/s, vC = 4,08 m/s, vD = 3,92 m/s 
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
82
6. A lâmina de uma ceifadeira mecânica gira no sentido anti-horário a uma 
velocidade angular de 1800 rpm. Se o centrodo de corpo é um círculo com 
0,75 mm de raio, calcule a velocidade vO da ceifadeira.
R: 0,1414 m/s 
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
83
Uma equação que relaciona a aceleração de dois pontos de um corpo 
rígido sujeito a um movimento plano geral pode ser determinada pela 
derivação da equação de velocidade em relação ao tempo:
MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração 
e são acelerações absolutas medidas no sistema de 
coordenadas fixo. 
é medido por um observador fixo ao sistema móvel em translação. O 
movimento relativo tem uma trajetória circular com raio rB/A. 
Então:
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
84
Voltando à expressão da aceleração relativa:
MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração 
Pode-se escrever:
Em que os módulos são:
: com direção perpendicular a rB/A
: com direção igual a BA e o sentido de B para A.
Estas componentes representam um movimento circular observado num 
referencial em translação.
Podemos escrever, utilizando a noção de produto vetorial:
Resultando:
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
85
Pode-se concluir que quando dois corpos são articulados:
- pontos coincidentes na rpontos coincidentes na róótula têm a mesma aceleratula têm a mesma aceleraççãoão. Descrevem 
a mesma trajetória;
- se fazem contatos mas se movem em trajetórias diferentes terão a 
mesma aceleração tangencial (at); porém as acelerações totais não 
serão iguais pois an é diferente para cada trajetória.
MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração 
Cinemáticados Corpos Rígidos - Dinâmica
86
Exemplo
No exemplo do cálculo da velocidade relativa, vimos a determinação 
das velocidades dos pontos A e C sobre a roda de raio r que rola 
para a esquerda sem deslizar no instante considerado. Vamos agora 
determinar as acelerações destes mesmos pontos da roda no instante 
considerado, lembrando que o centro O tem uma velocidade v0 para 
a esquerda. 
MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração 
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
87
Resolução:
A aceleração de A é dada por: aA = aO + aA/O,
onde o termo da aceleração relativa tem as componentes:(aA/O)n = r0ω2, 
dirigida de A para O, e a componente (aA/O)t = r0α dirigida ao longo de t. 
A adição dos vetores dá aA.
A aceleração do centro instantâneo de velocidade nula C, considerado 
um ponto sobre a roda, é obtida pela expressão: aC = aO + aC/O,
em que as componentes da aceleração relativa são: 
(aC/O)n = rω2, dirigida de C para O, e 
(aC/O)t = rα, dirigida para a direita, 
para levar-se em conta a aceleração angular no sentido anti-horário de 
linha CO em torno de O. 
Os termos são adicionados conjuntamente, e tem-se que: aC = rω2.
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
88
Então:
aA = aO + aA/O 
aA = aO + (aA/O)t + (aA/O)n
aA = aO + r0α + r0ω2
aC = aO + aC/O
aC = rω2
MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração 
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
Assim sendo, a aceleração de C é independente de α e é dirigida para o centro 
do círculo. Essa conclusão é um resultado útil para se guardar.
89
Atividades
1. O centro da dupla engrenagem já vista em problemas anteriores tem 
uma velocidade de 1,2 m/s para a direita e uma aceleração de 3 m/s2 na 
mesma direção e sentido. Determine: (a) a aceleração angular da 
engrenagem; (b) as acelerações dos pontos B, C e D da engrenagem.
R: (a) α = -20 rad/s2; (b) aB = 8,1 m/s2
ac = 9,6 m/s2
aD = 13 m/s2
MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração 
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
90
2. O volante mostrado na figura possui um diâmetro de 600 mm e gira 
aumentando sua velocidade de rotação em torno de seu eixo, que coincide 
com a orientação z. Quando o ponto P sobre sua borda cruza o eixo y com 
θ = 90º, ele possui uma aceleração dada por . Para esse instante, determine 
a velocidade angular ω e a aceleração angular α do volante.
R: 6 rad/s2; 4 rad/s2
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
91
3. As duas pás de rotor com 800 mm de raio giram no sentido anti-horário 
com uma velocidade angular constante 2 rad/s em torno do eixo O
montado em um bloco deslizante. A aceleração do bloco é aO = 3 m/s2. 
Determine o módulo da aceleração da ponta A da pá quando (a) θ = 0º, (b) 
θ = 90º e (c) θ = 180º. A velocidade de O ou o sentido de ω influenciam o 
cálculo?
R: (a) 0,2 m/s2, (b) 4,39 m/s2, (c) 6,2 m/s2
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
92
4. O centro O da roda é montado em um bloco deslizante que possui uma 
aceleração aO = 8 m/s2 para a direita. Determine os módulos das 
acelerações dos pontos A e B para o instante em que θ = 45º, ω = 3 rad/s, 
α = - 8 rad/s2.
R: aA = 12,8 m/s2, aB = 3,21 m/s2
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
93
5. Para o instante representado na figura, o vértice C da chapa retangular 
possui uma aceleração de 5 m/s2 no sentido negativo do eixo y, e a placa 
possui uma velocidade angular de 4 rad/s no sentido horário que diminui 
de 12 rad/s a cada segundo. Determine a aceleração do vértice A nesse 
instante. 
