sistemas mecanicos

Prévia do material em texto

Modelagem 
 
 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Sistemas Mecânicos Translacionais e Rotacionais 
Modelagem 
 
 17 
 
Sistemas mecânicos são aqueles compostos por massas, molas, amortecedores e transmissões. A análise de 
sistemas mecânicos envolve praticamente dois tipos distintos de movimentos: translacional e rotacional. O 
equacionamento do sistema pode ser realizado de acordo com as equações das leis de Newton. Assim, sistemas 
mecânicos estarão associados a forças (quando translacionais) e torques (quando rotacionais). 
Um outro enfoque poderia ser tratado se envolvessemos a análise energética do movimento mecânico do 
sistema. Com isso, não realizaríamos através das leis de Newton, mas sim empregando equações de Lagrange. Os 
mesmos resultados seriam obtidos, porém através de um equacionamento levando em conta as energias e potências 
envolvidas no movimento do sistema dinâmico. Neste curso apenas abordaremos modelagem pelas leis de Newton 
e o sistema de unidades utilizado será o Sistema Internacional (SI). 
3.1 Elementos Translacionais 
Quando abordamos movimento translacional, estamos associando o movimento de uma massa, geralmente 
conectada a outras massas por meio de associações de molas e amortecedores. O movimento linear pode ser 
realizado no espaço (três eixos), porém, aqui estaremos restringindo sempre ao movimento num plano. 
3.1.1 Massa (m) 
Massa é uma propriedade do material que 
causa resistência a aceleração. Pode ser 
reconhecer uma massa quando tentamos 
movimentá-la e necessitamos aplicar uma força 
para colocá-la em movimento (acelerá-la). Parte 
da força aplicada é devido ao atrito entre a 
superfície e a massa. Outra parte é devido a esta 
propriedade de resistir a aceleração. 
 
 
Se uma massa está em equilíbrio, a somatória de forças nela aplicada é igual a zero. Se a massa estiver em 
movimento acelerado, de acordo com a segunda lei de Newton: 
å = xmForças && 
Na figura acima, poderia ser equacionado o movimento no sentido da força aplicada como: 
xmFF atritoaplicada &&.=- 
Se desconsiderássemos o atrito, poderíamos também dizer que a força que é aplicada numa massa é igual a 
reação que ele produzirá: 
xmFaplicada &&.= , onde m é a massa do corpo [kg]. 
3.1.2 Mola (k) 
Uma mola é um componente que resiste a aplicação de força proporcionalmente com sua elongação. 
Também serve como acumulador de energia. 
Obedece a lei de Hooke: 
).( 21 xxkF -= , 
Onde k é a constante elástica da mola. [N.m] 
 
Caso estiver engastada: 
2.xkF = 
 
 
 
Modelagem 
 
 18 
 
3.1.3 Amortecedor (b) 
Amortecedor é um componente mecânico 
que resiste a velocidade imposta. É um componente 
que dissipa energia. 
).( 12 xxbF && -= 
Onde b é o coeficiente de atrito viscoso [N.s/m]. 
 
Caso estiver engastado: 
2.xbF &= 
 
 
 
 
Exemplos: 
1. Analise os exemplos de massa-mola-amortecedor, dos capítulos anteriores. 
 
2. Sistema Mola-Amortecedor 
Se aplicada uma força p(t) no ponto 2: 
a) Encontre as equações diferenciais do sistema que relacionam 
os deslocamentos x1 e x2; 
b) Encontre as funções de transferências 
)(
)(2
sP
sX
e 
)(
)(1
sP
sX
 
c) Se a força aplicada p(t) for constante , o que acontece com a 
posição x1 e x2? 
 
 
Solução: 
a) 
Em cada ponto de translação, equacionar o equilíbrio de forças em cada nó: 
Nó 2: Se tracionarmos na direção do eixo x a mola com uma força p(t), a mola reagirá com uma força contrária 
(Fs). 
)().( 12 tpxxkFs =-= 
Nó 1: Devido a tração da mola (Fs), o amortecedor reage com um força contrária ao movimento da mola (Fd). 
sd FFxb ==1. & 
Assim, )().(. 121 tpxxkxb =-=& 
 
 
 
Modelagem 
 
 19 
 
b) Transformada de Laplace: (condições iniciais nulas) 
 )())()(.()(.. 121 sPsXsXksXsb =-= 
 )(.)()..( 21 sXksXksb =+ 
 )(.
).(
)( 21 sXksb
k
sX
+
= 
Logo: 
sbsP
sX
.
1
)(
)(1 = 
e )())(.
).(
)(.( 22 sPsXksb
k
sXk =
+
- 
)()(.
).(
.
. 2 sPsXksb
kksb
k =÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
-+
 
