GEOMETRIA PLANA

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GEOMETRIA PLANA 
 
Noções primitivas 
 
 Os elementos primitivos da geometria são o 
ponto, a reta e o plano, cujas definições são 
impossíveis de serem enunciadas, pois só se tem uma 
noção intuitiva do que sejam. 
 
 
 
• A reta r acima pode ser representada assim: 
• Ponto, reta e plano, não têm dimensões. 
• Representa-se um ponto por uma letra maiúscula 
 do nosso alfabeto, uma reta por uma letra 
 minúscula e um plano por uma letra do alfabeto 
 grego. 
• Dois pontos distintos determinam uma única reta. 
• Numa reta existem infinitos pontos. 
• Num plano há infinitos pontos. 
• Três pontos determinam um único plano que passa 
 por eles. 
• Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, 
 então a reta está contida nesse plano. 
• Duas retas contidas num mesmo plano são ditas 
 coplanares, caso pertençam a planos distintos, 
 são denominadas reversas. 
• Duas retas r e s, contidas num mesmo plano, 
 podem ser concorrentes, se têm um único ponto 
 em comum; 
 
 
 paralelas, se: 
 
 não têm ponto em comum ou 
 
 
 
se são coincidentes (iguais) quando têm todos os pontos 
em comum. 
 
 
 
Segmento de reta 
 
 Dados dois pontos distintos P e Q, a reunião do 
conjunto desses dois pontos com o conjunto dos pontos 
que estão entre eles e alinhados com os mesmos, 
denomina-se segmento de reta. 
 
• Dois segmentos são congruentes quando têm a 
 mesma medida. 
 
• O ponto médio de um segmento é o ponto que o 
 divide em dois segmentos iguais. 
 
 
 
Semi-reta 
 
 Dados dois pontos distintos P e Q, a reunião do 
segmento de reta PQ, com o conjunto dos pontos X tais 
que Q está entre P e X é a semi-reta PQ. 
 
 
 
• Duas semi-retas são opostas se estão na mesma 
 reta, têm mesma origem e sentidos contrários. 
 
 
 
 
Ângulo 
 É uma região do plano limitada por duas semi-
retas de mesma origem. Na figura abaixo temos o ângulo 
de lados e vértice A, cuja representação é: 
BAC, BÂC ou Â, que representa o ângulo convexo, 
salvo menção contrária. 
 
 
Ângulos consecutivos – Dois ângulos que têm o 
mesmo vértice e um lado comum. 
 
 
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Ângulos adjacentes – Dois ângulos consecutivos que 
não têm pontos internos comuns. 
 
 
 
Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.)– Dois ângulos αααα 
e ββββ são o.p.v. se os lados de αααα são as semi-retas 
opostas dos lados de ββββ. 
 
 
 
Ângulo suplementar adjacente 
 
 Dado o ângulo AÔB, as semi-retas opostas AO e 
OC determinam um ângulo BÔC que se chama ângulo 
suplementar adjacente de AÔB. 
 
 
 
Ângulo reto – Ângulo igual ao seu suplementar 
adjacente. 
 
 
Ângulo raso – Ângulo formado por dois retos 
adjacentes. 
 
 
Ângulo agudo – Ângulo menor que um reto. 
 
 
 
 
Ângulo obtuso – Ângulo maior que um reto e menor 
que um raso. 
 
 
 
 
Unidades de medida de um ângulo 
 
 Um ângulo pode ser medido em graus, cujos 
submúltiplos são o minuto e o segundo, em grados (gr) 
ou radianos (rad), este último será definido 
posteriormente. 
Ao dividirmos um ângulo reto em 90 partes 
iguais, cada uma dessas mede um grau (1º). Se 
dividirmos um grau em 60 partes, cada uma dessas 
partes medirá um minuto (1’) e se dividirmos um minuto 
em 60 partes, cada uma dessas partes será um 
segundo (1“). Se dividirmos um ângulo reto em 100 
partes iguais, cada uma dessas partes será um grado. 
 1º = 60’ 
 1’ = 60” 
 1º = 3600” 
 90º = 100gr 
 
Ângulos complementares – São dois ângulos cuja 
soma é igual a 90º. 
 
Ex: O complemento de 30º é _________ 
 O complemento de 15º é _________ 
 O complemento de x é _________ 
 
Ângulos suplementares – São dois ângulos cuja soma 
é igual a 180º. 
 
Ex: O suplemento de 135º é _________ 
 O suplemento de 150º é _________ 
 O suplemento de x é _________ 
 
Ângulos replementares – São dois ângulos cuja soma 
é igual a 360º. 
 
Ex: O replemento de 300º é ____________ 
 O replemento de 180º é ____________ 
 O replemento de x é ____________ 
 
Ângulos explementares – São dois ângulos cujo 
módulo da diferença é igual a 180º. 
 
Ex: 60º e 240º são explementares. 
 
Bissetriz e um ângulo 
 
 É uma semi-reta interna ao ângulo, com origem 
no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos 
congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 01 Calcule x em cada uma das figuras: 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
Exercício 02 (UNIFOR) Às 12h, um matemático telefonou 
para seu filho e disse: “Encontre-me em casa antes das 
13h, quando os ponteiros do relógio estiverem alinhados 
em sentidos opostos”. Dos horários abaixo, o que mais 
se aproxima do horário desse encontro é: 
 
A) 12h30min 
B) 12h31min20s 
C) 12h32min8s 
D) 12h32min43s 
E) 1233min30s 
 
 
 
Exercício 03 (UECE) O ângulo igual a 5/4 do seu 
suplemento mede: 
 
A) 100º 
B) 144º 
C) 36º 
D) 80º 
 
 
 
 
 
Exercício 04 (UFES) O triplo do complemento de um 
ângulo é igual à terça parte do suplemento desse ângulo. 
Esse ângulo mede: 
 
A) 157º 30’ 
B) 56º 15’ 
C) 315º 
D) 78º 45’ 
E) 112º 30’ 
 
Exercício 05 Dê o somatório das afirmativas corretas: 
 
(01) Dois ângulos consecutivos são adjacentes 
(02) Dois ângulos adjacentes são consecutivos 
(04) Dois ângulos opostos pelo vértice são 
 consecutivos 
(08) Dois ângulos suplementares são adjacentes 
(16) Dois ângulos complementares podem ser 
 consecutivos 
(32) O suplemento de um ângulo agudo é um 
 ângulo obtuso 
(64) Os ângulos de medidas 10º, 30º e 50º são 
 complementares 
 
 
 
 
Exercício 06 (UFRJ) Sendo y e 3x – 45º dois ângulos 
suplementares e sabendo que 20º < x ≤ 35º, assinale a 
metade do maior valor inteiro que y pode assumir: 
 
A) 60 
B) 80 
C) 81 
D) 160 
E) 162 
 
 
 
 
 
Ângulos nas paralelas 
 
 
 
Na figura acima, temos duas retas paralelas r e s 
cortadas por uma transversal t, formando oito ângulos. A 
região situada entre as paralelas é denominada região 
interna e a região situada acima de r ou abaixo de s é 
denominada região externa. 
 
São ângulos congruentes (têm mesma medida): 
 
Ângulos correspondentes: { , }; { , }; { , }; { , } 
Ângulos o.p.v.: { , }; { , }; { , }; { , } 
Ângulos alternos internos: { , }; { , } 
Ângulos alternos externos: { , }; { , } 
 
São ângulos suplementares (somam 180º): 
 
Ângulos adjacentes: { , }; { , }; { , }; { , } 
Ângulos colaterais internos: { , } e { , } 
Ângulos colaterais externos: { , } e { , } 
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Exercício 07 Calcule x em cada caso, sabendo que as 
retas r e s são paralelas: 
 
 
 
 
Exercício 08 (FUVEST) Na figura, as retas r e s são 
paralelas, o ângulo 1 mede 45º e o ângulo 2 mede 55º. A 
medida, em graus, do ângulo 3 é: 
 
A) 50 
B) 50 
C) 60 
D) 80 
E) 100 
 
 
 
 
TRIÂNGULOS 
 
 Triângulo é um polígono convexo de três lados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura acima, temos: 
 
Vértices: A, B e C 
Lados: 
Ângulos internos: 
 
 
 
Olha o teorema! 
 
“Em todo triângulo, a soma das medidas dos ângulos 
interno é igual a 180º”Demonstração 
 
 
Olha o teorema! 
 
“A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual 
à soma dos ângulos internos não adjacentes a esse 
ângulo” 
 
 Demonstração 
 
 
 
Exercício 09 (UEFS) Na figura a seguir, o valor de a é, 
em graus: 
 
A) 73º 
B) 29º 
C) 62º 
D) 45º 
E) n.d.a. 
 
