Guia de Estudos de Fisica

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IF { UFRJ { 2004/1
F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta)
GUIA DE ESTUDO 2
M¶odulo 2: As Leis do Movimento
1. INTRODUC» ~AO
Neste m¶odulo, estudaremos os princ¶³pios da dina^mica | a descri»c~ao do movi-
mento de um corpo a partir de suas intera»c~oes. Esta discuss~ao tem por base
as Leis de Newton. Discutiremos estas leis, os conceitos de for»ca, massa,
referenciais inerciais, e faremos aplica»c~oes.
Leituras indispens¶aveis
Os t¶opicos citados acima correspondem aos cap¶³tulos 4 (se»c~oes 4.1 a 4.5) e 5
(se»c~oes 5.1 a 5.3), e as se»c~oes 13.1 e 13.2 do cap¶³tulo 13 do livro texto, de H.
M. Nussenzveig.
2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA
Atividade 1
Discuss~ao
{ da lei da in¶ercia e o conceito de referenciais inerciais (se»c~oes 4.1 e
4.2);
{ do conceito de for»ca e massa, e a segunda lei de Newton (se»c~oes 4.3
e 4.4);
{ da terceira lei de Newton (se»c~ao 4.5);
{ das intera»c~oes fundamentais (se»c~ao 5.1);
{ e dos exemplos 1 a 6 da se»c~ao 4.5 do livro texto (p¶ag. 78 a 80).
Atividade 2
Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 1, 2 e 3 da lista 6, sobre Dina^mica.
Atividades extras 1
1. Leia todo o cap¶³tulo 4 do livro.
2. Resolva os exerc¶³cios 4, 5, 10 e 11 da Lista 6.
F¶³s1 { 04/1 { G.2 | p. 2
3. Resolva os problemas 4.1, 4.2, 4.4 e 4.6 do livro texto.
Atividade 3
Discuss~ao sobre as intera»c~oes fundamentais e as for»cas de contato (se-
»c~oes 5.1 a 5.3 do livro texto) e os exemplos 1 a 3 da se»c~ao 5.3.
Atividade 4
Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 8 e 14 da Lista 6.
Atividades extras 2
1. Leia todo o cap¶³tulo 5.
2. Releia o cap¶³tulo 4.
3. Resolva todos os exerc¶³cios j¶a feitos novamente.
4. Resolva os exerc¶³cios 16 a 21 da Lista 6.
Atividade 5
Discuss~ao da cinem¶atica da rota»c~ao (se»c~oes 3.7 e 3.8 do livro texto) e
o exemplo 4 da se»c~ao 5.3 do livro texto.
Atividade 6
Resolu»c~ao de problemas das Listas 5 (Vetores Novamente), 6 (Dina^-
mica), 7 (Movimento Relativo) e 8 (Referenciais N~ao Inerciais).
Atividades extras 3
1. Leia as se»c~oes 3.7 e 3.8 do livro texto.
2. Releia o cap¶³tulo 5.
3. Resolva os exerc¶³cios 18 a 24 do cap¶³tulo 3 do livro texto.
4. Resolver problemas que ¯caram para tr¶as no Guia de Es-
tudo 1, das listas 1, 2 e 3.
Atividade 7
Resolu»c~ao dos problemas 20 e 25 da Lista 6.
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Atividade 8
Discuss~ao dos conceitos de velocidade relativa (se»c~ao 3.9), mudan»ca de
sistema de refere^ncia, referenciais inerciais e n~ao inerciais (se»c~oes 13.1,
13.2 e 13.3 do livro texto), exempli¯cando com exerc¶³cios das Listas 8
e 9.
3. ATIVIDADES FINAIS DO M¶ODULO 2
1. Releia os cap¶³tulos 4 e 5 do livro texto.
2. Termine a lista de exerc¶³cios de 6, sobre Dina^mica.
3. Fa»ca os exerc¶³cios do Cap¶³tulo 4 e 5 do livro texto.
4. Releia os cap¶³tulos 2 e 3, fazendo todos os exerc¶³cios que faltavam
(inclusive os de movimento circular e de movimento relativo).
5. Leia as se»c~oes 13.1, 13.2 e 13.3 do livro texto.
6. Resolva os problemas 1, 3 e 4 do cap¶³tulo 13 do livro texto.
7. Resolva todos os exerc¶³cios das Listas 5 (Vetores Novamente), 6 (Dina^-
mica), 7 Cinem¶atica do Movimento Circular), 8 (Movimento Relativo)
e 9 (Referenciais N~ao Inerciais).
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Lista de exerc¶³cios 5
Vetores Novamente
1. Represente em termos dos unit¶arios ³^, ^´ das dire»c~oes x; y os vetores
representados na ¯gura.
x
y
1 21--
2
1
32--
1--
3--
2--
a
r
b
r
c
r
2. Considere os vetores:
~a = 3 ³^ + 2^´
~b = ¡ ³^ + 2^´
~c = 2 ³^¡ ^´
~d = ¡2 ³^¡ 3^´
(a) Represente cada um destes vetores num plano (x; y).
(b) Represente neste plano os vetores ~a +~b e ¡ 2~c.
(c) Escreva as componentes ao longo do eixo x dos vetores
(i) ~a
(ii) ~b
(iii) ~d
(iv) ~a+~b
(v) 3~c
(vi) ~a¡ 2~b
(vii) ~c+ ~d
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3. O produto escalar de dois vetores ¶e uma opera»c~ao que associa a dois
vetores ~a e ~b um n¶umero real de valor igual a ab cos µ , onde µ ¶e o
a^ngulo entre ~a e ~b , medido de ~a para ~b . Usa-se a nota»c~ao ² para
representar o produto escalar. Da ¯gura e da de¯ni»c~ao, observa-se que
~a ²~b = a b cos µ = a ba ;
onde ~ba ¶e a proje»c~ao de ~b sobre a dire»c~ao de¯nida por ~a .
ab
r
a
r
b
r
qq
Demonstre que
(a) ~a ²~a = a2.
(b) Se a 6= 0, b 6= 0, ent~ao ~a ²~b = 0 , ~a?~b.
(c) i^ ² ^´= 0 ; ³^ ² ³^ = 1 ; ^´² ^´ = 1 .
(d) ax = ~a ² ³^
(e) ~a ²~b = ~b ²~a
(f) ~a ²
³
~b+ ~c
´
= ~a ²~b+ ~a ² ~c.
(g) Se ~a = ax ³^ + ay ^´+ az k^ e ~b = bx ³^ + by ^´+ bz k^ , ent~ao
~a ²~b = ax bx + ay by + az bz
4. Para ~a = ³^¡ 2^´, ~b = 2 ³^ + 3^´ e ~c = ¡ ³^ + ^´ calcule
(a) ~a +~b
(b) ¡ 3~c
(c) 2~a ¡~b
(d) ~a ²
³
~b+ ~c
´
(e) ~b ² (~a¡ 2~c)
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5. Um bloco de massa m est¶a apoiado e em repouso sobre um plano in-
clinado de um a^ngulo ® em rela»c~ao µa horizontal.
x
y
(a) Isole o bloco e indique todas as for»cas que atuam sobre ele.
(b) Com os eixos da ¯gura, calcule a componente x e a componente y
de cada uma das for»cas atuando sobre o corpo.
(c) Calcule o m¶odulo de cada uma das for»cas e o a^ngulo entre cada
uma delas e o eixo x.
6. Sobre um corpo de massa m = 1 kg atuam as for»cas constantes, ex-
pressas em unidades do Sistema Internacional por meio do uso de um
sistema de coordenadas cartesianos como
~F1 = ³^ + 2^´¡ 3 k^
~F2 = ^´¡ k^
~F3 = ¡ i^ +^´
O observador que descreve este sistema ¶e um observador inercial.
(a) Calcule a for»ca resultante sobre este corpo.
(b) Obtenha o valor da intensidade de cada uma destas for»cas e da
for»ca resultante.
(c) Calcule o a^ngulo que a for»ca ~F1 faz com o eixo x.
(d) Calcule o a^ngulo entre as dire»c~oes das for»cas ~F2 e ~F3.
(e) Obtenha o a^ngulo que a for»ca resultante faz com o eixo z.
(f) Obtenha o vetor unit¶ario da dire»c~ao de¯nida pela for»ca ~F1.
(g) Qual o vetor acelera»c~ao deste corpo?
(h) Se num instante inicial a velocidade do corpo vale ~v± = 12^´¡16 k^,
e sua posi»c~ao em rela»c~ao a um ponto ¯xo para o observador vale
vecr± = 0, qual a trajet¶oria que o corpo descreve?
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7. Considere o vetor posi»c~ao de uma part¶³cula de massa m = 0; 5 kg
medido por um observador ¯xo a um sistema inercial:
~r(t) = 5 t2 ³^ + (10 t¡ 4) ^´+ 6 exp (¡2 t) k^.
(a) Obtenha o valor do vetor posi»c~ao desta part¶³cula nos instantes de
tempo correspondentes a t = 0 s, t = 2 s, e t = 4 s.
(b) Obtenha a express~ao que descreve a velocidade desta part¶³cula
como fun»c~ao do tempo, ~v(t).
(c) Obtenha a express~ao que descreve a acelera»c~ao desta part¶³cula
como fun»c~ao do tempo.
(d) Calcule os valores da velocidade e da acelera»c~ao da part¶³cula nos
instantes t = 1 s e t = 4 s.
(e) Calcule a for»ca resultante sobre a part¶³cula no instante t = 4 s.
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Lista de exerc¶³cios 6
Dina^mica de uma Part¶³cula
1. Quais as for»cas que atuam sobre a ma»c~a da ¯gura? Onde est~ao as
rea»c~oes a essas for»cas? Considere as mesmas perguntas com a ma»c~a
caindo. Despreze a resiste^ncia do ar.
2. Ao caminhar, a for»ca de atrito ¶e que aparentemente produz o movi-
mento. Qual o sentido desta for»ca? Explique.
3. Um homem de peso PH, de p¶e sobre uma superf¶³cie, empurra um
arm¶ario de peso PA. Considerando a existe^ncia de atrito entre a su-
perf¶³cie do sapato do homem e o ch~ao, bem como entre o arm¶ario
e o ch~ao, esquematize claramente as for»cas aplicadas no arm¶ario, no
homem e no ch~ao. Especi¯que a origem de cada uma dessas for»cas.
4. Uma part¶³cula tem um peso de 22 N num ponto onde g = 9; 8m=s2. (a)
Quais s~ao o peso e a massa da part¶³cula, se ela for para um ponto no
espa»co onde g = 4; 9 m/s2? (b)Quais s~ao o peso e a massa da part¶³cula,
se ela for deslocada para um ponto do espa»co onde a acelera»c~ao de queda
livre seja nula?
5. Suponha que no futuro a \ Companhia de Pesquisas Lunares" monte
laborat¶orios na Lua e na Terra, mantendo um servi»co de foguetes entre
eles. Nos dois laborat¶orios s~ao usados quilograma-padr~ao. Um bloco de
masa 10 kg ¶e usado como \carrinho" para experie^ncias em uma mesa
sem atrito, sendo acelerado na Terra e na Lua. (a) Quando o bloco
est¶a na Lua, sua massa ¶e igual µa massa lida na Terra?
Os experimentadores possuem uma balan»ca de mola A, calibrada em
Newtons. Eles a usam para puxar o bloco por uma mesa lisa com uma
for»ca de 4 N. (b) No laborat¶orio da Terra, com uma for»ca de 4 N, qual
ser¶a a acelera»c~ao do bloco? Explique. (c) No laborat¶orio da Lua, com
a mesma for»ca de 4 N, qual ser¶a a acelera»c~ao do bloco? Explique.
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Os experimentadores possuem tamb¶em uma balan»ca de mola B, n~ao
graduada. No laborat¶orio da Terra, eles a calibram em \quilogramas-
peso", suspendendo em sua extremidade quilogramas-padr~ao. Outra
balan»ca n~ao graduada C est¶a dispon¶³vel. Ela ¶e calibrada no Labo-
rat¶orio da Lua, da mesma forma que B foi na Terra, e sua unidade
¶e \quilograma-peso". (d) No laborat¶orio da Terra, puxa-se o mesmo
bloco com a balan»ca de mola B (calibrada em quilogramas no Labo-
rat¶orio da Terra). Se a leitura da balan»ca for 2,0, qual ¶e a acelera»c~ao
do bloco? (e) No laborat¶orio da Lua, o mesmo bloco ¶e puxado com a
mesma balan»ca B (calibrada na Terra e enviada de foguete para Lua).
