Aula - 4 - A Transformada de Laplace

Prévia do material em texto

Sinais e Sistemas
Engenharia de Controle e Automação
Universidade Federal de Lavras
Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosa
Notas de Aula 4 – A Transformada de Laplace
Sumário
• A Transformada de Laplace e suas Propriedades
• Solução de Equações Diferenciais
• Diagramas de Blocos
• Aplicação em Controle Malha Fechada
• Resposta em Frequência e o Diagrama de Bode
• Projeto de Filtros
Equações Diferenciais
• Os sistemas LCIT
▫ Equações diferenciais:
Análise no Domínio do Tempo
• Resposta à Entrada Externa – Caso Contínuo
▫ Condições iniciais nulas e largura do pulso 
tendendo a zero
?
Análise no Domínio do Tempo
• Resposta à Entrada Externa – Caso Contínuo
▫ Assim:
� Conhecendo a resposta ao impulso, é possível obter a 
resposta do sistema (LIT) a qualquer entrada
Integral de Convolução!
Análise no Domínio do Tempo
• Resposta à Entrada Externa – Caso Contínuo
▫ Condições iniciais nulas e largura do pulso 
tendendo a zero
?
E se a entrada for 
uma exponencial 
complexa est ?
Análise no Domínio do Tempo
• Resposta à uma exponencial complexa
▫ Considerando uma entrada exponencial complexa
Análise no Domínio do Tempo
• Resposta à uma exponencial complexa
Autovalor Autofunção
Função de Transferência!
A Transformada de Laplace
• Dual em relação à análise no domínio do tempo
• No domínio do tempo quebramos a entrada em 
impulsos
• No domínio da frequência quebramos a entrada 
em exponenciais complexas est
• A Transformada de Laplace é a ferramenta que 
mapeia o comportamento de sinais e sistemas do 
domínio do tempo para domínio da frequência
A Transformada de Laplace
• Análise no domínio do tempo
• Análise no domínio da frequência
h(t)
x(t) y(t)
H(s)x(t) y(t)L L 
-1
X(s) Y(s)
A Transformada de Laplace
• Definição
▫ A Transformada de Laplace mapeia uma função em 
t para uma função em s
▫ Duas variantes
� Bilateral
� Unilateral
Notação:
A Transformada de Laplace
• Exemplo: Encontre a TL de x1(t)
Região de Convergência
A integral converge se:
A Transformada de Laplace
• Exemplo: Encontre a TL de x2(t)
A Transformada de Laplace
• Exemplo: Encontre a TL de x2(t)
A Transformada de Laplace
• Exemplo: Encontre a TL de x3(t)
A Transformada de Laplace
• Exemplos
Função no tempo Transformada de Laplace
Este problema ocorre apenas na bilateral...
A Transformada de Laplace
• Exemplo: Encontre a TL de x4(t)
A Transformada de Laplace
• Exemplo: Encontre a TL de x4(t)
Sinal Par!
A Transformada de Laplace
• Interpretação no domínio do tempo:
A Transformada de Laplace
• Interpretação no domínio do tempo:
A Transformada de Laplace
• Interpretação no domínio do tempo:
A Transformada de Laplace
• Interpretação no domínio do tempo:
A Transformada de Laplace
• A TL seguinte pode representar quantos sinais?
A Transformada de Laplace
• A TL seguinte pode representar quantos sinais?
A Transformada de Laplace
• Mais alguns exemplos:
A Transformada de Laplace
• Mais alguns exemplos:
Tabela da Transformada de 
Laplace
Tabela da Transformada de 
Laplace
Tabela da Transformada de 
Laplace
A Transformada Inversa de Laplace
• Transformar uma equação no domínio s para o 
domínio de t
• Definição:
• Integração no plano complexo...
• Uso de Tabelas!
A Transformada Inversa de Laplace
• Exemplo:
▫ Determine a transformada inversa de Laplace de:
• Tabela?
