Matematica Financeira texto_basico_DionisioTadeu

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 3
 
 
 
 
1 – Introdução .................................................................................................................. 5 
2 – Razão de duas grandezas ........................................................................................... 5 
3 – Proporções ................................................................................................................. 6 
 3.1 Elementos 
 3.1.1 Propriedade Fundamental 
4 – Grandezas Proporcionais........................................................................................... 8 
 4.1 Grandezas Diretamente Proporcionais 
 4.2 Grandezas Inversamente Proporcionais 
 4.3 Grandezas Proporcionais a várias outras 
 4.4 Divisão Proporcional 
5 – Percentagem ............................................................................................................. 17 
 5.1 Taxas 
 5.2 Elementos do Cálculo Percentual 
 5.3 Taxa Unitária 
6 – Operações sobre Mercadorias ................................................................................. 21 
 6.1 Vendas com Lucro 
 6.2 Vendas com Prejuízo 
 6.3 Abatimentos Sucessivos 
7 – Juro Simples ........................................................................................................... 24 
8 – Desconto Simples ................................................................................................... 25 
 8.1 Desconto Comercial 
 8.2 Taxa de Juro Efetiva 
 8.3 Equivalência de Capitais 
 8.4 Desconto Racional 
9 – Juro Composto ...................................................................................................... 32 
10 – Taxas ................................................................................................................... 35 
 10.1 Taxas Proporcionais 
 10.2 Taxas Equivalentes 
 10.3 Taxa Nominal 
 10.4 Taxa Efetiva 
 10.5 Taxa Real e Taxa Aparente 
11 – Desconto Composto ........................................................................................... 39 
 11.1 Equivalência de Capitais Diferidos 
12 – Seqüências de Capitais ....................................................................................... 42 
 12.1 Seqüência Uniforme 
 12.2 Montante de uma Seqüência Uniforme 
13 – Amortização de Empréstimo ............................................................................. 46 
 13.1 Sistema de Amortização Constante (SAC) 
 13.2 Sistema Francês (ou Sistema Price) 
 13.2.1 Cálculo do Saldo Devedor no Sistema Francês 
 Respostas dos Exercícios Propostos ................................................................. 56 
 Apêndice – Calculadora HP-12C ...................................................................... 58 
 Bibliografia ....................................................................................................... 66 
SUMÁRIO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 4
 
 
 
 
 
 Antes de elaborarmos este material, tínhamos uma grande preocupação com o ensino 
da matemática nos cursos que não são chamados da área das Ciências Exatas e da Natureza, 
devido à linguagem rigorosa, complexa e de cálculos muitos longos dessa ciência. Porém, a 
matemática é uma “ferramenta” poderosa no campo administrativo (contabilidade, 
empreendedorismo, economia, etc.), pois de um modo geral as decisões em uma 
organização são tomadas encima de números. Daí a necessidade de escrever os conceitos de 
forma simples e clara, sempre seguidos de exemplos ilustrativos, de posse que o leitor tenha 
a plena condição de entender e visualizar a aplicação da matemática nessas diversas áreas 
do conhecimento. 
 Tivemos a predisposição de fazer uma pesquisa de campo, para podermos então 
afirmar quais dos assuntos abordados são mais usuais no mercado financeiro. Para que o 
leitor saiba, que o aprendizado desse material vai além dos ensinos acadêmicos. Ele, o 
leitor, vivenciará na prática, com mais ou menos intensidade, dependendo da sua área de 
atuação, todos os conceitos da Matemática Financeira aqui expostos. 
 Todos os cálculos propostos pode ser resolvidos via calculadora científica, porém 
existe no mercado uma calculadora com funções financeiras que pode agilizar o processo 
de cálculo para o leitor, que é a HP-12C. Caso o leitor possua uma planilha eletrônica do 
tipo Microsoft Excel em matemática financeira, também será de grande utilidade nas 
resoluções dos problemas. 
 É importante lembrar, que muitos resultados parciais, durante o processo de cálculos, 
apresentarão um grande número de dígitos na parte decimal do número, isso nos obrigará a 
constantes arredondamentos, conseqüentemente levará para o resultado final uma margem 
de erro desprezível para o processo. (Sugerimos que sejam consideradas 5 casas decimais) 
 Por fim, estamos aguardando sugestões e críticas que possam qualificar e engrandecer, 
para as próximas edições, esse material. E não esqueça que, apesar do primeiro capítulo ser 
Razão e Proporção, de colocar acima de tudo a emoção para no processo de aprendizado, 
pois assim como um alimento pode proporcionar prazer ao ser humano, o conhecimento ao 
ser “alimentado” gera um prazer útil e duradouro. Pode acreditar! 
 
 Obrigado! 
 
 O Autor. 
 
 Belém, 17 de julho de 2003. 
 
 
 
 
 
 
 
 
PREFÁCIO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 5
 
 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
1.INTRODUÇÃO 
 
 A Matemática Financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações e nos 
pagamentos de empréstimos. Tal definição é bem geral; o aluno terá oportunidade de 
verificar, ao longo do curso, que a Matemática Financeira fornece instrumentos para o 
estudo e avaliação das formas de aplicação de dinheiro bem como de pagamentos de 
empréstimos. Você terá uma visão geral do que é feito no nível bancário e comercial, com 
isso você irá se familiarizar com as terminologias dessa maravilhosa Disciplina. Aproveite, 
e boa sorte! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. RAZÃO DE DUAS GRANDEZAS 
 
 Razão de duas grandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da 
primeira grandeza e a medida da segunda. 
 Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma 
unidade. Neste caso, a razão é um número puro. 
 
Exemplo: A razão de 3 m e 7 m é: 
7
3
7
3 =/
/
m
m 
 Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende 
das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão. 
 
Exemplo:5 Um automóvel percorre 120 km em 2 horas. A razão entre a distância 
percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é: hkm
h
km /60
2
120 = 
 
 
 
 
01 – Calcule a razão entre as seguintes grandezas: 
a) 27km e 3 l de gasolina 
b) 40g e 5 cm3 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 6
c) 24kg e 80kg 
d) 20cm e 4dm 
e) 20d e 2me 15d 
 
3.PROPORÇÕES 
 
 Dados, em uma mesma ordem, quatro números (a, b, c e d) diferentes de zero, dizemos 
que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à 
razão entre os dois últimos (c e d). 
Exemplo: 4
3
12 = e 4
6
24 = , logo os números 12, 3, 24 e 6 nessa ordem formam uma 
proporção, que pode ser expressa mediante a uma igualdade de razões: 
6
24
3
12 = 
 3.1 ELEMENTOS 
 
 
d
c
b
a = , dizemos que a está para b, assim como c está para d. 
 
 a e c são os antecedentes 
 b e d são os conseqüentesa e d são os extremos 
 b e c são os meios 
 
 
 3.1.1 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL 
 Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios 
 
 
 
 Exemplo: 
20
12
5
3 = , temos 3 x 20 = 5 x 12 
 
 
 
 
 
02 -Calcule x nas proporções: 
 
a) 
x
60
20
15 = 
 
 b) 
2
3
56
7
=
x
 
ad = cb 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 7
n
m
d
c
b
a
ndb
mca ====+++
+++ ...
...
...
NOTA: Série de razões iguais: 
10
30
3
15
2
6 == , observamos que a razão são todas 
iguais a 2. Nesse caso chamamos de PROPORCÃO MÚLTIPLA. 
 
Podemos dizer que o valor dessas razões é igual a uma constante k, daí temos que: 
 
k
n
mk
d
ck
b
a === ,...,, , podemos fazer então: a = bk, c = dk, ..., m = nk. 
 
Somando membro a membro dessas equações, temos: 
 
a + c + ... + m = bk + dk + ... + nk 
 
a + c + ... + m = k (b + d + ... + n) 
 
k
ndb
mca =+++
+++
...
... 
 
Como: k
n
m
d
c
b
a ==== ... , podemos escrever então: 
 
 
 
 
 
 
Em toda série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos 
conseqüentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo 
conseqüente. 
Exemplo: Calcule x, y e z, sabendo que 
15119
zyx == e x + y + z = 420. 
 
Usando a propriedade das proporções múltiplas temos: 
 
1511915119
zouyouxzyx =++
++ 
 
Como x + y + z = 420 , podemos escrever : 
1511935
420 zouyoux= 
 
Daí temos: x = 108, y = 132 e z = 180 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 8
 
 
 
 
03) Determine os antecedentes de uma proporção, sabendo que sua soma é 47 e que os 
conseqüentes são 2 e 8. 
04) Determine dois números, sabendo que sua soma é 60 e que a razão entre eles é 2/3. 
05) A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está 
para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três 
números? 
06) A importância de R$ 588,00 foi dividida entre três pessoas. Sabendo que a parte da 
primeira está para a da segunda com o 5 para 7, e que a parte da segunda está para 
a terceira como 7 para 9, determine as três partes. 
07) (CN) Calcule, aplicando a propriedade de uma série de razões iguais, os números 
x, y e z, sabendo que x + 6y + z = 120 e 
654
zyx == . 
NOTA: Dados os números a e b temos que: 
 a) a Média Aritmética entre a e b é dado por: MA = 
2
ba + , é o quociente 
entre a soma desses números pelo total deles. 
 b) a Média Geométrica ou Proporcional entre a e b é dado por: MG = ba. , 
é raiz quadrada (ou n-ésima) do produto desses números. 
 c) a Média Ponderada entre a e b é dado por: MP = 
21
2.1.
pp
pbpa
+
+ , é a soma 
dos produtos desses números pelos pesos correspondentes, dividida pela soma desses 
pesos (p1 e p2) 
 
 d) a Média Harmônica entre a e b é dado por: MH = 
2
11
1
ba
+
 , nesse caso 
podemos escrever ainda MH = 
ba
ab
+
2 , é o inverso da média aritmética dos inversos 
desses números. 
 
Resolva: (CN) Colocar em ordem de grandeza crescente a média aritmética, a média 
geométrica e a média harmônica dos números 6 e 12. 
 