Se a leitura for 2,0, a acelera»c~ao do bloco ser¶a maior, menor ou igual
µa encontrada no item anterior? Explique. (f) No laborat¶orio da Lua,
o mesmo bloco ¶e puxado, agora com o aux¶³lio da balan»ca C (calibrada
na Lua). Se a leitura for 2,0, a acelera»c~ao do bloco ser¶a maior, menor
ou igual µa encontrada no item (e)?
6. Dois blocos, de massas M e m, est~ao em contato apoiados sobre uma
mesa horizontal lisa. Uma for»ca ~F de m¶odulo F e que faz um a^ngulo µ
com a horizontal ¶e aplicada sobre o bloco M , como mostrado na ¯gura.
Calcule o valor da for»ca de contato entre os dois blocos em fun»c~ao dos
dados do problema e da acelera»c~ao da gravidade g. Calcule tamb¶em os
valores da normais de contato entre os blocos e a superf¶³cie.
F
r
M m
qq
6Ex.
F
r
1m
2m
7Ex.
7. Dois blocos est~ao em contato sobre uma mesa sem atrito. Uma for»ca
horizontal ¶e aplicada a um dos blocos, como mostrado na ¯gura. (a) Se
m1 = 2; 3 kg, m2 = 1; 2 kg e F = 3; 2 N, determine a for»ca de contato
entre os dois blocos. (b) Mostre que, se a mesma for»ca F for aplicada
a m2, ao inv¶es de m1, a for»ca de contato entre os dois blocos vale 2,1
N, que n~ao ¶e o mesmo valor obtido no item (a). Explique a diferen»ca.
8. Tre^s blocos s~ao ligados, como mostrado na ¯gura abaixo, por ¯os de
massa desprez¶³vel. Os blocos est~ao apoiados sobre uma mesa horizontal
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lisa, e s~ao puxados para a direita por uma for»ca horizontal de m¶odulo
T3 = 65; 0 N. Se m1 = 12; 0 kg, m2 =24,0 kg e m3 =31,0 kg, calcule
(a) a acelera»c~ao do sistema e (b) as tens~oes T1 e T2 da ¯gura.
1m 2m 3m
1T 2
T
3T
r
8Ex.
9. Um arquivo, com peso de 556 N, est¶a parado sobre o ch~ao. O coe¯ciente
de atrito est¶atico entre ele e o ch~ao ¶e 0,68 e o de atrito cin¶etico ¶e 0,56.
Em quatro diferentes tentativas para move^-lo, foi empurrado com for»cas
horizontais de (a) 222N, (b) 334 N, (c) 445 N, (d) 556 N. Determine,
para cada tentativa, se o arquivo se move, e calcule o m¶odulo da for»ca de
atrito sobre ele. O arquivo est¶a sempre parado antes de cada tentativa.
10. Um bloco de massa 2 kg est¶a apoiado sobre uma mesa plana e lisa.
Voce^ o empurra com o dedo, exercendo uma for»ca horizontal de m¶odulo
5,0 N. Qual a acelera»c~ao provocada no bloco? Qual o valor da for»ca
normal de contato entre o bloco e a superf¶³cie da mesa?
10Ex.
qq
11Ex.
11. O bloco do problema anterior, de massa 2 kg, continua apoiado sobre
a mesa plana e lisa. Voce^ passa a empurr¶a-lo com uma for»ca de mesmo
m¶odulo 5,0 N, mas agora fazendo um a^ngulo µ = 30± com a horizontal.
Qual a acelera»c~ao do bloco? E qual o valor da for»ca normal de contato
entre o bloco e a superf¶³cie?
12. Um bloco (o mesmo dos problemas anteriores), de massa 2 kg, ¶e apoiado
sobre uma mesa plana mas n~ao lisa. O coe¯ciente de atrito est¶atico
entre o bloco e a superf¶³cie vale 0,25 e o coe¯ciente de atrito cin¶etico
vale 0,20.
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(a) Voce^ o empurra com o dedo, exercendo uma for»ca horizontal de
m¶odulo 4,0 N. Qual a acelera»c~ao provocada no bloco? Qual o valor da
for»ca normal de contato entre o bloco e a superf¶³cie da mesa?
(b) Voce^ agora aumenta o empurr~ao, passando a exercer uma for»ca
horizontal de m¶odulo 8,0 N. Qual a acelera»c~ao provocada no bloco?
Qual o valor da for»ca normal de contato entre o bloco e a superf¶³cie?
(c) Voce^ passa a empurrar o bloco com uma for»ca de m¶odulo 8,0 N que
faz um a^ngulo µ = 30± com a horizontal. Qual a acelera»c~ao do bloco,
agora? E qual o valor da for»ca normal de contato entre o bloco e a
superf¶³cie?
13. Um preso num c¶arcere decide escapar deslizando por uma corda forne-
cida por um c¶umplice. Tem como companheiro de cela um macaco, de
massa 40 kg. Para isso, ¯xa um extremo da corda a um gancho situado
na parede externa da janela de sua cela. O outro extremo pende um
pouco acima do solo. A corda tem uma massa de 10 kg, e o preso de
60 kg. O gancho pode suportar uma tra»c~ao de 400 N sem quebrar. A
janela est¶a a 15 m do n¶³vel do solo. Para n~ao se arriscar, o preso resolve
veri¯car a possibilidade de escapar enviando na frente seu macaco. Ao
descer, o macaco parte do extremo superior com velocidade inicial nula.
Qual a velocidade m¶³nima com que o macaco e o preso dever~ao atingir
o solo de modo a n~ao quebrar o gancho?
14. Um bloco de massa m ¶e colocado sobre outro bloco de massa M , e o
conjunto ¶e apoiado sobre uma mesa horizontal. Sobre o bloco inferior,
aplica-se uma for»ca horizontal ~F de m¶odulo F . Observa-se que os dois
blocos movem-se juntos, o de cima n~ao deslizando sobre o de baixo. Os
coe¯cientes de atrito est¶atico e cin¶etico entre os blocos valem respec-
tivamente ¹E e ¹C , e o atrito entre o bloco e a superf¶³cie de apoio ¶e
desprez¶³vel. Qual o valor m¶aximo FMAX que a for»ca F pode ter para
que o bloco m n~ao se mova em rela»c~ao ao bloco M? Qual o valor,
quando F = FMAX , da for»ca de contato entre os dois blocos?
m
M
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15. Um bloco de 4,0 kg ¶e colocado em cima de um outro de 5,0 kg. Para
fazer o bloco de cima deslizar sobre o de baixo, que ¶e mantido ¯xo,
uma for»ca horizontal de pelo menos 12 N deve ser aplicada ao de cima.
O conjunto de blocos ¶e agora colocado sobre uma mesa horizontal sem
atrito (veja a ¯gura). Determine (a) a for»ca horizontal F m¶axima
aplicada ao bloco inferior para que ainda se movimentem juntos e (b)
a acelera»c~ao resultante dos blocos.
kg04,
kg05,
16. Dois blocos A e B de massas mA e mB (com mA > mB ) est~ao li-
gados por um ¯o, como mostra a ¯gura. A polia e o ¯o te^m massas
desprez¶³veis, e n~ao h¶a atrito entre A e a superf¶³cie horizontal.
(a) Calcule a acelera»c~ao do sistema e a for»ca F exercida pelo ¯o em A.
(b) Mantendo-se o mesmo valor de mA para A, que valor m0B deveria
ter a massa de B para que a for»ca F 0 atuando sobre A seja o dobro da
for»ca F calculada no item (a)?
(c) Comente o resultado do item (b)
para os casos em que mA = mB
e mA < mB .
A
B
16Ex.
17. Um bloco de massa m1 = 3,70 kg est¶a sobre um plano liso com in-
clina»c~ao de 30±, preso por uma corda que passa por uma polia, de
massa e atrito desprez¶³veis. Na outra extremidade da corda est¶a colo-
cado um segundo bloco de massam2 = 2,30 kg, que ¯ca pendurado
verticalmente (veja ¯gura). Quais s~ao
(a) os m¶odulos das acelera»c~oes de cada bloco e
(b) o sentido da acelera»c~ao de m2?
(c) Qual a tens~ao na corda?
1m
2m
10Ex.
18. Dois blocos s~ao ligados atrav¶es de uma polia, como mostrado na ¯gura.
A massa do bloco A ¶e de 10 kg e o coe¯ciente de atrito cin¶etico ¶e 0,20.
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 13
O bloco A desliza para baixo sobre o plano com velocidade constante.
Qual a massa de B?
1m
2m
19. A ¯gura mostra dois blocos em contato (m = 16 kg e M = 88 kg) que
n~ao est~ao presos um ao outro. O coe¯ciente de atrito est¶atico entre eles
¶e ¹E = 0,38, mas na superf¶³cie embaixo de M n~ao h¶a atrito. Qual a
for»ca horizontal m¶³nima F necess¶aria para manter m em contato com
M?
atritosem
19Ex.
F
r
20Ex.
20. Uma for»ca horizontal ~F , de m¶odulo 50 N, empurra um bloco de peso
20 N contra uma parede vertical. O coe¯ciente de atrito est¶atico entre
a parede e bloco ¶e 0,40 e o de atrito cin¶etico ¶e 0,30. Suponha que
inicialmente o bloco esteja em repouso. (a) O bloco come»car¶a a se
mover? (b) Qual a for»ca exercida pela parede sobre o bloco?
21. Uma part¶³cula de massa m = 2 kg oscila sobre o eixo x de acordo com
a equa»c~ao x = 0;2 sen (5t ¡ ¼=6), onde x ¶e dado em metros e t em
segundos. Qual a for»ca que age sobre a part¶³cula em t = 0 s? Qual o
valor m¶aximo dessa for»ca?
22. Um corpo de massa 1 kg cai de uma altura de 5 m sobre um monte de
areia, e afunda 5 cm at¶e parar. Se supusermos que a for»ca de resist^encia
que atua no corpo quando ele penetra na areia ¶e constante, quanto ela
vale?
23. Um corpo de massa 0,5 kg, e com dimens~oes desprez¶³veis est¶a caindo
verticalmente em dire»c~ao µa superf¶³cie da Terra. Quando est¶a a 10 m de
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altura, com velocidade de 10 m/s, sofre a a»c~ao de um forte tuf~ao que lhe
imprime uma for»ca de componente horizontal dada por 3t (em Newtons,
com t em segundos) e de componente vertical 10 N dirigida para cima.
Quais a velocidade e a posi»c~ao da part¶³cula em cada instante? Qual
a equa»c~ao da trajet¶oria descrita pela part¶³cula? Esboce a curva desta
trajet¶oria.
24. Um homem de 80 kg pula para um p¶atio, da beirada de uma janela que
est¶a a apenas 0,50 m acima do solo. Ele esqueceu de dobrar os joelhos,
quando aterrisou, e o seu movimento cessou numa dista^ncia de 2,0 cm.
(a) Qual a acelera»c~ao m¶edia do homem, entre o primeiro instante em
que seus p¶es tocaram o ch~ao, ao instante em que ¯cou completamente
parado? (b) Qual a for»ca que o impacto transmitiu µa sua estrutura
¶ossea?
25. Um disco de massa M que est¶a ligado por um ¯o leve a outra massa
m pode deslizar sobre a mesa com atrito desprez¶³vel, como mostrado
na ¯gura. Qual deve ser o valor da massa m para que o disco descreva
um movimento circular uniforme de raio r e velocidade angular !?
r m
M
26. Um motociclista habilidoso dirige ao longo de uma circunfere^ncia hori-
zontal em torno das paredes verticais de um po»co cil¶³indrico de raio R.
(a) Com que velocidade m¶³nima ele deve andar se o coe¯ciente de atrito
est¶atico entre os pneus e a parede ¶e ¹E? (b) Calcule esta velocidade
para R = 5 m e ¹E =0,9.
27. Uma curva circular de auto-estrada ¶e projetada para velocidades de
60 km/h. (a) Se o raio da curva ¶e 150 m, qual deve ser o a^ngulo
de inclina»c~ao da rodovia? (b) Se a curva n~ao fosse inclinada, qual
deveria ser o coe¯ciente de atrito m¶³nimo entre os pneus e a estrada
para permitir o tr¶afego a essa velocidade sem derrapagem?
