FUNÇÕES CÁLCULO 1

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1 
 
 
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
FACULDADE DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
 
 
Tópico 2 – Funções 
 
Notas de Aula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2017/2 
 
2 
Tópico 2. Funções 
 
FUNÇÕES: DEFINIÇÃO, REPRESENTAÇÕES E DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO 
O conceito de função, junto com sua representação gráfica, é certamente 
um dos mais importantes em Matemática. Mas o que é uma função? 
 
Uma função, de uma variável x, é uma relação que associa a cada valor 
de x um único número f(x), chamado de valor da função em x. A variável x é 
chamada de variável independente. O conjunto dos valores que a variável 
independente pode assumir é chamado de domínio da função. A imagem da 
função é o conjunto de valores que a função assume. 
 
As funções desempenham um papel muito importante na ciência. 
Frequentemente, se observa que uma grandeza é função de outra e, então, 
tenta-se encontrar uma fórmula razoável para representar essa função. A busca 
de uma função que representa uma determinada situação é chamada 
modelagem matemática (e a função escolhida é o modelo matemático). 
 
Exemplo 1. Um retângulo tem 450 m² de área. Seja x a medida de um dos lados 
do retângulo. Expresse o perímetro em função de x e o determine domínio 
contextual dessa função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Exemplo 2. Com uma folha de cartolina de 20 cm por 20 cm, queremos construir 
uma caixa, retirando de cada canto, quadrados de lado x. Escreva a lei que 
expressa o volume V da caixa em função de x e determine o domínio contextual 
dessa função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAÇÃO E REPRESENTAÇÕES 
Como o valor y é determinado a partir do valor de x, dizemos que y é 
função de x e escrevemos 
)(xfy 
, onde 
✓ 
f
 é o nome da função, 
✓ 
x
 é a variável independente e 
✓ 
y
 a variável dependente. 
Uma função possui várias representações, como podemos ver no 
exemplo que segue. 
 
Exemplo 3. Dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4} considere a 
função f, de A em B, que associa cada elemento ao seu dobro. Represente essa 
função nas seguintes formas: 
 
a) flechas b) conjunto c) fórmula (lei) d) tabela e) gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Observe que nem toda curva no plano cartesiano será o gráfico de uma 
função. Lembre que no conceito de função, temos que para cada valor de x 
temos um único valor de y relacionado. Portanto, nenhuma reta vertical poderá 
cruzar o gráfico de uma função mais de uma vez. 
 
Exemplo 4. Observe os gráficos e verifique quais podem ou não representar 
funções. 
 
 
 
ZEROS (OU RAÍZES) DE UMA FUNÇÃO 
São os valores de x que tornam a função igual a zero. 
Geometricamente são os pontos onde a mesma intercepta o eixo x. 
 
Exemplo 5. Considere as funções 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 5 e 𝑔(𝑥) = −2𝑥 + 9, 
definidas de 𝐼𝑅 em 𝐼𝑅. 
a) Calcule 
 
)1(
)1(0


f
gf
. 
 
 
 
b) Para qual valor de x, temos g(x) = 1? 
 
 
 
 
c) Quais são os zeros ou raízes da f? 
 
 
 
 
 
5 
Exemplo 6. Considere a função 𝑓(𝑥) = {√𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
1, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 definida por mais de 
uma sentença. Nessas condições, determine: 
a) f(4), f(0) e f(-1) 
 
 
 
b) faça um esboço do gráfico de f. 
 
 
 
 
Exemplo 7. Considere a função cujo gráfico é representado abaixo. 
 
Determine: 
a) os zeros da função. 
 
b) f(-2). 
 
c) x, tal que f(x) = -2. 
 
d) para quais valores de x, temos f(x) < 0. 
 
e) o domínio e a imagem de f. 
 
f) quais são os valores máximos e mínimos de y e para quais valores de x eles 
ocorrem? 
 