4.GRANDEZAS PROPORCIONAIS 
 
 De um modo geral estamos sempre diante de problemas com grandezas que estão 
relacionadas entre si, de tal forma que quando uma varia, a outra também varia. 
 Por exemplo, temos o tempo gasto para confeccionar um determinado tipo de produtos 
DEPENDE dos números de operários que estão trabalhando nesse processo. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 9
 
 Iremos estabelecer uma lei de variação dos valores de uma grandeza em relação à 
outra. Refiro-me às GRANDEZAS DIRETA OU INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. 
 
 4.1 GRADEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
 Uma barra de ouro de 50 cm3 de volume pesa 140g; nas mesmas condições, uma 
barra de 100 cm3 pesará 280g e uma de 150 cm3, 420g. Podemos, então, escrever a seguinte 
tabela: 
Volume (cm3) 50 100 150 200 
Massa (g) 140 280 420 560 
 
Observe que a grandeza massa DEPENDE da grandeza volume, onde aumentando uma, a 
outra também aumenta. O mais importante, é notarmos que: 
 
 8,2
200
560
150
420
100
280
50
140 ==== 
 
Admitindo que x represente a grandeza volume e de y a massa, podemos dizer que: 
 8,2=
x
y ou ainda, y = 2,8x 
Estabelecemos as seqüências (50, 100, 150, 200) e (140, 280, 420, 560), em seguida 
podemos afirmar que elas são DIRETAMENTE PROPORCIONAIS, ou seja, as grandezas 
x e y são grandezas DIRETAMENTE PROPORCIONAIS. 
O número 2,8 em questão é denominado RAZÃO ou COEFICIENTE DE 
PROPORCIONALIDADE. 
 
 
 
 
 
 
 Como a função é linear (gráfico representado por uma reta passando pela origem dos 
eixos cartesianos), y = kx, temos a seguir a representação gráfica do exemplo exposto 
anteriormente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Duas grandezas variáveis são DIRETAMENTE PROPORCIONAIS se os valores 
correspondentes x e y são expressos por uma função do tipo: y = kx , onde k é um 
número real constante, diferente de zero. 
x 
y 
50 100 150
420 
280 
140 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 10
 
 
 
 4.1.1 Característica da Grandeza Diretamente Proporcional: 
 
 Se (x1, y1) e (x2, y2) são pares de valores correspondentes de duas grandezas 
proporcionais, podemos representar por: 
2
1
2
2
y
y
x
y = 
 
 Podemos ajustar essa relação, para melhor descrevê-la: 
2
1
2
1
y
y
x
x = 
 
 
 
 
 
 
 
 OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: 
 1º) A proporcionalidade entre duas grandezas, quando não resultante de uma dedução 
lógica ou de uma definição, só existe dentro de certos limites. Assim, na compra por 
atacado, por exemplo, o preço por unidade é menor do que nas compras a varejo. 
 2º) Para caracterizarmos a proporcionalidade de duas grandezas não é suficiente 
verificar se o aumento de uma delas acarreta o aumento da outra. È necessário que, ao 
multiplicarmos uma delas por um número real k diferente de zero, a grandeza 
correspondente também fique multiplicada por k. Por exemplo, a aresta de um cubo e seu 
volume não são grandezas proporcionais, pois, multiplicando-se a aresta por 2, o volume 
fica multiplicado por 8. 
 
 4.1.2 Números Diretamente Proporcionais: 
 
 As seqüências de números reais não-nulos (a1, a2, ..., an) e (b1, b2,..., bn) são 
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS se, e somente se: 
 
 k
b
a
b
a
b
a
n
n ==== ...
2
2
1
1 , k é uma constante 
 
 
 Ou ainda, o que é mais comum para efeito de cálculo: 
 
 
 
 a1 = kb1; a2 = kb2 , ..., an = kbn 
 
 
 
 
 
Dadas duas grandezas DIRETAMENTE PROPORCIONAIS, a razão entre dois 
valores de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da 
outra. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 11
 
 
 
 
08) Verifique se os números das seqüências são proporcionais: 
 a) (40, 38, 35) e (8, 7, 5) b) (5, 6, 7) e (75, 90, 105) 
 
09) Qual é a razão de proporcionalidade entre as seqüências de números diretamente 
proporcionais (5, 8, 11) e (40, 64, 88) ? 
 
10) Determine os valores de x e y nas seqüências de números proporcionais (6, x, 21) 
e (2, 5, y). 
 
11) Quais os menores números inteiros proporcionais aos números 2/3 , 3/4 e 1/6? 
 (Sugestão: multiplique pelo m.m.c dos denominadores) 
 
12) Dados os números 1/5, 3/6 e 7/10,determine os três menores números inteiros 
proporcionais a esses números. 
 
4.2 GRADEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
 Veja o quadro ao lado: 
 
 
 
 Percebemos que a grandeza velocidade quando aumenta, o tempo diminui. Porém, 
agora temos: 12x100 = 200x6 = 300x4 = 400x3 = 1200 
 
Ou ainda: 1200
400
1
3
300
1
4
200
1
6
100
1
12 ==== 
 
Chamando de x a grandeza velocidade e de y a grandeza tempo, temos: 
 
 
 
 
Podemos dizer que as seqüências na tabela são grandezas INVERSAMENTE 
PROPORCIONAIS, ou ainda, que as grandezas x e y são INVERSAMENTE 
PROPORCIONAIS e 1200 é o fator ou coeficiente de proporcionalidade. 
 
 
 
 
 
 
Velocidade 
(km/h) 
100 200 300 400 
Tempo (h) 12 6 4 3 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
y = 1200.
x
1 
 Duas grandezas variáveis são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS se os 
valores correspondentes x e y são expressos por uma função do tipo: 
 y = k.
x
1 , onde k é um número real constante, diferente de zero. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 12
 
'
2
2
1
1
1
...
11
k
b
a
b
a
b
a
n
n ==== 
 
 
 A função que representa a proporcionalidade inversa é a recíproca, y = k/x, que é 
um ramo de uma hipérbole: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4.2.1 Característica da Grandeza Inversamente Proporcional: 
 
 Se (x1, y1) e (x2, y2) são pares de valores correspondentes de duas grandezas 
proporcionais, podemos representar por: x1.y1 = x2.y2 
 
 
 
 
 
 Podemos ajustar essa relação, para melhor descrevê-la: 
 
 
 
 
 
 
4.2.2 Números Inversamente Proporcionais: 
 
 As seqüências de números reais não-nulos (a1, a2, ..., an) e (b1, b2,..., bn) são 
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS se, e somente se: 
 
 a1.b1 = a2.b2 = ... = an.bn = k´ , k´ é uma constante 
 
 
 
 
 Ou ainda, podemos usar a relação: 
 
 
 
y 
12 
6 
4 
100 200 300
y = )0(1200 >x
x
 
Dadas duas grandezas INVERSAMENTE PROPORCIONAIS, a razão entre 
dois valores de uma delas é igual ao inverso da razão entre dos dois valores 
correspondentes da outra. 
1
2
2
1
y
y
x
x = 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 13
 
 
 
 
 
 
13) Verifique se as seqüências são inversamente proporcionais: 
a) (2, 3, 6, 10) e (45, 30, 15, 9) 
b) (2, 5, 8) e (40, 30, 20) 
 
14) Determine os valores de x e y nas seqüências de números inversamente 
proporcionais (2, 3, y) e (15, x, 5). 
 
 
 4.3 GRADEZAS PROPORCIONAIS A VÁRIAS OUTRAS 
 
 Uma grandeza pode ser proporcional a duas ou mais grandezas, isoladamente. Por 
exemplo, o número de dias para construir um muro depende não apenas do número de 
operários, mas também do número de horas de trabalho diário dos operários, das dimensões 
do muro, etc. 
 Dizemos que uma grandeza é proporcional a várias outras se é diretamente ou 
inversamente proporcional a cada uma delas quando as demais não variam. 
 Em particular, uma grandeza x é proporcional a duas outras y e z quando, fixando 
uma destas últimas, a grandeza x varia proporcionalmente à outra. 
 Veja essa propriedade: 
 Seja X uma grandeza proporcional às grandezas A e B e, ao mesmo tempo, 
inversamente proporcional `as grandezas C e D. Se x, a , b, c e d são valores 
correspondentes dessas grandezas, pela definição existe uma constante k, diferente de zero, 
tal que: 
 
 x = k.a.b.
dc
1.1 
 
 
 Ou ainda: x = k.
cd
ab 
 
 
4.4DIVISÃO PROPORCIONAL 
 
Dividir um número em partes proporcionais a vários outros números dados é 
decompô-lo em parcelas proporcionais a esses números. 
 
4.4.1 DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS(ou divisão 
proporcional) 
Durante uma gincana em uma escola, ficou definido que o prêmio 
arrecadado de R$ 180,00, seria divido com as equipes vencedoras: 1º, 2º e 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 14
3º lugares. De tal modo que a divisão seria proporcionais aos números 5, 3 e 
2 , na ordem apresentada de classificação. 
Chamaremos de x, y e z, respectivamente, a cada uma dessas parcelas, 
teremos então: 
 
 
235
zyx == , Como x, y e z são as parcelas que dividimos o número 
180, temos ainda: x + y + z = 180 
 
Da primeira equação, temos: 
235235
zyxzyx ===++
++ 
 
 
 k = 18
10
180
235
==++
++ zyx , temos então que a constante de proporcionalidade 
é igual a 18. 
 
 Então, vem: x = k.5 = 18.5 = 90 
 y = k.3 = 18.3 = 54 
 z = k.2 = 18.2 = 36 
 
 TOTAL = 180 
 Logo, temos que as partes dividas foram: R$90,00, R$54,00 e R$36,00 
 
 
 
 
 
 
15) Divida o número 70 em partes proporcionais aos números 2, 3 e 5. 
 
16) Divida o número 2990 em partes proporcionais a 5, 7 e 11. 
 
17) Divida 184 em partes diretamente proporcionais a 1/2, 2/3 e 3/4. 
 
