Av2-Cálculo vetorial AV2 antigas

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GRADUAÇÃO EAD 
 AV2 2018.2B 
 01/12/2018 
 
QUESTÃO 1. 
Vários mapas de contorno foram entregues, em um determinado setor de planejamento de obras, um deles era 
de urgência. A única informação dada para localização do mapa que, para análise de emergência, seria o 
domínio da função de duas variáveis , definida no conjunto dos números reais, que 
define as curvas de contorno. Sendo assim, assinale a alternativa que apresenta o domínio da função z. 
 
R: 
 
QUESTÃO 2. 
As taxas de variações podem ser encontradas mediante as derivadas em relação às variáveis x e y da função 
f(x,y)= x²+ 2y³ +x³y². Apresente, respectivamente, a variação de fx no ponto (2, 1) e fy no ponto (2,1). 
 
R: 16 e 22 
 
QUESTÃO 3. 
Em um campo de energia, os vetores presentes estão em constante movimento. Seguindo a função 
F(x,y,z)=xyzi−x²yk, que representa o campo vetorial, determine o divergente deste campo. 
 
R: div= yz 
 
QUESTÃO 4. 
Em um termômetro, as temperaturas estão sendo registradas na escala Kelvin, seguindo a função F(x, y,z)= x²+ 
y²+ xyz. Marque em que direção a temperatura cresce mais rapidamente, quando é considerado o ponto (-2, 2, 
3). 
 
R: 2i- 10j-4k 
 
QUESTÃO 5. 
Seja a equação x²+ y² = k, e seu gráfico de revolução, uma paraboloide, como a representação abaixo sugere. 
 
 
 
Determine, respectivamente, os raios dos círculos para k=1 e k=3. 
 
CÁLCULO VETORIAL 
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R: 
 
QUESTÃO 6. 
Seja , onde C é formada pelo arco da parábola y= x² de (0,0) a (1,1) seguido pelo segmento de 
reta vertical de (1,1) a (1,2), marque a alternativa que apresenta . 
 
R: 
 
QUESTÃO 7. 
Determine a derivada parcial da função f(x,y)= x³+ x²y³- 2y². 
 
R: 6x+ 2y³ 
QUESTÃO 8. 
Seja a função de duas variáveis , determine a derivada de primeira ordem fy. 
 
 
R: 
 
QUESTÃO 9. 
Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos, respectivamente, da função no 
retângulo 
 
R: 9 e 0 
 
QUESTÃO 10. 
(Adaptada- STEWART) Utilizando o teorema de Green, calcule , onde C é a curva triangular 
constituída pelos segmentos de reta de (0,0) a (1,0), de (1,0) a (0,1), e de (0,1) a (0,0). 
 
R: 1/6 
 
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GRUPO SER EDUCACIONAL 
GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
AV2-2016.2B – 03/12/2016 
 
 
 
 
 
 
1. Dada a função
 
 , qual o domínio dessa função? 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra D. 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 7. 
Comentário: As funções seno e exponencial estão definidas em todos os pontos do plano e a exponencial que aparece 
no denominador nunca passa pela origem, assim o domínio dessa função é todo o plano. 
 
2. De acordo com a lei dos gases ideais para um gás confinado, se P N/m2 for a pressão, V metros cúbicos for o 
volume e T graus Celsius for a temperatura, teremos a fórmula PV = kT onde k é uma constante de 
proporcionalidade. Suponha que o volume de gás em certo recipiente seja de 100 m3 e que sua temperatura 
seja 90º e k = 8. Qual a taxa de variação de P por unidade de T se V permanece fixo? 
 
a) 0,08 
b) 0,1 
c) 0,21 
d) 0,06 
e) 0,14 
Alternativa correta: Letra A. 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 36. 
Comentário: Derivando P parcialmente em relação a T encontramos , substituindo o valor de V encontramos a 
taxa de 0,08. 
 
 
GABARITO 
QUESTÕES COMENTADAS 
Disciplina CÁLCULO VETORIAL 
Professor (a) THIAGO ALBUQUERQUE 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
D A D A D B E A C B 
 
 
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CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): THIAGO ALBUQUERQUE 
 
 
3. Qual o valor máximo da derivada direcional da função no ponto (1, -2)? 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra D. 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 117. 
 Comentário: Esse valor é o módulo do Gradiente da função no ponto estudado. 
∇ ⃗f=∂f/∂x i ⃗+∂f/∂y j ⃗ 
∇ ⃗f=(4x+3) i ⃗+(-2y-1) j ⃗ 
∇ ⃗f(1,-2)=7i ⃗+3j ⃗ 
|∇ ⃗f|=√(49+9)=√58 
 
4. Qual a equação do plano tangente ao parabolóide elíptico de equação no ponto (2, 4, 2)? 
 
a) 2x + y – 2z – 4 = 0 
b) 3x – 2y + z - 8 = 0 
c) – 4x + 6y + 3z – 90 = 0 
d) x + y + z = 1 
e) 6x – 7y + z = 6 
Alternativa correta: Letra A. 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 38. 
Comentário: A equação do plano tangente é 
. Efetuando os cálculos 
encontramos a letra A como resposta. 
F_x=8x ; F_y=2y ;F_z=-16 
F_x (2,4,2)=16 ;F_y (2,4,2)=8 ;F_z (2,4,2)=-16 
16(x-2)+8(y-4)-16(z-2)=0 
16x+8y-16z-32=0 
2x+y-2z-4=0 
 
5. Calcule a integral dupla   
R
dAxy 223 em que R é a região que consiste em todos os pontos (x,y) para os 
quais – 1 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 3. 
 
a) 21 
b) 22 
c) 23 
d) 24 
e) 25 
Alternativa correta: Letra D. 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 44 
Comentário: Calculando as integrais iteradas, pode-se calcular tanto na ordem dxdy ou dydx (cuidado com os limites 
de integração). Livro texto – BUP página 44 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): THIAGO ALBUQUERQUE 
 
 
6. Ache o volume do sólido limitado pela superfície , pelos planos x = 3, y = 2 e 
pelos três planos coordenados.. 
 
a) 20,5 
b) 21,5 
c) 22,6 
d) 23,7 
e) 20,8 
Alternativa correta: Letra B. 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 44. 
Comentário: Volume calculado por uma integral dupla, os planos irão determinar os limites de integração, resposta 
letra B. 
 
 
7. Calcule o volume do sólido (em unidades de volume) no primeiro octante limitado pelo cone z = r e pelo 
cilindro r = 3sen(θ) 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
Alternativa correta: Letra E. 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 50 
Comentário: Integral dupla em coordenadas polares com 0 ≤ r ≤ 3sen(θ) e 0 ≤ θ ≤ π/2. 
 
 
 
8. Calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro , pelo plano e pelo plano xy. 
 
a) 200π 
b) 210π 
c) 230π 
d) 250π 
e) 270π 
Alternativa correta: Letra A. 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 66. 
Comentário: Integral tripla cujos limtes são expressos em termos dos planos e do cilindro. 
 
 
 
 
 
 
 
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CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): THIAGO ALBUQUERQUE 
 
9. Calcule a integral tripla   
2
0
1
0 0
2
)cos(
 x
dzdxdyyz 
a) 1/3 
b) 1/6 
c) 1/10 
d) 2/5 
e) 2/7 
Alternativa correta: Letra C. 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 66. 
Comentário: Basta calcular as integrais iteradas na ordem apresentada, resposta letra C. 
 
 
10. Calcule a massa do cilindro , 0 ≤ z ≤ 1, admitindo que a densidade seja dada por 
 
 
a) π/2 
b) π/4 
c) π/6 
d) π/8 
e) π/9 
Alternativa correta: Letra B. 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 73. 
Comentário: calcular a integral tripla em coordenadas cilíndricas. 
 
 
 
 
 
 
 
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GRUPO SER EDUCACIONAL 
GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
FINAL - 2017.2B 
06/01/2018 
 
 
 
 
 
1. Seja F(x,y,z) uma função com três variáveis, 
represente, respectivamente, as derivadas 
parciais: Fx, Fy e Fz. 
Dado F(x, y, z)= ln( x² + 2y ²+ 3z) 
 
a) Fx= 1/ ( x² + 2y² + 3z), Fy= 2/ ( x² + 2y² + 3z), Fz= 
1/ ( x² + 2y² + 3z) 
 
b) Fx= 2x/ ( x² + 2y² + 3z), Fy= 4y/ ( x² + 2y² + 3z), 
Fz= 3/ ( x² + 2y² + 3z) 
 
c) Fx= x/ ( x² + 2y² + 3z), Fy= 2/ ( x² + 2y² + 3z), Fz= 
3/ ( x² + 2y² + 3z) 
 
d) Fx= 1/ ( x² + 2y² + 3z), Fy= 2/ ( x² + 2y² + 3z), Fz= 
3/ ( x² + 2y² + 3z) 
 
e) Fx= 1/ ( x² + 2y² + 3z) , Fy= xy/ ( x² + 2y² + 3z), 
Fz= 3/ ( x² + 2y² + 3z) 
 
Alternativa correta : LETRA B. 
Identificação de conteúdo : Derivadas Parciais de 
funções de várias variáveis 
Comentário : Derivar uma variável por vez e as 
demais se tornam constantes.2. Determine a derivada de ordem superior, sendo 
f xxyz se f (x, y, z)= sen(3x+yz). 
 
a) fxxy= -9z cos(3x+ yz) 
b) fxxy= 3 cos(3x+ yz) 
c) fxxy= -9 cos(3x+ yz) + 9yz sen(3x + yz) 
d) fxxy= -9 sen(3x+ yz) 
e) fxxy= -9z sen(3x+ yz) + 9yz sen(3x + yz) 
Alternativa correta : LETRA A . 
Identificação de conteúdo : Derivadas Parciais de 
ordem superior. 
Comentário : Derivar em relação a X e y as demais 
variáveis serão constantes, ou seja, em cada derivação 
em relação a uma variável, as demais serão 
constantes. 
 
