Introdução à Mecânica Clássica Newtoniana

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
Instituto de Física
Introdução à Mecânica Clássica
Newtoniana
Notas de aula de Física 1
(versão em desenvolvimento da 1a edição – abril de 2015)
Autor: Thierry J. Lemaire
Departamento de Física da Terra e do Meio Ambiente - DFTMA
Considerações iniciais para a primeira versão (ainda em fase de construção) destas notas de
aula
O proposito da primeira edição destas notas de aula é fornecer ao estudante cursando a disciplina de
Física 1, uma versão leve e acessível dos tópicos abordados em sala de aula. Os conceitos são em geral
introduzidos (em sala de aula, ainda não no presente texto) com exemplos do cotidiano e em seguido as
formulações desses conceitos são implementadas com a Matemática, grande aliada da Física e que permite
explicitar de forma extremamente enxuta as leis da natureza. É portanto importante que o estudante adquira
bons conhecimentos e habilidades em Matemática para subsidiar seus estudos em Física. Por isso, é
introduzido no final do primeiro capítulo, de uma forma simples e intuitiva, parte das ferramentas
matemáticas que serão necessárias para o bom aproveitamento dos conceitos introduzidos na disciplina.
Lembramos que o estudo da Física, além de trazer as leis fundamentais que regem o comportamento da
matéria e da radiação, ou seja, dos objetos do universo, permite de se familiarizar com os
métodos/procedimentos desta área do conhecimento. Salientamos que a Física não pode ser vista como um
conjunto de formulas, associadas à situações particulares (exercícios na linguagem escolar) cujo alcanço é
necessariamente limitados, e que só servem para “entupir” nossa memória. Um grande pensador (por acaso,
Filósofo Francês) disse que “Os métodos da Física são a economia da memória”. Traduzindo no âmbito da
disciplina, é melhor adquirir o conhecimento das leis da Física e a prática dos métodos que permitem
elaborar modelos (para nosso, neste curso, tratar alguns exemplos e resolver exercícios) com raciocínio e a
Matemática, de que memorizar resultados de resoluções de exercícios.
Espero e aguardo contribuições para o melhoramento destas notas de aula a fim de torná-las mais digestas” e
acessíveis, e melhorar o resultado que se espera de sessões de estudos: assimilação dos conceitos básicos,
dos métodos inerentes à Física que a torna tão “poderosa” em descrever os fenômenos da natureza e, com as
habilidades adquiridas e a facilidade crescente em resolver problemas de Física, talvez um entusiasmo pelas
Ciências Físicas.
No final deste documento é apresentado um software livre (gratuito) qui permite programar de forma rápida
sem muito esforço formulas, modelos e de resolver equações. Comandos relativamente intuitivos permitem
em particular traçar gráficos. Partindo do princípio de que as ferramentas numéricas são muito úteis na Física
como em muitas outras áreas do conhecimento, e que elas podem facilitar o aprendizagem de conceitos a
partir de simulações, aconselho o leitor em se familiarizar com esta linguagem de programação (ou outras a
depender do gosto e habilidade de cada um). Alguns pequenos programas são listados para implementar
cálculos diversos.
Salvador, outubro de 2013
Agradecimentos à Diva Andrade da Silva secretária do DFTMA pela digitação de parte do documento.
Observação: este documento foi elaborado com os softwares livres OpenOffice/LibreOffice/BrOffice
Índice
Notações p. 1
I. Generalidades p. 2
I.1 A Física: uma visão geral simplificada p. 2
I.2 Grandezas físicas e suas dimensões – Sistema de unidades internacional p. 4
I.3 Análise dimensional p. 7
I.4 Objetos e operações úteis da Matemática p. 9
I.4.1 Vetores p. 9
I.4.2 Algumas operações básicas com os vetores p. 11
I.4.3 Derivada de uma função p. 11
I.4.4 Interpretações físicas de formulas p. 15
II. Cinemática da partícula p. 16
II.1 Algumas definições p. 16
II.2 Cinemática 1D – Alguns exemplos p. 20
II.3 Cinemática 2D e 3D p. 25
III. Dinâmica da partícula p. 29
III.1 Leis de Newtons p. 29
III.2 Referenciais inerciais e força de inercia p. 36
III.2.1 Referenciais inerciais p. 36
III.2.2 Referenciais nã inerciais e forças de inercia p. 38
III.3 Força de atrito p. 42
Complemento de Matemática p. 45
IV. Trabalho, energia e conservação de energia p. 47
IV.1 Trabalho de uma força p. 47
IV.2 Energia cinética p. 51
IV.2.1 Energia cinética e teorema trabalho - energia p. 51
IV.3 Forças conservativas p. 53
IV.4 Energia potencial p. 55
IV.5 Lei de conservação da energia mecânica de um sistema p. 58
IV.6 Forças não conservativas e conservação da energia p. 60
V. Momento linear p. 63
V.1 Sistema de partículas e centro de massa p. 63
V.2 Quantidade de movimento p. 65
V.3 Colisões p. 68
V.3.1 Colisões unidimensionais e referencial do Centro de Massa p. 68
V.3.2 Colisão elástica 1D descrita num referencial qualquer p. 70
V.3.3 Conservação da energia cinética total de um sistema isolado durante uma 
 colisão elástica p. 71
V.4 Sistema de múltiplas partículas p. 72
VI. Movimento de rotação – Torque – Momento de inercia – Momento angular p. 75
VI.1 Movimento de rotação – grandezas rotacionais como vetores p. 75
VI.2 Torque p. 76
VI.2.1 Primeira definição do torque p. 76
VI.2.2 Expressão matemática geral do torque para um sistema haste-
partícula p. 77
VI.3 Lei fundamental da dinâmica para corpos rígidos p. 79
VI.4 Equilíbrio de um corpo rígido p. 84
VI.5 Quantidade de movimento angular ou momento angular p. 85
VI.5.1 Definição p. 85
VI.5.2 Momento angular e velocidade angular p. 86
VI.6 Conservação do momento angular p. 87
VI.7 Trabalho e energia cinética de rotação p. 88
VI.8 Combinação de um movimento de translação com um movimento de
 rotação p. 88
VII. Gravitação p. 90
VII.1 Lei da gravitação universal p. 90
VII.2 Campo gravitacional e aceleração da gravidade p. 91
VII.3 Algumas consequências da lei de gravitação universal: as leis de Kepler p. 92
Referências Bibliográficas p.94
Anexo A - Introdução de algumas ferramentas numéricas p. 95
Anexo B - Resumo dos resultados estabelecidos p. xx
Notações utilizadas
Os vetores nas figuras são escritos em negrito enquanto nas expressões analíticas, eles são designados
com uma seta;
Os eixos cartesianos serão referenciados pelas letras x, y z e os vetores unitários associados são escritos
das seguintes formas:
i⃗ , j⃗ , k⃗ , ou î , ĵ , k̂ , ou nas figuras : i , j , k ou î , ĵ , k̂
A letra g será, salvo informação contrária, sistematicamente utilizada para nomear o modulo da
aceleração da gravidade, e portanto lhe é associado um valor sempre positivo.
1
I. Generalidades
I.1 A Física: uma visão geral simplificada
Uma definição da Física: é a Ciência fundamental que estabeleça o comportamento da matéria e da
radiação assim como formaliza as leis da natureza.
Observação: A Física utiliza a Matemática para formular seus conceitos de formas enxutas.
Podemos definir sub-divisões da Física:
Física Teórica: formulação do conhecimento;
Física Experimental: experimentação para testar teorias, modelos, determinar propriedades de 
sistemas físicos;
Física Aplicada: aplicação das leis da Física em outras Áreas do conhecimento (Física Médica,
Física aplicada à Biologia, Econofísica, Geofísica, ...).
A seguir, apresentamos um mapa (incompleto e muito simplificado) da Física que permite visualizar
diversas área desta Ciência. Salientamos que esta representação é diferente daquelas utilizadas para
designar por exemplo as Áreas de pesquisa da Física.
2
Figura I.1: Um mapa simplificado das Áreas da Física
3
Fí
si
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I.2 Grandezas físicas e suas dimensões – Sistema de unidades internacional
As leis da Física envolvem relações entre grandezas físicas tais como velocidade, massa, tempo, força,
campo magnético, corrente elétrica, temperatura, energia, ...
→ há necessidade de uma linguagem comum para a comunicação de resultados experimentais,
formulação de leis ou modelos. É portanto, em particular, necessário definir padrões de medidas para
divulgar/comparar/utilizar resultados de medidas ou de investigações teóricas.
Para resolver esta questão da padronização, foi criada no final do século XIX (em 1872) o Bureau
Internacional de Pesos e Medidas localizado em Paris na França, onde foram armazenados padrões de
referência (estáveis e invariantes com o tempo), chamados de padrões primários, para diversas
grandezas físicas como massa e comprimento por exemplo. Para poder acessar à padrões, de forma
mais conveniente, os países criaram seus Institutos como por exemplo o Instituto Nacional de
Metrologia (INMETRO) no Brasil, onde padrões chamados secundários são armazenados.
Podemos definir uma grande quantidade de grandezas físicas e associar uma unidade para a dimensão
de cada uma destas, mas este procedimento não é o mais adequado, considerando em particular que
muitas delas são interligadas (por exemplo, a velocidade depende de distância e tempo). Por isso foram
definidas grandezas “básicas” com suas respectivas unidades. Entretanto, diversos países definiram
diversos sistemas de medidas. Neste curso, iremos adotar o chamado Sistema Internacional de
Medidas e anotado (S.I.). Na tabela a seguir, descrevemos as unidades básicas deste sistema.
Grandeza Física Nome da unidade Símbolo
Tempo segundo s
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Temperatura termodinâmica Kelvin K
Corrente elétrica Ampère A
Intensidade luminosa candela cd
Quantidade de matéria/substância mol mol
Tabela I.1: Unidades de base do Sistema Internacional de Medidas (S.I.)
As unidades padrões não são sempre adequadas para descrever uma grandeza física. Por exemplo, o
metro não é muito conveniente para descrever a espessura de um livro, mas sim o milímetro ou o
centímetro. É muito comum utilizar prefixos. Descrevemos na tabela 2 a seguir os mais usados.
4
Nome prefixo Símbolo Valor numérico
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
quilo k 103
hecto h 102
deca da 101
deci d 10-1
centi c 10-2
mili m 10-3
micro μ 10-6
nano n 10-9
pico p 10-12
femto f 10-15
Tabela I.2: Prefixos úteis
A seguir, descrevemos de forma muito resumida os padrões das 3 primeiras grandezas da tabela 1.
Padrão de tempo
Para “materializar” o tempo, precisamos empregar um fenômeno que se repita no tempo, de forma
periódica (intervalo de tempo: útil na maioria das atividades humanas) como por exemplo um pêndulo.
Até o início do século XX: 1 s = 1 / 243600 = 1 / 86400 de 1 dia solar médio com flutuações
periódicas na definição da duração do dia da ordem de 3ms ao longo do ano.
