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DESIGUALDADE TRIANGULAR – 
Professor Clístenes Cunha 
 
1-Um triângulo possui o lado b = 6 m e o lado c 
= 2 m. Sabendo-se que o lado a é o maior lado 
do triângulo e é medido por um número inteiro, 
então o valor de a será: 
 
a) 2 
b) 3 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
2-Se um triângulo possui dois lados de valores 
iguais a 5 e 8, os valores entre os quais o 
terceiro poderá variar exclusivamente, são: 
 
a) 5 e 8 
b) 0 e 7 
c) 4 e 9 
d) 3 e 13 
e) 13 e 16 
 
3-Classifique quanto à sua natureza o triângulo 
de lados 39 , 
2
5
 e 5,1: R: obtusângulo 
4-(EFEI MG-00) Sabe-se que um triângulo pode 
ser classificado de acordo com os seus ângulos 
internos em Acutângulo, Obtusângulo ou 
Retângulo. Nessas condições, como classificar 
um triângulo cujos ângulos internos são 
diretamente proporcionais a 1/3, 1/4 e 1/12? 
Gab: O triângulo é Retângulo. 
 
5-(PUC RJ-94) O número de valores inteiros de 
x, para os quais existe um triângulo acutângulo 
de lados 10,24 e x, no qual 24 é a medida do 
maior lado, é igual a: Gab.: 3 
 
6-O semiperímetro de um triângulo é dado por 
12,5m. Dois lados medem respectivamente 
7,6m e 8,4m. Calcular a medida do terceiro 
lado. Gab: 9m 
 
7-Num triângulo isósceles o semi-perímetro é 
dado por 19,6m. A base mede 5,2m. Determinar 
a medida dos lados congruentes. Gab: 17m 
 
8-Dois lados de um triângulo são iguais a 4 cm 
e 6 cm. O terceiro lado é um número inteiro 
expresso por x2 + 1, com x  Z. O seu perímetro 
é: 
 
a) 13cm 
b) 14cm 
c) 15cm 
d) 16cm 
e) 20cm 
9-Em um triângulo, dois lados medem, 
respectivamente, 5 e 8. O menor valor inteiro 
possível para a medida do terceiro lado é: 
 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 12 
e) n.d.a 
 
10-Se x  e os números x – 1, 2x + 1 e 10 são 
os lados de um triângulo, então o número de 
possibilidades de x é: 
 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) n.d.a 
 
11-Se x  e os números x, x – 1 e 10 são 
lados de um triângulo, então o número de 
possibilidades de x é: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) > 10 
 
12-(UFG GO-96) Um aluno tinha como tarefa 
esboçar vários triângulos e produziu as cinco 
figuras abaixo, onde os comprimentos dos lados 
estão indicados em uma mesma unidade de 
comprimento. 
 
5
13
12
12
10
4
6
6 6
6
3
8
899
 
 
Com base nos números acima, é correto afirmar 
que a soma dos itens corretos é: Gab.:16 
 
01.exatamente dois deles são triângulos 
isósceles; 
02.exatamente dois deles são triângulos 
retângulos 
04.exatamente dois deles possuem ângulo 
obtuso; 
08.exatamente dois dos triângulos acima são 
semelhantes; 
16.uma das figuras acima está errada, pois não 
se pode construir um triângulo com tais 
medidas. 
 
 
2 
 
13-Se x  e os números x – 1, 2x + 1 e 10 são 
os lados de um triângulo, então o número de 
possibilidades de x é: 
 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
14-(UFG GO-99) Determine um triângulo 
isósceles, cujo perímetro é 18 cm e a área é 
12cm2, sabendo que a medida de seus lados são 
números inteiros. Gab: o triângulo tem um lado 
medindo 8 cm e os outros lados medindo 5 cm. 
 