 
6 
O domínio da função é um conjunto de possíveis valores da variável 
independente e a imagem é o conjunto correspondente de valores da variável 
dependente. 
O domínio da função pode ser restrito pelo contexto. Por exemplo, ao 
expressamos a área de um quadrado em função da medida de seu lado, temos 
uma relação dada por 
2lA 
. Neste caso, o contexto exige que 
l
 seja positivo. 
Logo, o domínio da função é dado por 
  ,0D
. Entretanto, se definirmos uma 
função 
)(xfy 
 através de uma fórmula, e o domínio não for citado ou restrito 
pelo contexto, devemos entender o mesmo é formado pelo maior conjunto de 
valores de x para os quais a função existe, e chamado de domínio natural. 
Para determinar o domínio de uma função é fundamental lembrar que, no 
conjunto dos reais (IR), 
✓ uma divisão só existe quando o denominador é ≠ 0; e 
✓ uma raiz de índice par só existe quando o radicando é ≥ 0 
 
Exemplo 8. Determine o domínio (campo de existência) das seguintes funções: 
a)
2
)(


x
x
xf
 b) 
52)(  xxf
 
 
 
 
 
 
c) 
1)( 2  xxf d) xtgxf )( 
 
 
 
 
 
e) 
x
x
xxf



8
43
5)(
 
 
 
 
7 
FUNÇÕES – LISTA DE EXERCÍCIOS NO 1 
 
Anton H., Bivens I., Davis S. Cálculo. Volume 1. 
 
Segundo a 8ª edição Segundo a 10ª edição 
Seção 1.1 – 
Exercícios de compreensão 1.1: 
1, 2, 3 (a, b, c) e 5 
Exercícios 1.1: 
3, 
9, 
11a, 11d, 11e 
19 (a, b) 
25 (a, b) 
Seção 0.1 – 
Exercícios de compreensão 0.1: 
1, 2, 3 (a, b, c) e 5 
Exercícios 0.1: 
3, 
7, 
9a, 9b, 9e 
23 (a, b) 
29 (a, b) 
 
 
Stewart, J. Cálculo Volume 1 (7ª edição) 
(Ex 57, p.21) Um retângulo tem perímetro 20 m. Expresse a área do retângulo 
como uma função do comprimento de um de seus lados. 
(Ex 58, p.21) Um retângulo tem uma área de 16 m2. Expresse o perímetro do 
retângulo como uma função do comprimento de um de seus lados. 
(Ex. 61, p.21) Uma caixa retangular aberta com volume de 2 m3 tem uma base 
quadrada. Expresse a área da superfície da caixa como função do comprimento 
do lado da base. 
(Ex. 63, p.21) Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço 
retangular de papelão com dimensões de 12 cm por 20 cm. Para isso, devem-
se cortar quadrados de lado x de cada canto e depois dobrar. Expresse o volume 
V da caixa em função de x. 
(Ex.31-34) Encontre o domínio da função: 
31) 𝑓(𝑥) =
𝑥+4
𝑥2−9
 32) 𝑓(𝑥) =
2𝑥3−5
𝑥2+𝑥−6
 
33) 𝑓(𝑡) = √2𝑡 − 1
3
 34) 𝑔(𝑡) = √3 − 𝑡 − √2 + 𝑡 
 
 
 
 
8 
 
OPERAÇÕES ARITMÉTICAS SOBRE FUNÇÕES 
 
Sendo 
f
 e 
g
 funções podemos obter 
,/.,, gfegfgfgf 
ditas, 
respectivamente, função soma, função diferença, função produto e função 
quociente, abaixo definidas: 
①
)()())(( xgxfxgf 
 
② 
)()())(( xgxfxgf 
 
③ 
)().())(.( xgxfxgf 
 
④ 
)(
)(
)(
xg
xf
x
g
f






 
 
Em todos os casos o domínio da função resultante consiste na intersecção dos 
domínios das funções f e g. Porém, no caso 4, também devem ser excluídos do 
domínio os valores de x que anulam a função g. 
 
Exemplo 1. Sendo 
43)(  xxf
,
 
6)(  xxg
 e 
6
)(


x
x
xh
 (com x ≠ 6), 
determine a expressão analítica e o domínio da as seguintes funções: 
a) 
  xgf 
 
 
b)
  xgf 
 
 
c)
  xhg 
 
 
 
d) 
)(x
g
f






 
 
 
 
 
 
9 
COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES 
 
Definição: dadas duas funções f e g, 
gf 
 é a função que se diz composta de 
f com g, definida por: 
    )(xgfxgf 
 
O domínio de 
gf 
 é o conjunto de valores de x tais que x  Domg e g(x)  
Domf.O esquema abaixo ilustra o processo de construção para 
gf 
 
 
 
 
A composição não é comutativa. Isto é, existem funções f e g tais que f(g(x)) ≠ 
g(f(x)). 
 