Atualmente uma fonte de um isotopo de césio permite definir com alta precisão o segundo:
1 s  9.192.631.770 vibrações (para um dado comprimento de onda). A deriva sobre a determinação do
tempo é de 1s a cada 10 milhões de anos !
Tempos Valores (s)
Tempo de vida do próton > 1040
Idade do universo 51017
Expectativa de vida humana no Brasil ~ 2109
Intervalo de tempo entre 2 batidas normais do coração ~ 810-1
Duração do pulso de luz mais curto produzido artificialmente ~ 10-15
Tempo de vida da partícula menos estável < 10-23
Tabela I.3: Ordens de grandezas de durações medidas ou determinadas
5
Padrão de comprimento
Antes do século XIX, a definição do metro era de uma décima milionésima parte da distância pólo
norte ao equador. O padrão se tornou uma barra fabricada com uma liga de platina-irídio com 2 traços
próximos das extremidades.
Atualmente (desde de 1983), é utilizado o padrão de tempo e a velocidade da luz (independente do
referencial inercial e da direção de propagação do feixe de luz, resultado experimental e também
teórico da teoria da Relatividade Restrita) para definir o metro:
1 m = distância percorrida pela luz no vácuo durante o intervalo de tempo igual a 1 / 299.792.458 s.
Comprimentos / distância Valores (m)
Raio do universo ~ 1.51026
Distância Terra – Sol 150109
Objetos do cotidiano ~ 10-3 até ~ 103
Tamanho de um virus ~ 10-7
Diâmetro do átomo ~ 10-10
Diâmetro do núcleo ~ 10-15
Tabela I.4: Ordens de comprimentos / distâncias medidas ou determinadas
Padrão de massa
Padrão atual (desde o final do século XIX): cilindro de platina-irídio de 1 kg.
Observação: os padrões secundários do quilograma são definidos com precisão de 10-8 kg = 10 g!
O quilograma sendo uma unidade pouca conveniente para expressar a massa de átomos ou moléculas,
é utilizado um padrão para a escala atômica a partir do átomo de carbono 12C (6 elétrons, 6 prótons e 6
nêutrons):
M12C = 12 unidades de medida de massa atômica. Assim a unidade de massa atômica corresponde a
1,660510-27 kg.
Massas Valores (kg)
Massa estimada do universo ~ 10 53
Massa da nossa galáxia ~ 21043
Massa do Sol 21030
Massa da Terra 61024
Massa da Lua 71022
Carro 103
Vírus ~ 10-15
6
Massa do próton 1,6710-27
Massa do elétron 9,110-31
Tabela I.5: Ordens de massas medidas ou determinadas
I.3 Análise dimensional
Observação: para comparar 2 grandezas físicas, elas precisam ter as mesmas dimensões. Por exemplo,
podemos comparar a massa de um ônibus com a massa de um carro. Entretanto, não faz sentido (é até
uma questão de bom senso !) comparar o comprimento de uma mesa com a massa de uma cadeira.
Desta constatação, podemos então deduzir que quando se escreva uma equação/relação/expressão
analítica, …, que envolve diversas grandezas físicas, devemos ter o cuidado de verificar que se, por
exemplo, aparecer uma soma de termos, estes possuem as mesmas dimensões, ou seja, são expressadas
com as mesmas unidades de medida. Para ilustrar este comentário, consideremos a expressão da
posição x de uma partícula pontual, em função do tempo t e onde x0 (resp. V0) é a posição (resp.
velocidade) inicial (a t = 0) da partícula e a é a aceleração ao qual ela é submetida:
x t =x0V 0t
1
2
a t 2
As dimensões associadas a cada uma das grandezas aparecendo na expressão de x(t) são (com L:
dimensão de comprimento, T de tempo):
[ x (t)]=L ; [ x0 ]=L ; [V 0]=LT
−1 ; [t ]=T ; [a ]=LT−2 ; [ t 2]=T 2
e portanto, as dimensões associadas a cada termo composto da soma são:
[V 0t ]=L e [a t
2]=L ,
resultado coerente com o esperado.
A análise dimensional pode ser utilizada para tentar, em situações relativamente simples, deduzir a
expressão de uma grandeza física em função de outras. Para ilustrar esta ideia, iremos considerar um
objeto (por exemplo um satélite) seguindo uma trajetória circular em torno de um outro objeto (por
exemplo a Terra). Neste caso, queremos estabelecer a expressão do modulo da força centrípetaque age
sobre o objeto em rotação. Esta força, a priori, deve depender do raio r da trajetória, da massa m deste
objeto e do modulo v de sua velocidade. Resumindo, podemos tentar escrever uma expressão simples e
empírica desta força centrípeta (onde  é um coeficiente sem dimensão):
F=α ma rb vc
onde os coeficientes a, b e c são determinados, empregando na análise dimensional. Escrevemos então
as dimensões
7
[F ]=[m ]a [r ]b[v ]c ,
ou seja (com M: dimensão de massa, L: dimensão de comprimento, T: dimensão de tempo):
MLT−2=[M ]a[L]b[LT−1]c=[M ]a [L ]b+c [T ]−c
Comparando os 2 lados da igualdade das dimensões, podemos deduzir que:
a=1 ; b=−1 ; c=2
Deduzimos a expressão do modulo da força centrípeta:
[F ]=α mv
2
r
Esta expressão é de fato correta e o coeficiente  é igual a 1. Este coeficiente pode ser deduzido
experimentalmente ou, obviamente, de forma teórica, aplicando as leis da Mecânica Clássica.
COMPLETAR
8
I.4 Objetos e operações úteis da Matemática
I.4.1 Vetores
Os conceitos e as leis da Física envolvem grandezas de diversas naturezas do ponto de vista dos
objetos matemáticos que os representam: escalares, vetores, matrizes, tensores, operadores, …
Definimos de forma simples os 2 primeiros tipos de grandezas.
Grandeza escalar: grandeza definida por um único número real, inteiro, podendo ser positivo e/ou
negativo.
Exemplos: massa, tempo, densidades, amplitude do som, energia, temperatura, intensidade da luz,
carga elétrica, uma coordenada de espaço, …
Grandeza vetorial (definição incompleta): grandeza definida por seu comprimento, direção e sentido,
envolvendo um ou mais componentes.
Exemplos: vetor posição em 3 dimensões, velocidade, aceleração, campo magnético, força, campo
elétrico, ...
Observação: as componentes de um vetor dependem do sistema de coordenadas utilizado.
Representações de vetores
Sistema cartesiano ortogonal, bidimencional (2D)
O vetor O⃗A pode ser escrito em função das coordenadas
do ponto A:
OA=x A , y A ,
Figura I.2: Representação de um vetor 2D
O vetor A⃗B pode ser escrito em função das coordenadas
dos pontos A e B:
AB=xB−x A , yB− y A
Figura I.3: Representação (outra) de um vetor 2D
9
O x
y
A
xA
yA
OA
O x
y
B
xB
yB
AB
A
xA
yA
Sistema cartesiano ortogonal, tridimencional (3D)
O vetor A⃗B pode ser escrito em função das
coordenadas dos pontos A e B:
AB=xB−x A , yB− y A , z B−z A
Figura I.4: Representação de um vetor 3D
Vetor unitário (ou versor): vetor de comprimento (norma) igual a 1.
Temos:
A⃗B=( xB−x A) î+( yB− y A) ĵ
com:
∣î∣=∣ ĵ∣=1
Observação: os 2 vetores unitários î e ĵ são grandezas
adimencionais.
Figura I.5: Representação de um vetor 2D e vetores unitários
Componentes de um vetor em função de ângulo e norma:
Temos:
O⃗B=∣O⃗A∣cos ϕ î+∣O⃗A∣sinϕ ĵ
com ∣O⃗A∣=√x A2+y A2
Figura I.6: Representação polar de um vetor
10
AB
O
x
y
B
yB
zB
A
yA
zA
z
xA
xB
O x
y
B
xB
yB
AB
A
xA
yA
î
ĵ
O x
y
A
xA
yA
OA
ĵ
î
φ
I.4.2 Algumas operações básicas com os vetores
Podemos somar, subtrair e “multiplicar” vetores como também podemos multiplicar vetores por
escalares. As operações que são aproveitadas no estudo dos fenômenos Mecânicos, neste texto, são
resumidas a seguir, considerando vetores do espaço vetorial R3.
u⃗+ v⃗ ∈ ℝ3 com u⃗ , v⃗ ∈ ℝ3
α u⃗ ∈ ℝ3 com u⃗ ∈ ℝ3 e α ∈ ℝ
u⃗× v⃗ ∈ ℝ3 com u⃗ , v⃗ ∈ ℝ3
u⃗⋅⃗v ∈ ℝ com u⃗ , v⃗ ∈ ℝ3
I.4.3 Derivada de uma função
Uma das operações matemáticas mais importante empregada na Física é a derivação de diversos
objetos como funções escalares ou vetoriais, matrizes, tensores, etc. Introduzimos a seguir esta
operação de forma relativamente intuitiva com sua interpretação geométrica.
Consideremos o gráfico de uma função qualquer (ou quase) na figura abaixo.
Definimos a linha reta (DAB) passando pelos 2 pontos A e B e escrevemos a sua inclinação
(considerando que f(x) e x são adimensionais):
tg β=
f (xB)− f ( x A)
x B− x A
Figura I.7: Gráfico de uma função f no intervalo [-10, 20]
Definimos a linha reta DA como sendo tangente à função definida por y = f(x), no ponto A.
Observamos então que quando o ponto B se aproxima do ponto A, a inclinação de DAB torna-se mais
11
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
 
y
B
y
A
x
B
x
A
D
A
D
AB
B
A
Y
 =
 f(
x)
X
 y = f(x)
 tangente à curva y = f(x) em x=12
próxima da inclinação da linha reta DA. No caso limite, quando A e B são iguais, as 2 linhas retas se
confundem, já que elas passam pelo mesmo ponto A:
limB→ A D AB=DA
Temos então, relacionando os 2 ângulos β e α, o último sendo o ângulo que faz a linha reta DA com a
direção horizontal:
lim B→ A tgβ=tgα
tgα é chamada de valor da derivada da função f no ponto A:
tgα= f ´ ( x A)=
df
dx
( x A)=limB → A
f ( xB)− f ( xA)
x B− xA
Uma definição mais geral da derivada (quando definida) de uma função f em um ponto qualquer x é
dada pelo limite (nesta definição, f(x) e x podem ter dimensões):
f ´ (x )= df
dx
( x)= limh→0
f ( x+h)− f ( x)
h
=lim h→0
f (x)− f (x−h)
h
Observação: quando os 2 limites (acima) são iguais, falamos que a derivada existe. Caso contrário, a
função f é dita não derivável ou não diferenciável em x.
No curso de Mecânica, iremos aplicar esta operação à funções simples como polinômios e funções
trigonométricas. Por isso, num primeiro momento, estabelecemos resultados gerais para polinômios.