15-(PUC MG-03) Um estandarte feito de pano 
tem a forma de um triângulo isósceles de altura 
medindo 1,60 metros e de área medindo 1,92 
metros quadrados. Uma fita com 2,0 
centímetros de largura foi costurada ao longo de 
todo o contorno do estandarte. Pode-se estimar 
que o comprimento aproximado dessa fita, em 
metros, é: 
 
a) 3,20 
b) 4,60 
c) 5,30 
d) 6,40 
 
Cevianas 
 
1-O segmento AG é parte da mediana AM da 
figura abaixo, se GM mede 15 cm e G é o 
baricentro, quanto mede AG? 
 
 
 
2-A bissetriz de um ângulo mede 2y, então o 
triplo do ângulo mede: 
 
3-As bissetrizes de dois ângulos adjacentes 
formaram um ângulo de 46º. Se um dos ângulos 
mede 32º, calcule a medida do outro ângulo. 
 
4-(UFMG) No paralelogramo ABCD, da figura, 
BD = 3m, M é o ponto médio do segmento BC 
e X, o ponto de interseção dos segmentos BD e 
AM . A medida do segmento BX , em metros, 
é: 
 
 
 
a) 2/3 
b) 1 
c) 4/3 
d) 3/2 
e) 2 
 
5-(Cefet PR-01) Uma indústria de cosméticos 
deseja embalar sabonetes esféricos de raio 3 cm. 
A embalagem deverá ter formato cilíndrico de 
forma a acondicionar 3 sabonetes, como mostra 
a figura (vista superior da embalagem aberta). A 
medida do raio e a altura da embalagem, em cm, 
deverão ser de, aproximadamente: ( 3 = 1,73) 
 
 
 
a) 6,73 e 3. 
b) 3,46 e 6. 
c) 6,73 e 6. 
d) 6,46 e 6. 
e) 6,46 e 3. 
 
 
6-(UnB DF-92/Julho) Julgue os itens abaixo. 
ECEEEC 
 
00.Em um triângulo qualquer as circunferências 
circunscrita e inscrita são necessariamente 
concêntricas. 
01.O centro da circunferência inscrita em um 
triângulo é o ponto de intersecção das bissetriz 
dos ângulos internos. 
02.Se r é o raio da circunferência inscrita em um 
triângulo de lado a, b e c, então a área do 
triângulo é c)r.b(a
3
2
 
03.Se r é o raio da circunferência inscrita e o 
triângulo é equilátero, então seu lado mede 
3r . 
04.Os vértices do triângulo são eqüidistantes do 
centro da circunferência inscrita. 
05.Se o triângulo inscrito na circunferência de 
raio 2 cm tem 1 ângulo reto, então um de seus 
lados mede 4 cm. 
 
3 
 
7-(PUC RJ-99) Seja ABC um triângulo 
eqüilátero de lado 1 cm em que O é o ponto de 
encontro das alturas. Quanto mede o segmento 
AO? Gab: cm 
3
1
 
 
8-(Fuvest SP-04) Um triângulo ABC tem lados 
de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC = 2. 
Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a 
bissetriz relativa ao ângulo BĈA e CN é a 
altura relativa ao lado AB . Determinar o 
comprimento de MN . Gab: 
30
11
MN  
 
9-(Fuvest SP-05)A soma das distâncias de um 
ponto interior de um triângulo eqüilátero aos 
seus lados é 9. Assim, a medida do lado do 
triângulo é: 
 
a) 35 
b) 36 
c) 37 
d) 38 
e) 39 
 
10-(Unificado RJ-96) Na figura abaixo, os 
pontos A, B e C representam as posições de três 
casas construídas numa área plana de um 
condomínio. Um posto policial estará localizado 
num ponto P situado à mesma distância das três 
casas. Em Geometria, o ponto P é conhecido 
com o nome de: 
 