R: aA = 11,18 m/s2
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
94
6. O centro O do disco possui velocidade angular ω = 7,5 rad/s e 
aceleração angular α = 12,5 rad/s2 no instante considerado. Se o disco rola 
sem deslizar sobre a superfície horizontal determine o módulo da 
aceleração de B para esse instante. 
R: aB = 16,44 m/s2
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
95
7. A bola mostrada na figura possui 0,5 m de raio e rola sem escorregar. 
Determine as acelerações vetoriais dos pontos B e A. 
R: aA = (–20 i + 2 j) m/s2; aB = (–4 i – 18 j) m/s2
Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica
96
Cinética Planar de Corpos Rígidos: Força e Aceleração
1. Introdução
2. Momento de inércia de uma massa 
3. Equações Cinéticas Planares do Movimento 
4. Equação do movimento de translação 
5. Equações do movimento de rotação em torno de um eixo fixo
6. Equações do movimento: movimento plano geral
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
97
A cinética de corpos rígidos trata das relações entre as solicitações (forças 
e momentos) que atuam num corpo e o correspondente movimento 
(translação e rotação) desse corpo. As relações cinemáticas para o 
movimento plano de corpos rígidos foram anteriormente desenvolvidas, 
sendo agora necessárias neste estudo do movimento planar de corpos 
rígidos. 
Este estudo é aplicado a movimentos planares de corpos rígidos que, tal 
como as solicitações aplicadas, são considerados simétricos relativamente 
a um plano de referência fixo. Este plano de referência contém o centro de 
massa e todas as forças e momentos que atuam no corpo podem ser 
projetados para esse plano de referência. 
1. Introdução
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
98
Um corpo que tenha dimensões apreciáveis na direção normal ao plano de 
referência pode ser tratado como possuindo movimento plano. Estas 
idealizações incluem claramente um vasto número de movimentos de 
corpo rígido. 
Uma forma básica de abordar a Cinética é pelo isolamento do corpo ou 
sistema a ser analisado. Para problemas que envolvem as relações 
instantâneas entre força, massa e aceleração ou quantidade de movimento, 
o corpo ou sistema deve ser explicitamente definido isolando-se o mesmo 
com o seu diagrama de corpo livre. 
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
Introdução
99
Quando forem empregados os princípios do trabalho e energia, um 
diagrama de forças que mostra somente aquelas forças externas que 
realizam trabalho sobre o sistema pode ser usado no lugar do diagrama de 
corpo livre. Nenhuma solução de um problema deve ser tentada sem 
primeiro definir o contorno externo completo do corpo ou sistema, e 
identificar todas as forças externas que atuam sobre ele.
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
Introdução
100
Uma vez que um corpo rígido tem uma forma e tamanho definidos, um 
sistema de forças aplicadas ao corpo poderá não ser concorrente, 
provocando momentos que irão resultar numa aceleração angular do 
corpo. O movimento de rotação é descrito por uma equação do tipo 
onde o termo IG é a quantidade designada por momento de inércia. 
2. Momento de Inércia
∑ = αrr .GG IM
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
101
Por comparaPor comparaçção, podeão, pode--se afirmar que o momento de inse afirmar que o momento de inéércia rcia éé uma medida uma medida 
da resistência do corpo da resistência do corpo àà aceleraaceleraçção angular, da mesma forma que a ão angular, da mesma forma que a 
massa massa éé uma medida da resistência do corpo uma medida da resistência do corpo àà aceleraaceleraçção, ão, 
“Propriedade de um objeto em resistir às mudanças no seu movimento 
angular”.
É afetado pela massa do objeto e como esta está distribuída em relação ao 
eixo de rotação.
Cada partícula fornece alguma resistência à mudança no movimento 
angular. Essa resistência é igual á massa da partícula vezes o quadrado da 
distância da partícula ao eixo de rotação: 
I = m.r2
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
Momento de Inércia
102
Como calcular o momento de inComo calcular o momento de inéércia? rcia? 
Para o corpo representado na Figura 1 abaixo, o momento de inércia 
relativamente ao eixo z é definido como
A distância r é medida na perpendicular a partir do eixo z até ao elemento 
de massa dm.Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
∫=
m
dmrI .2
Momento de Inércia
103
No estudo da cinética planar, o eixo em torno do qual normalmente se 
calcula o momento de inércia passa no centro de massa G do corpo, sendo 
designado por IG . A unidade mais comum desta grandeza é kg.m2. 
Se o corpo for constituído por um material de massa volúmica variável, 
ρ=ρ(x,y,z), o elemento de massa elementar dm do corpo pode ser expresso 
em termos do seu volume e massa volúmica
dm = ρ dV
Substituindo dm, o momento de inércia do corpo pode ser calculado por 
integração usando elementos de volume,
No caso de ρ = Cte , este termo pode ser colocado fora do integral, sendo 
a integração função apenas da geometria do corpo,
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
∫=
V
dVrI ..2 ρ
∫=
V
dVrI .2ρ
Momento de Inércia
104
Quando o elemento de volume escolhido para integração tem dimensões 
infinitesimais nas três direções, dV = dx.dy.dz, o momento de inércia tem 
de ser determinado por integração tripla (Figura A). 
