Apostila 4 Funcoes

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Acadêmico(a) __________________________________________________________ 
Turma: _______________________________________________________________ 
 
Capítulo 6: Funções 
Toda função envolve uma relação de dependência entre elementos, números e/ou 
incógnitas. Em toda função existe um elemento que pode variar livremente, chamado de 
variável independente, e os que estão relacionados a eles, variáveis dependentes. 
Existem diversas formas matemáticas de relação entre as variáveis independentes e 
dependentes. 
Como exemplo, temos que a área (A) de um círculo está associada ao seu raio (r) 
conforme a equação abaixo: 
𝐴 = 𝜋 𝑟2 
 
Ou seja, com a alteração do tamanho do raio do círculo, a área também será 
alterada. Nesse caso, a área A é uma função do raio r. 
 
𝐴(𝑟) = 𝜋 𝑟2 
 
Definição: Uma função matemática é uma relação entre dois conjuntos quaisquer que 
associa, a cada elemento de partida (domínio), um único elemento de um conjunto 
de chegada (contra-domínio). Os elementos do conjunto contra-domínio que são 
imagem de algum elemento do domínio constituem o conjunto imagem da função. 
 
Domínio: é o conjunto dos valores possíveis das abscissas (x), ou seja, a região do 
universo em que a função pode ser definida 
Imagem: é o conjunto dos valores das ordenadas (y) resultantes da aplicação da função 
f(x) 
Contra-domínio: é o conjunto que contém todas as imagens (ou saídas, ou elementos 
dependentes) possíveis para a função. 
2 
 
 
Figura 1. Representação das relações entre domínio (A) e imagem (B) para funções 
matemáticas. 
 
6.1 Função sobrejetora, injetora e bijetora 
Função Sobrejetora: Uma função é sobrejetora se, e somente se, a imagem for igual ao 
contradomínio. Em outras palavras, não pode sobrar elementos de B. 
Função Injetora: A função é injetora se elementos distintos do domínio tiverem 
imagens distintas, ou seja, dois elementos não podem ter a mesma imagem. Portanto, 
não pode ter nenhum elemento do conjunto B que receba duas flechas. 
Função Bijetora: Quando a função f é ao mesmo tempo sobrejetora e injetora, dizemos 
que f é uma função bijetora. Neste caso, você pode observar que não existe um 
elemento de B que não seja imagem de um elemento de A (f é sobrejetora); cada 
elemento de B é imagem de um único elemento de A (f é injetora). 
 
Sobrejetora Injetora Bijetora 
 
 
 
Figura 2. Representação de funções injetora, bijetora e sobrejetora. 
 
3 
 
6.2 Função par e Função ímpar 
Função par: A função é definida como par se 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥). Os valores simétricos 
devem possuir mesma imagem. 
Exemplos: 
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 → 𝑓(2) = 4 → 𝑓(−2) = 4 
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 → 𝑓(1) = 0 → 𝑓(−1) = 0 
3) 𝑓(𝑥) =
𝑥4
2
→ 𝑓(1) =
14
2
=
1
2
 e 𝑓(−1) =
(−1)4
2
=
1
2
 
Logo 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) 
Função ímpar: A função é definida como ímpar se 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥). Valores 
simétricos possuem imagens simétricas. 
Exemplos: 
1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 → 𝑓(1) = 2 → 𝑓(−1) = −2 
2) 𝑓(𝑥) =
𝑥3
10
→ 𝑓(1) =
13
10
= 0,1 → 𝑓(−1) = −
13
10
= 0,1 
3) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 → 𝑓(2) = 2 ∗ 2 = 4 e 𝑓(−𝑥) = 2 ∗ (−2) = −4 
Logo 𝑓(𝑥) = −𝑓(𝑥) 
 