• Método de Expansão em Frações Parciais
A Transformada Inversa de Laplace
• A maioria dos sinas X(s) são racionais:
• As raízes de P(s) são chamadas de zeros
• As raízes de Q(s) são chamadas de pólos
A Transformada Inversa de Laplace
• A maioria dos sinas X(s) são racionais:
• X(s) é chamada de função estritamente própria se n>m
• X(s) é chamada de função própria se n=m
• X(s) é chamada de função imprópria se n<m
A Transformada Inversa de Laplace
• Método de Expansão em Frações Parciais 
(funções estritamente próprias)
A Transformada Inversa de Laplace
• Método de Expansão em Frações Parciais (funções 
estritamente próprias – raízes múltiplas)
A Transformada Inversa de Laplace
• Método de Expansão em Frações Parciais (funções 
estritamente próprias – raízes múltiplas)
A Transformada Inversa de Laplace
• Método de Expansão em Frações Parciais (funções 
estritamente próprias – raízes múltiplas)
A Transformada Inversa de Laplace
• Método de Expansão em Frações Parciais (funções 
estritamente próprias – raízes complexas)
▫ Completar os quadrados
A Transformada Inversa de Laplace
• Método de Expansão em Frações Parciais (funções 
estritamente próprias – raízes complexas)
A Transformada Inversa de Laplace
• Método de Expansão em Frações Parciais (funções 
estritamente próprias – raízes complexas)
▫ Tabela de Transformadas?
A Transformada de Laplace
• Propriedades
▫ Deslocamento no tempo
▫ Deslocamento na Frequência
▫ Diferenciação no Tempo e na Frequência
▫ Integração no Tempo e na Frequência
▫ Escalonamento
▫ Convolução no Tempo e na Frequência
▫ Valor Inicial e Valor Final
Propriedades da Transformada de Laplace
• Deslocamento no tempo
Prove!
Propriedades da Transformada de Laplace
• Deslocamento no tempo
▫ Exemplo 4.5. Encontre a TL de
Propriedades da Transformada de Laplace
• Deslocamento no tempo
▫ Exemplo 4.5. Encontre a TL de
Propriedades da Transformada de Laplace
• Deslocamento na Frequência
Propriedades da Transformada de Laplace
• Deslocamento na Frequência
▫ Exemplo 4.6
Propriedades da Transformada de Laplace
• Diferenciação no Tempo
Prove!
Propriedades da Transformada de Laplace
• Diferenciação na Frequência
Propriedades da Transformada de Laplace
• Diferenciação no Tempo
Propriedades da Transformada de Laplace
• Integração no Tempo 
e na Frequência
Propriedades da Transformada de Laplace
• Escalonamento
▫ Compressão no tempo causa expansão na 
frequência do sinal
▫ Expansão no tempo causa compressão na 
frequência do sinal
Propriedades da Transformada de Laplace
• Convolução no Tempo 
e na Frequência
h(t)
x(t) y(t)
H(s)x(t) y(t)L L 
-1
X(s) Y(s)
Propriedades da Transformada de Laplace
• Convolução no Tempo 
Resposta estado nulo
Entrada
Função de Transferência!
