Apostila de Estruturas de Madeira

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO 
FACULDADE DE ENGENHARIA FLORESTAL 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA FLORESTAL 
 
 
 
 
ELEMENTOS DE ESTRUTURAS DE MADEIRA 
 
 
 
 
 
 
NORMAN BARROS LOGSDON 
 
 
 
 
 
 
CUIABÁ, MT. – 2012 
Plano de
cargasi
y
ftmmumnnnnnn yc1
—''' '
yt2
r rx T'\x h\;
. NJS?
SEÇÃO V b at2,d
,Banzo
Superior
MontanteDiagonal
p=90°
y = a P=9O°
T'r'XNkNJ X-tf IX |gLV <s> ®Diagonal
Banzo Inferior
Montante
1 
 
 
 
 
i402 0459 5- Estruturas de Madeira
PáginaSumário
1. Madeiras de construção 2
222. Modelo de segurança adotado pela norma brasileira
473. Tração
4. Compressão 58
795. Cisalhamento
6. Torção 80
817. Flexão
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
í 402 0459 5- Estruturas de Madeira
PáginaSumário
1228. Ligações
9. Referências bibliográficas
Anexo 1 - Características geométricas de seções planas
Anexo 2 - Diagramas e fórmulas para o cálculo de vigas
159
???
???
IProf. Dr. Norman Barros Logsdon
2 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
1. Madeiras de construção
Cabe ao projetista viabilizar a construção, portanto, verificar no
mercado o que poderá usar em termos de dimensões e espécies.
a) Tipos e dimensões comerciais
/ Madeira bruta ou roliça
Maciça -> < Madeira falquejada (lavrada)
! Madeira serrada
ícolada
-/pregada
(colada e pregada
> Madeiras ->< Madeiralaminada
Industrializada -> Madeira compensada
Madeira aglomerada
Outros produtos derivados
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
!402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Madeira bruta ou roliça -> É a madeira empregada na forma de troncos,
em geral apenas descascados.
A seção variável dessas peças, cuja forma se aproxima a um tronco de
cone, dificulta o cálculo estrutural, por isso a NBR 7190, da ABNT (2012),
permite a associação destas peças a uma peca cilíndrica. O diâmetro
dessa peça cilíndrica, deve ser igual ao diâmetro situado a um terço do
comprimento a partir da seção mais delgada da peça de madeira roliça,
desde que não superior a 1,5 vezes o menor diâmetro.
vdmáx~dmin~ ~
2
dmáx dmindmin
dmáx‘dmin" xZt2 àz
L
í dm,x-dmindd -dÿ +dd =1,5x1,™Diâmetro de cálculo da peça cilíndricaassociada (usar o menor dos 2) 3
kProf. Dr. Norman Barros Logsdon
3 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Madeira falquejada (lavrada) -> É a madeira obtida a partir de troncos,
cujas faces laterais são aparadas a machado ou enxó, formando seções
maciças, quadradas ou retangulares, de grandes dimensões.
Para aplicação em estruturas de madeira duas seções têm especial
interesse: a seção que fornece máxima área, de interesse nos problemas
de tração e compressão; e a seção que fornece máximo momento de
inércia, de interesse nos problemas de flexão.
Seção de madeira
falquejada mais indicada na
V4ração ou compressão,
, , d.V2b =h=-hd
2
H b
'01 / Seção de madeirab =- e h= —— falquejada mais indicada—— na flexão.2Enxó; iProf. Dr. Norman Barros Logsdonb
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Madeira serrada -> É o produto estrutural de madeira mais comum entre
nós. O tronco é desdobrado nas serrarias, em dimensões padronizadas
para o comércio, passando, em seguida, por um período de secagem.
> Melhor aproveitamento da tora
> Menos operações na serra de fita
> Mais económico
> Madeira heterogénea v'
> Maiores empenamentos/ÿ
Secagem
IJ £r3> £r2
3-*-direção tangencial
2ÿdireção radial
,6o
a
*Desdobro em pranchas paralelas
> Melhor a qualidade da madeira aos
defeitos de secagem
> Praticamente sem empenamentos
> Madeira homogénea
> Melhor preço no mercado
> Menor aproveitamento e economia
> Muitas operações na serra de fiteÿ-i
> Desdobro lento e oneroso \
2
4
Secagem3
Desdobro radialÿ) «r,3 > £r,23-*direção tangencial
2-ÿdireção radial
Prof. Dr. Norman Barro
4 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de MadeiraO comprimento das peças é limitado, por problemas de manejo e transporte,
em 5,00 m (comercial). Peças especiais com até 6,50 m podem ser obtidas. As
dimensões da seção transversal são definidas pela tradição de mercado.
Tabela 1- Madeira serrada, dimensões comerciais da seção transversal
SEÇÃO
EM cm x cm
SEÇÃO
EM cm x cm
NOMENCLATURA
UTILIZADA
NOMENCLATURA
UTILIZADA
PRANCHÃO 3,0 x 30,0
4,0 x 20,0 até 4,0 x 40,0
6,0 x 15,0 até 6,0x30,0
9,0 x 30,0
5,0 x 6,0
6,0 x 6,0
8,0 x 8,0
CAIBROS
2,5 x 5,0 (ripâo)
3,0x12,0
3,0 x 16,0
SARRAFOS
5,0 x 16,0
6,0 x 12,0 (vigota)
6,0 x 15,0
6,0 x 16,0 (vigota)
10,0 x 10,0
12,0 x 12,0
15,0 x 15,0
20,0 x 20,0
25,0 x 25,0
25,0 x 30,0
VIGAS
2,5x10,0 até 2,5x30,0
3,0 x 10,0 até 3,0x30,0
TÃBUAS
1,0 x 5,0
1,5 x 5,0
RIPAS
Seções encontradas tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
!402 0459 5- Estruturas de Madeira> Peças de seção composta -> Unindo-se solidariamente duas ou mais
peças de madeira (bruta, falquejada, ou serrada) obtém-se uma peça de
seção composta.
Para as peças compostas por peças de seções retangulares, segundo a
NBR 7190 da ABNT (2012), ou por peças de seções circulares, segundo
Hellmeister (1978), ligadas por conectores metálicos deve ser feita a
correção das características geométricas como se apresenta a seguir,
usando os valores de ar apresentados na tabela 2.
Área efetiva da seção transversal da peça de seção composta
Número de elementos que compõem a seção composta
= 2>,
i=i
Aef
Área da seção transversal do elemento “i”
Momento de inércia efetivo da peça de seção composta
fef = “rha Momento de inércia teórico da peça de seção composta,
obtido da teoria apresentada em “Resistência dos materiais”.
Fator de redução do momento de inércia, apresentado na tabela 2.
iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
5 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de MadeiraPara as peças em seção T, I ou caixão, ligadas rigidamente por pregos, a
NBR 7190, da ABNT (1997), também permitia essa correção, entretanto, só se
recomenda essa simplificação quando a força cisalhante, absorvida pelos pregos,
puder ser desprezada, como nas seções compostas das barras de treliças.
Tabela 2 - Fator de redução do momento de inércia (ar) de peças composta
Seção
utilizada
Seção
utilizada
Seção
utilizada
Fator de
redução,ar
Fator de
redução,ar
Fator de
redução,ar
JjouG;: 0,80 Seção
caixãoSr; 0,85ou 0,85
LU
qpH Seção0,60(T) ou
, f ) i ; 0,85. II ad0,70ou
C3E3 Seção 0,95;•? ' ,ou
i (#|Í 0,40 i; •. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
1402 0459 5- Estruturas de MadeiraQuando não se pode desprezar a força cisalhante entre as peças deve-se
obter o produto de rigidez efetivo, (EI)ef, considerando-se a rigidez da
ligação, como recomenda a NBR 7190 da ABNT (2012).
O cálculo, proposto pela NBR 7190 da ABNT (2012), do produto de
rigidez efetivo, entre outros, utiliza a notação, a figura e o roteiro
apresentados a seguir.
Notação:
Ai, I; eE; = Área, momento de inércia (Ix_x) e módulo de elasticidade,
do elemento “i” (parte da seção composta);
S;, Ki eF; = Espaçamento efetivo dos pregos, módulo de deslizamento
e força aplicada no conector, do elemento “i” com o “2”;
= Largura e altura da seção transversal do elemento “i”;
= Distância entre o centro de gravidade do elemento “i” e a
linha neutra (eixo x-x);
= Posição da linha neutra (de tensões nulas) em relação à
base do elemento “2”;
CT; e Gÿí = Tensão no centro do elemento “i" (efeito da força normal)
e restante desta tensão até seu valor máximo (efeito do
momento fletor).
b;ehi
ai
h
6 
 
 
 
 
bi Aj ,h,E1 am,1<*iPTw<H)->«I
CTKÿai aia2 ?T, h* X------X, 2'dKm h2a3 a30,5bj
h3 h3
FA2 , <2.A3,I3,E3/ fej3 _r,£A-ÿ AÿAA'A+A2(/I.E1.A1+/;£,A;+/3£37\jl b3 b3 ’ \s3, K3, F3(Cg) °m,3
b1 CTm,1
-(Hh CT1Ihi T—L ®ai a2 ai 2'hLxx -x- hh h2X-fB) h2 a2a3 a3+a: h0,5 bÿ Ií?3
a _tâA-(hÿ)-rsEsA(h-y22(ÿ£,A+ÿA+ÿA) b3 am,3
am,1Sj,K1,F1
<V
7hi
a_ XAAÁ+M: 2(7,AA+ÿAA) ya1 h2- -X 2 .|phâãPÿ
-a; A2 , l2, E2Aj-
/"ÿSeçõesÿN _fh, M
ÍT I e caixão ) |a* [2 2/
h Distribuição'
de tensões>,2jd2b2
!402 0459 5- Estruturas de MadeiraRoteiro - Peças compostas, de seção T, I e caixão, ligadas por pregos.
1-Identificar, adotando se necessário, as dimensões da seção transversal
dos elementos (b; e hj), que compõem a peça composta, a rigidez
(módulo de elasticidade) da madeira correspondente (E;) e a densidade
equivalente da madeira (pk).
OBS.: A densidade equivalente da madeira (pk) corresponde à sua
densidade aparente a 12% de umidade (em kg/m3) ou, no caso de
madeiras diferentes, à média geométrica das densidades aparentes.
Ád =ÿPi-p2 Densidade equivalente (kg/m3), entre os elementos “i” e 2
Densidade aparente do elemento 2
Densidade aparente do elemento “i”
2 -Obter as características geométricas (A; e I;) da seção transversal de
cada elemento que compõem a peça composta.
Área da seção transversal do elemento “i”
Largura da seção transversal do elemento “i"
=bX.1, Altura da seção transversal do elemento “i"12 tProf. Dr. Norman Barros LogsdonMomento de inércia do elemento “i”
7 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
3 -Identificar, adotando se necessário, o diâmetro do prego (d;) utilizado na
ligação de cada elemento “i”, com o elemento 2, e os espaçamentos (s;)
correspondentes.
OBS.: O espaçamento dos pregos (s;) pode ser uniforme ou variar
conforme a força de cisalhamento, entre um valor mínimo (sÿ) e um
máximo (smáx), mantendo Nesse último caso usar um valor
efetivo, dado por: sef=0,75.smi>+0,25.smáI.
4 -Obter o módulo de deslizamento (Kj), na interface de ligação entre o
elemento “i” e o elemento 2.
Densidade equivalente (kg/m3), entre os elementos “i” e 2
C/5
05 \ãl
sis
i« fell!
Q_ "O <D
\ is5
> Estados Limites de Utilização => K = K = P]á 'd‘- 1 5" 20
Diâmetro dos
pregos (mm),
entre “i” e 2
Módulo de deslizamento
(N/mm), da ligação entre
os elementos “i” e 2
último de serviço
(utilização)IS| ___ x
‘sj > Estados Limites Últimos => K; =A=|-Kí
lProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% x Em geral, serãonecessários valores últimose de utilização.402 0459 5- Estruturas de Madeira
5 -Obter o fator de redução da inércia de cada elemento (yi).
Fator de redução
para o elemento 2
Fator de redução para o elemento “i”
Módulo de elasticidade (MPa) do elemento T
1
Yi Área (mm2) do elemento “i”/Tÿ.EjAÿi. Para i=1 e 3-Yi =1 e
K;.L2 Espaçamento dos pregos (mm),
na interface dos elementos “i” e 2
fL=vão, para vigas biapoiadas;
i—V L=0,8.vão, para vigas contínuas;
(L=2.vão, para vigas em balanço.
6 -Obter a distância (a,) entre os centro de gravidade, da seção de cada
elemento “i”, até a linha neutra da peça composta (ver figura com seções).
Módulo de deslizamento
(N/mm), da ligação entre
os elementos “i” e 2
Vão efetivo
da viga (mm)
_ /i-Ei.Ai.(h2 ±hj) /3.E3.A3.(1i2 ±h3)
2-(/í-Ei-Aj +/2-E2.A2 +/3.e3.a3)
Distância do centro de gravidade dos
elementos 1, 2 e 3 à linha neutraa2\
Altura dos elementos 1,2 e 3/_fh3+lQ/ -a2 e a3ai +a2 .imitações: 0 < a2 < —
. Seção T -> A3=b3=h3=0.
8 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira7 -Obter o produto de rigidez efetivo, (El)ef, levando em consideração a
rigidez da ligação.(0 Distância do centro de gravidade do
elemento “i” à linha neutra (mm).1 3
(ElL = £(£.ÿ!< +r,-E,.A1.aío §Isl
O 03- N
Área (mm2) do elemento “i”í=I
1>I
® “ 3 Módulo de elasticidade (MPa) do elemento “i”
Produto de rigidez
efetivo (N.mm2)
Momento de inércia
(mm4) do elemento “i"
Fator de redução
para o elemento “i”oo
8 -Obter as tensões normais atuantes nos elementos.
Tensão (MPa) no centro do elemento “i” (efeito da normal)
o M
ci — /i.Ei.ai.ilíf!l
i? $
(EI).,- Momento fletor, de cálculo, na seção de Oj (N.mm)
Produto de rigidez efetivo (N.mm2)
M=0,5.Ei.hi. Fator de redução, módulo de elasticidade (MPa) e
distância do CG à linha neutra (mm), do elemento “i”(ElXr\
Restante de o, (MPa) até seu valor
máximo (efeito do momento fletor)
Altura da seção transversal
do elemento “i”
402 0459 5- Estruturas de Madeira
Tensão máxima (MPa) no elemento “i"
(ver figura com distribuição das tensões)±<Jmf
Tensão (MPa) no centro do
elemento “i” (efeito da normal)
Restante de Oj (MPa) até seu valor
máximo (efeito do momento fletor)
9 -Obter a tensão de cisalhamento máxima, que ocorre na linha neutra, a
uma distância “h” da base do elemento 2.
h, V
= {v} ,E3 .AJ ,a3 +0.5.E,.b,.h2)h =~2±a- e b.,(El)„a\
Distância (mm) da base
do elemento 2 à linha
neutra (ver figura com
distribuição das tensões)
Tensão de cisalhamento
máxima (MPa), no
elemento 2
Força cortante (N),
de cálculo, na seção
de T2.ma>
Demais notações apresentadas anteriormente
/ÿÿ"Na avaliação deÿ
tensões interessam os
valores últimos. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
9 
 
 
 
 
!402 0459 5- Estruturas de Madeira
10 -Obter a força aplicada no conector da interface do elemento “i” com o 2.
E
' 1.1li®
0 O tz 103 o
jfl
* v Espaçamento entre conectores (mm),Nv Para e 3 na interface dos elementos “i” e 2.F,=/,.E,.Ai.a,.s,. (EI)rf\cod)
Força cortante máxima (N), de cálculoForça aplicada (N), no
conector da interface do
elemento “i” com o 2
1 o
TO Demais notações apresentadas anteriormente
> Peças compostas com alma treliçada ou de madeira compensada ->
As peças compostas com alma em treliça, formada por tábuas diagonais,
e as peças compostas com alma formada por chapa de madeira
compensada devem ser dimensionadas à flexão simples ou composta,
considerando exclusivamente as peças dos banzos, sem redução de
suas dimensões. A alma dessas vigas e suas ligações, com os
respectivos banzos devem ser dimensionadas a cisalhamento como se a
viga fosse de seção maciça.
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
Treliçado de Town
U '& o,ft
\ \\
I.-
A3
Alma
y
;Peça composta com "
alma em treliça, formada por
\ tábuas diagonais
Banzos
10 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Madeira laminada colada (MLC) -> A madeira laminada colada é o
produto estrutural de madeira mais importante nos países
industrializados. A madeira é selecionada e cortada na forma de tábuas
com espessura de 1,5 cm ou mais, que são coladas sob pressão,
formando grandes vigas de madeira, em geral de seção retangular.
Pressão
i Não há limitação
para dimensões e
formas das vigas
de MLC
Linha de cola
Tábua
A NBR 7190, da ABNT (2012), em seu item 5.7,
apresenta todos os dados para fabricação,
comercialização e utilização das vigas de MLC. íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
4 Segundo a NBR 7190,da ABNT (2012)
Distribuição das lâminas -> As tábuas, que
comporão a MLC, devem ser classificadas pelo
módulo de elasticidade e as de menor rigidez
utilizadas nas lâminas da metade central.
Rigidez à flexão do elemento estrutural -> Para as
vigas de MLC, de lâminas classificadas como na
figura ao lado, à rigidez a flexão deve ser obtida por:
402 0459 5- Estruturas de Madeira
EM.S (1/4) h
t
Xh X (1/2) h C- Produto de rigidez do
elemento estruturalEI— [2.EMs.I(1M) +EMj.I(1 2)EM.í
| Módulo de elasticidade médio
| das lâminas de maior rigidez
Momento de inércia, da
“metade” central em
relação ao eixo x-x.
(1/4) h
EM.S Momento de inércia, de
cada “quarto” afastado
em relação ao eixo x-x.
Módulo de elasticidade médio
das lâminas de menor rigidez
b
lâminas mais
resistentes são utilizadas
nos “quartos” externos. í-""'Lâminas de maior"módulo de elasticidade Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
11 
 
 
 
 
f Segundo a NBR 7190,da ABNT (2012)402 0459 5- Estruturas de Madeira
! : Note que o cálculo do produto de
:_| rigidez corresponde à obtenção do
momento de inérciada seção
x + X.ÿMÿX composta multiplicado pelo módulo
de elasticidade de cada elemento.
t=l i=l
. +Ay -A(1 4) )+ (l(1 2) +0 .A(1.2))
Ay
X + XT
Ay
Ay = 0
EM,S
+ Ay-.A(14))+(l 0 2),.(14), fl 4)x
I I Id 4) (1/4) (1/2)
Madeira -> Deve-se evitar a composição da MLC com espécies diferentes,
pois os diferentes coeficientes de retração podem causar delaminação ao longo
do tempo. Empregar, preferencialmente, madeiras de densidade aparente no
intervalo 0,40 g/cm3 < pap 12% < 0,75 g/cm3.
Dimensões das lâminas -> Espessura e largura máximas, respectivamente,
de 5 e 20 cm.
Qualidade da cola -> A cola deve ter resistência suficiente para que o
cisalhamento ocorra na madeira e nunca na linha de cola. tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% Segundo a NBR 7190,da ABNT (2012)
Teor de umidade das lâminas -> As lâminas, para eficiência da colagem,
deverão estar secas e com no máximo 18% de teor de umidade.
União longitudinal das lâminas -> A emenda entre peças para compor uma
lâmina deve ser feita por colagem de entalhes múltiplos (“finger joints”) usinados
nas extremidades de tábuas consecutivas. Outros tipos de união devem ser
evitados e, se utilizados, ter eficiência comprovada por laboratório idóneo.
402 0459 5- Estruturas de Madeira
imendas longitudinais
com “finger joints”Usinagem horizontal Usinagem vertical
Distância mínima entre emendas -> Nas lâminas da metade central as
uniões devem estar afastadas de no mínimo 50 cm, já nas lâminas mais
resistentes, dos “quartos” externos, de no mínimo 80 cm. A distância mínima
entre emendas de lâminas adjacentes deve ser de 20 cm.
Largura mínima da seção transversal -> Nas vigas de MLC, de seção
constante, a largura deve ser de pelo menos 1/7 da altura da seção transversal.
SProf. Dr. Norman Barros Logsdon
12 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Madeira laminada colada, com emendas de topo
> Utilização -> Embora a NBR 7190, da ABNT (2012), não recomende a
utilização de emendas de topo, elas costumam ser utilizadas, principalmente
na falta de indústria apropriada. Nestes casos, recomenda-se ainda:
Tábua extraEmenda de topo t
af2 o)B >-O w
Distância entre
emendas
Existência -> Quando pjga > = 5,00 m
C Uma emenda por seção
->< Distância > altura da viga
I Se tábuas adjacentes > 25.t
porrigir deficiência -> tábua extra (emenda de topo)
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
Desencontrar
emendas> Emendas longitudinais ->
5 402 0459 5- Estruturas de Madeira PregoLinha de cola
> Madeira laminada colada e pregada ->
A falta de industria, para produzir
madeira laminada colada, deu origem à
madeira laminada colada e pregada.
Nestas peças a pressão é substituída
por ligações pregadas.
Tábua
Prego
Madeira laminada pregada ->
Alternativa menos eficiente, onde as
tábuas são apenas pregadas entre si.
A madeira laminada pregada só deve
ser usada em estruturas provisórias,
pois pode ocorrer um fenômeno
conhecido por “stress nail” e, com o
tempo, os pregos soltarem-se.
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
>
Tábua
i
13 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Madeira compensada -> A madeira compensada é formada pela
colagem sob pressão, em indústrias, de três ou mais laminas de
espessura entre 1 e 5 mm, alternando-se a direção das fibras em
ângulo reto. É utilizada em portas, armários, divisórias etc.. No Brasil, os
compensados não são fabricados para uso estrutural, portanto
recomenda-se avaliação laboratorial da qualidade estrutural, do material
adquirido, caso se pretenda utilizá-lo em estruturas.
Madeira aglomerada -> A madeira aglomerada é formada pela colagem
sob pressão, em indústrias, de pequenos pedaços de madeira (cavacos).
É utilizada em portas, armários, divisórias etc. Os aglomerados não têm
qualidade estrutural, portanto não devem ser utilizados em estruturas.
Outros produtos derivados de madeira -> Variações da madeira
compensada ou aglomerada, como LVL (laminated veneer lumber), MDP
(medium density particleboard), MDF (medium density fibers) e OSB
(oriented strand boards), no Brasil, não são fabricadas para uso
estrutural. Assim, sua aplicação deve prever ensaios laboratoriais de
resistência e durabilidade.
>
>
>
iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
b) Exemplos de aplicação
> Exemplo de aplicação 01 -> Seja uma peça de madeira bruta com
4,00 m de comprimento, 30 cm de diâmetro na base e 25 cm de diâmetro
no topo. Para o cálculo de uma viga fletida, a que peça se deve associar
a peça de madeira bruta descrita acima?
Solução:
Uma peça de madeira bruta deve ser associada, em cálculo, à uma peça
cilíndrica (de seção circular), de diâmetro de cálculo (dd) dado por:
í dd=1.5,dm minDiâmetro de cálculo da peça cilíndricaassociada (usar o menor dos 2)
{ dmax dmin , 30-25
_
d, = 25+- =>d 3
dd =1,5.25 => dd = 37,5 cm
dd = 26,6 cmdd - dmin + 3
=>
dd = 26,6 cmE, portanto, usa-se o menor dos dois -¥
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
14 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exemplo de aplicação 02 -> Qual a seção mais adequada de uma peça
de madeira falquejada, extraída de um toro de 4,00 m de comprimento e
30 cm de diâmetro mínimo, para ser utilizada em uma viga fletida?
Solução:
A seção, de madeira falquejada, para ser utilizada em vigas submetidas à
flexão é a seção retangular de lados:
m Seção de madeirafalquejada mais indicada. na flexão.b = 4 e ::
b b-í
2
, <W3 .,h=-=>h=
30 => b =15 cm=> b
2
E, portanto, a seção de lados -> 30.V3 => h= 26 cm
2 2
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
!402 0459 5- Estruturas de Madeira 2,5 6 2,5
> Exemplo de aplicação 03 -> Obter o produto de rigidez
efetivo, (El)ef (em torno do eixo horizontal), da seção
caixão esquematizada na figura ao lado, de uma viga
fletida biapoiada, com 4,00 m de vão, composta por
peças de madeira serrada solidarizadas por pregos, com
o objetivo de determinar a flecha máxima, portanto em
um Estado Limite de Serviço (utilização). A madeira é de
uma folhosa da Classe D40, que tem densidade aparente de
Pap,i2% = 950 kg/m3 e módulo de elasticidade de Eÿf = 10920 MPa. Os
pregos utilizados são comerciais, n° 19 X 33, possuem diâmetro de
3,9 mm e estão espaçados, longitudinalmente, entre si de 20cm.
Solução:
3-IJ£
u
3H
11 cm
Em geral, além do momento fletor, as vigas fletidas também são
submetidas à força cortante, que produz tensões de cisalhamento.
Não sendo possível desprezar as tensões de cisalhamento, o cálculo de
peças compostas, de seção T, I e caixão (caso em pauta), ligadas por
pregos, segue roteiro descrito na NBR 7190, da ABNT (2012). Aplicando-
se esse roteiro, obtém-se:
*Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
15 
 