Este processo de integração pode ser simplificado se o elemento de 
volume utilizado tiver dimensão ou espessura diferencial apenas numa 
direção. Elementos de volume do tipo casca (Figura B), ou do tipo disco 
(Figura C) são usados com frequência para este fim.
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
A B C
Momento de Inércia
105
- Exemplo do cálculo do Momento de Inércia
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
106
- Exemplo do cálculo do Momento de Inércia
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
107
Desde que o momento de inércia do corpo calculado relativamente a um 
eixo que passa no seu centro de massa seja conhecido, então o momento 
de inércia relativamente a qualquer outro eixo paralelo pode ser 
determinado, usando o teorema dos eixos paralelos (ou de Steiner). Este 
teorema pode ser deduzido considerando o corpo representado na figura:
- Teorema dos eixos paralelos 
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
108
O eixo z’ passa através do centro de massa, enquanto o eixo paralelo z se 
encontra afastado a uma distância d. Escolhendo o elemento de massa dm, 
localizado no ponto (x’, y’), e usando o teorema de Pitágoras,
r2 = (d + x’)2 + y’2
Podemos expressar o momento de inércia do corpo relativamente ao eixo 
z como 
- Teorema dos eixos paralelos
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
( )[ ] ( )∫ ∫ ∫∫∫ +++=++==
m m mmm
dmddmxddmyxdmyxddmrI 222222 '2''''
109
- Teorema dos eixos paralelos
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
Sendo:
IG - momento de inércia relativamente ao eixo z´ que passa no centro de 
gravidade G. 
m - massa do corpo 
d - distância medida na perpendicular entre os dois eixos paralelos.
( )[ ] ( )∫ ∫ ∫∫∫ +++=++==
m m mmm
dmddmxddmyxdmyxddmrI 222222 '2''''
Como r’2 = x’2 + y’2, o primeiro integral representa IG . O segundo 
integral é nulo, uma vez que o eixo z' passa no centro de massa do corpo, 
isto é, , uma vez que x' = 0.
Finalmente, o terceiro integral representa a massa total m do corpo. 
Assim, o momento de inércia relativamente ao eixo z pode ser escrito 
como:
∫ ∫ ==
m m
dmxdmx 0''
2mdII G +=
110
O momento de inércia relativamente a um determinado eixo é
frequentemente referido em termos do raio de giração, k. Esta grandeza 
tem unidades de comprimento, e quando é conhecida juntamente com a 
massa, o momento de inércia do corpo é determinado a partir da equação 
ou 
Assim, k é uma medida da distribuição da massa de um corpo em torno do 
eixo em questão e a sua definição é análoga à definição de raio de giração 
para o momento de inércia de área. Se toda a massa m pudesse ser 
concentrada a uma distância k do eixo, o momento de inércia 
permaneceria inalterado. 
- Raio de giração
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
2mdI = m
Ik =
111
É a distância teórica do eixo de rotação onde toda a massa do objeto 
deveria estar concentrada para criar a mesma resistência à mudança no 
movimento angular que o objeto oferece no seu formato original.
- Definições Raio de giração
“A distribuição da massa de um objeto é mais significativa para o 
momento de inércia do que a própria massa”. 
Para uma mesma massa, quanto mais afastada do eixo de rotaPara uma mesma massa, quanto mais afastada do eixo de rotaçção ela ão ela 
estiver distribuestiver distribuíída (ou concentrada), maior o momento de inda (ou concentrada), maior o momento de inéércia.rcia.
Dependendo do eixo em torno do qual um objeto gira, seu momento de 
inércia varia, apesar da massa ser a mesma.
O momento de inércia sempre é relativo a um eixo de rotação.
I = mh2
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
112
O momento de inércia de massa de um corpo composto é a soma dos 
momentos de inércia individuais relativos ao mesmo eixo. Pode-se utilizar 
o teorema dos eixos paralelos para relacionar o momento de inércia de 
cada uma das partes no seu centro de massa, IG , com o do momento de 
inércia no centro de massa do corpo. 
É muitas vezes conveniente tratar um corpo composto como sendo 
definido por volumes positivos e volumes negativos. O momento de
inércia de um elemento negativo, como o material que é removido para 
formar um furo, deve ser considerado como uma quantidade negativa. 
- Corpos Compostos 
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
113
A tabela apresenta algumas das fórmulas mais úteis para os momentos de 
inércia de corpos com as formas mais comuns. 
- Corpos Compostos
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
114
- Corpos Compostos
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
115
- Corpos Compostos 
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
116
“Princípio da conservação do momento angular”
O momento angular de um objeto permanece constante
a menos que um torque externo resultante seja exercido sobre ele.
A 1ª lei de Newton não requer que a velocidade angular seja constante, 
mas sim que o produto do momento de inércia pela velocidade angular 
seja constante, se não houver torques externos atuando.