)()(.
)(
. 2 sPsX
b
ks
s
k =
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ
+
 
Logo: 
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ +
=
s
b
ks
ksP
sX
.
1
)(
)(2 
c) 
Se ®= ctetp )(
s
cte
sP =)( 
Assim: 21
1
.
.
1
)(
sb
cte
s
cte
sb
sX == logo: t
b
cte
tx .)(1 = 
 22 ..
1
)(
s
B
s
A
s
cte
s
b
ks
k
sX +=
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ +
= logo: t
b
cte
k
cte
tx +=)(2 
 
Figura 3.1 – Exemplo de resposta temporal para k=2, b=1 e cte=1. 
Modelagem 
 
 20 
 
3. Máquina-Ferramenta 
A figura abaixo representa parte de uma máquina ferramente que possui uma base com uma superfície 
lubrificada para reduzir vibrações. A máquina sofre com excitações laterais de forças periódicas dada por 
).cos(. tF w . 
 
Podemos representar esquematicamente o sistema acima como um sistema massa-mola-amortecedor, 
como apresentado abaixo: 
 
Para modelar este sistema, novamente deve-se observar os nós e aplicar a segunda Lei de Newton. Quando 
existem massas, as massas representam nós. Em cada nó ocorre um deslocamento. 
Assim: 
Na massa m2: A força aplicada terá como reação uma força da massa 2 e do amortecedor. 
).(.).cos(. 1222 xxbxmtF &&&& -+=w 
Na massa m1: A força do amortecedor terá como reação uma força da massa 1 e da mola. 
11112 ..).( xkxmxxb +=- &&&& 
Se for necessário analisar o deslocamento da massa m2, lembre que pode-se representar o sistema através 
de função de transferência ou espaço de estados. 
Analisaremos por função de transferência: (condições iniciais nulas) 
( )
( )
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
+=-
-+=
+
)(.)(..)(.)(..
)(.)(..)(...
11
2
112
122
2
222
sXksXsmsXssXsb
sXssXsbsXsm
s
s
F
w
 
Assim: 
( )
( )ïïî
ï
ï
í
ì
++=
-+=
+
)(...)(..
)(..)(...
1
2
12
12
2
222
sXksbsmsXsb
sXsbsXsbsm
s
s
F
w
 
Modelagem 
 
 21 
 
Analisando x2: 
( ) ( ) )(...
.
..)(... 22
1
2
2
222 sXksbsm
sb
sbsXsbsm
s
s
F
++
-+=
+ w
 
)(.
..
.....).(..
. 22
1
2
2
3
21
4
21
22 sXksbsm
skbskmsbmmsmm
s
s
F
++
++++
=
+ w
 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
++++
++
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
skbskmsbmmsmm
ksbsm
s
s
FsX
.....).(..
..
..)( 2
2
3
21
4
21
2
1
222 w
 
3.2 Elementos Rotacionais 
 
Elementos mecânicos rotacionais são elementos forçados a girar em torno de um eixo. Em sistemas 
mecânicos translacionais, realizamos a análise através do equilíbrio de forças. Neste caso, em elementos girantes, 
devemos levar em consideração o torque associado aos elementos. 
3.2.1 Mola de torção (k) 
Uma mola de torção é um elemento que impõe uma resistência ao deslocamento angular (q ) de um eixo 
nela acoplado. 
Para molas lineares: 
).( 21 qq -= kT , 
Onde k é a constante elástica da mola. [N.m/rad] 
 
Caso estiver engastada: 
q.kT = 
 
 
3.2.2 Amortecedor Rotacional (b) 
 
Quando ocorre uma fricção causada por 
uma fina camada de lubrificante entre duas 
superfícies girantes, pode-se produzir uma 
resistência ao torque que é diretamente proporcional 
a velocidade angular relativaentre as superfícies. 
 
