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Zani   Álgebra Linear

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´Algebra Linear
Se´rgio Luı´s Zani
2
Suma´rio
1 Espac¸os Vetoriais 7
1.1 Introduc¸a˜o e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Subespac¸os Vetoriais 15
2.1 Introduc¸a˜o e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Intersec¸a˜o e Soma de Subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Combinac¸o˜es Lineares 23
3.1 Introduc¸a˜o e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Dependeˆncia Linear 31
4.1 Introduc¸a˜o e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Base, Dimensa˜o e Coordenadas 37
5.1 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 Dimensa˜o de Soma de Subespac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.4 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.5 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3
4 SUM ´ARIO
6 Mudanc¸a de Base 51
6.1 Introduc¸a˜o, Exemplos e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7 Exercı´cios Resolvidos – Uma Revisa˜o 59
8 Transformac¸o˜es Lineares 71
8.1 Introduc¸a˜o e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2 O Espac¸o VetorialL (U, V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.3 Imagem e Nu´cleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.4 Isomorfismo e Automorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.5 Matriz de uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.5.1 Definic¸a˜o e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.5.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.6 Exercı´cios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.7 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9 Autovalores e Autovetores 105
9.1 Definic¸a˜o, Exemplos e Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.2 Polinoˆmio Caracterı´stico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.3 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
10 Diagonalizac¸a˜o 115
10.1 Definic¸a˜o e Caracterizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.2 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11 Forma Canoˆnica de Jordan 125
11.1 Exercı´cio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
12 Espac¸os Euclidianos 133
12.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
12.3 Distaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
12.4 ˆAngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
12.5 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
12.6 Processo de Ortonormalizac¸a˜o de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . 145
12.7 Complemento Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
SUM ´ARIO 5
12.8 Isometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
12.9 Operador Auto-adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
12.10Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6 SUM ´ARIO
Capı´tulo 1
Espac¸os Vetoriais
1.1 Introduc¸a˜o e Exemplos
Neste capı´tulo introduziremos o conceito de espac¸o vetorial que sera´ usado em todo o
decorrer do curso.
Pore´m, antes de apresentarmos a definic¸a˜o de espac¸o vetorial, passemos a analisar
em paralelo dois objetos: o conjunto formado pelas func¸o˜es f : R → R, denotado
por F (R) e o conjunto das matrizes quadradas de ordem m com coeficientes reais que
denotaremos por Mm(R), ou simplesmente, por Mm.
A soma de duas func¸o˜es f e g de F (R) e´ definida como sendo a func¸a˜o f + g ∈
F (R) dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x).
Note tambe´m que se λ ∈ R podemos multiplicar a func¸a˜o f pelo escalar λ, da
seguinte forma (λf)(x) = λ(f(x)), resultando num elemento deF (R).
Com relac¸a˜o a Mn podemos somar duas matrizes quadradas de ordem n, A =
(aij)n×n e B = (bij)n×n, colocando A + B = (aij + bij)n×n, que e´ um elemento
de Mn.
Com a relac¸a˜o a` multiplicac¸a˜o de A = (aij)n×n por um escalar λ ∈ R, e´ natural
definirmos λA = (λaij)n×n, o qual tambe´m pertence a Mn.
O que estes dois conjuntos acima, com estas estruturas de adic¸a˜o de seus elementos
e multiplicac¸a˜o de seus elementos por escalares, teˆm comum? Vejamos:
Verifica-se facilmente a partir das propriedades dos nu´meros reais que, com relac¸a˜o
a quaisquer func¸o˜es f, g e h em F (R) e para todo λ, µ ∈ R, sa˜o va´lidos os seguintes
resultados:
1. f + g = g + f ;
7
8 CAP´ITULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS
2. f + (g + h) = (f + g) + h;
3. seO representa o func¸a˜o nula, isto e´,O(x) = 0 para todo x ∈ R enta˜oO+f = f ;
4. a func¸a˜o −f definida por (−f)(x) = −[f(x)] para todo x ∈ R e´ tal que f +
(−f) = O;
5. λ(µf) = (λµ)f ;
6. (λ+ µ)f = λf + µf ;
7. λ(f + g) = λf + λg;
8. 1f = f.
Agora, com relac¸a˜o a quaisquer matrizes A,B e C em Mm e para todo λ, µ ∈ R,
tambe´m sa˜o va´lidos os seguintes resultados:
1. A+B = B +A;
2. A+ (B + C) = (A+B) + C;
3. se O representa o func¸a˜o nula, isto e´, O = (0)n×n enta˜o O +A = A;
4. se A = (ai,j)n×n enta˜o a matriz −A definida por −A = (−ai,j)n×n e´ tal que
A+ (−A) = O;
5. λ(µA) = (λµ)A;
6. (λ+ µ)A = λA+ µA;
7. λ(A+B) = λA+ λB;
8. 1A = A.
Podemos ver que tanto o conjuntos das func¸o˜es definidas na reta a valores reais
como o das matrizes quadradas quando munidos de somas e multiplicac¸a˜o por escala-
res adequadas apresentam propriedades alge´bricas comuns. Na verdade muitos outros
conjuntos munidos de operac¸o˜es apropriadas apresentam propriedades semelhantes a`s
acima. ´E por isso que ao inve´s de estudarmos cada um separadamente estudaremos um
conjunto arbitra´rio e na˜o vazio, V, sobre o qual supomos estar definidas uma operac¸a˜o
de adic¸a˜o, isto e´, para cada u, v ∈ V existe um u´nico elemento de V associado, chamado
1.1. INTRODUC¸ ˜AO E EXEMPLOS 9
a soma entre u e v e denotado por u + v, e uma multiplicac¸a˜o por escalar, isto e´, para
cada u ∈ V e λ ∈ R existe um u´nico elemento de V associado, chamado de o produto
de u pelo escalar λ e denotado por λu.
Definic¸a˜o 1.1 Diremos que um conjunto V como acima munido de uma adic¸a˜o e de
uma multiplicac¸a˜o por escalar e´ um espac¸o vetorial se para quaisquer u, v e w em V e
para todo λ, µ ∈ R sa˜o va´lidas as seguintes propriedades:
EV1 u+ v = v + u para quaisquer u, v ∈ V ;
EV2 u+ (v + w) = (u+ v) + w para quaisquer u, v, w ∈ V ;
EV3 existe um elemento 0 ∈ V tal que 0 + u = u para todo u ∈ V ;
EV4 para cada u ∈ V existe v ∈ V tal que u+ v = 0;
EV5 λ(µu) = (λµ)u para quaisquer u ∈ V e λ, µ ∈ R;
EV6 (λ+ µ)u = λu+ µu para quaisquer u ∈ V
EV7 λ(u+ v) = λu+ λv para quaisquer u, v ∈ V e λ ∈ R;
EV8 1u = u para qualquer u ∈ V.
Observac¸a˜o 1.2 O elemento 0 na propriedade EV3 e´ u´nico, pois qualquer outro 0′ ∈ V
satisfazendo