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 15
28. Uma crian»ca coloca uma cesta de piquenique na parte externa de um
carrossel que tem 4,6 m de raio e faz uma volta a cada 30 s. (a) Qual
a velocidade de um ponto sobre a borda do carrossel? (b) Qual deve
ser o coe¯ciente de atrito est¶atico entre a cesta e o carrossel, para que
a cesta n~ao deslize sobre este?
29. Um pe^ndulo co^nico ¶e formado por massa de 50 g presa por um cord~ao
de 1,2 m. A massa gira formando um c¶³rculo horizontal de 25 cm de
raio. (a) Qual ¶e a sua velocidade? (b) Qual a sua acelera»c~ao? (c) Qual
a tens~ao no cord~ao?
30. Um estudante de 68 kg, numa roda-gigante com velocidade constante,
tem um peso aparente de 56 kg no ponto mais alto. Qual o seu peso
aparente no ponto mais baixo?
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F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta)
Lista de exerc¶³cios 7
Cinem¶atica do Movimento Circular
1. Um prato girat¶orio gira uniformemente, descrevendo 33,25 rota»c~oes por
minuto. Qual a velocidade angular de rota»c~ao deste disco?
2. Um objeto gira em torno de um ponto O, completando uma volta a
cada 2 segundos. Calcule o m¶odulo da velocidade do objeto se ele
estiver a uma dista^ncia (a) 0 m ; (b) 10 cm; (c) 20 cm do ponto O.
3. Um motor gira, e no instante de tempo t = 1 s a velocidade em um
ponto que dista 10 cm de seu eixo de rota»c~ao vale 0; 1 ¼ m/s. Em
t = 2 s, sua velocidade ¶e o dobro da velocidade em t = 1 s. (a) Qual a
acelera»c~ao angular m¶edia deste corpo? (b) Supondo que a velocidade
angular est¶a aumentando uniformemente, quanto tempo ser¶a necess¶ario
para que ela passe a valer ! = 3 ¼ rad/s?
4. Um objeto de massa m = 0; 5 kg gira a uma dista^ncia ` = 10 cm em
torno de um ponto O com per¶³odo de rota»c~ao ¯xo e igual a 4 s. Qual
a for»ca resultante agindo sobre este objeto?
5. O objeto do exerc¶³cio anterior num certo instante passa a descrever um
movimento circular uniformemente acelerado, com o mesmo raio. A
acelera»c~ao angular vale 0; 1¼ rad/s2. Qual a for»ca resultante agindo
sobre o objeto?
6. Na lista de exerc¶³cios 2, sobre Vetores, voce^ demonstrou no exerc¶³cio
9 uma rela»c~ao entre os vetores unit¶arios na representa»c~ao polar e os
vetores unit¶arios na representa»c~ao cartesiana,
r^ = cos µ ³^ + sen µ ^´
µ^ = ¡ sen µ ³^ + cos µ^´
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex7 | p. 17
Observando que a dire»c~ao destes dois vetores varia com o tempo, calcule
d r^
d t
e
d µ^
dt
A partir destas express~oes, e usando que o movimento ¶e circular (r ¶e
constante)
~r = r r^
demonstre que
~v = ! r µ^
~a = ¡!2 r r^ + ® r µ^
onde ! = dµ=dt e ® = d!=dt.
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex8 | p. 18
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F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta)
Lista de exerc¶³cios 8
Movimento Relativo
1. Um piloto de ultraleve est¶a voando, e quer ir de um ponto A a um
ponto B distantes entre eles de 2 km. O vento est¶a soprando a seu
favor, na dire»c~ao A-B. A velocidade do vento em rela»c~ao ao ch~ao ¶e de
20 km/h, e o piloto consegue imprimir ao seu aparelho uma velocidade
de 40 km/h em rela»c~ao ao ar. Qual a velocidade que um observador no
ch~ao mede para o ultraleve? Quanto tempo ele leva para ir de A at¶e
B? Se as condi»c~oes do vento continuarem iguais, e ele resolver voltar
de B para A, quanto tempo ele vai levar? E qual a sua velocidade,
observada do ch~ao, na volta?
2. A dista^ncia entre dois pontos A e B ¶e L. Um avi~ao voa de A at¶e B e
volta, com velocidade de m¶odulo v constante em rela»c~ao ao ar. Calcule
o tempo total que gastar¶a para realizar o percurso, se o vento sopra
com uma velocidade de m¶odulo u:
(a) ao longo da linha que une A a B, indo de A para B;
(b) na dire»c~ao perpendicular µa linha que une A e B.
Demonstre que a dura»c~ao da viagem sempre ¶e maior quando h¶a vento.
3. Um trecho de rio tem largura constante d, e a ¶agua move-se com ve-
locidade de m¶odulo u em rela»c~ao µas margens. Um barco parte de um
ponto A em uma das margens, para alcan»car um ponto B na outra,
desenvolvendo uma velocidade de m¶odulo v em rela»c~ao µa ¶agua. Qual
a orienta»c~ao que ele deve tomar, e que tempo levar¶a para atravessar o
rio, se
(a) o ponto B ¯ca diretamente oposto a A?
(b) o ponto B ¶e tal que o tempo de travessia ¶e o menor poss¶³vel?
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex8 | p. 19
4. Um navioa vapor navega em dire»c~ao ao Sul a 25 km/h em uma regi~ao
onde o vento sopra de Sudeste a 18 km/h. Qual o a^ngulo que a fuma»ca
saindo da chamin¶e forma com a dire»c~ao Norte?
5. Um navio est¶a navegando paralelamente a uma linha costeira reta com
velocidade de m¶odulo v. No instante que ele passa por um porto, um
barco da guarda-costeira sai para intercept¶a-lo com uma velocidade de
m¶odulo u (u > v). Que dire»c~ao o barco da guarda costeira deve seguir
para alcan»car o navio no menor tempo poss¶³vel?
6. Um be^bado sobe um rio num barco a remo, com velocidade constante.
Ao passar sob uma ponte, deixa cair uma garrafa de cacha»ca quase
vazia. Ele somente nota o fato ap¶os ter remado meio hora. Nesse
instante ele retorna, remando com a mesma intensidade at¶e encontrar
a garrafa, que se encontrava a um quilo^metro da ponte, rio abaixo.
Ache a velocidade do rio. (Sugest~ao: utilize um sistema de refer^encia
parado em rela»c~ao µa ¶agua.)
7. Duas part¶³culas, 1 e 2, deslocam-se ao longo dos eixos x e y com veloci-
dades constantes ~v1 = 2 ³^ cm/s e ~v2 = 3^´ cm/s. No instante t = 0 elas
est~ao nas posi»c~oes dadas por x1 = ¡3 cm, y1 = 0, x2 = 0, e y2 = ¡3 cm.
Obtenha o vetor ~r2 ¡ ~r1 que representa a posi»c~ao da part¶³cula 2 com
respeito µa part¶³cula 1, como fun»c~ao do tempo. Determine em que ins-
tante de tempo elas estar~ao com a menor separa»c~ao poss¶³vel, e qual ¶e
esta dista^ncia de m¶axima aproxima»c~ao.
F¶³s1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 20
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Lista de exerc¶³cios 9
Referenciais N~ao Inerciais
1. Um homem entra numa farm¶acia e pesa-se em uma balan»ca calibrada
em Newtons, que indica um peso de 700 N. Ele entra num elevador
que possui uma balan»ca tamb¶em calibrada em Newtons. O que ler¶a se
repetir a pesagem dentro do elevador
(a) subindo entre o primeiro e o terceiro andares com acelera»c~ao cons-
tante de 2 m/s2?
(b) subindo entre o terceiro e o d¶ecimo andares com velocidade cons-
tante de 7 m/s?
(c) subindo entre o d¶ecimo e o d¶ecimo segundo andares com desace-
lera»c~ao de 2 m/s2?
(d) descendo da mesma forma que subiu, ou seja, primeiro acelerando
µa raz~ao de 2 m/s2, depois movendo=se com velocidade constante
de 7 m/s, e ¯nalmente desacelerando µa raz~ao de 2 m/s2?
2. Um astronauta numa nave espacial treina tiro ao alvo. A nave pos-
sui acelera»c~ao ~a e est¶a num local do espa»co onde n~ao existe campo
gravitacional algum. O alvo est¶a na mesma altura das m~aos do ob-
servador, e a uma dista^ncia L deste. A velocidade inicial do proj¶etil
tem m¶odulo v0. Fa»ca um desenho mostrando a trajet¶oria seguida pelo
proj¶etil, vista pelo observador dentro da nave. Em termos dos dados
do problema, ache o a^ngulo que o proj¶etil deve fazer com a horizontal
ao ser arremessado para que ele atinja o alvo.
F¶³s1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 21
tt
6~a
¾ -L
3. Um garoto est¶a sobre a carroceria de um caminh~ao, que corre sobre o
solo plano com acelera»c~ao ~a na dire»c~ao de seu movimento. Com que
a^ngulo com a vertical o garoto deve lan»car uma bola de massa m para
que, quando a bola cair, ele possa apanh¶a-la sem se mover?
4. O passageiro de um avi~ao, nervoso na decolagem, tira sua gravata e
deixa-a pender molemente de seus dedos. Ele observa que, durante
a corrida para al»car vo^o, que dura 30 s, a gravata faz um a^ngulo de
150 com a vertical. Com que velocidade o aeroplano deixou o solo, e
quanto necessitou de pista para a decolagem? Suponha que a pista ¶e
horizontal, e que a acelera»c~ao do motor ¶e constante.
5. Um objeto de massa m est¶a preso por uma corda de massa desprez¶³vel
ao teto de um vag~ao. Num determinado instante, o vag~ao ¶e colocado
em movimento, com uma acelera»c~ao ~a horizontal de m¶odulo constante,
para a direita. O objeto ent~ao encosta na parede (como na ¯gura). O
a^ngulo que o ¯o faz com o teto ¶e µ. O atrito entre o objeto e a parede
¶e desprez¶³vel.
-~a
¶
¶
¶
¶u
µ
(a) Fa»ca um diagrama das for»cas que agem sobre o objeto, para um
observador ¯xo numa esta»c~ao,
(b) Fa»ca um diagrama das for»cas que agem sobre o objeto, para um ob-
servador dentro do vag~ao, e diga onde est~ao atuando suas rea»c~oes.
F¶³s1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 22
(c) Calcule o valor da for»ca de contato entre o objeto e a parede do
vag~ao.
6. Considere um pequeno objeto de massa m apoiado sobre uma superf¶³cie
sem atrito inclinada de 300 em rela»c~ao µa horizontal. Suponha que esta
superf¶³cie seja acelerada para a esquerda com acelera»c~ao ~a constante.
A magnitude da acelera»c~ao ¶e tal que o objeto n~ao desliza. (a) Desenhe
um diagrama que mostre as for»cas que atuam sobre o objeto, em um
sistema inercial ¯xo ao solo. (b) Obtenha o valor da acelera»c~ao para
que o objeto n~ao deslize. (c) Repita os itens anteriores, agora do ponto
de vista de um observador (n~ao inercial) que move-se junto com o plano
inclinado.
© ©
© ©
© ©
© ©
© ©
© ©
© ©
©
300
¾ ~a
© ©©AA
© ©© AAm
7. Num centro de pesquisas de medicina espacial, dois astronautas de
mesma massa m s~ao colocados em cabines montadas nas extremidades
opostas de uma barra de comprimento `, e o aparelho ¶e girado com
velocidade angular - num c¶³rculo vertical em torno do ponto m¶edio da
barra, O. Cada cabine possui uma balan»ca, e os astronautas se pesam
sobre elas. Quando a barra com as cabines ¯car exatamente na ver-
tical, (a) fa»ca um diagrama das for»cas que agem sobre cada um dos
astronautas para um observador ¯xo na Terra; (b) repita este item
para um observador girando junto com as cabines. (c) Calcule a me-
dida da balan»ca feita em cada uma das cabines neste instante. (d) Que
velocidade de rota»c~ao ¶e necess¶aria para produzir a sensa»c~ao de impon-
derabilidade na cabine de cima? Nesta situa»c~ao, qual a leitura feita na
balan»ca da outra cabine?