Exemplo 2. Sendo f(x) = 2x - 7 e g(x) = 5x + 3, determine: 
a) f(g(3)) = 
 
 
 
b) g(g(0)) = 
 
 
 
c) f(g(x))= 
 
 
 
d) g(f(x)) = 
 
 
 
 
10 
Exemplo 3. Expresse cada uma das seguintes funções como função composta 
envolvendo uma ou mais das funções f(x) = x – 3, g(x) = 
x
 e h(x) = x3. 
a) y = 
3x
 
 
 
b) y = x3 – 3 
 
 
FUNÇÃO INVERSA 
 
Definição: se f: A → B é uma função bijetora1, então a função f -1: B → A, 
definida pela regra: f-1(b) = a se e somente se f(a) = b, é a função inversa de f. 
Os gráficos de f e f-1 são simétricos em relação à reta de equação y = x. 
 
Exemplo 4. Determine a função inversa de: 
a) y = 2x – 4 
 
 
 
 
b) y = 𝑥 5 + 2 
 
 
 
 
 
c) y = √𝑥 + 1 
 
 
 
 
 
 
1 Uma função é bijetora se para cada valor de x existe um único valor de y e para cada valor de y existe um 
único valor de x.. 
 
11 
FUNÇÕES – LISTA DE EXERCÍCIOS NO 2 
 
Anton H., Bivens I., Davis S. Cálculo. Volume 1. 
 
Segundo a 8ª edição Segundo a 10ª edição 
Seção 1.3 – 
Exercícios de compreensão 1.3: 
1 
Exercícios 1.3: 
29, 
31, 
35, 
39, 
41, 
43 
Seção 1.5 – 
Exercícios 1.5: 
9, 
11, 
13, 
15 
Seção 0.2 – 
Exercícios de compreensão 0.2: 
1 
Exercícios 0.2: 
27, 
29, 
31, 
35, 
37, 
39 
Seção 0.4 – 
Exercícios 0.4: 
9, 
11, 
12, 
17 
 
 
FUNÇÃO CONSTANTE 
 
Exemplo 1. Esboce abaixo as funções da família 𝑓(𝑥) = 𝑐, para 𝑐 ∈ {0, ±1, ±2}. 
 
 
 
12 
FUNÇÃO AFIM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Um catador de lixo ganha todo mês um valor fixo de R$ 5,00 mais R$ 3,00 por cada 
kg de lixo recolhido. Sendo “x” a quantidade de kg recolhidos e “y” o valor do salário 
mensal desse catador, complete a tabela e esboce o gráfico. 
 
Lei da função: y = 
x = 0 y = 
x = 1 y = 
x = 2 y = 
x = 3 y = 
 
2) Um reservatório contém 10 litros de água. Sabendo que a cada hora são retirados 2 
litros desse reservatório, expresse a quantidade de litros “y” em função da quantidade 
de horas “x” decorridas do instante inicial. Complete a tabela e faça um esboço do 
gráfico. 
 
Lei da função: y = 
x = 0 y = 
x = 1 y = 
x = 2 y = 
x = 3 y = 
Definição: é uma função do tipo 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃, onde a ∈ IR e b ∈ IR. 
Exemplos: 
a) f(x) = 5x – 4, onde a = ….. e b = ….. 
b) f(x) = – 2x, onde a = ….. e b = ….. 
c) f(x) = 3 – x, onde a = ..... e b = ..... 
d) f(x) = 4, onde a = ...... e b = ....... 
 
Observações: 
✓ o “a” da função é chamado de coeficiente .............................. (ou declividade). 
✓ o “b” da função é chamado de coeficiente ................................ 
✓ se a = 0, então a função afim é .............................................. 
 
 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação. Veja os gráficos abaixo onde temos: 
 
Conclusões sobre a função f(x) = ax + b 
 
(1º) O coeficiente angular (a) é a taxa segundo a qual a reta sobe ou desce. Cada vez que x 
aumenta 1, temos que y aumenta ou diminui │a│ unidades. Assim, temos que a função é 
crescente se .............. e decrescente se ................ 
 
(2º) Interceptos: para desenhar uma reta, basta conhecermos dois de seus pontos. 
 
 

 Onde f intercepta o eixo y? 
 
 
 

 Onde f intercepta o eixo x? 
 