18) Dois operários contratam um serviço por R$ 1800,00. Como devem repartir essa 
quantia, se um trabalhou 7 horas e o outro 8 horas, sendo a divisão diretamente 
proporcional ao tempo de serviço de cada um? 
 
4.4.2 DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Digamos que um pai, deixou herança de R$20.000,00 para ser dividida com 
seus três filhos, um com 5 anos, outro com 3 anos e o mais novo com 2 
anos de idade. Esse valor será dividido em partes inversamente 
proporcionais às idades dos seus filhos, respectivamente. 
Chamando de x, y e z as parcelas que caberão a cada filho, teremos: 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 15
 
2
1
3
1
5
1
zyx == , fazendo o m.m.c (5, 3, 2) = 30, temos então: 
 
1530.
2
1;1030.
3
1;630.
5
1 === 
 
 Reescrevendo a proporção, temos: 15106
zyx == 
 
 k = 
15106 ++
++ zyx = 
31
20000 = 645,16 
 
 Então: x = k..6 = 645,16 . 6 = 3.870,96 
 y = k. 10 = 645,16 . 10 = 6.451,61 
 z = k . 15 = 645,16 . 15 = 9.677,42 
 TOTAL = 20.000,00 (fazendo arredondamento) 
 
 Logo: o mais velho, recebeu R$ 3.870,93, o do meio R$ 6.451,61 e o caçula 
recebeu R$ 9.677,42. 
 
 
 
 
 
 
 
19) Divida o número 260 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. 
 
20) Um pai deixou R$ 2.870.000,00 para serem divididos entre seus três filhos na razão 
inversa das suas idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um? 
 
 
 
4.4.3 DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA 
 
Agora esse processo consiste em dividir em partes direta ou inversamente 
proporcionais a certos números a, b, c e, simultaneamente, em partes direta 
ou inversamente proporcionais a outros números m, n, p. 
Sejam os valores x, y, z valores das partes pedidas. Como x, y, z são 
proporcionais a a, b, c e também a m, n, p , são grandezas compostas; 
portanto, são proporcionais, respectivamente, aos produtos am, bn, cp. 
Veja como ficaria operacionalmente: 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 16
x Æ am sendo: 
cp
z
bn
y
am
x == 
y Æ bn x + y + z = t 
 
z Æ cp 
 
 
Exemplo: Divida 392 em partes ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 2, 3, 
4 e a 3, 5, 7. 
Resolvendo, temos: x + y + z = 392, 
 x Æ am = 2.3 =6 
 y Æ bn = 3.5 = 15 
 z Æ cp = 4.7 = 28 
 
 am + bn + cp = 49 
 
k = 8
49
392 ==++
++
cpbnam
zyx Î x = am . k = 6 . 8 = 48 
 y = bn . k = 15 . 8 = 120 
 z = cp . k = 28 . 8 = 224 
 Total = 392 
Logo, as partes são: 48, 120 e 224 
 
 
 
 
 
21) Divida o número 2.190 em três partes que sejam, ao mesmo tempo, diretamente 
proporcionais a 2, 3, 5 e a 6, 7, 8. 
22) Divida 175 em partes diretamente proporcionais a 5/4 , 3, 4 e, ao mesmo tempo, 
inversamente proporcionais a 3/4, 6, 2. 
23) Divida 6.050 em três partes que sejam, a um tempo, inversamente proporcionais a 3, 
5 e 6 e diretamente proporcional a 4, 6 e 9. 
24) Divida 292 em três partes ao mesmo tempo inversamente proporcionais a 3, 5 e 6 e 
a 4, 6 e 9. 
25) Divida 363 em três partes, de modo que a segunda seja o dobro da primeira e a 
terceira o quádruplo da segunda. 
26) Dionísio e Tadeu organizaram uma empresa comercial com um capital social de R$ 
20.000,00, devendo cada um deles entrar com R$ 10.000,00. No ato da organização, 
1º março, Dionísio integralizou sua quota e Tadeu contribuiu apenas com R$ 
7.000,00, responsabilizando-se por integralizar sua quota após 5 meses. Em 31 de 
dezembro foi procedido o Balanço, tendo sido apurado um lucro de R$ 7.400,00. 
Qual a parte a ser creditada a cada sócio? 
27) Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$ 180.000,00, R$ 
225.000,00 e R$ 270.000,00 e obtiveram um lucro líquido de R$ 270.000,00. Qual 
será a parte de cada um? 
t 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 17
28) Duas pessoas constituíram uma sociedade com os capitais de R$ 90.000,00 e R$ 
76.000,00 respectivamente. A primeira recebeu, na divisão do lucro, R$ 17.220,00 a 
mais que a segunda. Calcule o lucro de cada uma delas. 
 
 
5. PERCENTAGEM 
 
 5.1 TAXAS 
 
 Suponhamos que num torneio de futebol, o artilheiro do time A tenha marcado 18 gols, e 
o artilheiro do time B marcado 24 gols. 
 A razão entre o número de gols o jogador do time A e o número de gols do time B é: 
 
 18 = 3 = 0,75 = 75 
 24 4 100 
 
 Quando uma razão é apresentada com o conseqüente 100, neste caso 75 , ela é chamada 
razão centesimal. 100 
 Podemos ainda, substituir 1 pelo símbolo %, que lemos: por cento. 
 100 
 
 Então: 
 
 
 Esse número 75% é denominado taxa percentual. 
 
 5.2 Elementos do Cálculo Percentual 
 
 Vimos que 
100
75
24
18 = 
 
 Neste exemplo, chamamos o 18 de PERCENTAGEM, o 24 de PRINCIPAL e 75 de 
TAXA, temos então: 
 
 
100
TAXA
PRINCIPAL
MPERCENTAGE = 
 
 Daí pode definir que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 75 = 75% 
100 
TAXA: é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100. 
PECENTAGEM: é o valor que representa a quantidade tomada de outra, 
proporcionalmente a uma taxa. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 18
 
 
 
 
 OBS: Para efeito de cálculo de Percentagem, designaremos por: 
 P o principal 
 p a percentagem 
 r a taxa 
 
 De forma geral temos: 
 
 
Exemplo 1: Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão 
numa venda de $360,00? 
 
Temos que: P = 360 
 r = 3 
 
Então, temos: 8,10
100
3
360
=⇒= pp 
 
Logo, a comissão é de $10,80 
 
Exemplo 2: Em uma faculdade 26% dos alunos são mulheres. Quantos alunos possui a 
faculdade, se elas são em número de 182? 
 
Temos que: p = 182 
 r = 26 
 
Então, temos: 700
100
26182 =⇒= P
P
 
 
Logo, a faculdade possui 700 alunos. 
 
Exemplo 3: Um bem de consumo foi adquirido por $5.000,00 e vendido com um lucro de 
$400,00. Qual a percentagem de lucro? 
 
Temos que: P = 5000 
 p = 400 
 
Então, temos: 8
1005000
400 =⇒= rr 
 
Logo, o lucro foi de 8% 
 
 
PRINCIPAL: é o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem. 
100
r
P
p =
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 19
 
 5.3 Taxa Unitária 
 
 De um modo mais prático, recomenda-se o uso da taxa unitária e representamos pela 
letra i 
 
 
1100
15 i= => 
 
Exemplo 1: A taxa unitária correspondente a 35% é: 
 
 35% = 3,0
100
30 = , isto é, i = 0,3 
 
Exemplo 2: A taxa percentual correspondente a 0,06 é: 
 
 0,06 = %6
100
6 = , isto é, i = 6% 
 
Exemplo 3: Calcule 40% de 18% 
 
 Temos que: 40% = 0,4 e 18% = 0,18 
 Então, podemos fazer: 0,4 x 0,18 = 0,072 
 Logo a resposta é: 7,2 % 
 
Os problemas mostrados com a relação 
100
r
P
p = , pode ser escrita agora como i
P
p = 
 
• Mostraremos a seguir, outra metodologia para os cálculos desenvolvidos 
anteriormente. 
 
 
 
 
 01)Em uma liquidação, uma camisa que custava R$30,00 foi vendida com 15% de 
abatimento. De quanto foi o abatimento e qual o valor que o consumidor pagou? 
 Resolução 
 Podemos usar uma regra de três simples para solucionar o problema, veja: 
 Se R$30,00 corresponde ao total do valor da camisa, temos então: 
 
30 100% 
 x 15% (desconto) 
 30 = 100% 
 x 15% 
x = 30x15 x = 45 
100 10 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
i = 0,15 
X = 4,5
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 20
 
 O abatimento foi de R$4,50, e a camisa foi vendida por R$30,00 – R$4,50 que é igual a 
R$25,50. 
 
 02)(D.T.R.) As agências de viagens informaram que os pacotes para final de ano 
cresceram em vendas 70% em relação ao ano, anterior (1999). Sabendo que em 2000 foram 
vendidos 115.000 pacotes de viagens, quantos foram vendidos em 1999? 
 
 Resolução 
 
 Houve uma variação mais de 70% em relação ao total do ano anterior, que corrrespondia a 
100% das vendas, temos então: 
 
115.000 170% 
 x 100% 
 x = 115.000x100 % 
 170% 
 x = 1.150.000 
 17 
 
 
 
 
 Em 1999 foram vendidos, aproximadamente 67.647 pacotes de viagens para o final de 
ano. 
 
 
 
 
 
29) Um comprador, por pagar fora do vencimento uma mercadoria cujo preço era 
R$1.500,00, teve que pagar 14% de multa. Quanto pagou no total? 
 
30) (D.T.R.) O censo do IBGE 2000 revelou que cerca de 20% a população brasileira 
vive no campo. Sabendo que a população total é de aproximadamente 170.000.000 
de habitantes, qual a população da área urbana? 
 
31) Da 1a. Fase de um concurso participam 30 mil candidato, dos quais 70% não foram 
aprovados para a 2a. Fase. Dos participantes da 2a. Fase 65% não conseguiram 
aprovação. 
a. Quantos candidatos foram aprovados nesse concurso? 
b. Qual foi a taxa de reprovados? 
 