Propriedades da Transformada de Laplace
• Convolução no Tempo 
▫ Exemplo 4.8: Determine
Transformada Inversa de Laplace:
Propriedades da Transformada de Laplace
• Teorema do Valor Inicial
▫ Se x(t) e dx(t)/dt podem ser transformadas por 
Laplace, então
� Desde que os limites existam e que X(s) seja 
estritamente própria
Propriedades da Transformada de Laplace
• Teorema do Valor Final
▫ Se x(t) e dx(t)/dt podem ser transformadas por 
Laplace, então
� Desde que X(s) não possua pólo com parte real 
positiva ou localizado no eixo imaginário
Propriedades da Transformada de Laplace
• Teorema do Valor Inicial
▫ Exemplo 4.9
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 1(condições iniciais nulas):
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 1(condições iniciais nulas):
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 2(condições iniciais nulas):
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 2(condições iniciais nulas):
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 3(condições iniciais nulas):Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 3(condições iniciais nulas):
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 4 – Carga no Capacitor:
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 4 – Carga no Capacitor:
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 4 – Carga no Capacitor:
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 4 – Carga no Capacitor:
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 5 – Massa-mola:
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 5 – Massa-mola:
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 5 – Massa-mola:
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 6 – Descarga do capacitor:
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 6 – Descarga do capacitor:
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 7 – Corrente de Inrush:
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 7 – Corrente de Inrush:
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 7 – Corrente de Inrush:
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 7 – Corrente de Inrush:
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 7 – Corrente de Inrush:
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 4.10 – Resolva a equação:
Domínio do Tempo Domínio da Frequência
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 4.10 – Resolva a equação:
Domínio do Tempo Domínio da Frequência
Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais
▫ Exemplo 4.10 – Resolva a equação:
Componente 
entrada nula
Componente 
estado nulo
Transformada de Laplace
• Estabilidade
▫ H(s) e h(t) são descrições externas do sistema 
� Estabilidade BIBO se todos os pólos de H(s)
estiverem no SPE, todos os termos de h(t) são 
exponenciais decrescentes – h(t) absolutamente 
integrável
▫ Q(s) é uma descrição interna. Se não houver 
cancelamento de pólos e zeros, o denominador de 
H(s) é Q(s). Assim, pode-se analisar a estabilidade 
interna (assintótica) a partir do denominador de 
H(s)
Transformada de Laplace
• Estabilidade Assintótica
▫ Quando P(s) e Q(s) não possuírem fatores 
comuns, pode-se dizer que um sistema LCIT é:
� Assintoticamente estável, se todos os pólos de H(s) 
estiverem no SPE
� Marginalmente estável, se não existirem pólos no 
SPD e existir algum pólo não repetido no eixo 
imaginário
� Instável se ao menos um pólo estiver no SPD ou se 
existirem pólos repetidos no eixo imaginário
Isso para sinais e sistemas causais...
Transformada de Laplace
• Estabilidade
Estável Neutro Instável
Transformada de Laplace
• Diagramas de Blocos
Transformada de Laplace
• Diagramas de Blocos
Realimentação. Controle em Malha Fechada...
Transformada de Laplace
• Aplicação em Controle MF
Transformada de Laplace
• Aplicação em Controle MF
▫ Lembrando de Introdução ECA
� Malha Aberta
Transformada de Laplace
• Aplicação em Controle MF
▫ Lembrando de Introdução ECA
� Malha Aberta
Transformada de Laplace
• Aplicação em Controle MF
▫ Lembrando de Introdução ECA
� Malha Fechada
• Em determinados sistemas, a utilização de 
controlador, malha fechada, é necessária para 
satisfazer alguns critérios de controle:
▫ Rejeição à perturbação
▫ Erro em estado estacionário
▫ Resposta transiente
▫ Sensibilidade à mudança de parâmetros da 
planta
Transformada de Laplace – Controle MF
• A implantação de um sistema de controle 
geralmente envolve :
1. Escolha dos sensores para medir os sinais de 
retroalimentação
2. Escolha dos atuadores
3. Obter modelos da planta, sensores e atuadores