3. Calcule a integral dupla onde 
R= [0,1] x [0,1]. 
 
a) -7 
b) 3 
c) -12 
d) -4 
e) -16 
Alternativa correta : LETRA B. 
Identificação de conteúdo : Integrais duplas 
Comentário : resolver a integral de uma variável por 
vez, respeitando os intervalos de integração. 
 
 
GABARITO 
QUESTÕES COMENTADAS 
Disciplina CÁLCULO VETORIAL 
Professor (a) KARLA ADRIANA 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
B A B A A A C C D D 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA 
 
 
4. Dada função f(X,Y) = x³ + x²y³- 2y², determine a 
derivada parcial em relação a y, aplicando um 
teorema de derivação ordinária. 
 
a) 3x²y²-4y 
b) x²y²- 2y 
c) 3x²+2xy³-4y 
d) 3x²+2xy³- 2y² 
e) x³+2xy³-4y 
Alternativa correta : LETRA A. 
Identificação de conteúdo : Derivadas Parciais 
Comentário : Derivar em relação a y, x será uma 
constante, utilizando um teorema de derivação. 
 
5. A derivada direcional Du f(1,2) representa a taxa 
de variação de z na direção de u. Sendo u o vetor 
unitário dado pelo ângulo , dada a função f (x, 
y) = x³ -3xy + 4y². Desse modo, determine a 
derivada direcional de f(1,2). 
 
 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
Alternativa correta : LETRA A 
Identificação de conteúdo : Derivadas Direcionais 
Comentário : Calcular as derivadas em função de x e 
y, no ponto (1,2) e substituir na equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Determine o volume do sólido que é limitado pelo 
cone z e abaixo da esfera x² + y²+ 
z²= 2 . 
 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
Alternativa correta : LETRA A. 
Identificação de conteúdo : Integrais cilíndricas. 
Comentário : O volume será dado pela integral tripla. 
 
7. Seja f(x,y)= sen(2x+3y), uma função com duas 
variáveis, determine o gradiente de f. 
 
a) cos(2x+3y),3cos(2x+3y)) 
b) sen(2x+3y),3sen(2x+3y)) 
c) cos(2x+3y),3cos(2x+3y)) 
d) ,3cos(2x+3y)) 
e) cos(2x+3y),cos(2x+3y)) 
Alternativa correta : LETRA C. 
Identificação de conteúdo : Vetor Gradiente 
Comentário : Determinar o vetor gradiente de F. 
Determinar as derivadas em relação à x e y . 
 
8. Calcule onde D é a região limitada 
pela reta y= X-1 pela parábola 
Y²= 2X+6. Com D={ (x, y)/ -2 ≤y ≤ 4, 
 
 
 
a) 24 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA 
 
b) 
c) 36 
d) 8 
e) 16 
Alternativa correta : LETRA C. 
Identificação de conteúdo : Integrais Duplas 
Comentário : Integrar analisando os intervalos 
 
9. Um artesão criou um artefato, com arame de 
alumínio, no formato de um semicírculo de equação 
x² + y² =1, y ≥ 0, sendo este mais grosso perto da 
base do que perto do topo. Determine o centro de 
massa aproximado desse arame, se a função 
densidade linear em qualquer ponto for 
proporcional à sua distância à reta y=1 
 
a) (0, 8) 
b) (0; 0,42) 
c) (1; 0,38) 
d) (0; 0,38) 
e) (0; 0,1) 
Alternativa correta : LETRA D. 
Identificação de conteúdo : Integrais de linha 
Comentário : Determinar os intervalos no gráfico e 
resolver as integrais da função dada, e encontrar a 
imagem no ponto informado. 
 
10. Seja D o conjunto de pares ordenados reais e F 
uma função de duas variáveis que associa a cada 
par (x,y) em D um número real. Seguindo essa 
definição de domínio de uma função, apresente o 
domínio da seguinte função: 
 
F (x, y)= 
 
a) D (f)= { (x, y) / y< x² } 
b) D (f)= { (x, y) / y= x² } 
c) D (f)= { (x, y) / y > x² } 
d) D (f)= { (x, y) / y ≠ x² } 
e) D (f)= { (x, y) / y ≥ x²} 
Alternativa correta : LETRA D. 
Identificação de conteúdo : Funções com duas 
variáveis 
Comentário : Para determinar o domínio, deve-se 
analisar o denominador da fração, resolvendo a 
inequação do radicando. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRADUAÇÃO EAD 
FINAL 
GABARITO 
 2016.1B – 09/07/2016 
 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO VETORIAL 
PROFESSOR(A) BRAULIO ANCHIETA 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
MATRÍCULA POLO 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 B B B E D C B B D A 
 
 
 
 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resp osta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos d o aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
1. Considere ( ) 2216, yxyxf −−= , uma 
função real. O domínio e a imagem desta função 
são respectivamente. 
 
a) {(x, y) ∈ R2  x2 + y2 ≥ 16} e [0, 4] 
b) {(x, y) ∈∈∈∈ R2  x2 + y2 ≤≤≤≤ 16} e [0, 4] 
c) {(x, y) ∈ R2  x2 + y2 –16 = 0} e (0, 4) 
d) {(x, y) ∈ R2  x2 + y2 ≤ 0} e [0, 4) 
e) {(x, y) ∈ R2  x2 + y2 + 16 ≥ 0} e [0, 4) 
 
COMENTÁRIO: 
01. 
( ) 2216, yxyxf −−= . Domínio e imagem (?) 
 
Domínio 
( ){ }16,
16016
222
2222
≤+∈=
≤+∴≥−−
yxRyxD
yxyx
 
Imagem: 
Para qualquer valor real de “x e y”. 
x2 + y2 é sempre positivo ou zero e “x ou y” sempre 
menor ou igual a 4 
I = [0, 4] 
 
Resposta: 
( ){ } ]4,0[16, 222 eyxRyx ≤+∈
 
GABARITO: B 
 
2. Verifique as afirmações abaixo sobre as 
equações que correspondem aos respectivos 
gráficos: 
 
I. z = 3, representa uma reta paralela ao plano x 
y 
II. z = x – y + 1, representa um plano que pode 
ser definido pelos pontos (-1, 0, 0), (0, 1, 0) e 
(0, 0, 1). 
III. z = 2x2 + 2y2, representa uma curva 
denominada paraboloide. 
 
Podemos afirmar: 
 
a) apenas I e II são verdadeiras. 
b) apenas II e III são verdadeiras. 
c) apenas I e III são verdadeiras. 
d) todas são verdadeiras. 
e) todas são falsas. 
 
COMENTÁRIO: Analisando as afirmações. 
(I) z = 3, para uma função real no R3 representa um 
plano paralelo ao “xy”. 
 
 
 
(II) z = x – y + 1, representa um plano no R3 
substituindo os pontos: (-1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) 
encontramos sempre uma identidade. Então os pontos 
dados pertencem ao plano. 
(III) z = 2x2 + 2y2, representa uma Curva Quádrica cuja 
equação satisfaz a quádrica denominada. 
PARABOLÓIDE. (Paraboloide circular) 
Resposta: Apenas (II) e (III) são verdadeiras. 
GABARITO: B 
 
3. Considere a função z = 2x2 – 4y3 + 5x2y2. 
A derivada 
2
2
y
z
∂
∂
 é: 
 
a) 4x + 10y2 
b) – 24y + 10x2 
c) 20xy 
d) – 12y2 + 10x2 y 
e) – 3 + 4x2 
 
COMENTÁRIO: 
SOLUÇÃO 
 
Calculando a derivada parcial (1ª derivada): 
 
y
z
∂
∂
(consideramos “y” variável e “x” constante). 
 