32) Uma mistura é formada por 150ml de leite e 50ml de água. 
a. Qual é a taxa percentual de leite na mistura? E de água? 
b. Adicionando-se 10ml de água à mistura, qual será a participação percentual 
de água na mistura? 
X = 67.647,06 
EXERCÍCIOSPROPOSTOS 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 21
c. Retirando-se 10ml de água da mistura original, qual será a participação 
percentual da água na mistura? 
 
 33) (FACI) Um trabalhador de uma indústria madeireira paraense ganha R$6,00 por 
hora. Do total do seu salário, há um desconto de 20% para imposto de Renda e INSS. 
Desejando esse trabalhador ter um salário líquido de R$1.200,00 mensais, quantos 
horas deverá trabalhar por mês? 
 a) 195 b)235 c)215 d)250 
 
34) (CESUPA) O governo reeditou a CPMF; então, desde junho de 1999, de cada 
quantia retirada do banco, seja através de cheque ou cartão magnético, é descontado 
0,38%. Ao fazer um pagamento com cheque no valor de R$1.850,00, o total que é 
debitado da conta de uma pessoa é: 
 a) R$1.857,03 b) R$1.842,97 c) R$1.779,90 d) R$1.047,00 
 
35) (UNAMA) Devido à crise no Oriente Médio, o aumento do preço do barril do 
petróleo causou pânico, desestabilizando o mercado financeiro. Em determinado 
período, porém, o preço do barril sofreu uma queda de US$32 para US$24. O 
percentual dessa queda foi de: 
 a) 8% b) 15% c) 25% d)33,33% 
 
36) (D.T.R.) Após o censo 2000, o IBGE divulgou que cerca de 52% da população 
brasileira é constituída de mulheres. Se a população é de 170.000.000 de habitantes, 
podemos dizer que o número de mulheres a mais do que homens é aproximadamente: 
 a)8.000.000 b)6.800.000 c)9.000.000 d)10.000.000 
 
 6. OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS 
 
 Veremos neste capítulo problemas de percentagem relacionados às OPERAÇÕES DE 
COMPRA E VENDA DE MERCADORIAS, fazendo cálculos de LUCRO ou PREJUÍZO 
sobre os preços de custo e de venda de mercadorias. 
 
 6.1 Vendas com Lucro 
 
 A venda de mercadorias pode oferecer um lucro, e este lucro pode ser sobre o preço 
de custo ou sobre o preço de venda. 
 O preço de custo de uma mercadoria compreende o preço de aquisição, acrescido 
das despesas diretas sobre a compra e sobre a venda e, ainda, das despesas de administração 
e funcionamento da empresa. 
 
 Para as operações seguintes, usaremos a relação: 
 Onde : L => Lucro 
 V => Preço de Venda 
 C => Preço de Custo 
 
 
 
L = V – C 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 22
 6.1.1 Sobre o Preço de Custo 
 
A taxa de correção incidirá sobre o valor do preço de custo. 
 
 Exemplo 1: Um comerciante vendeu mercadorias com lucro de 8% sobre o 
preço de custo. Determine o preço de venda, sabendo que essas mercadorias custaram 
$500,00. 
 Usando a relação: L = V – C 
 Temos: 0,08.C = V – C => C + 0,08C = V => V = 1,08C 
 V = 1,08 . 500 => V = 540 
 
 Logo, o preço de venda é de $ 540,00 
 
 6.1.2 Sobre o Preço de Venda 
 
 A taxa de correção incidirá sobre o valor do preço de venda. 
 
 Exemplo 2: Comprou-se um objeto por $6000,00 e deseja-se ganhar 25% 
sobre o preço de venda. Qual dever ser este preço? 
 
 Usando a relação: L = V – C 
 Temos: 0,25V = V – C => C = V – 0,25V => C = 0,75V 
 V = 
75,0
6000 => V = 8000 
 Logo, o preço de venda deve ser $8000,00 
 
 6.2 Vendas com Prejuízo 
 
 A venda de mercadorias pode oferecer um prejuízo, e este prejuízo pode ser sobre o 
preço de custo ou sobre o preço de venda. 
 
 6.2.1 Sobre o Preço de Custo 
 
 Exemplo 1: Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de 
custo. Sabendo que esse objeto custou $300,00, qual foi o preço de venda? 
 
 Usando a relação: L = V – C 
 Temos: - 0,4.C = V – C => C - 0,4C = V => V = 0,6C 
 V = 0,6 . 300 => V = 180 
 
 Logo, o preço de venda é de $ 180,00 
 
 
 6.2.2 Sobre o Preço de Venda 
 
 A taxa de correção incidirá sobre o valor do preço de venda. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 23
 
 Exemplo 2: Um bem de consumo que custa $6000,00 foi vendido com um 
prejuízo de 25% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda. 
 
 Usando a relação: L = V – C 
 Temos: - 0,25V = V – C => C = V + 0,25V => C = 1,25V 
 V = 
25,1
6000 => V = 4800 
 Logo, o preço de venda deve ser $4800,00 
 
 6.3 Abatimentos Sucessivos 
 
 Considere o seguinte problema: uma empresa distribuidora oferece, sobre o valor 
de uma fatura (relação que acompanha a remessa de mercadorias expedidas, ou que se 
remete mensalmente ao comprador, com a designação de quantidades, marcas, pesos, 
preços e importâncias), e os descontos sucessivos de 10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor 
da fatura é de $ 6.400,00, qual o valor líquido da mesma? 
 Essa operação é simples, pois calcularemos os líquidos parciais correspondentes 
aos abatimentos oferecidos, com suas respectivas taxas, obtendo-se o total líquido final. 
Veja a solução: 
 
 P = 6400; i1 = 0,1 ; i2 = 0,04 ; i3 = 0,05 
 
 p1 = P . i1 = 6400 . 0,1 = 640 => L1 = 6400 – 640 = 5760 
 p2 = L1 . i2 = 5760 . 0,04 = 230,4 => L2 = 5760 – 230,4 = 5529,6 
 p3 = L2 . i3 = 5529,6 . 0,05 = 276,48 => L3 = 5529,6 – 276,48 = 5253,12 
 
Logo, o valor líquido da fatura é $ 5.253,12. 
 
NOTA1: De um modo geral temos: 
 
 
 Ou ainda de modo mais específico: 
 
 
NOTA2: 
Para AUMENTOS SUCESSIVOS, teremos 
 
 
 
 
 
37) Vendendo por $ 600,00 um objeto que custou $ 480,00, qual será a percentagem de 
lucro? 
38) Por quanto deve vender uma mercadoria que me custou $ 400,00 para ganhar 25% 
sobre o custo? 
Lk = Lk-1 . (1 – ik)
L = P(1 – i1). (1 – i2). (1 – i3)... (1 – in)
L = P(1 + i1). (1 + i2). (1 + i3)... (1 + in)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 24
39) Quanto por cento sobre o custo se perdeu ao se vender por $ 238,00 um objeto que 
custou $ 280? 
40) De quanto por cento foi meu prejuízo sobre a venda de um objeto que me custou $ 
280,00 e foi vendido por $ 250,00? 
41) Vendi um objeto por $ 120,00. Se tivesse vendido por mais $ 20,00, meu lucro seria 
de 50% do preço da nova venda. Qual foi o meu lucro? 
42) Certa mercadoria foi vendida por $ 3.232,00, com o prejuízo de 8,7% sobre o preço 
da compra. Por quanto deveria ser vendida para dar lucro de 12% sobre o preço de 
custo? 
43) Uma fatura de $8.000,00 sofre abatimentos sucessivos, de 10% e 8%. Qual o valor 
líquido a pagar? 
44) Uma fatura de $ 50.000,00, por motivo de atraso em seu pagamento, sofre aumentos 
sucessivos de 10% e 15%. Qual o valor final dessa fatura? 
45) Sobre o preço de compra de uma mercadoria incide uma despesa de 15%. Por 
quanto devemos vender essa mercadoria, comprada por $ 540,00, para que 
tenhamos um lucro de 25% sobre o preço de compra, repassando a despesa para o 
consumidor? 
46) Um comerciante comprou uma peça de tecido de 450m, ao custo de $8,40 o metro. 
Vendeu 340m com 30% de lucro. Depois, vendeu o restante com certo prejuízo. 
Sabendo que a venda de todo o tecido, nas condições acima, deixou $ 77,32 de lucro 
líquido,calcule o preço pelo qual foi vendido, em cada caso, o metro do tecido. 
 
 
7. JURO SIMPLES 
 Antes de começarmos o estudo de Juro Simples, precisamos conhecer alguns conceitos 
importantes: 
 a) Capital ou Principal ou Valor Presente, representaremos pela letra C. Corresponde 
a um valor que será submetido a uma correção dentro de um certo período. 
 b) Taxa, será representado pela letra i. A taxa de juro é expresso em porcentagem numa 
determinada unidade de tempo, que servirá como um fator de correção. 
 c) Montante ou Valor Futuro, representado pela letra M. Corresponde ao valor do 
Capital adicionado ao Juro calculado no período em questão. 
 d) Juro é a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital. 
 
O Juro Simples é um Regime de Capitalização, onde apenas o capital inicial rende juro, isto 
é, o juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa não é incorporado ao capital 
para, também, render juro no período seguinte; dizemos, neste caso, que os juros não são 
capitalizados. Ou seja, Juro Simples é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial. 
Por definição, o Juro Simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de 
aplicação, sendo a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade. 
 
 
 ; obs: i e n (período) , devem estar na mesma unidade de tempo. 
 
 
NOTA: nos estudos de funções, essa relação representa uma Função de 1º grau, camada 
Linear, que é uma reta passando pela Origem J(n) = Cin 
J = C.i.n 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 25
 
Exemplo 1: Coloquei uma importância de R$ 12.000,00, aplicada pelo prazo de 2 anos, à 
uma taxa de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago e o valor total do resgate, 
respectivamente? 
 
Como J = C.i.n Î J = 12000 . 0,3 . 2 Î J = 7.200 
 
O valor resgatado é o Montante: M = C + J Î M = 12000 + 7200 Î M = 19200 
 
Logo, temos: R$ 7.200,00 e R$ 19.200,00 
 
Exemplo 2: Foi aplicada uma importância de R$ 30.000,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 
1,2% ao mês. Qual o valor do juro a receber? 
 