F¶³s1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 23
Á À
 ¿
Á À
 ¿
-O
8. Um corpo de massa m est¶a apoiado em um suporte dentro de um
cilindro de raio R que gira com velocidade angular constante - em
torno de seu eixo de simetria, como mostrado na ¯gura. Sendo ¹ o
coe¯ciente de atrito est¶atico entre o corpo e a parede interna do cilindro,
pergunta-se: (a) Qual o menor valor de - para que o qual se pode retirar
o suporte sem que o corpo deslize em rela»c~ao µa parede do cilindro? (b)
O que acontece com o valor da for»ca de atrito se - for maior do que o
valor m¶³nimo encontrado no item anterior?
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 24
IF { UFRJ { 2004/1
F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta)
TEXTO COMPLEMENTAR 1
Vetores
Muitas das grandezas usadas na F¶³sica n~ao podem ser representadas por
um ¶unico n¶umero. Grandezas como a posi»c~ao de um objeto, sua velocidade,
a for»ca aplicada sobre ele, entre outras, necessitam, para sua especi¯ca»c~ao
precisa, n~ao s¶o de um valor num¶erico { a dista^ncia a um ponto de refer^encia, o
valor medido no odo^metro de um carro, a intensidade da for»ca { mas tamb¶em
de dire»c~ao e sentido.
De uma maneira simpli¯cada, um vetor ¶e uma grandeza que pode ser
representada como um segmento de reta orientado. O tamanho do segmento
¶e o m¶odulo do vetor, sua dire»c~ao ¶e fornecida pela dire»c~ao da reta que suporta
o semento, e o sentido ¶e dado pela orienta»c~ao do segmento. Um vetor em
geral ¶e representado gra¯camente por uma letra com uma seta em cima, como
~a; seu m¶odulo ¶e representado por j~aj = a.
ar
Um vetor pode sofrer deslocamentos paralelos sem se alterar. Isto ¶e, um
vetor ¶e um representante de um conjunto de segmentos orientados partindo
de diferentes pontos do espa»co. Um vetor tamb¶em ¶e um elemento de um
conjunto { chamado espa»co vetorial { que associado a duas opera»c~oes, a
adi»c~ao e a multiplica»c~ao por escalar, tem algumas propriedades: ¶e fechado
em rela»c~ao a estas duas opera»c~oes (a soma de dois vetores ¶e um vetor,...),
o elemento neutro da adi»c~ao (vetor nulo) faz parte doconjunto, todos os
vetores possuem elemento inverso em rela»c~ao µa adi»c~ao, ....
Um exemplo de vetor bem conhecido ¶e o vetor deslocamento de um objeto
pontual. Um deslocamento de um ponto A a um ponto B pode ser represen-
tado por um vetor ~d com m¶odulo igual µa dista^ncia entre os pontos A e B,
dire»c~ao de¯nida pela reta que une A a B e sentido indo de A para B.
A
B
d
r
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 25
Dois deslocamentos sucessivos resultam num deslocamento ¯nal que cor-
responde ao segmento orientado do ponto de partida ao ponto de chegada.
Assim, a soma de dois deslocamentos do ponto A ao ponto B, e depois do
ponto B ao ponto C, resulta num deslocamento ¯nal de A a C.
A
B
1d
r
C
2d
r
d
r
A opera»c~ao de adi»c~ao de dois vetores ¶e de¯nida de forma an¶aloga µa soma
de dois vetores deslocamentos. O vetor ~c que resulta da soma de dois outros
vetores ~a e~b, ~c = ~a+~b, ¶e o vetor correspondente ao segmento de reta orientado
obtido de acordo com a \regra do paralelogramo". Esta regra de soma tem
este nome porque o vetor soma representa a diagonal do paralelogramo que
pode ser formado com lados ~a e ~b.
a
r
b
r
bac
rrr +=
A adi»c~ao de vetores ¶e comutativa
~a +~b = ~b+ ~a
e ¶e distributiva:
~a +
³
~b +~c
´
=
³
~a +~b
´
+ ~c
o que pode ser facilmente demonstrado geometricamente.
Um deslocamento ~d de um ponto A a um ponto B de¯ne uma dire»c~ao,
a dire»c~ao da reta que une os dois pontos. Um outro deslocamento sobre a
mesma dire»c~ao pode ser escrito como o produto deste deslocamento ~d por
um n¶umero real ®, de forma tal que a dista^ncia percorrida seja ® d. Se ® ¶e
positivo, os sentidos s~ao os mesmos. Para voltar de B at¶e A, o deslocamento
pode ser representado por um vetor com a mesma dire»c~ao, mesmo m¶odulo e
sentido oposto, ¡ ~d.
A
B
d
r
d
r
2d
r
-
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 26
A opera»c~ao de multiplica»c~ao de um vetor ~b por um escalar ® (um n¶umero
real) ¶e de¯nida como sendo uma opera»c~ao cujo resultado ¶e um vetor ®~b
{ cujo m¶odulo ¶e dado por j®j b,
{ cuja dire»c~ao ¶e a mesma dire»c~ao do vetor ~b,
{ e cujo sentido ¶e o de ~b no caso em que ® > 0, e contr¶ario se ® < 0.
Desta maneira, a diferen»ca de dois vetores ¶e a soma de dois vetores, o
primeiro com o produto escalar do segundo pelo n¶umero real ¡1:
~a ¡~b = ~a+
³
¡~b
´
:
ar
b
r
bac
rrr +=bad
rrr
-=
Um deslocamento de uma unidade de comprimento (por exemplo, de 1 m)
na dire»c~ao de A para B pode ser o padr~ao de medida de todos os vetores que
te^m a dire»c~ao AB.
Da mesma maneira que ¶e necess¶aria uma unidade de medida, um padr~ao,
para a descri»c~ao de grandezas escalares (como temperatura, massa), pre-
cisamos de um padr~ao de medida para vetores. Mas a especi¯ca»c~ao de um
vetor exige m¶odulo, dire»c~ao e sentido; um padr~ao para descrev^e-lo n~ao pode
ser um simples n¶umero, tem que ter tamb¶em dire»c~ao e sentido. Ou seja, ¶e
tamb¶em um vetor.
Um vetor cujo m¶odulo vale 1 unidade ¶e chamado de vetor unit¶ario. A sua
representa»c~ao ¶e feita usuamente por um \chap¶eu" (acento circun°exo) sobre
uma letra: a^. Da opera»c~ao de multiplica»c~ao por escalar, podemos escrever
imediatamente
~d = a d^ :
A
B
d
r dˆ
E para obter-se o vetor unit¶ario associado a um vetor qualquer basta divid¶³-lo
pelo seu m¶odulo:
d^ =
1
d
~d :
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 27
Para descrever um deslocamento, em geral usa-se um sistema de coor-
denadas { cartesiano ou outro qualquer. No espa»co, s~ao necess¶arias tre^s
coordenadas para caracterizar um ponto. Para caracterizar um vetor, por-
tanto, precisamos de suas tre^s componentes ao longo de tre^s eixos { ou de
tr^es unit¶arios de dire»c~oes independentes. O sistema de tr^es vetores unit¶arios
mais comum ¶e um sistema constitu¶³do de tr^es unit¶arios mutuamente perpen-
diculares, com a conven»c~ao de ordem indicada na ¯gura abaixo.
iˆ
j
)
kˆ
x
y
z
Para descrever um deslocamento, pode-se colocar o ponto de partida como
sendo a origem de nosso sistema de coordenadas e descrever o deslocamento
atrav¶es das coordenadas do ponto ¯nal. Num plano, a descri»c~ao ¯ca como
na ¯gura. As coordenadas do ponto A s~ao as componentes segundo os eixos
x e y: A = (xA; yA).
y
xO
A
Ax
Ay )y,x( AA=A
O vetor ~OA = ~d pode ser decomposto em outros dois, um paralelo ao
eixo x e outro paralelo ao eixo y. Esta decomposi»c~ao ¯ca
~rA = ~xA + ~yA
como mostrado na ¯gura. Se de¯nimos os unit¶arios das dire»c~oes x e y como
sendo ³^ e ^´, temos
~rA = xA ³^ + yA ^´
y
xO
A
jˆyiˆxr AAA +=
r
Ax
Ay )y,x( AA=A
O vetor componente de ~rA na dire»c~ao x, ~xA, tem m¶odulo igual a jxAj, pois
xA pode ser positivo, negativo ou nulo, dependendo do sentido do vetor ~xA
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 28
coincidir ou n~ao com o sentido do unit¶ario ³^. O mesmo ocorre para o vetor
componente de ~rA na dire»c~ao de y, yA. Assim,
~xA = xA ³^ ; ~yA = yA ^´ :
y
xO
A
jˆyiˆx
yxr
AA
AAA
+=
=+= rrr
Ax
r
Ay
r
Os valores xA e yA s~ao chamadas de componentes do vetor ~rA segundo os
eixos x e y , ou segundo as dire»c~oes dos unit¶arios ³^ e ^´.
A
r
q
x
y
x
y
q=
q=
senry
cosrx
Pode-se usar um sistema de coordenadas polares planas A = (r; µ), onde r
corresponde µa dista^ncia µa origem de coordenadas e µ o a^ngulo que a dire»c~ao
OA faz com um eixo arbitr¶ario { no caso o eixo x. As duas descri»c~oes
A = (r; µ) = (x; y) est~ao relacionadas atrav¶es das express~oes
x = r cos µ ; y = r sen µ
r =
q
x2 + y2 ; µ = arctg
y
x
e ¶e imediatamente claro que 0 · µ < 2¼, x e y podem ser maiores, iguais ou
menores que zero, e que r corresponde a um valor positivo e igual ao m¶odulo
do vetor ~OA.
As opera»c~oes de adi»c~ao de vetores e multiplica»c~ao por escalar podem ser
feitas em termos de componentes.
ar
b
r
xxx bac +=
xaxb xc
bac
rrr
+=
c
r
x
Da ¯gura, para a adi»c~ao de vetores
cx =
³
~a +~b
´
x
= ax + bx
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 29
e de forma an¶aloga
cy =
³
~a +~b
´
y
= ay + by
Para a multiplica»c~ao de um vetor por um escalar,
a
r xx ab a=
xa
ab
rr
a=
x
b
r
xb
bx = (®~a)x = ® ax ; by = (®~a)y = ®ay :
Duas outras opera»c~oes com vetores s~ao usadas para a de¯ni»c~ao de con-
ceitos f¶³sicos.
A primeira opera»c~ao ¶e o chamado produto escalar de dois vetores. Nesta
opera»c~ao, a um par de vetores ~a e ~b associa-se um n¶umero real ~a ¢~b de¯nido
como
~a ¢~b = a b cosµ
onde µ ¶e o a^ngulo entre as dire»c~oes de ~a e ~b.
ar
b
rq
ba
q= cosaab
Esta de¯ni»c~ao ¶e equivalente a dizer que o produto escalar de ~a por ~b ¶e o
produto do m¶odulo de~b pela proje»c~ao de~a na dire»c~ao de~b. Geometricamente,
veri¯ca-se trivialmente que
~a ¢ ~b = ~b ¢ ~a
~a ¢~a = a2
~a ¢~b = 0 (a 6= 0; b 6= 0) () ~a?~b
~a ¢
³
~b+ ~c
´
= ~a ¢~b+ ~a ¢ ~c
Se os vetores ~a e ~b s~ao paralelos, ~a ¢~b = a b. Se s~ao anti-paralelos (seus
sentidos s~ao opostos) ~a ¢~b = ¡ ab.
Em componentes, o produto escalar pode ser calculado usando as pro-
priedades anteriores. Se ~a = ax ³^ + ay ^´+ az k^ e ~b = bx ³^ + by ^´+ bz k^ , ent~ao
~a ¢~b =
³
ax ³^ + ay ^´+ az k^
´
¢
³
bx ³^ + by ^´+ bz k^
´
= ax bx + ay by + az bz
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 30
Da de¯ni»c~ao do produto escalar, tamb¶em, pode-se demonstrar que
ax = ~a ¢ ³^ ; ay = ~a ¢ ^´ ; az = ~a ¢ k^
cos µ =
~a ¢~b
a b
O produto escalar surge pela primeira vez nas discuss~oes em F¶³sica com
a de¯ni»c~ao de trabalho realizado por uma for»ca ~F num deslocamento:
WFAB =
Z
~F ¢ d~r :
A outra opera»c~ao, o produto vetorial entre dois vetores, associa a dois
vetores ~a e ~b um terceiro vetor c
~c = ~a £~b
com o m¶odulo dado por c = a b senµ, onde µ ¶e o (menor)a^ngulo entre ~a e ~b,
com dire»c~ao perpendicular ao plano que cont¶em ~a e ~b, e sentido dado pela
chamada \regra da m~ao direita". Esta de¯ni»c~ao est¶a ilustrada na ¯gura a
seguir.
ar b
r
cr bac
rrr
´=
ar
b
r
qsenb
c
r
áreac =
O produto vetorial de dois vetores n~ao ¶e comutativo { a ordem dos fatores
troca o sinal do resultado. Suas propriedades tamb¶em podem ser veri¯cadas
facilmente da de¯ni»c~ao,
~a £~b = ¡~b£ ~a
~a £
³
~b+ ~c
´
= ~a £~b+ ~a£ ~c
~a£
³
®~b
´
= ®~a £~b
a~a = 0
O produto vetorial de dois vetores paralelos ou anti-paralelos ¶e nulo.