 
 
 
% Ver roteiro(página 6)402 0459 5- Estruturas de Madeira
1 - Identificar, adotando se necessário, as dimensões da seção transversal
dos elementos (b; e h;), que compõem a peça composta, a rigidez
(módulo de elasticidade) da madeira correspondente (E;) e a densidade
equivalente da madeira (pk).
Dimensões da seção:
[bÿ6
| b,=2x2,5
Características da madeira:
Interface 1 2,5 6 2,5 Elemento 1
[Kl6
| h2 =30 cm= 300mm
[KK6
cm=60 mm cm=60 mmH E
cm=50 mmu
o
Cl
cm=60 mm cm=60 mm
11 Cl Elemento 31Elemento 2
Interface 3 Ad =Pt3 = 950 kg/m3 ; E3 = E: = E3 = 10920 MPa
2 -Obter as características geométricas (A; e I;) da seção transversal de
cada elemento que compõem a peça composta.
b,.h; iA. = b,.h, e I,= Prof. Dr. Norman Barros Logsdon12
% Ver roteiro(página 6)402 0459 5- Estruturas de Madeira
Aj = 3600 mm2A, =bj.hj A, =60.60=> =>: l
b,.h; 60.603 It = 1080000 mm4:It = I,==>12 12
A2 =15000 mm2A2 = b2.h2 A2 = 50.300
50.3003
=>
b2.h2 I2 =112500000 mm4h= h=12 12
A3 = 3600 nmrA, = b3.h3 A, =60.60=>3 3
b3*h3 60.603 L =1080000 mm4I|= li —> 312 12
3 - Identificar, adotando se necessário,o diâmetro do prego (dj) utilizado na
ligação de cada elemento “i”, com o elemento 2, e os espaçamentos (sj
correspondentes.
Dados no enunciado => dj=d3=3,9 Sj = s3 = 20 cm = 200 mmmm e tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
16 
 
 
 
 
1 Ver roteiro(página 6)402 0459 5- Estruturas de Madeira
4 -Obter o módulo de deslizamento (K;), na interface de ligação entre o
elemento “i” e o elemento 2.
O objetivo desse problema é o cálculo de flechas, cuja verificação é para
Estado Limite de Serviço (utilização), portanto devem ser obtidos valores
de serviço (utilização).
_ Pu A 950u3,9 K( =5709,8 N/mmKt=Kser => K-! =20 20 20
_ PÍ3 4 950 3,9 = 5709,8 N/mme K3 =20 20
5 -Obter o fator de redução da inércia de cada elemento (yj).
1 L=vão, para vigas biapoiadas;
, i=1 e 3, e onde: í L=0,8.vão, para vigas contínuas;
L=2.vão, para vigas em balanço.
n=
r2=1 e i+ K,L2 J
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
! Ver roteiro(página 6)402 0459 5- Estruturas de Madeira
1 1 => yl = 0,5407/i = n2.10920.3600.2001+1+ K,.L2 5709.8.40002 r2=loo>
Viga biapoiada => L = vão =>
L = 4,00 m = 4000 mm De forma análoga à y-,, obtém-se; 73 = 0,5407
6 -Obter a distância entre os centro de gravidade (a|), da seção de cada
elemento “i”, até a linha neutra da peça composta (ver figura das seções).
_ /j.EpA).(h; ±h1)-/3.E3.A3.(h2 +h3)
2-Oÿi-Ej.Aj +/2.E2.A2 +/3.E3.A3)
a -fh2±hta2 -a, e a3 -a.2
0,5407.10920.3600.(300- 60) -0.5407.10920.3600.(300 -60) a2 = 0 mma2 = 2.(0,5407.10920.3600+1,00.10920.15000+ 0,5407.10920.3600)
300-60 300-60-0 => Sj =120 mm +0 => a3 =120 mm3i = e a3 =2 2
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
17 
 
 
 
 
% Ver roteiro(página 6)402 0459 5- Estruturas de Madeira
7 -Obter o produto de rigidez efetivo, (El)ef, levando em consideração a
rigidez da ligação.
3
(EI)rf = Z(E1.Il+r,-E1.Ai.a,2)
i-1
(EI)ef =(E1.I1+71.E1.A1.a[)+(E2.I2+/2.E2.A2.aÿ)+(E3.l3+/3.E3.A3.a;) =>
(El)ef =2.(l0920.1080000 +0,5407.10920.3600.1202 )
+(10920.112500000 +1,00.10920.15000.02 )
CParaEstados limites de Serviço (utilização)ÿ) (El)ef = 1864259953920 N.mnr
-
=>
Sendo E-, = E2 = E3 = Ec0ef = 10920 MPa, pode-se dizer ainda:
(El)ef 1864259953 920 Irf =170719776 mm4Ief = 4= =>Ec0,ef 10920
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exemplo de aplicação 04 -> As lâminas mais resistentes, de uma viga
de madeira laminada colada de Marupá, apresentaram módulo de
elasticidade de EMs = 12000 MPa e foram colocadas nos “quartos”
externos da seção da referida viga, as lâminas menos resistentes, de
EMj = 9000 MPa, foram aplicadas na “metade” central. Conhecidas as
dimensões da seção transversal dessa viga, esquematizada abaixo, que
produto de rigidez (E.l) deve ser utilizado no cálculo?
i2cmLâminas mais resistentes
(maior módulo de elasticidade)
6 cm
12 cm 24 cm
6 cm
Lâminas menos resistentes
(menor módulo de elasticidade)10 cm
Solução:
Nos casos de MLC com classificação das lâminas pelo módulo de
elasticidade, deve-se considerar a seção transformada e obter o produto
de rigidez por: íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
18 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
E.I - [2.Eÿs.I|j 4) +EMj.I(1 2)
Ao se decompor a seção composta, obtém-se:
Ek :y :yr—r-- T
X-L.i.j.x O
:‘Ti
3 = "fl't* 3
6 cm
12 cm
E
CM
-X Õ
c5 + AyJ CN,--rSI<°1 1 y
10 cm
6 cm ...L—r±r ;y Ay = o:y 10 cm10 cm10 cm
Ay = — - — =y 2 2 9 cm
Com as dimensões em “mm", obtém-se:
b,.h; 100.603
- !ix.x + AYI-AI => I(,,4) = 90:.(l00.60)+ Ayÿ.(b1.h1) =>II :(14) (14) 1212
I,! 4) = 50400000 nun4=>
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
100.1203
T _b2.h3
(12)~ 12
I =I I(12) 12=>=>(i 1 2)
I(1 2) = 14400000 nun4=>
Finalmente, obtém-se:
E.I = [2.EMS.I(1 4)+EM,.I(1,2)] E.I = [2.1200Q50400000f 9000.1440000(j
E.I =1339200000000 N.mnr=>
> Exemplo de aplicação 05 -> Durante 0 cálculo de uma viga fletida de
madeira laminada (com emendas de topo), com 7,00 m de comprimento e
composta por tábuas de seção 2,5 cm x 20 cm, se obteve uma altura
necessária de 51 cm (com 20 cm de largura). Com que altura mínima
deve ser construída esta viga? Apresente uma solução para a disposição
das emendas longitudinais (se existirem).
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
19 
 
 
 
 
!402 0459 5- Estruturas de Madeira
Solução:
Inicialmente deve-se lembrar, que a altura de uma viga de madeira
laminada é um múltiplo da espessura das tábuas que a compõem.
hviga
tábua
K«tábuas'®tábua ecessanantábuas _ «tábuas * =>® tábua
51
ntabuas = 21 tábuas«tábuas *TT => «tábuas * 20,4 =>2,5
Se as tábuas fossem inteiras, com 21 linhas de tábuas poder-se-ia
construir a viga, mas não é o caso, pois a viga tem 7 m e as tábuas
comerciais 5 m. Assim serão necessária emendas longitudinais.
Existência -> Quando £ÿQa > 4sbua = 5,00 m
C Uma emenda por seção
->< Distância > altura da viga
ISe tábuas adjacentes > 25.t
Corrigir deficiência -> tábua extrá> (emenda de topo)
Desencontrar
emendas> Emendas longitudinais ->
iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
A colocação da tábua extra aumenta o número de tábuas e, em
consequência, a altura da viga.
«final = «tábuas +1 «final =21+1 «finai = 22 tábuas=>
Afinal «final -etábua Afinalhgnaj =22.2,5 =55 cm=>
Uma solução para montagem da viga seria a apresentada a seguir.
Zona comprimida (emendas transmitem esforços)
55 cm{
40 1 55"55" 55 5555 55 55 55 55 55 55 55
700 cm
Zona tracionada (desencontrar emendas)
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
20 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
c) Exercícios propostos
> Exercício proposto 01 -> Seja uma peça de madeira bruta com 7,00 m
de comprimento, 50 cm de diâmetro na base e 35 cm de diâmetro no
topo. Para o cálculo de uma viga fletida, a que peça se deve associar a
peça de madeira bruta descrita acima?
> Exercício proposto 02 -> Qual o momento de inércia efetivo de uma
viga composta por dois postes, com 25 cm de diâmetro médio (central),
ii&
-EU-EU-E U•E U I
I
A<l
Seção Central A-A
porca e arruela-
parafuso. 25 cm
anel metálico
25 cm
íporca e arruela— Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
Exercício proposto 03 -> Qual a seção mais adequada de uma peça de
madeira falquejada, extraída de um toro de 4,00 m de comprimento e
25 cm de diâmetro mínimo, para ser utilizada em um pilar comprimida?
Exercício proposto 04 -> Qual a seção mais adequada de uma peça de
madeira falquejada, extraída de um toro de 7,00 m de comprimento e
40 cm de diâmetro mínimo, para ser utilizada em uma viga fletida?
Exercício proposto 05 -> Qual o momento de inércia efetivo de uma
viga composta por duas peças de madeira serrada, de seção
20 cm x 20 cm, solidarizadas por anéis metálicos?
>
>
>
Seção A-AAoA A —porca e arruelaA rjn JÒL
r "parafuso
metálico
porca e arruela
€3-E3-E3-E3-+-E3-E3-E3-E 3-
8II
V V J TA<l - 20 cm
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
21 
 
 
 
 
Exercício proposto 06 -> Sendo possível desprezar as forças de
cisalhamento nas ligações das seções esquematizadas na figura abaixo,
que características geométricas (área e momento de inércia efetivos)
deveriam ser utilizadas no cálculo destas vigas compostas solidarizadas
rigidamente por pregos?
2,5 6 2,5
m m in
CN ciCN
H-H 10 cmHWmH 2,5 cm
12 cm
£ mE oo oo coEB”l" ffl«I 1 2 6 27,5 cm11 cm
c) Seção "T"a) Seção caixão
Exercício proposto 07 -> Obter o produto de rigidez efetivo, (El)ef (em
torno do eixo horizontal), das seções “I” e “T” esquematizadas na figura
acima, considerando que as vigas são fletidas, biapoiadas, com 4,00 m e
3,00 m de vão, respectivamente, composta por peças de madeira serrada
b) Seção T
>
iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
!402 0459 5- Estruturasde Madeirasolidarizadas por pregos, com o objetivo de determinar a flecha máxima,
portanto em um Estado Limite de Serviço (utilização). A madeira é de uma
folhosa da classe de resistência D40, que tem densidade aparente
Pap.12% = 950 kg/m3 e módulo de elasticidade Eÿ = 10920 MPa. Os
pregos utilizados são comerciais, n° 19 X 33, possuem diâmetro de
3,9 mm e estão espaçados, longitudinalmente, entre si de 20 cm.
Exercício proposto 08 -> Se o objetivo do I
exemplo de aplicação 03 fosse a obtenção
das tensões atuantes máximas, que produto i
de rigidez efetivo deveria ser usado?
Exercício proposto 09 -> A figura ao lado
representa a seção de uma viga fletida de
MLC, que produto de rigidez (E.l) deve ser
utilizado no cálculo de flechas?
EMs= 10500 MPa
f JVEM- WOO MPa
FR T7.5 cm
15 cm 30 cm
>
>
=!= 7,5 cm
<y\
i—'—« EM s» 10500 MPa
10 cm
Exercício proposto 10 -> Durante o cálculo de uma viga fletida de
madeira laminada, com 5,00 m de comprimento e composta por tábuas
de seção 2,5 cm x 20 cm, se obteve uma altura necessária de 42 cm
(com 20 cm de largura). Com que altura mínima deve ser construída esta
viga? Apresente uma solução para a disposição das emendas
longitudinais (se existirem). Prof Norman Barros Logsdon J*
>
22 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
2. Modelo de segurança adotado pela norma brasileira
A norma brasileira para o “Projeto de estruturas de madeira”, NBR 7190
da ABNT (2012), adota o “Método dos Estados Limites”, descrito na
norma de “Ações e segurança nas estruturas”, NBR 8681 da ABNT
(2004). Estas normas, permitem o calculo em diversas situações de
projeto, que, por sua vez, definem os carregamentos e as verificações a
serem utilizados. Assim, tornam-se necessárias algumas definições
iniciais para entender e aplicar o método.
a) Definições iniciais
> Estados limites -> São os estados a partir dos quais a estrutura
apresenta desempenhos inadequados às finalidades da
construção. Os estados limites podem ser:
n Estados Limites Últimos -> São os estados que caracterizam
a paralisação, no todo ou em parte, do uso da construção
(ruptura, ruína ou perda de instabilidade).
n Estados Limites de Serviço (Utilização) -> São os estados
que não respeitam as condições especificadas para o uso
normal da construção (deformações ou vibrações excessivas).
Prof. Dr. Norman Barros Logsdoní
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Condição de segurança -> A segurança em relação a possíveis
estados limites pode ser expressa por:
Solicitação de cálculo
sd -?-dt Resistência de cálculo
> Tipos de ações -> As ações, definidas como as causas que
provocam esforços ou deformações nas estruturas, podem ser:
n Permanentes -> Ações que apresentam pequena variação
durante praticamente toda a vida da construção.
n Variáveis -> Ações que apresentam variação significativa
durante a vida da construção.
n Excepcionais -> Ações de duração extremamente curta, e
com baixa probabilidade de ocorrência, durante a vida da
construção.
Durante o cálculo de estruturas as ações devem ser combinadas,
levando-se em conta a probabilidade de ocorrência simultânea, de
modo a representar as situações mais críticas para a estrutura.
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
23 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Classes de carregamentos -> Um carregamento é especificado
pelo conjunto de ações que tem probabilidade não desprezível de
atuação simultânea. Conforme a duração da atuação simultânea
das ações pode-se definir uma classe para o carregamento
As classes de carregamento, de qualquer combinação de ações, é
definida pela duração acumulada da ação variável, tomada como
principal na combinação, e são definidas na tabela 3.
Tabela 3 - Classes de carregamento
AÇÃO VARIÁVEL PRINCIPAL DA COMBINAÇÃO
CLASSE DE
CARREGAMENTO Duração acumulada Ordem de grandeza da duração
acumulada da ação característica
vida útil da construção
mais de 6 meses
1 semana a 6 meses
menos de 1 semana
muito curta
Permanente
[~>Longa duração
Média duração
Curta duração
Duração instantânea
Permanente
Longa duração
Média duração
Curta duração
Duração instantânea
1Fonte: NBR 7190 da ABNT (2012) Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Tipos de carregamentos -> Conforme o tipo de ações envolvidas no
carregamento são definidos os seguintes carregamentos:
Carregamento normal -> Um carregamento normal inclui apenas
as ações decorrentes do uso previsto para a construção, é
considerado de longa duração e deve ser verificado nos
estados limites último e de serviço (utilização).
n
n Carregamento especial -> Um carregamento especial inclui as
ações variáveis de natureza ou intensidade especiais, cujos efeitos
superem em intensidade os efeitos produzidos pelas ações
consideradas no carregamento normal.
n Carregamento excepcional -> Na existência de ações com efeitos
catastróficos, o carregamento é definido como excepcional, e
corresponde à classe de carregamento de duração instantânea.
n Carregamento de construção -> Um carregamento de construção
é transitório e deve ser definido em cada situação particular onde
exista risco de ocorrência de estados limites últimos durante a
construção. tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
24 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Situações de projeto -> A norma brasileira, NBR 7190 da ABNT (2012),
considera as seguintes situações de projeto:
Situações duradouras -> Nas situações duradouras, que podem ter
duração igual ao período de referência da estrutura, devem ser
verificados os estados limites últimos e de serviço (utilização) e
devem ser consideradas em todos os projetos. Nas verificações de
segurança a estados limites últimos consideram-se combinações
últimas normais, enquanto que nas de estados limites de serviço
(utilização) consideram-se combinações quase permanentes de
serviço.
tt
n Situações transitórias -> Quando a duração for muito menor que a
vida útil da construção tem-se uma situação transitória, que só será
considerada se existir um carregamento especial, explicitamente
especificado, e na maioria dos casos verifica-se apenas estados
limites últimos, considerando-se combinações últimas especiais
ou de construção. Se necessária a verificação dos estados limites
de serviço (utilização), deve-se considerar combinações
frequentes de serviço ou raras. íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
!402 0459 5- Estruturas de Madeira
n Situações excepcionais -> As situações com duração
extremamente curta são consideradas excepcionais e verificadas
apenas quanto aos estados limites últimos, considerando-se
combinações últimas excepcionais. As situações excepcionais
devem ser explicitamente especificadas, sempre que houver
necessidade dessa consideração no projeto.
b) Combinações de ações em estados limites últimos
Combinações últimas normais -> São utilizadas para verificação
de estados limites últimos causados por um carregamento normal.
As ações variáveis são divididas em dois grupos, as principais
(/ÿqi iç) e as secundárias (Fqjik). Para as ações permanentes (Fgjk),
devem ser feitas duas verificações: a favorável, na qual as cargas
permanentes aliviam o efeito da atuação simultânea das ações; e
a desfavorável, na qual as cargas permanentes aumentam o efeito
da atuação simultânea das ações. Assim, para este caso, a ação,
ou solicitação, de cálculo (Fd) é obtida utilizando-se a expressão
apresentada a seguir, na qual os coeficientes yg, yq e entre
outros, são apresentados nas tabelas 4, 5, 6, 7 e 8.
>
kProf. Dr. Norman Barros Logsdon
25 
 
 
 
 
i402 0459 5- Estruturas de Madeira Se puderromper ->
N, V, Mete.iCombinações ultimas normais
Coeficientes de ponderação
Tabelas 4 a 7, páginas 26 e 27
Se carga rápida, Fq é multi¬
plicado por 0,75 (página 25)Mesmo sinal° do "5
3>'
í z
- 'V
Desfavorável
\
d “
VIi=l j=2 \Madeira isoladamente:
Desfavorável -> 1,3
Favorável -> 1,0
Valor característico
da carga permanente
Valor característico
da variável secundária
Valor característico
da variável principal
Fator de combinação
Tabela 8, página 28
Cargas variáveis
Só entram as com sinal de Fd
Efeitos dinâmicos
página 25
para madeira permanentes
pagina 25 Entram sempre iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeiran Coeficientes de ponderação para ações permanentes -> Os coeficientes
de ponderação e os fatores de combinação e de utilização utilizados nas
combinações de ações, estão definidos na NBR 8681, da ABNT (2004). Para
os elementos estruturais de madeira, no caso de ações permanentes
diretas consideradas separadamente, são recomendados, pela NBR 7190
da ABNT (2012), os seguintes coeficientes de ponderação:
[ Se desfavoráveTÿ> Elementos de madeira em geral -> yg- 1,3Elementos de madeira industrializados -> yg = 1,2
| Se favoráveÍÿ> Valor usual da NBR 8681NBR 7190 é omissa.Elementos de madeira -> yg- 1,0
a Fatores de redução de cargas rápidas -> Os efeitos dinâmicos de pontes
(impacto vertical, força centrífuga, força longitudinal e impacto lateral)
e o vento, quando variável principal, segundo a NBR 7190 da ABNT
(2012), em combinações últimas, devem ser reduzidas na verificação dos
elementos estruturais de madeira, multiplicando-as por 0,75. *-----.n Efeitos dinâmicos em pontes -> Segundo a NBR 7190 da ABNT (2012), a
força vertical (carga móvel, Fqm) e seus efeitos dinâmicos (impacto vertical,
Fqj), devem ser utilizados como variável principal (Fq1k=Fqm+0,75.Fqi) na
combinação de esforços.
Apenas na verificação dos elementos estruturais de madeira.
26 
 
 
 