 
 
Exercício 10 (UFC) Calcule α. 
 
 
 
 
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Condição de existência de um triângulo 
 
 Num triângulo, a medida de cada lado deve ser 
maior que o módulo da diferença e menor que a soma 
das medidas dos outros dois. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classificação dos triângulos 
 
I. Quanto aos ângulos 
 
a) Triângulo retângulo – é aquele que possui um 
ângulo interno reto. 
 
 
• O lado maior do triângulo retângulo (o oposto ao 
 ângulo reto) é denominado hipotenusa e os outros 
 dois lados são denominados catetos. 
 
 
b) Triângulo acutângulo – é aquele em que todos os 
ângulos internos são agudos. Exemplo: 
 
 
c) Triângulo obtusângulo – é aquele que possui um 
ângulo interno obtuso. Exemplo: 
 
 
 
 
II. Quanto aos lados 
 
a) Triângulo escaleno – é aquele onde as medidas dos 
lados são todas distintas. 
 
 
 
AB ≠ BC ≠ CA ≠ AB 
 
 
 
 
 
b) Triângulo isósceles – é aquele que possui dois lados 
congruentes. 
 
 
 
AB = AC (lados congruentes) 
BC é a base 
 
 
 
 
 
• Num triângulo isósceles, os ângulos da base são 
 congruentes ( ) 
 
c) Triângulo eqüilátero – é aquele cujos lados são 
todos congruentes. 
 
 
 
AB = BC = CA 
 
 
 
 
• Todo triângulo eqüilátero é também eqüiângulo, ou 
 seja, tem todos os ângulos congruentes. 
 
Natureza de um triângulo 
 
 Se a é o maior lado de um triângulo ABC e: 
 
a2 = b2 + c2, então ABC é retângulo. 
 
a2 < b2 + c2, então ABC é acutângulo. 
 
a2 > b2 + c2, então ABC é obtusângulo 
 
Exercício 11 Some as alternativas verdadeiras: 
 
(01) Todo triângulo isósceles é eqüilátero. 
(02) Todo triângulo eqüilátero é isósceles. 
(04) Um triângulo escaleno é obtusângulo. 
(08) Existe triângulo eqüilátero e retângulo. 
(16) Existe triângulo obtusângulo e eqüilátero. 
(32) Existe triângulo retângulo e isósceles. 
(64) Um triângulo retângulo pode ser escaleno. 
 
 
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Congruência de triângulos 
 
Um triângulo ABC é congruente a outro DEF 
(∆ABC ≡ ∆DEF) se, e somente se é possível estabelecer 
uma correspondência entre seus vértices de modo que 
os lados do ∆ABC sejam ordenadamente congruentes 
aos lados do ∆DEF, assim como seus ângulos internos. 
 
 
 
• Há condições mínimas para que dois triângulos 
 sejam congruentes e tais condições são 
 denominados casos ou critérios de congruência. 
• Os casos de congruência são L.A.L., A.L.A., L.L.L. 
 e L.A.Ao. 
 
Ceviana de um triângulo 
 
 É um segmento que tem uma extremidade em 
um vértice e outra na *reta suporte do lado oposto.
 As principais cevianas são a mediana, a bissetriz 
e a altura. 
 
Mediana –é qualquer segmento 
com uma extremidade em um 
dos vértices e outra no ponto 
médio do lado oposto a esse 
vértice. 
 
Bissetriz – é o segmento da 
bissetriz interna do ângulo, com 
uma extremidade no vértice e 
outra no lado oposto a esse 
vértice. 
 
 
 
Altura – é um segmento perpendicular a um dos lados 
ou ao seu prolongamento, cujas extremidades são: uma 
na reta suporte do lado e outra no vértice oposto a essa 
reta. 
 
Pontos notáveis de um triângulo 
 
 
Baricentro - é o ponto de encontro das medianas de um 
triângulo. 
 
 
 
Propriedade 
 
 
 
 
 
Ortocentro - é o ponto de encontro das alturas de um 
triângulo. 
 
 
 
 
Incentro - é o ponto de encontro das bissetrizes de um 
triângulo. O incentro também é o centro da circunferência 
inscrita no triângulo. 
 
 
 
 
Circuncentro – é ponto de encontro das *mediatrizes dos 
lados de um triângulo. O circuncentro é também o centro 
da circunferência circunscrita ao triângulo. 
 
 
 
*Mediatriz é qualquer reta que seja perpendicular a um 
dos lados de um triângulo e que contenha o seu ponto 
médio. 
 
 
 
 
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Veja as cevianas num só triângulo: 
 
 
• Todo triângulo possui três medianas, três 
 bissetrizes internas e três alturas. 
• A altura pode ser um segmento externo ao triângulo 
 ou até mesmo um dos lados desse triângulo. 
• O ortocentro e o circuncentro podem se situar no 
 exterior do triângulo 
• Cada ponto de uma mediatriz é eqüidistante dos 
 extremos do seu segmento o qual ela é 
 perpendicular no ponto médio. 
• Num triângulo isósceles, a mediana coincide com a 
 altura e com a bissetriz relativa à base e, têm como 
 reta suporte, a mediatriz. 
• Num triângulo eqüilátero, a mediana relativa a 
 qualquer lado, coincide com a altura e com a 
 bissetriz, assim o baricentro coincide com o 
 incentro, com o ortocentro e com o circuncentro. 
• A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo 
 retângulo é igual à metade da hipotenusa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 12 (UFES) O triângulo ABC da figura é 
isósceles com base . Sabendo que 
, o valor do ângulo interno no 
vértice A é: 
 
 
 
Exercício 13 Na figura AB = AC, calcule α. 
 
 
 
 
 
Exercício 14 Na figura, e o perímetro do 
triângulo AMN vale 30cm. Sabendo que BC = 10cm, 
calcule, em cm, o perímetro do triângulo ABC. 
 
 
 
 
 
 
Exercício 15 Na figura, sendo AB = AC, AE = AD, calcule 
a medida do ângulo , dado BÂD = 52º. 
 
 
 
 
 
 
Exercício 16 Na figura abaixo, ABCD é retângulo e M é 
ponto médio de CD. Se o triângulo AMB é eqüilátero e 
AB = 15cm, então calcule a medida, em cm, de . 
 
 
 
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Exercício 17 Calcule x na figura abaixo, sabendo que M 
é ponto médio de e  = 70º. 
 
 
 
 
Exercício 18 Na figura abaixo, DE = 2.AC e r // s. Se o 
ângulo mede β e o ângulo mede α, podemos 
afirmar que 
 
A) β = 2α 
 
C) β = 3α 
D) β = 4α 
E) β = 5α 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
01. (UNIFOR) A medida em graus de um ângulo  é 
igual ao triplo de seu complemento. O Ângulo  mede: 
 
A) 90º D) 48º 30’ 
B) 67º 30’ E) 45º 
C) 60º 
 
 
02. (UNIFOR) Na figura abaixo têm-se as retas r e s, 
paralelas entre si, e os ângulos assinalados, em graus. 
 
Nessas condições, α + β é igual a: 
 
A) 130º D) 70º 
B) 110º E) 50º 
C) 100º 
 
03. (UECE) Considere 5 semi-retas, todas partindo do 
mesmo ponto P num certo plano, formando 5 ângulos 
contíguos que cobrem todo o plano, cujas medidas são 
proporcionais aos números 2, 3, 4, 5 e 6. Determine a 
diferença entre o maior e o menor ângulo. 
 
 
A) 22º D) 72º 
B) 34º 
C) 56º 
 
04. (UNEB) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura, AB = BC, DE = BE e CF = CE. Se o ângulo  
mede 50º, então a medida, em graus, do ângulo DÊF é 
 
01) 90 04) 105 
02) 95 06) 130 
03) 100 
 
05. (UCSal) Se na figura seguinte r e s são paralelas, 
então α + β é igual a 
 
A) 2º 
B) 58º 
C) 120º 
D) 122º 
E) 182º 
 
 
 
 
 
 
06. (UFPE) Na figura abaixo determine o ângulo que é 
oposto ao lado de menor comprimento. 
 
 
 
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07. (UFMG) Observe a figura. Nela, , é 
bissetriz de ; é bissetriz de e a medida do 
ângulo é 140º. A medida do ângulo DÊC, em graus, 
é: 
 
A) 20 
B) 30 
C) 40 
D) 50 
E) 60 
 
 
 
 
 
08. Na figura abaixo, temos um triângulo retângulo em A, 
AE = 5, AD = 4, CD e BE são bissetrizes. Determine o 
valor de GH. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09. (UFPE) Na figura abaixo, BC, AC são bissetrizes dos 
ângulos DBE, DAB, respectivamente. Se o angulo ACB 
mede 21º 30’, qual a medida em graus do ângulo ADB? 
 