( )
yxy
y
z
yxyyxyx
y
22
222232
1012
2.5120542
+−=
∂
∂
+−=+−
∂
∂
 
Calculando a derivada parcial de ou , temos: 
(2ª derivada). 
( )
2
2
2
22
2
2
1024
1012
xy
y
z
yxy
yy
z
+−=
∂
∂
+−
∂
∂=
∂
∂
 
GABARITO: B 
 
 
 
 
 
 
 
 
?.542
2
2
2232 =
∂
∂+−=
y
z
yxyxz
y
z
∂∂
2
2
y
z
∂
∂
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
4. Sendo f(x, y) = 2x3y2+x3y4-xy+4. Determine 
xy
f
yx
f
∂∂
∂−
∂∂
∂ 22
 
 
a) 12xy 
b) xy 
c) x+y 
d) 1 
e) zero 
 
COMENTÁRIO: 
04. 
( ) ?42,
22
4323 =
∂∂
∂−
∂∂
∂+−+=
xy
f
yx
f
xyyxyxyxf
 
Pelo Teorema de Schwartz temos: 
0,
2222
=
∂∂
∂−
∂∂
∂
∂∂
∂=
∂∂
∂
xy
f
yx
f
Então
xy
f
yx
f
 
 
GABARITO: E 
 
5 . O vetor gradiente da função f(x, y) = x2 + y2 no 
ponto (1, 3) é: 
 
a) (2;3) 
b) (2,0) 
c) (0,3) 
d) (2,6) 
e) (2,2) 
 
COMENTÁRIO: 
05. f(x, y) = x2 + y2 no ponto(1, 3) 
( )
( ) jifpontono
yxfouyjxif
y
y
f
ex
x
f
k
z
f
j
y
f
i
x
f
ff
623,1
2,222
22
?
+=∇∴
=∇+=∇
=
∂
∂=
∂
∂






∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇=∇
 
 
GABARITO: D 
 
6. Considere um campo vetorial definido por 
xyzkjeixf xy 25 3 ++=
→
, determine div f para o 
ponto (1, 0, 0). 
 
a) 8 
b) 7 
c) 16 
d) 20 
e) 1 
 
 
COMENTÁRIO: 
)0,0,1(/`?.25 3 Ppfdivxyzkjcixf xy =++=
→→
 
( )
( )
( )
( )
)0,0,1(/215
22
155
155
2
3
2
231
23
321
Ppxyxcxfdiv
xyxyz
zz
f
xcc
yy
f
xx
xx
f
xx
x
fdiv
y
f
y
f
x
f
divf
xy
xyxy
++=
=
∂
∂=
∂
∂
=
∂
∂=
∂
∂
=
∂
∂=
∂
∂
=
∂
∂=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
→
 
Resposta: 16 
GABARITO: C 
 
7. Calcule a integral dupla ∫ ∫D dxdy7 , num certo 
domínio dado por 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 5 e 1 ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ 3. A solução 
para esta integral é: 
 
a) 7 
b) 70 
c) 77 
d) 17 
e) 14 
 
COMENTÁRIO: 
 
∫ ∫ ≤≤≤≤= 3150?7 yexdxdy 
 
Esta integral pode ser facilmente resolvida em qualquer 
ordem nos diferenciais. 
 
1º modo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: B 
 
 
( ) ( )
7035105
1.353.353535
3577
7
3
1
3
1
3
1
3
1
5
0
3
1
0
5
3
1
5
0
=−=
−===
==
∫
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫
ydy
dydyxdxdy
dxdy
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
8. Considere a função constante de duas variáveis 
igual a unidade, ou seja, f (x, y) = 1. Seja “D” a 
região dada pelas desigualdades 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1 e x2 ≤≤≤≤ y 
≤≤≤≤ x. O volume do sólido sob o gráfico da função e 
acima de “D” é dado por (em unidades de volume): 
 
a) 3
1 
b) 6
1
 
c) 2
1
 
d) 4
1
 
e) 5
1
 
 
COMENTÁRIO: 
SOLUÇÃO 
( ) xyxexyxf ≤≤≤≤= 210.1, 
Temos um caso típico de integral dupla: 
( ) ( )( )∫ ∫ ∫ ∫ 


=
D
b
a
y
y
dxdyyxfdxdyyxf
x
x
)(2
1
,,
 
∫ ∫ 


1
0 2
1 dxdy
x
x , resolvendo a integral interna. 
]∫ −==
x
x
x
x xxydy2 2
2
, substituindo. 
( )∫ =−=


−=−
1
0
1
0
32
2
6
1
3
1
2
1
32
xx
dxxx
 
GABARITO: B 
 
 
9. Considere um campo de forças definido por 
( ) xyjixyxf −=
→
2, . Determine o trabalho 
realizado por este campo ao longo de um 
quarto de círculo r(t) = cost i + sent j, 0 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ 2ππππ. 
 
a) 3
1
 
b) 3
1−
 
c) 3
2
 
d) 3
2−
 
e) Zero 
 
 
 
 
 
 
 
COMENTÁRIO 
SOLUÇÃO 
f = x2i – xyj é o campo. 
r(t) = Costi + Sentj com 0 ≤ t ≤ 2π,é a curva. 
O trabalho ao longo de um quarto de círculo? 
 
SOLUÇÃO-09 
 
( )( ) ( )
( )( )
( ) CostjSentitr
CostSentjtiCostrf
dttrtrfrdf
b
a
+−=
−=
=∫ ∫
→→
1
2
1.
 
O produto: 
(Cos2t i; - Cost Sentj) . (- Sent i; Cost J). 
- Cos2t Sent – Cos2t Sent 
- 2 Cos2t Sent 
( )∫ ∫−=−
2/
0
2/
0
22 22
π π
dtSenttCosdtSenttCos
 
Fazendo Sent
du
dtSent
dt
du
Costu −=∴−=∴=
 
( ) 32103
2
0cos
2
cos
3
2
3
2
3
22
22
33
2/
0
3
2/
0
3
2
0
2
2/
0
22/
0
2
−=−=





 −=








=



==





−−=−=
∫
∫∫
π
π
ππ
ππ
tCos
u
duu
Sent
du
SentutSentdtCos
 
GABARITO: D 
 
10. Seja um campo vetorial definido por F(x, y) = (x 
+ y) i + (x – 5) j. Verifique a alternativa abaixo que 
corresponde as condições deste campo. 
 
a) F é conservativo 
b) F não é conservativo 
c) F é um campo elétrico 
d) F é um campo magnético 
e) F é um campo gravitacional 
 
COMENTÁRIO: 
SOLUÇÃO 
( ) ( ) ( ) jxiyxyxF 5, −++= , é do tipo F (x, y) = 
Pi + Qi 
 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
x
Q
y
P
∂
∂=
∂
∂
 (é conservativo) 
x
Q
y
P
∂
∂≠
∂
∂
 (não é conservativo) 
 
( )
( )
x
Q
y
P
ox
xx
Q
yx
yy
P
∂
∂=
∂
∂=−
∂
∂=
∂
∂
=+
∂
∂=
∂
∂
,log,15
1
 
O Campo F é conservativo. 
 
GABARITO: A 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 1 de 3 
 
 
 
 
GRUPO SER EDUCACIONAL 
GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
SEGUNDA CHAMADA -2016.2B – 10/12/2016 
 
 
 
 
 
 
1. Dada a função , qual o 
domínio dessa função? 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: letra D 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 
7 
Comentário: não existe raiz quadrada de números 
negativos, na disciplina só tratamos com números 
reais, e a divisão por zero não é definida. 
 
2. De acordo com a lei dos gases ideais para um 
gás confinado, se P N/m2 for a pressão, V metros 
cúbicos for o volume e T graus Celsius for a 
temperatura, teremos a fórmula PV = kT onde k é 
uma constante de proporcionalidade. Suponha que 
o volume de gás em certo recipiente seja de 100 m3 
e que sua temperatura seja 90º e k = 8. Qual a taxa 
de variação de V por unidade de P se T permanece 
fixo? 
 
a) – 125/9 
b) 125/8 
c) – 130/9 
d) 130/23 
e) – 130/31 
Alternativa correta: Letra A 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 
36 
Comentário: Derivando V parcialmente em relação a P 
encontramos , substituindo o valor de P e T 
encontramos a taxa expressa na letra A. 
 
3. Dada a função , 
qual o valor máximo dessa função? 
 
a) 12 
b) 13 
c) 14 
d) 11 
e) 15 
Alternativa correta: Letra D 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 
38 
Comentário: Aplicação de derivadas parciais, ponto 
crítico (3, -1). 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
QUESTÕES COMENTADAS 
Disciplina CÁLCULO VETORIAL 
Professor (a) THIAGO ALBUQUERQUE 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
D A D C C A E E C B 
 
 
 Página 2 de 3 
 
CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): THIAGO ALBUQUERQUE 
 
 
O ponto crítico x = 3 e y = -1 é ponto de máximo 
O valor máximo de f(x,y) será 
 
4. Qual a equação do plano tangente ao 
parabolóide elíptico de equação 
no ponto (-1, 3, 2)? 
 
 
a) 2x + y – 2z – 4 = 0 
b) 3x – 2y + z - 8 = 0 
c) – 2x + 6y + 4z – 28 = 0 
d) x + y + z = 1 
e) 6x – 7y + z = 6 
Alternativa correta: Letra C 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 
38 
Comentário: A equação do plano tangente é 
 
 
 
Efetuando os cálculos encontramos a letra C como 
resposta. 
 