 
Tabela 4-Coeficientes de ponderação yQ, para ações
permanentes diretas consideradas separadamente
Efeito
Combinação Tipo de ação Desfa¬
vorável
Favo¬
rável
Peso próprio de estruturas metálicas
Peso próprio de estruturas pré-moldadas
Peso próprio de estruturas moldadas no local
Elementos construtivos industrializados W
Elementos construtivos industrializados com adições in loco
Elementos construtivos em geral e equipamentos _
1,25 1.0
1,30 1.0
1,35 1,0Normal /—i 1,35 1.0
1,40 1.0
1,50 1.0
Peso próprio de estruturas metálicas
Peso próprio de estruturas pré-moldadas
Peso próprio de estruturas moldadas no local
Elementos construtivos industrializados <1>
Elementos construtivos industrializados com adições in loco
Elementos construtivos em geral e equipamentos (*>_
1.15 1,0
1,20 1.0
Especial ou de
construção
1,25 1,0
1,25 1,0
1,30 1,0
1,40 1.0
Peso próprio de estruturas metálicas
Peso próprio de estruturas pré-moldadas
Peso próprio de estruturas moldadas no local
Elementos construtivos industrializados
Elementos construtivos industrializados com adições in loco
Elementos construtivos em geral e equipamentos (2)_
1,10 1,0
1,15 1.0
1,15 1.0Excepcional
1,15 1,0
1,20 1,0
1,30 1,0
(1) Por exemplo: paredes e fachadas pré-moldadas, gesso acartonado.
(2) Por exemplo: paredes de alvenaria e seus revestimentos, contrapisos. Fonte: NBR 8681, da ABNT (2004)
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Tabela 5 -Coeficientes de ponderação yg , para ações permanentes diretas
agrupadas (consideradas em conjunto)
Efeito
Combinação Tipo de estrutura
Desfavorável Favorável
Grandes pontes
Edificações tipo 1 e pontes em geral (2>
Edificação tipo 2
1,30 1,0
<=ÿNormal 1,35 1,0
1,40 1,0
Grandes pontes <1>
Edificações tipo 1 e pontes em geral <2>
Edificação tipo 2 <3>
1,20 1,0Especial ou
de construção 1,25 1,01,30 1,0
Grandes pontes <1>
Edificações tipo 1 e pontes em geral <2>
Edificação tipo 2 <3>
1,10 1,0
Excepcional 1,15 1,0
1,20 1,0
<1> Pontes em que o peso próprio da estrutura supera 75% da totalidade das ações permanentes.
® Edificações tipo 1 são aquelas onde as cargas acidentais superam 5 kN/m2.
<3> Edificações tipo 2 são aquelas onde as cargas acidentais não superam 5 kN/m2.
Fonte: NBR 8681, da ABNT (2004)Cargas permanentes consideradas em
conjunto, ou sejaÿXg-Fp.k =——I___i-i i«i %Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
27 
 
 
 
 
t 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Tabela 6 - Coeficientes de ponderação yq, para ações variáveis
consideradas separadamente
Coeficiente de
ponderação
Combinação Tipo de ação
Ações truncadas <1>
Efeito de temperatura
Ação do vento
Ações variáveis em geral
1,2
1,2Normal <£ÿ 1,4
1,5
Ações truncadas d)
Efeito de temperatura
Ação do vento
Ações variáveis em geral
1,1
Especial ou
de construção
1,0
1,2
1,3
Excepcional Ações variáveis em geral 1,0
0) Ações truncadas são consideradas ações variáveis cuja distribuição
de máximos é truncada por um dispositivo físico de modo que o valor
dessa ação não pode superar o limite correspondente. O coeficiente
de ponderação apresentado nesta tabela se aplica a esse valor limite.
Fonte: NBR 8681, da ABNT (2004) íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
!402 0459 5- Estruturas de MadeiraTabela 7 - Coeficientes de ponderação rq, para ações variáveis
_ consideradas em conjunto *_
Coeficiente de
ponderaçãoCombinação Tipo de estrutura
Pontes e edificações tipo 1 (1> IANormal l Edificações tipo 2 1,4
Pontes e edificações tipo 1Especial ou
de construção
IA
Edificações tipo 2 <2> 1,2
Excepcional Estruturas em geral 1,0
0) Edificações tipo 1 são aquelas onde as cargas acidentais superam 5 kN/m2.
® Edificações tipo 2 são aquelas onde as cargas acidentais não superam 5 kN/m2.
* Para ações variáveis consideradas conjuntamente, o coeficiente de ponderação,
apresentado nessa tabela, se aplica a todas as ações, devendo-se considerar
também conjuntamente as ações permanentes diretas. Nesse caso permite-se
considerar separadamente as ações indiretas como recalque de apoio e retração
dos materiais e o efeito de temperatura.
Fonte: NBR 8681, da ABNT (2004)—•— Ações variaveisconsideradas em conjunto, ou seja:
/W+É = Yv FqIi+X V'oj-Fqj* íJ=- Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
28 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de MadeiraTabela 8 - Fatores de combinação e de redução t//0, V'I e W2
AÇÕES EM ESTRUTURAS CORRENTES 2
0,6 0,5 0,3• Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local
• Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral_ 0,6 0,3 0
CARGAS ACIDENTAIS DOS EDIFÍCIOS
• Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos
fixos, nem de elevadas concentrações de pessoas <1)
• Locais onde há predominância de pesos de equipamentos que
permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevadas
concentrações de pessoas (2)
• Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens_
0,5 0,30,4
0,7 0,6 0,4
0,8 0,7 0,6
CARGAS MÓVEIS E SEUS EFEITOS DINÂMICOS Vo
• Passarelas de pedestres
• Pontes rodoviárias
• Pontes ferroviárias não especializadas
• Pontes ferroviárias especializadas
• Vigas de rolamentos de pontes rolantes
0,6 0,4 0,3
0,7 0,5 0,3
0,8 0,7 0,5
1,0 1.0 0,6
1,0 0,8 0,5
,1) Edificações residenciais de acesso restrito;
(2) Edificações comerciais, de escritórios e de acesso público;
(3) Para combinações excepcionais onde a ação principal for sismo, admite-se adotar zero para v|/2;
(4> Para combinações excepcionais onde a ação principal for 0 fogo, y2 pode ser reduzido, multiplicando-o por 0,70.
Fonte: NBR 8681, da ABNT (2004)
!402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Combinações últimas especiais ou de construção -> Para
verificação de estados limites últimos causados por um
carregamento especial ou de construção, a combinação é a
mesma utilizada para o carregamento normal, com = iÿ0j,
salvo quando ação variável principal Fq1 tenha um tempo de
atuação muito pequeno, neste caso i//0jef = i//2j, portanto:
Fd “ +?q|ÿql,k +X
> Combinações últimas excepcionais -> Para verificação de
estados limites últimoscausados por um carregamento
excepcional, não se aplica o coeficiente de ponderação yq à ação
excepcional e se mantém o coeficiente definido para as
combinações especiais ou de construção, portanto:
m
Ygiÿgi,k Fq.exc Y VÿOj.efÿqj.k
i=l j=l
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
29 
 
 
 
 
% Se entortar ->u (flecha) etc.402 0459 5- Estruturas de Madeira
c) Combinações de ações em estados limites de serviço (utilização)
Combinações quase permanentes (de serviço) -> No controle
usual de deformações das estruturas são consideradas as
combinações quase permanentes. Nestas combinações, definidas
pela expressão abaixo, todas as ações variáveis atuam com seus
valores quase permanentes (y/2-Fq,k)-
>
iCombinações quase permanentes (de serviço)
Valor característico
da carga variável™
_2L_
2j'=i.k +F =xd?uti qjfk
H VIi=l
Valor de serviço
(utilização)
F-> u, vibração etc.
Valor característico Fator de redução
da carga permanente Tabela 8, página 28
Permanentes Cargas variáveis
Entram sempre Só entram as com sinal de Fdutj
Prof. Dr. Norman Barros Logsdoní
!402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Combinações frequentes (de serviço) -> Utiliza-se esta
combinação no caso de existirem materiais frágeis, não
estruturais, ligados à estrutura. Nestas condições a ação variável
principal atua com seu valor frequente (ÿ.Fq1k) e as demais com
seus valores quase permanentes (t//2.Fqk).
Fd,uti - XFeU+ +X
> Combinações raras de serviço -> São utilizadas quando for
importante impedir defeitos decorrentes das deformações da
estrutura. Neste caso a ação variável principal atua com seu valor
característico (Fp1k) e as demais com seus valores frequentes
(V'l-Fqj.k)-
Fd,utí =ZFgi,k+Fqi,k+ZÿiJFqj,k
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
30 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
d) Exemplos de aplicação (combinação de ações)
> Exemplo de aplicação 06 -> Uma determinada barra de uma tesoura, de um
telhado convencional de madeira, apresenta os esforços característicos
listados a seguir. Considerando que o telhado pode ser considerado como
uma edificação do tipo 2, pois seu carregamento é inferior a 5 kN/m2, e
sabendo-se que o carregamento é de longa duração e, em princípio, não se
sabe qual a ação variável principal, pede-se:
a) O esforço de cálculo máximo de compressão na barra;
b) O esforço de cálculo máximo de tração na barra.
Esforços normais nas barras (valores negativos indicam compressão,
positivos tração), devidos a:
•Peso próprio (telha, madeiramento e elementos de ligação) ->Ng
•Peso de água absorvida pelas telhas
•Vento de pressão
•Vento de sucção
=-16400 N
->Nqa = -2100 N
-»Nq’vp=-14900 N
VS= 900 N
íNote que o carregamento deveser considerado em conjunto. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
% C. Última Normal(página 25)402 0459 5- Estruturas de MadeiraSolução:
Os esforços solicitantes são as causas das rupturas nas seções das estruturas,
portanto produzem Estados Limites Últimos. Para verificação destes estados
são utilizadas combinações últimas, no caso de carregamento de longa duração
usa-se a Combinação Última Normal.
Na existência de mais de um carregamento variável, em princípio não se sabe
qual a variável a ser tomada como principal. Nestes casos, deve-se obter os
esforços de cálculo nas diversas hipótese possíveis (em cada hipótese, adota-
se um dos carregamentos como variável principal) e, entre os esforços de
cálculo obtidos, escolher o mais prejudicial estrutura.
a) Nd de compressão (-)
N -> Esforço solicitante pode causar ruptura -> Estado limite último =>
Combinação Última Normal (situação duradoura de projeto, para uso)
Nd(-) => Entram -> Ng (sempre); Nq a e Nq Vp (mesmo sinal de Nd) => por
existirem duas ações variáveis, usam-se duas hipóteses para Fq1k
Hipótese 1) Água é a variável principal (Fq1 k = Nqa)
Mesmo sinal
|
Nd = l,40.Ng +l,40.[Nqa +0,6.NqVP]
o
o
i \|/Q <- vento
co
CB
Fd = +Yv FqU+ÉÿOj-Fqj.fc
i«l j=2
\O)
cu
O
=>
31 
 
 
 
 
1 C. Última Normal(página 25)402 0459 5- Estruturas de Madeira
Nd =lJ40.Ng+l,40.[Nqa+0,6.NqVP] =1,40.(-16400)+1,40.[(- 2100)+0,6.(-14900)]
<Se água for a variável principa Nd= -38416 N
Hipótese 2) Vento de pressão é a variável principal (Fq1 k = NqVP)
Carga rápida
[ —--
=> Nd =1.40.Ng +1.40.[o,75.Nq w+0,5.Nqa
\|fo local
da águaMesmo sinal
Fd = r,-êF«Uc +;/q|
_
w
_V H_y1
Nd =l,40.Ng +l,40.[o,75.NqVP +0,5.NqJ=>Nd =l,40.(-16400)+l,40.[0,75.(-14900)+0,5.(-2100)]
vento de pressão for a variável principal => Nd =-40075 N
Finalmente, conclui-se sobre a variável a ser considerada principal e sobre o
esforço de cálculo (o maior, em valor absoluto, deles). Compressão
=> Nd Nionsidera-se o vento de pressãi
-ÿ_como variável principai_ÿ tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira C. Última Normal(página 25)
b) Nd de tração (+)
N -> Esforço solicitante => pode causar ruptura -> Estado limite último =>
Combinação Última Normal (situação duradoura de projeto, para uso)
Nd(+) => Entram -> Ng (sempre) e Nq Vs (mesmo sinal de Nd) => só existe
uma ação variável, portanto, Fq1k= NqVs
Carga rápidaSinais diferentes
Fd =re-fyÿ+r<l. Fqlsk +Xv/oj-Fq]*k j |favorável |=> Nd =l,0.Ng+l,40.[o,75.Nqvs]N
Nd =1,0.Ng + l,40.[o,75.NqVS] => Nd =1,0.(-16400)+1,40.[0,75.(900)] =>
Nd =-15455 NCompressão
O máximo esforço de tração obtido, ainda é de compressão,
portanto, não ocorrerá esforço de tração na barra.
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
32 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exemplo de aplicação 07 -> Uma tesoura, de um telhado convencional de
madeira, apresenta os deslocamentos verticais (flechas), no centro da
tesoura, listados a seguir. Considerando que o telhado pode ser considerado
como uma edificação do tipo 2, pois seu carregamento é inferior a 5 kN/m2, e
sabendo-se que o carregamento é de longa duração e, em princípio, não se
sabe qual a ação variável principal, pede-se:
a) O deslocamento vertical de serviço, para baixo, máximo na tesoura;
b) O deslocamento vertical de serviço, para cima, máximo na tesoura.
Deslocamentos verticais no centro da tesoura (valores positivos indicam
deslocamentos verticais para baixo, negativos para cima), devidos a:
•Peso próprio (telha, madeiramento e elementos de ligação) ->Ug =4,8 mm
->uqa = 0,6 mm
vp= 3,7 mm
-0,3 mm
•Peso de água absorvida pelas telhas
•Vento de pressão
•Vento de sucção
Note que o carregamento deve
ser considerado em conjunto. íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
!402 0459 5- Estruturas de Madeira C. Quase Permanente(página 29)
Solução:
a) uef ou Ujj uti para baixo (+)
u -> deslocamento =x> pode causar deformação -> Estado limite de serviço
(utilização) =x> Combinação quase permanente (de serviço), usual em
situação duradoura de projeto (uso previsto da edificação)
Ud,uti(+) => Entram -> ug (sempre); uq a e uq Vp (mesmo sinal de ud]Uti)
\\f2 <r local da água \\i2 4- vento
Fd,uti - +ÿ,//2j-Fqj.k => Ud,uti = ug +0,3.uqa +0,0.uq vp
Ud.ud =ug +0,3-Uqa+0,0.uqVP +0,3.0,6+0,03,7=>
Ud,ud >4ÿ98 mmPara baixo
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
33 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira C, Quase Permanente(página 29)
b) uef ou uduti para cima (-)
u -> deslocamento => pode causar deformação -> Estado limite de serviço
(utilização) => Combinação quase permanente (de serviço), usual em
situação duradoura de projeto (uso previsto da edificação)
Ud,uti(-) => Entram -> ug (sempre) e uq Vs (mesmo sinal de udiUtj)
\|/2 vento
m
Fd,uti - +ÿV/2j-Fqj,k uduti = 4,8+0,0.(- 0,3)ud,utí=ug+0;0.uqVS
máxima flecha negativa (para cima)
obtida, ainda é positiva (para baixo), portanto,
flecha para cima.
ud uti = 4,8 mm=> /
I Para baixo I
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exemplo de aplicação 08 ->Na figura, a seguir, estão representados
os carregamentos típicos de uma ponte rodoviária de madeira, sem
revestimento, aplicados em uma das vigas principais. Considerando
um produto de rigidez efetivo de Ec0rf.Irf =1,25.1013 N.mrrr, um
carregamento normal (para o uso previsto da construção), e que, em
princípio, não se sabe qual a ação variável principal, pede-se:
a) Os valores característicos do momento fletor, da força cortante e
do deslocamento vertical máximo (flecha) para cada um dos
carregamentos;
b) O momento fletor e a força cortante de cálculo;
c) O deslocamento vertical (flecha) efetivo.
Note que o carregamento pode
ser considerado separadamente. tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
34 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
12 KN 12 kN12 kN Impacto vertical Carregamento
> variável
Carga móvel (trem-tipo)50 kN 50 kN 50 kN
!3,00 N/mm Peso próprio daestrutura de madeira CarregamentopermanenteAUm uinnnuTTT
Note que as cargas podem ser consideradas
separadamente. Recomenda-se utilizar, sempre
que possível, as cargas separadamente, pois
se tem melhor controle do carregamento e os
esforços de cálculo resultam menores.
,0,50, 1,50 1,50 0,5ÿ
4,00 mh
> Solução
a) Valores característicos
A obtenção dos valores característicos é a resolução do
problema de “Resistência dos Materiais” e/ou “Estática das
Estruturas” envolvido.
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
402 0459 5- Estruturas de Madeira
a.1) Carga permanente
O esquema estático, correspondente a carga permanente, é
usual e está tabelado, portanto:
.3,00 N/mm ... . . p1 3.40001111111/iiiiiiiiirrm v!(„oaPo,o) = v=T= —
1500 ,500ÿ MS(n° Centl'°)=Mmãx = £V-
ug(no centro) =vmáx =
a.2) Carga móvel (trem-tipo)
O esquema estático, correspondente a carga móvel, pode ser
decomposto em dois problemas tabelados (alíneas b e g),
J portanto, pode-se utilizar a superposição de efeitos:
50000 N
Diagramas de
E. S. (Anexo 2)
Vg = 6000 N=>
pi2 3.400tf_A_ =6.000.000 N.mm;,500, 1500 8 8!
4000 mm 5.p.r _ 5.3.4000i
384.E.I 384.(1.25.1013)
r H
=> us = 0,80 mm
Diagramas de
E. S. (Anexo 2)
50000 N 50000 N 50000 N 50000 N 50000 N
-A- Zk.
,500, 1500 1500 ,500, 2000 2000 3000 404+
4000 mm 4000 mm 4000 mmr H
Carga móvel Alínea b Alínea g
35 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de MadeiraAplicando-se a superposição de efeitos obtém-se:
-+P=
50000 Vqm = 75.000 NVqm(n° apoio) = V +V*~g=2 +50000 =>alínea b 2
p, 50000.4000+50000.500 =i> Mqm=75.000.000 N.mm
4
Pa ,(3.í2-4.a!) 3
Mqm(nocentro)=M +M =—+P.a=aaneaV ‘alíneag
Pi3uqra(no centro) = ua]ineab +uaHnea g 48.E.I 24.E.I
50000.40003 50000.500
48.(l,25.1013) 24.(l,25.1013) (3.4000:-4.500:) uqm
=9,25 mmuqm(no centro) = =>
a.3) Impacto vertical
O carregamento, correspondente ao impacto vertical, é
proporcional ao da carga móvel, portanto, pode-se utilizar a
superposição de efeitos:
Vqj(no apoio) = =
1500 ,500, Mÿno centro)= =ÿ.75000000 =18.000.000 N.mm
1 12 12u0.(no centro) = —.uom = —.9.25qiV 50 qm 5Q
12 kN 12 kN 12 kNl tt Vqi =18.000 N
,500, 1500
4000 mm
uqi = 2,22 mm=>
!402 0459 5- Estruturas de Madeira
b) Valores de cálculo para Estados Limites Últimos (Vd e Md)
Os esforços solicitantes são as causas das rupturas nas seções das
estruturas, portanto produzem Estados Limites Últimos. Para
verificação destes estados são utilizadas combinações últimas, no
caso do carregamento normal usa-se a Combinação Última Normal.
Na existência de mais de um carregamento variável, em principio
não se sabe qual a variável a ser tomada como principal. Nestes
casos, deve-se obter os esforços de cálculo nas diversas hipótese
possíveis (em cada hipótese, adota-se um dos carregamentos como
variável principal) e, entre os esforços de cálculo obtidos, escolher o
mais prejudicial à estrutura.
No caso de exemplo isso não será necessário, pois o impacto
vertical (efeito dinâmico da carga móvel) só poderá existir na
presença da carga móvel, portanto, a carga móvel deveria ser
tomada como variável principal. Por outro lado, a NBR 7190 da
ABNT (2012) recomenda utilizar a carga móvel e seu efeito dinâmico
(impacto vertical), em conjunto, como variável principal.
iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
36 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira Apenas madeira Carga rápidab.1) Momento fletor de cálculo (Md)
Todos os momentos característicos encontrados produzem
tração embaixo, com valor máximo no centro. Assim, só faz
sentido procurar Md no centro e produzindo tração embaixo,
Aplicando-se a Combinação Última Normal, obtém-se:ÿ?ÿ
C. Última Normal
(página 25)
m
Fd - + <yql-ÿql,k + Xÿqj'ÿOj'ÿqj.k
i=l V—yW j-2
=> Md =1.3.Mg +L5.(\lqm +Mq,.0.75) =>
Md =1.3.6000000+1.5.(75000000+18000000.0.75) => Md =140.550.000 N.mm
b.2) Força cortante de cálculo (Vd)
No apoio esquerdo (direito), todas as forças cortantes
características encontradas são positivas (negativas).
Assim, só faz sentido procurar Vd positiva (negativa) no
apoio esquerdo (direito). Aplicando-se a Combinação Última
Normal, obtém-se: Carga rápida
Vd=l,3.Vg+l,5.(Vqm+Vqi.0,75)ic 1cFd = 2>Ak + rqi-Fql,k + Xÿ-V'oj-Fqj-.k
i=l j=2
=>
Vd =1,3.6000+1,5.(75000+18000.0.75) Vd =140.550 N
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
c) Valor efetivo (de cálculo) para o Estado Limite de Serviço (uduti)
Deslocamentos em uma viga não causam rupturas, mas podem
produzir Estados Limites de Serviço (utilização) fazendo a
estrutura perder funcionalidade. Para verificação destes estados
são utilizadas combinações de utilização, no caso do
carregamento normal usa-se a Combinação Quase Permanente
(de Serviço).
Todas flechas características encontradas são para baixo, com
valor máximo no centro. Assim, só faz sentido procurar udutl no
centro e para baixo. Aplicando-se a Combinação Quase
Permanente (de Serviço), obtém-se:
m
Fd,un - XFg*.k + Xÿ-Jÿqi.k
1=1 j=2
uef = ud ud = 0.80+0.3.9,25+ 0.3.2.22 => urf = ud,ud = 4ÿ24 mm
Uef = Ud,ut. = Ug +°:3uqm + 0,3-Uqi=> =>C. Quase Permanente
(página 29)
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
37 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
e) Outras definições encontradas na NBR 7190 da ABNT (2012)
No cálculo de uma estrutura de madeira podem ser utilizados valores
de resistências: obtidos em ensaios, realizados em laboratório, para
caracterização de espécies; fornecidos pela norma brasileira para o
projeto de estruturas de madeira, que apresenta o resultado de ensaios
de caracterização de diversas espécies; ou valores definidos pela
norma brasileira de acordo com a classe de resistência que a espécie
pertence. Estes valores de resistência deverão ser corrigidos para a
situação de utilização da estrutura. Para isto é necessário compreender
alguns conceitos definidos na NBR 7190 da ABNT (2012).
> Resistência -> A resistência é a aptidão da matéria suportar
tensões. Os valores de resistência, obtidos em ensaios, são
determinados convencionalmente pela máxima tensão que pode
ser aplicada a corpos-de-prova normalizados e isentos de defeitos
até o aparecimento de fenômenos particulares de comportamento
que restrinjam o emprego do material em elementos estruturais.
> Rigidez -> A rigidez é definida pelo módulo de elasticidade da
madeira, o qual determina o seu comportamento na fase elástico-
linear. iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Classes de umidade -> As propriedades de resistência e de
rigidez da madeira precisam ser ajustadas em função das
condições ambientais onde permanecerão as estruturas. Este
ajuste é feito em função das classes de umidade apresentadas na
tabela 9.
Tabela 9 - Classes de umidade
UMIDADE DE EQUILÍBRIO
DA MADEIRA, Ueq
CLASSES DE
UMIDADE
UMIDADE RELATIVA
DO AMBIENTE, Uamb
1 < 65% 12%
2 15%65% < Uamb 75%
3 18%75% < U-upb < 85%
4 > 25%Uamb > 85% durante longos períodos
Fonte: NBR7190, da ABNT (2012)
> Tipos de caracterização da madeira -> Para a caracterização de
um lote de madeira, para utilização estrutural, podem ser utilizados
três procedimentos distintos para a caracterizar as propriedades
de resistência e dois para as propriedades de elasticidade.
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
38 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de MadeiralCaracterização da madeira
Completa -> Todos ensaios, direções paralela e normal
> Resistência -> < Mínima -> Ensaios na direção paralela -> (Formulário
VSimplificada -> Ensaio de compressão paralèta
í"co,k /fIOJE _ 0>77 /ÿcO,k _
w/w = °.25
/ÿtO.k -
Cansaio de flexãoÿ
Completa -> Ensaios de compressão paralela e normal(> Rigidez -> 1Simplificada -> Ensaio de compressão paralela -> Ec90 = —.Ec020
Para verificação de estabilidade -> E -E0 05 - 0,7.Ec0mc0,k
1Notação utilizada
Tipo de valor ->
k = característico;
ef = efetivo;
d = cálculo, ou X
m = médio
Propriedade -> f = resistência; E = módulo de elasticidade
Solicitação -> c = compressão; t = tração;
v = cisalhamento e e = embutimento
/ Direção das fibras (0o, 90°, a etc.) íyn,z Prof. Dr. Norman Barros Logsdont
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Classes de resistência -> Visando padronizar as propriedades da
madeira, a norma adota 0 conceito de classes de resistência
(definidas na tabela 10), propiciando, assim, a utilização de várias
espécies com propriedades similares em um mesmo projeto.
_Tabela 10-Classes de resistência_
Classes de Resistência
(Valores na condição-padrão de referência U = 12 %)-o
srEc0,m
(MPa)
fc0,k
(MPa)
fv0,k
(MPa)
Eco,k=Eo,o5*
(MPa)
Paparentes Classes 5(kg/m3)(ti
m Cid) w C20 20 3500 2450 5004 l-2 z
â coC25 25 5 8500 5950 550co <§E roC30 30 6 14500 10150 600o O
O2 D20 20 4 9500 6650 650«T CDCL
CO
8
(0
CD
S.S D30 30 5 14500 10150 800 cn
O
II
tf) CQ8 D40 40 6 19500 13650 950 z
a)
£ 1D50 50 7 22000 15400 970
5. oD60 60 8 24500 17150 1000 U.
39 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
f) Valores de cálculo das resistências e das rigidezes
Obtidos os valores característicos das propriedades da madeira
pode-se obter valores de cálculo por:
Valor de cálculo -> Valor característico -> f = resistência ou
E = módulo de elasticidadef = resistência ou
E = módulo de
elasticidade Resultados de ensaios
Xk Classes de resistênciaTabela 10, página 38Xd=kmod
/w Coef. de minoração
Tabela 15, página 41]
Coeficiente E — V V Vinod mod,l' inod.2 ' *mocl,3de modificação
(situação de uso)
Duração da carga
Tabela 11, página 39
Qualidade da madeira
Tabelas 13 e 14, páginas 40 e 41
Para MLC -> consultar norma
=k Fmod cO.mEcO.ef
E_ cO.ef
c9°,ef 20~G., =E Umidade da madeira (Classe)Tabela 9, página 37 Valores de kmod 2Tabela 12, página 40C=>ef
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Tabela 11- Valores de kmod •, (considera a classe de carregamento e o tipo de
material empregado)_
Ação variável principal da combinação Tipos de madeira
Classes de
carregamento
Madeira serrada
Madeira roliça
Madeira laminada colada
Madeira compensada
Ordem de grandeza da
duração acumulada da
ação caracteristica
Madeira
recomposta
Duração
acumulada
Vida útil da construçãoPermanente Permanente 0,60 0.30
Mais de seis meses czr> (JT70 )Longa duração Longa duração 0.45
Média duração Média duração 0.80 0.65Uma semana a seis meses
Curta duração Curta duração Menos de uma semana 0,90 0.90
Instantânea Instantânea Muito curta 1.10 1.10
Fonte: NBR 7190, da ABNT (2012) t
iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
40 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Tabela 12 - Valores de kmod2 (considera a classe de umidade e o tipo de
material empregado )
Madeira serrada
Madeira roliça
Madeira laminada colada
Madeira compensada
Classes de
umidade Madeira recomposta
1.00<=t> d) 1,00
(2) 0.90 0,95
(3) 0.80 0,93
0,90(4) 0,70
tfFonte: NBR 7190,da ABNT (2012) OBS.: Para madeiras submersas,admite-se kmod2=0,65
1Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Segundo a atual NBR 7190, da
ABNT (2012), a qualidade da
madeira é definida após
classificação, no mínimo por
método visual, definindo um
dos seguintes níveis:
Tabela 13 - Valores de kmod3 para folhosas
(madeira classificada )
Tipo de classificação 5
Classe
h-Apenas visual Visual e mecânica zco<
SE - Classe Estrutural Especial;
S1 - Classe Estrutural N° 1;
S2 - Classe Estrutural N° 2;
S3 - Classe Estrutural N° 3.
SE 0,90 1,00
o
CDS1 0,85 0,95 £
S2 0,80 0,90 coz
VDefinida a classe da madeira, o
coeficiente kmod3 é fornecido
nas Tabelas 13 e 14.
S3 0,75 0,85 o
OBS.: Madeira de folhosa não classificada,
admite-se: kmod3=0,70
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
41 
 