A) 43 
B) 41 
C) 40 
D) 44 
E) 42 
 
 
 
 
10. Num triângulo retângulo ABC a altura forma com 
a mediana um ângulo de 22º. CalculeB – C. 
 
A) 11º 
B) 22º 
C) 30º 
D) 34º 
E) 56º 
 
 
 
11. (UFPE) No triângulo ABC, o ângulo A mede 110º. 
Qual a medida do ângulo agudo formado pelas retas que 
fornecem as alturas relativas aos vértices B e C? 
 
A) 60º 
B) 80º 
C) 70º 
D) 75º 
E) 65º 
 
12. (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Então: 
 
A) y = 3x 
B) y = 2x 
C) x + y = 180º 
D) x = y 
E) 3x = 2y 
 
 
 
 
 
 GABARITO - PROPOSTOS 
 
 
 
 
 
 
 
Semelhança de triângulos 
 
 Dois triângulos são semelhantes, se os ângulos 
internos de um, são congruentes aos correspondentes 
do outro e seus lados homólogos são proporcionais. 
 
 
 
• r é denominado razão de semelhança dos 
 triângulos, e também é a razão entre dois 
 elementos lineares homólogos. Se r = 1, os 
 triângulos são congruentes. 
 
• Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo 
 determina um outro triângulo semelhante ao 
 primeiro. 
 
 
• Há condições mínimas para que dois triângulos 
 sejam semelhantes e tais condições são 
 denominadas casos ou critérios de semelhança. 
 
• Os casos de semelhança são A.A., L.A.L., L.L.L. 
01 B 05 E 09 A 
02 C 06 58 10 B 
03 D 07 C 11 C 
04 02 08 01 12 A 
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Base média de um triângulo 
 
Se um segmento tem extremidade nos pontos 
médios de dois lados de um triângulo, então ele é 
paralelo ao terceiro lado e mede a metade da medida do 
terceiro lado. 
 
 
• Se um segmento paralelo a um dos lados de um 
 triângulo tem uma extremidade no ponto médio de 
 um lado e a outra extremidade no terceiro lado, 
 então esta extremidade é o ponto médio do terceiro 
 lado. 
 
Exercício 19 (UFRN) Considerando-se as informações 
contidas no triângulo PQR (figura abaixo), pode-se 
concluir que a altura desse triângulo mede: Obs.: 
Todas as medidas referem-se a uma mesma unidade de 
comprimento. 
 
A) 5 
B) 4 
C) 3 
D) 2 
 
 
 
 
 
Exercício 20 (UFPE - adaptada) Na figura seguinte, os 
triângulos ∆ABC e ∆A’B’C’ são simétricos em relação à 
reta r, todos num mesmo plano. Assinale a afirmativa 
correta: 
B
C
A
A '
B '
C
r
 
A) Os triângulos ∆ABC e ∆A’B’C’ não são 
 semelhantes. 
B) Os triângulos ∆ABC e ∆A’B’C’ são congruentes. 
C) Os triângulos ∆ABC e ∆A’B’C’ têm áreas 
 diferentes. 
D) O ângulo A tem medida diferente da do ângulo A’. 
E) A medida do lado AB é maior que a medida do 
 lado A’B’. 
 
Exercício 21 Seja o ∆ABC da figura, onde BC = 4cm, AC 
= 6cm e AB = 8cm. Calcular 3.CD. 
 
 
 
 
 
 
Exercício 22 (MACK-SP) O triângulo ABC da figura é 
eqüilátero. AM = MB = 5 e CD = 6. O valor de AE é: 
 
A) 76/11 
B) 77/11 
C) 78/11 
D) 79/11 
E) 80/11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 23 (UFC) Sejam ABC um triângulo retângulo 
em A, sua altura, relativa ao lado e a altura 
do triângulo ABD, relativa ao lado . Se AC = 9cm e 
DE = 4cm, calcule, em centímetros, o valor de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Teorema de Tales 
 
Sejam duas transversais a um feixe de retas 
paralelas. A razão entre quaisquer dois segmentos 
determinados por uma das transversais nas paralelas é 
igual à razão entre os segmentos correspondentes da 
outra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 24 (UCSal) Na figura a seguir,onde r//s//t, a 
medida do segmento x é: 
 
A) 3/5 
B) 5/3 
C) 7 
D) 9 
E) 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema da bissetriz interna 
 
 Uma bissetriz interna de um triângulo divide o 
lado oposto em segmentos (aditivos) proporcionais aos 
lados adjacentes. 
 
 
 
Teorema da bissetriz externa 
 
 Se a bissetriz de um ângulo externo de um 
triângulo, intercepta a reta que contém o lado oposto, 
 
 
 
Exercício 25 (CESGRANRIO) No triângulo ABC da 
figura, é a bissetriz do ângulo interno em C. Se AD = 
3cm, DB = 2cm e AC = 4cm, então o lado mede: 
 
A) 3cm 
 
 
 
 
 
 
 
E) 4cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 26 (UEPI) Os lados de um triângulo medem, 
respectivamente, 4cm, 5cm e 6cm. Calcular de quantos 
centímetros é preciso prolongar o lado maior, para que 
ele encontre a bissetriz do ângulo externo oposto. 
 
A) 08 
B) 12 
C) 18 
D) 24 
E) 28 
 
 
 
 
 
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Polígonos 
 
 Dados n pontos distintos de um mesmo plano 
(V1, V2, ..., Vn) com (n ≥ 3), onde três pontos 
consecutivos nunca são colineares, chama-se polígono à 
reunião dos segmentos consecutivos 
. 
 
 
 Note que no polígono convexo, qualquer reta 
determinada por dois segmentos consecutivos deixa 
todos os demais (n – 2) vértices num mesmo semi-plano, 
o que não ocorre no polígono côncavo. 
 
 
Superfície poligonal 
 
 É a reunião do polígono com o seu interior. 
 
 
 
 
Denominamos um polígono de acordo com o seu 
número n de lados, assim se: 
n = 3 triângulo 
n = 4 quadrilátero 
n = 5 pentágono 
n = 6 hexágono 
n = 7 heptágono 
n = 8 octógono 
n = 9 eneágono 
n = 10 decágono 
n = 11 undecágono 
n = 12 dodecágono 
n = 15 pentadecágono 
n = 20 icoságono 
 
 
 
 
Elementos 
 
 No polígono convexo ABCDEF da figura, temos: 
 
 
 
Vértices: A, B, C, D, E e F. 
Lados: São os segmentos AB, BC, CD, DE, EF e FA. 
Diagonais: Quaisquer segmentos que ligam dois vértices 
não consecutivos. Ex: . 
 
Sobre polígonos convexos de n lados (n ≥ 3), temos: 
 
 
 
Si = (n – 2).180º 
 
Se = 360º 
 
ai + ae = 180º 
 
em que : 
 
d é o número de diagonais; 
Si é a soma das medidas dos ângulos internos; 
Se é a soma das medidas dos ângulo externos; 
ai é a medida de um ângulo interno; 
ae é a medida do ângulo externo adjacente a ai. 
 
 
Polígonos convexos regulares 
 
 Um polígono convexo é regular se, e somente se 
é eqüilátero e eqüiângulo, ou seja, tem todos os lados 
congruentes e todos os ângulos internos congruentes. 
Denominamos um polígono regular da seguinte forma: 
 
n = 3 triângulo eqüilátero 
n = 4 quadrado 
 
 
Se n ≥ 5, então acrescentamos o nome “regular” 
ao nome do polígono. Ex: pentágono regular, hexágono 
regular, e assim por diante. Cada ângulo interno ai é 
dado por: 
 
 
e cada ângulo externo: 
 
 
 
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Exercício 27 (FATEC) Dado o triângulo ABC, 
abaixo indicado, construímos a poligonal 
L = BCB1C1B2C2B3C3... O comprimento de L é 
 
A) 2c 
B) a + b + c 
C) 2(a + b) 
D) 2(a + c) 
 
 
 
 
 
Exercício 28 (UECE) Na figura estão desenhados um 
hexágono regular, umquadrado e um triângulo. A 
medida do ângulo x é: 
 
A) 45º 
B) 60º 
C) 62º 30’ 
D) 75º 
 
 
 
 
 
Exercício 29 (IME) A soma dos ângulos internos de um 
polígono convexo é 1080º. Calcule o número de 
diagonais desse polígono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 30 Um polígono regular possui 30 diagonais 
que não passam pelo centro. Quanto mede cada ângulo 
interno? 
 