Temos agora, o período e a taxa em unidade de tempo diferente, então devemos fazer: 
n = 2 anos = 2 x 12 meses = 24 meses 
Agora sim, J = C.i.n Î J = 30000 . 0,012 . 24 Î J = 8.640,00 
 
Resposta: R$ 8.640,00 
 
 
 
 
47) Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 320.000,00 pelo prazo 
de 18 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês? 
48) Calcule o juro simples do capital de R$ 360.000,00 colocando à taxa de 30% ao 
ano, de 2 de janeiro de 1990 a 28 de maio do mesmo ano. 
49) Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 150.000,00 a ser resgatado 
por R$ 270.000,00 no final de 2 anos? 
50) A que taxa o capital de R$ 2.400.000,00 rende R$ 108.000,00 em 6 meses? 
51) Um capital de R$ 300.000,00 aplicando durante 10 meses, rende juro de R$ 
60.000,00. Determine a taxa correspondente. 
52) Um capital emprestado a 24% ao ano rende, em 1 ano,2 meses e 15 dias, o juro de 
R$ 78.300,00. Qual foi esse capital. 
53) Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao ano? 
54) Empregam-se 2/3 de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% ao ano, obtendo-
se, assim, um ganho anual de R$ 86.400,00. Qual é o valor desse capital? 
 
 
8. DESCONTO SIMPLES 
 
 Quando se deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é comum que 
entregue ao credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida. Esse título 
tem uma data de vencimento, porém o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, com 
isso terá direito a um abatimento denominado DESCONTO. 
 Podemos listar alguns títulos de crédito mais comuns em operações financeiras: 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 26
i. DUPLICATA: esse título é emitido por uma pessoa jurídica contra o 
seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu 
mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos 
posteriormente, segundo um contrato; 
ii. NOTA PROMISÓRIA: é emitida para comprovação da aplicação de 
um capital com vencimento futuro. Esse título é um dos mais 
populares, muito usando entre pessoas físicas ou pessoas físicas e 
instituições financeiras; 
iii. LETRA DE CÂMBIO: também é um título que comprova uma 
aplicação de um capital com vencimento predeterminado; esse título 
é usado exclusivamente por uma instituição financeira, é que 
chamamos de título ao portador. 
 
 Antes de estudarmos, as operações matemáticas dos DESCONTOS, devemos 
conhecer alguns conceitos que aparecerão nas operações com descontos: 
• DIA DE VENCIMENTO: é o dia fixado no título para pagamento (ou recebimento) 
da aplicação; 
• VALOR NOMIMAL: é o valor indicado no título (valor de face, valor futuro ou 
valor de resgate), que será pago no dia do vencimento; 
• VALOR ATUAL: é o líquido pago ou recebido ( valor descontado) antes do 
vencimento; 
• TEMPO ou PRAZO: é o período compreendido entre o dia em que se negocia o 
título e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou então, 
incluindo o último e não o primeiro. 
 
DESCONTO: é a quantia a ser abatida do valor Nominal, isto é, a diferença entre o 
valor Nominal e o valor Atual. 
 
 
 
 
NOTA: Quando o desconto considera como capital o VALOR NOMINAL, é 
denominado de DESCONTO COMERCIAL (POR FORA); Quando o desconto 
considera como capital o VALOR ATUAL, é denominado de DESCONTO 
RACIONAL (POR DENTRO). 
 
 
 
8.1 Desconto Comercial 
 
 O desconto comercial, bancário ou por fora equivale ao juro simples, produzido 
pelo VALOR NOMINAL do título no período de tempo correspondente, e à taxa 
fixada. 
 
 
 
d = N - A
d = N. i. n 
I
II
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 27
Onde: d Î valor do desconto comercial 
 N Î valor nominal do título 
 A Î valor atual comercial ou valor descontado comercial 
 n Î tempo 
 i Î taxa de desconto 
 
 
 Com base nas relações I e II, temos: 
 
 N. i. n = N – A 
 A = N – N. i. n 
 A = N (1 – i. n) 
 
 
 
 
NOTA: Não se recomenda o desconto comercial para prazos muito longos, pois o 
desconto pode ultrapassar o valor nominal do título. 
 
Exemplo1: Uma empresa deve um título de valor nominal igual a $1.500,00. Esse 
título tem o vencimento marcado para 17/06/2003. Só que a empresa antecipará o 
pagamento com desconto comercial em 20/05/2003. Sabendo que a taxa de desconto é 
de 2% ao mês, determine: 
 
a) o valor do desconto; 
Temos que : d = N. i. n 
Onde : N = 1500; 
 i = 2% a.m : 30 = 0,02/30 ao dia; 
 n = 11(dias de maio) + 17(dias de junho) = 28 dias 
Então: d = 1500. 
30
02,0 . 28 
 
Logo: 
 
 
b) o valor atual do título na data de sua liquidação; 
Temos que: A = N – d 
 
Então: A = 1500 – 28 
 
Logo: 
 
 
 
VALOR ATUAL COMERCIAL: A = N (1 – i .n) 
d = $28,00
A = $1.472,00
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 28
Exemplo2: Uma duplicata de $6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por 
$6.072,00. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial 
foi de 4% ao mês. 
Temos que: A = N(1 – i .n) 
Onde : N = 6.900 
 A = 6.072 
 i = 0,04 a.m 
 
Então: 6072 = 6900(1 – 0,04. n) Î 0,88 = 1 – 0,04.n Î 0,04n = 0,12 
Î n = 
04,0
12,0 Î n = 3 
Logo : A antecipação foi de 3 meses 
 
 
 
 
55) Um título de $6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias 
para o vencimento do título, determine:a. o valor do desconto comercial; 
b. o valor atual comercial. 
 
56) Uma duplicata, cujo valor nominal é de $2.000,00, foi resgatada 2 meses antes do 
vencimento, à taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial? 
57) Um título, no valor nominal de $8.400,00, com vencimento em 18/10, é resgatado 
em 20/07. Se a taxa de juro contratada foi de 54% ao ano, qual o valor comercial 
descontado? 
58) Um título de $4.800,00 foi resgatado antes de seu vencimento por $4.476,00. 
Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de 
antecipação do resgate. 
 
8.2 Taxa de Juro Efetiva 
 
 A taxa de juro efetiva, num período n torna o capital A igual ao montante N, ou 
seja, é a taxa que realmente está sendo cobrada na operação de desconto. 
 Na linguagem matemática teríamos: 
 C(1 + if . n) = M , onde if é a taxa efetiva e M o montante. 
 Como C = A e M = N , temos: 
 A(1 + if . n) = N Î 1 + if .n = A
N Î if .n = A
N - 1 Î if .n = A
AN − 
Î if = 
n
A
AN −
 Î Como N – A = d , temos: if = nA
d
.
 
 
 Logo: 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
if = nA
d
.
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 29
 
Exemplo1: Uma duplicata de $23.000,00 foi resgatada 112 dias antes de seu 
vencimento por $21.068,00. Determine a taxa de desconto e a taxa efetiva 
Temos: N = 23000 
 A = 21068 
 n = 112 dias = 3,733 meses 
 d = N – A = 23000 – 21068 = 1932 
Então, a taxa de desconto foi: d = N.i.n Î 1932 = 23000.i.3,733 Î 
i = ..%5,20225,0
85859
1932 ma== 
Em seguida, calculamos a taxa efetiva: 
 
 
 if = 
 
 
Exemplo2: Um título de $6.000,00 foi descontado à taxa de 2,1% ao mês, faltando 45 
dias para o seu vencimento. Sabendo que o desconto comercial foi de $189,00, 
calcule a taxa de juro efetiva. 
Temos: N = 6000 
 n = 45 d = 1,5 mês 
 d = 189 
 
Então, d = N – A Î A = N – d Î A = 6000 – 189 Î A = 5811 
 
Logo, a taxa efetiva é: if = ..%17,20216867,0
8715
189
5,15811
189 ma
x
=== 
 
 
8.3 Equivalência de Capitais 
 
 Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, 
quando seus valores atuais, nessa época, são iguais. Resolver problemas dessa natureza 
consiste em estabelecer uma data e comparar os valores atuais dos títulos em questão, 
nessa data. Se resultar uma igualdade, podemos concluir que esses capitais diferidos são 
equivalentes. Vale ressaltar, que capitais diferidos são aqueles cujos vencimentos têm 
datas diferentes. 
 No regime de juro simples, essa data de comparação deve ser a data zero, isto é, a 
data em que a dívida foi contraída; isto porque, neste regime, não podemos fracionar o 
prazo de aplicação, já que o juro é admitido como sendo formado no fim do período de 
aplicação. 
 Vejamos três exemplos para ilustrar melhor essa teroria: 
 
 
if = nA
d
.
..%45,202456,0
844,78646
1932
733,321068
1932 ma
x
===
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 30
Exemplo1: Quero substituir um título de $5.000,00, vencível em 3 meses, por outro 
com vencimento em 5 meses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa 
de 3,5% ao mês, qual o valor nominal comercial do novo título? 
 Temos que: N = ? 
 n = 5 me 
 i = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. 
 N’ = 5000 
 n’ = 3 me 
 i’ = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. 
 
 Se ocorre equivalência, temos então: 
 
 A = A’ 
 
 Então: A = N(1 – i. n) Î A = N(1 – 0,035 x 5) Î A = 0,825N 
 A’ = N’(1 – i .n) Î A’ = 5000(1 – 0,035 x 3) Î A’ = 4475 
 
 Logo, temos: 0,825N = 4475 Î N = 5.424,24 
 
 O valor do novo título será de : $5.424,24 
 
Exemplo2: Uma pessoa deseja trocar dois títulos, um de valor nominal de $3.000,00 e o 
outro de $3.600,00, vencíveis, respectivamente, dentre de 2 e 6 meses, por um único título 
vencível em 4 meses. Sendo a taxa de juro igual a 3% ao mês, qual será o valor do novo 
título? 
 