6.3 Função Inversa 
A função 𝑦 = 𝑓(𝑥) define uma correspondência de x para y, isto é, dado o valor 
de x podemos obter o valor de y que lhe corresponde através da função f. 
A função inversa de f, que é indicada por 𝑓−1, define uma correspondência 
contrária, isto é, de y para x, e indicamos 𝑥 = 𝑓−1(𝑦) 
Exemplos: 
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 → 𝑓−1(𝑥) = √𝑥 + 1 
2) 𝑓(𝑥) =
2𝑥+3
3𝑥−5
→ 𝑓−1(𝑥) =
3+5𝑥
3𝑥−2
 
3) 𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 4 → 𝑓−1(𝑥) =
𝑥−4
7
 
 
4 
 
6.4 Equação de primeiro grau 
Chama-se função do 1º grau ou função afim, a qualquer função 𝑓 dada por uma 
lei da forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, onde a e b são números reais e a≠0. 
Na função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, o número a é chamado de coeficiente angular e o 
número b é chamado de coeficiente linear, sendo a e b constantes, e o domino todos os 
reais. 
Coeficiente angular: a é dito coeficiente angular da reta, e se for positivo, a reta tem 
sentido crescente; caso contrário, decrescente. 
Coeficiente linear: da reta representado na função pela letra b, indica por qual ponto 
numérico a reta intercepta o eixo das ordenadas (y). 
Observe na figura 3 que se b = 0, então o gráfico é uma reta passando pela 
origem, enquanto que se a = 0, o gráfico é uma reta paralela ao eixo x, interceptando o 
eixo y em b e, neste caso, é dita função constante. 
Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o 
eixo x, para isso consideremos o valor de y = 0, pois no momento em que a reta 
intersecta o eixo x, y = 0. 
Equação da reta: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑎(𝑥 − 𝑥0) 
Exemplos: 
1) 𝑓(𝑥) =
1
2
𝑥 + 4 → 𝑎 =
1
2
; 𝑏 = 4 
2) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5 → 𝑎 = 3; 𝑏 = 5 
3) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 8 → 𝑎 = −2; 𝑏 = 8 
 
6.4.1.Gráfico da função 
Sua representação no plano cartesiano, figura 3, é uma reta que, de acordo com o 
valor do coeficiente a (positivo ou negativo), é inclinada para esquerda ou para direita. 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
5 
 
 
Figura 3: Gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, para b=0. 
 
6.5 Equação de segundo grau 
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f 
dada por uma lei da forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, onde a, b e c são números reais e 
a≠0. 
Exemplo: 
1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥 + 1, onde a = 3. B = 2 e c= 1 
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 + 9, onde a = 1, b = 6 e c = 9 
3) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 8𝑥 + 16, onde 𝑎 = 𝑎, 𝑏 = −8 e 𝑐 = 16 
 
6.5.1.Gráfico 
A representação de funções de segundo grau no plano cartesiano é uma 
PARÁBOLA que, Figura 4, de acordo com o valor do coeficiente a, possui concavidade 
voltada para cima ou para baixo. O termo c, na função do 2º grau, é o ponto onde a 
parábola corta o eixo y. 
6 
 
 
Figura 4: Representação da função do segundo grau de acordo com o coeficiente a. 
6.5.2. Raízes da função 
Ao transformar a função do segundo grau em uma equação do segundo grau, isto 
é 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 0, a função assume três possibilidades de resultados de raízes, que pode 
vir a ser resolvida por Bháskara. 
 
1º Possibilidade: se ∆>0 a função possui duas raízes reais e distinta. 
 
Figura 5: Representação da função do segundo grau com ∆>0. 
 
2º Possibilidade: se ∆=0 a função possui raízes iguais, ou uma única raiz. 
7 
 
 
Figura 6: Representação da função do segundo grau com ∆=0. 
 
3º Possibilidade: Se ∆<0 a função não possui raízes reais. 
 
Figura 7: Representação da função do segundo grau com ∆<0. 
6.5.3.Vérticie da função 
O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o 
ponto de valor máximo ou o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do 
coeficiente a, os pontos serão definidos como: 
- Quando a > 0 (concavidade para cima) logo ponto de mínimo. 
- Quando a < 0 (concavidade para baixo) logo ponto de máximo. 
𝑋𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 e 𝑌𝑣 = −
∆
4𝑎
 
 
8 
 
6.5.4. Sinais da função 
 
Figura 8: Representação dos sinais da função de segundo grau de acordo com ∆ e 
coeficiente a. 
 