 
 
 
 
5. Calcule a integral dupla 
  
4
0
2/3
0
216
x
dydxx 
 
a) 30 
b) 31 
c) 32 
d) 33 
e) 34 
Alternativa correta: Letra C 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 
44 
Comentário: Calculando as integrais iteradas,a 
integral em relação a x precisa ser feita por 
substituição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Seja D a região interior ao trapézio de vértices (2, 
2); (4, 2); (5, 4) e (1. 4). Calcule 
D
xydxdy8 . 
a) 448 
b) 458 
c) 468 
d) 438 
e) 478 
Alternativa correta: Letra A 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 
44 
Comentário: Integrais iteradas, com x limitado por 
funções de y encontradas com os pontos acima. 
Esboço da região D auxilia na solução. 
 
 
 
 
 
 
 
7. Use a integral dupla para calcular a área da 
região D compreendida entre os gráficos das 
funções y = x e y = -x2 + x + 1, com – 1 ≤ x ≤ 1 
 
a) 2/3 
b) 3/5 
c) 4/9 
d) 5/6 
e) 4/3 
Alternativa correta: Letra E 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 
44 
Comentário: Integral dupla com y limitado pelas 
funções de x.Página 3 de 3 
 
CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): THIAGO ALBUQUERQUE 
 
 
8. Calcule o volume do sólido B formado pela 
interseção dos sólidos x ≤ z e z ≤ 1 – y2 e x ≥ 0 e y 
≥ 0. 
 
a) 2/15 
b) 7/15 
c) 8/15 
d) 1/15 
e) 4/15 
 
Alternativa correta: Letra E 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 
66 
Comentário: Integral tripla com z limitado pelas 
funções expressas e x limitado por função de y. 
 
 
 
 
 
 
9. Calcule a integral tripla 
  
2
0
1
0 0
2
)sin(
 x
dzdxdyyz 
 
a) 1/3 
b) 1/6 
c) 1/10 
d) 2/5 
e) 2/7 
Alternativa correta: Letra C 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 
66 
Comentário: Basta calcular as integrais iteradas na 
ordem apresentada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Calcule a massa do cilindro , 0 ≤ z 
≤ 1, admitindo que a densidade seja dada por 
 
 
a) π/2 
b) π/4 
c) π/6 
d) π/8 
e) π/9 
Alternativa correta: Letra B 
Identificação do conteúdo: Livro texto – BUP página 
73 
Comentário: calcular a integral tripla em coordenadas 
cilíndricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRADUAÇÃO EAD 
AV2 
GABARITO 
 2016.1B – 11/06/2016 
 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO VETORIAL 
PROFESSOR(A) BRAULIO ANCHIETA 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A C B E D A A E C B 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
1. Seja 
2225 yxz  . O domínio e a 
imagem da função são respectivamente: 
 
a)     5,025, 222 eyxRyx  
b)     5,0025, 222 eyxRyx  
c)     5,05, 222 eyxRyx  
d)     25,025, 222 eyxRyx  
e)     25,5025, 222 eyxRyx  
01. 
2225 yxz  . Domínio e imagem? 
Domínio da função – (domínio em R). 
25 – x2 – y2  0  - x2 – y2  - 25 (x(-1)) 
x2 + y2  25 (representa um disco de r = 5). 
D = {(x, y)  R2  x2 + y2  25} 
Imagem da função 
Para qq “x e y” temos x2 + y2 sempre positiva x2 + y2  
25 ou x2 + y2  52 
Nestas condições: 0  z  5 ou [0,5] 
I = [0, 5] 
Gabarito: A 
 
2. Considere as equações abaixo e identifique o 
gráfico correspondente a cada equação. 
(1) z = 5 (2) z = 9 – 2x – 3y (3) z = 2x2 + 2y2 
 
a) (1) Uma reta paralela ao plano xy. 
(2) Um plano definido pelos pontos (0,0,9); (0,3,0) 
e (4,5;0;0) 
(3) Uma superfície cônica. 
b) (1) Um plano paralelo ao eixo z. 
(2) Um cone de base circular com raio 5. 
(3) Um cone de base circular com raio 2. 
c) (1) Um plano paralelo ao plano formado por 
xy. 
(2) Um plano que pode ser definido pelos 
pontos (0,0,9), (0,3,0) e (4,5;0;0). 
(3) Uma superfície conhecida como 
paraboloide. 
d) (1) Uma reta paralela ao plano xy. 
(2) Um plano definido por três pontos quaisquer 
do R3. 
(3) Um cone de raio 2. 
e) (1) Um plano paralelo ao eixo z. 
(2) Um plano definido pelos pontos (0,0,0); (1,2,0) 
e (0,3,0) 
(3) Uma superfície conhecida como paraboloide. 
 
3. Dada a função 42xy) f(x, 4323  xyyxy , 
determinando a derivada parcial 
2
2
x
f


 , temos: 
 
 
a) 12 x y2 + 6xy3 
b) 12xy2+6xy4 
c) 3xy2 – 5xy4 
d) xy2-xy3 
 e) x2y3 
03. 
  ?.42,
2
2
4323 



x
f
xyyxyxyxf 
 
 
42
2
2
4222
2
2
2
2
4222
4323
612
36?
36
42?
xyxy
x
f
yyxyx
xx
f
xx
f
x
f
yyxyx
x
f
xyyxyx
xx
f
x
f


































 
Gabarito: B 
 
4. Sendo f(x, y) = 2x3y2+x3y4-xy+4. Determine 
xy
f
yx
f




 22
 
 
a) 12xy 
b) xy 
c) x+y 
d) 1 
e) zero 
04. 
  ?42,
22
4323 






xy
f
yx
f
xyyxyxyxf
 
Pelo Teorema de Schwartz temos: 
0,
2222











xy
f
yx
f
Então
xy
f
yx
f
 
GABARITO: E 
 
5 . O vetor gradiente da função f(x, y) = x2 + y2 no 
ponto (1, 3) é: 
 
a) (2;3) 
b) (2,0) 
c) (0,3) 
d) (2,6) 
e) (2,2) 
05. f(x, y) = x2 + y2 no ponto(1, 3) 
 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
 
  jifpontono
yxfouyjxif
y
y
f
ex
x
f
k
z
f
j
y
f
i
x
f
ff
623,1
2,222
22
?























 
GABARITO: D 
 
6. Um escoamento compressível é descrito pela 
função jxyeixevpf
tt 

 2 . 
(Unidades SI). 
 
Determine a taxa de variação da densidade p em 
relação ao tempo t (para t = 0), no ponto P (3, 2, 2). 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 5 
e) 8 
06.  SIjxycixcf tt 

 2 
0/? 


tp
t
p
 no ponto P (3, 2, 2) 
SOLUÇÃO 
Um escoamento compressível pode ser determinado 
pela equação da continuidade: 
0




t
p
fdiv , onde 

f é um Campo Vetor. 
Sabendo que 
z
f
y
f
x
f
fdiv










321 
 
Temos: 
 
tt
tt
xc
y
f
c
x
f
jxycixcdivfdiv










21 ,2
2
 
Substituindo na equação da Continuidade: 
 
  202
0/02










 
x
t
p
ou
t
p
x
tp
t
p
xcc tt
 
No ponto (3, 2, 2) tem-se x = 3 
1


t
p
 
GABARITO: A 
 
 
 
 
7. O volume do sólido, sob o gráfico da função f(x, 
y) = x + y e acima do domínio dado pelas 
desigualdades 0  x  4 e 0  y  4, em unidades 
apropriadas é: 
 
a) 64 
b) 12 
c) 120 
d) 18 
e) 40 
07. f (x, y) = x + y. Com 0  x  4 e 0  y  4 
   
4
0
4
0
?dxdyyx 
No caso, podemos optar por calcular quando das 
integrais inicialmente. 
   









 
4
0
4
0
4
0
2
4
0 2
dyyx
x
dydxyx 
  
    643232424.8
28
2
4848
2
4
0
4
0
2
4
0
2




  yy
y
ydyy
 
Resposta: 64 
GABARITO: A 
 
8. Considere a integral dada por 
   



5
0
2
2
4
0
2x
dydxdzzyx . Observe que esta 
integral pode ser identificada por uma simetria e a 
projeção do sólido que origina a região está no 
plano x z. Este sólido também está descrito 
como delimitado pela calha y = 4 – x2, o plano 
y = 0 (x z), o plano z = 5 e o plano z = 0 (x, y). Essa 
descrição determina os limites de integração. 
A integral acima descrita tem solução: 
 
a) 
5
156 
b) 
5
228 
c) 
5
333 
d) 
3
458 
e) 
3
656 
08.    


5
0
2
2
4
0
2
?
X
dydxdzzyx 
 
Como podemos observar os limites são: 
 0  y  4 – x2; - 2  x  2 e 0  z 5 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
Veja que para: - 2  x  2, constatamos que a 
projeção do sólido no plano xz é do tipo retangular. 
 