Nesse caso, temos: N1 = 3000; n1 = 2 me 
 N2 = 3600; n2 = 6 me 
 i = i1 = i2 = 3% a.m. = 0,03 a.m. 
 n = 4 me 
 
Para que exista equivalente, temos: A = A1 + A2 
 
Então: A1 = 3000(1 – 0,03 x 2) Î A1 = 2820 
 A2 = 3600(1 – 0,03 x 6) Î A2 = 2952 
Como: A = N(1 – i .n ) Î A = N(1 – 0,03 x 6) Î A = 0,88N 
 
Logo: 0,88N = 2820 + 2952 Î N = 5772/0,88 Î N = 6559,09 
 
O valor do novo título será de : $6.559,09 
 
Exemplo3: Desejamos substituir dois títulos, um de $5000,00 para 90 dias e outro de 
$12000,00 para 60 dias, por três outros, com o mesmo valor nominal, vencível, 
respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Calcule o valor nominal comum, sabendo que a taxa 
de desconto comercial da transação é de 3% ao mês. 
 
Para que exista equivalência, temos: A1 + A2 + A3 = A’1 + A’2 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 31
 
Temos que: N’1 = 5000 ; n’1 = 90 d = 3 me 
 N’2 = 12000; n’2 = 60 d = 2 me 
 i = 3% a.m. = 0,03 a.m. 
 n1 = 30 d = 1 me; n2 = 60 d = 2 me; n3 = 90 d = 3 me. 
 
Então: A1 = N(1 – 0,03 x 1) Î A1 = 0,97N 
 A2 = N(1 – 0,03 x 2) Î A2 = 0,94N 
 A3 = N(1 – 0,03 x 3) Î A3 = 0,91N 
 
 A’1 = 5000 (1 – 0,03 x 3) Î A’1 = 4550 
 A’2 = 12000(1 – 0,03 x 2) Î A’2 = 11280 
 
Logo: 0,97N + 0,94N + 0,91N = 4550 + 11280 Î 2,82N = 15830 
 N = 
82,2
15830 Î N = 5613,47 
O valor nominal de cada um dos novos títulos será de: $ 5.613,47 
 
 
 
 
 
59) Um título de valor nominal igual a $6300,00 para 90 dias deverá ser substituído por 
outro para 150 dias. Calcule o valor nominal do novo título, à taxa de 2,5% ao mês. 
60) Um industrial deve pagar dois títulos: um de $14.400,00 para 2 meses e outro de 
$19.200,00 para 3 meses. Entretanto, não podendo resgatá-los no vencimento, 
propõe ao credor substituí-lo por um novo título para 4 meses. Qual o valor nominal 
do novo título, sendo a taxa igual a 3,8% ao mês? 
61) Substitua três títulos, um de $4.000,00 para 30 dias, outro de $10.000,00 para 60 
dias e outro de $16.000,00 para 90 dias, por dois outros títulos de iguais valores 
nominais, vencíveis em 90 e 120 dias, respectivamente. Qual o valor nominal 
comum dos novos títulos, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é 
de 3,5% ao mês? 
 
8.4 Desconto Racional 
 
 Esse desconto é o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa 
taxa fixada e durante o tempo correspondente. O desconto Racional ou por dentro, na 
prática bancária não é utilizado, mas se faz necessário o seu estudo porque o desconto 
composto está relacionado a esse conceito. 
Por definição, temos: 
 
 
Onde: dr Î corresponde ao valor do desconto racional; 
 A rÎ corresponde ao valor atual ou valor descontado racional 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
dr = Ar . i . n
Ar = N - dr I
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 32
Lembremos que: 
 
Temos então: dr = (N – dr). i .n Î dr = N.i.n – dr . i. n Î dr + dr. i. n = N.i.n 
Î dr ( 1 + i.n) = N.i.n Î 
 
 
 
 
Usando as relações I e II , temos: Ar = N - ni
niN
.1
..
+ Î Ar= ni
niNniN
.1
..).1.(
+
−+ Î 
 
 
 
Ar = ni
niNniNN
.1
....
+
−+ Î 
 
Exemplo1: Um título de $6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. 
Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: 
a) o valor do desconto racional; 
Temos: N = 6000 ; n = 45 d ; i = 2,1% a.m = 0,07% a.d. = 0,0007 a.d. 
Então: dr = ni
niN
.1
..
+ Î dr = 450007,01
450007,06000
x
xx
+ Î dr = 183,22 
Logo, o desconto é igual a $183,22 
 
b) o valor atual racional. 
Como: Ar = N - dr 
Então: Ar = 6000 – 183,22 Î Ar = 5816,78 
Logo, o valor atual racional é igual a $5816,78 
 
9. JURO COMPOSTO 
 
 O regime de capitalização a juro composto difere do juro simples na atualização do 
Capital. Enquanto que no regime de juro simples a correção é sempre feita no Capital 
Inicial, no JURO COMPOSTO a correção é feita, a partir do segundo período, sobre o 
MONTANTE relativo ao período anterior. É o que o mercado conhece vulgarmente como 
“juro sobre juro”. 
 Digamos que um capital de $1000,00, aplicado a 10% ao ano, a juro composto, veja 
como ficaria essa capitalização: 
 
ANO JURO MOTANTE
0 - 1000,00 
1 1000x0,1x1 = 100,00 1100,00 
2 1100x0,1x1 = 110,00 1210,00 
3 1210x0,1x1 = 121,00 1331,00 
 
dr = ni
niN
.1
..
+ II
Ar = ni
N
.1+
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 33
 Seguindo a lógica matemática da tabela anterior, e chamando de C o capital inicial, 
de i a taxa e J o juro de cada período, poderíamos generalizar esse processo: 
PERÍO
DO 
JURO MONTANTE 
1º J1 = C . i M1 = C + J1 Î M1 = C + C.i Î M1 = C(1 + i) 
2º J2 = M1.i M2 = M1 + J2 Î M2 = M1 + M1.i Î M2 = M1(1 + i) Î 
M2 = C(1 + i).(1 + i) Î M2 = C(1 + i)2 
3º J3 = M2.i M3 = C + J3 Î … Î M3 = C(1 + i)3 
Se continuarmos na construção da tabela, chegaríamos a seguinte relação: 
 
 
 
Que calcula o montante em regime de juro composto, onde (1 + i)n , é o fator de 
acumulação de capital ou fator de capitalização 
 
NOTA: Sugerimos nesse capítulo o uso de uma máquina calculadora científica, onde a 
função xy será de grande uso. 
 
Exemplo1: Calcule o montante produzido por $3000,00, aplicado em regime de juro 
composto a 4% ao mês, durante 2 meses. 
Temos que: M = C(1 + i)n 
 C = 3000; n = 2 me ; i = 4% a.m. = 0,04 a.m. 
 
Então: M = 3000(1 + 0,04)2 Î M = 3000(1,04)2 Î M = 3000 x 1,0816 Î M = 3244,80 
 
Logo, o valor do montante é igual a: $3244,80 
 
Exemplo2: Calcule o capital inicial que, no prazo de 2 meses, a 5% ao mês, produziu um 
montante de $2205,00 no regime de juro composto. 
Temos que : M = 2205 ; n = 2 me ; i = 5% a.m. = 0,05 a.m. 
 
Então: 2205 = C(1 + 0,05)2 Î 2205 = C(1,05)2 Î C = 
1025,1
2205 Î C = 2000 
Logo, o valor do capital inicial é igual a: $2.000,00. 
 
Exemplo3: Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de $3.200,00, sem 
entrada, para pagamento em uma única prestação de $4.049,00 no final de 6 meses. Qual a 
taxa mensal cobrada pela loja? 
Temos que: M = 4049; C = 3200; n = 6 me; i = ? 
 
Então: 4049 = 3200(1 + i)6 Î 6)1(
3200
4049 i+= Î 1,26531 = (1 + i)6 (usando a 
calculadora) , teríamos: (1,26531)1/6 = 1 + i Î i = 1,040 – 1 Î i = 0,040 
 
Logo, a taxa é igual a: 0,04 a.m. ou 4% a.m. 
 
 Mn = C(1 + i)n
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 34
Exemplo4: Determine em que prazo um empréstimo de $11.000,00 pode ser quitado em 
um único pagamento de $22.125,00, sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre 
em regime de juro composto. 
Temos que: M = 22125; C = 11000; i = 15% a.s. = 0,15 a.s ; n = ? 
 
Então: 22125 = 11000(1 + 0,15)n Î (1,15)n = 
11000
22125 Î (1,15)n = 2,01136 Î (usando 
logaritmo, temos) log(1,15)n = log2,01136 Î n.log1,15 = log2,01136 Î n = 
15,1log
01136,2log 
Î n = 5 
 
Logo, o prazo é igual a: 5 semestres ou 2 anos e 6 meses. 
 
Exemplo5: Qual será o montante de $2000,00, a juro composto de 37% ao ano, em 4 anos 
e 3 meses? 
Temos que: C = 2000; i = 37% a.a. = 0,37 a.a.; n = 4 a e 3 me = 4 a + a
12
3 = aa
4
17
12
51 = 
Então: M = 2000(1 + 0,37)17/4 Î M = 2000 x 1,374,25 Î M = 2000 x 5,14160 Î 
M = 10283,20 
 
Logo, o montante é igual a: $10.283,20. 
 