- INTERPRETAÇÃO ANGULAR DA 11ªª LEI DE NEWTONLEI DE NEWTON
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
↑ momento de inércia
↓ velocidade angular
momento angular 
constante
117
“Mudança no momento angular”
Se um torque externo for exercido sobre um objeto, este irá sofrer uma 
aceleração angular no sentido deste torque e essa aceleração angular será
diretamente proporcional ao torque e inversamente proporcional ao 
momento de inércia do objeto.
- INTERPRETAÇÃO ANGULAR DA 22ªª LEI DE NEWTONLEI DE NEWTON
α = T / I ou T = Iα
- aumento ou diminuição da velocidade angular
- mudança na direção do eixo de rotação
- mudança no momento e inércia
Obs.: A aceleração angular do objeto ou uma mudança no seu momento 
de inércia não necessariamente indica a presença de um torque externo 
resultante.
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
118
Para cada torque exercido por um objeto sobre o outro, o segundo exerce 
sobre o primeiro um torque de igual magnitude mas no sentido oposto.
Os efeitos dos torques dependem dos momentos de inércia dos objetos.
- INTERPRETAÇÃO ANGULAR DA 33ªª LEI DE NEWTONLEI DE NEWTON
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
119
Devemos ter sempre em mente que este estudo é limitado a movimentos 
planares de corpos rígidos que são considerados simétricos relativamente 
a um plano de referência fixo. 
Neste caso a trajetória de cada partícula é uma curva plana paralela ao 
plano de referência. 
Uma vez que o movimento do corpo pode ser visto sob o plano de 
referência, todas as forças e momentos que atuam no corpo podem ser 
projetados para o plano de referência. 
3. Equações Cinéticas Planares do Movimento 
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
120
Um exemplo do movimento dumcorpo pode ser visto na figura abaixo, em 
que o sistema inercial de referência x, y, z, tem a sua origem coincidente 
com o ponto arbitrário P do corpo. Por definição de sistema inercial, estes 
eixos não rodam e, ou estão fixos, ou transladam com velocidade 
constante.
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
Equações Cinéticas Planares do Movimento 
121
As forças representadas na figura anterior são forças externas, que 
representam o efeito de forças gravitacionais, elétricas, magnéticas ou de 
contacto com corpos adjacentes. Uma vez que este sistema de forças foi já
estudado na análise de um sistema de partículas, a equação que daí
resultou pode ser aqui usada:
4. Equação do movimento de translatranslaççãoão
Soma de todas as forças 
externas que atuam no corpo
aceleração do seu 
centro de massa
= massa do corpo x 
G
amF∑ = rr .
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
122
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
Para o movimento do corpo no plano x-y, a equação do movimento 
pode ser escrita sob a forma de duas equações escalares independentes, 
uma vez que não existe nenhum movimento angular de translação do 
corpo; e assim, a aceleração angular é igual a zero. 
Então as equações do movimento que se aplicam neste caso são: 
( )∑ = xGx amF
( )∑ = yGy amF
0∑ =GM
G
amF∑ = rr .
0. ==∑ αrr GG IM
Equação do movimento de translatranslaççãoão
123
- Observação
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
Para a translação retilínea, se a direção de x é escolhida como sendo a da 
aceleração, então as duas equações escalares para as forças são:
Para a translação curvilínea, utilizando-se o sistema de coordenadas n-t, as 
duas equações escalares para as forças ficam:
Em ambos os casos: 0∑ =GM
( )∑ = nGn amF
( )∑ = tGt amF
( )∑ = xGx amF ( )∑ == 0yGy amF
124
Pode-se empregar uma equação alternativa de momentos com o auxílio 
do diagrama cinético. 
Então, para a translação retilínea tem-se
e para translação curvilínea o diagrama cinético permite escrever 
no sentido horário 
e 
no sentido anti-horário.
“Assim, tem-se total liberdade de escolher o ponto em relação ao qual 
os momentos devem ser calculados, adotando-se, portanto, aquele que 
for mais adequado”. 
madM P∑ = 0∑ =AM
AnA dmaM∑ =
BtB dmaM∑ =
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
125
Exemplo 1
Uma caminhonete de 1500 Kg atinge uma velocidade de 50 Km/h, a partir do 
repouso, em uma distância de 60 m subindo uma ladeira com 10 % de 
inclinação, com aceleração constante. Calcule a força normal exercida pela 
pista sobre cada par de rodas e a força de atrito atuante nas rodas motoras na 
traseira. Sabe-se que o coeficiente de atrito efetivo entre os pneus e a pista é
de no mínimo 0,8, e que a aceleração gravitacional é 9,81 m/s2.
- Movimento de translação 
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
126
Resolução:
Admite-se que as massas das rodas sejam desprezíveis se comparadas com a 
massa total da caminhonete, e que esta possa ser considerada um único 
corpo rígido em translação retilínea com uma aceleração de 
O diagrama de corpo livre da caminhonete completa mostra as forças 
normais N1 e N2, a força de atrito F no sentido contrário ao deslizamento das 
rodas motoras e o peso W representado por suas duas componentes. 