Por outro lado observamos que existe uma simetria em 
– 2  x  2, podendo escrever a integral assim: 
        
 

5
0
2
2
4
0
5
0
2
0
4
0
2 2
.2
x x
dzdydxzyxdydxdzzyx
 
Esta simetria pode ser interpretada:Resolvendo a integral: 
     



5
0
2
0
4
0
5
0
2
2
4
0
22 2
2
.2.2
x
x dxdzzy
y
xydydxdzzyx
 
     
5
0
5
0
2
2
0
233
5
0
45
223
4
5
0
2
0
5
0
2
0
2
22
2
15
188
30
80
2
15
188
15
80
2
84
2
4
33
4
410
2
8444
2
.2
4
2
4
4.2


 
 






























z
z
dz
z
dzxzx
xx
z
xxx
dxdzzxzxxx
x
x
dxdzxz
x
xx
 
Resposta: 
3
656 
 
GABARITO: E 
 
9. Se g é dada por x = cost e y = sent, com 0  t  
2, determinando 
     
g
dstsentdsyx
2
0
2222 2cos2 
temos: 
 
a)  
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) Zero 
 
 
09.      S dttsentdsyx
2
0
2222 2cos2 
p 0  t  2 e equações: x = cost e y = sent 
 
SOLUÇÃO: 
     S dttsentsentdttsent
2
0
22222 cos2cos
 
 
Sabemos que cos2t+sen2t = 1 e substituindo: 
   




 

 2
0
2
0
2
2
2cos1
11 dt
t
dttsent 
 
Substituímos a relação trigonométrica: 
2
2cos12 ttsen

 para resolver a integral 










 

tsensenu
du
u
du
dt
dt
du
tutdt
tdtttdt
t
2
2
1
2
1
2
cos
2
22?2cos
2cos
2
1
2
1
2
2cos1
1
0
2
2
0


 
 
Vamos substituir na expressão acima: 
 





303
4.
4
1
3
4
2
1
.
2
1
2.
2
1
2
2
2
1
.
2
1
2
1
2cos
2
1
2
1
0
2
0
2
ou
sen
sen
tsentt
tdttt










 
 
Resposta: 3 
GABARITO: C 
 
10. Um Campo Vetorial é definido por F(x, y) = (x – 
y) i + (x – 2) j verifique a alternativa abaixo que 
corresponde as condições deste campo: 
 
a) F é conservativo. 
b) F não é conservativo. 
c) F é um campo elétrico. 
d) F é um campo magnético. 
e) F é um campo gravitacional. 
10. F9x, y) = (x – y) i + (x – 2) j 
Sabemos que o campo F (x, y) acima é do tipo: 
5 
z 
-2 2 x 0 
(Plano xz) 
 
 
 Página 5 de 5 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
 
x
Q
y
P
ondeQjPiyxF





 ,, (F é 
conservativo). 
    121 











x
xx
Q
eyx
yy
P
 
Logo, F não é conservativo. 
GABARITO: B 
 
 
 
 
 
 
GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
 PROGRAMA RECUPERAÇÃO 2016.1 
 AV2 –15/07/2016 
 
 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO VETORIAL 
PROFESSOR(A) 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
MATRÍCULA POLO 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 B E B A B B D A D C 
 
 
 
 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resp osta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos d o aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
 Página 2 de 3 
 
CÁLCULO VETORIAL 
 
 
1. Considere a função z = 2x2 – 4y3 + 5x2y2. A 
derivada 
2
2
y
z
∂
∂
 é: 
 
a) 4x + 10y2 
b) – 24y + 10x2 
c) 20xy 
d) – 12y2 + 10x2 y 
e) – 3 + 4x2 
 
 2. Seja 
2221 zyxz −−−= . O valor de 
xy
z
yx
z
∂∂
∂−
∂∂
∂ 22
: 
 
a) xy 
b) x + y 
c) x 
d) y 
e) zero 
 
3. O vetor gradiente da função 
 zyxxz) y, f(x, 2 +++= no ponto P (1, 3, 1) é 
igual a: 
 
a) ( )0,41,49 
b) ( )1,41,49 
c) ( )0,21,23 
d) ( )1,21,23 
e) 1 
 
 
4. Um escoamento compressível é descrito pela 
função jxyeixevpf tt −−
→→
−== 2 . (Unidades 
SI). Determine a taxa de variação da densidade p 
em relação ao tempo t (para t = 0), no ponto P (3, 2, 
2). 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 5 
e) 8 
 
5. Considere a função constante de duas variáveis 
igual a unidade, ou seja, f (x, y) = 1. Seja “D” a 
região dada pelas desigualdades 0 ≤ x ≤ 1 e x2 ≤ y 
≤ x. O volume do sólido sob o gráfico da função e 
acima de “D” é dado por: (Em unidades de volume). 
 
 
a) 1/3 
b) 1/6 
c) 1/2 
d) 1/4 
e) 1/5 
 
6. Determine o valor da integral, ∫ ∫ ∫
S
dv onde “S” 
representa o sólido no primeiro octante delimitado 
pela calha x=4–y2 e pelos planos z = y, x = 0 e z = 0. 
 
a) 2 
b) 4 
c) 16 
d) 32 
e) 64 
 
7. Considere um campo de forças definido por 
( ) xyjixyxf −=
→
2, . Determine o trabalho 
realizado por este campo ao longo de um quarto 
de círculo r (t) = cost i + sent j, 0 ≤ t ≤ 2π. 
 
a) 1/3 
b) -1/3 
c) 2/3 
d) -2/3 
e) Zero 
 
8. Seja um campo vetorial definido por F (x, y) = (x + 
y) i + (x – 5) j. Verifique a alternativa abaixo que 
corresponde as condições deste campo. 
 
a) F é conservativo 
b) F não é conservativo 
c) F é um campo elétrico 
d) F é um campo magnético 
e) F é um campo gravitacional 
 
9. Determine o trabalho realizado pelo campo de 
forças definido por 
ƒ
 ao longo da curva , 
( ) 10,32 ≤≤++=
→→→
tktjtittr
 
de (0, 0, 0) a (1, 1, 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 3 de 3 
 
CÁLCULO VETORIAL 
 
 
a) 60/29 
b) 29/6 
c) 92/6 
d) 29/60 
e) 92/60 
 
10. Determine todos os pontos nos quais a direção 
da maior taxa de variação da função f(x, y) = x2 + y2 
– 2x – 4y seja (1, 1). 
 
a) (1, 2) e (3, 4) 
b) (1, 2) 
c) Todos os pontos da reta y = x + 1 
d) (3, 4) e (2, 1) 
e) Todos os pontos do plano z = 3 
 
 
 Página 1 de 2 
 
 
 
 
GRADUAÇÃO EAD 
SEGUNDA CHAMADA 2018.2B 
 15/12/2018 
 
QUESTÃO 1. 
 
 Vários mapas de contorno foram entregues, em um determinado setor de planejamento de obras, um deles era 
de urgência. A única informação dada para localização do mapa que, para análise de emergência, seria o 
domínio da função de duas variáveis , definida no conjunto dos números reais, que 
define as curvas de contorno. Sendo assim, assinale a alternativa que apresenta o domínio da função z. 
 
 
R: 
 
QUESTÃO 2. 
 
As taxas de variações podem ser encontradas mediante as derivadas em relação às variáveis x e y da função 
f(x,y)= x²+ 2y³ +x³y². Apresente, respectivamente, a variação de fx no ponto (2, 1) e fy no ponto (2,1). 
 
R: 16 e 22 
 
QUESTÃO 3. 
 
Em um campo de energia, os vetores presentes estão em constante movimento. Seguindo a função 
F(x,y,z)=xyzi−x²yk, que representa o campo vetorial, determine o divergente deste campo. 
 
R: div= yz 
 
QUESTÃO 4. 
 
Seja a equação x²+ y² = k, e seu gráfico de revolução, uma paraboloide, como a representação abaixo sugere. 
 
 
 
Determine, respectivamente, os raios dos círculos para k=1 e k=3. 
 
 
R: 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO VETORIAL 
 Página 2 de 2 
 
QUESTÃO 5. 
 
Seja , onde C é formada pelo arco da parábola y= x² de (0,0) a (1,1) seguido pelo segmento de 
reta vertical de (1,1) a (1,2), marque a alternativa que apresenta . 
 
 
 
R: 
 
 
QUESTÃO 6. 
Determine a derivada parcial da função f(x,y)= x³+ x²y³- 2y². 
 
R: 6x+ 2y³ 
 
QUESTÃO 7. 
Seja a função de duas variáveis , determine a derivada de primeira ordem fy. 
 
 
R: 
 
QUESTÃO 8. 
Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos, respectivamente, da função no 
retângulo 
 
R: 9 e 0 
 
QUESTÃO 9. 
(Adaptada- STEWART) Utilizando o teorema de Green, calcule , onde C é a curva triangular 
constituída pelos segmentos de reta de (0,0) a (1,0), de (1,0) a (0,1), e de (0,1) a (0,0). 
 
R: 1/6 
 
QUESTÃO 10. 
 
As curvas de nível, com suas respectivas cotas,representam uma função f. Realize uma estimativa para f(3,3). 
 