Derivadas de funções polinomiais
caso 1: função constante
f (x )=c ⇒ f (x+h)− f (x )=0
⇒
df ( x)
dx
=0
caso 2: linha reta
f (x )=x ⇒ f (x+h)− f ( x)=h
⇒
df ( x)
dx
=1
caso 3: parábola
f (x )=x2 ⇒ f (x+h)− f ( x)=(x+h)2−x2=2hx+h2
⇒ df ( x)
dx
=2x
caso geral n > 2 para função de potência:
f (x )=xn(n inteiro) ⇒ f (x+h)− f ( x)=(x+h)n−x n=nhxn−1+h2 g (h , x)
⇒ df (x )
dx
=nxn−1
Para ilustrar o último resultado, determinamos a função g(h, x) quando n = 3. Temos
(x+h)3=x3+3 x2 h+3 x h2+h3= x3+3h x2+h2 g (h , x ) . Assim, obtemos a função g:
12
g ( x ,h)=3 x+h .
Algumas propriedades importantes da operação derivada
Introduzimos sem demonstração as principais propriedades associadas à operação de derivação de uma
função. Para não sobrecarregar as expressões, utilizamos a notação f´ para expressar a derivada de uma
função f em relação a seu argumento.
(α f )´=α f ´ (α real )
( f +g )´= f ´+g ´
( fg )´= f ´g+fg ´
( fg )´= f ´g − fg ´g2
( f α)´=α f ´ f α−1 (α real)
( f o g )´=g ´× f ´ o g (onde f o g (x )= f (g ( x)))
13
Tabela I.6: Resumo de derivadas usuais
14
I.5 Interpretações físicas de formulas (em construção)
A prática da Física envolve geralmente o uso de equações, formulas ou expressões analíticas que
forneçam algum tipo de informações sobre o fenômeno/sistema físico estudado. Durante o estudo das
diversas áreas da Física, o estudante é levado a estabelecer expressões analíticas de grandezas físicas
em função de outras, em particular quando resolve exercícios. Entretanto, chegar às “formulas”
soluções do problema não é um fim em se e, além de ser útil para treinar habilidades como manipular
conceitos e leis da Física, junto com ferramentas matemáticas, este tipo de prática deve servir em
“visualizar” o comportamento do sistema/fenômeno estudado, e portanto, deduzir a partir das
expressões analíticas encontradas, informações sobre o objeto em estudo, mesmo sem aplicações
numéricas.
Paraficar menos abstrato, vamos considerar um exemplo e discutir diversas situações possíveis
somente analisando uma expressão analítica, resposta a um dado problema.
REDIGIR
15
II. Cinemática
II.1 Algumas definições
Uma definição da cinemática: trata da descrição do movimento de uma partícula, empregando os
vetores posição, velocidade e aceleração, sem preocupação com as causas do movimento.
A seguir, introduzimos diversas definições das grandezas úteis em cinemática. Devemos salientar que
estas grandezas são definidas em relação a um dado referencial.
Vetor posição
Figura II.1: Trajetória de uma partícula e vetor posição
Escrevemos o vetor posição de uma partícula seguindo uma trajetória no espaço (tri-dimensional, ver
figura acima), o vetor função do tempo r t  que liga a origem das coordenadas (O) com o lugar (P)
onde se encontra esta partícula no instante t. Este vetor posição pode ser escrito em coordenadas
cartesianas empregando 3 funções do tempo:
r⃗ (t)= x (t) i⃗+ y (t) j⃗+z ( t) k⃗
Dimensão: [ r⃗ ( t)]=L
Vetor deslocamento
Definimos o vetor deslocamento Δ r⃗ durante o intervalo de tempo [t1, t2] como sendo:
Δ r⃗= r⃗ (t 2)− r⃗ ( t1) ,
que só depende das posições inicial e final da partícula seguindo uma dada trajetória. Observamos que
a norma deste vetor não representa em geral a distância percorrida pela partícula.
Dimensão: [Δ r⃗ ]=L
16
O
x
y
z
i j
k r(t)
x(t)
y(t)
z(t) trajetória
P
Figura II.2: Trajetória de uma partícula e vetor deslocamento
Vetor velocidade média
Figura II.3: Trajetória de uma partícula e vetor velocidade média
Definimos o vetor velocidade média no intervalo de tempo [t1, t2] como sendo a razão do vetor
deslocamento pela duração do intervalo de tempo considerado. É dado pela relação:
V⃗ m=
r⃗ ( t 2)− r⃗ (t 1)
t 2−t 1
=Δ r⃗
Δ t
, Δ t=t 2−t 1
Podemos escrever então:
Δ r⃗=V⃗ mΔ t ,
ou seja, os vetores deslocamento e velocidade média são paralelos (proporcionais). Este último
depende somente das posições inicial e final e do intervalo de tempo necessário para percorrer a
trajetória entre estas 2 posições.
17
O
x
y
z
i j
k
r(t
1
)
trajetória
r(t
2
)
r
O
x
y
z
i j
k
r(t
1
)
trajetórias
r(t
2
)
r
Algumas observações: na figura acima, 2 partículas seguindo 2 trajetórias muito diferentes podem
apresentar num mesmo intervalo de tempo as mesmas velocidades médias (as 2 partículas ocupam as
mesmas posições nos instantes t1 e t2);
Quando uma partícula segue uma curva fechada, sua velocidade média calculada entre os extrema
desta trajetória é nula.
Concluímos que esta grandeza física apresenta uma utilidade limitada e poderiamos definir uma
grandeza em geral mais útil: a velocidade instantânea.
Dimensão: [V⃗ m]=L T
−1
Vetor velocidade instantânea
Figura II.4: Trajetória de uma partícula e vetor velocidade instantânea
Definimos a velocidade instantânea de uma partícula como sendo o limite da velocidade média quanto
o intervalo de tempo vai para 0:
v⃗ (t)= limΔ t →0 V⃗ m=limΔt →0
Δ r⃗
Δ t
=d r⃗
dt
(t)
Temos então as componentes do vetor velocidade instantânea:
v⃗ (t)= d r⃗
dt
(t)= d
dt
(x (t ) i⃗+ y ( t) j⃗+ z (t) k⃗ )=dx
dt
(t) i⃗ +dy
dt
( t) j⃗+ dz
dt
( t) k⃗
ou seja:
v⃗ (t)=v x( t) i⃗+v y (t) j⃗+v z( t) k⃗ com v x (t)=
dx
dt
(t ) ; v y (t)=
dy
dt
(t) ; vz (t)=
dz
dt
(t )
Observamos que o vetor velocidade instantânea é tangente à trajetória e indica o sentido de
deslocamento da partícula.
Dimensão: [ v⃗ ]=L T−1
18
O
x
y
z
i j
k r(t)
x(t)
y(t)
z(t) trajetória
P v(t)
Vetor aceleração média
Figura II.5: Trajetória de uma partícula e vetor aceleração média
Definimos a aceleração média a qual é submetida a partícula no intervalo de tempo [t1, t2] pela relação:
a⃗m=
v⃗ (t 2)− v⃗ (t 1)
t 2−t 1
=Δ v⃗
Δ t
, Δ t=t 2−t 1
Dimensão: [ a⃗m]=LT
−2
Vetor aceleração instantânea
Definimos a aceleração instantânea de uma partícula como sendo o limite da aceleração média quanto
o intervalo de tempo vai para 0:
a⃗ (t)=limΔ t →0 a⃗m=limΔ t →0
Δ v⃗
Δ t
=d v⃗
dt
( t)
Temos então as componentes do vetor aceleração instantânea:
a⃗ (t)=d v⃗
dt
(t)= d
dt
(vx (t ) i⃗+v y( t) j⃗+v z(t ) k⃗ )=
dv x
dt
( t) i⃗+
dv y
dt
(t ) j⃗+
dv z
dt
(t) k⃗
ou seja:
a⃗ (t)=a x( t) i⃗ +a y (t) j⃗+a z(t) k⃗ com ax (t )=
dv x
dt
(t) ; ay (t )=
dv y
dt
( t) ; a z(t)=
dvz
dt
(t )
Concluímos que em geral a direção do vetor aceleração instantânea não é relacionada diretamente com
a direção do vetor velocidade instantânea da mesma forma que o vetor velocidade instantânea não tem
uma direção relacionada com aquela do vetor posição.
Observação: Existem certas situações em que o modulo da velocidade instantânea é constante, como
no caso de uma partícula seguindo uma trajetória circular, mas mesmo assim, esta partícula é
19
O
x
y
z
i j
k
r
1
(t
1
)
trajetória
r
2
(t
2
)
v
1
(t
1
)
v
2
(t
2
)
submetida a uma aceleração. Isto é devido ao fato que a direção da velocidade muda continuamente, e
portanto, a sua derivada que indica a sua taxa de variação temporal, é não nula.
Dimensão: [ a⃗]=L T−2
II.2 Cinemática 1D - Alguns exemplos
Diversas situações envolvem movimentos lineares (unidimensionais). Nestes casos, podemos utilizar
um único eixo (O, x) para descrever o movimento.
A seguir, ilustramos com gráficos e equações, algumas situações de movimento unidimensional.
i) Partícula em repouso
Figura II.6: Posição, velocidade e aceleração instantâneas associadas a uma partícula em repouso
As equações associadas ao movimento da partícula são neste caso simples:
x (t )=x0 ; v x(t )=0 ; a x( t)=0
ii) Partícula com velocidade constante
Figura II.7: Posição, velocidade e aceleração instantâneas associadas
a uma partícula com velocidade constante
As equações associadas ao movimento da partícula são:
x (t )=x0+v0t ; v x (t)=v0 ; a x( t)=0
20
x(t)
tO
x
0
v
x
(t)
tO
v
0
a
x
(t)
tO
x(t)
tO
x
0
v
x
(t)
tO
a
x
(t)
tO
iii) Partícula uniformemente acelerada
Figura II.8: Posição, velocidade e aceleração instantâneas associadas a uma
partícula submetida a uma aceleração constante
As equações associadas ao movimento da partícula são:
x (t )=x0+v0 t+α t
2 ; v x(t )=v0+2α t ; a x( t)=2α=a0
As equações da cinemática 1-D acima são extremamente simples. Existe uma infinidade de
movimentos possíveis. Citamos para completar este parágrafo, um movimento interessante, do
chamado oscilador harmônico. As equações de movimento são dadas a seguir e as expressões da
velocidade e da aceleração instantâneas poderão ser verificadas facilmente:
x (t )=A cosω t ; v x (t)=−ω A sinω t ; ax (t )=−ω
2 A cosω t=−ω2 x (t )
Observar a propriedade interessante da aceleração que é proporcional (mas de dimensão diferente) à
posição.