14 
3) Esboce o gráfico da reta: 
a) que passa por P(-2, -3) e tem a = 2 b) que passa por P(-1, 3) e tem a = -1 
 
 
4) Faça um esboço do gráfico de f(x) = – 4x + 2 mostrando os interceptos de x e de y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do coeficiente angular conhecendo 2 pontos (x1, y1) e (x2, y2) da reta: 
 
Observação: pode-se mostrar, de modo análogo, que a fórmula permanece 
válida para o caso em que a < 0. 
 
 
 
15 
Exemplo 5. Qual o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos: 
a) (2, 3) e (4, 7) 
 
 
 
b) (200, 100) e (300, 80) 
 
 
 
 
EQUAÇÃO DA RETA 
A equação da reta pode ser obtida se conhecermos o coeficiente angular 
e um ponto da reta. Sendo 
a
 o coeficiente angular e 
),( 00 yxP
 um ponto da reta, 
então sua equação será 
 00 xxayy 
. 
Observação: retas paralelas têm mesmo coeficiente angular. 
Exemplo 6. Determine a equação da reta: 
a) que contém o ponto (-1, 2) e coeficiente angular a = 3. 
 
 
 
b) que contém o ponto (5, 3) e é paralela à reta 2x + 5y = 7. 
 
 
 
c) que passa pelos pontos A(3, 4) e B(6, 2). 
 
 
16 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
É toda função do tipo 
  cbxaxxf  2
, onde 
*Ra
, 
Rb
 e 
Rc
. O gráfico 
dessa função é uma curva que recebe o nome de parábola. Nessas funções 
destacamos: 
(1º) A concavidade da parábola pode ser voltada para cima ou para baixo, 
dependendo do sinal do coeficiente “a”. 
0a
 (côncava para cima) 
0a
 (côncava para baixo) 
 
 
(2º) Sobre os interceptos. 
 
 
(3º) Sobre o discriminante: 
 
0
 
2 raízes reais e distintas 
0
 
2 raízes reais e iguais 
0
 
não existem raízes reais 
 
0a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
(4º) Toda parábola é composta de dois ramos simétricos em 
relação a uma reta chamada de eixo de simetria. O ponto 
comum à parábola e ao eixo de simetria é o ponto 
V
, 
chamado de vértice da função quadrática. 
As coordenadas do vértice 
 VV yxV ,
 são dadas por: 
a
b
xv
2

 e 
)( vv xfy 
ou 
a
yv
4


. 
 
(5º) Imagem da função quadrática 
 
1º caso: 
0a
 2º caso: 
0a
 
 
Im = [yv, +∞) Im = (-∞, yv] 
yv é o valor mínimo de f(x) yv é o valor máximo de f(x) 
 
Exemplo 1. Faça o esboço do gráfico das funções (mostrando interceptos e 
vértice) e identifique o domínio e a imagem: 
a) f(x) = x2 – 4x + 3 b) y = – x2 + 2x – 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
Exemplo 2. (UFRGS) Uma bola colocada no chão foi chutada para o alto 
percorrendo uma trajetória descrita por y = - 2x2 + 12x, onde y é a altura dada 
em metros e x é o tempo dado em segundos. A altura máxima atingida pela bola 
foi de: 
a) 36m 
b) 18m 
c) 12m 
d) 6m 
e) 3m 
 
Exemplo 3. Resolva as seguintes inequações: 
a) x2 – 4 ≥ 0 b) – x2 + 6x – 9 < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES – LISTA DE EXERCÍCIOS NO 3 
1) Faça um esboço do gráfico das funções, mostrando os interceptos de x e y: 
a) f(x) = – 2x + 2 b) f(x) = 2x – 3 
 
 
 
19 
2) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto: 
a) P(2, 3) e tem coeficiente angular a = 5. 
 
 
b) P(-1, -3) e tem coeficiente angular a = -2. 
 
 
c) P(1/2, -6) e tem coeficiente angular a = 2. 
 
 
d) P(-2, 2) e é paralela à reta r de equação 2x + y + 4 = 0. 
 
 
3) Determine a equação das seguintes retas: 
a) b) 
 
 
 
4) Faça o esboço dos gráficos de cada uma das seguintes funções mostrando 
os interceptos e o vértice. 
a) 
  672  xxxf
 b)
  xxxg 82 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
c)  222  xxxp
 d) 
442  xxy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Se a função receita total para um certo produto é dada por 
  25,06 xxxR 
, 
determine para qual valor de 
x
 a receita é máxima e o valor máximo da receita. 
 