 
R: 55 
 
 
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GRUPO SER EDUCACIONAL 
GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
SEGUNDA CHAMADA - 2017.2B 
16/12/2017 
 
 
 
 
 
1. A derivada direcional Du f(1,1) representa a taxa 
de variação de z na direção de u. Sendo u o vetor 
unitário dado pelo ângulo , dada a função f (x, 
y) = x³ -3xy + 4y². Determine a derivada direcional 
de f(1,1). 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
Alternativa correta : Letra B 
Identificação de conteúdo : Derivadas Direcionais 
Comentário :Calcular as derivadas em função de x e 
y, no ponto (1,1) e substituir na equação. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Seja F(x,y,z) uma função com três variáveis, 
represente respectivamente as derivadas parciais: 
Fx, Fy e Fz. 
Dado F(x, y, z)= ln( x + 2y + 3z) 
 
a) Fx= 1/ ( x + 2y + 3z), Fy= 2/ ( x + 2y + 3z), Fz= 1/ ( 
x + 2y + 3z) 
 
b) Fx= 1/ ( x + 2y + 3z), Fy= y/ ( x + 2y + 3z), Fz= 1/ ( 
x + 2y + 3z) 
 
c) Fx= x/ ( x + 2y + 3z), Fy= 2/ ( x + 2y + 3z), Fz= 3/ ( 
x + 2y + 3z) 
 
d) Fx= 1/ ( x + 2y + 3z), Fy= 2/ ( x + 2y + 3z), Fz= 3/ 
( x + 2y + 3z) 
 
e) Fx= 1/ ( x + 2y + 3z) , Fy= xy/ ( x + 2y + 3z), Fz= 
3/ ( x + 2y + 3z) 
Alternativa correta : Letra D. 
Identificação de conteúdo : Derivadas Parciais de 
funções de várias variáveis. 
Comentário : Derivar uma variável por vez e as 
demais se tornam constantes. 
 
3. Determine a derivada de ordem superior, sendo 
f xxyz se f (x, y, z)= sen(3x+yz). 
 
a) fxxyz= -9z cos(3x+ yz) 
b) fxxyz= 3 cos(3x+ yz) 
GABARITO 
QUESTÕES COMENTADAS 
Disciplina CÁLCULO VETORIAL 
Professor (a) KARLA ADRIANA 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
B D C C B A A B D D 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA 
 
 
c) fxxyz= -9 cos(3x+ yz) + 9yz sen(3x + yz) 
d) fxxyz= -9 sen(3x+ yz) 
e) fxxyz= -9z sen(3x+ yz) + 9yz sen(3x + yz) 
Alternativa correta : Letra c. 
Identificação de conteúdo : Derivadas parciais de 
ordem superior. 
Comentário : Derivar em relação a x, y e z serão 
constantes, ou seja, em cada derivação em relação a 
uma variável, as demais serão constantes. 
 
4. Calcule a integral dupla onde 
R= {(x, y)/ 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}. 
 
a) -7 
b) -3 
c) -12 
d) -4 
e) -16 
Alternativa correta : Letra c. 
Identificação de conteúdo : Integrais duplas 
Comentário : Resolver a integral de uma variável por 
vez, respeitando os intervalos de integração. 
 
5. Dada função f(x,Y) = 4y³+ , determine 
a derivada parcial em relação a y, aplicando um 
teorema de derivação ordinária. 
 
a) 
 
b) 12y²+ 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
Alternativa correta : Letra B 
Identificação de conteúdo : Derivadas Parciais 
Comentário : Derivar em relação a y, x será uma 
constante. Utilizando um teorema de derivação, 
podemos substituir a raiz pelo expoente ½, 
 
 
6. Determine o volume do sólido que é limitado 
pelo cone z e abaixo da esfera x² + 
y²+ z²= 2 . 
 
 
 
 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
Alternativa correta : Letra A 
Identificação de conteúdo : Integrais cilíndricas 
Comentário : O volume será dado pela integral tripla. 
 
7. Pesquisadores resolveram explorar uma caverna. 
Um deles registrou as temperaturas do ambiente ao 
longo do percurso. Suponha que a temperatura em 
um determinado ponto (x, y, z) do espaço seja dada 
por T(x, y, z)= 80/(1+x²+ 2y²+ 3z²), onde T é medido 
em graus Celsius e x, y, z em metros. Em que 
direção no ponto (1, 1, -2) a temperatura aumenta 
mais rapidamente. 
 
a) (-i -2j+ 6k) 
 
b) (2j+ 6k) 
 
c) (-i -2j) 
 
d) (-i -2j+ 6k) 
 
e) (i +2j+ 6k) 
Alternativa correta : Letra A. 
Identificação de conteúdo : Vetor Gradiente 
Comentário : Determinar o vetor gradiente de T. 
Determinar as derivadas em relação à x, y e z. 
 
8. Uma criança lançou um peão e curiosamente ele 
parou em uma posição perpendicular a um plano. 
Curiosamente um matemático analisou a situação e 
desenhou o esquema a seguir: 
 
 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA 
 
 
 
Dado as informações contidas no esquema, 
determine a integral tripla de ( X² + Y²). 
 
a) 5 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
Alternativa correta : Letra B 
Identificação de conteúdo: Vetor Gradiente 
coordenadas cilíndricas 
Comentário: Primeiro deve-se determinar os 
intervalos: e = { (x, y, z) / -2 ≤ x ≤ 2, 
- ≤ y ≤ , ≤ 2 }. 
Depois descrevê-lo em coordenadas cilíndricas. 
 
9. Um arame de cobre tem o formato de um 
semicírculo x² + y² =1, y ≥ 0, é mais grosso perto da 
base do que perto do topo. Determine o centro de 
massa aproximado desse arame, se a função 
densidade linear em qualquer ponto for 
proporcional à sua distância à reta y=1 
 
a) (0, 8) 
b) (0; 0,42) 
c) (1; 0,38) 
d) (0; 0,38) 
e) (0; 0,1) 
 
Alternativa correta : Letra D 
Identificação de conteúdo : Integrais de linha 
Comentário: Determinar os intervalos no gráfico e 
resolver as integrais da função dada, e encontrar a 
imagem no ponto informado 
 
 
 
 
10. Seja D o conjunto de pares ordenados reais e F 
uma função de duas variáveis que associa, a cada 
par (x,y) em D um número real. Seguindo essa 
definição de domínio de uma função, apresente o 
domínio da seguinte função: 
F (x, y)= 
 
a) D (f)= { (x, y) / y< x² } 
b) D (f)= { (x, y) / y= x² } 
c) D (f)= { (x, y) / y > x² } 
d) D (f)= { (x, y) / y ≠ x² } 
e) D (f)= { (x, y) / y ≥ x²} 
Alternativa correta : Letra D. 
Identificação de conteúdo: Funções com duas 
variáveis 
Comentário: Para determinar o intervalo, deve-se 
analisar o denominador da fração, resolvendo a 
inequação do radicando. 
 
 Página 1 de 5 
 
 
 
 
GRUPO SER EDUCACIONAL 
GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
FINAL - 2016.2B – 17/12/2016 
 
 
 
 
 
 
1. Se a função indica a distribuição de temperatura sobre uma placa retangular 
situada no plano xy e uma partícula está parada no ponto (- 3, 1), que vetor indica a direção que essa 
partícula precisa seguir para se aquecer mais rápido? 
 
a) -6i + 4j 
b) 4i – 6j 
c) -6i + 2j 
d) 2i – 5j 
e) 6i – 3j 
Alternativa correta: Letra C. 
Identificação do conteúdo: BUP página 115. 
Comentário: Resposta letra C, o vetor gradiente da função no ponto indica sua direção de maior crescimento. 
 
 
 
2. O volume de um cone circular é dado por , com s sendo o comprimento da 
geratriz e y o diâmetro da base. Qual a taxa de variação do volume em relação à geratriz no ponto s = 10 
cm se o diâmetro é mantido constante com o valor de y = 16 cm enquanto a geratriz varia? 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra A. 
Identificação do conteúdo: BUP página 36. 
 
 
GABARITO 
QUESTÕES COMENTADAS 
Disciplina CÁLCULO VETORIAL 
Professor (a) THIAGO ALBUQUERQUE 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
C A A C A A E A C C 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): THIAGO ALBUQUERQUE 
 
 
Comentário: Derivando V parcialmente em relação a s e substituindo os valores encontramos a taxa, resposta 
letra A. 
 
Substituindo os valores de y e s, temos: 
 
 
3. Dada a função , qual o extremo relativo dessa função? 
 
a) -9/8 mínimo 
b) 9/8 máximo 
c) -9/8 máximo 
d) 9/8 mínimo 
e) 1 máximo 
Alternativa correta: Letra A. 
Identificação do conteúdo: BUP página 38. 
Comentário: Aplicação de derivadas parciais, ponto crítico (3, -1) Resposta letra A. 
 
 
 
Para o ponto (0, 1): 
 
Esse ponto não é extremo da função 
Para o ponto (1/2, 1) 
 
Como temos um ponto de mínimo da função. 
Para o ponto (-1/2, 1) 
 
Como temos um ponto de mínimo da função. 
O valor mínimo de f(x,y) será 
 
4. Qual a equação do plano tangente ao parabolóide elíptico de equação no ponto (-1, 
3, 2)? 
 
a) 2x + y – 2z – 4 = 0 
b) 3x – 2y + z - 8 = 0 
c) – 2x + 6y + 4z – 28 = 0 
d) x + y + z = 1 
e) 6x – 7y + z = 6 
Alternativa correta: Letra C. 
Identificação do conteúdo: BUP página 38.Página 3 de 5 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): THIAGO ALBUQUERQUE 
 
Comentário: A equação do plano tangente é 
. Efetuando os cálculos 
encontramos a letra C como resposta. 
 