4. Implementar o controlador baseado nos modelos e 
nos critérios de controle
5. Avaliar o desempenho do controle, por simulação e 
finalmente no sistema físico 
6. Repetir esse procedimento de modo a obter uma 
resposta do sistema físico satisfatória
Transformada de Laplace – Controle MF
• O desempenho de um sistema é analisado em 
duas etapas:
▫ Transiente
▫ Estado estacionário
Transformada de Laplace – Controle MF
Transformada de Laplace – Controle MF
• A resposta transitória é definida como a parte 
da resposta que tende a zero quando o tempo 
tende a infinito:
• A resposta de estado estacionário é a parte da 
resposta que permanece quando a resposta 
transitória se iguala a zero, podendo ser 
constante ou um sinal que varia no tempo 
com padrão constante
Transformada de Laplace – Controle MF
• Sinais de Teste (degrau, rampa, parábola):
Transformada de Laplace – Controle MF
• Considerando um sistema de primeira ordem:
• Para uma entrada do tipo impulso unitário:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Para uma entrada tipo degrau unitário:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Considerando um sistema de segunda ordem:
• Considerando-se realimentação unitária 
negativa:
Transformada de Laplace – Controle MF
• A resposta temporal para uma entrada em degrau 
é:
Fator de amortecimento
Transformada de Laplace – Controle MF
Transformada de Laplace – Controle MF
• A resposta temporal para uma entrada em degrau 
é:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Classificação dos sistemas de segunda ordem:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Classificação dos sistemas de segunda ordem:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Classificação dos sistemas de segunda ordem:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Interpretação no lugar das raízes:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Erro em estado estacionário:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Erro em estado estacionário:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Erro em estado estacionário:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Erro em estado estacionário:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Erro em estado estacionário:
▫ Para uma entrada tipo degrau unitário:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Erro em estado estacionário:
▫ Para uma entrada tipo rampa:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Erro em estado estacionário:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Erro em estado estacionário:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Controle de Posição:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Controle de Posição:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Controle de Posição:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Controle de Posição:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Controle de Posição:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Controle de Posição:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Controle de Posição:
Transformada de Laplace – Controle MF
• Relembrando...
Resposta em Frequência
• Até agora vimos que a resposta de um sistema 
LIT a uma exponencial complexa é:
▫ E se s for igual a jw? 
▫ Na forma polar: 
Resposta em Frequência
Resposta em 
frequência!
Resposta em 
Magnitude
Resposta em 
Fase
• Se a entrada de um sistema linear e invariante no 
tempo é uma cossenoide infinita, então a saída 
será uma cossenoide infinita com mesma 
frequência, e possivelemnte com diferentes 
amplitude e fase:
Resposta em Frequência
Sistema 
LIT
• Exemplo:
▫ Encontre a resposta em frequência de um sistema 
com a seguinte FT:
▫ Encontrea resposta do sistema para as entradas:
�
�
Resposta em Frequência
• Exemplo:
▫ Encontre a resposta em frequência de um sistema 
com a seguinte FT:
Resposta em Frequência
Resposta em Frequência
• Exemplo:
▫ Para a entrada
▫ Assim: 
Resposta em Frequência
• Exemplo:
▫ Para a entrada
▫ Assim:
Resposta em Frequência
• Exemplo:
▫ Atrasador ideal de T
segundos:
▫ Assim,
▫ ou seja, atrasar o sinal não 
afeta sua amplitude apenas a 
fase.
Resposta em Frequência
• Exemplo:
▫ Diferenciador ideal:
▫ Assim,
▫ o diferenciador amplifica 
componentes de alta 
frequência.
Resposta em Frequência
• Exemplo:
▫ Integrador ideal:
▫ Assim,
▫ o integrador suprime 
componentes de alta 
frequência.
Resposta em Frequência
• Até agora consideramos entradas senoidais de 
duração infinita 
• E para entradas senoidais causais?