 
 
 
!402 0459 5- Estruturas de Madeira
Tabela 14 - Valores de kmod3 para coníferas (madeira classificada )
Tipo de classificação As coníferas
também são
classificadas
pela classe de
densidade.
Classificação Classe
Apenas visual Visual e mecânica
SE-D 0,70 0,90
S1-D 0.800,60Densas cT
(D) 5S2-D 0,50 0,70 Cl
S3-D 0,40 0,60 CD< ANBR7190,
-o da ABNT (2012),
§ I não permite o
IC l uso de madeira
de conífera nãa
z \classificada.
SE-ND 0,60 0,80
S1-ND 0,50 0.70Não-Densas
(ND)
S2-ND 0,40 0,60
V
cS3-ND 0,30 0,50 o
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Tabela 15 -Coeficientes de minoração, yw
COEFICIENTE DE
MINORAÇÃO ywSITUAÇÃO
PARA ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
• Compressão
• Tração
• Cisalhamento
Ywc -
Ywt = !>8
Ywv =
PARA ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO
• Adota-se o valor básico Yw =1>°
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
42 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeirag) Exemplo de aplicação (valores de cálculo de resistências e rigidezes)
> Exemplo de aplicação 09 -> Que valores de cálculo usar no projeto
de uma estrutura construída em Cuiabá, utilizando madeira serrada
de uma dicotiledônea, adquirida no comércio local, da classe de
resistência D60?
Estes dados, e os conceitos e definições vistos, permitem obter os
valores de cálculo como segue:
1 - Valores característicos previamente conhecidos
W=60 MPa
fy,k = 8 MPa
Classes de resistência
Tabela 10, página 38 Ec0m = 24500 MPa>Dicotiledônea
D60 Ec0 k =17150 MPa
1000 kg/m3Paparente
lProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver formulário(página 38)
2 - Outros valores característicos
Madeira usual (comercializada) -> Formulário para caracterização simplificada
_ fço.k
0,77
60ftO.k ~f«/f« =0.77 ftO.k ft0k = 77,92 MPa=>0,77
WfcO,k=0-25 ~ 0?25.fc0k fc9o,t _ 0,25.60 => fc90 fc — 15 MPa
feO,k/fcO,k=1’00 W = 60 MPa
W/fc0,k=O>25 few.k = 0-25.fc0k => fe90,k= 0,25.60 => fe = 15 MPa90,k
Wfto,k = 0’05 = 0,05.ft0k => ft90 k = 0,05 .77,92 => ft90k = 3,90 MPa90,k
1 24500Ec90,m 20 Ecso.m = 1225 MPa=>c0,m
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
43 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
3 - Coeficiente de modificação (considerar situação de uso)
Carregamento normal
(uso) -> longa duração
Duração da carga
Tabela 11, página 39 -> kmo41=0,70
Classe de Umidade
Tabela 9, página 37 k =1,00Cuiabá, Uamb < 65%
Classe de umidade 1
mod,2
Valores de kmod 2
Tabela 12, página 40
Cuiabá, comércio não
classifica madeira -> k 0,70Qualidade da madeiraTabela 13*, página 40-> mod,3
= V V V''mod ''‘modi' mod.2' mod,3 0,70.1,00.0,70 => kmod = 0,49=> kmod
4 - Coeficientes de minoração das resistências
Compressão (embutimento) -> Xwc ~ 7™ ~ 1,4íCoef. de minoraçãoTabela 15, página 41 -> 7*t = fwv = L8Tração e cisalhamento ->
t* Tabela 14, página 41, quando conífera Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de MadeiraXk5 - Valores de cálculo ( Xd = kmod ! kmod'ÿcO.m 6 —
IçQ.k 60_ kmod fco,d - 0,49.=> fc0 d = 21,00 MPa1,4
fç90,k 15lc90,d — k =>fc9o,d =0,49.— fc90,d = 5,25 MPamc d 1,4
77,92ko.d _ kmcd fto,d _ 0,49. => ft0,d = 21-21 MPa= fc0d => ft0,d = 21,00 MPa1,8
3,90ft90,d kmod =>f*u=0,49. ft90.d = l.°6 MPa1,8
fv,k 8fv.d = k = 0,49.— => fvd = 2,18 MPamod 1,8
IgQ.k
7we
60fe0.d=k l"e0.d _ 0,49 • => fe0 d= 21,00 MPamod 1,4
IProf. Dr. Norman Barros Logsdon
44 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeirafe90,k 15l'e90,d - “ 0,49. _ . => fe90 d=5,25 MPa1,4Ywe
17150
E =>ECM=0,49. —S Ec0d = 6003 MPacO,d 1,4K c
Ec0.ef _ Emod.E =>Ec0ef = 0,49.24500=>
12005
Ec0 ef = 12005 MPacO:m
•ÿcO;ef
Gef — Ec90,ef — Gef Ec90.ef =>20 Gef - Ec90ef _ 600 MPa
Gef — Ec90 ef - kmod.Ec90iin =>Gef - Ec90ef -0,49 .1225 =>
h) Tabela dos valores de cálculo das resistências e da rigidezes
De forma análoga, ao exemplo apresentado, podem ser obtidos os
valores de cálculo para todas as classes de resistências das
folhosas, apresentados na Tabela 16. Estes valores são validos na
região Centro Oeste do Brasil (classe de umidade 1), para madeira
não classificada, sempre que o carregamento for de longa duração
(carregamento normal).
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Tabela 16 - Valores de cálculo para madeira não classificada de folhosas
Valores de cálculo para as classes de resistência das folhosas
(Valores na condição padrão de referência U = 12%)
fcO.d
(MPa)
fc90,d
(MPa)
ftO.d ft90,d
(MPa)
fv0,d
(MPa)
feO.d
(MPa)
fe90,d
(MPa)
Eco.d*
(MPa)
EcO.ef
(MPa)
GefClasse Pap,12%
(kg/m3)(MPa) (MPa)
D20 7,00 1,75 7,00 0,35 1,09 7,00 1,75 2328 4655 233 650
D30 10,50 2,63 10,50 0,53 1,36 10,50 2,63 3553 7105 355 800
D40 14,00 3,50 14,00 0,71 1,63 14,00 3,50 4778 9555 478 950
D50 17,50 4,38 17,50 0,88 1,91 17,50 4,38 5390 10780 539 970
D60 21,00 5,25 21,00 1,06 2,18 21,00 5,25 6003 12005 600 1000
Os valores de cálculo acima consideram: carregamento de longa duração; classe de umidade 1;
madeiras não classificadas, que possam ser enquadradas nas classes de resistência e caracterizadas
de maneira simplificada em acordo com a NBR 7190 da ABNT (2012).
* Utilizar apenas para verificação de estabilidade
Ver notação
(página 38) Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
45 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de MadeiraExercícios propostos
Exercício proposto 11 -> Uma determinada barra de uma tesoura, de um
telhado convencional de madeira, apresenta os esforços característicos
listados a seguir. Considerando que o telhado pode ser considerado como
uma edificação do tipo 2, pois seu carregamento é inferior a 5 kN/m2, e
sabendo-se que o carregamento é de longa duração e, em princípio, não se
sabe qual a ação variável principal, pede-se:
a) O esforço de cálculo máximo de compressão na barra;
b) O esforço de cálculo máximo de tração na barra.
Esforços normais nas barras (valores negativos indicam compressão,
positivos tração), devidos a:
•Peso próprio (telha, madeiramento e elementos de ligação) -> Ng
•Peso de água absorvida pelas telhas
•Vento de pressão (vento à barlavento)
•Vento de pressão (vento à sotavento)
•Vento de sucção (vento à barlavento)
•Vento de sucção (vento à sotavento)
= -48601 N
-> Nqa = -6327 N
-> Nq Vpb = -30873 N
Nq VPs = -22514 NNq'vsb = 17243 N
Nq'vss = 21795 N
ÍNota: Não é possível a ação simultânea deduas direções, ou sentidos, de vento. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exercício proposto 12 -> Uma determinada barra de uma tesoura, de um
telhado convencional de madeira, apresenta os esforços característicos
listados a seguir. Considerando que o telhado pode ser considerado como
uma edificação do tipo 2, pois seu carregamento é inferior a 5 kN/m2, e
sabendo-se que o carregamento é de longa duração e, em princípio, não se
sabe qual a ação variável principal, pede-se:
a) O esforço de cálculo máximo de compressão na barra;
b) O esforço de cálculo máximo de tração na barra.
Esforços normais nas barras (valores negativos indicam compressão,
positivos tração), devidos a:
•Peso próprio (telha, madeiramento e elementos de ligação) -> Ng
•Peso de água absorvida pelas telhas
•Vento de pressão (vento à barlavento)
•Vento de pressão (vento à sotavento)
•Vento de sucção (vento à barlavento)
•Vento de sucção (vento à sotavento)
= 45630 N
5940 NNq,a =
31480 N
NqVPs = 20778 N
Nq'vsb = -34036 N
NqVSs= -19863 N
tNota: Não é possível a ação simultânea deduas direções, ou sentidos, de vento. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
46 
 
 
 
 
5 402 0459 5- Estruturas de Madeira> Exercício proposto 13 -> Uma tesoura, de um telhado convencional de
madeira, apresenta os deslocamentos verticais (flechas), no centro da
tesoura, listados a seguir. Considerando que o telhado pode ser considerado
como uma edificação do tipo 2, pois seu carregamento é inferior a 5 kN/m2, e
sabendo-se que o carregamento é de longa duração e, em princípio, não se
sabe qual a ação variável principal, pede-se:
a) O deslocamento vertical de serviço, para baixo, máximo na tesoura;
b) O deslocamento vertical de serviço, para cima, máximo na tesoura.
Deslocamentos verticais no centro da tesoura (valores positivos indicam
deslocamentos verticais para baixo, negativos para cima), devidos a:
•Peso próprio (telha, madeiramento e elementos de ligação) -> ug = 12.455 mm
-> Ugiig = 56,683 mm
-> ugcf = -30,000 mm
” uq,a
uq,VP =
-> uq vs = -4,886 mm
•Deformação das ligações (permanente)
•Contraflecha (permanente)
•Peso de água absorvida pelas telhas
•Vento de pressão
•Vento de sucção
1,621 mm
7,112 mm
Nota: Aplicar contraflecha é construir a estrutura já deformada
em sentido contrário à flecha esperada.
i402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exercício proposto 14 -> Que valores de cálculo usar no projeto de uma
estrutura construída em Manaus (classe de umidade 3), utilizando madeira
serrada de uma dicotiledônea, adquirida no comércio local, da classe de
resistência D40?
Exercício proposto 15 -> Que valores de cálculo deveriam ser usados no
projeto de uma estrutura de madeira pré-fabricada, cuja indústria classificou
visual e mecanicamente a madeira como sendo SE-ND de uma conífera da
classe de resistência C30, se a referida estrutura fosse em Cuiabá?
> Exercício proposto 16 -> Como deveriam ser corrigidos os valores
fornecidos na Tabela 16, para estruturas construídas em Manaus (classe de
umidade 3)?
* Exercício proposto 17 -> É possível preparar uma tabela equivalente a
Tabela 16 para as coníferas? Monte a tabela, em caso afirmativo, ou
justifique, em caso negativo.
iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
47 
 
 
 
 
? 402 0459 5- Estruturas de Madeira
3. Tração
Conforme a direção de aplicação do esforço de tração, em relação às
fibras da madeira, pode-se ter a madeira submetida à tração paralela ou
à tração normal. A resistência da madeira a esforços de tração paralela
às fibras é muito alta, enquanto que a resistência à tração normal às
fibras é muito baixa e frequentemente desprezada. A resistência da
madeira a um esforço de tração aplicado em uma direção inclinada, em
relação às fibras, apresenta um valor intermediário entre as observadas
na tração paralela e normal.
0ICÍ?
40
Tração paralela
v. às fibras
Tração normal
às fibras
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
a) Tração paralela às fibras
Segundo a NBR 7190, da ABNT (2012), os esforços resistentes das
peças estruturais de madeira devem ser determinados com a
hipótese de comportamento elastofrágil do material, isto é, com um
diagrama “tensão X deformação” linear até a ruptura tanto na
compressão quanto na tração.
Assim, o Estado Limite (Último) de peças submetidas à tração
paralela às fibras é o de ruptura, na seção menos resistente, por
tensões de tração e as bases para o dimensionamento são asestudadas em “Resistência dos Materiais”
/"Tensões normais uniformemente distribuídas
NÿForça normal
Área da seção transversal
normal (“sigma”)
a
f
Efeito da I-
Força \ <j=
Normal (N) %aNmax N> Segurança à ruptura Zÿ>
Resistência do material —
(à tração ou compressão)
atenalA s
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
48 
 
 
 