 
 
 
5. Calcule a integral dupla ∫ ∫−
2
1
2
0
32 dydxyx 
a) 12 
b) 13 
c) 14 
d) 15 
e) 16 
Alternativa correta: Letra A. 
Identificação do conteúdo: BUP página 44. 
Comentário: Calculando as integrais iteradas, pode-se calcular tanto na ordem dxdy ou dydx (cuidado com os 
limites de integração), resposta letra A. 
 
6. Seja D a região interior ao trapézio de vértices (2, 2); (4, 2); (5, 4) e (1. 4). Calcule ∫∫
D
xydxdy8 . 
a) 448 
b) 458 
c) 468 
d) 438 
e) 478 
Alternativa correta: letra A. 
Identificação do conteúdo: BUP página 44 
Comentário: Integrais iteradas, com x limitado por funções de y encontradas com os pontos acima. Esboço da 
região D auxilia na solução. Resposta letra A. 
 
 
7. Use a integral dupla para calcular a área da região D compreendida entre os gráficos das funções y = 
x2 e y = 4x - x2 . 
 
a) 2/3 
b) 3/5 
c) 4/9 
d) 5/6 
e) 8/3 
Alternativa correta: letra E. 
Identificação do conteúdo: BUP página 44. 
Comentário: Integral dupla com y limitado pelas funções de x. Resposta letra E. 
 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): THIAGO ALBUQUERQUE 
 
8. Calcule o volume do sólido B formado pela interseção dos sólidos e 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Alternativa correta: Letra A. 
Identificação do conteúdo: BUP página 66. 
Comentário: Integral tripla com z limitado pelas funções expressas e x limitado por função de y. Resposta letra 
A. 
 
Nível da questão: Difícil. 
9. Calcule a integral tripla ∫ ∫ ∫
2
0
1
0 0
2
)cos(
π x
dzdxdyyx 
a) 1/3 
b) 1/6 
c) 1/4 
d) 2/5 
e) 2/7 
Alternativa correta: letra C. 
Identificação do conteúdo: BUP página 66. 
Comentário: Basta calcular as integrais iteradas na ordem apresentada, resposta letra C. 
 
 
10. Calcule, usando coordenadas esféricas, o volume de uma esfera de raio a. 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
 
e) 
Alternativa correta: Letra C. 
Identificação do conteúdo: BUP página 73. 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): THIAGO ALBUQUERQUE 
Comentário: calcular a integral tripla em coordenadas esféricas, resposta letra C. 
 
 
 
 
 
GRADUAÇÃO EAD 
SEGUNDA CHAMADA 
GABARITO 
 2016.1B – 18/06/2016 
 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO VETORIAL 
PROFESSOR(A) BRAULIO ANCHIETA 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
MATRÍCULA POLO 
 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 D B B E D A B B D A 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resp osta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos d o aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
1. Dada a função 
222x-4
4xyz
z) y, f(x,
zy −−
= . Observe as afirmações sobre o maior subconjunto de R3 
que define a função dada. (Domínio de f = D). 
 
I. D = {(x, y, z) ∈∈∈∈ R3  x2 + y2 + z2 < 4} 
II. D = {(x, y, z) ∈∈∈∈ R3  - x2 - y2 - z2 ≥≥≥≥ 4} 
III. O gráfico de D é uma esfera de centro na origem e raio 4. 
IV. O gráfico de D é uma esfera de centro na origem e raio 2. 
 
Sobre a s afirmações, podemos concluir que são verdadeiras: 
 
a) II e IV 
b) I e III 
c) II e III 
d) I e IV 
e) III e IV 
 A FUNÇÃO DADA 
222x-4
4xyz
 = z) y, f(x,
zy −− 
As afirmações se referem ao domínio e/ou o gráfico do domínio da função. 
(1) Domínio D 
Para que a função “f” descrita seja uma função real, temos: 
4
4
04
222
222
222
<++
−>−−−
>−−−
zyx
zyx
zyx
 
( ){ }4,, 2223 <++∈= zyxRzyxD 
(2) Gráfico de D 
 Encontramos 2222 2<++ zyx que representa uma esfera de raio 2. 
 Lembre-se: Equação da esfera é x2 + y2 + z2 = R2 
CONCLUSÃO: 
 As únicas afirmações verdadeiras são I e IV. 
GABARITO: D 
 
2. Determine fxxyz para a função f(x, y, z) = sen(3x+yz) 
 
a) xyz sen (3x+yz) 
b) 9(yz sen(3x+yz) – cos (3x+yz)) 
c) xyz cos (3x+yz) 
d) 3 (xyz sen (3x+yz) – cos (3x+yz)) 
e) xy sen (3x+yz) – xyz cos (3x+yz) 
 
02- fxxyz = ? f (x, y, z) = sen (3x+yz) 
Resolução: fx = 3Cos(3x+yz) : . fxx = - 9 sen (3x+yz). 
fxxy = - 9z Cos (3x+yz) : . fxxyz = - 9Cos (3x+yz) + 9yz sen (3x+yz) 
Resposta: 9(yz sen (3x+yz) – cos (3x+yz)) 
RESPOSTA: LETRA “ B “ 
3. Dada a função 42xy) f(x, 4323 +−+= xyyxy , determinando a derivada parcial 
2
2
x
f
∂
∂
 , temos: 
a) 12 x y2 + 6xy3 
b) 12xy2+6xy4 
c) 3xy2 – 5xy4 
 
 
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d) xy2-xy3 
 e) x2y3 
03. 
( ) ?.42,
2
2
4323 =
∂
∂+−+=
x
f
xyyxyxyxf
 
( )
( )
42
2
2
4222
2
2
2
2
4222
4323
612
36?
36
42?
xyxy
x
f
yyxyx
xx
f
xx
f
x
f
yyxyx
x
f
xyyxyx
xx
f
x
f
+=
∂
∂
−+
∂
∂=





∂
∂
∂
∂=
∂
∂∴=
∂
∂
−+=
∂
∂
+−+
∂
∂=
∂
∂∴=
∂
∂
 
Gabarito: B 
4. Sendo f(x, y) = 2x3y2+x3y4-xy+4. Determine 
xy
f
yx
f
∂∂
∂−
∂∂
∂ 22
 
a) 12xy 
b) xy 
c) x+y 
d) 1 
e) zero 
04. 
( ) ?42,
22
4323 =
∂∂
∂−
∂∂
∂+−+=
xy
f
yx
f
xyyxyxyxf
 
Pelo Teorema de Schwartz temos: 
0,
2222
=
∂∂
∂−
∂∂
∂
∂∂
∂=
∂∂
∂
xy
f
yx
f
Então
xy
f
yx
f
 
GABARITO: E 
 
5. O vetor gradiente da função f(x, y) = x2 + y2 no ponto (1, 3) é: 
 
a) (2;3) 
b) (2,0) 
c) (0,3) 
d) (2,6) 
e) (2,2) 
05. f(x, y) = x2 + y2 no ponto(1, 3) 
( )
( ) jifpontono
yxfouyjxif
y
y
f
ex
x
f
k
z
f
j
y
f
i
x
f
ff
623,1
2,222
22
?
+=∇∴
=∇+=∇
=
∂
∂=
∂
∂






∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇=∇
 
GABARITO: D 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
6. Um escoamento compressível é descrito pela função jxyeixevpf tt −−
→→
−== 2 . (Unidades SI). 
Determine a taxa de variação da densidade p em relação ao tempo t (para t = 0), no ponto P (3, 2, 2). 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 5 
e) 8 
 
06. ( )SIjxycixcf tt −−
→
−= 2 
0/? ==
∂
∂
tp
t
p
 no ponto P (3, 2, 2) 
SOLUÇÃO 
Um escoamento compressível pode ser determinado pela equação da continuidade: 
0=
∂
∂+
→
t
p
fdiv , onde 
→
f é um Campo Vetor. 
Sabendo que 
z
f
y
f
x
f
fdiv
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
→
321 
Temos: 
( )
tt
tt
xc
y
f
c
x
f
jxycixcdivfdiv
−−
−−
→
−=
∂
∂
=
∂
∂
−=
21 ,2
2
 
Substituindo na equação da Continuidade: 
( )
( ) 202
0/02
−=
∂
∂=
∂
∂+−
==
∂
∂+− −−
x
t
p
ou
t
p
x
tp
t
p
xcc tt
 
No ponto (3, 2, 2) tem-se x = 3 
1=
∂
∂
t
p
 
GABARITO: A 
 
7. Considere a função constante de duas variáveis igual a unidade, ou seja, f (x, y) = 1. Seja “D” a região dada 
pelas desigualdades 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1 e x2 ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ x. O volume do sólido sob o gráfico da função e acima de “D” é dado 
por: 
(Em unidades de volume): 
 
a) 3
1 
b) 6
1 
c) 2
1 
d) 4
1 
e) 5
1 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIOANCHIETA 
 
 
07. 
 