).( 21 qq && -= bT , 
Onde b é o coeficiente de amortecimento angular. 
[N.m.s/rad] 
Ou ainda: 
).( 21 ww -= bT 
 
 
 
Modelagem 
 
 223.2.3 Inércia (J) 
Inércia é a resistência que uma massa exerce quando acelerado. A inércia de um corpo depende de sua 
massa, do eixo de giro e do formato da massa. 
Se uma massa está em equilíbrio, a somatória dos momentos nela aplicada é igual a zero. Se a massa 
estiver em movimento acelerado, de acordo com a segunda lei de Newton: 
å = q&&JM 
Onde J é o momento de inércia do corpo girante e q&& a aceleração angular. 
Ou ainda: 
å = w&JM 
 
Exemplos: 
4. Motor-propulsor. 
A figura abaixo mostra uma representação de um propulsor de um avião de forma simplificada. 
O momento de inércia do motor é representada por Je e o momento de inércia da hélice é representado por 
Jp. O torque aplicado pelo motor é definido como T(t). A inércia do eixo é despresada e representaremos apenas o 
eixo como uma mola. Note que a hélice ao girar, gera uma resistência ao torque do motor. Essa resistência é devido 
ao arrasto causado pela hélice no ar sendo diretamente proporcional ao quadrado da velocidade ( )22.)( q&btTa = , 
porém como trataremos apenas de sistemas lineares, devemos então linearizar a função ou simplificá-la. Neste caso, 
trataremos o torque de resistência da hélice simplesmente como ( )2.)( q&btTa = . 
 
 
 
Assim, analisaremos cada massa da mesma maneira que analisamos um sistema translacional. Porém de 
acordo com o somatório dos momentos: 
Na inércia Je: O torque aplicado pelo motor tem como resistência o torque na inércia do motor e o torque 
no eixo atuando como mola. 
å = 0M 
))()((.)( 211 ttkJtT e qqq -+= && 
Note o sentido positivo do torque representado pela regra da mão direita. 
Na inércia JP: O torque transferido pelo eixo tem como resistência o torque na inércia da hélice e o torque 
gerado pela resistência do ar Tb (arrasto). 
2221 ..))()(( qqqq &&& bJttk P +=- 
 
Modelagem 
 
 23 
 
Note que o sistema foi modelado tendo como variável dependente a posição angular e suas derivadas 
(velocidade e aceleração). 
Em certos casos, é interessante realizar a análise em função da velocidade. Por exemplo, se ligarmos o 
motor com um determinado torque, poderia ser interessante avaliar como reage a velocidade angular da hélice 
( ))(22 twq =& . 
Poderia-se então reescrever o sistema em função da velocidade: 
å = 0M 
( )dtttkJtT e .)()(..)( 211 ò -+= www& 
( ) )(...)()(. 2221 tbJdtttk P wwww +=-ò & 
Modelado o sistema, pode-se analisar, por exemplo, a resposta de velocidade da hélice 
( )( ))()( 212 sLt W= -w para um torque aplicado pelo motor constante: 
Transformada de Laplace: 
( )
( )ï
ï
î
ï
ï
í
ì
W+W=W-W
W-W+W=
)(.)(..)()(
1
.
)()(
1
.)(..)(
2221
211
sbssJss
s
k
ss
s
kssJsT
P
e
 
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
W÷
ø
ö
ç
è
æ ++=W
W-W÷
ø
ö
ç
è
æ +=
)(..).(
)(.)(.)(
21
21
s
s
k
bsJ
s
k
s
s
s
k
s
s
k
sJsT
P
e
 
ï
ï
ï
î
ïï
ï
í
ì
W÷÷
ø
ö
çç
è
æ ++
=W
W-W÷÷
ø
ö
çç
è
æ +
=
)(.
..
)(
)(.)(
.
)(
2
2
1
21
2
s
k
ksbsJ
s
s
s
k
s
s
ksJ
sT
P
e
 
)(.)(.
..
.
.
)( 22
22
s
s
k
s
k
ksbsJ
s
ksJ
sT Pe W-W÷÷
ø
ö
çç
è
æ ++
÷÷
ø
ö
çç
è
æ +
= 
)(.
.
..........
)( 2
22234
s
s
k
sk
kskbskJskJsbJsJJ
sT PeePe W÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
+++++
= 
)(.
.
..)...(....
)( 2
234
s
sk
skbskJkJsbJsJJ
sT PeePe W÷÷
ø
ö
çç
è
æ ++++
= 
)(.
.)...(....
)( 232 sTkbskJkJsbJsJJ
k
s
PeePe
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
++++
=W 
Modelagem 
 
 24 
 
Simulação: 
Ao invés de fazer a expansão parcial da função )(2 sW afim de obter a resposta de velocidade da hélice, pode-se 
simular o sistema. Uma forma de simular o sistema é através de sua função de transferência. Abaixo é mostrado um 
diagrama de simulação realizado no MatLab/Simulink. 
 Foi considerada uma entrada degrau de 100k N.m, representando o torque constante gerado pelo motor. 
 
s
sT
100000
)( = 
Je = 5 Nm/rad/s2; 
Jp = 0,01 Nm/rad/s2; 
b = 10 Nm/rad/s; 
 k= 10000 N rad; 
 
 
 
Figura 3.2 – Diagrama de simulação utilizando a função de transferência e a resposta temporal de velocidade da hélice. 
 