 
 
 
 
 
6) Resolva as inequações: 
a) x2 – 10x + 9 > 0 b) – x2 + 1 ≥ 0 
 
 
 
 
 
 
7) Determine o domínio de 𝑓(𝑥) = √3𝑥 − 𝑥 2. 
 
 
 
 
 
21 
Respostas: 
1) 
 
2) a) y = 5x – 7 b) y = -2x – 5 c) y = 2x – 7 d) y = – 2x – 2 
3) a) 𝑦 =
1
2
𝑥 + 2 b) 𝑦 = −
3
5
𝑥 + 3 
4) 
a) D = IR, Im = [-25/4, +∞) b) D = IR, Im = (-∞, 16] 
 
c) D = IR, Im = [1, +∞) d) D = IR, Im = (-∞, 0] 
 
5) A quantidade é 6 unidades e o valor máximo da receita é 
..18 mu
 
6) a) (−∞,1) ∪ (9,+∞) b) [−1,1] 
7) D = [0, 3] 
 
 
22 
ALGUMAS FUNÇÕES IMPORTANTES E SEUS GRÁFICOS 
FUNÇÃO POLINOMIAL 
Definição: é toda função do tipo y = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0, 
onde 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, ..., 𝑎0  IR e n  {0, 1, 2, ..., n}. 
Exemplo 1. Complete as lacunas corretamente: 
(a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 4𝑥 − 1 é uma função polinomial de grau ....... 
(b) 𝑓(𝑥) = 2 − 5𝑥 2 é uma função polinomial de grau ........ 
(c) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 é uma função polinomial de grau ....... 
(d) 𝑓(𝑥) = 6 é uma função polinomial de grau ........... 
 
FUNÇÃO RACIONAL 
Definição: é a função definida por 
)(
)(
)(
xQ
xP
xf 
, onde 
)(xP
 e 
)(xQ
 são polinômios 
e 
)(xQ
 não é o polinômio nulo. 
O domínio de uma função racional consiste no conjunto de valores de x tais que 
Q(x) ≠ 0. 
Obs. Toda função polinomial é racional, mas nem toda função racional é 
polinomial. 
Exemplo 2. Qual o domínio da função racional 𝑦 =
2𝑥
𝑥2−1
 ? 
 
 
 
FUNÇÃO ALGÉBRICA 
Definição: são todas as funções que podem ser construídas com polinômios, 
aplicando um número finito de operações algébricas. 
Alguns exemplos são: 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 4 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥
2
3(𝑥 + 2)2 
Obs. Toda função racional é algébrica, mas nem toda função algébrica é 
racional. 
Exemplo 3. Classifique as funções em polinomial, racional, algébrica ou não 
algébrica. 
a) 𝑔(𝑥) =
2𝑥3 −5𝑥+1
𝑥+4
 b) 𝑓(𝑥) = √3 𝑥2 + 4 𝑥 − 1 
c) 𝑔(𝑥) = (2𝑥 + 1)
1
3 d) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(2𝑥) 
 
23 
 
 
Função potência y = xp 
𝑦 = 𝑥 
 
𝑦 = 𝑥 3 
 
𝑦 = 𝑥 5 
 
𝑦 = 𝑥 2 
 
𝑦 = 𝑥 4 
 
𝑦 =
1
𝑥
 
 
𝑦 =
1
𝑥 2
 
 
𝑦 = √𝑥 
 
𝑦 = √𝑥
3 
 
 
24 
Função valor absoluto 
𝑦 = |𝑥| 
 
 
Funções trigonométricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Circunferência trigonométrica: 
✓ É uma circunferência com centro na origem do sistema de coordenadas e raio 
unitário (r = ......). 
✓ Todos os arcos trigonométricos são marcados a partir do ponto A(1, 0). 
✓ Arcos positivos são marcados no sentido .............................. e arcos negativos 
são marcados no sentido .......................... 
 
Unidade de medida: usualmente os arcos trigonométricos são representados em graus 
ou em radianos. O arco de 1 volta possui 360º ou 2π rad. 
 
Desenho do arco 
 
Medida em graus 
Medida em rad 
 
 
Seno e cosseno de um arco: 
 
sen α = 
 
 
 
cos α = 
 
 
 
 
25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função seno: é a função f: IR → IR tal que f(x) = sen x. 
 
 
 
Função cosseno: é a função f: IR → IR tal que f(x) = cos x. 
 