 
Temos um caso típico de integral dupla: 
( ) ( )( )∫ ∫ ∫ ∫ 


=
D
b
a
y
y
dxdyyxfdxdyyxf
x
x
)(2
1
,, 
∫ ∫ 


1
0 2
1 dxdy
x
x
, resolvendo a integral interna. 
]∫ −==
x
x
x
x xxydy2 2
2 , substituindo. 
( )∫ =−=


−=−
1
0
1
0
32
2
6
1
3
1
2
1
32
xx
dxxx 
GABARITO: B 
 
Obs.: 1º) Você pode considerar a área entre y = x2 e y = x. 
 2º) O volume obtido com a descrição da área. 
 
8. Determine o valor da integral ∫ ∫ ∫
S
dv, onde “S” representa o sólido no primeiro octante delimitado pela 
calha x=4–y2 e pelos planos z = y, x = 0 e z = 0. 
 
a) 2 
b) 4 
c) 16 
d) 32 
e) 64 
08. 
∫ ∫ ∫ ===−==
S
zexyzeyxdv 00,4? 2 
(1) A região de integração pode ser descrita por: 
0 ≤ x ≤ 4 – y2; 0 ≤ y ≤ 2; 0 ≤ z ≤ y 
 
(2) Armando a integral iterada: 
[ ] ( ) ( )
448
4
2
42
4
44.
2
0
4
2
2
0
42
2
0
2
0
2
0
324
0
2
0
4
0
2
0
4
0
2
0
4
00
2
0
4
0 0
2
2 2 2
2
=−=


−=


−
−=−=



==




∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫
∫ ∫ ∫
−
− − −
−
y
y
yy
dyyydyyydyxy
dyydxydxdydxdydz
dzdxdy
y
y y yy
Y y
 
 
GABARITO: B 
 
9. Considere um campo de forças definido por ( ) xyjixyxf −=
→
2, . Determine o trabalho realizado por este 
campo ao longo de um quarto de círculo r(t) = cost i + sent j, 0 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ 2ππππ. 
 
a) 3
1 
( ) xyxexyxf ≤≤≤≤= 210.1,
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
b) 3
1− 
c) 3
2 
d) 3
2− 
e) Zero 
09. 
f = x2i – xyj é o campo. 
r(t) = Costi + Sentj com 0 ≤ t ≤ 2π,é a curva. 
O trabalho ao longo de um quarto de círculo? 
 
 
SOLUÇÃO: 
( )( ) ( )
( )( )
( ) CostjSentitr
CostSentjtiCostrf
dttrtrfrdf
b
a
+−=
−=
=∫ ∫
→→
1
2
1.
 
O produto: 
(Cos2t i; - Cost Sentj) . (- Sent i; Cost J). 
- Cos2t Sent – Cos2t Sent 
- 2 Cos2t Sent 
( )∫ ∫−=−
2/
0
2/
0
22 22
π π
dtSenttCosdtSenttCos 
Fazendo 
Sent
du
dtSent
dt
du
Costu −=∴−=∴= 
( ) 32103
2
0cos
2
cos
3
2
3
2
3
22
22
33
2/
0
3
2/
0
3
2
0
2
2/
0
22/
0
2
−=−=





 −=








=



==





−−=−=
∫
∫∫
π
π
ππ
ππ
tCos
u
duu
Sent
du
SentutSentdtCos
 
GABARITO: D 
 
10. Podemos considerar como uma das contribuições do Teorema de Green. O Campo Vetorial definido por F 
(x, y) = (3+2xy) i + (x2 – 3y2) j é considerado um campo: 
 
a) Conservativo. 
b) Não conservativo. 
c) Eletromagnético. 
d) Eletrostático. 
e) Gravitacional. 
10. ( ) ( ) ( ) jxixyyxf 323, 2 −++=
→
 
O Campo Vetorial 
→
f é do tipo: 
 
 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL PROFESSOR (A): BRAULIO ANCHIETA 
 
 
0:, =
∂
∂=
∂
∂+=
→
x
Q
y
P
ondeQjPif (é conservativo) 
 
( ) ( ) xx
xx
Q
exxy
yy
P
23223 2 =−
∂
∂=
∂
∂=+
∂
∂=
∂
∂
 
Então 
→
f é conservativo 
 
GABARITO: A 
 
 
 
 GRADUAÇÃO EAD 
 GABARITO 
 PROGRAMA RECUPERAÇÃO 2016.1 
 FINAL – 23/07/2016 
 
 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO VETORIAL 
PROFESSOR(A) 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
MATRÍCULA POLO 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 A C B E D A A E C B 
 
 
 
 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resp osta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos d o aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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CÁLCULO VETORIAL 
 
 
1. Seja 
2225 yxz −−= . O domínio e a 
imagem da função são respectivamente: 
 
a) ( ){ } [ ]5,025, 222 eyxRyx ≤+∈ 
b) ( ){ } [ ]5,0025, 222 eyxRyx ≥−−∈ 
c) ( ){ } [ ]5,05, 222 eyxRyx ≤+∈ 
d) ( ){ } [ ]25,025, 222 eyxRyx ≤+∈ 
e) ( ){ } [ ]25,5025, 222 eyxRyx =−+∈ 
 
2. Considere as equações abaixo e identifique o 
gráfico correspondente a cada equação. 
(1) z = 5 (2) z = 9 – 2x – 3y (3) z = 2x2 + 2y2 
 
a) (1) Uma reta paralela ao plano xy. 
(2) Um plano definido pelos pontos (0,0,9); (0,3,0) 
e (4,5;0;0) 
(3) Uma superfície cônica. 
b) (1) Um plano paralelo ao eixo z. 
(2) Um cone de base circular com raio 5. 
(3) Um cone de base circular com raio 2. 
c) (1) Um plano paralelo ao plano formado por 
xy. 
(2) Um plano que pode ser definido pelos 
pontos (0,0,9), (0,3,0) e (4,5;0;0). 
(3) Uma superfície conhecida como 
paraboloide. 
d) (1) Uma reta paralela ao plano xy. 
(2) Um plano definido por três pontos quaisquer 
do R3. 
(3) Um cone de raio 2. 
e) (1) Um plano paralelo ao eixo z. 
(2) Um plano definido pelos pontos (0,0,0); (1,2,0) 
e (0,3,0) 
(3) Uma superfície conhecida como paraboloide. 
 
3. Dada a função 42xy) f(x, 4323 +−+= xyyxy , 
determinando a derivada parcial 
2
2
x
f
∂
∂
 , temos: 
 
a) 12 x y2 + 6xy3 
b) 12xy2+6xy4 
c) 3xy2 – 5xy4 
d) xy2-xy3 
 e) x2y3 
 
4. Sendo f(x, y) = 2x3y2+x3y4-xy+4. Determine 
xy
f
yx
f
∂∂
∂−
∂∂
∂ 22
 
 
 
 
a) 12xy 
b) xy 
c) x+y 
d) 1 
e) zero 
 
5 . O vetor gradiente da função f(x, y) = x2 + y2 no 
ponto (1, 3) é: 
 
a) (2;3) 
b) (2,0) 
c) (0,3) 
d) (2,6) 
e) (2,2) 
 
6. Um escoamento compressível é descrito pela 
função jxyeixevpf tt −−
→→
−== 2 . 
(Unidades SI). 
 
Determine a taxa de variação da densidade p em 
relação ao tempo t (para t = 0), no ponto P (3, 2, 2). 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 5 
e) 8 
 
7. O volume do sólido, sob o gráfico da função f(x, 
y) = x + y e acima do domínio dado pelas 
desigualdades 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 4 e 0 ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ 4, em unidades 
apropriadas é: 
 
a) 64 
b) 12 
c) 120 
d) 18 
e) 40 
 
8. Considere a integral dada por 
( )∫ ∫ ∫
−
−
++
5
0
2
2
4
0
2x
dydxdzzyx . Observe que esta 
integral pode ser identificada por uma simetria e a 
projeção do sólido que origina a região está no 
plano x z. Este sólido também está descrito 
como delimitado pela calha y = 4 – x2, o plano 
y = 0 (x z), o plano z = 5 e o plano z = 0 (x, y). Essa 
descrição determina os limites de integração. 
A integral acima descrita tem solução: 
 
a) 5
156 
 
 
 Página 3 de 3 
 
CÁLCULO VETORIAL 
 
 
b) 5
228 
c) 5
333 
d) 3
458 
e) 3
656 
 
9. Se g é dada por x = cost e y = sent, com 0 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ 
2ππππ, determinando 
( ) ( )∫ ∫ +=+
g
dstsentdsyx
π2
0
2222 2cos2 
temos: 
 
a) π 
b) 2π 
c) 3ππππ 
d) 4π 
e) Zero 
 
10. Um Campo Vetorial é definido por F(x, y) = (x – 
y) i + (x – 2) j verifique a alternativa abaixo que 
corresponde as condições deste campo: 
 
a) F é conservativo. 
b) F não é conservativo. 
c) F é um campo elétrico. 
d) F é um campo magnético. 
e) F é um campo gravitacional.