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 31
Em componentes,
~a £~b = (ay bz ¡ az by) ³^ + (az bx¡ ax bz) ^´+ (ax by ¡ ay bx) k^
O produto vetorial aparece em F¶³sica na de¯ni»c~ao de torque de uma for»ca
em rela»c~ao a um ponto, e momento angular de uma part¶³cula em rela»c~ao a
um ponto:
¿ = ~r £ ~F
~LO = ~r £ ~p =m~r £ ~v
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Resp { Ex6 | p. 32
IF { UFRJ { 2004/1
F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta)
Lista de exerc¶³cios 6 { Respostas
1. Peso (rea»c~ao sobre a Terra) e sustenta»c~ao (rea»c~ao sobre a ponta do
cabo). Quando a ma»c~a est¶a caindo, atua apenas o peso.
2. No sentido do movimento do corpo.
3. No arm¶ario: peso, normal, atrito e empurr~ao do homem. No homem:
peso, normal, atrito, rea»c~ao ao empurr~ao.
4. (a) Peso 11 N, massa 2; 2 kg. (b) Peso nulo, massa 2; 2 kg.
5. (Discutir com o professor.)
6. For»ca de contato entre os blocos: de m¶odulo F cos µm=(M +m), ho-
rizontal, para a direita sobre m, para a esquerda sobre M . For»ca de
contato entre m e a superf¶³cie: mg, vertical e para cima. For»ca de
contato entre M e a superf¶³cie: Mg + F sen µ, vertical e para cima.
7. (a) 1; 1 N.
8. (a) 0; 97 m/s2; (b) T1 = 11; 6 N, T2 = 34; 8 N.
9. (a) N~ao, fat = 222 N. (b) N~ao, fat = 334 N. (c) Sim, fat = 311 N. (d)
Sim, fat = 311 N.
10. a = 2; 5 m/s2, N = 20 N.
11. a = 2; 2 m/s2, N = 22 N.
12. (a) a = 0, N = 20 N; (b) a = 2; 0 m/s2, N = 20 N; (c) a = 1; 5 m/s2,
N = 24 N, caso a for»ca tenha dire»c~ao e sentido como na ¯gura do
exerc¶³cio 11.
13. macaco: v ¸ 0; homem: v ¸ 10 m/s2.
14. FMAX = ¹E (M +m) g; f = ¹E mg e n = mg s~ao as duas componentes
da for»ca de contato entre os dois blocos.
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Resp { Ex6 | p. 33
15. (a) FMAX = 27 N; (b) a = 3 m/s2.
16. (a) a = mBg=(mA +mB), F =mAmBg=(mA +mB).
(b) m0B = 2mAmB=(mA ¡mB).
17. (a) 0; 75 m/s2; (b) para baixo; (c) 21; 3 N.
18. Supondo que o a^ngulo de inclina»c~ao do plano ¶e de 30±, mB = 3; 3 kg.
19. 421 N.
20. (a) N~ao. (b) Componente vertical: 20 N, para cima; componente hori-
zontal: 50 N para a esquerda.
21. F (0) = 5 N, FMAX = 10 N.
22. 1000 N.
23. Sistema de coordenadas: unit¶arios ³^ na dire»c~ao horizontal, com o sen-
tido do tuf~ao, ^´ para cima; a origem est¶a no ch~ao, bem embaixo do ponto
inicial do corpo. ~v(t) = 3t2 ³^ + 10 (t¡ 1) ^´, ~r(t) = t3 ³^ + 5 (t2 ¡ 2t+ 2)^´.
24. (a) 250 m/s2; (b) 2; 0£ 104 N.
25. m =Mg=(!2r).
26. (a) vMIN =
q
gR=¹E ; (b) vMIN = 13; 9 m/s = 50 km/h.
27. (a) 10±; (b) 0,19.
28. (a) 0,96 m/s. (b) 0,02.
29. (a) 0,72 m/s, tangente ao c¶³rculo; (b) 2,1 m/s2, apontando para o centro
do c¶³rculo; (d) 0,5 N.
30. 192 kg.
1
IF { UFRJ { 2004/1
F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta)
GUIA DE ESTUDO 3
M¶odulo 3: Trabalho e Energia
1. INTRODUC» ~AO
Neste m¶odulo, estudaremos os conceitos de trabalho e energia. Vamos
discutir a lei da conserva»c~ao da energia meca^nica de uma part¶³cula, o que
s~ao energia cin¶etica, energia potencial, e o trabalho de for»cas. Come»care-
mos abordando o movimento unidimensional e a seguir generalizaremos nosso
estudo para o caso do movimento geral.
Leituras indispens¶aveis
Os t¶opicos citados acima correspondem aos cap¶³tulos 6 (se»c~oes 6.1 a 6.5) e 7
(se»c~oes 7.1 a 7.3 e parte da se»c~ao 7.6) do livro texto, de H. M. Nussenzveig.
2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA
Atividade 1
Discuss~ao
| da conserva»c~ao de energia meca^nica num campo gravitacional (se»c~ao
6.1),
| da de¯ni»c~ao de trabalho de uma for»ca,
| da de¯ni»c~ao de energia cin¶etica e energia potencial de um corpo.
(se»c~ao 6.2).
Atividade 2
Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 1 e 4 da Lista 10, Trabalho e energia.
Atividades extras 1
1. Leia as se»c~oes 6.1 e 6.2 do cap¶³tulo 6 do livro.
2. Resolva os exerc¶³cios 2, 3, 5 e 6 da lista de trabalho e
energia.
F¶³s1 { 04/1 { G.3 | p. 2
3. Resolva os problemas 1, 3, 8 e 9 da lista 5 (movimento
relativo e referencias n~ao inerciais).
4. Resolva os problemas 6.2 e 6.14 do livro texto.
Atividade 3
Discuss~ao sobre o trabalho de uma for»ca constante de dire»c~ao qualquer,
introduzindo o conceito de produto escalar de dois vetores (se»c~ao 7.1);
o trabalho de uma for»ca no caso do movimento geral (se»c~ao 7.2); as
for»cas conservativas (se»c~ao 7.3); e pote^ncia (item a da se»c~ao 7.6).
Atividade 4
Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 9 e 14 da lista de Trabalho e Energia.
Atividades extras 2
1. Leia as se»c~oes 7.1 a 7.3 e item a da se»c~ao 7.6 do cap¶³tulo
7 do livro texto.
2. Resolva os exerc¶³cios 8 e 10 da lista de trabalho e energia.
3. Resolva os problemas 7.3, 7.4, 7.5, 7.6 e 7.19 do livro
texto.
Atividade 5
Discuss~ao sobre trabalho de uma for»ca vari¶avel (se»c~ao 6.3) e a con-
serva»c~ao da energia meca^nica no movimento unidimensional (se»c~ao 6.4).
Atividade 6
Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 16 e 19 da lista de trabalho e energia (ou
outros, a crit¶erio do professor).
Atividades extras 3
1. Leia as se»c~oes 6.3 e 6.4 do cap¶³tulo 6 do livro.
2. Resolva os exerc¶³cios 17, 18, 20 e 21 da lista de trabalho
e energia.
3. Resolva os problemas 6.6, 6.7 e 6.13 do livro texto.
F¶³s1 { 04/1 { G.3 | p. 3
Atividade 7
Discuss~ao do movimento unidimensional sob a a»c~ao de for»cas conser-
vativas.
Atividade 8
Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 24 e 25 da lista de trabalho e energia.
Atividades extras 4
1. Termine de ler o cap¶³tulo 6 do livro.
2. Resolva os exerc¶³cios 23, 26 e 27 da lista de trabalho e
energia.
3. Resolva os problemas 7.15, 7.16, 7.17, 7.18 e 7.20 do
livro texto.
Atividade 9
Resolu»c~ao de exerc¶³cios e problemas escolhidos pelo professor.
Atividades extras 5
Releia os cap¶³tulos 6 e 7 (exceto as se»c~oes 7.4, 7.5 e 7.6b)
do livro texto.
1. Termine a lista de exerc¶³cios de trabalho e energia.
2. Fa»ca toda a lista de exerc¶³cios 5, sobre movimento rela-
tivo e referenciais n~ao inerciais.
3. Termine tudo que voce^ deixou para tr¶as.
4. De^ uma lida na discuss~ao sobre for»cas n~ao-conservativas
na se»c~ao 8.12 do livro de Alonso&Finn (voce^ pode en-
contr¶a-lo na biblioteca do Instituto de F¶³sica).
3. ATIVIDADES DE ESTUDO EM CASA
1. Leia novamente os cap¶³tulos 6 e 7 do livro texto.
2. Fa»ca todos os problemas das Listas de 1 a 10 e os do livro (Cap. 6 e
7) que voce^ ainda n~ao fez.
3. Leia o texto complementar anexo sobre conserva»c~ao de energia.
F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 4
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F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta)
TEXTO COMPLEMENTAR 2
A Conservac»~ao da Energia
Richard P. Feynman
Texto extra¶³do do Cap¶³tulo 3 | Os grandes princ¶³pios de conserva»c~ao
| do livro O que ¶e uma lei f¶³sica (The Character of Physical Law),
de Richard P. Feynman, vers~ao baseada na tradu»c~ao portuguesa de
Carlos Fiolhais, editora Gradiva.
Quando estudamos as leis da f¶³sica, descobrimos que s~ao numerosas, com-
plicadas e pormenorizadas. Existem leis da gravita»c~ao, da eletricidade e do
magnetismo, das intera»c~oes nucleares, etc. Mas todas essas leis particulares
parecem obedecer a grandes princ¶³pios gerais. Exemplos destes ¶ultimos s~ao
os princ¶³pios de conserva»c~ao, algumas caracter¶³sticas de simetria, a forma
geral dos princ¶³pios da meca^nica qua^ntica e, infeliz ou felizmente, o fato,
j¶a referido,de todas as leis terem uma natureza matem¶atica. Hoje quero
falar-lhes dos princ¶³pios de conserva»c~ao.
O f¶³sico usa palavras correntes com um sentido particular. Para ele uma
lei de conserva»c~ao signi¯ca que existe um n¶umero que pode calcular num
dado momento e que, embora a Natureza passe por uma grande profus~ao de
mudan»cas, se voltar a repetir o c¶alculo, o resultado ¶e o mesmo. Esse n¶umero
¶e, pois, invariante. Um exemplo ¶e a conserva»c~ao de energia. Existe uma
quantidade, que se calcula segundo uma certa regra. O resultado do c¶alculo
¶e sempre o mesmo, independentemente do que aconte»ca.
Podemos agora ver como isso pode ser ¶util. Suponhamos que a f¶³sica, ou
melhor a Natureza, ¶e um grande jogo de xadrez, com milh~oes de pe»cas, e
que estamos tentando descobrir as leis desse jogo, jogado muito rapidamente
por grandes deuses, sendo dif¶³cil observ¶a-los e compreender as respectivas jo-
gadas. No entanto, conseguimos apreender algumas regras e, dentre estas, h¶a
algumas que n~ao exigem a observa»c~ao de todos os movimentos. Por exemplo,
suponhamos que s¶o existe um bispo branco sobre o tabuleiro. Como o bispo
se move nas diagonais, portanto sempre em casas da mesma cor, se deixar-
mos de observar o jogo dos deuses por uns momentos e voltarmos depois a
F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 5
prestar aten»c~ao ao jogo, esperamos encontrar ainda um bispo branco, talvez
numa outra posi»c~ao, mas numa casa da mesma cor. ¶E essa a esse^ncia das
leis de conserva»c~ao. N~ao precisamos ver todos os pormenores para sabermos
alguma coisa sobre o jogo.