 
!402 0459 5- Estruturas de Madeira
A descontinuidade do material, causada por furos ou cortes para
entalhes, impedirá a transmissão do esforço de tração, portanto, a
área da seção transversal a ser considerada deve ser a área efetiva
(descontados os furos e entalhes). Assim, o dimensionamento de
peças estruturais de madeira submetidas à tração paralela às fibras
pode ser feita aplicando-se o seguinte roteiro.
> Roteiro - Tração paralela às fibras
1 -Obter a força normal de cálculo (Nd), se necessário, traçando
o(s) diagrama(s) de força(s) normal(is).
2 -Obter a área da seção transversal da barra (A).
3 -Obter a área efetiva (Agf) de madeira, da seção transversal.
a) Se conhecida a ligação.
A = A — A enfraquecimentos
Na qual, em geral:
A = A + Afaros entalhes iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
!402 0459 5- Estruturas de Madeira
n Furos para colocação de pregos e parafusos.
SEÇÃO A- AA<
Afeo = b.0I*o
A furoA<l
n Entalhes para colocação de dentes.
SEÇÃO A- A
A<l b > A = b.eei: ill,
Aentalhe
A<l
b) Se desconhecida a ligação.
Aef = 0,70.A íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
49 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
4 -Obter a tensão atuante, de cálculo, máxima (otd).
NdCTtd = Aef
5 -Verificar e concluir sobre a seção.
= , opcionalmente: =
N?
Aef-Itoj
<1
Aef V
Resistência à tração paralela às fibras
H Se CTW« Vd (CTtdIfffl.d«
folga ao esforço, pode-se diminuir a seção.
n Se cytd>ftod (atd/ft0d> 1) => a madeira não resiste ao
esforço, é necessário aumentar a seção.
1) => a madeira resiste com
n Se crld=ft0 d(atd/ft0d=1), mas ainda menor => a madeira
resiste, praticamente no limite, ao esforço, é a seção
ideal. íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
!402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exemplo de aplicação 10 -> Obter a seção da barra 1-3, da
tesoura esquematizada abaixo, construída com madeira de
uma folhosa da classe D30. Sabe-se que para facilidade na
montagem das ligações, a barra deve ter largura de 6,00 cm
e que os esforços característicos na barra (obtidos em Planos
Cremona) são os listados abaixo (positivos se de tração,
negativos se de compressão). Considere: edificação do tipo 2
(cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2), classe de umidade 1,
carregamento de longa duração e que, em princípio, não se
sabe qual a ação variável principal.
Peso próprio (telhas, madeiramento e ligações)-> 17000 N
Peso de água absorvida pelas telhas
Vento de pressão
Vento de sucção
4
-> 2500 N
-> 15000 N
-1000 N
Note que o carregamento deve
ser considerado em conjunto.1,20 m
,8
1,50 5 1,50 7 1ÿ50
._6,00 m_ Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
50 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 48)Solução:
Acompanhando o roteiro apresentado, obtém-se:
1 -Obter a força normal de cálculo (Nd), se necessário, traçando
o diagrama de força normal.
Os esforços característicos podem ser classificados como:
Permanente -> Peso próprio
í Água
Variáveis -> \ Vento de pressão
Vento de sucção
Ng=17000 N
-» Nq a = 2500 N
Nq VP = 15000 N
Nq vs = -1000 N
Esforços solicitantes, como a forca normal, podem causar
ruptura de seções, portanto, causar um Estado Limite
Últimos. Estes estados são verificados com combinações
últimas, para o carregamento de longa duração
(carregamento normal) usa-se a Combinação Última Normal.
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
!402 0459 5- Estruturas de Madeira
Da existência de três carregamentos variáveis, um
caracterizando esforço de compressão e dois esforços de
tração, percebe-se, ao observar a expressão de Combinação
Última Normal, a possibilidade de três diferentes
combinações: 1) Ng e Nq Vs possibilitando Nd de compressão;
2) Ng, Nq a (como variável principal) e Nq Vp, fornecendo Nd de
tração; 3) Ng, Nqa e NqVp (como variável principal),
fornecendo outro Nd de tração.
C. Última Normal
(Página 25)
Assim, devem ser obtidos esses três valores de Nd,
identificando a hipótese adotada, e: 1) se existir Nd de
compressão, com ele verificar a barra à compressão; 2) com
o maior valor obtido para Nd de tração, identificar a variável
principal assumida e verificar a barra à tração.
Como a direção das fibras da barra 1-3 (ao longo do
comprimento) é a mesma dos esforços Nd (nos três casos),
as duas verificações descritas acima devem ser feitas na
direção paralela às fibras.
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
51 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
4- Procurando valores de compressão para Nd (-)
Nesta situação devem ser consideradas todas as cargas
permanentes (entram sempre) e apenas as cargas variáveis
com mesmo sinal de Nd (portanto, de compressão). Assim,
aplicando-se a combinação obtém-se:
C. Última Normal
(Página 25)
Não existe
compressão na
barra 1-3/N«-,=1,0.NIW+1,4.(N1.VS<_).0,75) =>
1,00.17000 +1,4.[(-1000)0,75] => N '+15950 NN d(-)d(-)
4- Procurando valores de tração para Nd (+)
Nesta situação devem ser consideradas todas as cargas
permanentes (entram sempre) e apenas as cargas variáveis
com mesmo sinal de Nd (portanto, de tração). Assim, existem
duas possíveis variáveis principais. Adotam-se, por hipótese,
as duas possibilidades e o maior valor de Nd será utilizado
no cálculo.
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Hipótese 1 -> Assumindo a água como variável principal:
C. Última Normal
(Página 25) 1.4-(N„W+0,6.N
= 1,4.17000 +1,4.(2500+0,6.15000) => Nd(+) = 37800 N
)N1(., = 1,4.N +g(-) q,VP(-)
Nd(-)
Hipótese 2 -> Assumindo o vento de pressão como variável
principal:
.0,75 +0,5.Nqa(+))
Nd(_} =1,4.17000+1,4.(150000,75+0,5.2500) => NdW= 41300N
1,4. NNd(+) =1,4.N +g(-)
Portanto, deve-se assumir o vento de pressão como variável
principal e utilizar para dimensionamento da barra uma força
normal de cálculo, Nd = 41300 N, de tração.
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
52 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 48)
2 -Obter a área da seção transversal da barra (A).
C. Geométricas
(Anexo 1) h (mm) A = 60.h mm"A = b.h =>
6 cm =
60 mm
3 -Obter a área efetiva (Aef) de madeira, da seção transversal.
Para ligação desconhecida.
Aef = 42.h mnrAef = 0,70.A => Aef = 0,70.(60.h)
4 -Obter a tensão atuante, de cálculo, máxima (atd).
41300 983,33Nd MPa=> <?« = => == Tÿ 42.h hAef
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 48)
5 -Verificar e concluir sobre a seção.
Nd DICA -> Quando se carrega incógnita
pode-se impor a solução ideal.
= - ft0,d
Aef
Para as condições especificadas no enunciado, a resistência da
madeira esta tabelada, portanto:
Folhosa classe D30 ->
C. da madeira
(Página 44) ft0d = 10,50 MPa
Assim:
983,33Nd — < 10.50 => h>
h
A solução ideal para o problema é a seção comerciai de largura
6 cm (dada no enunciado) e altura imediatamente superior a
93,65 mm = 9,4 cm. Das seções encontradas no comércio,
recomenda-se:
=Tÿfto,d => h> 93,65 mm10,50Aef
Seções comerciais
(Tabela 1, página 4)
cQtíjjzãra seção comercial 6cm x 12crn(vigota)I>
iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
53 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exemplo de aplicação 11 -> Qual a máxima força normal de
cálculo, de tração, a que pode resistir uma peça de madeira
classe D60 (dicotiledônea), de seção 6,00 cm x 12,00 cm,
sendo que 3,00 cm de sua altura são utilizados em entalhes e
colocação de parafusos (figura abaixo)?. Considere: edificação
dotipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2), classe de
umidade 1, carregamento de longa duração e que, em
princípio, não se sabe qual a ação variável principal.
3
6 cm
3
SEÇÃO A- A
6 cm
1—1yA entalhe
-d TESíI1,8 cm
12 cm jgxl,2 cm
A furo
6
-*-1,8 cm
x1,2 cm12 cm o o
<JA íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
1402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 48)Solução:
Procura-se uma força de tração, a direção do esforço normal é
a mesma da barra da treliça, que é disposta ao longo do
comprimento (direção das fibras). Assim, o problema é de
tração paralela as fibras, portanto, pode-se acompanhar o
roteiro correspondente.
1 -Obter a força normal de cálculo (Nd), se necessário, traçando
o diagrama de força normal.
É a incógnita do problema => Nd = Nd N
2 -Obter a área da seção transversal da barra (A).
C. Geométricas
(Anexo 1)
12 cm = ---
120 mm A =b.h => A = 60.120 => A = 7200 mm2
6 cm =
60 mm
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
54 
 
 
 
 
402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro
(página 48)
3 -Obter a área efetiva (Aef) de madeira, da seção transversal.
Para ligação conhecida.
A = A — An , com A - Afiÿ +Aenfraquecmentos entalhes
No caso, observando-se a figura dada, tem-se:
Aíúro = 720 mm2=> Afro =6.1,2 = 7,2 cm2
= 6.1,8 =10,8 cm2 =>
Aÿo = b.0 =>
+
Açntalhe =1080 IM112Aentalhe = b-e => Aentalhe
= 6.(12+1.8) =1&0 cmW Aenfraq =1800 mm2=b.(0+e) =>AAenfraq enfraq
Xi Altura utilizada
Aef = A-Aenfrsquecinentos Aef = 7200-1800 => Aef = 5400 mm2
iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro
(página 48)
4 -Obter a tensão atuante, de cálculo, máxima (ctd).
Nd Nd MPa=> ==-7ÿ 5400Aef
5 -Verificar e concluir sobre a seção.
Nd DICA -> Quando se carrega incógnita
pode-se impor a solução ideal.. — I'tO.dAef
Para as condições especificadas no enunciado, a
resistência da madeira esta tabelada, portanto:
Dicotiledônea classe D60 ->
C. da madeira
(Página 44)
ft0d =21,00 MPa
Assim:
Nd NdCTtd , — ItO.d < 21,00 =>Nd <21,00.5400=>Nd <113.400 NAef 5400
A máxima força normal de cálculo de tração, que poderá
ser usada, é Nd = 113.400 N.
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
55 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
b) Tração normal às fibras
Quando as tensões de tração normal às fibras puderem atingir
valores significativos, deverão ser empregados dispositivos que
impeçam a ruptura decorrente dessas tensões. A segurança das
peças estruturais de madeira, em relação a estados limites últimos,
não deve depender diretamente da resistência à tração normal às
fibras do material (NBR 7190, da ABNT (2012)).
Quando não for possível atender essa recomendação, a verificação
de peças fracionadas na direção normal às fibras pode ser feita de
maneira semelhante a apresentada para tração paralela, utilizando-
se a resistência de cálculo à tração normal às fibras (f®ÿ)-
c) Tração inclinada às fibras
Sempre que o ângulo entre o esforço aplicado e a direção das fibras
for superior a 6o, segundo a NBR 7190 da ABNT (2012), deve-se
considerar a correspondente redução de resistência.
iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
A NBR 7190, da ABNT (2012), recomenda a utilização da
expressão de Hankinson, apresentada a seguir, para obter a
resistência à tração inclinada às fibras.
J Resistência à tração inclinada
ft0,d-ft90,d'ft“’d ftod.sen2or + ft90 d.cos2 a — Resistência à tração paralela
/
Resistência à tração normalÂngulo entre o esforço aplicado
e a direção das fibras.
Assim, a verificação de peças tracionadas em uma direção inclinada
às fibras pode ser feita de maneira semelhante a apresentada para
tração paralela, utilizando-se a resistência de cálculo à tração
inclinada às fibras (ftad).
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
56 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exercício proposto 19 -> Obter a seção de uma barra da tesoura
de um telhado, construída com madeira de uma folhosa da classe
D60. Sabe-se que para facilidade na montagem das ligações, a
barra é composta por duas tábuas (ou sarrafos) de espessura 2,50
cm e afastados entre si de 6 cm, que os esforços característicos
na barra (obtidos em Planos Cremona) são os listados abaixo
(positivos se de tração, negativos se de compressão). Considere:
edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2), classe
de umidade 1, carregamento de longa duração e que, em princípio,
não se sabe qual a ação variável principal.
Peso próprio (telhas, madeiramento e ligações)-> 5577 N
Peso de água absorvida pelas telhas
Vento de pressão à barlavento
Vento de pressão à sotavento
Vento de sucção à barlavento
Vento de sucção à sotavento
726 N
4946 N
2003 N
-> -1740 N
-3342 N
Note que o carregamento deve
ser considerado em conjunto. tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
1402 0459 5- Estruturas de Madeira> Exercício proposto 18 -> Obter a seção da barra 1-2 da treliça,
esquematizada na figura abaixo, construída com uma folhosa da
classe D30. Sabe-se que para facilidade na montagem das
ligações, a barra é formada por duas tábuas com 2,5 cm de
espessura cada. Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais
inferiores a 5 kN/m2), classe de umidade 1 e carregamento de longa
duração.
5,00 m
412 5,00 4 5,00 6 5,00»Carga permanente
10 kN
Carga variável (talha)
30 kN
15,00 m
> Exercício proposto 19 -> Obter a seção da barra 5-7 da treliça
esquematizada na figura acima, construída com uma folhosa da
classe D30. Sabe-se que para facilidade na montagem das
ligações, a largura da barra é de 6,00 cm. Considere: edificação do
tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2), classe de umidade 1
e carregamento de longa duração. íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
57 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira> Exercício proposto 18 -> Obter a seção da barra 1-2 da treliça,
esquematizada na figura abaixo, construída com uma folhosa da
classe D30. Sabe-se que para facilidade na montagem das
ligações, a barra é formada por duas tábuas com 2,5 cm de
espessura cada. Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais
inferiores a 5 kN/m2), classe de umidade 1 e carregamento de longa
duração. 7-A
5,00 m
4-L2 5,00 * 5,00 Ç 5,00 *Carga permanente10 kN
Carga variável (talha)
30 kN
15,00 m
> Exercício proposto 19 -> Obter a seção da barra 5-7 da treliça
esquematizada na figura acima, construída com uma folhosa da
classe D30. Sabe-se que para facilidade na montagem das
ligações, a largura da barra é de 6,00 cm. Considere: edificação do
tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2), classe de umidade 1
e carregamento de longa duração. £Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira> Exercício proposto 20 -> Um carpinteiro (inexperiente) utilizou dois
pedaços de tábua, de seção 2,5 cm x 30 cm, com 12 cm cada,
como cobrejuntas na emenda (figura abaixo) de uma barra
tracionada com 62000 N (valor de cálculo). Sabendo-se que: a
madeira é uma folhosa classe D40, a edificação é do tipo 2 (cargas
acidentais inferiores a 5 kN/m2), o carregamento é de longa duração
e a classe de umidade 1. A emenda resistirá ao esforço?
-Cobrejunta
Nd = 62000 N
412 O-
Parafuso de
1/2" (12,7 mm)
Nd = 62000 N30 cm
2,5 Direção
das fibras
> Exercício proposto 21 -> Na construção de um telhado, percebeu-
se que a madeira de uma das barras tinha 10° de inclinação das
fibras (defeito). Considerando os dados do “exercício proposto 19”,
será necessário substituirá barra?
58 
 
 
 
 
!402 0459 5- Estruturas de Madeira
4. Compressão
Devido a anisotropia do material, a madeira tem comportamento distinto
quando submetida a compressão em diferentes direções, em relação às
suas fibras, assim deve-se estudar o fenômeno, em cada direção,
separadamente. Na figura abaixosão apresentadas peças de madeira
submetidas a compressão em diferentes direções.
Compressão
iaralela às fibra: ''''Compressão"
normal às fibras
/ÿõmpressãoÿx
(inclinada às fibras íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
!402 0459 5- Estruturas de Madeiraa) Compressão paralela às fibras
Considerando que a NBR 7190, da ABNT (2012), admite um
comportamento elastofrágil do material, ou seja, um diagrama
“tensão X deformação” linear até a ruptura, tanto na compressão
quanto na tração, dois estados limites devem ser considerados:
> Ruptura, na seção menos resistente,
por tensões normais de compressão
(ponto A, no diagrama “o x s”), de
peças curtas;
Af
B
Fr
Carga de ruptura8
Diagrama
“<r x s” /ÿRupturaÿv
por compressão
paralela às
fibras
For
/
/flICarga crítica
i! > Flambagem elástica (ponto B, no diagrama “a x s”),
de peças esbeltas;
Ui
Flambagem
elástica tff Prof. Dr. Norman Barros LogsdonFC;
59 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de MadeiraAs bases para o dimensionamento são as estudadas em “Resistência
dos Materiais”
'Tensões normais uniformemente distribuídas
NÿForça normal
Área da seção transversal
•Tensão normal (“sigma”)
Efeito da
Força
Normal (N)
o
A-t
N> Segurança à rupturacz£> crmáx = —
Resistência do material-
(à tração ou compressão)
> Para evitar a flambagem
Tensão crítica de Euler-
máx
~
Nmáxcr
A s
A tensão crítica de Euler, por sua vez, é obtida a partir da carga crítica
de Euler.
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
!402 0459 5- Estruturas de Madeira Tensão crítica de Euler
Módulo de
elasticidade
Carga crítica de Euler Momento de inércia
' r.E.f TI2.RI \;r2.E.i2FE = °cr = CTcr =TC.E/l Z.E4 4-A 4CTcr Á2
=ÍE I Ii2=-ÿÿ>i=CTcr A r íA VAZ índice deesbeltezÁrea da seção
transversal
Comprimento
de flambagem Raio de giração
Os autores da NBR 7190 da ABNT (2012) não deixam claro qual o
módulo de elasticidade a ser utilizado no cálculo de <xcr
Considerando que: a flambagem corresponde a um Estado Limite
Último; a expressão geral de verificação (Sd < Rd), nesse caso, envolve
valores de cálculo; a resistência de cálculo (Xd=Kmod.Xk/yw) é corrigida
por um coeficiente de modificação e um de minoração, tem-se:
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
60 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira Módulo de elasticidade caracterlstico
_ Kmodÿr:.E
V /t
7T
/wc
c0,k Tzr.d ,2 ÍÿNnod'=> A2Kc
Módulo de elasticidade de cálculoCoeficiente de
modificação
Coeficiente de
minoração
7T .EValor de cálculo da
Tensão crítica de Euler ~~*crCr,d = c0,dValor caracterlstico da
Tensão crítica de Euler
%
índice de esbeltez
A NBR 7190, da ABNT (2012), recomenda o dimensionamento à
flexocompressão de toda peça (comprimida) cujas imperfeições,
avaliadas pelo desvio do alinhamento na metade da distância entre
os “apoios” (f), supere:
-> Peças de madeira serrada ou roliça;í> 300
i ->Peças de madeira laminada colada ou para escoramento
de fôrmas de madeira.
> 500
íDistância entre “apoios” Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Os furos, para colocação de pregos ou parafusos, e os entalhes são
preenchidos por material tão resistente quanto a madeira, portanto,
transmitem o esforço de compressão e pode-se considerar a
totalidade da área da seção transversal (HELLMEISTER, 1977).
Assim, o dimensionamento de peças estruturais de madeira
submetidas à compressão paralela às fibras pode ser feito aplicando-
se o seguinte roteiro.
> Roteiro - Compressão paralela às fibras
1 -Obter a força normal de cálculo (Nd), se necessário, traçando
o(s) diagrama(s) de força(s) normal(is).
2 -Obter as características geométricas da seção de interesse
do problema, que são: a área da seção transversal da barra
(A) e o raio de giração mínimo (imin).
3 -Obter o comprimento de flambagem (L0) e o índice de
esbeltez máximo (A).
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
61 
 
 
 
 
!402 0459 5- Estruturas de Madeira Comprimento de flambagem/
À = Raio de giração mínimoL; = KE.L eLembrete: imm
índice de esbeltezA.< 140
Coeficiente apresentado
na Tabela 17 (página 62) Distância entre “apoios”
OBS.: A NBR 7190, da ABNT (2012), proíbe o uso de peças
comprimidas, ou flexocomprimidas, com índice de esbeltez superior a
140.
4 -Obter as características da madeira: resistência de cálculo à compressão
paralela às fibras (fcod); módulo de elasticidade longitudinal de cálculo
(Eco,d); e a tensão crítica de Euler, de cálculo (crcrd).
Módulo de elasticidade de cálculon'Ec : .d<Jcr,d = índice de esbeltez
Tensão crítica de Euler, de cálculo
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
!402 0459 5- Estruturas de MadeiraTabela 17 - Valores do coeficiente KE
I I Il I*4T1 V77Á o
Modos de flambagem
1Ã.
Valores de projeto para KE 0.65 0,80 1.20 1,00 2,10 2.40
Código das condições de extremidade
Rotação livre e translações impedidasRotação e translação lateral impedidas.
translação vertical livre
Rotação impedida e translações livres
Rotação e translação vertical livres,
translação lateral impedida~4I Rotação e translações livres?
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
62 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira5 -Obter a tensão atuante, de cálculo, máxima (acd).
= NaCTcd A
6 -Verificar e concluir sobre a seção.
a) Verificação da resistência Resistência à compressão paralela às fibras
= =
A J-cO.d AJ-cO,d
<1CTcd
Tensão crítica de Euler, de cálculob) Verificação da estabilidade
NJ cr. N.
= —2-<cr , , opcionalmente: —— =-—-
A CT-d A.£7a
<1CTcd
b) Conclusão
« Se acd«fc0|d e « acrd (crcd / fc0 d«1 e acd / acrd « 1) => a
madeira resiste com folga ao esforço, pode-se diminuirá seção.
H Se acd>fcod ou acd>crcrd (acd / fÿ d>1 ou acd/cjcrd> 1) => a madeira
não resiste ao esforço, é necessário aumentar a seção.
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
H Se acd fco,d e acd= ocrd ou ocd = fc0,d e ccd < acrd (acd/fco,d< 1 e
CTcd!cÿcr.d=1 ou tfaj/fco.d =1 e CTcd / < 1), mas ainda menor =>
a madeira resiste, no limite, ao esforço, é a seção ideal.
> Exemplo de aplicação 13 -> Verificar a seção de um pilar, de madeira
maciça da classe de resistência D60 (folhosa), utilizado em uma ponte
em viga contínua, de madeira laminada colada. Sabe-se que o pilar
tem 5 m de altura, seção 20 cm x 20 cm, é engastado na base e
articulado na viga contínua. As cargas aplicadas pela viga aos pilares
(reações), que causam compressão no pilar, são fornecidas abaixo.
Considere: a ponte construída de madeira laminada colada, sem
revestimento, e o pilar de madeira maciça não classificada, classe de
umidade 1 e carregamento de longa duração.
Reação devido ao peso próprio (madeira) -> Rg = 34500 N
Rqm= 210000 N-» Rqi = 95000 N
Rq,i
Rq.m
Rg
E
E
o
s
Reação devida à carga móvel
Reação devido ao impacto vertical
Note que o carregamento pode
ser considerado separadamente.J200 mm
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon200
63 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 60)
Solução:
As cargas aplicadas são de compressão e, construtivamente, a
direção do esforço normal coincide com a direção das fibras da
madeira (ao longo do comprimento). Portanto, o problema em
pauta é de compressão paralela às fibras.
1 -Obter a força normal de cálculo (Nd), se necessário, traçando
o(s) diagrama(s) de força(s) normal(is).
Força normal, como qualquer esforço solicitante, pode levar
à ruptura, portanto, um Estado limite Último. Para verificação
desses estados são utilizadas Combinações Últimas. No
caso de carregamento de longa duração (situação duradoura
de projeto) utiliza-se a Combinação Última Normal.
Nd =l,30.Rg+l,50.[Rqm+0,75.Rj =>Nd =1,30.(34500)+1,50.[210000+0,75.95000] =>
C. Última Normal
(Página 25)
\
Nd = 466725 NSó ocorre se existir Rq m
=> é variável secundária
íProf.Dr. Norman Barros Logsdon
! Ver roteiro(página 60)402 0459 5- Estruturas de Madeira
2 -Obter as características geométricas da seção de interesse do
problema, que são: a área da seção transversal da barra (A) e o raio
de giração mínimo (imin).
A = 40000 mm2E A = a2 => A = 2002 =>C. geométricas
(Anexo 1) Eo
CM 200a
=57,74 mm=> =>W“VT2 VÍ2
200
3 -Obter o comprimento de flambagem (L0) e o índice de esbeltez
máximo (X).
L0 = 4000 mmL0 = Ke.L => L0 = 0,80.5000 —STabela 17 (KE)
(Página 61)
4000
à = 1=69,3=> =>i 57,74min
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
64 
 
 
 
