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Página 1 de 3 GRUPO SER EDUCACIONAL GRADUAÇÃO EAD GABARITO SEGUNDA CHAMADA - 2017.2B 16/12/2017 1. A derivada direcional Du f(1,1) representa a taxa de variação de z na direção de u. Sendo u o vetor unitário dado pelo ângulo , dada a função f (x, y) = x³ -3xy + 4y². Determine a derivada direcional de f(1,1). a) b) c) d) e) Alternativa correta : Letra B Identificação de conteúdo : Derivadas Direcionais Comentário :Calcular as derivadas em função de x e y, no ponto (1,1) e substituir na equação. 2. Seja F(x,y,z) uma função com três variáveis, represente respectivamente as derivadas parciais: Fx, Fy e Fz. Dado F(x, y, z)= ln( x + 2y + 3z) a) Fx= 1/ ( x + 2y + 3z), Fy= 2/ ( x + 2y + 3z), Fz= 1/ ( x + 2y + 3z) b) Fx= 1/ ( x + 2y + 3z), Fy= y/ ( x + 2y + 3z), Fz= 1/ ( x + 2y + 3z) c) Fx= x/ ( x + 2y + 3z), Fy= 2/ ( x + 2y + 3z), Fz= 3/ ( x + 2y + 3z) d) Fx= 1/ ( x + 2y + 3z), Fy= 2/ ( x + 2y + 3z), Fz= 3/ ( x + 2y + 3z) e) Fx= 1/ ( x + 2y + 3z) , Fy= xy/ ( x + 2y + 3z), Fz= 3/ ( x + 2y + 3z) Alternativa correta : Letra D. Identificação de conteúdo : Derivadas Parciais de funções de várias variáveis. Comentário : Derivar uma variável por vez e as demais se tornam constantes. 3. Determine a derivada de ordem superior, sendo f xxyz se f (x, y, z)= sen(3x+yz). a) fxxyz= -9z cos(3x+ yz) b) fxxyz= 3 cos(3x+ yz) GABARITO QUESTÕES COMENTADAS Disciplina CÁLCULO VETORIAL Professor (a) KARLA ADRIANA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C C B A A B D D Página 2 de 3 DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA c) fxxyz= -9 cos(3x+ yz) + 9yz sen(3x + yz) d) fxxyz= -9 sen(3x+ yz) e) fxxyz= -9z sen(3x+ yz) + 9yz sen(3x + yz) Alternativa correta : Letra c. Identificação de conteúdo : Derivadas parciais de ordem superior. Comentário : Derivar em relação a x, y e z serão constantes, ou seja, em cada derivação em relação a uma variável, as demais serão constantes. 4. Calcule a integral dupla onde R= {(x, y)/ 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}. a) -7 b) -3 c) -12 d) -4 e) -16 Alternativa correta : Letra c. Identificação de conteúdo : Integrais duplas Comentário : Resolver a integral de uma variável por vez, respeitando os intervalos de integração. 5. Dada função f(x,Y) = 4y³+ , determine a derivada parcial em relação a y, aplicando um teorema de derivação ordinária. a) b) 12y²+ c) d) e) Alternativa correta : Letra B Identificação de conteúdo : Derivadas Parciais Comentário : Derivar em relação a y, x será uma constante. Utilizando um teorema de derivação, podemos substituir a raiz pelo expoente ½, 6. Determine o volume do sólido que é limitado pelo cone z e abaixo da esfera x² + y²+ z²= 2 . a) b) c) d) e) Alternativa correta : Letra A Identificação de conteúdo : Integrais cilíndricas Comentário : O volume será dado pela integral tripla. 7. Pesquisadores resolveram explorar uma caverna. Um deles registrou as temperaturas do ambiente ao longo do percurso. Suponha que a temperatura em um determinado ponto (x, y, z) do espaço seja dada por T(x, y, z)= 80/(1+x²+ 2y²+ 3z²), onde T é medido em graus Celsius e x, y, z em metros. Em que direção no ponto (1, 1, -2) a temperatura aumenta mais rapidamente. a) (-i -2j+ 6k) b) (2j+ 6k) c) (-i -2j) d) (-i -2j+ 6k) e) (i +2j+ 6k) Alternativa correta : Letra A. Identificação de conteúdo : Vetor Gradiente Comentário : Determinar o vetor gradiente de T. Determinar as derivadas em relação à x, y e z. 8. Uma criança lançou um peão e curiosamente ele parou em uma posição perpendicular a um plano. Curiosamente um matemático analisou a situação e desenhou o esquema a seguir: Página 3 de 3 DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA Dado as informações contidas no esquema, determine a integral tripla de ( X² + Y²). a) 5 b) c) d) e) Alternativa correta : Letra B Identificação de conteúdo: Vetor Gradiente coordenadas cilíndricas Comentário: Primeiro deve-se determinar os intervalos: e = { (x, y, z) / -2 ≤ x ≤ 2, - ≤ y ≤ , ≤ 2 }. Depois descrevê-lo em coordenadas cilíndricas. 9. Um arame de cobre tem o formato de um semicírculo x² + y² =1, y ≥ 0, é mais grosso perto da base do que perto do topo. Determine o centro de massa aproximado desse arame, se a função densidade linear em qualquer ponto for proporcional à sua distância à reta y=1 a) (0, 8) b) (0; 0,42) c) (1; 0,38) d) (0; 0,38) e) (0; 0,1) Alternativa correta : Letra D Identificação de conteúdo : Integrais de linha Comentário: Determinar os intervalos no gráfico e resolver as integrais da função dada, e encontrar a imagem no ponto informado 10. Seja D o conjunto de pares ordenados reais e F uma função de duas variáveis que associa, a cada par (x,y) em D um número real. Seguindo essa definição de domínio de uma função, apresente o domínio da seguinte função: F (x, y)= a) D (f)= { (x, y) / y< x² } b) D (f)= { (x, y) / y= x² } c) D (f)= { (x, y) / y > x² } d) D (f)= { (x, y) / y ≠ x² } e) D (f)= { (x, y) / y ≥ x²} Alternativa correta : Letra D. Identificação de conteúdo: Funções com duas variáveis Comentário: Para determinar o intervalo, deve-se analisar o denominador da fração, resolvendo a inequação do radicando.
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