Com θ = tg-1 1/10 = 5,71º, essas componentes são:
W.cos θ = 1500.9,81.cos 5,71º = 14,64.103 N 
W.sen θ = 1500.9,81.sen 5,71º = 1464 N
( ) 222
0
2 /608,1
60.2
6,3/502 smaSavv ==→Δ+=
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
127
O diagrama cinético mostra a resultante, que passa pelo centro de massa e 
possui a orientação da aceleração do veículo. Seu módulo é:
FR = m.a = 1500.1,608 = 2410 N
Aplicando as três equações de movimento para as três incógnitas, tem-se
→ F – 1464 = 2410 → F = 3880 N 
→ N1 + N2 – 14,64.103 = 0 
→ 1,5N1 + 3880.0,6 – 1,5N2 = 0
Resolvendo as duas últimas equações simultaneamente, obtém-se
N1 = 6550 N N2 = 8100 N
Comentário: Para suportar uma força de atrito de 3880 N é necessário um 
coeficiente de atrito de no mínimo F/N2 = 3880/8100 = 0,48. Uma vez que o 
coeficiente de atrito é de pelo menos 0,8, as superfícies são suficientemente 
rugosas para suportar o valor calculado de F.
∑ = xx maF
∑ == 0yy maF
0. ==∑ αIM G
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
128
Exemplo 2
Para que aceleração a da estrutura a barra delgada uniforme mantém a 
orientação mostrada na figura? Despreze o atrito e a massa dos pequenos 
roletes em A e B.
- Movimento de translação 
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
129
Resolução:
Considerando as forças que agem na barra AB representadas na figura 
abaixo, pode-se escrever para as equações de movimento:
→ NA = ma
→ NB = mg
→ NA(lsen 30º) - mg(l/2cos 30º) = ma(l/2sen 30º) 
Resolvendo a última expressão com as devidas substituições e 
simplificações, temos: a = g√3
∑ = xx maF
∑ == 0yy maF
madM B∑ =
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
130
Atividades
1. Observa-se que, quando engrenadas ainda em repouso, as rodas 
traseiras de um cortador de grama giram instantaneamente ao se acelerar o 
cortador. Se os coeficientes de atrito entre os pneus traseiros e o gramado 
são μe = 0,70 e μd = 0,50, determinar a aceleração a do cortador para a 
frente. A massa do cortador com o saco preso a ele é de 50 Kg com o 
centro de massa em G. Admita que o operador não empurre a 
empunhadeira, de modo que P = 0.
R: a = 4,14 m/s2
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
131
2. Um caixote homogêneo de massa m é montado sobre pequenas rodas, 
conforme mostrado na figura. Determinar a força máxima P que pode ser 
aplicada sem tombar o caixote em relação (a) a seu bordo frontal mais 
baixo com h = b e (b) a seu bordo anterior mais baixo, com h = 0.
R: (a) P = mg(c/b); (b) P = mg(c/b)
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
132
3. O carro mostrado na figura tem 2 t e centro de massa G. Determine a 
aceleração do carro se as rodas traseiras, de “tração”, estão deslizando, e 
as dianteiras estão livres. Despreze as massas das rodas. O coeficiente de 
atrito cinético entre as rodas e o pavimento é μc = 0,25.
R: aG = 1,59 m/s2
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
133
4. A barra uniforme OB, de 30 Kg, é fixada a uma estrutura acelerada na 
posição de 30º com a horizontal, através da rótula O e do rolete A. Se a 
aceleração horizontal da estrutura é a = 20 m/s2, calcule a força FA sobre o 
rolete e as componentes x e y da força suportada pelo pino em O.
R: FA = 1,11 kN; OX = 45 N; OY = 667 N
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
134
5. Um carro esporte tem massa de 1,5 t e centro de massa em G. 
Determine o tempo mínimo que ele leva para atingir uma velocidade de 
80 Km/h, partindo do repouso, se a tração é traseira e as rodas dianteiras 
rolam livremente. O coeficiente de atrito estático entre as rodas e o 
pavimento é µe = 0,2. Despreze a massa das rodas.
R: 17,5 s
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
135
6. O veículo de passeio mostrado na figura tem 1650 Kg, e seu centro de 
massa é posicionado no ponto G. As massas das rodas são pequenas, se 
comparadas com a massa total do veículo. Considere o coeficiente de 
atrito estático entre a pista e as rodas motoras traseiras igual a 0,8. Calcule 
as forças normais NA e NB entre a pista e os pares de rodas dianteiras e 
traseiras na condição de aceleração máxima.
R: NA = 6,85 kN; NB = 9,34 kN
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
136
7. Quando a velocidade do veículo de massa m = 1500 Kg mostrado na 
figura era de 9,0 m/s, aplicaram-se os freios bruscamente, fazendo com 
que as quatro rodas parassem de girar. Observou-se que o veículo 
derrapou 6,0 m antes de parar. Determine o módulo da força de atrito em 
cada roda enquanto o veículo derrapava. 
R:FA = 3,58 kN; FB = 6,54 kN
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
137
Considere um corpo rígido que se desloca no plano vertical, em torno de 
um eixo fixo que passa no ponto O, sujeito à ação de forças e momentos. 
Para esse movimento verifica-se que todos os pontos do corpo descrevem 
trajetórias circulares em torno do eixo de rotação, e todas as linhas 
traçadas sobre o corpo, sujeito a um movimento plano, têm a mesma 
velocidade angular ω e a mesma aceleração angular α. 