 
 
 
 
 
 
Algumas identidades trigonométricas: 
(1) 
 
(2) 
 
(3) 
 
(4) 
 
(5) 
 
 
26 
MOVIMENTOS GRÁFICOS 
 
(1º) Translações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1. A função 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 está representada graficamente abaixo. Em cada 
caso, esboce o gráfico de 
)(xgy 
 partindo do gráfico de 
f
. 
𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 1 
 
𝑔(𝑥) = (𝑥 + 2)2 
 
𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)2 + 2 
 
 
(a) Vertical (b) Horizontal 
Considere a função y = √𝑥 e esboce o 
gráfico de 𝑦 = √𝑥 + 2. 
 
Considere a função y = √𝑥 e esboce o 
gráfico de 𝑦 = √𝑥 + 2. 
 
Como poderíamos obter o gráfico da função 
𝑦 = √𝑥 − 2 ? ................................................ 
...................................................................... 
Como poderíamos obter o gráfico da função 
𝑦 = √𝑥 − 2 ? ................................................ 
...................................................................... 
 
 
Conclusão: dada uma função y = f(x) e sendo k ∈ IR, uma constante positiva, o gráfico de 
• y = f(x) + k é obtido deslocando o gráfico de f “k” unidades para ................ 
• y = f(x) – k é obtido deslocando o gráfico de f “k” unidades para ................ 
• y = f(x + k) é obtido deslocando o gráfico de f “k” unidades para ................ 
• y = f(x – k) é obtido deslocando o gráfico de f “k” unidades para ................ 
 
 
27 
Exemplo 2. Complete a tabela: 
 Função mãe Função filha Deslocamento na “mãe” que gera a “filha” 
a) 𝑓(𝑥) = |𝑥| 𝑔(𝑥) = |𝑥 + 1| 
b) 𝑓(𝑥) = |𝑥| 1 unidade para cima 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 2 unidades para direita 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 4)3 − 2 
 
(2º) Reflexões 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3. Partindo do gráfico de 𝑦 = |𝑥| faça um esboço do gráfico de: 
a) y = |𝑥 − 3| + 1 b) y = −|𝑥 + 2| 
 
 
 
 
 
 
 
 Considere a função y = √𝑥 e esboce: 
a) o gráfico de 𝑦 = −√𝑥. b) o gráfico de 𝑦 = √−𝑥 
 
Conclusão: dada uma função y = f(x), o gráfico de 
• y = – f(x) é obtido através da reflexão do gráfico de f no eixo ....... 
• y = f(–x) é obtido através da reflexão do gráfico de f no eixo ....... 
 
28 
(3º) Alongamentos e compressões 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4. Determine a amplitude e o período e faça um esboço do gráfico: 
a) f(x) = 5.sen (3x) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo. Considere a função y = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e esboce 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 
 
Exemplo. Considere a função y = sen x e esboce 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (2 𝑥). 
 
 
Conclusões sobre o gráfico de y = A.sen (Bx), sendo A e B números positivos. 
• o valor de A altera a ................................, que fica ........................................ por A. 
• o valor de B altera o ................................, que fica ........................................ por B. 
Importante: o mesmo ocorre para as funções do tipo y = A.cos (Bx) 
 
29 
b) f(x) = -3.cos (x/2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES – LISTA DE EXERCÍCIOS NO4 
 
Anton H., Bivens I., Davis S. Cálculo. Volume 1. 
 
Segundo a 8ª edição Segundo a 10ª edição 
Seção 1.3 – 
Exercícios de compreensão 1.3: 
3 
Exercícios 1.3: 
1a, 1b, 1c, 
11, 
13, 
15, 
17, 
19 
Seção 1.4 – 
Exercícios de compreensão 1.4: 
4 e 5 
Exercícios 1.4: 
11 
29a, b e c 
33 
Seção 0.2 – 
Exercícios de compreensão 0.2: 
3 
Exercícios 0.2: 
1a, 1b, 1c, 
9, 
11, 
13, 
15, 
17 
Seção 0.3 – 
Exercícios de compreensão 0.3: 
4 e 5 
Exercícios 0.3: 
11 
31a, b e c 
35 
 
 
 
30 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
É toda função 
:f
lR

(0;+ ) definida por 
xbxf )(
, ondeb 

 lR, b > 0 e 
b 

1. Para compreender melhor as características desse tipo de função, vamos 
fazer o esboço do gráfico de algumas funções exponenciais. 
Exemplo 1. Esboce o gráfico de y = bx para b = 2, b = 1 e b = ½. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2. Faça o esboço do gráfico das funções: 
a) y = (1/3) x + 1 b) y = ex + 1 
 
Conclusões sobre a função f(x) = bx 
(1) Sobre o crescimento ou decrescimento 
b > 1 função .......................... 0 < b < 1 função .......................... 
 