 
 
 
 
 
 
Quadriláteros 
 
 Os quadriláteros convexos classificam-se em 
trapezóides, trapézios ou paralelogramos. Seus ângulos 
internos somam 360º. 
 
I. Trapezóides – quadriláteros convexos que não 
possuem lados opostos paralelos. 
 
 
II. Trapézios – quadriláteros que possuem dois lados 
paralelos. 
 
 
 
• Num trapézio, as bases são os lados paralelos e 
 distância entre as bases é a altura. 
 
• Um trapézio retângulo tem dois ângulos 
 internos retos e um dos lados perpendicular às 
 bases. 
 
• Num trapézio isósceles, dois de seus lados opostos 
 são congruentes e os ângulos das bases são iguais. 
 
• A base média de um trapézio é média aritmética 
 entre suas bases maior e menor. 
 
 
 
• A mediana de Euler é o segmento cujos extremos 
 são os pontos de interseções das diagonais com a 
 base média e sua medida é igual ao módulo da 
 semi-diferença entre as bases. 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 31 (UFES) Seja ABCD um trapézio retângulo. 
O ângulo formado pelas bissetrizes do seu ângulo reto e 
do ângulo consecutivo da base maior mede 92º. Os 
ângulos agudo e obtuso deste trapézio medem, 
respectivamente: 
 
A) 88º e 92º 
B) 86º e 94º 
C) 84º e 96º 
D) 82º e 98º 
E) 79º e 101º 
 
 
 
 
 
 
Paralelogramos 
 
 Todo e qualquer quadrilátero em que os lados 
opostos são paralelos é denominado paralelogramo. 
 
 
 
 Todo paralelogramo satisfaz às seguintes 
propriedades: 
 
• Os lados opostos são congruentes, assim como os 
 ângulos internos opostos. 
 
 
 
• Dois ângulos internos consecutivos são 
 suplementares. Na figura acima, α + β = 180º. 
 
• As diagonais interceptam-se mutuamente ao meio, 
 ou seja, o ponto de encontro das diagonais é ponto 
 médio das mesmas. 
 
 
 
 
Paralelogramos especiais 
 
 São paralelogramos em que, além das 
propriedades comuns a todos os paralelogramos, 
apresentam outras propriedades. São eles o retângulo, o 
losango e o quadrado. 
 
 
Retângulo – Tem os quatro ângulos retos e as diagonais 
congruentes. 
 
 
 
 
Losango – Tem todos os lados congruentes e, as 
diagonais perpendiculares e bissetrizes dos ângulos 
internos. 
 
 
 
Quadrado – Admite todas as propriedades do retângulo 
e do losango, ou seja, tem todos os ângulos retos, os 
lados congruentes, as diagonais congruentes, 
perpendiculares e bissetrizes dos ângulos internos. 
 
 
Exercício 32 (CESGRANRIO) As bases MQ e NP de um 
trapézio medem 42cm e 112cm, respectivamente. Se o 
ângulo MQP é o dobro do ângulo PNM, então o lado PQ 
mede: 
 
A) 154cm 
B) 133cm 
C) 91cm 
D) 77cm 
E) 70cm 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 33 (UPE/05) No paralelogramo ABCD, o ponto 
M é o médio do lado . Se mede 12cm, pode-se 
afirmar que mede 
 
A) 6cm 
B) 5cm 
C) 4cm 
D) 8cm 
E) 7cm 
 
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Exercício 34 (FUVEST) No triângulo acutângulo ABC a 
base AB mede 4cm e a altura relativa a essa base 
também mede 4cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices 
M em N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e 
Q ao lado AC. Qual é o perímetro, em cm, desse 
retângulo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 
 
 Circunferência é um conjunto de 
pontos de um plano equidistantes de um 
único ponto dado pertencentes ao 
mesmo plano. Esse ponto é 
denominado centro e essa distância é o 
raio r (r > 0) da circunferência. 
 Dados: um plano α, um ponto O 
e uma distância r, 
λ(O, r) = {P ∈ α; OP = r} 
 
onde λ(O, r) representa a circunferência de centro O e 
raio r. 
 
Posições relativas e ponto e circunferência 
 
 Dado um ponto P e uma circunferência λ(O, r), 
se: 
 
P ∈ λ → OP = r 
 
P é interno a λ → OP < r 
 
P é externo a λ → OP > r 
 
 
 
Elementos 
 
– Arco menor CD é a reunião de todos os pontos C, 
 D e de todos os pontos de λ, pertencentes ao 
 interior do ângulo CÔD. 
– Arco maior CD é a reunião de todos os pontos C, D 
 e de todos os pontos de λ, pertencentes ao exterior 
 do ângulo CÔD. 
 
– Salvo contrário, se nos referimos ao arco CD 
 falamos do arco menor CD. 
– Corda é qualquer segmento cujas extremidades 
 pertencem à circunferência λ. 
– Diâmetro é qualquer corda que passe pelo centro 
 de λ. 
– Semi-circunferência é qualquer arco cujas 
 extremidades são extremidades de um diâmetro. 
 
 
 
 
Posições relativas de reta e circunferência 
 
 Uma reta r pode ser secante, se intercepta a 
circunferência em dois pontos distintos, tangente, se 
intercepta a circunferência em um único ponto ou 
externa, se não intercepta a circunferência. 
 
Propriedades 
 
• A reta s suporte do raio de uma circunferência é 
 perpendicular a uma reta r secante, no ponto médio 
 da corda determinada por essa secante. 
 
 
• Toda reta t tangente a uma circunferência é 
 perpendicular à reta s suporte do raio, no ponto de 
 tangência. 
 
 
 
• Se uma reta é externa a uma circunferência, então 
 a distância dessa reta ao centro da circunferência é 
 maior que o raio. 
 
 
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Posições relativas de duas circunferências 
 
 Se duas circunferências têm: 
 
I. Um único ponto comum, então são denominadas 
tangentes. 
 
 
 
II. Dois pontos em comum, então são denominadas 
secantes. 
 
 
 
Se duas circunferências não têm pontos comuns, 
então elas podem ser externas ou uma interna à outra. 
 
 
 
 
Círculo ou disco 
 
 É a reunião a circunferência com a sua região 
interna. 
 
 
• Centro, raio, corda, diâmetro e arco de um círculo 
 são o centro, o raio, a corda, o diâmetro e o raio da 
 circunferência referente a esse círculo. 
 
Segmentos tangentes 
 
 Duas retas não-paralelas e tangentes a uma 
mesma circunferência nos pontos distintos A e B, 
interceptam-se num ponto P, tal que os segmentos 
 são congruentes. 
 
 
 
Teorema de Pitot 
 
 Se um quadrilátero convexo é *circunscrito a 
uma circunferência, então a soma de dois lados opostos 
é igual à soma dos outros dois. 
 
 
 
* Um polígono é circunscrito a uma circunferência se 
todos os seus lados são tangentes a essa circunferência. 
Se um polígono é circunscrito a uma circunferência, 
então a circunferência é inscrita no polígono. 
 
 
Exercício 35 Calcule o valor do raio r do círculo inscrito 
no trapézio retângulo da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 36 Na figura abaixo determine o perímetro do 
triângulo ADE, sabendo que o perímetro do triângulo 
ABC vale 10cm, a base mede 4cm e que o círculo 
está inscrito no quadrilátero BCDE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 
 
 Ângulo central é um ângulo cujo vértice é o 
centro da circunferência. A medida do ângulo central é 
igual à medida do seu arco correspondente. 
 
 
 
 Ângulo inscrito é um ângulo cujo vértice 
pertence à circunferência e os lados são secantes a ela. 
A medida de umângulo inscrito é igual à metade do arco 
correspondente. 
 
 
 Ângulo de segmento é o que tem o vértice na 
circunferência, um lado tangente e outro secante à 
circunferência. A medida de um ângulo de segmento é 
igual à metade do arco correspondente. 
 
 
 
 
 
 
Ângulo excêntrico interior é um ângulo 
formado por duas cordas que se interceptam no interior 
da circunferência em um ponto distinto do centro. 
 
 
 
 
 Ângulo excêntrico exterior é um ângulo cujo 
vértice está no exterior da circunferência e cujos lados 
interceptam-na. 
 