5. Equações do movimento de rotarotaçção ão em torno de um eixo fixo 
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
138
As componentes da aceleração do centro de massa para o caso do 
movimento circular são mais facilmente expressas em termos das 
coordenadas n-t, e assim tem-se an = rω2 e at = rα, para a rotação do corpo 
rígido em relação ao eixo fixo que passa por O. 
Equações do movimento de rotarotaççãoão em torno de um eixo fixo 
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
139
Os diagramas de corpo livre e o correspondente diagrama cinético deste 
corpo estão representados na figura abaixo, e mostram a forforçça resultantea resultante
ΣF em função de suas componentes n e t, e também o momento resultante momento resultante 
ΣMG.
As equações do movimento que se aplicam neste caso são: 
( )∑ == GnGn rmamF 2ω ( ) GtGt rmamF .α==∑ αGG IM∑ =
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
Equações do movimento de rotarotaççãoão em torno de um eixo fixo 
140
Ao se aplicar a equação de momentos em relação a G deve-se considerar 
o momento da força aplicada ao corpo em O, logo essa força não deve ser 
omitida do diagrama de corpo livre. Para os problemas de rotação em 
relação a um eixo fixo, geralmente é interessante aplicar uma equação de 
momento diretamente em relação ao eixo de rotação O. Então, a equação 
resultante para os momentos pode ser escrita:
Com base no diagrama cinético pode-se obter a equação dos momentos 
das resultantes em relação a O, tomando que:
Como (aG)t = rG.α, substituindo na equação anterior, obtém-se:
αOO IM∑ =
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
αGtGGO IamrM +=∑ )(
α)( 2GGO mrIM +=∑
Equações do movimento de rotarotaççãoão em torno de um eixo fixo 
141
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
Pelo teorema dos eixos paralelos, IO = IG + m rG2, conclui-se que: 
Assim, as equações do movimento para o caso de rotação em torno de um 
eixo fixo que passe no ponto O podem-se também escrever da seguinte 
forma:
ObservaObservaççãoão: Para o caso comum de rota: Para o caso comum de rotaçção de um corpo rão de um corpo ríígido em torno de gido em torno de 
um eixo fixo que passa pelo seu centro de massa um eixo fixo que passa pelo seu centro de massa GG, evidentemente e, , evidentemente e, 
portanto, . O resultado das forportanto, . O resultado das forçças aplicadas as aplicadas éé, então, o momento ., então, o momento .
α.OO IM∑ =
( )∑ == GnGn rmamF 2ω
( ) GtGt rmamF .α==∑
αOO IM∑ =
0
rr =a
0
rr =∑F αIr
Equações do movimento de rotarotaççãoão em torno de um eixo fixo 
142
Exemplo 1
O bloco de concreto de 300 Kg é elevado pelo mecanismo de içamento 
mostrado na figura, onde os cabos são enrolados sem folga em torno dos 
respectivos tambores. Os tambores, que são unidos e giram como um 
conjunto único em torno do seu centro de massa em O, possuem uma massa 
combinada de 150 Kg e um raio de giração de 450 mm em relação a O. Se 
uma força de tração constante P de 1800 N é mantida pela unidade de 
potência em A, determine a aceleração vertical do bloco.
- Movimento de rotação 
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
143
Resolução:
Os diagramas de corpo livre e cinético dos tambores e do bloco de concreto 
são desenhados mostrando todas as forças atuantes, incluindo as componentes 
Ox e Oy da reação normal em O.
Como neste caso a rotação se faz em torno de um eixo fixo (O) que passa 
pelo seu centro de massa, a resultante do sistema de forças sobre os tambores 
é o momento , e sendo I = r2m faz-se: 
I = (0,450)2.150 = 30,4 Kg.m2
αα OII =
r
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
144
O cálculo dos momentos em relação ao centro de massa O da polia no sentido 
da aceleração angular α fornece: 
→ 1800.0,6 – T.0,3 = 30,4.α
A aceleração do bloco é descrita por: 
→ T – 300.9,81 = 300.ay
Pela relação at = rα, tem-se a = 0,3.α. Com essa substituição, as equações 
anteriores combinadas fornecem:
T = 3250 N α = 3,44 rad/s2 ay = 1,031 m/s2
αOO IM∑ =
yy maF∑ =
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
145
Exemplo 2
A barra uniforme de 20 Kg mostrada na figura é pivotada em O, e oscila 
livremente no plano vertical. Se a barra é liberada a partir do repouso na 
posição horizontal, calcule o valor inicial da força exercida pelo mancal 
sobre a barra no instante imediatamente após ela ser liberada.
- Movimento de rotação 
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
146
Resolução:
Considerando as forças que agem sobre a barra, representadas na figura 
abaixo, podemos escrever as equações do momento em relação a O , 
e sendo o momento de inércia da barra IO = 1/3ml2, temos:
mgr = 
20.9,81.0,8 = 1/3.20.(1,6)2α → α = 9,2 rad/s2
Utilizando a relação a = αr e a expressão da força resultante em y, calculamos 
R:
→ 20.9,81 – R = 20.0,8.9,2 → R = 49 N
αOO IM∑ =
α2
3
1 ml
αOO IM∑ =
αmrmaF tt ==∑
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
147
Atividades
1. Cada um dos dois tambores e correspondentes cubos de 250 mm de raio 
possui uma massa de 100 Kg e um raio de giração em relação a seu centro de 
375 mm. Calcule a aceleração angular de cada tambor. O atrito em cada 
mancal é desprezível.