6.6. Função Exponencial 
 A função exponencial possui como principal característica que a parte variável 
representada por x se encontra no expoente. 
𝑦 = 𝑎𝑥 
Exemplos: 
1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 
2)𝑓(𝑥) = (3 + 𝑥)𝑥 
Características da função exponencial: 
- Se a > 1 então f é crescente 
- Se 0 < a <1 então f é decrescente 
- Assíntota ao eixo x, ou seja, a função se aproxima do eixo x mas nunca irá encostar no 
eixo x. 
- Interceptaráy no ponto (0,1), ou seja, cruzar o eixo y 
6.6.1. Gráfico da função 
A representação de uma função exponencial no plano cartesiano é de uma curva 
exponencial que, de acordo com o valor do coeficiente a, é crescente ou decrescente. 
9 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 
Figura 9: Representação de uma função exponencial de acordo com o valor de a. 
 
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Lista de Exercícios 
 
1. Determinar o domínio das seguintes funções definidas por: 
 
a) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥−5
 
 
b) 𝑓(𝑥) =
𝑥+2
2𝑥
 
 
c) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥2−4
 
 
d) 𝑓(𝑥) =
𝑥
2𝑥−1
 
 
2. (Faap) Durante um programa nacional de imunização contra uma forma virulenta de 
gripe, representantes do ministério da Saúde constataram que o custo de vacinação de 
"x" por cento da população era de, aproximadamente, f(x)=(150x)/(200-x) milhões de 
reais. 
 
a) Qual é o domínio da função f(x)? 
b) Para que valores de x, no contexto do problema, f(x) tem interpretação prática? 
c) Qual foi o custo para que os primeiros 50% da população fossem vacinados? 
d) Qual foi o custo para que os 50% restantes da população fossem vacinados? 
e) Qual a porcentagem vacinada da população, quando foram gastos 37,5 milhões de 
reais? 
f) Faça o gráfico da função, especificando sua parte relevante, tendo em vista a situação 
prática do problema em questão. 
 
3. A temperatura em graus Fahrenheit é uma função linear da temperatura em graus 
Celsius. Use o fato de que 0 ºC = 32 ºF e 100 ºC = 212 ºF para escrever uma função que 
forneça a conversão de temperatura de uma graduação para outra. Use a função obtida 
para converter 15 graus Celsius em graus Fahrenheit e 68 graus Fahrenheit em graus 
Celsius. 
 
11 
 
4. (Faap) A variação de temperatura 𝑦 = 𝑓(𝑥) num intervalo de tempo x é dada pela 
função 𝑓(𝑥) = (𝑚2 − 9)𝑥2 + (𝑚 + 3)𝑥 + 𝑚 − 3. Calcule "m" de modo que o gráfico 
da função seja uma reta paralela ao eixo x. 
 
5. (Fatec) Se f é uma função definida por 𝑓(𝑥) =
𝑥−3
𝑥2+3
 , então qual a expressão 
equivalente de 
𝑓(𝑥)−𝑓(1)
𝑓(𝑥−1)
, para x≠1. 
 
6. (Faap) Durante um mês, o número y de unidades produzidas de um determinado bem 
e função do número x de funcionários empregados de acordo com a lei 𝑦 = 50√𝑥. 
Sabendo que 121 funcionários estão empregados, qual será o acréscimo na produção 
com a admissão de 48 novos funcionários? 
 
7. (Fei) Se 𝑔(1 + 𝑥) =
𝑥
𝑥2+1
, qual o valor de 𝑔(3)? 
 
8. (Unesp) Uma fórmula matemática para se calcular aproximadamente a área, em 
metros quadrados, da superfície corporal de uma pessoa, é dada por: 
𝑆(𝑝) =
11
100
𝑝2/3 
Onde p é a massa da pessoa em quilogramas. Considere uma criança de 8kg. Determine: 
a) a área da superfície corporal da criança; 
b) a massa que a criança terá quando a área de sua superfície corporal duplicar. 
(Use a aproximação √2 = 1,4.) 
 