 
 
Exercício 37 Calcule x em cada caso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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e) 
 
 
 
 
 
 
Exercício 38 (UNEB) 
 
 
 
 
 
 
Em um círculo de centro O, figura acima, está inscrito o 
ângulo α. Se o ângulo AÔB mede 80º, então α mede 
 
01) 30º 
02) 40º 
03) 45º 
04) 50º 
05) 60º 
 
 
• Se um triângulo inscrito numa semi-circunferência 
 tem um lado igual ao diâmetro, então ele é 
 triângulo retângulo. 
 
 
• Se um quadrilátero convexo está inscrito numa 
 circunferência, então os ângulos opostos são 
 suplementares. 
 
 
Exercício 39 Na figura, o arco mede 60º; determine 
a medida do arco e a medida do ângulo . 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO 
 
 Se por um ponto P passam duas retas 
concorrentes que interceptam a circunferência nos 
pontos A, B, C e D, respectivamente, temos: 
 
 
 
 Se por um ponto P exterior a uma circunferência, 
conduzimos um segmento tangente em A e outro 
secante em B e C, então: 
 
 
 
Exercício 40 Calcule x em cada caso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
13. (UCSal) Na figura a seguir, o valor de x é: 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
 
14. (UFPE) A figura abaixo ilustra dois terrenos planos. 
Suponha que os lados e são paralelos, 
respectivamente, a e e que A, D, F e C são 
pontos colineares. Qual a distância , em metros? 
 
A) 75 
B) 76 
C) 78 
D) 79 
E) 80 
 
 
 
15. (UFC) Na figura abaixo, os triângulos ABC e AB’C’ 
são semelhantes. Se 4
C'A'
AC
= , então o perímetro de 
AB’C’ dividido pelo perímetro de ABC é igual a: 
A) 1/ 8 
B) 1/ 6 
C) 1/ 4 
D) 1/ 2 
E) 1 
 
 
 
16. (UFPE) Qual o número inteiro mais próximo do 
comprimento do segmento AB indicado na figura? 
 
B
20 m 30 m
A30 m 40 m
 
 
 
17. (UFPE) Sejam ABC e DEF triângulos tais que AB, BC 
são paralelos a DE, EF respectivamente e as retas 
passando por B e E; A e D; C e F são concorrentes em V 
conforme a ilustração abaixo. Analise as sentenças 
seguintes: 
 
 
 
18. (UFPE) A figura abaixo representa um rio cujas 
margens são retas paralelas. 
 
 
 
Qual o inteiro mais próximo da largura do rio, quando 
medida em metros? 
 
 
19. (UNIFOR) Na figura abaixo tem-se o hexágono 
regular ABCDEF, no qual alguns ângulos estão 
assinalados, com suas medidas indicadas em graus. É 
correto afirmar que: 
 
 
 
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A) z = 120º 
B) w = 100º 
C) v = 80º 
D) y = 60º 
E) x = 45º 
 
 
 
 
 
20. (UECE) Sejam P1, P2 e P3 polígonos regulares 
convexos. Suponha que S1, S2 e S3 sejam, 
respectivamente, a soma dos ângulos internos de P1, P2 
e P3. Se P1, P2 e P3, têm respectivamente n, n + 1, n + 2 
lados e S1 + S2 + S3 = 3780º, então n² + n – 2 é igual a: 
 
A) 40 D) 88 
B) 54 
C) 70 
 
21. (UEFS) 
 
 
Na figura, O é o centro da circunferência. Portanto, o 
ângulo mede 
 
A) 120º D) 150º 
B) 130º E) 160º 
C) 140º 
 
22. (ITA) Na figura abaixo 0 é o centro da circunferência. 
Sabendo-se que a reta que passa por E e F é tangente a 
essa circunferência e que a medida dos ângulos 1, 2 e 3 
são dadas respectivamente, por 49º, 18º e 34º, 
determinar a medida dos ângulos 4, 5 , 6 e 7. Nas 
alternativas abaixo considere os valores dados iguais às 
medidas de 4, 5, 6 e 7, respectivamente. 
 
 
 
A) 97º, 78º, 61º, 26º 
B) 102º, 79º, 58º, 23º 
C) 92º, 79º, 61º, 30º 
D) 97º, 79º, 61º, 27º 
E) 97º, 80º, 62º, 29º 
 
23. (UFPE) Na figura, o círculo tem raio 1, o arcos e 
 medem 
9
π
 e 
6
π
 respectivamente (ambos orientados 
no sentido anti-horário). Se α é a medida em radianos do 
ângulo AÔB, calcule 
π
144
α. 
C
B
D
A
O
 
 
24. (UFPE) Na figura, o círculo tem raio 1, o arcos e 
 medem 
9
π
 e 
6
π
 respectivamente (ambos orientados 
no sentido anti-horário). Se α é medido em radianos, 
calcule 
C
D
B
A
α
 
 
 
 
25. (UPE) Os lados do triângulo ABC, da figura, medem 
AB = 20cm, AC = 10cm e BC = 15cm. Sobre o lado BC, 
marca-se D, de modo que BD = 3cm, e traça-se a 
paralela DE ao lado AB. Podemos afirmar que o 
perímetro do paralelogramo AEDF é: 
 
A) 30 cm 
B) 36 cm 
C) 35 cm 
D) 40 cm 
E) 38 cm 
 
 
26. (UFPE) O triângulo ABC ilustrado na figura abaixo 
tem lados medindo AB = 7 e BC = 13. Sabendo-se que 
BMNO é um quadrado com todos os vértices sobre os 
lados do triângulo ABC, indique a soma dos dígitos da 
medida do lado do quadrado. 
 
 
 
 
 
 
 
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27. (FDC) Por um ponto são conduzidas duas retas, S1 e 
S2, secantes a uma circunferência de centro O, conforme 
mostra a figura abaixo. 
 
A medida θ do ângulo assinalado é 
 
A) 50º D) 20º 
B) 40º E) 10º 
C) 30º 
 
28. (UCSal) Seja a circunferência de centro O 
representada na figura a seguir. O valor de x é: 
 
A) 30º D) 60º 
B) 40º E) 70º 
C) 50º 
 
 
29. (FUVEST) No triângulo acutângulo ABC a base 
mede 4cm e a altura relativa a essa base também mede 
4cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N 
pertencem ao lado , P pertence ao lado e Q ao 
lado . Qual é o perímetro, em cm, desse retângulo? 
 
 
 
30. (UNICAP) A medida de um ângulo está para a 
medida do seu complemento assim como 2 está para 7. 
Qual a medida do ângulo, em graus? 
 
 
 
 
 GABARITO – PROPOSTOS 
13 14 15 16 17 18 19 20 21 
E C C 24 v,v,v,v,v 26 D C C 
22 23 24 25 26 27 28 29 30 
D 04 20 B 14 D C 08 20 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
 
 No ∆ABC da figura acima, destacamos: 
 
a ⇒ hipotenusa 
b ⇒ cateto 
c ⇒ cateto 
h ⇒ altura relativa à hipotenusa 
m ⇒ projeção do cateto b sobre a hipotenusa 
n ⇒ projeção do cateto c sobre a hipotenusa 
 
 Da semelhança entre os triângulos ABC, HAC e 
HBA, temos: 
 
I. a.h = b.c 
 
II. h² = m.n 
 
III. b² = m.a 
 
IV. c² = n.a 
 
V. a² = b² + c² (Teorema de Pitágoras) 
 
 
Exercício 41 Demonstre que a altura h de um triângulo 
equilátero em função do seu lado é dada pela fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 42 Demonstre que a medida da diagonal d de 
um quadrado de lado é dada pela expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 43 A figura a seguir mostra um triângulo 
isósceles de lados AB = AC = 26cm e BC = 20cm. A 
semi-circunferência tem centro no ponto médio de e 
tangencia e . Se r é o raio da semi-circunferência, 
calcule 13.rExercício 44 Uma circunferência de raio x está inscrita 
num setor circular de 90º e raio R, como mostra a figura. 
O valor de x é: 
 
A) R( – 1) 
B) R( + 1) 
C) R( – 1) / 2 
D) R( + 1) / 2 
E) R / 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 45 As circunferências da figura têm raios 9cm e 
4cm, são tangentes entre si e tangenciam a reta r nos 
pontos A e B. Calcule AB. 
 
 
 
 
 
Exercício 46 (UFPE/05) Na figura abaixo, ABD e BCD 
são triângulos retângulos isósceles. Se AD = 4, qual é o 
comprimento de DC? 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 47 (UPE) Seja ABCD um quadrado de lado 
40cm. O raio da circunferência que passa pelos pontos A 
e B e é tangente ao lado CD, é 
 
A) 10 unidades de comprimento. 
B) 15 unidades de comprimento. 
C) 20 unidades de comprimento. 
D) 25 unidades de comprimento. 
E) 30 unidades de comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO 
RETÂNGULO. 
 