R: αa = 3,20 rad/s2 ; αb = 3,49 rad/s2
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
148
2. Um disco de 80 Kg é suportado pelo pino em A. Se ele é solto a partir 
do repouso na posição mostrada na figura, determine a aceleração angular 
α adquirida pelo disco. O momento de inércia do disco em relação ao 
ponto A vale. 
R: 4,36 rad/s2
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
149
3. A barra uniforme AB, mostrada na figura, possui uma massa de 8 Kg e 
oscila no plano vertical em torno do pivô A. Se ω = 2 rad/s quando 
θ = 30º, calcule a força suportada pelo pino em A nesse instante.
R: FA = 56,3 N
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
150
4. A barra fina de 20 Kg mostrada na figura gira num plano vertical e, 
num dado instante, tem velocidade angular ω = 5 rad/s. Determine a 
aceleração angular da barra e os componentes horizontal e vertical da 
reação no pino nesse instante.
R: α = 5,90 rad/s2; On = 750 N; Ot = 19 N
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
151
5. O disco uniforme de 30 Kg mostrado na figura é suportado por um pino 
em seu centro. Se ele parte do repouso, determine o número de voltas que ele 
deve dar para atingir uma velocidade angular de 20 rad/s. Qual é a reação no 
pino? O disco está sob a ação de uma força constante F = 10 N, que é
aplicada a uma corda enrolada na sua borda, e um momento de binário 
M = 5 N.m. Despreze a massa da corda.
R: θ = 2,73 rev; OX = 0 N; OY = 304 N
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
152
6. A barra uniforme de 8 Kg mostrada na figura articula em relação a um eixo 
horizontal que passa pelo mancal O. Ela é liberada da posição horizontal a 
partir do repouso. Determine a distância b do centro de massa até o mancal O
para a qual se tem uma aceleração angular inicial de 16 rad/s2, e obtenha a 
força R exercida pelo mancal sobre a barra no mancal O no instante 
imediatamente após a barra ser liberada. 
Adote IO = (1/12)mL2 + mb2
R: b = 53,6 mm e R = 71,6 N
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
153
A dinâmica de um corpo rígido em movimento plano geral combina os 
movimentos detranslação e rotação. 
Como nos casos anteriores é necessário apenas estabelecer-se a 
equivalência entre o sistema de forças externas, como no diagrama de 
corpo livre, e as resultantes das forças para resolver-se o problema de 
movimento plano.
Podemos considerar novamente um corpo rígido que se desloca no plano 
vertical, em movimento plano geral, sujeito à ação de forças e momentos.
6. Equações do movimento: movimento plano geralmovimento plano geral
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
154
Equações do movimento: movimento plano geralmovimento plano geral
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
Os diagramas de corpo livre e diagrama cinético deste corpo estão 
representados nas figuras abaixo:
Para o movimento plano geral de um corpo simétrico rígido, podem-se 
escrever 3 equações escalares: 
( )∑ = xGx amF ( )∑ = yGy amF α.GG IM∑ =
155
Equações do movimento: movimento plano geralmovimento plano geral
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
Para aplicação destas equações, deve-se sempre desenhar os diagramas de 
corpo livre e diagrama cinético, para o instante considerado. 
Representar graficamente os termos envolvendo 
∑∑∑ Gyx MFF ,,Diagrama de corpo livre
Representar graficamente os termos 
envolvendo m(aG)x, m(aG)y, IG.αDiagrama cinético
Os dois diagramas são igualados, como na figura anterior, já que as forças e 
momentos no diagrama de corpo livre causam o movimento acelerado
indicado pelos 3 vetores mostrados no diagrama cinético. 
156
- Notas: 
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
- aplica-se somente no ponto G.
- Para outros pontos, devem-se considerar também os momentos “cinéticos”
provocados pelas componentes de m(aG) em relação a esse ponto e por IG.α.
- IG.α tem as mesmas propriedades de um binário e pode atuar em qualquer 
ponto no diagrama cinético. 
- m(aG)x e m(aG)y são tratados da mesma maneira que uma força, isto é, 
podem atuar em qualquer ponto das suas linhas de ação.
α.GG IM∑ =
157
- Equações do movimento: movimento plano geral 
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
Especial atenção deve ser dada a certos casos do movimento plano; casos 
que ocorrem com frequência suficiente para precisarem atenção. 
O primeiro ocorre quando o centro de momentos O, como ponto do corpo 
ou da extensão deste, não tem aceleranão tem aceleraççãoão! A equação de momentos em 
relação a O torna-se , que satisfaz às mesmas condições que 
para um corpo que gira em relação a um eixo fixo em O. O ponto O não 
precisa necessariamente ser fixo; pode ter uma velocidade constante.