9. (Ufscar) Uma pesquisa ecológica determinou que a população (S) de sapos de uma 
determinada região, medida em centenas, depende da população 
(m) de insetos, medida em milhares, de acordo com a equação 𝑆(𝑚) = 65 + √
𝑚
8
. A 
população de insetos, por sua vez, varia com a precipitação (p) de chuva em 
centímetros, de acordo com a equação 𝑚(𝑝) = 43𝑝 + 7,5. 
a) Expresse a população de sapos como função da precipitação. 
b) Calcule a população de sapos quando a precipitação é de 1,5cm. 
 
12 
 
10. (Unesp) Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de 
certo reservatório é dada pela função: 𝑞(𝑡) = 𝑞0 ∗ 2
(−0,1)∗𝑡. Sendo 𝑞0 a quantidade 
inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses. 
Em quantos meses a quantidade de água do reservatório se reduzirá à metade do que era 
no início? 
 
11. (FGV) Seja a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2. Qual valor de 𝑓(𝑚 + 𝑛) − 𝑓(𝑚 − 𝑛) ? 
 
12. (PUCRS) Em uma fábrica, o número total de peças produzidas nas primeiras t horas 
diárias de trabalho é dado por: 
 
 
 
Qual o número de peças produzidas durante a quinta hora de trabalho? 
 
13. (Fuvest) Qual função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% 
sobre o valor x de uma mercadoria? 
 
15. (Mackenzie-SP) A função f é definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Sabe-se que 𝑓(−1) = 3 
e 𝑓(1) = 1. Qual o valor para f(3)? 
 
16. (ENEM 2013) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola 
em torno de um eixo z, conforme mostra a figura. A função real que expressa a 
parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei 𝑓(𝑥) =
3
2
𝑥2 − 6𝑥 + 𝐶, onde C é 
a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, 
na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Qual é a medida 
da altura do líquido? 
 
13 
 
 
17. (Unesp) O gráfico da função quadrática definida por 𝑦 = 𝑥2 − 𝑚𝑥 + (𝑚 − 1), onde 
m pertence ao conjunto dos Reais, tem um único ponto em comum com o eixo das 
abscissas. Qual o valor de y que essa função associa a x=2 ? 
 
18. (ITA) Os dados experimentais da tabela a seguir correspondem às concentrações de 
uma substância química medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo que a linha que 
passa pelos três pontos experimentais é uma parábola, qual a concentração (em moles) 
após 2,5? 
 
Tempo (s) Concentração (mol/L) 
1 3,00 
2 5,00 
3 1,00 
 
19. (PUCMG) A temperatura, em graus Celsius no interior de uma câmara, é dada por 
𝑓(𝑡) = 𝑡2 − 7𝑡 + 𝐴, onde t é medido em minutos e A é constante. Se, no instante 𝑡 = 0, 
a temperatura é de 10°C, qual tempo, em minutos, gasto para que a temperatura seja 
mínima? 
 
20. Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja 
velocidade de volatilização é medida pela massa, em gramas, que decresce em função 
do tempo t, em horas, de acordo com a fórmula, 𝑚 = −32𝑡 − 3𝑡+1 + 108. Assim 
sendo, qual o tempo máximo que os cientistas dispõem para utilizar este material antes 
que ele se volatilize totalmente? 
 
14 
 
21. (PUC SP-06) Considere que em julho de 1986 foi constatado que era despejada uma 
certa quantidade de litros de poluentes em um rio e que, a partir de então, essa 
quantidade dobrou a cada ano. Se hoje a quantidade de poluentes despejados nesse rio é 
de 1 milhão de litros, há quantos anos ela era de 250 mil litros? 
 
22. Qual o coeficiente angular da reta dos pontos: 
 
a) A (–1,3) e B (–2,4) 
 
b) A (2,6) e B (4,14) 
 
23. Construa o gráfico das funções abaixo: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 
 
b) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 6 
 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 + 9