 Em todo triângulo retângulo, em relação aos 
ângulos internos agudos, define-se: 
 
Seno de um ângulo – é a razão entre o cateto oposto 
ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. 
 
 
 
Cosseno de um ângulo – é a razão entre o cateto 
adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. 
 
 
 
Tangente de um ângulo – é a razão entre o cateto 
oposto e o cateto adjacente a esse ângulo. 
 
 
 
 
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23 
 
 
Sendo assim, no ∆ABC da figura abaixo, temos: 
 
 
 
 Atenção! 
 
 
 
Arcos Notáveis 
 
 
 
 
 
Exercício 48 (FUVEST) No quadrilátero ABCD da figura 
abaixo, E é um ponto sobre , tal que o ângulo 
mede 60º e os ângulos e são retos. Sabe-se 
ainda que AB = CD = e BC = 1. Determine a medida 
de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lei dos senos 
 
 Em todo triângulo, os lados são proporcionais 
aos senos dos ângulos opostos e a constante de 
proporcionalidade é o diâmetro da circunferência 
circunscrita ao triângulo. 
 
 
 
 
Exercício 49 (UNEB) 
 
 
Na circunferência, figura acima, o raio mede 3 cm e 
AC = 3 cm. O seno do ângulo ABC é 
 
 
 
 
Lei dos cossenos 
 
 Em todo triângulo o quadrado de um lado é igual 
à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas 
vezes o produto desses dois pelo cosseno do ângulo que 
eles formam. 
 
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Exercício 50 (UFBA/04) No triângulo ABC, figura ao lado, 
tem-se a = x² + x + 1, b = 2x + 1 e c = x² – 1. Calcule 
100.cos  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS 
 
 Os elementos notáveis de um polígono regular 
são: 
 
Centro – é o centro comum das circunferências inscrita e 
circunscrita. 
 
Apótema – é o segmento com uma extremidade no 
centro e outra no ponto médio de um lado. O apótema é 
o raio da circunferência inscrita no polígono regular. 
 
Ângulo cêntrico – é um ângulo cujo vértice é o centro e 
os lados passam por dois vértices consecutivos do 
polígono regular. 
 
 
 
 Como todos os ângulos cêntricos de um 
polígono regular de n lados são congruentes, conclui-se 
que a medida de cada um deles é: 
 
 
 
Exercício 51 Determine o apótema de um: 
 
a) quadrado de lado 
 
 
 
 
b) triângulo equilátero de lado 
 
 
 
 
c) hexágono regular de lado 
 
 
 
 
 
Comprimento da circunferência 
 
 O comprimento C ou perímetro de uma 
circunferência é dado por C = 2πR, onde π ≅ 3,14 e R é a 
medida do raio da circunferência. 
 
 
Comprimento de um arco de circunferência 
 
 O comprimento de um arco de circunferência é 
proporcional à sua medida α. 
 
 
Para α em graus, temos: 
 
Ângulo central comprimento do arco 
 360º 2πR 
 α 
 ⇓ 
 
 
 
 
Para α em radianos, temos: 
 
Ângulo central comprimento do arco 
 2π rad 2πR 
 α 
 ⇓ 
 
 = R α 
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25 
 
 
• Chama-se radiano (rad) todo arco de circunferência 
 cujo comprimento é igual ao comprimento do raio 
 da circunferência que o contém. 
 
 
 
Exercício 52 (CESGRARIO) Um ciclista de uma prova de 
resistência deve percorrer 500km sobre uma pista 
circular de raio 200m. O número aproximado de voltas 
que ele deve dar é: 
 
A) 100 
B) 200 
C) 300 
D) 400 
E) 500 
 
 
 
ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS 
 
Retângulo 
 
 
 
 
 
 
Paralelogramo 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
Quadrado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Losango 
 
 
 
Trapézio 
 
 
 
 
Triângulo 
 
 
 
 
• Triângulo equilátero 
 
 
 
• Triângulo retângulo 
 
 
 
 
• Em função das medidas dos lados (F. de Herão) 
 
 
 
 
• Em função de dois lados e do ângulo entre eles 
 
 
 
 
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26 
 
 
• Em função dos lados e do raio da circunferência 
 circunscrita 
 
 
 
 
• Em função dos lados e do raio da circunferência 
 inscrita 
 
 
 
 
Polígono regular inscrito 
 
 
 
Hexágono regular 
 
 
 
Círculo 
 
 
 
Coroa circular 
 
 
 
Setor circular 
 
 
 
Segmento circular 
 
 
 
 
Exercício 53 (UNICAMP) As diagonais D e d de um 
quadrilátero convexo, não necessariamente regular, 
formam um ângulo agudo α. 
 
a) Mostre que a área desse quadrilátero é 
 
 
b) Calcule a área desse quadrilátero convexo para o qual 
D = 8cm, d = 6cm e α = 30º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 54 (UNEB) 
 
 
A área, em cm², do paralelogramo, figura acima, é: 
 
01) 50 
02) 100 
03) 150 
04) 750 
05) 1500 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
27 
 
 
Exercício 55 (UFPE) O dodecágono regular da figura 
abaixo tem lado 3. Qual a soma dos dígitos do inteiro 
mais próximo de sua área? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 56 (UFPE) Dois círculos se tangenciam 
externamente e tangenciam internamente a um terceiro 
círculo (veja a ilustração). Se os centros dos três círculos 
são colineares, e a corda do terceiro círculo que é 
tangente aos outros dois em seu ponto de tangência, 
mede 20, qual a área da região interna ao terceiro círculo 
e externa aos outros dois? 
 
A) 50π 
B) 49π 
C) 51π 
D) 52π 
E) 55π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 57 (UFC/05) O teorema de Ptolomeu afirma 
que “em todo quadrilátero convexo inscritível a soma dos 
produtos das medidas dos lados opostos é igual ao 
produto das medidas das diagonais”. Use esse 
teorema para mostrar que: se d e representam, 
respectivamente as medidas da diagonal e do lado de 
um pentágono regular, então 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 58 (UFPE) Num círculo inscreve-se um 
quadrado de lado 7cm. Sobre cada lado do quadrado, 
considera-se a semi-circunferência exterior ao quadrado 
com centro no ponto médio do lado e raio 3,5cm, como 
na figura ao lado. Calcule a área da região hachurada.EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
31. (UFPE) A figura abaixo ilustra um triângulo e sete 
semicircunferências com diâmetros de mesma medida. 
As semicircunferências adjacentes se interceptam em 
um dos seus extremos, que também é ponto do 
triângulo. Se o perímetro do triângulo é 28, qual o raio 
das semicircunferências? 
 
A) 7 
B) 6 
C) 4 
D) 2 
E) 1 
 
32. (UPE) A figura abaixo é um retângulo de lados 10cm 
e 8cm. Podemos afirmar que o valor de x, em cm, é: 
 
A) 4; 
B) 4,5; 
C) 5; 
D) 6; 
E) 5,5. 
 
 
 
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28 
 
 
33. (UFG) O ponto mais baixo de uma roda gigante 
circular de raio R metros dista 1m do solo. A roda está 
girando com 3 crianças que estão, duas a duas, à 
mesma distância. A altura de duas delas, no momento 
em que a outra está no ponto mais alto, é: 
 
 
 
34. (UFC) Os lados e dos triângulos eqüiláteros 
ABC e CED medem, respectivamente, 6m e 3m. Os 
segmentos e estão numa reta r, são consecutivos 
e mede 9m. Se os vértices B e E estão no mesmo 
semi-plano determinado por r, então o perímetro, em 
metros, do quadrilátero ABED é igual a: 
 
 
35. (UFPE) Acerca da área de um quadrilátero convexo 
com diagonais medindo 5 e 12 e formando entre si um 
ângulo θ estude as afirmações a seguir: 
 
A) A área mede 30 
B) A área depende da posição do ponto de 
 interseção das diagonais. 
C) A área é máxima quando θ = 90º . 
D) A área é 30senθ. 
E) A área pode ser menor que 10-10. 
 
 
36. (UFPE) Todos os triângulos da figura abaixo são 
eqüiláteros e o hexágono central é regular. Se AB = 3, 
qual é a área total do polígono estrelado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37. (UPE) Assinale coluna I para V e coluna II para F: 
 
I II 
 
0 0 Em um triângulo isósceles, as três medianas são 
 necessariamente congruentes. 
1 1 Se um triângulo tem duas alturas congruentes, 
 então ele é necessariamente equilátero. 
2 2 A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo 
 divide o lado oposto em segmentos 
 proporcionais aos outros dois lados. 
3 3 O ortocentro de um triângulo pode ser um dos 
 vértices. 
4 4 Se dois lados de um triângulo medem 5 cm e 
 4cm respectivamente e formam um ângulo de 
 30º, então sua área é 5 cm2. 
 