 
(2) A função sempre intercepta o eixo ......., no ponto (.....,....), e não intercepta o eixo ....... 
 
(3) O domínio da função é ........... e a imagem é ............ 
 
31 
LOGARITMOS 
 
Definição: sendo N > 0, b > 0 e b ≠ 1, temos que log b N = x → 
 
 
Observações: 
(1º) Em log b N = x, “b” é a base, “N” é o logaritmando e x é o logaritmo. 
 
(2º) Logaritmos decimais: são logaritmos de base 10. 
Notação: 𝑙𝑜𝑔 𝑥 =........... 
 
(3º) Logaritmos naturais: são logaritmos de base e. 
Notação: 𝑙𝑛 𝑥 =.............. 
 
Exemplo 3. Calcule os logaritmos: 
a) log2 8 b) log5 (
1
25
) 
 
 
 
 
 
c) ln 1 d) ln √e
3 
 
 
 
 
 
Propriedades operatórias: 
(P1) log𝑏(𝑥 ∙ 𝑦) = 
 
(P2) log𝑏 (
𝑥
𝑦
) = 
 
(P3) log𝑏(𝑥
𝑛) = 
 
 
32 
Exemplo 4. Usando log 2 = a e log 3 = b, calcule em função de a e b: 
a) log 54 
 
 
 
b) log 0,6 
 
 
 
 
 
Exemplo 5. Resolva as seguintes equações: 
a) log x = 1 
 
 
 
 
b) ln (x + 1) = 5 
 
 
 
 
c) 5.ex-3 = 4 
 
 
 
 
APLICAÇÕES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
O crescimento (ou decrescimento) exponencial é característico de certos 
fenômenos naturais. No entanto, de um modo geral não se apresenta na forma 
bx, mas sim modificado por constantes características do fenômeno, como em 
f(x) = C.ekx. 
 
 
33 
Exemplo 6. Suponha que uma substância radioativa se desintegra de modo que 
a massa existente após t anos é dada, em gramas, por 
tetQ 05,020)( 
. Nessas 
condições, responda: 
a) qual a quantidade inicial? 
 
 
b) após quantos anos a massa da substancia será 5 g? (use: ln 0,25 = -1,38) 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
É a função f: (0;+ ) 

lR definida por f(x) = logb x , onde b

lR, b > 0 e b 

1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1) Sobre o crescimento ou decrescimento 
b > 1 função .......................... 0 < b < 1 função .......................... 
 
 
(2) A função sempre intercepta o eixo ......., no ponto (.....,....), e não intercepta o eixo ....... 
 
(3) O domínio da função é ........... e a imagem é ............ 
 
(4) Como as funções exponenciais e logarítmicas são inversas, temos que: 
 e . 
 
34 
O NÚMERO DE EULER 
 
Se o valor de x aumentar infinitamente, pode-se provar que a expressão 
x)
x
1
1( 
 aproxima-se de um número irracional, tão importante quanto o 
π
. Esse 
número, cujo valor é 2,71828..., é denominado número de Euler e é representado 
pela letra e. 
Funções exponenciais de base e têm um papel importante em problemas 
teóricos e práticos. Essas funções aparecem numa grande variedade de 
problemas que envolvem: crescimento populacional, desintegração radioativa, 
velocidade de reações químicas, circuitos elétricos, juros compostos 
continuamente e etc. 
O gráfico e a tabela sugerem fortemente que esse número existe. 
 
 
 
FUNÇÕES – LISTA DE EXERCÍCIOS NO5 
Anton H., Bivens I., Davis S. Cálculo. Volume 1. 
Segundo a 8ª edição Segundo a 10ª edição 
Seção 1.6 – 
Exercícios 1.6: 
5, 9, 17, 19, 21, 27, 29, 47, 48 
Gabarito da questão 48: 
a) 12 b) ≅9,63 c) ≅12,6 h 
Seção 0.5 – 
Exercícios 0.5: 
5, 9, 17, 19, 21, 25, 27, 49, 59 
Gabarito da questão 50: 
a) 12 b) ≅9,63 c) ≅12,6 h