¶E certo que no xadrez esta lei particular n~ao ¶e necessariamente v¶alida em
todas as circunsta^ncias. Se deixarmos de olhar o tabuleiro por muito tempo,
pode acontecer que o bispo seja capturado, que um pe~ao seja promovido a
rainha ou que um deus decida que ¶e prefer¶³vel que este pe~ao seja promovido
a bispo, ¯cando o novo bispo numa casa preta. Infelizmente, pode aconte-
cer que algumas das leis que compreendemos hoje n~ao sejam perfeitamente
exatas, mas vou consider¶a-las tal qual as conhecemos.
Disse-lhes que usamos palavras correntes num sentido t¶ecnico. Uma
palavra que ¯gura no t¶³tulo desta palestra ¶e \grande" | \Os grandes prin-
c¶³pios de conserva»c~ao". N~ao se trata de um termo t¶ecnico: foi colocado no
t¶³tulo apenas para obter um efeito mais dram¶atico. Podia muito bem ter
dito \As leis de conserva»c~ao". H¶a algumas leis de conserva»c~ao que n~ao fun-
cionam totalmente; s~ao s¶o aproximadamente verdadeiras, o que n~ao impede
que muitas vezes sejam ¶uteis. Podemos chamar-lhes \pequenas" leis de con-
serva»c~ao. Embora v¶a mencionar mais tarde uma ou duas destas leis que n~ao
funcionam totalmente, as leis principais que vou discutir s~ao, tanto quanto
podemos a¯rmar hoje, absolutamente rigorosas.
Come»carei pela lei mais f¶acil de compreender, que diz respeito µa con-
serva»c~ao da carga el¶etrica. Existe um n¶umero, a carga el¶etrica total no uni-
verso, que n~ao varia, seja o que for que suceda. Se perder carga num lugar,
acabo por encontr¶a-la noutro. A conserva»c~ao refere-se ao conjunto de todas
as cargas el¶etricas. Este fato foi descoberto experimentalmente por Faraday.
(...)
Foram descobertas outras leis de conserva»c~ao, que s~ao an¶alogas aos prin-
c¶³pios de contagem que vimos. Por exemplo, os qu¶³micos pensavam a certa
altura que, em quaisquer circunsta^ncias, o n¶umero total de ¶atomos de s¶odio
se conservava. Os ¶atomos de s¶odio, por¶em, n~ao s~ao permanentes. ¶E poss¶³vel
transformar ¶atomos de um elemento noutro, desaparecendo completamente o
elemento original. Uma outra lei na qual se acreditou durante algum tempo
a¯rmava que a massa total de um objeto ¶e invariante. A sua validade depende
da maneira como se de¯ne a massa e se esta ¶e relacionada ou n~ao com a
energia. A lei de conserva»c~ao da massa est¶a inclu¶³da numa outra lei de que
vou falar a seguir: a lei de conserva»c~ao da energia.
F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 6
A conserva»c~ao da energia ¶e um pouco mais dif¶³cil, porque desta vez temos
um n¶umero que n~ao varia com o tempo e n~ao se refere a nenhum objeto
particular. Gostaria de usar uma analogia um pouco grosseira para explicar
o que se passa.
Imaginemos que uma m~ae deixa o seu ¯lho sozinho num quarto a brincar
com 28 cubos absolutamente indestrut¶³veis. A crian»ca brinca com os cubos
durante todo o dia e a m~ae, quando regressa a casa, veri¯ca que ainda existem
28 cubos; constatando, assim, a conserva»c~ao dos cubos! A cena repete-se
durante algum tempo, at¶e que um dia, ao voltar a casa, encontra s¶o 27
cubos. No entanto, encontra um cubo ca¶³do fora da janela, para onde a
crian»ca o tinha atirado. A primeira coisa que ¶e necess¶ario compreender numa
lei de conserva»c~ao ¶e que tem de se veri¯car se a mat¶eria observada n~ao passa
para o outro lado da parede. O inverso tamb¶em poderia ter acontecido: um
amigo podia ter vindo brincar com a crian»ca, trazendo alguns cubos consigo.
Obviamente, estas quest~oes t^em de ser consideradas quando se discutem leis
de conserva»c~ao. Suponhamos que um dia, ao contar os cubos, a m~ae nota
que s¶o h¶a 25, mas suspeita de que a crian»ca escondeu tre^s numa caixa de
brinquedos. \Vou abrir a caixa", diz ent~ao. \N~ao", responde a crian»ca, \voce^
n~ao pode abrir a caixa." Como a m~ae ¶e inteligente, diria: \Sei que a caixa
vazia pesa 600 g e que cada cubo pesa 100 g, de modo que vou pesar a caixa."
Assim, para obter o n¶umero total de cubos a m~ae escreveria
N¶umero de blocos observados +
Peso da caixa¡ 600g
100g
sendo o resultado 28. Este m¶etodo funciona bem durante algum tempo, mas
um dia a soma n~ao d¶a certo. A m~ae veri¯ca, por¶em, que o n¶³vel de ¶agua
suja numa bacia mudou. Sabe que a profundidade da ¶agua ¶e de 6 cm, se n~ao
houver cubos no fundo, e que o n¶³vel subiria de 0,5 cm se um cubo estivesse
dentro da ¶agua. Junta ent~ao um novo termo, ¯cando agora com
N¶umero de blocos observados +
Peso da caixa¡ 600g
100g
+
+
Altura da ¶agua¡ 6cm
0; 5cm
sendo o novo total de 28. µA medida que aumenta o engenho do rapaz, au-
menta tamb¶em o da m~ae, que, de cada vez, tem de somar mais termos, todos
F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 7
representando cubos. Do ponto de vista matem¶atico, trata-se de c¶alculos
abstratos, uma vez que os cubos est~ao escondidos.
Gostaria agora de concluir a minha analogia e de dizer o que h¶a de seme-
lhante e de diferente entre a conserva»c~ao dos cubos e a conserva»c~ao da energia.
Em primeiro lugar, suponhamos que em nenhuma das situa»c~oes a m~ae viu
cubos. O termo \n¶umero de cubos vis¶³veis" nunca aparece. Ent~ao a m~ae
estaria sempre a calcular termos como \cubos na caixa", \cubos na ¶agua",
etc. O mesmo se passa com a energia: n~ao existem cubos, tanto quanto sabe-
mos. Al¶em disso, ao contr¶ario do caso dos cubos, os n¶umeros que aparecem
no caso da energia n~ao s~ao inteiros. Penso no que poderia acontecer µa pobre
m~ae se, quando calculasse um termo, encontrasse 6 cubos e 1=8, ao calcular
um outro, obtivesse 7=8 de cubo, sendo o resto 21, o que ainda totaliza 28.
¶E o que acontece no caso da conserva»c~ao da energia.
Descobrimos para a energia um esquema com uma s¶erie de regras. A
partir de cada conjunto de regras podemos calcular um n¶umero para cada
tipo diferente de energia. Quando adicionamos todos os n¶umeros, referentes a
todas as diferentes formas de energia, resulta sempre o mesmo total. Todavia,
tanto quanto sabemos, n~ao existem unidades reais, n~ao h¶a pequenas esferas
de energia. Trata-se de uma abstra»c~ao, puramente matem¶atica: h¶a apenas
um n¶umero que n~ao varia, qualquer que seja o modo como ¶e calculado. N~ao
consigo dar melhor interpreta»c~ao do que esta.
Esta energia assume v¶arias formas, µa semelhan»ca dos cubos na caixa, na
¶agua, etc. Existe energia devida ao movimento, chamada \ energia cin¶etica",
energia devida µaintera»c~ao gravitacional, chamada \energia potencial gravita-
cional", energia t¶ermica, energia el¶etrica, energia da luz, energia el¶astica, por
exemplo, numa mola, energia qu¶³mica, energia nuclear | e existe tamb¶em a
energia que qualquer part¶³cula tem pelo simples fato de existir, energia que
depende diretamente da respectiva massa. Esta ¶ultima deve-se a Einstein,
como com certeza sabem. E = mc2 ¶e a famosa equa»c~ao que representa a lei
de que estou a falar.
Embora tenha mencionado um grande n¶umero de energias, gostaria de ex-
plicar que n~ao somos completamente ignorantes e que conhecemos, de fato, as
rela»c~oes entre algumas destas energias. Por exemplo, aquilo a que chamamos
\energia t¶ermica" ¶e, em grande medida, a energia cin¶etica do movimento das
part¶³culas no interior de um objeto. A energia el¶astica e a energia qu¶³mica
te^m ambas a mesma origem, nomeadamente as for»cas interato^micas. Quando
os ¶atomos se rearranjam segundo uma nova estrutura, veri¯ca-se que h¶a uma
F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 8
varia»c~ao de energia, implicando essa mudan»ca que algo mais tem de aconte-
cer. Por exemplo, na combust~ao de qualquer coisa varia a energia qu¶³mica e
ocorre um °uxo de calor: o balan»co de energia tem de estar certo. As energias
el¶astica e qu¶³mica prove^m de intera»c~oes entre os ¶atomos. Sabemos hoje que
estas intera»c~oes s~ao uma combina»c~ao de duas coisas, a energia el¶etrica e a
energia cin¶etica, embora esta ¶ultima seja descrita por uma f¶ormula qua^ntica.
A energia da luz n~ao ¶e mais do que energia el¶etrica, uma vez que a luz ¶e hoje
interpretada como uma onda eletromagn¶etica. A energia nuclear n~ao pode
ser representada em fun»c~ao das outras; de momento s¶o posso dizer que ¶e o re-
sultado das for»cas nucleares. N~ao estou falando apenas da energia produzida.
No n¶ucleo de ura^nio existe uma determinada quantidade de energia; quando
se desintegra, a quantidade de energia nuclear muda, mas a quantidade to-
tal de energia no mundo n~ao varia: no decurso da desintegra»c~ao liberta-se,
portanto, calor e mat¶eria, a ¯m de que a energia seja conservada.
F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 9
IF { UFRJ { 2004/1
F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta)
Lista de exerc¶³cios 10
Trabalho e Energia
1. Um bloco de massa m = 0; 5 kg move-se com velocidade ~v0 constante
sobre uma mesa horizontal lisa. Calcule o trabalho realizado por todas
as for»cas que atuam sobre o bloco no seu deslocamento entre os pontos
A e B distantes 3 m entre si.
A B
oov
r 1Ex. 
b
h
oov
r 2Ex. 
2. Um bloco de massa m = 0; 2 kg move-se com velocidade ~v0 constante
sobre um plano inclinado com altura h = 3 m e base b = 4 m. Calcule
o trabalho realizado por cada uma das for»cas que atuam no bloco desde
o alto at¶e a base do plano inclinado.
3. Um bloco de massa m move-se sobre uma mesa horizontal. O coe-
¯ciente de atrito cin¶etico entre a superf¶³cie da mesa e o bloco ¶e ¹c.
Calcule o trabalho realizado por todas as for»cas que atuam sobre o
bloco no seu deslocamento entre o ponto A, onde sua velocidade ¶e ~v0,
e o ponto B, onde o bloco p¶ara, em fun»c~ao dos dados (m, ¹c, v0 e g).
4. Um bloco de massa m = 0; 5 kg sobe um plano inclinado com altura
h = 3 m e base b = 4 m. O coe¯ciente de atrito cin¶etico entre o bloco
e a superf¶³cie ¶e ¹ = 0; 25, a velocidade do bloco quando ele come»ca a
subir o plano inclinado ¶e 8 m/s, e a acelera»c~ao da gravidade pode ser
considerada como g = 10 m=s2.
(a) Calcule o trabalho realizado por todas as for»cas que atuam no
bloco desde o in¶³cio da subida at¶e o ponto que o bloco p¶ara.
(b) Calcule a varia»c~ao da energia cin¶etica do bloco.
(c) Calcule a dista^ncia que o bloco percorreu at¶e parar.
F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 10
5. Para empurrar um caixote de 25; 0 kg numa rampa sem atrito que
faz um a^ngulo de 30± com a horizontal, um oper¶ario exerce uma for»ca
constante de 200 N, paralela µa rampa. Se o caixote se desloca de 1; 5 m,
qual o trabalho executado sobre o caixote
(a) pelo oper¶ario,
(b) pelo peso do caixote,
(c) pela for»ca normal exercida pela rampa sobre o caixote?