3.3 Elementos amplificadores/redutores 
 
São elementos que realizam alguma transformação quantitativa de uma variável. Em sistemas translacionais 
podemos citar as alavancas e em sistemas rotativos, polias e engrenagens. 
 
3.3.1 Amplificadores lineares (alavancas) 
 É um elemento que transmite energia de um ponto para outro. Possui relação de torque igual a 1. 
Assim: 
Flgml ... 21 = 
2
1.
l
l
gmF = 
 
 
 
Modelagem 
 
 25 
 
3.3.2 Amplificadores Rotacionais (engrenagens/polias) 
Geralmente utilizados para reduzir a velocidade e consequentemente aumento do torque. Possui relação 
inversa entre o raio da polia ou o número de dentes da engrenagem com a velocidade angular, pois devem possui a 
mesma velocidade tangencial e força. Assim: 
 
2211 .. ww rr = 
2
2
1
1
r
T
r
T
= 
 
2
1
1
2
2
1
2
1
T
T
n
n
r
r
===
w
w
 
Onde: 
- r é o raio da polia; 
- n é o número de dentes da 
engrenagem; 
- w é a velocidade angular do 
eixo. 
 
 
 
Exemplo: 
Modele o sistema de engrenagens e encontrar a equação que relaciona os torques (do motor TM e de carga 
TL.) com as velocidades. 
 
 
O torque do motor TM é aplicado no eixo 1. O momento de inércia do eixo somado ao da polia é definido 
como J1. De forma semelhante temos J2 e TL no eixo 2. 
 
Se desconsiderarmos o atrito, podemos dizer que o torque aplicado no eixo 1 tem como resistência o 
movimento da engrenagem 1 e o torque transmitido para a engrenagem 2. 
)(.)( 111 tTJtTM += w& 
)().()().( 2211 tTttTt ww = 
)(.)( 222 tTJtT L+= w& 
 
O torque transmitido para a engrenagem 2 tem como resistência o movimento da engrenagem 2 e o 
torque de carga TL. 
 
Transformada de Laplace: 
)()(..)( 111 sTssJsTM +W= 
)()()().( 2211 sTssTs W=W 
)()(..)( 222 sTssJsT L+W= 
Modelagem 
 
 26 
 
Simplificando: 
)(
)(
)(
)(..)( 2
1
2
11 sTs
s
ssJsTM W
W
+W= 
)()(..)( 222 sTssJsT L+W= 
 
Logo: 
( ))()(..
)(
)(
)(..)( 22
1
2
11 sTssJs
s
ssJsT LM +WW
W
+W= 
 
Como: 
 
)(
)(
1
2
2
1
t
t
n
n
w
w
= .............
2
1
1
2
)(
)(
n
n
s
s
=
W
W
 
 
Assim: 
 
( ))()(..)(..)( 22
2
1
11 sTssJn
n
ssJsT LM +W+W= 
 
Em termos da velocidade no eixo 1: 
)(.)(...)(
2
1
12
2
2
1
1 sTn
n
ssJ
n
n
JsT LM ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+W
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+= 
 
Ou 
 
)(
.
1
.)(.)( 1
2
1 s
sJ
sT
n
n
sT
eq
LM W=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
- 
 
 
 
Em termos da velocidade no eixo 2: 
)(.)(...)(
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1 sTn
n
ss
n
n
J
n
n
JsT LM ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+W
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+= 
 
Ou 
)(
.
1
..)(.)( 2
2
1
2
1 s
sJn
n
sT
n
n
sT
eq
LM W=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
- 
 
 
 
 
 
 
Modelagem 
 
 27 
 
3.4 Problemas 
Modele os sistemas dinâmicos abaixo e encontre suas equações diferencias. 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
Modelagem 
 
 28 
 
Soluções: 
 
a) 
ikkbJ qqqq .... 00 =++ &&& 
 
b) 
221211111 .).(.. xkxkkxbxm =+++ &&& 
12222222 .... xkxkxbxm =++ &&& 
 
c) 
xkxb
l
l
F ...
2
1 += & 
 
d) 
221211111 .).(.. xkxkkxbxm=+++ &&& 
122222 ... xkxkxm =+&&