38. (UFPE) Na figura CD = 3/2 AB e a área do triângulo 
OAB é 8. Qual o valor da área do triângulo ODC? 
 
A) 16 
B) 18 
 
D) 24 
E) 12 
 
 
 
39. (UFPE) Na figura abaixo, a circunferência maior tem 
raio 5, o arco ACB, de uma circunferência de raio 5, 
mede 90º. A circunferência menor é tangente à maior e 
ao arco ACB no seu ponto médio. Qual a área da região 
colorida? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40. (UNICAP) Determine a área de um triângulo 
isósceles de perímetro igual a 18cm, sabendo que a sua 
base excede de 3cm cada um dos lados congruentes. 
 
 
41. (UNEB) 
 
 
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29 
 
 
Na figura, ABC é um triângulo equilátero de altura , 
M e N são pontos médios de AB e BC, respectivamente. 
A área do trapézio ACNM, em u.a. é: 
 
 
42. (UNEB) 
 
 
Na figura, x e y são os valores das medidas dos lados do 
triângulo de área igual a 18u.a. O valor de é igual a: 
 
 
 
 
43. (UFPE) Seja ABCD um paralelogramo de área 60, E 
o ponto médio de BC e F a interseção da diagonal BD 
com AE. Sobre as áreas das regiões em que fica dividido 
o paralelogramo, é incorreto afirmar que: 
 
 
A) A área de ABF é 12. 
B) A área de ABE é 15. 
C) A área de BEF é 5. 
D) A área de AED é 30. 
E) A área de FECD é 25. 
 
44. (UFPE) A figura abaixo ilustra uma região ABC de 
área 8.000m2. K, L, M e N são pontos médios dos 
segmentos BC, AB, AK e LK, respectivamente. Qual a 
área, em m2, da região LMN? 
 
A) 500 
B) 600 
C) 400 
D) 700 
E) 800 
 
 
 
 
45. (UFPE) O hexágono regular ABCDEF tem área 60. 
Qual a área do hexágono GHIJKL que tem vértices nos 
pontos médios dos lados de ABCDEF? 
 
 
46. (UFBA) No semicírculo representado ao lado, 
considerem-se os triângulos retângulos CMO e MHO, 
sendo BM = 5cm e AM = 3cm. Nessas condições, pode-
se afirmar: 
 
 
(01) OC = 3 cm. 
 
(02) CM = cm. 
 
(04) O perímetro do triângulo AMC é igual a 
 cm. 
 
 
 
(16) A área do circulo do centro em O e raio OB é 
 igual a 16πcm². 
 
(32) AB² = AC² + CB². 
 
 
 
 
47. (UFPE) O menor lado de um retângulo mede 20cm. 
Se uma diagonal deste retângulo, forma um ângulo de 
30o com um dos lados, quanto mede o maior lado deste 
retângulo? 
 
 
 
 
48. (UFBA) Com base nos conhecimentos sobre 
Geometria Plana, é correto afirmar: 
 
(01) Num triângulo em que dois de seus lados 
 medem 5 u.c. e 8 u.c. e o ângulo por eles 
 formado mede 30º, a área mede 20 u.a.. 
 
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30 
 
 
(02) Se uma circunferência está inscrita num trapézio 
 isósceles que tem a base menor medindo 4 u.c. 
 e a base maior igual ao triplo da menor, então 
 seu raio mede 
 
(04) O perímetro do quadrado inscrito no triângulo 
 isósceles representado na figura ao lado mede 
 9,6 u.c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(08) Se a área de um circulo inscrito num hexágono 
 regular mede 9π u.a., então a área do hexágono 
 mede 
 
(16) Se a circunferência ao 
 lado tem raio igual a 
 1u.c., então a área da 
 região hachurada mede 
 
 
 
 
 
 
49. (UFPE) Abaixo encontra-se a planta baixa de uma 
fazenda, situada em uma planície: 
 
O dono deseja cercá-la e o custo do metro de cerca é de 
R$ 10,00. Quantos mil reais o dono irá gastar com a 
cerca? 
 
 
50. (UFPE) Sabendo-se que na fazenda da questão 
anterior: 
 
1) apenas a área hachurada abaixo é produtiva. 
 
2) que o proprietário declarou o valor do metro 
 quadrado em R$ 1,00. 
 
3) que o imposto pago na parte produtiva da 
 propriedade foi de R$ 2% de seu valor e na parte 
 improdutiva foi de 20% de seu valor. 
 
 
 
 
 
Determine o valor total do imposto pago, em R$, dividido 
por . 
 
 
51. (UFBA) Com base na trigonometria, é verdade: 
 
(01) Se, no triângulo acutângulo ABC, sen  = 
 e , então . 
 
(02) Se num paralelogramo, dois lados formam um 
 ângulo de 120º e medem 6cm e 8cm, então a 
 diagonal maior mede . 
 
(04) Na figura ao lado, 
 a área do triângulo 
 ABC é igual a 
 
 
 
(08) Na figura ao lado, 
 tgβ = 6/17. 
 
 
 
 
 
(16) Na figura ao lado, sendo 
 OA = 4u.c. o raio da 
 circunferência e BC = 3u.c., 
 tem-se cos  = . 
 
 
 
 
 
 52. (UFCG) Sabendo-se que a área do círculo da figura 
abaixo é 2π cm², determine a área da região que está 
sombreada. 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
31 
 
 
53. (UNIVASF/05) Uma pessoa caminhando sobre um 
terreno plano, saiu de um ponto A e andou 60 metros na 
direção norte, 60 metros para leste, 30 para o norte e, 
finalmente, 30 para oeste, chegando a um ponto B. A 
distância de A e B em linha reta, em metros, é 
 
A) 92 D) 
B) E) 100 
C) 
 
54. (UPE) Num triângulo retângulo ABC de perímetro 
48m, a altura relativa à hipotenusa mede 9,6m. Podemos 
afirmar que a área do triângulo é igual a: 
 
A) 96 m2; D) 156 m2; 
B) 69 m2; E) 192 m2. 
C) 144 m2; 
 
 
55.(UFPE) O hexágono regular ABCDEF da figura tem 
área 60. Qual a área do hexágono interior GHIJKL? 
 
 
 
 
56. (UNEB/05) Sobre um ângulo interno α, de um 
triângulo isósceles, sabe-se que cos α = – 3/5 e que o 
lado oposto a α mede 8u.c. Nessas condições, pode-se 
concluir que a área desse triângulo mede, em u.a., 
 
01) 4 04) 12 
02) 8 05) 16 
03) 10 
 
 
57. (UEFS) A razão entre o lado do quadrado inscrito e o 
lado do quadrado circunscrito, em uma circunferência de 
raio r, é 
 
 
 
58. (UNIVASF/06) Uma pista tem a forma de um 
octógono regular com lado medindo 2km, como ilustrado 
abaixo. Partindo de um vértice do octógono, um corredor 
percorre 8km. Qual é a distância, em km, entre o ponto 
de partida e o de chegada do corredor? 
 
 
 
 
59. (UPE) Sendo A, B e C os centros dos três círculos de 
raio a > 0, figura abaixo, podemos afirmar que a área da 
região hachurada é : 
 
 
 
60. (UNICAP) A figura abaixo apresenta um triângulo 
retângulo, cujas medidas estão em centímetros. 
 
 
 
 
61. (UFC) Calcule a área do trapézio ABCD sabendo 
que: 
 
I) M é ponto médio de ; 
II) BC = 10; 
III) ; 
IV) MP = 5. 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
32 
 
 
 
 
62. (UPE) Traçam-se retas tangentes exteriores comuns 
a duas circunferências de raios 2cm e 4cm. Sabendo-se 
que as circunferências são tangentes exteriormente, 
calcule o perímetro do quadrilátero cujos vértices são o 
ponto de interseção das tangentes, o centro da 
circunferência maior e os pontos de contato das 
tangentes com a circunferência maior. 
 
 
 
63. (UFPE) O paralelogramo ABCD este dividido em 
quatro paralelogramos, como ilustrado a figura abaixo. 
As áreas de EBFI, IFCG e HIGD são dadas por 15x, 10x² 
e 14x para algum real positivo x, respectivamente. Qual a 
área da AEIH? 
 