(d) Qual a varia»c~ao na velocidade do caixote, se ele parte do repouso?
6. Considere um corpo de massa m movendo-se sob a a»c~ao de uma for»ca
~F constante. Demonstre que neste caso | em que a for»ca resultante
¶e constante | o \teorema trabalho-energia cin¶etica" ¶e equivalente µa
equa»c~ao v2f = v
2
i + 2~a ¢ ¢~r (µas vezes chamada de \equa»c~ao de Tor-
ricelli"), onde ~vf ¶e a velocidade ¯nal, ~vi ¶e a velocidade inicial, ~a ¶e a
acelera»c~ao do corpo e ¢~r ¶e a dista^ncia percorrida pelo corpo entre os
instantes inicial e ¯nal. Mostre que se o movimento ¶e unidimensional,
esta express~ao pode ser escrita como v2f = v
2
i +2 a¢x, onde ¢~r = ¢x ³^.
7. Um homem de 90 kg pula de uma janela para uma rede de bombeiros,
10 m abaixo. A rede se estica de 1; 0 m antes de deter a queda e
arremessar o homem para cima. Qual a energia potencial da rede esti-
cada, supondo que a energia meca^nica ¶e conservada?
8. Considere o sistema constitu¶³do por um corpo de massa m ligado a
um ¯o de comprimento ` preso a um ponto A. Sabe-se que a tens~ao
m¶axima suportada pelo ¯o ¶e igual a 2mg. Se a massa ¶e solta de um
ponto B situado na mesma horizontal de A, a que dista^ncia vertical h
abaixo desta horizontal a corda se rompe?
A
B
l h
F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 11
9. Um objeto de massa m desliza ao longo de uma pista sem atrito con-
tendo uma curva circular vertical de raio r, como mostrado na ¯gura.
O objeto parte do repouso de um ponto A na pista, a uma altura h
acima da base da curva, passa por B, na base e d¶a a volta na curva.
(a) Determine o m¶odulo da velocidade do objeto nos pontos B, C eD
da ¯gura.
(b) Determine a menor altura h para que o corpo de^ uma volta com-
pleta na pista circular.
(c) Determine a altura h0 tal que, quando a part¶³cula atingir o ponto
D, ela exer»ca sobre a pista uma compress~ao igual ao seu pr¶oprio
peso.
A
B
C
Dh
r
9Ex. 
qq
°°30
10Ex. 
10. Um pe^ndulo de 1 m de comprimento ¶e amarrado ao topo de um arm¶ario,
como mostra a ¯gura.O peso ¶e elevado de tal modo que a corda fa»ca um
angulo de 30± com a vertical, e, ent~ao, liberado. Se o lado do arm¶ario
tiver comprimento 0; 5 m, que a^ngulo a corda far¶a com a vertical quando
o peso estiver em seu ponto mais alto sob o arm¶ario? Admita que todos
os efeitos de atrito s~ao desprez¶³veis.
11. Um objeto de massa m ¶e amarrado num suporte no teto usando-se
uma corda ¯na e °ex¶³vel de comprimento l. Ele ¶e deslocado at¶e que a
corda esteja esticada horizontalmente, como mostra a ¯gura, e depois
¶e deixado livre.
(a) Ache a velocidade atingida pela massa quando ela est¶a diretamente
abaixo do ponto de suspens~ao, na base de sua oscila»c~ao.
(b) Ache a tens~ao na corda neste ponto, imediatamente antes da corda
tocar no pino.
F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 12
(c) A corda ¶e interceptada por um pino, como mostra a ¯gura. Qual
a dista^ncia b m¶³nima para que a massa realize um giro completo
em torno do pino?
l
b
11Ex. 
1m
2m
h
12Ex. 
12. Analise, usando considera»c~oes de energia, o movimento da m¶aquina de
Atwood mostrada na ¯gura. A corda e a polia t^em massas desprez¶³veis,
a polia n~ao tem atrito, e m1 > m2. O sistema est¶a inicialmente em
repouso.
(a) Se voce^ considerar o topo da mesa sobre a qual m2 repousa como
o n¶³vel de refer^encia, qual a energia total do sistema?
(b) O sistema ¶e liberado e m1 desce. Escreva uma express~ao para a
energia total do sistema pouco antes de m1 atingir a mesa.
(c) Com os resultados dos itens (a) e (b), determine a velocidade dos
corpos pouco antes de m1 atingir a mesa.
(d) Quando m1 atinge a mesa, a corda torna-se frouxa. Use consi-
dera»c~oes de energia para determinar a que dista^ncia m2 se eleva
depoisdisso.
13. Uma bola de 0; 5 kg ¶e lan»cada verticalmente para cima com velocidade
inicial de 20 m/s e atinge uma altura de 15m. Calcule a perda de
energia devida µa resist^encia do ar. Considere g = 9; 8 m/s2.
14. (a) Usando o teorema trabalho-energia, ache a dista^ncia m¶³nima para
parar um autom¶ovel se movendo numa superf¶³cie horizontal onde
o coe¯ciente de atrito entre os pneus e a estrada ¶e ¹ e a velocidade
inicial ¶e v0.
(b) Qual seria a dista^ncia m¶³nima se v = 25; 82 m/s (96; 564 km/h) e
¹ = 0; 8?
F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 13
(c) Ache a resposta do item (a) supondo que haja um \tempo de
rea»c~ao" tr entre o instante em que o motorista ¶e avisado para
parar e o momento em que os freios s~ao aplicados.
(d) Qual a resposta do item (b) se o tempo de rea»c~ao do motorista for
de 0; 65 s? Considere g = 9; 81 m/s2.
15. Um modo simples de se medir o coe¯ciente de atrito cin¶etico entre duas
superf¶³cies ¶e mostrado na ¯gura. Um bloco de massa m desliza numa
superf¶³cie horizontal; a interface entre os dois ¶e a interface de atrito a
ser estudada. Este bloco ¶e acelerado atrav¶es de uma dista^ncia h pela
queda da massa m0. Depois da massa m0 bater no ch~ao, a massa m
continua a se mover ao longo da superf¶³cie, at¶e parar, devido ao atrito,
ap¶os percorrer uma dista^ncia adicional d. Usando a conserva»c~ao de
energia, determine:
(a) uma express~ao para o coe¯ciente de atrito cin¶etico em termos das
grandezas mensur¶aveis m;m0; h e d;
(b) o coe¯ciente de atrito no caso em que m = 0; 200 kg,m0 = 20; 0 kg,
h = 0; 200 m e d = 0; 500 m.
'm
m h
h
d
15 Ex.
1 2 3 4 5 6 7
x (m)
-3
-2
-1
0
1
2
3
F (N ) Ex. 16
16. Uma for»ca F paralela ao eixo x varia conforme o gr¶a¯co da ¯gura.
(a) Determine o trabalho realizado pela for»ca atuando sobre uma part¶³-
cula que se move de x = 0 at¶e x = 3 m.
(b) Calcule o trabalho realizado por F quando a part¶³cula passa de
x = 3 m a x = 6 m.
(c) Ache o trabalho realizado no percurso de x = 0 at¶e x = 6 m.
F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 14
17. O gr¶a¯co da ¯gura representa a varia»c~ao de uma for»ca unidimensional
em fun»c~ao da dista^ncia µa origem do eixo x. Esta for»ca est¶a agindo sobre
uma part¶³cula de massa 2 kg que est¶a com velocidade 3 m/s no ponto
x = 0. Qual ¶e a sua velocidade em x = 4 m?
1 2 3 4
x (m )0
1
2
3
F (N ) Ex. 17
m
18 Ex.
h
18. A mola representada na ¯gura tem a massa desprez¶³vel e sua constante
el¶astica tem um valor igual a k. Um bloco de massa m ¶e largado,
num certo instante, de uma altura h acima do topo da mola. Supondo
desprez¶³veis os poss¶³veis atritos, sabendo que o bloco desliza ao longo
de um cilindro vertical e que a extremidade inferior da mola est¶a ¯xa,
calcule o deslocamento m¶aximo do topo da mola.
19. Um bloco de massa m ¶e empurrado por uma for»ca ~Fext contra uma mola
de constante el¶astica k. O bloco comprime a mola a uma velocidade
constante, at¶e uma dista^ncia d em rela»c~ao µa posi»c~ao de equil¶³brio da
mola. A velocidade do bloco (e de seu extremo) pode ser considerada
como sendo muito pequena, de forma tal que podemos desprezar a
energia cin¶etica do bloco no processo de compress~ao da mola. Logo
que a mola ¯ca comprimidade de d, solta-se o bloco e este desliza pela
pista, como mostra a ¯gura. N~ao existe atrito em parte alguma.
k
m
extF
r
d
19 Ex.
B··
··
C
h
F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 15
(a) Qual ¶e o trabalho Wext realizado pela for»ca ~Fext? Em que foi
transformado este trabalho?
(b) Qual ¶e a velocidade ~v0 do bloco quando chega ao ponto B, a p¶e
da pista curvil¶³nea?
(c) Qual a altura que o bloco atinge, ao chegar ao ponto C, onde p¶ara?
(d) Calcule os valores das grandezas obtidas nos itens anteriores
para o caso em que k = 200 dinas/cm, d = 2 m e m = 2 g.
Indique as unidades de cada grandeza que calcular. Considere
g = 10 m/s2.
20. Um objeto move-se ao longo do eixo x impulsionado por duas for»cas,
~F1 e ~F2, como mostrado na ¯gura. O m¶odulo da for»ca ~F1 varia com x
e o de ~F2 ¶e constante e igual a 20 N.
(a) Determine o trabalho realizado por ~F1 quando o objeto se move
de x = 0 at¶e x = 3 m.
(b) Qual o trabalho correspondente realizado por ~F2?
(c) Qual a velocidade do objeto em x = 3 m, se ele parte do repouso
em x = 0 e seu peso ¶e de 80 N? Suponha que n~ao exista atrito
entre o corpo e a superf¶³cie e considere g = 10 m/s2.
1F
r
2F
r
oo60
20 Ex.
k
m
21 Ex. C
Ch
··
··
Bh
B
qq
21. Um bloco de massa m = 0; 2 kg est¶a encostado em uma mola compri-
mida de 8 cm em rela»c~ao ao seu comprimento normal. Ao ser liberada
a mola, o bloco desloca-se plano inclinado acima, chegando ao ponto
B (altura hB = 1; 8 m) com velocidade vB = 4 m/s. Considere que
no trecho at¶e B n~ao h¶a atrito. A partir de de B o atrito n~ao ¶e mais
desprez¶³vel, e o bloco ¯nalmente p¶ara no ponto C (altura hC = 2; 2 m).
A inclina»c~ao do plano ¶e de 30±.
(a) Calcule, em fun»c~ao dos dados do problema, o valor da constante
el¶astica da mola.
F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 16
(b) Qual o trabalho realizado pela for»ca de atrito desde o instante
inicial at¶e o instante em que o bloco p¶ara?
(c) Determine o coe¯ciente de atrito entre o bloco e a superf¶³cie do
plano inclinado no trecho BC.
22. Considere dois observadores, o primeiro ¯xo ao solo e o outro num trem
que se move com velocidade uniforme u em rela»c~ao ao solo. Cada um
deles observa que uma part¶³cula de massa m, inicialmente em repouso
em rela»c~ao ao trem, ¶e acelerada por uma for»ca constante aplicada a ela
durante um intervalo de tempo t, e orientada no sentido do movimento.
(a) Mostre que, para cada observador, o trabalho realizado pela for»ca
¶e igual ao acr¶escimo de energia cin¶etica da part¶³cula, mas que um
observador (no trem) mede estas grandezas como sendo 1=2ma2t2,
enquanto que o outro (no solo) encontra 1=2ma2t2 +maut, onde
a ¶e a acelera»c~ao da part¶³cula vista pelos dois observadores.
(b) Explique as diferen»cas entre os trabalhos realizados pela mesma
for»ca em termos das diferentes dista^ncias nas quais os observadores
medem a for»ca que atua durante o tempo t. Explique as diferentes
energias cin¶eticas ¯nais medidas por cada observador em fun»c~ao do
trabalho que a part¶³cula poderia realizar ao ser trazida ao repouso,
em rela»c~ao ao sistema de refere^ncia de cada observador.