 
% Ver roteiro(página 60)402 0459 5- Estruturas de Madeira
4 -Obter as características da madeira: resistência de cálculo à
compressão paralela às fibras (fc0d); módulo de elasticidade
longitudinal, de cálculo (Ec0d); e a tensão crítica de Euler, de
cálculo (ocrd).
C. da madeira
(Página 45)
Folhosa, classe D60 -> fc0,d = 21.00 MPa e E = 6003 MPac0,d
;T2.6003n2.Ec0:d _
(Jcrd =12.34 MPa= —> =>69,32Á2
5 -Obter a tensão atuante, de cálculo, máxima (acd).
Nd 466725 <7cd =11,67 MPaCJcd=ÿ => CTcd = —>40000A
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 60)
6 -Verificar e concluir sobre a seção.
a) Verificação da resistência
Nd°"cd =~- fcOd -> <rcd =11,67 MPa < fc0 d =21,00 MPa ... OK!A
b) Verificação da estabilidade
Nd crcd =11,67 MPa < aai = 12,34 MPa ... OK!_ A - =>A
c) Conclusão
A seção adotada para o pilar, por satisfazer as duas verificações,
resiste aos esforços e pode ser utilizada.Tabela 1(Página 4)
Deve-se notar que a seção adotada (20 cm x 20 cm) já é a ideal,
pois a seção comercial imediatamente inferior (15 cm x 15 cm) é
insuficiente, como se mostra a seguir.
;r.E /T2.6003466725Nd 0ÿ =c0,dCTcd=-rÿC7cr.d = = 150" 2Á2A 0.8.5000
150/VÍ2íjcd = 20,74 MPa > <rai = 6,94 MPa ... Não OK!
65 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exemplo de aplicação 14 -> Obter a seção da barra de uma tesoura,
construída com madeira de uma folhosa da classe D50 e com 1,60 m
de comprimento (entre os centros dos nós). Sabe-se que para
facilidade na montagem das ligações, a barra deve ter largura de
6,00 cm e que os esforços característicos na barra (obtidos em Planos
Cremona) são os listados abaixo (positivos se de tração, negativos se
de compressão). Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais
inferiores a 5 kN/m2), classe de umidade 1, carregamento de longa
duração e que, em princípio, não se sabe qual a ação variável
principal.
Peso próprio (telhas, madeiramento e ligações)->Ng
Peso de água absorvida pelas telhas
Vento de pressão à barlavento
Vento de pressão à sotavento
Vento de sucção à barlavento
Vento de sucção à sotavento
= -25546 N
->Nq a = -3515 N-*Nq’vPb = -16256 N
->Nq VPs = -16593 N-»Nq’VSb= 12102 N
-ÿNq VSs = 11918 N
Note que o carregamento deve
ser considerado em conjunto. tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
!402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 60)
Solução:
As barras de treliças podem ser tracionadas ou comprimidas e,
construtivamente, a direção do esforço normal coincide com a
direção das fibras da madeira (ao longo do comprimento).
Portanto, o problema em pauta é de tração ou compressão
paralela às fibras, dependendo do sinal de Nd obtido no primeiro
passo dos dois roteiros correspondentes.
Existe ainda a possibilidade da ocorrência dos dois problemas,
conforme a combinação de carregamentos utilizada.
1 -Obter a força normal de cálculo (Nd), se necessário, traçando
o(s) diagrama(s) de força(s) normal(is).
Força normal, como qualquer esforço solicitante, pode levar
à ruptura, portanto, um Estado limite Último. Para verificação
desses estados são utilizadas Combinações Últimas. No
caso de carregamento de longa duração (situação duradoura
de projeto) utiliza-se a Combinação Última Normal.
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
66 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de MadeiraA existência de diversas cargas variáveis, de diferentes
sentidos (sinais), permitem combinação de esforços sob
diferentes hipóteses.
a) Força normal, de cálculo, de tração -> Nd(+)
Constarão da combinação -> Ng (entra sempre) e NqVsb
(mesmo sinal de Nd). Note que o outro esforço variável com
mesmo
simultaneamente com N
de maior valor absoluto.
.0.75 X> NdM = L00.(- 25546)+ l,40.(l2102)0,75
Não existe
tração na barra
sinal de Nd, NqVSs, não pode ocorrer
portanto, aplica-se apenas oC. Última Normal(Página 25) q.VSbi
Nd(+) = 1,00.N +1.40.Nq.VSb(-)
Nd(+) s -12839 N
b) Força normal, de cálculo, de compressão -> Nd(_)
Duas cargas variáveis, de mesmo sinal de Nd, podem atuar
simultaneamente (água e vento de pressão). Portanto,
deve-se avaliar as hipóteses de cada uma delas ser a
variável principal (Fq1k). IProf. Dr. Norman Barros Logsdon
402 0459 5- Estruturas de Madeira
Constarão da combinação -> Ng (entra sempre), Nqa e
Nqvps (mesmo sinal de Nd). Note que o outro esforço
variável com mesmo sinal de Nd, NqVPb, não pode ocorrer
simultaneamente com NqVPs, portanto, aplica-se apenas o
de maior valor absoluto.
Hipótese 1 -> Água é a variável principal, Fq1 k = Nqa
Nd(_, =1.40.N (_j +1,40.[n (_} +0.60.N
C. Última Normal
(Página 25)
q.VPs(-) J
Nd(_> = 1.40.(- 25546)+1.40.[(- 3515)+0,60.(-l6593)]
Hipótese 2 -> Vento de pressão (a sotavento) é a variável
principal, Fq1k= NqVPs
.0,75+0,50.Nq>1(_j]
Nd(_, s -50424 N
= l,40.Ng(_) +1,40.[n
=1,40.(- 25546)+1,40.[(-16593)0,75+0,50.(-3515)] Nd(_} = -55648 N
—sNd(-) q.'Ts(-)
Nd(-)
Portanto, deve-se assumir o vento de pressão como variável principal e
utilizar para dimensionamento da barra uma força normal de cálculo,
Nd = 55648 N, de compressão.
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
67 
 
 
 
 
% Ver roteiro(página 60)402 0459 5- Estruturas de Madeira
2 -Obter as características geométricas da seção de interesse do
problema, que são: a área da seção transversal da barra (A) e o raio
de giração mínimo (imin).
A =b.h A = 60.h mm2—sC. geométricas
(Anexo 1) > Se h > 60 mm =>E
£ 60lram"VT2ÿ imm =17,32 mm.c menorlargura
\ 4u > Se h < 60 mm
h r. => i60 =0,289.h mm*min minVl2
3 -Obter o comprimento de flambagem (L0) e o índice de esbeltez
máximo (A.).
L0 = KE.L L0 =1600 mm—> L0 =1,00.1600 —>Tabela 17 - KE
(Página 61)
OBS.: A barra da treliça é considerada com duas articulações, seus nós
permitem rotações e impedem translações. A rigidez da treliça impede as
translações em seu plano e os contraventamentos as demais.
£Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
Ver roteiro
(página 60)
402 0459 5- Estruturas de Madeira
1600> Se h >60 mm => 1ÿ =17,32 mm => A = Ã = 92,4=>
= u 17,32Â —% 1600 5536,3i = 0,289.h mm =>Â =min => Â> Se h < 60 mm => imin 0,289.h
4 -Obter as características da madeira: resistência de cálculo à
compressão paralela às fibras (fc0d); módulo de elasticidade
longitudinal de cálculo (Ec0d); e a tensão crítica de Euler, de
cálculo (acrd).
Folhosa, classe D50 -> fc0d =17,50 MPa e EcOd=5390 MPa
h
C. da madeira
(Página 45)
,T2.5390> Se h > 60 mm => À = 92,4 “
92,42
(Jcr d = 6,23 MPa
,T2.EcO.d —, TT.5390O'er,d = 5536,3À2 > Se h < 60 mm =x> = — -(55363/hfh
h2 MPa— 576.17
68 
 
 
 
 
% Ver roteiro(página 60)402 0459 5- Estruturas de Madeira5 -Obter a tensão atuante, de cálculo, máxima (ocd).
55648Nd 927,47MPaCTcd=-fL —S CTcd = 60.hA
6 -Verificar e concluir sobre a seção.
a) Verificação da resistência
— 17,50 =>h>N„ 927,47 => h>53,0 mm=“T fc0,dA 17,50
b) Verificação da estabilidade
927,47
h => h>> Se h > 60 mm => =>6,23
h> 148,9 mmNdCTcd=-TLÿCrcr =>
927,47 h2
h - 576,17
h> 3/534380,39 => h>81,l mm
A
=> h3 >927,47.576,17 =>> Se h < 60 mm =>
1
''Fere a hipótese =A
solução inadequada Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 60)
c)Conclusão
Verificações
Resistência
53,0 mm
O
148,9 mm:Se h > 60 mmSe h < 60 mm O81,1 mmEstabilidade Xpere hipótese
148,9 mm
O
Solução O
A solução mais adequada para o problema é uma peça de seção
comercial de altura imediatamente superior a 148,9 mm e largura de
60 mm. Ou seja:
Tabela 1
(Página 4)
Adota-se a seção 6 cm x 15 cm
> Exemplo de aplicação 15 -> Definir o valor do índice de esbeltez,
arredondado para a dezena inferior, para o qual a madeira não
classificada, de qualquer classe de resistência das folhosas
(dicotiledôneas), quando submetida à compressão paralela às fibras
chegue a rupturasem flambar. tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
69 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Solução:
Observando-se as expressões para verificação, dos problemas de
compressão paralela às fibras, percebe-se que as peças sofrerão
ruptura, sem flambar, sempre que fc0 d < acrd.
Por exemplo, para uma folhosa da classe D20, obtém-se:
C. da madeira
(Página 45)
Folhosa, classe D20 -> fc0-d = 7,00 MPa e Ec0 d = 2328 MPa
ff2.En1.E/T:.E d
=> cO.dC04 Á<fc0,d - - =>=> fc0,dA2
V.2328
=> ÂZ57,3À< 7,00
De maneira análoga obtêm-se os resultados apresentados na
Tabela 18, para as demais classes de folhosas.
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
!402 0459 5- Estruturas de MadeiraTabela 18 - Valores do índice de esbeltez (Xcr) abaixo do qual as peças
comprimidas, de folhosas, chegam a ruptura sem flambar
fcO.d
(MPa)
EcO.d
(MPa)
Classe de
resistência
D20 7,00 2328 57,3
D30 10,50 3553 57,8
D40 14,00 4778 58,0
D50 17,50 5390 55,1
D60 21,00 6003 53,1
Os valores de cálculo acima consideram: carregamento de longa
duração; classe de umidade 1; madeiras não classificadas, que
possam ser enquadradas nas classes de resistência e caracterizadas
de maneira simplificada em acordo com a NBR 7190 da ABNT (2011).
A partir dos valores apresentados na Tabela 18, pode-se concluir que as peças
comprimidas de folhosas serão rompidas, sem flambagem, sempre que o índice de
esbeltez não superar o valor crítico de A,cr = 50.
OBS.: As versões anteriores da NBR 7190 da ABNT (2012) (NB 11, de 1951; NBR 7190, de
1982; e NBR 7190, de 1997) consideravam para peças curtas o valor limite de A.cr= 40.
70 
 
 
 
 
!402 0459 5- Estruturas de Madeira
b) Compressão normal às fibras
Os esforços resistentes correspondentes à compressão normal às
fibras, segundo a atual norma brasileira NBR 7190, da ABNT(2012),
devem considerar a extensão do carregamento, medida
paralelamente à direção das fibras (“a”, na figura abaixo). Além
disso, deve-se garantir que a configuração de equilíbrio não seja
alterada durante o carregamento. Por isso, recomenda-se uma
distância mínima, de 7,5 cm, da placa de distribuição às
extremidades da peça (“c”, na figura abaixo).
“c” suficiente
Placa de
distribuição “c” insuficienteF F F
Adjst (contato) v c
b
7 \ai
C
'ossíveis configurações'
~-ÿ_de equilíbrio
a
c i
Prof. Dr. Norman Barros Logsdonc > 7,5 cm
!402 0459 5- Estruturas de MadeiraO dimensionamento de peças estruturais de madeira submetidas à
compressão normal às fibras pode ser feita aplicando-se o seguinte
roteiro.
> Roteiro - Compressão normal às fibras
1 -Obter o esforço de cálculo, Fd.
2 -Determinar os valores de "a", "b" e "c" (definidos na figura
anterior).
Aproveitar para verificar, e corrigir, a distância construtiva “c”.
3 -Calcular a área de distribuição (Aÿ).
A<Hst =Acortato=a.b
4 -Obter a tensão atuante, de cálculo, à compressão normal
(°c90,d)-
= A_
A&t
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
71 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira5 -Obter o fator de correção (an), a resistência à compressão
normal (fc90d), e fazer a verificação.
/Extensão do\
carregamento,
medida na
direção das
fibras
—
Tabela 19 - Fatores de correção, an
va (cm) 1 2 3 4 5 7,5 10 a 15cm
2,00 1,70 1,55 1,40 1,30 1,15 1,10 1,00an
OBS.: Para valores intermediários pode-se fazer uma interpolação linear.
Na prática, a favor da segurança, costuma-se utilizar o valor de “an”
correspondente a extensão imediatamente superior.
6 -Conclusão.
n Se crc90d «an.fc9o.d => a madeira resiste com folga ao
esforço, pode-se diminuirá área de distribuição.
n Se crc90d>an.fc90d=> a madeira não resiste ao esforço, é
necessário aumentara área de distribuição.
n Se ac90d = an.fc90d, mas ainda menor => a madeira
resiste, praticamente no limite, ao esforço, é a área de
distribuição ideal.
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exemplo de aplicação 16 -> Quais as dimensões do
travesseiro (b e t na figura do detalhe de um dos apoios da
viga) para que não ocorra esmagamento por compressão
normal no apoio da viga esquematizada abaixo? Considere que
a madeira do travesseiro, de espessura 6 cm, seja uma
dicotiledônea da classe D30. Considere ainda: classe de
umidade 1 e carregamento de longa duração.
8800 N - Carga variável devido a uma talha Detalhe do apoio
e do travesseiro
0,85 N/mm - Carga permanente
(peso próprio) VIGA— _yiGAj XSEÇÃO TRAVESSEIROJ_I6 cm6 cml 4, TRAVESSEIROí300 Y 1=7b=7
A,
PILAR PILARH2000 20001 1 100 mm
4000 mmh i Detalhe de um dos apoios da viga
Esquema estático e seção da viga íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
72 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 70)
Solução:
O enunciado explicita tratar-se de um problema de compressão
normal às fibras. Acompanhando o roteiro correspondente
obtém-se:
1 -Obter o esforço de cálculo, Fd.
A compressão normal no travesseiro é causada pelas
reações da viga, portanto:
=2ÿ =>RS =2 -
Variável (talha) -> Rq = => Rq =
Esforço de cálculo -> Fd =Rd =l,3.Rg+1,5.Rq
0.85.4000=>R2 =1700 NPermanentes -> R2 2Diagramas de
E. S. (Anexo 2).
=> Rq = 4400N
C. Última Normal
(Página 25) Fd = Rd =1,3.1700+1.5.4400 Fd=Rd =8810 N=>
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% Ver roteiro(página 70)402 0459 5- Estruturas de Madeira
2 -Determinar os valores de "a", "b" e "c“. Aproveitar para
verificar, e corrigir, a distância construtiva “c”.
Observando o detalhe do apoio, obtém-se:
extensão do carregamento
na direção das fibras
extensão do carregamento
normalmente às fibras
100 mm E = 100 mmyiGA—— VIHAJ
E = bmm6 cmj 16 cmTRAVESSEIRO
b=? distância construtiva, do
C = contato à borda, adotou-se =75 mm
o limite mínimo (... OK!) _
h 1/=?
PILAR PILAR
3 -Calculara área de distribuição (Adjst).
A<fet=A = lOO.b mm2= a.bcontato
4 -Obter a tensão atuante, de cálculo, à compressão normal
(CTc90,d)- -
88.10
=> CTc90,d —= A_
Adist
8810 MPa
lOO.b
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
73 
 
 
 
 
1 Ver roteiro(página 70)402 0459 5- Estruturas de Madeira5 -Obter o fator de correção (an), a resistência à compressão
normal (fcgo,d). e fazer a verificação.
—
Tabela 19 - an
(Página 71)
Consultando as tabelas 19 (a = 10 cm)
e 14 (dicotiledônea D30), obtém-se:
crn = 1,10
C. da madeira
(Página 45) fc90,d = 2-63 MPa
Da expressão de verificação, obtém-se:
. 88,10
<CCn.tc9Qà =>=JL <1,10.2,63 => b> 30,45 mm
6 -Conclusão.
O valor “b” corresponde a uma das dimensões da seção
transversal do travesseiro, portanto deve-se escolher “b”,
imediatamente superior a 30,45 mm, a partir das seções
comerciais. Assim:
Tabela 1
(Página 4)
b = 5 cm = 50 mmSeção comercial 5 cm x 6 cm ->
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
1402 0459 5- Estruturas de MadeiraPor outro lado, adotado o valor de “c = 7,5cm” o calculo de
“£” é imediato:
£ = a+2.c => £ = 10+2.7,5 => £ = 25 cm= 250 mm
> Exemplo de aplicação 17 -> Indicar madeira (classe) conveniente para
resistir a compressão normal sob a placa de apoio (placa de distribuição) de
um trilho. O dormente tem seção 18 cm x 22 cm; a placa de distribuição tem
17 cm x 37 cm e seu centro dista 50 cm da extremidade do dormente; a
roda maispesada, suposta agindo sobre meio dormente, aplica a carga de
160 kN. Considere, também: carregamento de longa duração; madeira não
classificada; classe de umidade 1; e desprezíveis as cargas permanentes.
IF = 160000 N 4F = 160000 N
BOLETO H
ALMA.y>J
MESA
PLACA DE
DISTRIBUIÇÃO Esquema
de apoio dos
trilhos
dm18 cm
17 cm
i—i
22 cm í37 cm 1 Prof. Dr. Norman Barros Logsdon50 cm 1
74 
 
 
 
 
% Ver roteiro(página 70)402 0459 5- Estruturas de MadeiraSolução:
O enunciado explicita tratar-se de um problema de compressão
normal às fibras e solicita a madeira (classe de resistência) a ser
usada. Acompanhando o roteiro correspondente obtém-se:
1 -Obter o esforço de cálculo, Fd.
Permanentes -> Fg=0N (são desprezíveis)
Variável (roda) -> Fq=160000N
Esforço de cálculo -> Fd = l,35.Fg+l,50.Fq
C. Última Normal
(Página 25)
Fd =1,35.0+1,50.160000 Fd = 240000N
OBS.: Considerou-se Edificações Tipo 1
(carga acidental superior a 5 kN/m2) íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% Ver roteiro(página 70)402 0459 5- Estruturas de Madeira
2 -Determinar os valores de "a", "b" e "c“. Aproveitar para verificar, e
corrigir, a distância construtiva “c”.
Observando o detalhe do contato madeira-placa, obtém-se:
extensão do carregamento
na direção das fibras
extensão do carregamento
normalmente às fibras= 37 cm b = = 17 cm
distância construtiva, do_
contato à borda
50- (37/2) = 31,5 cm > 7,5 cm ... OK!c =
3 -Calculara área de distribuição (Aÿ).
A<fct = Acontato = a.b => A*. =370.170 Adist = 62900 mm2
4 -Obter a tensão atuante, de cálculo, à compressão normal (aÿd).
= Jd_
A-dist
240000
£7c90 d = 3,82 MPa=> ac90,d ~ac9<í,d =>62900
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
75 
 
 
 