Movimento uniformemente acelerado: um estudo simplificado com poucos recursos matemáticos
O movimento uniformemente acelerado é, como vimos, caracterizado por uma aceleração constante:
a x( t)=a0x
Podemos neste caso então escrever que a aceleração é igual a seu valor médio no intervalo [0, t]:
a x( t)=axm=
Δv x
Δ t
=
v x( t)−v 0x
t−0
=
vx (t)−v0x
t
Deduzimos a expressão da velocidade instantânea em função da aceleração média e da velocidade
inicial da partícula ( v0x=v x( t=0) ):
v x (t)=axm t+v0x
Como a velocidade instantânea é uma função linearmente crescente em relação ao tempo, podemos
escrever seu valor médio no intervalode tempo [0, t] de forma simples (ver interpretação do gráfico
vx(t) na figura II.10 abaixo). Definimos o valor médio da velocidade tal que a área rasurada na figura
II.10 seja igual à área da região cinza nesta mesma figura (as referidas área tem dimensão de
21
v
x
(t)
tO
v
0
x(t)
tO
x
0
a
x
(t)
tO
a
0
velocidade × tempo, ou seja, dimensão de comprimento):
v xm=
1
2
(v x( t)−v0x) t+v0x t=
v x( t)+v0x
2
e também, escrevendo a definição da velocidade média no intervalo [0, t] em função do deslocamento:
v xm=
 x
 t
=
x t −x0
t−0
=
x t − x0
t
onde x0 é a posição inicial da partícula. Obtemos a expressão da posição da partícula em função do
tempo:
x (t )=v xm t+x0
Empregando expressões estabelecidas acima, obtemos:
x (t )=
v x( t)+v 0x
2
t+x0
e finalmente, após algumas manipulações algébricas:
x (t )=1
2
a0xt
2+v0xt+ x0
Esta expressão representa o movimento uniformemente acelerado de uma partícula submetida a uma
aceleração a0x, e cujas velocidade e posição a t = 0 são v0x e x0 respetivamente. Estes 2 últimos
parâmetros são chamados de condições iniciais quando o movimento começa a t = 0.
Figura II.9: Movimento uniformemente acelerado
Complemento
Uma definição geométrica da velocidade média:
Na figura abaixo é representada o gráfico da velocidade vx(t) de uma partícula submetida a uma
aceleração constante. Observamos, conforme equação obtida anteriormente neste parágrafo, que esta
função é representada por uma linha reta. Definimos a velocidade média Vm num intervalo de tempo [0,
t] como sendo a velocidade tal que o produto desta com a largura do intervalo (t neste caso) seja igual
à área abaixo da curva vx(t) (velocidade  tempo). Esta área é então:
22
O t
x(t)
inclinação = v
0x
x
0
inclinação = v
0x
 + a
x
tx(t)
t
V xm×t=V 0x×t+
1
2
(V xm−V 0x)×t=
1
2
(V xm+V 0x)×t
e corresponde à distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo [0, t].
Figura II.10: Definição da velocidade média
Um exemplo de movimento uniformemente acelerado: o lançamento vertical
Quando um objeto relativamente denso é largado (velocidade inicial nula) ou lançado (com velocidade
inicial “pequena”) perto da superfície terrestre de uma altura “pequena” (h, de alguns metro a algumas
dezenas de metros para objeto suficientemente densos), é possível desprezar o atrito (resistência)
gerado pelo ar. Neste caso o corpo/objeto experimenta a chamada aceleração da gravidade
(denominada g) cujo valor esta em torno de 9,8 m/s2 na vizinhança da superfície terrestre, a depender
da região do globo.
Queremos com o conhecimento adquirido até agora na disciplina, estudar o movimento de uma
partícula lançada verticalmente na vizinhança da superfície terrestre. Para isso, iremos num primeiro
tempo definir as convenções que permitirão escrever as equações associada ao fenômeno. A forma
mais simples de definir as convenções (notações) é desenhando uma figura como aquela a seguir. É
importante salientar que as convenções escolhidas são arbitrárias e depende eventualmente da
conveniência da pessoa que vai resolver o problema posto.
Nesta figura, escolhemos um eixo orientado para cima, chamado eixo “x”, cuja origem esta no nível da
superfície terrestre. A única aceleração ao qual é submetida a partícula depois do seu lançamento é a
aceleração da gravidade que aponta para a superfície terrestre. Esta será anotaDA g⃗=−g i⃗ , o sinal
“-” sendo introduzido arbitrariamente para poder escrever o valor de g como sendo positivo.
Devemos definir as chamadas condições iniciais associadas ao movimento, aproveitando para definir a
origem do tempo (t = 0) como sendo o momento do lançamento. As condições iniciais são então:
✔ a altura h da qual a partícula é lançada;
23
V
x0
V(t)
O t
V
xm
t
V
x
(t)
✔ a velocidade de lançamento V⃗ 0=V 0 i⃗ com V 0>0 ou V 0<0 .
Figura II.11: Convenções adotadas para queda livre
O sinal da componente da velocidade inicial V0 é segundo orientação do eixo “x”, positivo se a
partícula é lançada para cima e negativo no caso contrário.
Precisamos ainda identificar o problema posto que envolva uma aceleração constante. Estamos
portanto lidando com um movimento uniformemente acelerado. Podemos então escrever a equação
paramétrica da trajetória da partícula (na nossas notações, a = - g):
x (t )=−1
2
g t 2+V 0t+h
As equações da velocidade e da aceleração são deduzidas por derivação em relação ao tempo:
v x (t)=
dx
dt
=−g t+V 0
a x( t)=
dv x
dt
=−g
É interessante visualizar as grandezas funções do tempo, associadas ao movimento, ou seja a
componente da posição e a velocidade. A função mais simples é a velocidade (equação de uma linha
reta). Vamos então plotar esta função nas duas situações (V0 > 0 e V0 < 0). As duas figuras são dadas a
seguir.
Figura II.12: Componente da velocidade associada ao lançamento vertical
de uma partícula, nas duas situações V0 > 0 e V0 < 0.
24
O
i
Superfície terrestre
g = -g i
x
h
V
0
t
sup
0
V
0
 > 0
V(t)
t
t
Max
V
impacto
subida (v(t)>0)
descida (v(t)<0) 0
V
0
 < 0
V(t)
t
V
impacto
t
sup
A componente do vetor posição da partícula é expressada por um polinômio do segundo grau, ou seja a
curva representada por esta equação é uma parábola cuja concavidade é voltada “para baixo” devido ao
fato do coeficiente na frente do termo em t2 ser negativo. Lembramos que a derivada do vetor posição
é a velocidade e, portanto, na situação considerada de cinemática 1D, a componente da velocidade
determina a inclinação da curva representativa da componente da posição. Também, devido às
convenções adotadas, sabemos que a função x(t) é positiva (partícula acima da superfície terrestre) e se
inicia em t = 0. Obtemos as 2 figuras abaixo correspondendo às duas situações (V0 > 0 e V0 < 0) de
lançamento.
Figura II.13: Componente da posição associada ao lançamento vertical
de uma partícula, nas duas situações V0 > 0 e V0 < 0.
II.3 Cinemática 2D e 3D
Em geral, os objetos se movimentam no espaço tridimensional (3D), ou eventualmente no plano. As
equações da cinemática podem ser escritas em cada eixo de um sistema de coordenadas cartesianas.
No caso de um movimento uniformemente acelerado 3D por exemplo, podemos escrever:
x (t)=1
2
a x t
2+v0x t+ x0
y (t)=1
2
a y t
2+v0y t+ y0
z ( t)=12 az t
2+v0z t+z0
onde r⃗ (t) , v⃗ (t) , a⃗ são os vetores posição, velocidade e aceleração instantâneos da partícula em
movimento, com:
25
O t
x(t)
t
max
t
sup
h
x
max
dx/dt = V
0
O t
x(t)
t
sup
h
dx/dt = V
0
r⃗ (t)= x (t) i⃗+ y (t) j⃗+z ( t) k⃗ ;
v⃗ (t)=v x( t) i⃗+v y (t) j⃗+v z( t) k⃗ ;
a⃗=ax i⃗ +a y j⃗+az k⃗
As componentes da velocidades escrevem-se:
v x (t)=ax t+v0x ;
v y (t)=a y t+v0y ;
v z(t )=a z t+v0z
As relações anteriores podem ser resumidas pelas relações vetoriais (ver as convenções utilizadas na
figura abaixo):
r⃗ (t)=1
2
a⃗ t 2+v⃗0 t+r⃗ 0 ;
v⃗ (t)= a⃗ t+ v⃗0
Figura II.14: Cinemática 3D (movimento qualquer)
As equações escritas de forma geral no caso 3D podem ser reduzidas à casos 2D retirando
simplesmente uma das 3 componentes dos vetores posição, velocidade e aceleração.
Movimento de rotação uniforme
Para finalizar este capítulo, consideremos um caso particular e interessante de movimento 2D: o
movimento circular uniforme. A situação é resumida na figura abaixo.
Consideremos um ponto P, por exemplo na periferia de um disco de raio R, girando a velocidade
angular constante . A relaçãoque expressa a posição angular  do ponto P é dada por uma função
linear do tempo:
α( t)=ω t+α0 (ω=
d α
dt
(t))
onde 0 é a posição angular do ponto P a t = 0. Os ângulos são expressados em radiano (rd) e a
velocidade angular em rd/s.
Obtemos as expressões das coordenas cartesianas do ponto P:
26
O
x
y
z
i j
k r(t)
x(t)
y(t)
z(t) trajetória
P v(t)
a(t)
x (t )=R cosα(t)=Rcos (ω t+α0)
y (t)=Rsin α(t)=R sin(ω t+α0)
As componentes cartesianas da velocidade são obtidas aplicando a definição da velocidade
instantânea:
v x (t)=
dx
dt
=−Rω sin(ωt+α0)
v y (t)=
dy
dt
=Rωcos (ω t+α0)
Podemos reescrever o resultado anterior para visualizar qual é a direção e o sentido do vetor
velocidade. Temos
v x( t)
ω
=−R sin (ω t+α0)= xM (t)=− y (t)
v y (t )
ω
=Rcos (ω t+α0)= yM (t )= x (t)
onde definimos as coordenadas (xM(t),yM(t)) do ponto M (ver figura) que encontra-se sobre a periferia
do disco (verificamos que xM ( t)
2+ yM (t )
2=R2 ). Observamos que os vetores O⃗M e O⃗P são
perpendiculares e portanto que v⃗ (t)=ω ⃗OM =ω( xM (t) i⃗+ yM (t ) j⃗ ) é perpendicular ao vetor posição
r⃗ (t)=O⃗P .
Figura II.15: Movimento circular uniforme
Aplicando mais uma veze a operação de derivação em relação ao tempo, obtemos as componentes da
aceleração:
a x( t)=
d v x
dt
=−Rω2cos(ω t+α0)=−ω
2 x (t)
a y( t)=
d v y
dt
=−Rω2sin (ω t+α0)=−ω
2 y (t )
Reencontramos um resultado estabelecido no caso do oscilador harmônico, para o qual os vetores
27
x
y
O
P
î
ĵ 
R

M v(t)/
r(t)
v(t)
a(t)
aceleração e posição instantâneas são proporcionais (mas com dimensões diferentes). A aceleração é
chamada de centrípeta (aponta para dentro da trajetória).