A B
C 
 
a) baricentro 
b) ortocentro 
c) circuncentro 
d) incentro 
e) ex-incentro 
 
11-(ITA SP-07) Seja C1 uma circunferência de 
raio R1 inscrita num triângulo equilátero de 
altura h. Seja C2 uma segunda circunferência, de 
raio R2, que tangencia dois lados do triângulo 
internamente e C1 externamente. Calcule (R1  
R2)/h. Gab: 
9
2
 
 
 
 
12-Num triângulo ABC, o ângulo  = 20º, 
sendo O o incentro, então BÔC é: 
 
a) 80º 
b) 100º 
c) 90º 
d) 110º 
e) n.d.a 
 
13-(UEG GO-04) Calcule a altura do triângulo 
de vértices A(1,1), B(1,5) e (1 2 3,3)C  . 
Gab: H 2 3 
 
14-(UFMT MT-06) Deseja-se instalar uma 
fábrica num lugar que seja eqüidistante dos 
municípios A, B e C. Admita que A, B e C são 
pontos não colineares de uma região plana e que 
o triângulo ABC é escaleno. Nessas condições, 
o ponto onde a fábrica deverá ser instalada é o: 
 
a) centro da circunferência que passa por 
A, B e C. 
b) baricentro do triângulo ABC. 
c) ponto médio do segmento BC. 
d) ponto médio do segmento AB. 
e) ponto médio do segmento AC. 
 
15-(Unifesp SP-03) Numa circunferência de 
raio R > 0 consideram-se, como na figura, os 
triângulos eqüiláteros T1 , inscrito, e T2 , 
circunscrito. A razão entre a altura de T2 e a 
altura de T1 é: 
 
T1
T2
0
R
 
 
a) 4. 
b) 3. 
c) 5/2. 
d) 2/3. 
e) 2. 
 
16-(UEM PR-05) Considere ABC um triângulo 
inscrito em uma semicircunferência de diâmetro 
BC cuja medida do ângulo C é 20º. Determine a 
medida, em graus, do ângulo formado pela 
altura e pela mediana relativas à hipotenusa. 
Gab: 50 
 
 
 
 
 
4 
 
17-(UFLA MG-06) Um triângulo eqüilátero de 
lado 3 cm é girado em torno de um eixo 
perpendicular ao triângulo e que passa pelo seu 
baricentro. Se o giro foi de 60º, o valor do 
perímetro da figura obtida pela superposição do 
triângulo originale do triângulo obtido pelo giro 
é de: 
 
 
 
a) 12 
b) 15 
a) c) 29 
b) d) 39 
 
18-(UFPI PI-06) A medida do raio do círculo 
inscrito num triângulo retângulo, cujos catetos 
medem 6cm e 8cm, é: 
 
a) 12 cm 
b) 10 cm 
c) 7 cm 
d) 2 cm 
e) 3 cm 
 
19-(FGV-07) Na figura, AN e BM são medianas 
do triângulo ABC, e ABM é um triângulo 
eqüilátero cuja medida do lado é 1. 
 
 
 
A medida do segmento GN é igual a: 
 
 
a) 
2 2
3
 
b) 
6
3
 
c) 
5
3
 
d) 
7
6
 
 
20-(UEM PR-06) Em um plano  , a mediatriz 
de um segmento de reta AB é a reta r que passa 
pelo ponto médio do segmento de reta AB e é 
perpendicular a esse segmento. Assinale a 
alternativa incorreta. 
 
a) Tomando um ponto P qualquer em r, a 
distância de P ao ponto A é igual à 
distância de P ao ponto 
B. 
b) A interseção das mediatrizes de dois 
lados de um triângulo qualquer em 
 é o circuncentro do triângulo. 
c) Qualquer ponto do plano  que não 
pertença à reta r não eqüidista dos 
extremos do segmento AB. 
d) As mediatrizes dos lados de um 
triângulo podem se interceptar em 
três pontos distintos. 
e) A reta r é a única mediatriz do 
segmento de reta AB em . 
 