 
% Ver roteiro(página 70)402 0459 5- Estruturas de Madeira5 -Obter o fator de correção (an), a resistência à compressão normal
(fc9o,d). e fazer a verificação.
Fd *aJc90,dAdist
Consultando a tabela 19, página 72, para a = 37cm ->
Da expressão de verificação, obtém-se:
= Jd_
-A-dist
Tabela 19 - an
(Página 71) «n = l;00
<Qrn.fc90 d 3,82 < l,OO.fc90 d => fc9o,d - 3,82 MPaCTc90,d
6 -Conclusão.
A madeira adequada, para o dormente em questão, deve possuir
resistência de cálculo à compressão normal às fibras, não inferior
a 3,82 MPa. Consultando a tabela 16, da página 45, obtém-se:
Folhosas das classes
D50 ou D60
C. da madeira
(Página 45) <=>
OBS.: Não é permitida a utilização
de coníferas não classificadas. tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
!402 0459 5- Estruturas de Madeira
c) Compressão inclinada às fibras
Os esforços resistentes correspondentes à compressão inclinada às
fibras, segundo a atual norma brasileira NBR 7190, da ABNT (2012),
podem ser obtidos a partir da expressão de Hankinson, apresentada a
seguir:
Resistência à compressão inclinada
i
f<:0.d-fc90,d — Resistência à compressão paralelac= fco,d-sen2Qr + fc90d.cos2ar
Resistência à compressão normal
Ângulo entre o esforço aplicado
e a direção das fibras.
A compressão inclinada tem interesse no cálculo de ligações por meio
de dentes e entalhes, que será apresentada adiante.
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
76 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeirad) Exercícios propostos
> Exercício proposto 22 -> Obter a seção da barra 1-2, da tesoura
esquematizada na figura abaixo, construída com madeira de uma
folhosa da classe de resistência D40. Os esforços característicos na
barra, obtidos em Planos Cremona, são os listados a seguir (positivos
se de tração, negativos se de compressão). Sabe-se que: a largura da
barra deve ser de 6,00 cm, para conveniência das ligações; o
carregamento é de longa duração; a madeira é usual, não classificada
e de classe de umidade 1; e, em princípio, não se sabe qual a ação
variável principal. Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais
inferiores a 5 kN/m2).
Peso próprio (telhas, madeiramento e ligações) ->N
Peso de água absorvida pelas telhas
Vento de pressão
Vento de sucção
= -17000 N
->Nq a = -2500 N
= -15000 N
900 N
s
“ÿNqvp
Nq,VS =
4
\
Note que o carregamento deve
ser considerado em conjunto.
\ 2 6 1,20 m
? 1,50 *1,50 \ 1,50 8 1y Prof. Dr. Norman Barros Logsdon6,00 my
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exercício proposto 23 -> Obter as seções das barras 1-2 e 6-8, da
treliça esquematizada na figura abaixo. A madeira utilizada é uma
dicotiledônea classe D30. Os esforços nestas barras podem ser
obtidos pelo método de Ritter. Sabe-se que: a largura da barra deve
ser de 6,00 cm, para conveniência das ligações; o carregamento é de
longa duração; a madeira é usual, não classificada e de classe de
umidade 1.
Carga permanente
(peso próprio)
1000 N1000 N
Carga variável
(vento)
2000 N
2 C
4 3 Eo o
Tt-6 5
o
7*"_8
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon1,50 m
77 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exercício proposto 24 -> Qual a seção, de madeira falquejada, mais
adequada, para se extrair de uma tora com diâmetro mínimo de 22 cm,
para utilizar como um pilar, biarticulado, comprimido?. Nesta situação,
sendo a madeira uma folhosa da classe de resistência D40, e a altura
do pilar de 2,50 m, qual a máxima carga de compressão, de cálculo,
que o pilar pode resistir? Considere: carregamento de longa duração;
madeira é usual, não classificada; e classe de umidade 1.
> Exercício proposto 25 -> Qual a máxima carga comprimida de
cálculo em uma coluna, de madeira bruta, simplesmente engastada,
construída com uma dicotiledônea da classe de resistência D50, com
5,00 m de altura e diâmetros no topo de 33,5 cm e na base de
40,5 cm? Considere: carregamento de longa duração; madeira é
usual, não classificada; e classe de umidade 1.
> Exercício proposto 26 -> Estabeleça as dimensões do travesseiro de
apoio de uma tesoura, cuja reação vertical é de 15 kN, devido ao
carregamento permanente, e de 8 kN, devido ao carregamento
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
variável correspondente ao vento de pressão. Sabe-se que: não é
utilizada placa de distribuição; as espessuras, do banzo inferior da
tesoura e do travesseiro, são de 6 cm; a madeira utilizada é uma
folhosa da classe de resistência D30; o carregamento é considerado
de longa duração; a madeira é usual, não classificada, de classe de
umidade 1. Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais
inferiores a 5 kN/m2).
> Exercício proposto 27 -> Em uma ferrovia, para trens cuja roda mais
pesada aplica 85 kN, não foram colocadas as placas de apoio, ficando
os trilhos diretamente apoiados nos dormentes, a 50 cm de sua
extremidade. Sabe-se que: os dormentes eram de uma folhosa da
classe de resistência D60, de seção 22 cm x 22 cm; a mesa (ou aba)
dos trilhos tinha 7,5 cm de largura. Considere que: a edificação é do
tipo 1 (cargas acidentais superam 5 kN/m2); o carregamento é de
longa duração; a madeira é usual, não classificada, de classe de
umidade 1; e as cargas permanentes são desprezíveis. Isto posto,
pergunta-se: "A falta das placas de apoio trouxe prejuízo à ferrovia,
devido ao esmagamento dos dormentes?". Justifique.
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
78 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exercício proposto 28 -> Verificar se é possível a utilização de um
travesseiro de apoio, construído com uma folhosa da classe de
resistência D30, para uma tesoura, cuja reação vertical é de 12000 N,
devido ao peso próprio, e de 4000 N, devido a ação de um vento de
pressão. As dimensões do travesseiro são apresentadas na figura
abaixo. Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a
5 kN/m2); carregamento de longa duração; classe de umidade 1;
madeira usual e não classificada. Vento de pressão
(carga variável)
4000 N
Peso próprio
(carga permanente)
12000 N
i
1
-fr
6 cml i I T 6 cm
///////////////////////////c > 7,5 cm c > 7,5 cm
77ÿ77777777777
12 cm
TRAVESSEIRO
N 6 cm
H
PERSPECTIVA VISTA FRONTALVISTA LATERAL
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exercício proposto 29 -> Se a madeira do nó de apoio de uma
tesoura, esquematizado abaixo, for uma folhosa da classe de
resistência D60, qual a resistência às tensões normais para absorver o
esforço de compressão aplicado pela barra do banzo superior ao
inferior? Considere: carregamento é de longa duração; madeira usual,
não classificada; e classe de umidade 1.
Banzo superior
90°
S 20°&
*vs/SSS/ÿs. Banzo inferior//////
> Exercício proposto 30 -> Se a inclinação da tesoura, do exercício
proposto 29, fosse 18° e madeira uma folhosa da classe de resistência
D50, qual seria a resistência às tensões normais para absorver o
esforço de compressão aplicado pela barra do banzo superior ao
inferior? íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
79 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
5. Cisalhamento
O cisalhamento nas peças de madeira pode ocorrer na direção paralela
às fibras ou perpendicularmente a elas. O caso mais comum é o
cisalhamento paralelo às fibras. O cisalhamento vertical só acontece em
casos especiais, em geral fruto de falha no dimensionamento, pois
outras falhas ocorrerão antes dele. O cisalhamento perpendicular,
conhecido intemacionalmente por “rolling shear", é evitado pela prática
construtiva, que utiliza a madeira disposta longitudinalmente.
t—*. m my *
5??
Ú3ECisalhamento
•aralelo às fibra:
:isaihamenti
vertical
,Cisalhamentò\
perpendicular:
(“rolling shear”) íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
Estados limites oriundos de tensões de cisalhamento, na direção paralela às
fibras, podem ocorrer em ligações por meio de dentes e entalhes ou em
vigas fletidas com elevados esforços cortantes. A verificação destes estados
limites será apresentada posteriormente no estudo da flexão e das ligações.
Cisalhamento
nas ligações
isalhamentò
Na flexão
Estados limites devidos ao cisalhamento perpendicular (“rolling shear”), não
são encontrados em estruturas de madeira, uma vez que construtivamente a
madeira é disposta longitudinalmente e, nesta situação, as tensões de
cisalhamento ocorrem predominantemente na direção paralela às fibras.
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
80 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Estados limites devidos ao cisalhamento vertical, em conjunto com forte
compressão normal, pode ser observado nos travesseiros de vigas
contínuas sobre os pilares. Este fenômeno é mais comum em vigas de
pontes e pode ser evitado com o aumento da espessura do travesseiro e
o alargamento do topo do pilar.
•jfiSS
fill|llllil Cisalhamentoverticalt tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
6. Torção
A torção se caracteriza pela ação de um momento torçor e é pouco
conhecida em peças de madeira. A norma brasileira recomenda evitar,
construtivamente, a ocorrência de torção em peças de madeira, em
virtude do risco de ruptura por tração normal às fibras.
Torção na
madeira
Quando o equilíbrio do sistema estrutural depender diretamente dos
esforços de torção deve-se respeitar a condição:
Tensão de cisalhamento, de cálculo, devida a ação do
momento torçor, calculada segundo a Teoria da ElasticidaderT,d — fyO.d
Resistência, de cálculo, ao cisalhamento paralelo às fibras
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
81 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira7. Flexão
A flexão é caracterizada pela ação de momento fletor sobre a peça. A
existência de outros esforços solicitantes subdivide o estudo da flexão
conforme o esquema apresentado a seguir.
Flexão simples reta
M, Veu
LEGENDA:
M = Momento fletor;
N = Força normal;
V = Força cortante;
u = Flecha;_
Flexão simples
(@) Flexão simples oblíquaCMx, My, vx, vy ux , e uy
'Flexocompressão reta
N, M, V e u
Flexocompressão oblíqua
N, Mx, My, Vx, Vy, ux e Uy
(Flexotracão reta
| N, M, Veu)
i Flexotracão oblíqua
{ N, Mx, My, VX) Vy, ux e uy
Flexocompressão
(@)
Flexão i
(ExistejÃ)
Flexão composta
(NÍO)
Flexotracão
(N>0)
tOBS.: Os índices x e y indicam flexão emtorno dos eixos x-x e y-y, respectivamente. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
a) Flexão simples reta
A flexão simples reta se caracteriza pela ação de momento fletor em
torno de apenas um dos eixos principais de inércia, sem a presença
de esforço normal.
Cargas verticais, perpendiculares ao eixo da estrutura, produzem
momentos fletores, forças cortantes e deformação no material, o
que causa deslocamentos dos pontos da estrutura (flechas). Assim,
a flexão simples reta pode apresentar os seguintes estados limites:
Esmagamento da madeira
na borda comprimida.(/> Compressãoã
ll
Ruptura, na transição
compressão/tração, por
cisalhamento. Cisalhamento.
&
(D
Ruptura por tração na
borda tracionada.
LU
Tração
$DeslocamentoEstado Limite de Serviço
(utilização) -> Flecha excessiva. tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
82 
 
 
 
 
* 402 0459 5- Estruturas de MadeiraAs bases para o dimensionamento são as estudadas em “Resistência dosMateriais”{Tensões normais linearmente distribuídasÿMomento fletora= — -Y— Distância do ponto considerado
à linha neutra (CG)
Momento de inércia
-Tensão normal (“sigma”)
Efeito do
Momento
Fletor (M)
a
M
0Resultantedas tensões G
M
M> Segurança à ruptura EZÿ>
Resistência do material-
(à tração ou compressão)
máxcrmix materialI
/ÿ> Equação da Linha Elástica
v .Equação das flechas
Equação das
> Segurança à deformaçãoc) EJ.ÿ=-M vmàx = fÿcarreÿmerto)
Flecha limite-
(definida em normas)
Módulo de elasticidade
momentos
1Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Tensões tangenciais parabolicamente distribuídas
cortante
_ V.S-—Momento estático (no corte)
b j.-ÿMomento de inércia
Largura da seção (no corte)
Tensão de cisalhamento (“tau”)
aEfeito daForça
cortante (V)
tiii! vt T
Resultante das tensões T
Momento estático máximo
(corte no CG -meia seção)
Tensão de cisalhamento máxima
(ocorre no Centro de Gravidade - CG)
> Segurança à ruptura
Resistência do material-
(à tração ou compressão)
> Segurança à deformação Usualmente desprezada
/
" <fmaterialb.I 7ÿ
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
83 
 
 
 
 
402 0459 5- Estruturas de Madeira
Os estados limites últimos de esmagamento por compressão normal,
na região dos apoios, e de perda de estabilidade, na zona
comprimida, serão tratados oportunamente. Com estas omissões,
pode-se utilizar para a flexão simples reta o roteiro a seguir.
> Roteiro - Flexão simples reta
1-Determinar: o momento estático (S), de meia seção, e o
momento de inércia (I), ambos em relação ao eixo central de
inércia perpendicular ao plano de ação do momento fletor
(ver figura abaixo). Obter, também, a largura da seção
transversal (b), no centro de gravidade, e as distâncias deste
às bordas comprimida (yc1) e tracionada (yÿ).
Eixo perpendicular ao plano de cargas, no
CG => eixo em torno do qual ocorre a flexão
Plano de
cargasBorda comprimida
®cl,dy
yt2
7l77ÿ7 z'_aw
ma/ nNÍJ
S=SX.X e l=lx.x
X ti
\ Notação
utilizadaBorda tracionada b x°t2,dSEÇÃO y
1402 0459 5- Estruturas de Madeira2 -Determinar: a resistência à compressão paralela às fibras, fÿ; a
resistência à tração paralela às fibras, fBid; a resistência ao
cisalhamento paralelo às fibras, fÿ e o módulo de elasticidade
efetivo à compressão paralela às fibras, Eÿgf.
Em geral, para madeira de folhosas, basta consultar a tabela de
valores de cálculo (Tabela 16, página 44).
3 -Obter os esforços de cálculo (Vd e Md) e a flecha de serviço
t = u \ (Ud,uti)> apenas para ações de longa duração, considerando como
(flecha imediata)) vão teórico omenor dos seguintes valores:
a) Distância entre eixos dos apoios;
b) O vão livre mais a altura da viga, se menor que 10 cm.
4 -Verificação da Tensão normal_
_ Md za) Na Borda comprimida -> ‘Tu -—-Yd VdEm vigas deseção retangular
,estas expressões
Vÿão idênticaÿ/ b) Na Borda tracionada ->
I
Md
I
fv0.d'fv90,dOBS.: Nas peças com fibras inclinadas de a > 6o, fc0C|
e fto.d devem ser substituídos por fcad e ftad, aplicando: fwa,d
- fw0d-sen2«+ Wd-cos2«(w~= c ouT)
84 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira regiloÿÿ.
dos apoios (zá2.h),
para considerar o efeito da
(compressão normal, pode-se
reduzir o efeito da força
cortante multiplicando-a
por “z/2.h”.
5 -Verificação da tensão de cisalhamento
a) Na Prática r = < f
b.I
6 -Verificação da Flecha
Flecha limite
Flecha efetiva ( ume =ug+ç/2.uq =udutt
( uc = =Uef
=ftme+"e=(l+ (S>Uitmet
Flecha imediata Coeficiente de fluência
(Tabela 20, página 84)Flecha devida à fluênciaAs flechas
/ permanentes (ug) \
podem ser reduzidas \
com o uso de contraflecha
(u0), mas não se pode
considerar redução
\ maior que 2/3.ug /\ (ABNT, 2012).y
Nos vãos de vigas: u
£ A.uta = h300
Em geral (uso
da construção) Nos balanços: ti
u150 f 1
% 402 0459 5- Estruturas de MadeiraTabela 20 - Coeficientes de fluência, $
Classes de umidade
Classes de carregamento
(1) e (2) (3) e (4)
<0,80Permanente ou de longa duração 2,00
Média duração 0,30 1,00
Curta duração 0,10 0,50
TI7 -Conclusão
M Se aci d<fc0(1, crt2d<ft0d , td<fv0,d , uef<U|im e pelo menos
uma delas muito próxima do correspondente valor limite
=> tem-se a seção ideal.
n Se ac1,d«fc0,d e ot2>d«ft0,d e td«fv0d e uef«uljm => a
madeira resiste com folga, pode-se diminuirá seção.
n Se ac1d>fc0d ou ot2id>fWid ou td>fv0d ou uef>u„m
seção não resiste aos esforços, deve-se aumentar a
seção.
=> a
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
85 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exemplo de aplicação 18 -> Qual a seção necessária a uma
viga de madeira falquejada, com 10 cm de largura, para resistir
ao carregamento indicado na figura abaixo? Considere:
edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2);
madeira de uma folhosa (dicotiledônea) usual, não classificada,
da classe de resistência D60; carregamento de longa duração e
classe de umidade 1.
5000 N (Variável - talha)
5 N/mm (Permanente) SEÇÃO
mh = ?A 100 mm2,00 , 2,00
4,00 m
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 83)Solução:
1-Determinar: o momento estático (S), de meia seção, e o
momento de inércia (I), ambos em relação ao eixo central de
inércia perpendicular ao plano de ação do momento fletor (ver
figura abaixo). Obter, também, a largura da seção transversal
(b), no centro de gravidade, e as distâncias deste às bordas
comprimida (yc1) e tracionada (yÿ).
C. geométricas
(Anexo 1)
Borda comprimida
b.h2 lOO.h2s=sx_x = =>S=5000 N (Variável - talha)
\ 5 N/mm (Permanente)
Plano de
cargas
8 8
S=12,5.h2 mm31 1 y
yci
*uim Mim : lOO.h3b.h= ?yt2 I=I =>i=12 12Eixo emtorno doqual ocorrea flexão2,00/ 2,00 b -100 mmSEÇÃO I= 8,33.h3 mm4Hh /4,00 mh 1Z b=100 mm
Borda tracionada
Yà =y*2 =°>5h 01111
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
86 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 83)
2 -Determinar: a resistência à compressão paralela às fibras,
fc0d; a resistência à tração paralela às fibras, ft0d; a
resistência ao cisalhamento paralelo às fibras, fv0d e o
módulo de elasticidade efetivo à compressão paralela às
fibras, Ec0,ef.
C. da madeira
(Página 44)
fc0 d =21,00 MPa
ft0 d = 21,00 MPa
Dicotiledônea, classe D60 ->
fv0d= 2.18 MPa
|Ec0ef =12005 MPa
3 -Obter os esforços de cálculo (Vd e Md) e a flecha de serviço
(*ime —
a) Valores característicos
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
í 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Carga permanente
V?(no apoie)=
5 N/mm 5.4000í V = V =10000N=>; 2
A pi: 5.40002000 , 2000 "T (nocentre) = Mg =10.000.000 N.mm=>Mg8 84000 mmh 1
5.5.400d
>Ug ~ 384.12005.(8,33.h3) u* =
_ 5.pi4
~
384.E.I
166663.916ug(nocentre) mmDiagramas de
E. S. (Anexo 2) h3
> Carga variável (talha)
p
V (no apoie)= —
Mq(no centre)=— =>Mq =
5000 N
I 5000V ==> V =2500N=>2
5000.4000£ => Mq =5.000.000 N.mm2000 ’T2000 + 4
4000 mmh
5000 .40003
_48 .12005 .(S,33.1i3 ) Uq
Pi3 66.665.566uq(nocentre) = tnirh348.E.I
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
87 
 
 
 
 
402 0459 5- Estruturas de Madeira
b) Valores de cálculo
> Estados Limites Últimos (Md e Vd)
Esforços solicitantes, como a momento fletor e força
cortante, podem causar a ruptura de seções e, portanto,
estados limites últimos. Estes estados são verificados com
combinações últimas. Nos carregamentos de longa duração
usa-se a Combinação Última Normal, aplicando-a obtém-se:
n Momento fletor (Md)
Md =l,4.Mg +l,4.Mq=>Md =1,4.10000000 +1,4.5000000=> Md = 21.000.000 N.mm
n Força cortante (Vd)
Vd =1,4.10000+1,4.2500
> Estados Limites de serviço (udjUti)
C. Última Normal
(Página 25)
Vd =17500 NVd = l,4.Vg+l,4.Vq
Deslocamentos (flechas) excessivos podem causar a perda
de funcionalidade da construção, portanto, estados limites
de serviço (utilização). iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% Ver roteiro(página 83)402 0459 5- Estruturas de MadeiraEstados limites de serviço (utilização) são verificados com
combinações de serviço. Nos carregamentos de longa
c. Quase Permanente duração usa-se a Combinação Quase Permanente (de
serviço), aplicando-a obtém-se:(página 29)
Talha é equipamento típico
de “oficina mecânica”n Flecha (uime = udutl) ,
206663.255
í?- h!
166663.916 66.665.566+0,6. mm=>Uime = h3
4 -Verificação da Tensão normal
a) Na Borda comprimida
21000000
(8,33.h3)
b) Na Borda tracionada
21000000
(8,33.h3) '
Md fcrcu=-r-ycIÿfco,d => 21000000.0,5.(0,5.h)<21,00 =>h> h> 245,0 mmI 8,33.2L00
Md(Jt2:d=-rÁ-yt2ÿft04 =5. 21000000.0,5(0,5.h)<21,00=>h> h>245,0 mmI 8,33.2100
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
88 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 83)5 -Verificação da tensão de cisalhamento
a) Na Prática
17500.(12,5.h2) 17500.12,5
r _vd-s‘d ~ < 2,18 => h> => h > 120,5 mmb.i £f- " 100.(8.33.h3) 100.8,33.2,18
Tabela 20 - <(>
(Página 84)
6 -Verificação da Flecha Vãos de vigas uHm = £/300
(1+0,80)206663255.300206663255 4000
=> h*luef =(1+ < life,=>(1+0,80). < 4000h3 300
=> h> 303,3 mm
7 -Conclusão
Para satisfazer simultaneamente todas as verificações:
Tensão normal_ . .. 245i0mmB. comprimida-o-—-?-_ . . 245j0 mmB. tracionada-o-|-
Tensão de cisalhamento —c> 2—5 mm—
Flecha -
Solução
r h>303,3 mm
Adotar seção de largura 10 cm (dado)
e altura superior a 30,3 cm, portanto:
!303,3
Q
303,3 mm
mm
Seção escolhida: 10 cm x 31 cm
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
b) Flexão simples oblíqua
A flexão simples oblíqua se caracteriza pela ação de momento fletor
em torno de um eixo qualquer, sem a presença de esforço normal.
Nestes casos é usual decompor o carregamento nos dois eixos
principais de inércia, assim, existirão dois planos de flexão.
Os estados limites são os mesmos observados na flexão simples
reta. Os estados limites últimos são: esmagamento por compressão
na zona comprimida (no caso, inicia-se em um ponto); ruptura por
tração na zona tracionada (no caso, inicia-se em um ponto); ruptura
por cisalhamento na transição compressão/tração (no caso, inicia-
se em um ponto). Ocorre também um estado limite de serviço
(utilização), o de deslocamento excessivo.
As bases para o dimensionamento são as estudadas em
“Resistência dos Materiais”.
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
89 
 
 
 
 
I402 0459 5- Estruturas de Madeira Borda comprimida <ÿBorda fracionadaÿ»CTX
£ -aD Mx Mx•Yc*ÿ"x,A_yc
--X Xy« --E£HyEfeito dos
Momentos
Fletores 1 "V
M My•m My CTV,A =T—XC
Av—y
V
<Tyfi =T~XirV Ivy-v
X X
EP-
y.
h- H
Xt Xc
> Segurança à ruptura i N cr,
Resistência do material-
(à tração ou compressão)
<?x +CJy , opcionalmente:aterialmãx
5: <1
t 402 0459 5- Estruturas de Madeira No centro de
gravidade Efeito
conjuntoI &Vx &y Vx-Sx_x
Tx T rx =#ÿ> b-Ix-x TV
' y 1Efeito das
Forças
cortantes
1f Tx
Vv.S> Ty y—yr>‘ h.Iy y-y
-> b
> Segurança à ruptura U = +r; <
7Resistência do material
(ao cisalhamento) tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
90 
 
 
 