 
 
 
 
62) Calcule o montante de uma aplicação de $8.200,00, por um prazo de 8 meses, no 
regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês. 
63) Calcule o montante do capital de $65.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 
2 
4
3 % ao mês, no fim de 6 meses. 
64) Qual o montante produzido por $16.000,00, em regime de juro composto, à taxa de 
3% ao mês durante 40 meses? 
65) Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5% ao 
mês, durante 4 meses, rendeu um montante de $79.475,00, , calcule esse capital. 
66) Se uma pessoa investir, hoje, uma quantia de $16.000,00 para receber $18.127,00 
daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no 
regime de juro composto? 
67) O capital de $8.700,00, colocado a juros compostos `a taxa de 2,5% ao mês, elevou-
se no fim de certo tempo a $11.456,00. Calcule esse tempo. 
68) Um capital de $25.000,00, empregado em regime de juro composto, à taxa de 35% 
ao ano, durante 2 anos e 6 meses. Quanto receberá o investidor? 
69) Determine o juro de uma aplicação de $20.000,00, a 4,5% ao mês, capitalizado 
mensalmente durante 8 meses. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 35
70) Calcule o montante de uma aplicação de $8.000,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo 
de 14 meses. 
71) Qual o montante produzido pelo capital de $6.800,00, em regime de juro composto, 
aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,8% ao mês? 
72) Calcule o montante de $8.500,00, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 
meses. 
73) Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 
8 meses rendeu um montante de $19.752,00. 
74) Em que prazo uma aplicação de $100.000,00 produzirá um montante de 
$146.853,00, à taxa de 3% ao mês? 
75) Um capital de $20.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo 
$3.774,00 de juro. Determine a taxa de aplicação. 
76) O capital de $12.000,00, colocado a juros compostos capitalizados mensalmente 
durante 8 meses, elevou-se no final desse prazo a $15.559,00. Calcule a taxa de 
juro. 
 
 
10 TAXAS 
 
 10.1 Taxas Proporcionais: 
 
 Duas taxas são ditas proporcionais, quando seus valores formam uma proporção 
com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade. 
 Veja como ficariam as taxas proporcionais a uma taxa ao ano ia . 
 
 is = 
2
ai ; it = 
4
ai ; ib = 
6
ai ; im = 
12
ai ; id = 
360
ai 
 
 Onde: is: ao semestre; it: ao trimestre; ib: ao bimestre; im: ao dia ; id: ao dia 
 
 Então, para um período 1/k do ano, a taxa proporcional será ia / k , ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 10.2 Taxas Equivalentes: 
 
 São taxas que se referindo a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital 
produza o mesmo montante num mesmo tempo. 
 Verifique se as taxas proporcionais são equivalentes, calculando o montante, ao 
aplicarmos um capital de $1.000,00, em regime de juro composto, empregado nas duas 
condições a seguir: a) durante 1 ano, à taxa de 24% ao ano; b) durante 12 meses, à taxa de 
2% ao mês. 
 
 ik = k
ia 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 36
 Consideremos a situação anterior, chamemos de C o capital, ia a taxa anual, tempo de 
1 ano, tem que produzir um montante igual ao mesmo capital C, durante 12 meses, à taxa 
mensal im, equivalente à taxa anual ia . 
 Temos que: M1 = C(1 + ia)1M12 = C(1 + im)12 
 
 Como: M1 = M12 Î C(1 + ia)1 = C(1 + im)12 Î 1 + ia = (1 + im)12 
 
 Logo: 
 
Exemplo1: Qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? 
 Temos que: 1 + ia = (1 + im)12 
 Então: 1 + ia= (1 + 0,02)12 Î ia = 1,0212 – 1 Î ia = 1,26824 – 1 Î ia = 0,26824 
 
Logo a taxa anual equivalente é igual a: 0,2682 a.a. ou 26,82% a.a. 
 
Exemplo2: Qual a taxa trimestral equivalente a 20% ao ano? 
 Temos que: 1 + ia = (1 + it)4 
 Então : 1 + 0,2 = (1 + it)4 Î 1,2 = (1 + it)4 Î (1,2)1/4 = 1 + it Î it = 1,04663 – 1 Î 
 ia = 0,04663 
 
Logo, o valor da trimestral equivalente é igual a: 0,04663 a.t. ou 4,66% a.t. 
 
 10.3 Taxa Nominal: 
 
 Quando a taxa de capitalização não coincide com aquele a que se refere, 
denominamos essa taxa de NOMINAL. Por exemplo: juros de 34% ao ano capitalizado 
mensalmente; ou juros de 36% ao ano capitalizado semestralmente. De um modo geral, a 
taxa nominal é uma taxa anual. 
 
Exemplo1: Qual o montante de um capital de $4.000,00, no fim de 3 anos, com juros de 
26% ao ano capitalizados trimestralmente? 
Temos que: C = 4000; n = 3 anos; i = 26% a.a. = 0,26 a.a. 
Como: i4 = 
4
26,0 = 0,065 a.t. e n = 3 x 4t = 12t 
Então: M4 = C(1 + it)n Î M4 = 4000(1 + 0,065)12 Î M4 = 4000x2,12909 Î M4 = 8516,38 
 
Logo o montante será igual a: $8.516,38 
 
 10.4 Taxa Efetiva: 
 
 Quando oferecemos 8% ao ano e capitalizamos semestralmente a 4%, a taxa de 
8% é a taxa nominal. A taxa efetiva é a taxa anual equivalente a 4% semestrais. Logo, 
sendo if a taxa efetiva, temos: 
 1 + if = (1 + 0,04)2 Î if = 1,0816 – 1 Î if = 0,0816 
 Logo a taxa efetiva é igual a: 0,0816 a.a. ou 8,16% a.a. 
1 + ia = (1 + im)12
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 37
 
 De um modo geral podemos escrever essa relação da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo1: Uma taxa nominal de 16% ao ano é capitalizada semestralmente. Calcule a taxa 
efetiva. 
Temos que: i = 16% a.a. = 0,16 a.a. 
 1 ano = 2 sem => k = 2 
 ik= 08,0
2
16,0 = 
Então: 1 + if = (1 + 0,08)2 Î if = 1,1664 – 1 Î if = 0,1664 
 
Logo, a taxa efetiva é de: 0,1664 a.a. ou 16,64% a.a. 
 
Exemplo2: Um banco emprestou a importância de $35.000,00 por 2 anos. Sabendo que o 
banco cobra a taxa de 36% ao ano, com capitalização trimestral: 
 a) qual a taxa efetiva anual; 
 Temos que: i = 36% a.a. = 0,36 a.a. 
 1 ano = 4 trim Î k = 4 
 ik = 09,0
4
36,0 = 
 Então: 1 + if = (1 + 0,09)4 Î if = 1,41158 – 1 Î if = 0,41159 
 
 Logo, a taxa efetiva será igual a: 0,4116 a.a. ou 41,16% a.a. 
 
 b) qual o montante a ser devolvido ao final dos 2 anos? 
 Temos que : C = 35000; n = 2 anos ; if = 0,4116 a.a. 
 
 Então: M = C(1 + if)2 ÎM =35000(1 + 0,4116)2 ÎM = 35000x1,9926Î M = 69741 
 
 Logo, o montante será igual a: $69.741,00 
 
 10.5 Taxa Real e Taxa Aparente: 
 
 A taxa Aparente é aquela que ocorre nas operações correntes. Quando ocorre 
inflação, a taxa aparente é formada por dois componentes: um correspondente à inflação e 
1 + if = 
k
k
i 

 +1
Onde: 
i => taxa nominal 
if => taxa efetiva 
k => o número de capitalização 
para um período da taxa 
nominal 
ik => taxa por período de 
capitalização 


k
i 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 38
outro correspondente ao juro real. Quando não ocorre a inflação, a taxa aparente coincide 
com a taxa real. 
 Vamos convencionar que: 
• C => capital inicial 
• r => taxa real 
• i => taxa aparente 
• I => taxa de inflação 
Veja os casos a seguir: 
 
1. Sendo um período sem inflação, igual a zero, e uma taxa r, o capital inicial ficará 
igual a: C(1 + r) 
2. Sendo uma taxa de inflação I, o capital inicial, ao final do período, será dado por: 
C(1 + I) 
3. Sendo um taxa de juros r e uma taxa de inflação I, ao mesmo tempo, o capital inicial 
equivalerá a: C(1 + r).(1 + I) 
4. Sendo uma taxa aparente i, o capital inicial se transformará, ao final do período, 
em: C(1 + i) 
 
Agora é importante lembrar que nos item 3 e 4 as expressões são equivalentes, visto 
que ambas reportam o valor efetivamente recebido, então, temos: 
 
 C(1 + i) = C(1 + r).(1 + I) :C 
 
Logo: 
 
Exemplo1: Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 0,6% a.m. e a 
uma inflação de 0,5% no período? 
 Temos que: r = 0,6%a.m. = 0,006 a.m e I = 0,5% = 0,005 
 1 + i = (1 + r).(1 + I) 
 Então: 1 + i = (1 + 0,006).(1 + 0,005) Î i = 1,01103 – 1 Î i = 0,01103 
 
 Logo a taxa aparente deve ser de: 0,01103 a.p. ou 1,1% a.p. 
 
Exemplo2: Se for adquirida uma letra de câmbio em uma época A e resgatada na época B. 
O juro aparente recebido foi de 28%. Calcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa de 
inflação, nesse período, foi de 20%. 
 Temos que: i = 28% a.p = 0,28 a.p e I = 20¨% = 0,2 
 1 + i = (1 + r).(1 + I) 
 Então: 1 + 0,28 = (1 + r).(1 + 0,28) Î r=−1
2,1
28,1 Î r = 0,0666 
 
 Logo, a taxa real foi de: 0,0666 ou 6,66% 
 
 
 
 
1 + i = (1 + r).(1 + I)
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 39
 
 
 
 
77) A que taxa bimestral devo aplicar o meu capital, de modo a obter um total de juro 
igual a 50% do capital aplicado no fim de 8 meses? 
78) Determine as taxas mensal, trimestral, semestral e anual equivalente `a taxa de : 
 a) 30% a.a. b) 20% a.s. c) 8% a.t. d) 3% a.m. 
79) A caderneta de poupança paga juro de 6% ao ano capitalizando trimestralmente. 
Qual a taxa efetiva de juro? 
80) O capital de $18.000,00 foi colocado por 2 anos a 20% ao ano, capitalizados 
trimestralmente. Qual o montante? 
81) Um investidor aplica $25.000,00, em uma época A, para receber, em uma época B, 
a importância de $34.000,00. Calcule: 
a) a taxa aparente dessa aplicação; 
b) a taxa de inflação no período da aplicação, sabendo que a 
taxa real de juro dessa aplicação, nesse período, foi de 20%. 
 