Das expressões das componentes da velocidade e da aceleração, obtemos:
∣⃗a∣=Rω2
∣⃗v∣2=R2ω2
Assim, podemos deduzir mais uma relação interessante e que será aproveitada mais adiante no curso:
∣⃗a∣=∣v⃗∣
2
R
28
III. Dinâmica da partícula
III.1 Leis de Newtons
Para os Filósofos desde da antiguidade até Galileu: sera que o movimento precisa de uma causa ? Qual
seria a natureza desta causa ?
Nos séculos XVI e XVII: Galileu e depois Newton deram início ao estudo dos movimentos de forma
“científica”, dando origem à Mecânica Clássica;
Principia de Newton publicados em 1687 → 3 leis do movimento: Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica;
Problema central da Mecânica:
✔ um objeto de características físicas bem definidas é colocado numa certa posição com
velocidade inicial ambos conhecidos;
✔ todas interações deste objeto com os outros na sua vizinhança são conhecidas;
 podemos determinar a sua posição e velocidade a qualquer instante ?
A interação de um corpo com um corpo vizinho é descrita por uma força. A força resultante (total)
atuando sobre um objeto é a soma das forças exercidas pelos objetos de sua vizinhança.
Observação: neste capítulo, os objetos são considerados pontuais, ou seja, são tratados como partículas
sem dimensões (ou de dimensões transversais nulas) e portanto sem estrutura interna.
Leis de Newton
Antes de Galileu, para a maioria dos filósofos: um corpo, para se manter em movimento em linha reta
a velocidade constante precisa de um agente externo. Caso contrário, ele “naturalmente” cessaria o
movimento e ficaria no seu “estado natural” em repouso.
Observação: para movimentos de translação uniforme (vetor velocidade constante), não há diferença
entre um corpo (pontual) não ser submetido à forças externas e o mesmo corpo submetido à forças
externas cuja resultante é nula.
Primeira lei de Newton: considere um corpo sobre o qual não atua nenhuma força resultante. Se o
corpo estiver em repouso, ele permanecerá em repouso. Se o corpo estiver em movimento com
velocidade (grandeza vetorial) constante, ele continuará nesse mesmo movimento.
Observação: existe um conjunto de referenciais nos quais as leis da Mecânica (Clássica) podem ser
29
aplicadas. São chamados de referenciais inerciais ou Galileanos e nestes referenciais, os observadores
medem a mesma aceleração.
A tendência de um corpo em ficar em repouso, ou em movimento retilíneo uniforme é chamada de
inercia.
→ a primeira lei de Newton é chamada de lei da inercia.
A seguir, fazemos algumas considerações sobre força e massa para depois apresentar a segunda lei de
Newton.
Força
Da primeira lei de Newton: ausência de força aplicada a um corpo  ausência de aceleração.
→ um corpo apresenta um movimento acelerado quando ele é submetido a uma força (resultante não
nula).
Medição de força: podemos medir o efeito de uma força com por exemplo uma mola → podemos
definir um padrão de medida de força com massas padrões.
(COMPLETAR, E COM FOTOS DE DINAMÔMETRO ...)
Massa inercial
Observação: é mais difícil acelerar um objeto de massa M do que acelerar um outro de massa m < M.
→ massa  característica de um corpo em resistir a uma mudança “tipo” de movimento (envolve
aceleração);
→ podemos enxergar uma relação entre massa inercial, força e aceleração.
Experimentalmente, achamos que para 2 corpos de massas m1 e m2 submetidos à mesma força,
acelerados respectivamente de a1 e a2, temos a relação:
m1
m2
=
a2
a1
Dois objetos de massas m1 e m2, acoplados formam um objeto de massa m1 + m2 → a massa é uma
grandeza escalar que pode ser adicionada (grandeza chamada de extensiva).
Segunda lei de Newton ou lei fundamental da dinâmica:
m a⃗=∑ F⃗= F⃗ resultante
Consequência: se a resultante das forças é nula, o corpo fica em repouso quando era em repouso e, em
movimento uniforme (velocidade constante) quando era em movimento uniforme:
∑ F⃗=F⃗ resultante= 0⃗ ⇒ a⃗= 0⃗
Obtemos como consequência “aparente”, a primeira lei. Entretanto, a primeira lei não pode ser
descartada por ser aparentemente redundante porque para escrever a segunda lei, precisamos definir os
30
referenciais inerciais nos quais ela é válida; e para esta tarefa, precisamos da primeira lei.
Dimensão da força: [F ]=[a ][m ]=MLT−2=N (Newton)
Forças fundamentais conhecidas: as forças fundamentais conhecidas na natureza são a força
gravitacional, a força eletromagnética (síntese das forças elétrica e magnética) e as forças fraca e forte
atuando dentro do núcleo do átomo.
Terceira lei de Newton: quando um corpo (A) exerce uma força sobre um outro (B), o segundo exerce
uma força sobre o primeiro. Essas duas forças são sempre iguais em intensidade e opostas em sentido:
F⃗ A→B=−F⃗ B→ A
→ a cada ação, existe uma reação igual em intensidade e oposta em sentido → ação-reação: relaciona
2 objetos de papeis simétricos chamados de pares ação-reação.
Exemplos simples de pares ação-reação
Satélite submetido à atração terrestre
A Terra exerça uma força sobre o satélite F⃗ T →S . O satélite
exerça sobre a Terra uma força F⃗ S →T de igual intensidade
da anterior mas de orientação oposta. Temos:
F⃗ T →S=−F⃗ S →T
Figura III.1: Pare ação - reação Terra/Satélite
Bloco sobre uma mesa
A mesa exerça uma força F⃗ M → B sobre o bloco cuja
intensidade é igual em intensidade mas de orientação
oposta à força F⃗ B →M exercida pelo bloco sobre a
mesa. Temos:
F⃗ M → B=−F⃗ B →M
Figura III.2: Pare ação - reação Mesa/Bloco
Operário empurrando caixas
O operário empurra a caixa 1 e a caixa 1 empurra a caixa 2. Temos então 2 pares ação – reação e as
31
F
T->S
Terra
satélite
v
F
S->T
F
B->M
bloco
mesa
F
M->B
forças envolvidas verificam as relações:
F⃗ O→1=−F⃗ 1→O e F⃗ 1→2=−F⃗ 2→1
Figura III.3: pares ação - reação Operário/bloco 1 e bloco 1/ bloco 2
Colisão de 2 carinhos
Durante a colisão dos 2 carrinhos, asforças associadas ao pare verificam (ver
figura III.5):
F⃗ 1→2(t)=−F⃗ 2→1(t )
Figura III.4: pares ação - reação caixa 1/caixa 2
Figura III.5: forças funções do tempo durante uma colisão
Exercício resolvido
Um operador empurra 2 caixas de massas m1 e m2 com uma força F⃗ O→1 (ver figura III.6). Queremos
determinar as acelerações de cada caixa ( a⃗1 e a⃗2 ).
Reconhecemos (obviamente) um problema de dinâmica e portanto iremos aplicar as leis de Newton.
Num primeiro momento, empregando a 1a. lei, definimos um referencial inercial R(O, x, y, t) em que
iremos definir as acelerações e forças. Podemos escrever a lei fundamental da dinâmica (2 a lei de
32
1 2
t
F(t)
F
12
(t)
F
21
(t)
O
F
O1
F
1O
Bloco 1 Bloco 2
F
12
F
21
chão sem atrito para os 2 blocos
Newton) para cada caixa:
m1a⃗1=F⃗ resultante1
m2 a⃗2= F⃗ resultante2
Determinamos em seguido as 2 forças resultantes:
F⃗ resultante1= F⃗O →1+F⃗ 2→1+N⃗ 1+m1 g⃗
F⃗ resultante2=F⃗1 →2+N⃗ 2+m2 g⃗
onde N⃗ 1 e N⃗ 2 são as reações do plano atuando sobre cada caixa. Os últimos termos são os pesos de
cada caixa. As caixas são aceleradas horizontalmente, portanto temos:
N⃗ 1+m1 g⃗=0⃗ e N⃗ 2+m2 g⃗=0⃗ ,
Aplicamos também a 3a lei de Newton para o par caixa 1 / caixa 2, o que conduz às relações:
m1 a⃗1=F⃗ O→1+ F⃗2 →1
m2 a⃗2=− F⃗ 2→1
Obtemos 2 equações lineares mas temos ainda 3 incógnitas, o que não permite encontrar uma solução
a nosso problema. Entretanto, há ainda uma informação que pode ser acrescentada, que chamaremos
de vínculo, relacionando as acelerações das caixas. De fato, as 2 caixas (rígidas) são ligadas e portanto
as suas acelerações são iguais ( a⃗1= a⃗2=a⃗ ) (vínculo). Temos agora 2 incógnitas e obtemos:
m1 a⃗=F⃗ O →1+ F⃗ 2→1
m2 a⃗=−F⃗ 2→1
,
e somando estas 2 equações, obtemos a aceleração de cada caixa:
a⃗= 1
m1+m2
F⃗ O→1
Figura III.6: acelerações de caixas empurradas por um operador
Observamos que o resultado poderia ter sido estabelecido diretamente considerando que as 2 caixas
formam um objeto de massa m1 + m2, submetido à força resultante F⃗ O→1 entendendo que as forças
internas ( F⃗ 1→2 e F⃗ 2→1 ) não têm nenhum papel no movimento do objeto. Neste caso, poderíamos
33
F
O1
caixa 2 (m
2
)
F
12
F
21
chão sem atrito para as 2 caixas
a
1
a
2
caixa 1 (m
1
)
x
y
O
escrever:
(m1+m2) a⃗=F⃗ O →1 ,
o que nos conduz ao resultado anteriormente estabelecido.
Aplicação da lei fundamental da dinâmica: o lançamento oblico
Consideremos uma aplicação interessante das leis da Mecânica de Newton que trata do lançamento de
um objeto (projetil pontual) submetido à aceleração da gravidade. A trajetória é contida num plano
vertical e conduzirá à equações da cinemática 2D.
Antes de tratar o problema, ou seja, de antes de desenvolver o modelo, precisamos identificar qual é o
fenômeno considerado. Obviamente, estamos lidando com um problema de Mecânica Clássica e mais
especificamente, de um problema de dinâmica. As leis da Física que temos a disposição são as leis de
Newton. O tratamento se inicia com a definição de um referencial inercial R(O, x, y, t) (Galileano) no
qual serão escritas as equações.
Figura III.7: Trajetória do projetil
Por isso, lembramos que precisamos da 1a. lei de Newton. Em seguido, observamos que a única força
considerada é a força da gravitação descrita pela aceleração da gravidade (vetor g⃗ da figura III.7).
As condições iniciais do movimento são a posição r⃗ 0 e a velocidade v⃗0 iniciais (t = 0) aplicadas à
partícula de massa m. Não estamos preocupado com o mecanismo utilizado para lançar a partícula.
Observamos que convenientemente, escolhemos a origem do tempo coincidindo com o momento do
lançamento.
Podemos agora aplicar a lei fundamental da dinâmica (igualando a massa inercial e a massa
gravitacional que, conceitualmente, seriam a priori diferentes. Newton não soube justificar este fato
que só foi estabelecido por Einstein na Teoria da Relatividade Geral):
minercial a⃗=mgravitacional g⃗ com minercial=mgravitacional=m ,
34
O
y
x
max
y
max
V
0
xxfinal
y
0
x
0

0
g = -g j
r(t)r0
V(t)
ou seja:
m a⃗=m g⃗
Esta equação se simplifica e fornece a aceleração a qual é submetida a partícula:
a⃗= g⃗
Identificamos o caso de uma movimento uniformemente acelerado. Em seguido, escrevemos a
projeção da equação anterior nos eixos Ox e Oy: (novamente, utilizamos uma convenção para o vetor
aceleração da gravidade de tal forma que g seja positivo; por isso o sinal “-” na figura III.7 acima).
a x=0
a y=−g
Podemos integrar estas 2 equações para obter as componentes da velocidade:
v x (t)=v0x
v y (t )=−g t+v0y
Integrando mais uma vez, obtemos as componentes do vetor posição da partícula em função do tempo,
ou seja, obtemos as equações paramétricas da equação da trajetória da partícula:
x (t )=v0x t+x0
y (t)=−1
2
g t 2+v0y t+ y0
Para obter a equação da trajetória y(x), devemos eliminar o tempo das equações. Para isso, utilizamos a
expressão de x(t): para escrever a variável t em função de x (consideremos v0x não nulo
desconsiderando assim o caso do lançamento vertical):
t=
x−x0
v0x
com (v0x≠0)
Substituímos esta expressão naquela de y(t):
y (x )=−1
2
g( x−x0v0x )
2
+
v0y
v0x
(x−x0)+ y0
Obtemos a equação de uma parábola. Reescrevemos alguns dos coeficientes empregando a norma do
vetor velocidade inicial e o ângulo de lançamento:
v0=√v0x2 +v0y2 , tgϕ0=
v0y
v0x
Obtemos a nova expressão da equação da trajetória:
y (x )=−1
2
g
(v0cos ϕ0)
2 (x−x0)
2+tg ϕ0( x−x0)+ y0
Esta equação pode ser utilizada para determinar algumas características do movimento, como o ponto
de altura máxima atingida (xmax, ymax) e o alcanço da partícula x.
Para simplificar as expressões, introduzimos novas notações:
35
y (x )=α(x− x0)
2+β(x−x0)+ y0
com α=−12
g
(v0 cos ϕ0)
2<0 e β=tg ϕ0>0
Determinamos inicialmente o ponto de máxima da trajetória. Para isso, escrevemos que a derivada da
função y(x) é nula neste ponto:
d y
dx
( xmax)=2α(xmax− x0)+β=0
Resolvemos esta equação e encontramos:
xmax−x0=−
β
2α
=
v0
2 sen (2ϕ0)
2g
A altura máxima atingida é obtida após algumas manipulações algébricas:
ymax− y0=
v0
2 sen2ϕ0
2g
Determinamos em seguido o alcanço da partícula. O ponto de alcanço máximo é obtido quando a
partícula atinge o solo caracterizado pela equação y = 0. Procuramos então o valor de xfinal tal que
y(xfinal) = 0:
y (x final)=α( x final−x0)
2+β(x final−x0)+ y0=0
Obtemos uma equação do segundo grau a ser resolvida. A solução bem conhecida é:
x final−x0=
1
2α
(−β−√Δ) com Δ=β2−4α e a condição x final− x0>0
Finalmente, obtemos:
x final−x0=−
v0
2 cos2ϕ0
g (−tg ϕ0−√ tg 2ϕ0+ 2 g y0v02cos2ϕ0)
que pode ser reescrito:
x final−x0=
v0
2
2g
sen (2ϕ0)+
v0
2 cos2ϕ0
g √tg 2ϕ0+ 2g y0v02 cos2ϕ0
Podemos considerar uma situação particular e interessante que corresponde a um lançamento do nível
do solo. Neste caso, y0 = 0 e escolhemos a origem das coordenadas de tal forma que também x0 = 0.
Obtemos uma expressão simplificada do alcanço da partícula:
x final=
v0
2
g
sen (2ϕ0)
Podemos encontrar então um resultado conhecido que é que o alcanço é máximo para um lançamento
realizado a um ângulo 0 de 45° (ou em radiano de /4). Obtemos:
x final
max =
v0
2
g
36
III.2 Referenciais inerciais e força de inercia
III.2.1 Referenciais inerciais
Como já foi afirmado, a primeira lei da dinâmica permite definir referenciais particulares, nos quais os
observadores medem acelerações iguais para um mesmo objeto. Estes referenciais são chamados
referenciais inerciais ou referenciaisGalileanos. As leis da Mecânica são válidas nesta família de
referencial.
Para ilustrar a mudança de referencial, consideremos as grandezas cinemáticas que são os vetores
posição, velocidade e aceleração instantâneos associados a uma partícula P. Estas grandezas são
escritas em 2 referenciais inerciais e determinamos as relações entre elas.
Definimos os vetores posição em cada um dos referenciais R1(O1, x1, y1, t) e R2(O2, x2, y2, t):
(empregando o índice 1 para grandezas relacionadas ao primeiro e o índice 2 para grandezas
relacionadas ao segundo):
r⃗ 1(t)= ⃗O 1 P (t ) , r⃗ 2( t)= ⃗O 2 P ( t)
Podemos relacionar os 2 vetores anteriores:
⃗O1 P (t)= ⃗O1O2( t)+ ⃗O2 P (t )⇒ r⃗1(t )= ⃗O1 O2(t )+ r⃗ 2(t)
Figura III.8: Mudança de referencial
Obtemos então a relação das velocidades (lembrando que o tempo é o mesmo para os 2 referenciais):
d
dt
r⃗ 1(t)=
d
dt
⃗O1O2( t )+
d
dt
r⃗ 2(t ) ,
ou seja, quando os 2 referenciais R1(O1, x1, y1, t) e R2(O2, x2, y2, t) deslocam-se com velocidade (vetor)
relativa constante:
v⃗1(t)=
d
dt
⃗O1O2( t)+ v⃗2(t )
37
O
2
y
2
x
2
O
1
y
1
x
1
P
r
2
r
1
O
1
O
2
onde v⃗1= v⃗ R1(P) é a velocidade da partícula P calculada no referencial R1(O1, x1, y1, t) e
v⃗2= v⃗ R2(P ) é a velocidade da partícula P calculada no referencial R2(O2, x2, y2, t).
Obtemos a bem conhecida lei de adição das velocidades onde o primeiro termo do membro direto é a
velocidade relativa do referencial R2(O2, x2, y2, t) em relação a R1(O1, x1, y1, t):
v⃗1(t)= v⃗ R1(O2)+ v⃗2( t)
Derivamos esta última expressão para encontrar uma relação entre acelerações:
d
dt
v⃗1(t)=
d
dt
v⃗ R1(O2)+
d
dt
v⃗2(t ) ,
ou seja, levando em conta o fato que a velocidade relativa dos 2 referenciais é constante:
a⃗1(t)=a⃗2(t)
Concluímos que para uma partícula de massa m (mesma massa nos 2 referenciais) podemos escrever a
lei fundamental da dinâmica em 2 referenciais inerciais R1(O1, x1, y1, t) e R2(O2, x2, y2, t):
m a⃗1(t)=∑ f⃗ R1=m a⃗2(t)=∑ f⃗ R2
e portanto, 2 observadores ligados a 2 referenciais inerciais medem (em relação aos seus referenciais
respectivos) as mesmas forças atuando sobre uma mesma partícula.
III.2.2 Referenciais nã inerciais e força de inercia
Para introduzir a noção de força de inercia, utilizamos o exemplo do pêndulo simples: uma massa m
pontual é suspendida a um fio ideal (sem massa, e de diâmetro nulo).
Figura III.9: a) Observador ligado a um referencial inercial R(O, x, y, z, t); b) Observador em rotação
Consideremos o observador da figura III.9.a, ligado a um referencial inercial R(O, x, y, z, t). Este
observador mantem suspendido um pêndulo. O pêndulo está parado em relação a ele e portanto, após
realizar o levantamento das forças atuando sobre a massa m do pêndulo, ele conclui, aplicando a lei
fundamental da dinâmica que T⃗+m g⃗=0⃗ . O mesmo observador agora entra em rotação em relação
38
m
fio
T
mg
O x
y
z R(O,x,y,z,t)
m
fio
T
mg
T + mg = 0
T + mg  0 !
a um eixo vertical paralelo ao eixo z (ver figura III.9.b) e constata que a massa se afasta dele.
Novamente, ele realiza um levantamento da forças atuando sobre a massa m do pêndulo mas, chega à
conclusão que T⃗+m g⃗≠0⃗ enquanto ele observa que o pêndulo está ainda parado em relação a ele.
Ele conclui então que deve existir uma outa força envolvida, acreditando que pode ainda aplicar a lei
fundamental da dinâmica, apesar de não estar mais ligado a um referencial inercial.
Em seguido, desenvolvemos um modelo do pêndulo em rotação a velocidade angular uniforme. Para
este propósito, consideremos que a massa m gira em torno de um eixo z (ver figura III.10). Aplicamos
a lei fundamental da dinâmica num referencial inercial R(O, x, y, z, t):
m a⃗=T⃗ +m g⃗
Figura III.10: Pêndulo cônico
Lembramos que foi estabelecida durante o estudo da cinemática que a aceleração é neste caso
centrípeta e tem como expressão ( v⃗ sendo a velocidade instantânea da massa calculada em R(O, x,
y, z, t)):
a⃗=− v
2
R
n⃗=−Rω2 n⃗ com ∣⃗n∣=1
Obtemos então
−m v
2
R
n⃗=T⃗+m g⃗ ,
ou seja:
m v
2
R
n⃗+T⃗ +m g⃗= 0⃗
Projetamos a equação oriunda da lei fundamental da dinâmica nas direção do vetor n⃗ e no eixo z
(com g>0, T =∣T⃗∣ ):
39
r
T
mg
O
n
v
m
z
x
y

w
g=-gk
−Rω2=−T sen θ
0=T cosθ−mg ou seja: 
T senθ=Rω2
T cosθ=mg
Para um observador ligado ao referencial girando não inercial R´(O, n, z, t), e para poder aplicar a lei
fundamental da dinâmica, ele vai precisar acrescentar uma terceira força denominada força de inercia
ou pseudo força (lembramos que a massa m do pêndulo está parada neste referencial) para explicar o
que observa:
0⃗=T⃗ +m g⃗+F⃗ inercia
sendo a força de inercia expressada, conforme resultado anterior por:
F⃗ inercia=
v2
R
n⃗=Rω2 n⃗
Observação: as forças de inercia não verificam a 3a. lei de Newton: não podemos definir um pare
ação-reação para este tipo de força (por isso a denominação de pseudo força).
Exemplo de força de inercia ligada à rotação da Terra na vizinhança do planeta: a força de Corriolis
que provoca a deriva para o oeste no hemisfério norte (e para o leste no hemisfério sul) de objeto
largados de uma altura qualquer. Esta força permite explicar o movimento das massas de ar.
Caso geral
Consideremos agora uma situação mais geral envolvendo um referencial inercial R(O, x, y, z, t) e um
referencial não inercial (acelerado em relação a R) R1(O1, x1, y1, z1, t). Queremos relacionar os vetores
posições, velocidades e acelerações de uma partícula P (considerada um ponto do espaço) calculados
nos dois referenciais (ver figura III.11).
Figura III.11: Mudança de referencial
40
O
1
y
1
x
1
O
y
x
P
OO
1
O
1
P
OP
z
z
1
Uma relação simples e geral que não depende de referenciais (de um espaço Euclidiano), permite
relacionar os vetores posições dos pontos O, O1 e P funções do tempo:
O⃗P(t )= ⃗OO1( t)+ ⃗O1 P (t)
Introduzindo os 2 referenciais R e R1, podemos reescrever cada vetores em função das coordenadas dos
pontos:
O⃗P(t )=x R(P)(t ) i⃗+ y R(P )(t) j⃗+z R(P)( t ) k⃗
⃗OO1( t)=x R(O1)(t) i⃗+ yR (O1)(t ) j⃗+ zR(O1)(t ) k⃗
⃗O1 P( t)=x R1(P )( t)i⃗ 1+ yR1(P )(t) j⃗ 1+z R1(P)(t ) k⃗1
onde x
R
(P) indica a coordenada x do ponto P calculada no referencial R, e i (resp. i1) é o vetor unitário
do eixo Ox de R (Ox1 de R1). No intuito de simplificar as notações, iremos omitir a seguir, a
depedência temporal dos vetores e das coordenadas dos pontos.
Podemos reescrever a penúltima relação empregando as componentes de cada vetores:
O⃗P(t )= ⃗OO1( t)+ xR1(P )( t) i⃗ 1+ yR1(P )(t) j⃗ 1+z R1(P)(t ) k⃗1
Derivamos em relação ao tempo esta última relação:
d
dt
O⃗P(t)=d
dt
O⃗O1(t )+
d
dt (x R1(P)( t)i⃗ 1+ yR1(P )(t) j⃗ 1+z R1(P)(t ) k⃗1)
Lembramos que os vetores unitários do referencial R1 podem mudar de orientação, o que significa que
as suas derivadas podem ser não nulas mesmo com seus modulos permanecendo iguais a 1. Isto não
ocorra para os vetores unitários do referencial R que têm sempre as mesmas orientações. Obtemos:
d
dt
O⃗P (t )=d
dt
⃗OO1( t)+(d xR1(P)dt i⃗1+d y R1(P)dt j⃗1+d x R1(P)dt k⃗ 1)+
(x R1(P) d i⃗1dt + y R1(P) d j⃗1dt +z R1(P ) d k⃗ 1dt )
Trabalhando com a mesma lógica adotada neste parágrafo para as notações, obtemos:
v⃗ R(P)=v⃗ R(O1)+v⃗ R1(P)+(xR1(P) d i⃗1dt + y R1(P) d j⃗1dt +z R1(P) d k⃗ 1dt )
Os 3 primeiros termos representam a lei de adição das velocidades quando os referenciais guardam a
mesma orientação relativa, enquanto o último termo (na parêntese) leva em conta a rotação do
referencial R1 em relaçãoà R.
Aplicamos pela segunda vez a operação de derivação para exibir termos de aceleração:
d
dt v⃗ R(P)=
d
dt v⃗R (O1)+
d
dt v⃗R1(P)+
d
dt (x R1(P) d i⃗1dt + y R1(P) d j⃗1dt +z R1(P ) d k⃗1dt )
Enfatizando o fato que a derivada do vetor velocidade da partícula P calulada no referencial R1 não é
41
simplesmente igual a aceleração desta em R1:
d
dt
v⃗ R1(P)=
d
dt (d x R1(P)dt i⃗1+d y R1(P )dt j⃗1+d xR1(P )dt k⃗ 1)→
d
dt
v⃗ R1(P)=(d 2 x R1(P)dt 2 i⃗1+d
2 yR1(P )
dt 2
j⃗ 1+
d 2 xR1(P)
dt 2
k⃗1)+
(d xR1(P )dt d i⃗1dt + d y R1(P)dt d j⃗ 1dt + d xR1(P )dt d k⃗ 1dt )
Obtemos após algumas manipulações algébricas, e introduzindo as acelerações dos pontos nos 2
referenciais:
a⃗ R(P)=a⃗R1(P)+ a⃗R(O1)+2(d x R1(P)dt d i⃗1dt +d y R1(P )dt d j⃗1dt +d xR1(P)dt d k⃗ 1dt )+
(x R1(P) d 2 i⃗ 1dt2 + y R1(P) d
2 j⃗ 1
dt 2
+z R1(P )
d 2 k⃗1
dt 2 )
Novamente, vemos aparecer nos 3 primeiros termos as acelerações dos pontos O, O1 e P. Os 2 termos
seguintes levam em conta a mudança da orientação de R1 em relação a R.
III.3 Força de atrito
A força de atrito é encontrada em quase todas situações do dia a dia. De fato, é uma força que facilita
nossa vida e permite por exemplo nossos deslocamentos, que seja andando ou utilizando um veículo,
sem deslizar. Quem já andou o dirigiu sobre a neva ou o gelo, observou a dificuldade de ficar em pé ou
de controlar o veículo. Mas também, esta força provoca perdas de energia, por exemplo nos motores.
Para introduzir a força de atrito, precisamos definir a força normal. Esta força é encontrada na
situação em que é colocado um objeto sobre uma superfície. Neste caso, uma das forças geradas por
esta superfície vai compensar a componente perpendicular (a superfície) da força gerada pelo objeto
sobre ela. A força normal é então sempre perpendicular à superfície de contato.
Evidência experimental da existência da força de atrito: um corpo lançado sobre uma mesa, com
velocidade v⃗0 (paralela ao plano da mesa), depois de um certo tempo Δ t , irá parar
→ o corpo experimenta uma aceleração média contrária ao seu movimento:
a⃗m=
0⃗− v⃗0
Δ t
=−
v⃗0
Δ t
 de acordo com a lei fundamental da dinâmica, exite uma força responsável por esta aceleração,
chamada força de atrito.
Definimos de forma empírica o modulo f a=∣ f⃗ a∣ da força de atrito como sendo proporcional ao
42
modulo da força (reação) normal do suporte (ver figura III.11):
f a=μ∣N⃗∣
Figura III.12: Força de atrito em um plano inclinado
Definimos a seguir as forças de atrito estática e cinética e os seus respectivos coeficientes de atrito.
Quando não há movimento relativo do objeto e da superfície na qual ele esta em contato (ver figura
III.11), podemos escrever, aplicando a lei fundamental da dinâmica na situação de equilíbrio:
f⃗ a+N⃗+P⃗=0⃗
Neste caso, definimos o coeficiente de atrito estático e, pela inigualdade:
∣ f⃗ a∣≤μe∣N⃗∣
Portanto, enquanto esta inigualdade é verificada, não há deslizamento do objeto sobre a superfície.
Quando o objeto começa a deslizar (por exemplo porque a inclinação do plano inclinado foi
aumentada no caso da figura III.11), a força de atrito vê seu modulo tornar-se constante e o coeficiente
de atrito cinético é definido pela relação:
∣ f⃗ a∣=μc∣N⃗∣
Força de atrito e plano inclinado: um experimento simples para determinar o coeficiente de atrito
estático associado a 2 superfícies planas em contato.
(COMPLETAR)
Na tabela a seguir, são listados alguns valores de coeficientes de atrito para diversos materiais.
Superfícies de contato Coeficiente o de
atrito estático
Coeficiente de atrito
cinético
vidro / vidro 0,9 - 1,0 0,4
madeira /madeira 0,25 – 0,5 0,2
aço / aço (superfícies limpas) 0,6 0,6
aço / aço (superfícies lubrificadas) 0,09 0,05
43
P
N
f
a
teflon /teflon 0,04 0,04
Tabela III.1: Alguns valores de coeficientes de atrito
Interpretação microscópica da força de atrito
Quando observamos uma superfície com um microscópio, podemos visualizar o fato de que ela
apresenta numa dada escala, uma rugosidade. Por isso, o contato entre 2 superfícies envolve somente
pequenas regiões (quase pontuais) que estão realmente muito próximas e interagem através da força
elétrica (ver figura III.12). Estas regiões são também chamadas de pontos de solda fria e é este
fenômeno que gera a força de atrito entre 2 superfícies.
Figura III.13: Contatos de 2 superfícies na escala microscópica
44
contatos das 2 superfícies 
(solda fria)
superfície 1
superfície 2
Complemento de Matemática
Operação de integração de uma função
Consideremos uma função escalar de uma variável de R sobre R, cujo gráfico é dado a seguir.
 
Figura C.1: Integração de uma função f(x) no intervalo [a, b]
Chamamos integral I de uma função f de x = a até x = b (portanto no intervalo [a, b]) a quantidade
escrite simbolicamente:
I=∫a
b
f ( x)dx
onde o simbolo  designa uma soma contínua. Esta quantidade é igual a área (algébrica, podendo ser
negativa) contida entre a função e o eixo x.
Chamamos de integral indefinida (ou primitiva da função f) a função F:
F ( x)=∫ f (x)dx
o que implica na igualdade:
∫a
b
f (x )dx=F (b)−F (a )
Temos então a propriedade (interpretada como sendo que “a derivação é a operação inversa da
integração”):
f (x )=dF ( x)
dx
Podemos relacionar as operações derivação e integração da seguinte forma:
45
Podemos introduzir um algoritmo para estimar a integral de uma função num dado intervalo. O método
descrito a seguir é chamado de integral de Riemann.
Integral ou soma de Riemann
Podemos estimar a integral de uma função f no intervalo [a, b], empregando um algoritmo simples.
Para isso, dividimos [a, b] em n intervalos de comprimentos iguais h = (b - a) / n. Para o késimo
segmento é calculado a área do retangulo (em vermelho na figura C.1) de largura h (finita, no lugar de
dx) e altura f(xk) onde xk = a + kh (k  [0, n], sendo x0 = a e xn = b) que representa uma aproximação
da área delimitada pela curva da função no intervalo [xk, xk+1] e o eixo x. Obtemos:
I Riemann=∑k=0
n−1
f (xk)h=h∑k=0
n−1
f ( xk)=
b−a
n ∑k=0
n−1
f ( xk )
Para função “bem comportadas” (integráveis), temos:
limh→0 I Riemann=∫a
b
f (x )dx=I
46
f(x) F(x)
 dx
d
dx
Tabela III.1: Integrais indefinidas de funções simples
47
IV – Trabalho, energia e conservação da energia
Vimos até agora que uma grandeza física muito importante e relativamente intuitiva é a força,
que permite determinar a evolução de um sistema, aplicando as leis da Mecânica. Entretanto, existe
um outro tipo de grandeza física, também muito importante e útil: a energia.
Neste Capítulo, iremos introduzir a noção de trabalho de uma força e depois, as energias cinética e
potencial, e finalmente a lei de conservação da energia.
IV.1 Trabalho de uma força
Para um operador, depois de ter levantado uma certa quantidade de caixas, ele sinta uma
impressão de cansaço.
Figura IV.1: Deslocamento vertical de caixas
Podemos afirmar que se a tarefa é realizada com um guincho dotado de um motor elétrico, a
quantidade de energia gasta vai depender do número de caixas a ser levantadas, da altura e da massa
destas caixas. Chegamos à conclusão razoável que o “trabalho” (no sentido comum do esforço)
realizado dever ser função da força aplicada e do deslocamento vertical das caixas. A forma de
dependência mais simples é que esta função seja simplesmente proporcional a estas 2 quantidades.
Definimos o trabalho de uma força F⃗ de intensidade constante F ( F=∣F⃗∣ ) que desloca um corpo de
S⃗ no mesmo sentido que F⃗ , como sendo a quantidade(onde S=∣S⃗∣ ):
W=F S
Alguns exemplos
Guincho com motor
Consideremos um guincho motorizado utilizado para levantar uma caixa de uma altura h, com
velocidade constante. As 2 forças atuando sobre a caixa são o peso m g⃗ e a tração F⃗ gerada pelo
guincho. Pela lei fundamental da dinâmica, temos:
m g⃗+ F⃗= 0⃗ ,
48
o que implica:
F⃗=−m g⃗
Figura IV.2: Guincho motorizado
Obtemos então o trabalho da força gerada pelo guincho (com g>0, F=∣F⃗∣ ):
W=F h=mgh
Esteira com motor
Uma caixa é colocada sobre uma esteira inclinada, e trazida para uma altura h. A caixa é segurada
sobre a esteira graça à força de atrito, o tapete da esteira sendo submetido a uma força F⃗ (ver figura
abaixo). Como não há deslocamento relativo da caixa e da esteira, podemos considerar como modelo
do sistema caixa/esteira aquele do plano inclinado sem atrito onde o objeto é puxado por uma força
(constante) F⃗ .
Figura IV.3: Esteira motorizada
Aplicamos a lei fundamenta da dinâmica, considerando que a caixa movimenta-se com velocidade
constante:
F⃗+N⃗+m g⃗=0⃗
Projetando a lei fundamental da dinâmica nos eixos Ox e Oy, obtemos (com
49
F
mg
h
x
i
x
y
h
L

F
mg
N
g>0, F=∣F⃗∣, N=∣N⃗∣ ):
F−mg senα=0
N−mg cosα=0 ou seja: 
F=mg senα
N=mg cosα
e portanto, o trabalho da força aplicada pela estera é:
W=F L=mgL senα=mgh
Plano inclinado com força aplicada pelo operador, horizontal
Consideremos agora um operador aplicando uma força horizontal para empurrar uma caixa até uma
altura h sobre um plano horizontal sem atrito.
Figura IV.4: Plano inclinado
Obtemos, procedendo da forma padrão, empregando a lei fundamental da dinâmica (com
g>0, F=∣F⃗∣, N=∣N⃗∣ ):
F⃗+N⃗+m g⃗= 0⃗  F−N senα=0N cosα−mg=0 
F=N senα
N= mg
cosα

F=mg tgα
N= mg
cosα
O trabalho da força aplicada pelo operador é o trabalho da componente desta força, paralela ao plano
inclinado (a outra componente, perpendicular ao plano não trabalha porque a caixa não descola do
plano):
W=F cosα L=mgL senα=mgh
Observamos que nos 3 casos considerados acima, o trabalho realizado para levantar uma caixa de
massa m, de uma altura h é:
W=mgh
O terceiro exemplo sugere uma generalização da noção de trabalho de uma força constante F⃗
deslocando um objeto de S⃗ , sendo o deslocamento não necessariamente paralelo à força:
W=F⃗⋅S⃗
Desta definição, podemos deduzir as propriedades seguintes associadas à grandeza trabalho:
50
L
h

N
F
mg
x
y
F=0⇒W=0
S=0⇒W=0
F⃗ ⊥ S⃗⇒W=0
F⃗ e S⃗ de sentidos contrários⇒W<0
F⃗ e S⃗ de mesmos sentidos⇒W>0
Exemplo de aplicação da segunda definição do trabalho de uma força constante: pessoa puxando
um trenó deslocando-se com velocidade constante
Queremos calcular o trabalho da força aplicada pela pessoas para puxar o trenó.
Figura IV.5: Trenó puxado por uma pessoa
Aplicamos a lei fundamental da dinâmica, considerando o trenó deslocando-se com velocidade
constante:
F⃗+N⃗+m g⃗+ f⃗ a=0⃗
onde f⃗ a é a força de atrito devido ao contato do trenó com o solo de modulo f a=μc N .
Projetamos a lei fundamental da dinâmica nos 2 eixos Ox e Oy (com
g>0, F=∣F⃗∣, N=∣N⃗∣, f a=∣ f⃗ a∣ ):
F cosα− f a=0
N+F senα−mg=0 , (g>0) 
F cosα=μc N
N=mg−F senα
Obtemos a força gerada pela pessoa:
F cosα=μc (mg−F senα)  F (cosα+μc senα)=μc mg
ou seja:
F=
μc mg
cosα+μc senα
O trabalho desta força associado a um deslocamento L é então:
51
FN
mg
f
a

x
ymc
Lî
W F⃗=F⃗⋅L i⃗=
μc mgL cosα
cosα+μc senα
Trabalho de uma força variável
Para um deslocamento pequeno δ S⃗ tal que a força F⃗ ( r⃗ ) pode ser considerada constante (ver
figura IV.6), podemos escrever o trabalho como sendo δW=F⃗⋅δ S⃗ .
Somando as contribuições, chegamos a:
W A→B=limδ S⃗ →0∑ F⃗ ( r⃗ )⋅δ S⃗=∫ΓA→ B F⃗ ( r⃗ )⋅d S⃗
Figura IV.6: Trabalho de uma força ao longo de uma caminho
Potência
Definimos a potência (expressada em Watt (W)) como sendo a taxa de variação do trabalho por
unidade de tempo. Podemos definir a potência média e a potência instantânea.
Potência média no intervalo de tempo Δ t :
Pm=
W
Δ t
Potência instantânea no instante t:
P (t)=limΔ t →0
W
Δ t
=dW
dt
Obtemos da expressão anterior uma relação útil para expressar o trabalho infinitesimal de uma força a
qual é associada uma potência P(t), durante o intervalo de tempo infinitesimal dt:
dW =P (t)dt
Obtemos então uma nova expressão da potência mecânica instantânea:
P (t)=dW
dt
=
F⃗⋅d S⃗
dt
= F⃗⋅d S⃗
dt
=F⃗⋅⃗v
IV.2 Energia cinética
IV.2.1 Energia cinética e teorema trabalho-energia
Segundo a lei fundamental da dinâmica, quando é aplicada uma força (externa) resultante sobre um
52
O
r
ds
F(r)
A
B
A->B
objeto, este acelera.
→ a sua velocidade v⃗ passa de v⃗ i para v⃗ f durante um dado intervalo de tempo Δ t .
Portanto, há variação de energia associada ao movimento do referido objeto. Falamos que há variação
da sua energia cinética.
A seguir, estabelecemos a expressão da energia cinética de um objeto em translação. Para isso,
consideremos um corpo submetido a uma força resultante F⃗ res constante (movimento uniformemente
acelerado). Temos então:
W F⃗ res=F⃗ res⋅S⃗=∑ F⃗ j⋅S⃗=∑W j
Mas pela lei fundamental da dinâmica, m a⃗=F⃗ res= c⃗te . Como foi demonstrado num capítulo
anterior, temos:
a⃗=
v⃗ f−v⃗ i
Δ t
e S⃗=
v⃗ i+v⃗ f
2
Δ t
Obtemos:
W F⃗ res=ma⃗⋅S⃗=m
v⃗ f− v⃗i
Δ t
⋅
v⃗ i+v⃗ f
2
Δ t ,
ou seja:
W F⃗ res=
1
2
m(v f
2 −v i
2)
Definimos então a quantidade K=12
m v2 como sendo a energia cinética de um corpo (por enquanto
considerado pontual) de massa m deslocando-se a velocidade v⃗ . Observamos que K é uma grandeza
escalar (expressada em Joule (J)), como o trabalho de uma força.
Teorema trabalho - energia: o trabalho realizado pelas forças agindo sobre um corpo é igual à
variação de energia cinética do corpo (tratado como partícula): W F⃗ res=K f−K i
Observações:
K é uma das formas de energia associadas a um corpo;
normalmente: podemos associar energia a um estado ou a uma condição em que se encontra um corpo
(movimento, posição, …);
podemos transferir energia a um corpo de diversas formas (trabalho de uma força, transferência de
calor, energia elétrica, …);
Demonstração Geral do Teorema Trabalho - Energia
Podemos estabelecer o teorema trabalho – energia de forma geral, empregando a segunda lei de
Newton. Em seguido está a sequência de operações que permitem chegar ao resultado:
53
F⃗ res=ma⃗
⇒dW=F⃗ res⋅d S⃗=F⃗ res⋅v⃗ dt
⇒dW=ma⃗⋅⃗v dt=m v⃗⋅d v⃗
dt
dt
⇒dW=m v⃗⋅d v⃗
⇒W=m∫v⃗ i
v⃗ f v⃗⋅d v⃗=1
2
m(v f
2−v i
2)
⇒W=K f −K i
Teorema trabalho – energia e referenciais inerciais
Como vimos, as leis da mecânica são as mesmas nos referenciais inerciais. Da mesma forma, o
teorema trabalho energia guarda a mesma forma (expressão) para observadores de referenciais
inerciais diferentes mas as quantidades envolvidas em geral variam de um referencial para outro:
IV.3 Forças conservativas
Definição: Considere o trabalho total realizado por uma força que atua sobre uma partícula,
enquanto esta se move ao longo de um percurso fechado qualquer e retorna ao seu ponto de partida.
Se o trabalho total é nulo, diz-se que a força é conservativa. Se o trabalho total para o percurso
completo não é nulo, diz-se que a força não é conservativa.
Exemplos:
1) lançamento de um objeto para cima
Podemos escrever o trabalho da força peso durante
a subida:
W subida=P⃗⋅h i⃗=−mgh ;
e o trabalho da força peso durante a descida:
W descida=P⃗⋅(−h i⃗ )=mgh