21-(UFMG MG-05) Observe esta figura: 
 
 
 
Nessa figura, os segmentos AB e BC são 
perpendiculares, respectivamente, às retas r e s. 
Além disso, AP PB , BQ QC e a 
medida do ângulo ˆPOQ é . Considerando-se 
essas informações, é CORRETO afirmar que a 
medida do ângulo interno ˆAOC do 
quadrilátero AOCB é: 
 
a) 2 
b) 
5
2
 
c) 3 
d) 
3
2
 
 
 
 
 
 
5 
 
22-(Fatec SP) Na figura abaixo, r é a bissetriz 
do ângulo ABC. Se 40o  30o  , então: 
 
 
 
a)  = 0o 
b)  = 5o 
c)  = 35o 
d)  = 15o 
 
23-(Fuvest SP) Na figura abaixo, AB = AC, O é 
o ponto de encontro das bissetrizes do triângulo 
ABC, e o ângulo BÔC é o triplo do ângulo Â. 
Então a medida do ângulo  é: 
 
A
B
C
0
 
a) 18o 
b) 24o 
c) 30o 
d) 36o 
e) 45o 
 
TRIÂNGULOS 
 
1-(UFES) O triângulo ABC da figura é isósceles 
com base CB. Sabendo-se que 
BC=CD=DE=EF=FA, o valor de A é: 
 
 
 
a) 10º 
b) 15º 
c) 20º 
d) 25º 
e) 30º 
 
2-(UFMG) Na figura , AC=CB=BD e A=25º. O 
ângulo x mede: 
 
 
 
a) 50º 
b) 60º 
c) 70º 
d) 75º 
e) 80º 
 
3-(PUC – SP) Na figura, BC=CA=AD=DE. Se 
os pontos B, C, D e E são colineares, o ângulo 
CAD mede, em graus: 
 
 
a) 10 
b) 20 
c) 30 
d) 40 
e) 60 
 
 
4-(Fuvest) No retângulo abaixo, o valor, em 
graus, de a+b é: 
 
 
 
 
a) 50 
b) 90 
c) 120 
d) 130 
e) 220 
 
 
 
 
 
 
6 
 
5-Sabendo que ABCD é um quadrado e que 
CDE é um triângulo eqüilátero, calcule a 
medida x do ângulo AÊD. 
 
 
 
a) 40º 
b) 30º 
c) 60º 
d) 75º 
e) 90º 
 
6-Determine a medida dos ângulos assinalados: 
R:235º 
 
 
 
 
 
7-(FUVEST) Na figura seguinte encontre o 
valor de a: 
 
 
a) 18º 
b) 12º 
c) 20º 
d) 22º 
e) 24º 
 
8-Num trapézio de altura 3 cm, as bases medem 
6 cm e 8 cm. Prolongando-se os lados oblíquos 
obtêm-se dois triângulos. Calcule a medida da 
altura do maior deles. Gab.: 9 
 
 
9-Na figura, CD=CA. Além disso, o triângulo 
ABC é eqüilátero. Descubra a medida dos 
ângulos a, c e d. R: 30,30,120 
 
10-(FUVEST-SP) Na figura AB = BD = CD, 
então: 
 
a) y = 3x 
b) y = 2x 
c) x + y = 180° 
d) x = y 
 
 
 
11-(UFU MG-05) Na figura abaixo o ângulo x, 
em graus, pertence ao intervalo: 
 
 
 
 
a) (0º, 15º) 
b) (15º, 20º) 
c) (20º, 25º) 
d) (25º, 30º) 
 
12-(Unimontes MG-06) Em um triângulo, a 
soma dos ângulos internos é 180º. Quais as 
medidas dos ângulos de um triângulo cujos 
ângulos são inversamente proporcionais a 
1
2
, 
1
3
 e 
1
5
? 
 
a) 18º, 54º e 108º 
b) 36º, 54º e 90º 
c) 90º, 36º e 64º 
d) 36º, 54º e 100º