A) 15 
B) 21 
C) 24 
D) 25 
E) 28 
 
 
64. (UFBA/06) Com base nos conhecimentos sobre 
geometria plana, é correto afirmar: 
 
(01) Se dois triângulos têm a mesma altura relativa a 
 um lado comum, então eles são congruentes. 
(02) Se dois triângulos semelhantes têm a mesma 
 área, então eles são congruentes. 
(04) Em um triângulo eqüilátero, o ângulo agudo 
 formado pela altura relativa a um lado e a 
 mediana relativa a outro lado mede 60º . 
(08) Em um paralelogramo, se dois lados formam 
 um ângulo de 150º e medem 1cm e cm, 
 então a menor diagonal mede 1cm. 
(16) Se A é um conjunto formado por n pontos 
 coplanares de modo que três pontos quaisquer 
 de A não são colineares, então o número de 
 triângulos que se pode formar com vértices 
 pertencentes a A é igual a 
6
2)1)(nn(n −−
. 
 
 
 
 
 
65. (UFPE) Na figura abaixo, as circunferências têm 
centro nos pontos A e B e cada uma delas é tangente a 
três lados do retângulo. Sabendo que cada círculo tem 
área 2, qual á a área do retângulo? 
 
 
 
 
 
66. (UFPE/05) Na figura a seguir, o quadrado maior foi 
dividido em dois quadrados e dois retângulos. Se os 
perímetros dos dois quadrados menores são 20 e 80, 
qual a área do retângulo sombreado? 
 
A) 80 
B) 90 
C) 100 
D) 120 
E) 140 
 
 
 
 
 
 
 
67. (UFPE) A figura abaixo ilustra dois retângulos, ABCD 
e EFGH onde AE mede 3 cm e B é o ponto médio de FG. 
Qual é a área do retângulo ABCD, em cm²? 
 
 
 
68. (UFBA) Na circunferência de centro O, representada 
pela figura ao lado, o raio mede 
4u.c., a distância de P a A 
mede 3 u.c. e a reta PT é 
tangente à circunferência. 
 
Nessas condições é correto 
afirmar: 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
33 
 
 
(01) mede u.c. 
 
(02) A altura do triângulo PTO, em relação ao lado 
 PO, mede 
(04) O perímetro do triângulo MOT é igual a 
 
(08) A área do triângulo POT mede 
 
(16) A hipotenusa e um triângulo homotético ao 
 triângulo POT em que a razão de homotetia é 
 igual a 3/2 mede 21 u.c.. 
 
 
 
69. (UFBA/04) 
 
 
Considere a figura acima em que 
� A distância entre as retas paralelas r s é igual a 
20 u.c.; 
� Os segmentos AB e CD medem, 
respectivamente, 10 u.c. e 30 u.c.; 
� P é o ponto de interseção dos segmentos AD e 
BC; 
 
Com base nesses dados, calcule a área do triângulo 
APB, em u.a. 
 
 
70. (UFPE/06) Uma propriedade rural tem a forma do 
triângulo ABC representado na figura. A região cultivada 
corresponde apenas à porção sombreada. Sabendo-se 
que ABAD
4
3
= e ACAE
3
2
= , que porcentagem da 
área da propriedade rural é cultivada? 
 
A) 50% 
B) 60% 
C) 66% 
D) 75% 
E) ½(2/3+3/4).100% 
 
71. (UNEB) Se um círculo de área A e um quadrado de 
área Q têm o mesmo perímetro, a razão Q/A é igual a: 
 
01) 2/π 04) π/2 
02) π/4 05) π 
03) 4/π 
 
 
72. (UFC) Os lados de um triângulo medem 7cm, 9cm e 
14cm. Determine, em centímetros, a medida da mediana 
relativa ao lado maior. 
 
 
73. (UEFS/04) Se o número de diagonais de um 
polígono P, de n lados, é igual a 1/6 do número de 
diagonais do polígono de 2n lados, então o polígono P é 
um 
 
A) triângulo D) pentágono 
B) hexágono E) quadrilátero 
C) decágono 
 
74. (UFPE/06) Na ilustração a seguir, temos um 
retângulo ABCD, com medidas AB = 12 e BC = 5, e duas 
faixas retangulares EFGH e IJKL, com EF e JK de 
mesma medida. Se a área da região colorida e a da 
região do retângulo ABCD exterior à área colorida são 
iguais, qual a medida de EF? 
 
A) 1,8 
B) 1,9 
C) 2,0 
D) 2,1 
E) 2,2 
 
 
 
75. (ITA/05) Um hexágono regular e um quadrado estão 
inscritos no mesmo círculo de raio R e o hexágono 
possui uma aresta paralela a uma aresta do quadrado. A 
distância entre estas arestas paralelas será: 
 
 
 
76. (UFPE) A razão entre a área do triângulo e a área do 
círculo inscrito na figura abaixo, é 
 
A) 12/π 
B) 6/π 
C) 18/π 
D) 4/π 
E) 1/π 
 
 
 
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34 
 
 
77. (UFPB) Na figura ao lado, o raio r da circunferência 
mede 8cm. Se os arcos representam semi-
circunferências, então o valor da área em negrito, em 
cm², é 
 
A) 64π 
B) 32π 
C) 24π 
 
E) 16π 
 
 
 
 
78. (UPE/05) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de 
lado cm, e ABE e BCF são triângulos eqüiláteros. A 
área do triângulo BEF, em cm², é igual a 
 
 
 
 
79. (UPE/05) Na figura abaixo, ABC é um triângulo 
equilátero inscrito em um círculo de centro O e raio igual 
a 6cm. Sabendo que AH é a altura do triângulo e D é o 
ponto médio do arco ADC, pode-se afirmar que, em cm², 
a área da região hachurada é 
 
 
 
 
 
 
80. (ITA) Duas circunferências concêntricas C1 e C2 têm 
raios de 6cm e cm, respectivamente. Seja uma 
corda de C2, tangente a C1. A área da menor região 
delimitada pela corda e pelo arco mede, em cm², 
 
A) 9(π − 3) D) 18(π + 2) 
B) 18(π + 3) E) 16(π + 3) 
C) 18(π −2) 
 
 
 
 
 
81. (ESPCEX) No triângulo ABC ao lado, se M e N são 
pontos médios e a área do triângulo DMC é 1dm², então 
a área, em dm², do triângulo ABD é: 
 
A) 3 
B) 1,5 
C) 1,9 
D) 2 
E) 2,5 
 
 
 
 
82. (UPE/05) Na figura abaixo, B é o ponto médio do 
segmento DE, e ABCD é um retângulo de lados AB = 
1cm e AD = 2cm. 
 
 
 
Pode-se afirmar que 
 
I II 
 
0 0 cm 
1 1 O cosseno do ângulo ADE é igual a 
2 2 = cm. 
3 3 A área do triângulo ADE é igual a 2 cm². 
4 4 A área do triângulo ABE é igual a 4 cm². 
 
 
83. (UNEB/06) 
 
 
A figura representa um círculo de centro C e área25πcm². Considerando-se que a corda AB mede 5cm, 
pode-se afirmar que a área do triângulo ABC, em cm², é 
igual a 
 
 
 
 
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35 
 
 
84. (UPE) Em um terreno retangular de 90m de 
perímetro, Maria Eduarda pretende construir um galpão 
para depósito de sua fábrica de confecções. O código de 
obras da cidade exige que sejam dados recuos de 2m na 
frente e nos fundos e 1,5m em cada lateral. Podemos 
afirmar que a área máxima do galpão, em metros 
quadrados, é: 
 
A) 361; D) 650; 
B) 456; E) 546 
C) 506; 
 
 
 
85. Na figura abaixo, AB = AC, BÂC = 20º. Calcule x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 GABARITO – PROPOSTOS 
31 D 42 04 53 B 64 30 75 A 
32 C 43 A 54 A 65 B 76 B 
33 C 44 A 55 20 66 C 77 C 
34 A 45 45 56 02 67 36 78 D 
35 * 46 58 57 D 68 14 79 C 
36 B 47 C 58 A 69 25 80 C 
37 ** 48 26 59 C 70 A 81 D 
38 B 49 80 60 •• 71 03 82 ••• 
39 25 50 25 61 50 72 83 03 
40 12 51 25 62 D 73 B 84 A 
41 05 52 • 63 B 74 C 85 30º 
 
 * 35 – F,F, F, V, V 
 ** 37 – F, F,V,V,V 
 • 52 – (4 - π) /4 
 •• 60 – F,F,V,V,F 
 ••• 82 – V,V,V,V,F