23. Considere o sistema constitu¶³do por uma massa m apoiada numa mesa
horizontal lisa e presa a uma extremidade de uma mola de massa des-
prez¶³vel e constante el¶astica k. A outra extremidade da mola est¶a ¯xa.
(a) Calcule a energia potencial do sistema e trace o gr¶a¯co desta fun»c~ao.
(b) Se o sistema massa-mola for comprimido de uma dista^ncia d em
rela»c~ao ao seu comprimento de equil¶³brio, qual ¶e a energia total do
sistema?
(c) Para a energia do item (b), quais as regi~oes do espa»co em que a
massa pode ser encontrada?
(d) Calcule os valores m¶aximo e m¶³nimo da velocidade da massa. Em
que pontos esses valores ocorrem?
F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 17
24. Uma part¶³cula desloca-se sobre um eixo x sob a»c~ao de uma for»ca resul-
tante conservativa cuja energia potencial est¶a representada no gr¶a¯co.
No instante inicial a part¶³cula estava no ponto x1, afastando-se da
origem do eixo x.
x7 x8 x9x4 x5x2 x3
x
6x1
 x
U(x)
(a) Descreva o movimento da part¶³cula quando a energia meca^nica total
¶e E1. Caso existam, quais s~ao os pontos de invers~ao neste movimento?
(b) Repita o item (a) no caso em que a energia meca^nica total ¶e E2.
(c) Idem para o caso em que a energia meca^nica total ¶e E3.
(d) Em que regi~oes do eixo x a for»ca resultante aponta para a origem
do eixo x? Justi¯que todas as suas respostas.
25. Um corpo de massa 1 kg que se move sobre o eixo x est¶a sujeito auma
for»ca dada por
F (x) = ¡2x
onde x ¶e dado em metros e F em Newtons.
(a) Determine a energia potencial U em fun»c~ao de x, considerando
U (0) = 0.
(b) Trace o gr¶a¯co de U contra x.
(c) Qual o ponto de equil¶³brio est¶avel e qual a energia do corpo nesta
situa»c~ao?
(d) Se em x = 0 o corpo tem velocidade v0 = 1 m/s, qual a regi~ao de
x para a qual o corpo oscila?
26. Uma part¶³cula de massa m = 2 kg move-se ao longo de uma linha reta
em uma regi~ao em que a sua energia potencial varia como na ¯gura.
F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 18
N~ao h¶a for»cas dissipativas agindo. Quando x!1, a energia potencial
se anula.
x
2
x1
6
-5
 x
U(x )
(a) Sabendo-se que a part¶³cula se aproxima da origem (x = 0) e que
sua energia cin¶etica quando est¶a muito longe dela ¶e de 10 J, determine
o m¶odulo de sua velocidade ao passar pelos pontos x1 e x2.
(b) Em que regi~ao a part¶³cula pode ser encontrada se sua energia total
for de ¡3 J?
(c) Neste caso, quanta energia deve ser fornecida µa part¶³cula para que
ela se afaste inde¯nidamente da origem?
27. A energia potencial de uma part¶³cula de massa m em fun»c~ao de sua
posi»c~ao x esta indicada na ¯gura. Calcule o per¶³odo de uma oscila»c~ao
completa, caso a part¶³cula tenha uma energia meca^nica total dada por
E = 3U0=2.
E
2U 0
U 0
0 b
 x
U(x)
F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Resp.Ex.10 | p. 19
IF { UFRJ { 2004/1
F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta)
Lista de exerc¶³cios 10 { Respostas
1. WNORMAL = 0 J ; WPESO = 0 J.
2. WNORMAL = 0 J ; WPESO = 6; 0 J; WATRITO = ¡ 6; 0 J.
3. WNORMAL = 0 J ; WPESO = 6; 0 J; WATRITO = ¡12 mv2±.
4. (a) WNORMAL = 0 J; WPESO = 0 J; WATRITO = ¡ 4; 0 J;
(b) ¢Ec = ¡ 16; 0 J; (c) 4; 0 m.
5. (a) 300; 0 J; (b) ¡ 187; 5 J; (c) 0 J; (d) 3; 0 m/s.
6. (Leia a demonstra»c~ao no livro texto, e discuta com seu professor.)
7. 9; 9 £ 103 J.
8. 23 `.
9. (a) vB =
p
2 g h ; vC =
q
2g (h¡ r) ; vD =
q
2g (h¡ 2r) ;
(b) h = 5 r=2; (c) h0 = 3r.
10. arccos 0; 73 = 43±.
11. (a)
p
2g` ; (b) 3mg ; (c) 2
5
`.
12. (a) m1 g h ; (b)
1
2
(m1 +m2) v2 +m2 g h ;
(c)
q
m1¡m2
m1+m2
2g h ; (d) m1¡m2m1+m2 h.
13. ¡ 25 J.
14. (a) v2±=(2¹g); (b) 42 m; (c) v
2
±=(2¹g) + v± tr ; (d) 59 m.
15. (a) ¹= (m0 h) = [(m+m0) d +mh]; (b) 0; 39.
16. (a) 7; 5 J; (b) ¡ 3; 0 J; (c) 4;5 J.
17. 3; 9 m/s.
F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Resp.Ex.10 | p. 20
18. mg=k
³
1 +
q
1 + 2kh=(mg)
´
.
19. (a) WEXT = 12 kd
2; em energia potencial el¶astica; (b) v± =
q
k=md;
(c) h = kd2=(2mg); (d) WEXT = 0; 4 J, v± = 20 m/s, h = 20 m.
20. (a) 0 J; (b) considerando o a^ngulo entre ~F2 e a horizontal como sendo
de 60±, 30 J; (c) 2; 7 m/s.
21. Usando g = 10 m/s2, (a) k = 1625 N/m, (b) WAT = ¡ 0; 8 J, (c) 0; 6.
22. (Discuta com o seu professor).
23. (a) Considerando a energia potencial el¶astica igual a zero quando a mola
n~ao est¶a comprimida nem distendida, Ep =
1
2 k x
2 (x ¶e o deslocamento
da massa em rela»c~ao µa posi»c~ao de equil¶³brio do sistema). (b) E = 1
2
k d2.
(c) ¡ d · x · +d. (d) vMAX = +
q
k=m; d e vMIN = ¡
q
k=m; d; ambas
ocorrem quando x = 0.
24. As energias n~ao est~ao indicadas na ¯gura; considere E1 como sendo a
energia associada µa linha pontilhada mais baixa, E2 a seguinte, e E3 µa
mais alta. (a) Movimento oscilat¶orio entre os pontos x1 e x3; pontos de
invers~ao x1 e x3. (b) O corpo move-se aumentando sua velocidade at¶e
x2, e come»ca, a partir da¶³, a ter sua velocidade reduzida, at¶e parar em
x4; nesse ponto, ¶e acelerado para x = 0. (c) O corpo move-se at¶e x9 e
retorna. (d) At¶e o primeiro m¶aximo (n~ao indicado na ¯gura, antes de
x1) a for»ca ¶e negativa (aponta para a origem do eixo); a for»ca tamb¶em
aponta para x = 0 em: x2 < x < x4 e x > x6.
25. (a) U (x) = x2. (c) x = 0; para ocorrer equil¶³brio est¶avel, E = 0. (d)
¡0; 7 · x · 0; 7.
26. (a) T (x1) = 4 J, T (x2) = 15 J. (b) Substitua no enunciado \se sua
energia total for de ¡ 3J" por \se sua energia total for de ¡ 5 J": em
x = x1. (c) Nesse caso, 11 J.
27. Na ¯gura, falta a indica»c~ao do valor de x para o qual a energia potencial
salta do valor U± para o valor 1; 5U±; considere esse valor como sendo
1; 5 b.
per¶³odo completo = 2 b
q
7
12
m=U±.
1
IF { UFRJ { 2004/1
F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta)
GUIA DE ESTUDO 4
M¶odulo 4: A Rotac»~ao de um Corpo
1. INTRODUC» ~AO
Neste m¶odulo, estudaremos o movimento de rota»c~ao de um corpo, e as
grandezas que usamos para descreve^-lo: coordenada, velocidade e acelera»c~ao
angulares. Introduziremos o conceito de torque ~¿ de uma for»ca em rela»c~ao a
um ponto, e momento angular ~L de um corpo em rela»c~ao a um ponto. Dis-
cutiremos a rela»c~ao entre eles, a \segunda lei" para rota»c~oes. Tudo ilustrado
com o movimento planet¶ario e as leis de Kepler.
Leituras indispens¶aveis:
Os t¶opicos citados acima correspondem a parte dos cap¶³tulos 10 (se»c~oes 10.1
a 10.8), 11 (se»c~oes 11.3 e 11.4, e parte da se»c~ao 11.2) e a revis~ao do cap¶³tulo
3 (se»c~oes 3.7 e 3.8) do livro texto, H.M. Nussensveig, Curso de F¶³sica B¶asica,
Vol. 1 { Meca^nica, 3a edi»c~ao, Editora Edgard Blucher Ltda.
2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA
Atividade extra 1
1. Resolva os exerc¶³cios 1 a 4 da Lista de Exerc¶³cios 11, mais
uma sobre vetores.
Atividade 1
Discuss~ao sobre as leis de Kepler e sobre a lei da gravita»c~ao universal
de Newton (se»c~oes 10.1 a 10.8 do livro texto); e uma revis~ao sobre a
descri»c~ao do movimento circular (se»c~oes 3.7 e 3.8 do livro texto), com
a obten»c~ao da rela»c~ao entre raio m¶edio da ¶orbita e per¶³odo (a terceira
Lei de Kepler).
Atividade 2
Demonstrar, a partir da lei da gravita»c~ao universal de Newton, a ter-
ceira lei de Kepler para uma ¶orbita circular (o problema inverso do
resolvido na se»c~ao 10.6 do livro texto).
F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 2
Atividades extras 2
1. Leia as se»c~oes 10.1 a 10.8 do cap¶³tulo 10 do livro texto.
2. Resolva os problemas 3, 4 e 6 da Lista de exerc¶³cios 12
(Rota»c~oes, Torque e Momento Angular da Part¶³cula).
3. Resolva o problema 7 da Lista 11 (... E Mais Vetores).
4. Resolva os problemas 3.18, 3.19 e 3.20 do cap¶³tulo 3 do
livro texto.
5. Resolva os problemas 10.1, 10.2 e 10.3 do cap¶³tulo 10 do
livro texto.
Atividade 3
Discuss~ao:
| o que ¶e o produto vetorial de dois vetores, quais suas propriedades
e maneiras de calcul¶a-lo (pequeno trecho µas p¶aginas 229 e 230 da se»c~ao
11.2 do livro texto);
| o conceito de torque de uma for»ca;
| o conceito de momento angular de um corpo;
| e como reescrever a segunda lei de Newton para rota»c~oes: d
~L±
dt
= ~¿ res± ;
| e, ¯nalmente, como demonstrar as leis de Kepler a partir da lei da
gravita»c~ao universal de Newton.
Atividade 4
Resolu»c~ao dos problemas 9, 11, 12, 13 e 14 da Lista 12.
Atividades extras 3
1. Leia (releia!) as se»c~oes 3.7 e 3.8 do livro texto.
2. Leia a parte da se»c~ao 11.2 referente ao produto vetorial
de dois vetores.
3. Leia as se»c~oes 11.3 e 11.4 do livro texto.
4. Resolva todos os exerc¶³cios (os que faltam) da Lista 11,
sobre vetores e produto vetorial.
5. Resolva todos os exerc¶³cios (os que faltam) da Lista 12.
F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 3
Atividade 5
Resolu»c~ao de problemas, a crit¶erio do professor.
Atividades extras 4
1. Releia tudo que foi indicado nas aulas anteriores.
2. Resolva todos os problemas da Lista 12 (rota»c~oes, torque
e momento angular) que voce^ ainda n~ao resolveu.
3. Leia as se»c~oes 3.4, 3.5 e 3.6 do cap¶³tulo 3.
3. ATIVIDADES DE ESTUDO EM CASA
1. Releia tudo: cap¶³tulos 1 (todo), 2 (todo), 3 (todo), 4 (todo), 5 (exceto
se»c~ao 5.4), 6 (todo), 7 (se»c~oes 7.1, 7.2, 7.3 e parte a da se»c~ao 7.6), 10
(exceto se»c~oes 10.9, 10.10 e 10.11), 11 (apenas as se»c~oes 11.3 e 11.4,
mais a de¯ni»c~ao de produto