 
11. DESCONTO COMPOSTO 
 
 Na realidade o desconto ocorre quando saldamos, antecipadamente ao 
vencimento, um compromisso financeiro. É o que denominamos ABATIMENTO. O 
desconto composto é empregado para operações em longo prazo, podendo ser de dois 
tipos: RACIONAL E COMERCIAL. O comercial, na prática, não é muito utilizado, 
com isso daremos uma atenção maior ao DESCONTO COMPOSTO RACIONAL. 
 
Já conhecemos a relação: N = A.(1 + i)n 
 
Logo vem que o valor Atual será: 
 
 
 
 Lembrando que (1 + i)n é o fator de descapitalização. 
 
Exemplo1: Determine o valor atual de um título de $900,00, saldado 3 meses antes do seu 
vencimento, à taxa de desconto (composto) de 2% ao mês. 
 Temos que: N = 900 ; n = 3 me ; i = 2% a.m. = 0,02 a.m. 
 Então: A = 3)02,01(
900
+ Î A = 061208,1
900 Î A = 848,09 
 
Logo, o valor atual do título será de: $848,09 (houve um desconto de $51,90) 
 
Exemplo2: Calcule o valor atual de um título de valor nominal de $1.400,00, com 
vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 30% ao ano, capitalizados semestralmente. 
 Temos que: N = 1400; n = 2 a e 6 meses = 2x2sem + 1 sem = 5 sem 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
A = ni
N
)1( +
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 40
 i = 30% a.a. = 0,3 a.a. = ..15,0
2
3,0 sa= 
 Então: A = 5)15,01(
1400
+ Î A = 01135,2
1400 Î A = 696,05 
 
Logo,o valor atual do título será de: $696,05. 
 
Exemplo3: Qual o desconto composto que um título de $6000,00 sofre ao ser descontado 3 
meses antes do seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês? 
 Temos que: N = 6000; n = 3 me ; i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m. 
 Então: A = 60,5571
07689,1
6000
)025,01(
6000
3 ==+ 
 d = N – A Î d = 6000 – 5571,60 Î d = 428,40 
 
Logo o valor do desconto é igual a: $428,40. 
 
Exemplo4: Um título de valor nominal de $1400,00 foi resgatado 3 meses antes de seu 
vencimento, tendo sido contratado à taxa de 36% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual 
foi o desconto concedido? 
 Temos que: N = 1400; n = 3 meses; i = 36% a.a. = 0,36 a.a. = ..03,0
12
36,0 ma= 
 Então: A = 20,1281
092727,1
1400
)03,01(
1400
3 ==+ 
 d = N – A Î d = 1400 – 1281,20 Î d = 118,80 
 
Logo o valor do desconto é igual a: $118,80 
 
 
 
 
 
82) Em uma operação de desconto composto, o portador do título recebeu $36.954,00 
como valor do resgate. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e o desconto de 
$3.046,00, qual a taxa de juro mensal adotada? 
83) Desejamos resgatar um título, cujo valor nominal é de $7.000,00, faltante ainda 3 
meses para o seu vencimento. Calcule seu valor atual, sabendo que a taxa de 
desconto é de 3% ao mês. 
84) Calcule o valor atual de um título de $40.000,00, resgatado 1 ano e 4 meses antes de 
seu vencimento, sendo a taxa de desconto de 24% ao ano. 
85) O valor nominal de um título é de $200.000,00. Seu portador deseja descontá-lo 1 
ano e 3 meses antes de seu vencimento. Calcule o valor de resgate sabendo que a 
taxa de desconto (composto) é de 28% ao ano, capitalizados trimestralmente. 
86) Determine o valor do desconto composto de um título de valor nominal de 
$6.200,00, descontado 5 meses antes de seu vencimento à taxa de 3% ao mês. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 41
87) Calcule o desconto obtido em um título de valor nominal de $3.800,00, regatado 8 
meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto, em regime de juro 
composto, de 30% ao ano, capitalizados bimestralmente. 
88) A que taxa foi descontada uma dívida de $5.000,00 que, paga 5 bimestres antes do 
vencimento, se reduziu a $3.736,00? 
89) Por um título de $2.300,00 paguei $2.044,00 com um desconto de 3% ao mês. De 
quanto tempo antecipei o pagamento? 
 
11.1 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS 
 
 Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalente, em certa época, 
quando seus valores atuais, nessa época, são iguais. Assim como foi visto em juro 
simples. Agora, a data de comparação pode ser qualquer uma, porque os juros 
compostos são equivalentes ao descontos compostos. 
 
Exemplo1: Um título no valor nominal de $8.000,00, com vencimento para 5 meses, é 
trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no 
mercado é de 4% ao mês, qual o valor nominal do novo título? 
 Temos que: N’ = 8000; n’ = 5 me ; i’ = 4% a.m. = 0,04 a.m. 
 N = ? ; n = 3 me ; i = 4% a.m = 0,04 a.m. 
 Então, para que exista equivalência, temos: A = A’ 
 35 )04,01(
'
)04,01( +=+
NN Î 
24864,1
8000
21665,1
=N Î N = 7795,04 
 
Logo, o valor nominal do novo título será de $7.795,04. 
 
Exemplo2: Um comerciante, devedor de um título de $50.000,00 para 3 anos, deseja restar 
essa dívida com dois pagamentos anuais iguais: um no fim de 1 ano e outro no fim de 2 
anos. Sabendo que a taxa é de 40% ao ano, calcule o valor desses pagamentos. 
 Temos que: N’ = 50000; n’ = 3 anos ; i’ = 40% a.a. = 0,4 a.a. 
 N1 = N ; n1 = 1 ano; i1 = i’ = 0,4 a.a. 
 N2 = N ; n2 = 2 anos; i2 = i’ = 0,4 a.a. 
 Então, para que exista equivalência, temos: A1 + A2 = A’ 
 
 321 )4,01(
50000
)4,01()4,01( +=+++
NN Î 0,71429N + 0,51020N = 50000x0,36443 
 1,22449N = 18221,57435 Î N = 14880,95 
 
Logo, o valor dos pagamentos é de: $14.880,95. 
 
 
 
 
90) Duas promissórias, uma de $4.000,00, vencível em 120 dias, e a outra de $9.000,00, 
vencível em 180 dias, deverão ser resgatados por um só pagamento, dentro de 90 
dias. Qual o valor desse resgate, no regime de juro composto, à taxa de 3% ao mês? 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 42
91) Calcule o valor atual, à taxa de 2,5% ao mês, do capital de $6.000,00 disponível no 
fim de 4 meses. 
92) Qual o valor atual de um título de $15.000,00 resgatado a 6 meses de seu 
vencimento, sabendo que a taxa de desconto composto é de 6% ao bimestre? 
93) Um título de valor nominal de $2.000,00 sofreu um desconto real de 40% ao ano, 
capitalizados semestralmente, 2 anos antes do vencimento. Qual o seu valor atual? 
94) Um título de $75.000,00 foi resgatado, com um desconto composto de 3,5% ao mês, 
por $67.646,00. Calcule o tempo de antecipação do resgate. 
95) Uma letra paga 5 meses antes de seu vencimento, com um desconto composto de 
4% ao mês, ficou reduzida a $24.658,00. Calcule o valor da letra. 
96) Um industrial toma um empréstimo de $5000.000,00 por 4 anos, com juro de 40% 
ao ano, capitalizados trimestralmente. Passando algum tempo, o industrial propõe 
saldar a dívida em 3 pagamentos iguais, realizáveis no do 2º, 3º e 4º anos, 
respectivamente. Calcule o valor desses pagamentos, sabendo que a taxa de 
desconto empregada na transação é de 36% ao ano com capitalização semestral. 
 
12. SEQUÊNCIAS DE CAPITAIS 
 
 Já vimos que forma conjuntos de capitais podiam ser transformados em outros 
equivalentes para efeito de comparação. Na prática é comum que esses conjuntos tenham 
algumas características, tais como periodicidade, uniformidade, crescimento ou 
decrescimento, de acordo com certas leis matemáticas. Tais conjuntos são chamados de 
seqüências de capitais (os capitais tanto podem se referir a pagamentos como 
recebimentos). No que segue, vamos supor, que o regime é de capitalização composta. 
 
 12.1 SEQUÊNCIA UNIFORME 
 
 Consideremos a seqüência de capitais y1, y2, y3, ..., yn , respectivamente nas datas 
1, 2, 3, ..., n (a unidade de tempo pode ser mês, semestre, ano, etc.) Dizemos que esse 
conjunto constitui uma seqüência uniforme se: 
 
 y1 = y2 = y3 = ... = yn = R 
 
 
isto é, se todos os capitais são iguais. Indicando esse capital por R, a representação gráfica 
da seqüência uniforme seria: 
 
 
 
 
 
 
 
Por definição, o valor atual, na data 0, da seqüência uniforme, a uma taxa de juros i na 
unidade de tempo considerada é dado por: 
 
R R R R 
0 1 2 3 ... n 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 43
 V = ni
R
i
R
i
R
)1(
...
)1()1( 21 ++++++ Î V = R 


++++++ niii )1(
1...
)1(
1
)1(
1
21 
 
Observe que os termos entre colchetes, estão numa soma de uma progressão geométrica dos 
n primeiros temos, cuja fórmula é dada por: S = 
1
)1(1
−
−
q
qa n
 , no caso que estamos 
analisando, temos: q = a1 = i+1
1 
Então, teríamos: V = R 
1
)1(
1
1
)1(
1
)1(
1
−+


 −++
i
ii n
 , fazendo as simplificações matemáticas 
chegaremos ao seguinte resultado: 
 
 
 
 
 
O fator é chamado fator valor atual e pode ser representado pelo 
 
 
 
símbolo: 
in
a
/
 , a leitura é feita da seguinte forma: a, n, cantoneira i. 
 
 
Simplificando a fórmula anterior, ficaria: 
 
 
Exemplo1: Um eletrodoméstico é vendido a prazo, em 4 pagamentos mensais e iguais de 
$550,00, vencendo o primeiro um mês após a