α.OO IM∑ =
158
O segundo caso de frequência corrente existe, quando o centro de
momento O é escolhido de tal modo que tem uma aceleração dirigida 
diretamente para G, figura (a). 
A aceleração de G, escrita em função da aceleração O, tem as 
componentes a0, rω2 e rα de tal modo que a força resultante tenha as 
componentes ma0, mrω2 e mrα, como é mostrado na parte (b) figura. 
A soma dos momentos em relação a O torna-se . 
A substituição de , dá
Equações do movimento: movimento plano geral 
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
amr
αα 2. mrIM P +=∑ rr
2mrIIO +=
rr α.OO IM∑ =
159
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
A figura (c) mostra o exemplo frequentemente encontrado da situação 
descrita, que ocorre para uma roda que gira, com o centro de massa G no 
centro geométrico. O centro instantâneo de rotação C tem uma aceleração 
dirigida para o centro de massa. Se a roda deslizasse ou se o centro de 
massa não fosse o centro geométrico, então a aceleração do ponto de 
contato C não passaria em G.
160
Observação: 
Deve-se enfatizar acentuadamente a escolha do corpo a ser isolado e sua 
representação através de correto diagrama de corpo livre. Somente após 
esse passo ter sido completado, pode-se avaliar adequadamente a 
equivalência entre as forças externas e suas resultantes. De igual 
importância na análise do movimento plano, é a compreensão da 
Cinemática envolvida. 
Muito frequentemente as dificuldades experimentadas no estudo do
movimento planar estão relacionadas diretamente com cinemática. Deve 
ser reconhecido, na formulação da solução de um problema, que as 
direções de certas forças ou acelerações não sejam conhecidas no começo; 
de tal modo que seja necessário fazer hipóteses iniciais cujas validades 
serão aprovadas ou desaprovadas, quando a solução é efetuada. 
Equações do movimento: movimento plano geral 
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
161
É essencial, entretanto, que todas as hipóteses feitas sejam coerentes com 
o princprincíípio da apio da açção e reaão e reaççãoão e com quaisquer requisitos cinemáticos, que 
também são chamados de condições de construção. Assim, se uma roda 
está girando em superfície horizontal, seu centro está limitado a mover-se 
em linha horizontal. Além do mais, se a aceleração linear desconhecida a
do centro da roda é suposta positiva para a direita, a aceleração angular 
desconhecida α deve ser positiva no sentido positivo, de tal forma que 
a = + rα, supondo-se que a roda não deslize. 
Deve ser notado também que para uma roda que gira sem deslizamento 
a = rα, a força de atrito F entre a roda e sua superfície de apoio é
geralmente menor que o seu valor máximo, de modo que F ≠ fN. Se a 
roda desliza quando gira a ≠ rα, embora a força de atrito tenha atingido o 
seu valor limite, tem-se que F = fN. Pode ser necessPode ser necessáário testar a validade rio testar a validade 
de uma ou outra hipde uma ou outra hipóótese em dado problematese em dado problema.
Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
162
Exemplo 1
A bobina mostrada na figura tem massa de 8 Kg e raio de giração 
kG = 0,35 (SI). Se as cordas de massas desprezíveis estão enroladas no 
cilindro central e na periferia, como mostrado na figura, determine a 
aceleração angular da bobina. 
Equações do movimento: movimento plano geral 
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Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica
Resolução:
Analisando as forças que agem na bobina de acordo com a figura abaixo, 
pode-se perceber que a força de 100 N causa uma aceleração aG para cima. 
Além disso, α corresponde a um movimento de rotação no sentido horário, 
pois a bobina enrola a corda em sua periferia.
Há três incógnitas: T, aG e α. O momento de inércia da bobina em relação ao 
seu centro de massa é: IG = m.kG2= 8Kg.(0,35m)2 = 0,980 Kg.m2
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Aplicando as equações do Movimento:
( )∑ = yGy amF → T + 100 – 78.48 = 8.aG
α.GG IM∑ = → 100.(0,2) – T .0,5 = (0,980).α
Utilizando a cinemática para relacionar as acelerações aG com α, uma vez que 
a bobina rola sem escorregar na corda em A: aG = 0,5.α
Resolvendo o sistema de equações, encontra-se:
α = 10,3 rad/s2
aG = 5,16 m/s2
T = 19,8 N
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Exemplo 2
Um aro metálico com raio r = 150 mm é liberado do repouso sobre a 
ladeira com 20º de inclinação. Determine a aceleração angular α do aro e 
o tempo t para que ele se mova de uma distância de 3 m ladeira abaixo.
Equações do movimento: movimento plano geral 
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Resolução:
O diagrama de corpo livre mostra o peso mg, a força normal N e a força de 
atrito F atuante no ponto de contato C do aro com a ladeira. O diagrama 
cinético mostra a força resultante ma que passa por G no sentido de sua 
aceleração e o Momento Iα. A aceleração angular no sentido anti-horário 
requer um momento também no sentido anti-horário em relação a G, logo a 
força F deve ser orientada ladeira acima.
Admitindo que o aro rola sem deslizamento pode-se escrever a = rα, e ainda 
que o momento de inércia do aro é I = mr2. A aplicação das componentes das 
forças nas direções x e y fornece: