Lista de exercicio sobre modelagem

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1a LISTA DE EXERCÍCIOS DE PESQUISA OPERACIONAL 
Prof. Luciano Lessa Lorenzoni 
 
 
1) A Investe&Futuro possui um capital de R$14.000,00 para investir numa carteira 
de 4 projetos, tendo estudado a rentabilidade dos mesmos. Na tabela apresenta-se, 
para cada projeto/investimento, o montante de capital a investir e a rentabilidade 
esperada (Valor Atualizado Líquido): 
 
projeto capital (R$) rentabilidade 
(R$) 
1 5 000 16 000 
2 7 000 22 000 
3 4 000 12 000 
4 3 000 8 000 
 
Que projetos devem ser selecionados de forma a maximizar a rentabilidade sem 
exceder o capital? Estabeleça o PPL, identificando as variáveis de decisão, as 
restrições e a função objetivo) 
 
2) Num laboratório químico, querem produzir um ácido com as seguintes 
 características: 
a) o ácido deve conter no mínimo 20% do componente B1, no máximo 20% do 
componente B2 e no mínimo 30% do componente B3; 
b) o peso específico deve ser menor ou igual a 1. 
O ácido deverá ser produzido a partir de uma mistura de 3 matérias-primas, R1, 
R2, R3. A percentagem na qual os componentes B1, B2 e B3 encontram-se nas 
matérias-primas bem como o peso específico e o preço por unidade são dados pela 
tabela a seguir. 
 
 B1 B2 B3 Peso Específico Preço por Unidade 
R1 15 10 40 1,04 140 
R2 20 15 30 0,95 120 
R3 25 30 35 1,00 130 
 
Considerando que o peso específico do ácido será dado levando-se em conta a 
proporção em que as matérias-primas se encontram na mistura, formular o problema 
para determinar esta proporção, minimizando o custo da produção do ácido. 
Estabeleça o PPL, identificando as variáveis de decisão, as restrições e a função 
objetivo. 
 
3) A firma Motores Recreativos produz carrinhos de golfe e carrinhos para neve em 
suas três instalações fabris. A fábrica A produz diariamente 45 carrinhos de golfe e 35 
para neve. A fábrica B produz 55 carrinhos para neve e nenhum para golfe. A fábrica 
C produz diariamente 65 carrinhos para golfe e nenhum para neve. Os custos 
operacionais diários das fábricas A, B e C, são respectivamente, R$ 20000, R$19000 
e R$ 21000. Quantos dias cada uma das fábricas deve operar durante o mês de 
setembro de modo a cumprir um programa de produção de 1300 carrinhos de golfe e 
1500 para a neve, a um custo mínimo? Estabeleça o PPL, identificando as variáveis 
de decisão, as restrições e a função objetivo. 
 
4) Roberta deseja ir a uma festa no final de semana e não possui roupa adequada para 
tal evento. Por ter se comportado bem durante a semana, seu bondoso pai, o Sr. 
Roberto resolve lhe fazer um agrado presenteando-a com R$ 300,00. 
 
Com este dinheiro, Beta, como é mais conhecida, decide ir ao shopping comprar uma 
belíssima roupa para a festa tão esperada. 
 
Por ser uma adolescente muito econômica, resolveu que só vai comprar o essencial, 
ou seja, uma blusa, uma calça e uma bota ou um sapato. A tarefa não foi tão fácil, 
pois Beta ficou deslumbrada pelos vários modelos de roupa e tipos de calçados da 
loja. 
 
Na tabela abaixo estão representados os modelos que a jovem menina gostou. 
 
PEÇAS OPÇÕES PREÇO (R$) 
1) Blusa 1) Bordada R$ 42,00 
 2) Lisa R$ 35,00 
2) Calça 1) Xadrez R$ 87,00 
 2) Capri R$ 79,00 
3) Bota 1) Cano Alto R$ 80,00 
 2) Cano Curto R$ 50,00 
4) Sapato 1) Sandália R$ 75,00 
 2) Anabela R$ 42,00 
 
Qual tipo de combinação a adolescente poderá fazer de forma a minimizar o custo das 
compras? Estabeleça o PPL, identificando as variáveis de decisão, as restrições e a 
função objetivo. 
 
5) Uma refinaria processa vários tipos de petróleo. A quantidade de cada tipo de 
petróleo presente na gasolina implica na classificação do tipo de gasolina obtida. 
Supondo que a refinaria trabalhe com uma linha de 3 tipos diferentes de petróleo e 
deseje produzir as gasolinas comum e azul, programar a mistura dos tipos de petróleo 
atendendo e observando às condições que se seguem nas tabelas abaixo: 
 
Tipo de Petróleo Quantidade Máxima 
Disponível (Barril/Dia) 
Custo por Barril/dia 
(R$) 
1 3500 19 
2 2200 24 
3 1800 27 
 
 
 
 
 
Tipo de Gasolina Especificação Preço de Venda 
R$/Barril 
Comum Não mais que 30% de 1 
Não menos que 40% de 2 
Não mais que 50% de 3 
35 
Azul Não mais que 30% de 1 
Não menos que 10% de 2 
42 
 
Estabeleça o Problema de Programação Linear referente a descrição acima com o 
objetivo de maximizar o lucro com a venda da gasolina produzida (não se esqueça de 
identificar as variáveis de decisão, a função objetivo e as restrições). 
 
6) A seguinte carga deve ser embarcada em um navio: 5.000.000 kg de ouro e 
2.000.000 kg de pedras preciosas. Os três porões são dotados dos seguintes limites de 
capacidade: 
 
Capacidade Porão 
Kg m³ 
I (Proa) 
 II (Centro) 
 III (Popa) 
2.000.000 
3.100.000 
1.500.000 
 
1.100 
1.400 
600 
 
Para manter o balanço do navio, cada porão deverá possuir carga proporcional à 
capacidade (em peso). Pede-se o esquema de embarque que permitirá um maior 
faturamento da carga quando chegar ao seu destino. 
 
Material Densidade 
(Kg/m³) 
Preço de Mercado 
(Dólar/Kg) 
Ouro 2.800 10,000 
Pedras Preciosas 1.800 5,000 
 
 Estabeleça o PPL, identificando as variáveis de decisão, as restrições e a função 
objetivo. 
 
7) Um excursionista planeja fazer uma viagem acampando. Há n itens que o 
excursionista deseja levar consigo, mas estes, juntos, excedem o limite de T quilos 
que ele supõe ser capaz de carregar. Para ajudar a si próprio no processo de seleção, 
ele atribuiu valores, por ordem crescente de importância, a cada um dos itens, onde Vi 
denota o valor atribuído ao item i e Pi corresponde ao peso do item i. Os itens de 
índices pares são de uso individual e os de índices ímpares são de uso coletivo. O 
percentual de itens de uso individual levados não pode ultrapassar a 80 % do total de 
itens de uso coletivo levados. Formule o modelo de Programação Linear associado ao 
problema. 
 
 
8) Resolver os problemas abaixo graficamente. Determinar a solução ótima, se 
existir, e o valor da função objetivo. Assinalar o conjunto das soluções viáveis. 
Classificar o conjunto solução da seguinte forma: 
• O conjunto das soluções viáveis é vazio. O problema não tem solução. 
• O problema tem uma única solução ótima. 
• O problema tem uma infinidade de soluções ótimas (infinitas soluções). 
• A função objetivo pode crescer ou decrescer indefinidamente. O problema 
não tem solução ótima (solução ilimitada). 
 
a) MAX Q(X) = - 2X1 + 6X2 
s.a 
 X1 – 4X2 <= - 4 
 X1 + X2 >= 6 
X1 – 3X2 <= - 5 
X1 >= 0 
X2 >= 0 
 
b) Qual seria a solução do item a) se o problema fosse minimizar? 
 
c) MAX Q(X) = 8X1 + 10X2 
s.a 
 -3X1 + X2 <= 3 
 4X1 + 5X2 <= 20 
X1 >= 0 
X2 >= 0 
 
d) MAX Q(X) = X1 + 2X2 
s.a 
 X1 + 2X2 <= 2 
 3X1 + 4X2 >= 12 
X1 >= 0 
X2 >= 0 
 
e) MAX 2X - 3Y 
s. a 
X + Y ≥ -2 
-2 / 3 X + Y ≥ 2 
X,Y ≥ 0 
 
f) E se o problema em (e) fosse de minimizar? 
 
g) MAX Y 
s. a 
1 / 2 X + Y ≥ 1 
-1 / 2 X + Y ≤ -2 
 
 
 
 
h) MIN –X + Y 
s. a 
2 / 3 X + Y ≤ -2 
X ≤ -2 
 
i) MAX -2X - 2Y 
s. a 
X + Y ≥ 2 
-2 / 3 X + Y ≥ -2 
X,Y ≥ 0 
 
j) E se o problema em (i) fosse de minimizar? 
 
 
RESPOSTAS DA 1a LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
8) 
 
a) Solução Ilimitada 
b) S = {(X1,X2) ∈ R2 / X1 – 3X2 = -5; X1 ≥ 13/4} , FO* = 10 
c) S = {(X1,X2) ∈ R2 / 4X1 + 5X2 = 20 ; 5/19 ≤ X1 ≤ 5} , FO* = 40 
d) Solução Vazia 
e) S = {(X,Y) ∈ R2 / -2/3 X + Y = 2; X1 ≥ 0} , FO* = -6 
f) Solução Ilimitada 
g) Solução Ilimitada 
h) Solução Ilimitada 
i) S = {(X,Y) ∈ R2 / X + Y = 2; 0 ≤ X1 ≤ 2} , FO* = -4 
j) Solução Ilimitada