Resposta em Frequência
• Exemplo entrada senoidal causal:
Resposta em Frequência
• Exemplo entrada senoidal causal:
Resposta em Frequência
• Exemplo 2:
▫ A resposta total é
Resposta em Frequência
Diagrama Vetorial
• O valor de H(s) no ponto s=s0, pode ser determinado 
graficamente usando análise vetorial
Cada fator no numerador/denominador, corresponde a um 
vetor do zero/pólo até s0, o ponto de interesse no plano s
plano s
• Exemplo: Encontre a resposta do sistema
para a entrada
• O denominador de é um vetor com 
tamanho e ângulo . A resposta do sistema é, 
portanto,
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Alan
Nota
Polos complexos conjugados
Alan
Nota
Accepted definida por Alan
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama de Bode
• Esboçar a resposta em frequência 
• Técnica usual para representar resposta em 
frequência que foi desenvolvida por H. W.Bode 
(entre 1932 e 1942)
• Utiliza escalas logarítmicas
• Permite analisar uma faixa grande de 
frequências
Curva de ganho
Traçada em função da frequência, escala log-log
Eixo das ordenadas em decibéis
Curva de fase
Traçada em função da frequência, escala linear-log
Diagrama de Bode
Transformada de Fourier...
Diagrama de Bode
•
Diagrama de Bode
• Etapas para Construção:
1.Considerando a função de transferência:
2.Substitua a variável complexa s por jw:
3.Regras a aplicar em sistemas com n pólos e m zeros SPE
Diagrama de Bode
• Etapas para Construção:
▫ Curva de ganho:
1. Cálculo do módulo:
2.Representação em escala logarítmica
Diagrama de Bode
• Etapas para Construção:
▫ Curva de fase:
Diagrama de Bode
• Exemplos:
Diagrama de Bode
• Exemplos (assíntotas):
Diagrama de Bode
• Exemplos (assíntotas):
• Exemplos (assíntotas):
Diagrama de Bode
• Exemplos:
Diagrama de Bode
• Exemplos:
Diagrama de Bode
• Exemplos:
Diagrama de Bode
• Exemplos:
Diagrama de Bode
plano
• Exemplos:
Diagrama de Bode
plano
• Exemplos:
Diagrama de Bode
plano
• Exemplos:
Diagrama de Bode
plano
• Exemplos:
Diagrama de Bode
plano
• Exemplos:
Diagrama de Bode
plano
• Exemplos:
Diagrama de Bode
plano
• Exemplos:
Diagrama de Bode
plano
• Exemplos:
Diagrama de Bode
plano
• Exemplos:
Diagrama de Bode
plano
• Sistema de fase não-mínima
Diagrama de Bode
• Sistema de fase não-mínima
Diagrama de Bode
• Sistema de fase não-mínima
Diagrama de Bode
• Sistema de fase não-mínima
Diagrama de Bode
• Exemplo
▫ Considere a seguinte função de transferência:
▫ Reescrevendo:
▫ Determine o diagrama de Bode
Diagrama de Bode
• Exemplo
▫ Passos
� 1 – Encontre onde o eixo-x encontra o eixo-y (“offset”)
� O termo constante é 100=40dB
� 2 – Para cada termo de pólo e zero, desenhe as 
assímptotas
� Zeros: um na origem e um em w=100
� Pólos: um em w=2 e um em w=10
� Some todas as assímptotas
Diagrama de Bode
• Exemplo
Diagrama de Bode
• Exemplo
Diagrama de Bode
• Tipos:
▫ Passa-baixas
▫ Passa-altas
▫ Passa-faixa
▫ Rejeita-faixa (notch)
Filtros
• Tipos:
Filtros
• Efeito dos pólos:
Filtros
• Efeito dos zeros:
Filtros
• Passa-baixas:
Filtros
Butterworth, Chebyshev...
• Passa-faixa
Filtros
• Rejeita-faixa (Notch)
Filtros
• 4.1-1 a) d)
• 4.1-2 a) c)
• 4.1-3 a) b) d)
• 4.2-1 a) b) f)
• 4.2-3 a) d)
• 4.2-4
• 4.2-7
• 4.2-8
• 4.3-1 b)
• 4.3-5
• 4.3-7
• 4.3-9 a) iii b)
• 4.8-1 a) c)
• 4.8-2 a) c)
• 4.8-4
• 4.9-1
• 4.9-2
• 4.9-3
• 4.10-1
• 4.10-2
• 4.10-3
• 4.11-2 a ) c)
Exercícios