 
4 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Mesmo vão nas xÿVãos diferentesÿX
vÿduas direções Vtjasduas direçõe§x
-0. &
Px Px
Deslocamentos
produzidos pelos
Momentos
Fletores
0{ vNw uh\\Y* \ pM
V 'Vt
«s
•—X Py Py%
Deslocamento conjunto
não fica claro, melhor:
ux ux Hm e uy < uy h(n
> Segurança à deformação u= +uj; ou<ulmi
lProf. Dr. Norman Barros Logsdon
4 402 0459 5- Estruturas de MadeiraAssim, o dimensionamento à flexão simples oblíqua é semelhante
ao de flexão simples reta, entretanto será necessário obter as
características geométricas da seção e os esforços solicitantes de
cálculo em torno dos dois eixos de flexão. Em seguidas, as
verificações podem ser feitas como segue:
> Verificação da Tensão normal
a) Na Borda comprimida -> Usar a mais rigorosa das condições:
°My,d °My,d
fc0,d fcO.d
+kM-
•d
<1 kM- <1 , onde:eX"Áumento dà\
resistência devido
Vàplastificação/’
fcO fC0,d
H {kM = 0,7 em seção retangular;kM = 1,0 nas demais seções.
b) Na Borda tracionada -> Usar a mais rigorosa das condições:
y,d
•Yd , °My,d “ •Xcl e°Mx,d ly-Vu
/ Em vigas de
seção retangular
iasta verificar um«
das bordas /
kM fto,d ftM
+kM- <1 , onde:eítO.d ftO.d
kM = 0,7 em seção retangular;
kM = 1,0 nas demais seções.•Yt2 , °My,d
- •xt2 e°Mx,d _ u iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
91 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
OBS.: Nas peças com fibras inclinadas
de a i 6o, fc0,d e froci devem ser d) fwa,d =
substituídos por fcad e ftad, aplicando:
fw0,d-fw90,d
f,wsen2a+fw9oj-cos2«
(VV = C OlTT)
> Verificação da tensão de cisalhamento
A NBR 7190, da ABNT (2012), é omissa a respeito da verificação da
tensão de cisalhamento em vigas solicitadas a flexão simples oblíqua.
Souza (2009) conclui ser apropriado usar:
r =%Ayd iiiTi = +ry,d . onde: rxd = e ->ÿy-y
> Verificação da flecha
Segundo a NBR 7190, da ABNT (2012), a verificação da flecha pode ser
feita isoladamente para cada um dos planos de flexão. Quando o vão for
o mesmo, nas duas direções, Souza (2009) recomenda utilizar: _
('Em x e y
Uef - Vux,ef +uy,ef uHm , lembrando que: uef = ume +uc =(l+0)ume
Flecha devida
à fluência
Coeficiente de fluência
(Tabela 20, página 84)
402 0459 5- Estruturas de Madeira
crObservações
interessantes
fO comportamento elastofrágil da madeira,
admitido pela NBR 7190, da ABNT (2012), não
é compatível com a aplicação de “kM”, nas
equações apresentadas para verificação da
tensão normal nos problemas de flexão oblíqua.
Os autores da NBR 7190, da ABNT (2012), mantiveram as
expressões preconizadas pela NBR 7190, da ABNT (1997), que
admitia um comportamento elastoplástico da madeira. Ou seja,
Seção Tensões Um diagrama “tensão x deformação” linear até atingir o limite de
_____
resistência, onde o material plastifica redistribuindo tensões para
fibras que ainda não atingiram esse limite.
xlÿãtêriiTx
elastofrágila
f
c
'"'MateriâT'
ilastoplástici
8
1 pH A redistribuição das tensões, após plastificação de algumasCTiim \ fibras, aumenta a resistência da seção (denominador nas
referidas expressões). O coeficiente “kM” considera esse
acréscimo de resistência. Seções retangulares, completamente
Seção Tensões plastificadas, apresentam o dobro da resistência (kM =1/2 = 0,5).
CTlim
Plastificação total
Os autores da
plastificação parcial das seções retangulares (kM = 0,7).
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
NBR 7190, da ABNT (2012), consideraram
z
íyT " " "CTiim Plastificação parcial
92 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira> Exemplo de aplicação 19 -> Qual o máximo vão que pode ter uma
terça, de seção 6 cm x 16 cm, para um telhado com inclinação de 16°,
construído com madeira de uma folhosa da classe de resistência D40 e
telhas cerâmicas do tipo Romana. Sabe-se que a carga permanente
corresponde a uma carga uniformemente distribuída de 1245 N/m e o
vento de pressão a uma de 1040 N/m. Considere: edificação do tipo 2
(cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira usual, não classificada;
carregamento de longa duração e classe de umidade 1.
1040 N/m\16°,
1040 N/mV"~11245 N/m Vento depressão16 cm
x\
1245 N/m Carga
permanente
XX\A
••V Seção
6 cm /////////Região
comprimida £ = ?
\> Posição
deslocadaRegião
tracionada íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 83)Solução:
Dada a semelhança, pode-se adaptar o roteiro de flexão simples reta
para usar nos problemas de flexão simples oblíqua, apenas é
necessário obter as características geométricas da seção e os
esforços solicitantes de cálculo em torno dos dois eixos de flexão.
Finalmente, as verificações são feitas como apresentadas neste item.
1 -Determinar: os momentos estáticos (Sx_x e Sy_y), de meia seção, e
os momentos de inércia (lx.x e ly_y). Obter as dimensões da seção
transversal (b e h), no centro de gravidade, e as distâncias deste
às bordas comprimida (xc1 e yc1) e tracionada (xG e yÿ).
60.1602
C. geométricas
(Anexo 1)
b.h2b = 60 mm Sx_x =192000 mm3Sx-x = => Sx-x = =>8 8y
h.b2 160.602 S = 72000 mnfE Sv =i> S =>E y-yv-y y-y8 8Yci§ X -x : b.h3 60.1603
=> Ix_x =20480000mm4Yt2 Ix-xII 12 12
T _ — T _ 1606°3
y-y" 12 => y-y-
lib3V Iy_x = 2880000mm4—*ÿ: \*t X{2
-*l h— Xci
Yd = Yty = 80 mmb =60 mm h=160 mm xcl -xt: -30 mm
93 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 83)
2 -Determinar: a resistência à compressão paralela às fibras,
fc0d; a resistência à tração paralela às fibras, ft0d; a
resistência ao cisalhamento paralelo às fibras, fÿ e o
módulo de elasticidade efetivo à compressão paralela às
fibras, Ec0ef.
C. da madeira
(Página 44)
fc0 d =14,00 MPa
ft0d =14,00 MPa
Dicotiledônea, classe D40 -> fv0 d =1.63 MPa
Ec0,ef = 9555 MPa
3 -Obter os esforços de cálculo (Vx d, Vyd, Mx d e Myd) e as
flechas de serviço (uxjme e uyime, que correspondem a uxduti
® *-*y,d,uti)-
Inicialmente é necessário decompor o carregamento nos
dois planos de flexão. íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Flexão em torno do eixo x-x
gx = g.cosa => gx = 1245.cosl6°=> gx =1197 N/m =>
Vento de
pressão
1040 N/m
Carga
permanente
1245 N/m
gx =1,197 N/mm
\16°l
qx = 1.040 N/mmqx = q => qx = 1040 N/m =>16 cm
> Flexão em torno do eixo y-y
gy = g.sencr gy = 1245.senl6° => gy=343 N/m =>16° 'vi
Seção
6 cm
gy = 0,343 N/mm
Não há carregamento variável neste plano de flexão.
a) Valores característicos
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
94 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira Diagramas deE. S. (Anexo 2)4- Flexão em torno do eixo x-x
> Carga permanente
1.197JP*1,197 N/mm Vÿg =0,599i (N)Vÿ(noapoie)=ÿ
A/nocentre)=ÿ- => Mxg =
2
Pi2 1,197/A A* =0,1A2 (N.mni).£ (mm) S 8
5.p/ 5.1,197/uÿ/no centre)= (mn)=> A = => A =L2555.1CP384.Ec0cfJ 384.9555.20480000x-x
> Carga variável (vento de pressão)
1,040 N/mm v (no apoie)=—
minimum *q 2
Aq(nocentra=
=> v =1ÿx,q 2
1,040/
\q=0,52£(N)
pi2A A,q =0,13/ (N.mni)8 8£ (mm)
i.p/ 5.1,040/ /uxq(no centre) = (mn)=>A = => A=1,445LId3384 -EcOef-Ix-j 384 .9555.20480000
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
402 0459 5- Estruturas de Madeira
Diagramas de
E. S. (Anexo 2)4.Flexão em torno do eixo y-y
> Carga permanente
Vvg(no apoie)=ÿ 0343ÿ0,343 N/mm V = Vvg =0.1715/: (N)y.«11111iiiiiiim 2
Pi2 0,343/A
=0,043/ (N.mrq)Ag(nocentre) =>MyJ!=£ = ? 8 8
5.p/ 5.0,343£tUy_g(no centre)= (mn)=> A = => A=6J.616.1(J2384.Ec0_efJ 384.9555.2880000y-y
b) Valores de cálculo
4- Flexão em torno do eixo x-x
> Estados Limites Últimos (Mxd e Vxd)
Esforços solicitantes, como a momento fletor e força cortante,
podem causar a ruptura de seções e, portanto, estados limites
últimos. Estes estados, nos carregamentos de longa duração,
são verificados com a Combinação Última Normal, aplicando-a
obtém-se: iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
95 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira C. Última Normal(Página 25)
tt Momento fletor (Mx d)
M*d =1,4-Mÿ +l,4.Mxq.0,75=>Mxd = l,4.(o,15i2)+l,4.(o,13.£2)o,75ÿ|Mxd =0,347i2 N.mm
n Força cortante (Vxd)
Vxd =1,4.VX g +1,4.VX q.0,75 => Vxd = l,4.(0,599i)+l,4.(0,52.ÿ)0,75 => Vx d =1,3851N
> Estados Limites de serviço (uxd
Deslocamentos (flechas) excessivos podem causar a perda
de funcionalidade da construção, portanto, estados limites
de serviço (utilização).
Estados limites de serviço (utilização) são verificados com
combinações de serviço. Nos carregamentos de longa
duração usa-se a Combinação Quase Permanente (de
serviço), aplicando-a obtém-se:
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
1402 0459 5- Estruturas de Madeira C. Quase Permanente(página 29)
n Flecha (uxime = uxdutj)
t+0,0.=> Ux,ine =uX!Íme =ux,4uti =uxg+ÿ2.uxq 1,2555.1o13 1,4451.1013
t\|>2 para o vento mmUx.in, ='1.2555.1013
4 Flexão em torno do eixo y-y
> Estados Limites Últimos (Myd e Vyd)
Esforços solicitantes, como a momento fletor e força cortante,
podem causar a ruptura de seções e, portanto, estados limites
últimos. Estes estados, nos carregamentos de longa duração,
são verificados com a Combinação Última Normal, aplicando-a
obtém-se:
n Momento fletor (Myd)
Myj =l,4.Hg + l,4.M> q.0,75 =>Myd = l,4.(o,043i2)+l,4.0.0,75=> |Myd =0,0602i2 N.mm
C. Última Normal
(Página 25)
íSem carregamento variável neste plano de flexão Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
96 
 
 
 
 
? 402 0459 5- Estruturas de Madeira C. Última Normal(Página 25)
n Força cortante (Vyd)
Vy d = l,4.Vy +1,4.V .0,75 => V d =1,4.(0,1715.ÿ)+1,4.0.0,75 Vyd =0,2401.£ N
Sem carregamento variável neste plano de flexão
> Estados Limites de serviço (uy>diUtí)
Deslocamentos (flechas) excessivos podem causar a perda
de funcionalidade da construção, portanto, estados limites
de serviço (utilização).
Estados limites de serviço (utilização) são verificados com
combinações de serviço. Nos carregamentos de longa
duração usa-se a Combinação Quase Permanente (de
serviço), aplicando-a obtém-se:
n Flecha (Uyÿ — uydljtj)
C. Quase Permanente
(página 29)
tUyine=Uy,g+M\ine=UyAuti=Uy,g+V'2-Uy,q Uy,ime mm6,1616.1012
Sem carregamento variável neste plano de flexão iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro
(página 83)
4 -Verificação da Tensão normal
X a) Na Borda comprimida -> Usar a mais rigorosa das condições:
Lembrete: Sãá
diferentes as
verificações na
flexão oblíqua/
°My,d
f"cO:d *cOj
<1 K <1 , onde:ei- i-fC0,d
{kM = 0,7 em seção retangular;kM = 1,0 nas demais seções.°Mx,d -Xcl eaMy,iU Iv-v
Portanto:
0,347i2
20480000
0.0602Í2
2880000'
eMx,d 80 => MPa=> °Mx,d - °Mx,d-°MM _ 737752Ix-x
eMy.d 30 => MPa°My,d - “°My,d ~ •xcl 1594684ly—y
•£2/737752 i2jl594684‘Vd
v +M fcO,d few
<1=> í <3214 mm+0,7.+kM. <1 14,00 14,00fc0,d
£2/737752 f/1594684 <!=>£< 2980 mm+
14,00 14,00
97 
 
 
 
 
% Ver roteiro(página 83)402 0459 5- Estruturas de Madeira
Deve-se admitir a mais rigorosa das condições, portanto: t < 2980 mm
b) Na Borda tracionada -> Usar a mais rigorosa das condições:
°My,d
ftO.d ft0,d
+kM- kM-<1 <1 , onde:ef,0,d
Mv,d e{kM = 0,7 em seção retangular;kM = 1,0 nas demais seções.•y,2 ’ •X,2IvIx-x y-y
Em vigas de seção retangular
basta verificar uma das bordas
í < 2980 mm
5 -Verificação da tensão de cisalhamento
_Vy,d-S_ Yi,d'Sx-x e
b-Ix-x
>-y- onde: rxdrd = ry.d,d •o,d h-Iv.
Portanto:
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
% Ver roteiro(página 83)402 0459 5- Estruturas de Madeira
(1.384.Q.192000
60.20480000
(0,2401.C).72000
_ X,d-SX-x
Wx-x
V,d-Sv
í MPa=> =>rx,d rx,d = rx.d =4624
í MPa—y => =>ry,d = xy,d -rv.d = 160.2880000 26656hiy-y
2 2í í
rd - -\jrx,d + — < 1,63 => í < 7426 mm+4624 26656,
6 -Verificação da Flecha
:m x e y
Uef = VUx,ef +u; -lV , lembrando que: uef = ume + uc = (1+<p\uy.ef ime
Flecha devida
à fluência
Coeficiente de fluência
(Tabela 20, Página 84)
Portanto:
e
Ux,ef = tt + </>U => Ux,ef = (1+0,80) mmx.'.me 1,2555.1013 6,975.1012
IA
Uy ef = (1+ 0,80).uy ef = (1+0).u => => Uy,ef = mmy,ime 64616.1012 3,423.101;
98 
 
 
 
 
1 Ver roteiro(página 83)402 0459 5- Estruturas de Madeira
2t t t
Uef = VUx,ef +u; — Ulim <+y.ef 6.975.1012 3,243.1012 300
t t 2.9407.1012 t < 2140 mm2,9407.10a < 300 => í<\=> 300
7 -Conclusão
Tensão normal
B. comprimida/
B. tracionada L
Tensão de cisalhamento
Flecha\-
Soluçãó.
/ 2980 mm—I-o
2980 mm—I-o O vão livre daterça deve ser
no máximo de
v 2,14 m.y
7426 mm
<>ÿ
2140 mní
0
2140 mm
ó
OBS.: Este exemplo foi resolvido imaginando-se carregamento apoiado nas terças sem
qualquer ligação ou atrito. Na prática não é o que acontece. As ripas são pregadas aos
caibros e estes às terças, o que confere uma enorme rigidez à flexão em torno do eixo
y-y, de forma a se ter flexão quase que exclusivamente em torno do eixo x-x. Este fato
permite a utilização de vão muito superior ao obtido (aMxd < fc0d => (. < 3213 mm e
uxe( < JT/300 =>í < 3267 mm).
i402 0459 5- Estruturas de Madeirac) Flexotração simples ou oblíqua
A presença de um esforço normal de tração em um problema de
flexão, caracteriza a flexotração. As bases para o dimensionamento
são as estudadas em “Resistência dos Materiais”.
y
x
My
N By y
y!
Bxjt] x °N
I Ny <%=—
l:xlr CTMy'Mx MvMxy °k=YJ--yt x7xc
> Segurança à ruptura - + a\ix + , opcionalmente:
Resistência do material-
(à tração)
na região
comprimida são aliviadas
tensão
_ &X _j_ <1-
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
99 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
O problema é semelhante aos demais problemas de flexão, embora,
em geral, seja dispensável a verificação na borda comprimida e a
verificação de tensão normal na tracionada seja ligeiramente diferente.
> Verificação da Tensão normal
Na Borda tracionada -> Usar a mais rigorosa das condições:
[ °~Mx.d
ftO.d ftO.d
, onde:
ft0,d & d
V
kM = 0,7 em seção retangular;
kM = 1,0 nas demais seções. Só na Flexotração oblíqua
dsiN
resistência devido
plastificaçãoÿx
Nd Mx,d
Aef
e o-M,d = .xt2•y.2 VyU
OBS.: Nas peças com fibras
inclinadas de a. > 6o, f® d deve ser LZ) ftad = —-;---2—
substituído por f,a d, aplicando: Wsen a+ft9o,d-cos" a
ft0,d-ft90,d
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exemplo de aplicação 20 -> O proprietário de uma oficina mecânica
resolveu instalar uma talha na barra 5-7 da tesoura de seu telhado. Para
o carregamento dado na figura a seguir, que forneceu os valores de
cálculo na referida barra, apresentados abaixo, verifique se a madeira
(classe de resistência D50) e a seção (6 cm x 16 cm) utilizadas são
suficientes. Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores
a 5 kN/m2); madeira usual, não classificada; carregamento de longa
duração e classe de umidade 1.
•Força normal de cálculo -> Nd = 62435 N (de tração)
•Força cortante de cálculo -> Vd = 7000 N (no apoio)
•Momento fletor de cálculo -> Md = 5250000 N.mm (no centro)
OBS.: Os esforços na barra 5-7 foram obtidos, de maneira
simplificada, associando-se à barra uma vigasimplesmente apoiada
nos nós 5 e 7. O esforço normal é obtido aplicando-se à treliça as
reações da viga.
IProf. Dr. Norman Barros Logsdon
100 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira1500 N 600 N
V3000 N 1200 N\ /3000 N 1200 N\ /2500 N 1000 N\ 450 N /450 N450 N Vento de pressao11 I450 N 450 N 400 N Àgua absorvida pelasI telhas
Cargas permanentes
i 1400 N 3700 NI I3700 N 3700 N3700 N 3700 N<63000 N 3000 NT:.4
I 1 1,65 m<Q><3> <S>'
5000 N,,
1,50. 1,50, 1,50. 1,50, 1,50,1,50
<z> <D ©
5000 NReações da
viga associada
Carga da talha
(na treliça)
-h t i
9,00 mh
1 10000 N
0,75
Carga da talha
(na viga associada)
Borda tracionada
Íi Prof. Dr. Norman Barros Logsdon1.50
402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro
(página 83)
Solução:
Dada a semelhança, pode-se adaptar o roteiro de flexão simples reta
(ou oblíqua) para usar nos problemas de flexãotração. No caso em
questão, a flexão ocorre apenas em torno de um eixo, portanto, um
caso de flexotração simples.
1 -Determinar: a área da seção transversal (A), o momento estático
(S), de meia seção, e o momento de inércia (I), ambos em torno
do eixo de flexão. Obter a largura da seção transversal (b) no
centro de gravidade, e a distância deste à borda tracionada (yÿ).
C. geométricas
(Anexo 1)
Plano de
A = 9600 mm2A =b.h => A = 60.160cargas
b.h2 60.16tf S =192000 mm3s=sx_x S= Sx_x => S8 8£
£ yci b.h3 60.1603s x -X [ T _ T _ T _ T _
yj2 — — — I= 20480000 mm4=>I= 12ii
sz'
yt, =80 mmb= 60 mm
b = 60 mm Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
101 
 
 
 
 
1 Ver roteiro(página 83)402 0459 5- Estruturas de Madeira2 -Determinar: a resistência à compressão paralela às fibras,
fco.d (se necessário verificar a borda comprimida); a
resistência à tração paralela às fibras, ft0d; a resistência ao
cisalhamento paralelo às fibras, fv0d e o módulo de
elasticidade efetivo à compressão paralela às fibras,
(se necessário verificar flecha).
C. da madeira
(Página 44)
fc0d = 17.50 MPa
ft0 d =17.50 MPa
Dicotiledônea, classe D50 -> fv0d=1,91 MPa
Ec0ef =10780 MPa
3 Obter os esforços de cálculo (Nd, Vd e Md) e a flecha de
serviço (uime= uduti)
Foram dados -> Nd =62435 N , Vd = 7000 N e Md = 5250000 N.mm
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
Ver roteiro
(página 83)
402 0459 5- Estruturas de Madeira
Flecha excessiva não é indicativo de ruptura e, no caso em questão, não
há interesse na flecha da “viga associada” (entre os nós da tesoura),
mas sim na flecha da tesoura. Os dados são insuficientes para obter
essa flecha. Por outro lado, o interesse do proprietário é apenas verificar
se não ocorrerá ruptura ao utilizar a talha, portanto não será necessário
verificar a flecha.
4 -Verificação da Tensão normal
Na Borda tracionada -> Usar a mais rigorosa das condições:
Lembrete: São
diferentes as
verificações na
flexotração.
°Xtd °Mx,d
f-tO.d ftO.d
°Mx,d\e <1 , onde:1*' w ftO.d Ço.d
kM = 0,7 em seção retangular;
kM = 1,0 nas demais seções.
Só na Flexotração oblíquaVerificações na
Flexotração
H.=MÿNd á-Xt2ec’kd - .
Aef
~•yt2
iy.
Note que, nas seções retangulares, não é necessário verificar a
borda comprimida, pois Nd (de tração) alivia a tensão._
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
102 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Portanto, no caso em questão (flexotração simples), tem-se:
NdNd 62435 => crNtd = 9.29 MPa°Nt,d - _°Ntd _Tração
paralela
(ligação
desconhecida)
(0.70.A) (0,70.9600)
5250000Md 80 £TMd =20,52 MPa_°1M4 = -r--yt2 =>=> 20480000I
9,29 20,52
17,50 17,50
°kd | °M,d
ftO.d f"tO,d
<1 => 1,70>1 ... NãoOK!<1
A tensão normal na borda tracionada
não é verificada. Portanto, a talha não deve ser
instalada em uma barra da tesoura.
OBS.: Note que a força normal utilizaria 53% da resistência total,
enquanto que o momento fletor necessitaria 117% da resistência total.
Esse fato ratifica a idéia de que, em treliças, as cargas devem ser
aplicadas aos nós. A aplicação de cargas fora dos nós conduz a
dimensionamentos antieconômicos. íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
402 0459 5- Estruturas de Madeira
d) Flexocompressão simples ou oblíqua
A presença de um esforço normal de compressão em um problema
de flexão, caracteriza a flexocompressão. As bases para o
dimensionamento são as estudadas em “Resistência dos Materiais”.
yX
Myit _J
i
' nNA
# BHy4::x+++y, BT MX MxN =7-xc=7ÿ-yc y°X=TB y XXA MH Ly—yX, xc
> Segurança à ruptura czj> - as + +°My -4ÿ opcionalmente:
Resistência do material-
(à compressão)
na região
tracionada são aliviadas
-\Dela tensão
_ <1-
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon k
103 
 
 
 
 
402 0459 5- Estruturas de Madeira
Embora, em geral, seja dispensável a verificação na borda fracionada,
além das verificações comuns aos problemas de flexão, nos problemas de
flexocompressão também é necessária a verificação de estabilidade. Os
problemas de estabilidade são indeterminados na teoria linear de primeira
ordem, por isso os autores de NBR 7190, da ABNT (2012), estabeleceram
um roteiro para essa verificação. Assim, pode-se aplicar o roteiro,
apresentado a seguir, para verificação de madeira à flexocomprressão.
> Roteiro - Flexocompressão (simples ou oblíqua)
1 -Determinar: a área da seção transversal (A); os momentos estáticos
(Sx.x e Sy.y), de meia seção; os momentos de inércia (lx.x e ly.y); e os
raios de giração (ix.x e iy.y). Obter, também, as dimensões da seção
transversal (b e h), no centro de gravidade, e as distâncias deste às
bordas comprimida (xc1 e yc1) e fracionada (xQ e yÿ).
2 -Determinar: a resistência à compressão paralela às fibras, fc0 d; a
resistência à tração paralela às fibras, fÿ (se necessário verificar a
borda fracionada); a resistência ao cisalhamento paralelo às fibras,
fvod; os módulos de elasticidades efetivo, Eÿef, e de cálculo, Eÿ,
ambos à compressão paralela às fibras. íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira3-Obter os esforços de cálculo (Nd, Vxd, Vyd, Mxd e Myd) e as flechas de
serviço (ux ime e uyiime, que correspondem a uxduti e uyiduti).
4 -Verificação da estabilidade (roteiro da NBR 7190, da ABNT (2012)).
a) Determinar comprimentos de flambagem (L0x e L0y) e índices de
esbeltezes (Aÿ e Ay).
Lo, Lp,yTabela 17 -KE
(página 61) L0.X =KE.LX Lo.y -KE.Ly . 4=t- e*x-x
OBS.: Existindo, em determinada direção, valores diferentes de
vão (Lx ou Ly), deve-se usar o mais desfavorável.
b) Obter as esbeltezes relativas (Are| X e Arei y).
Á E7 , Noteque:'ijjr VÿcoVÿcO k d_K_ . W71 ) kAel.x Aee i.y n
OBS.: para A.reijX < 0,3 e A,re|iV < 0,3, não ocorrerá instabilidade,
mas deve-se verificar a resistência (ir para o passo 5).
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
104 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
c) Obter os coeficientes kx e ky.
k,=0,5[l+AI-k«,,-0.3)+(ÿij] e k,=o4+A-(ÿJ.-0,3)+&U»)!]
Para madeira maciça serrada e peças roliças -> [A =°>2|
Para madeira laminada colada e microlaminada (LVL) -> \PC = 04|
para peças de madeira serrada ou roliças
ÍI500 para peças de madeira laminada colada
Consultar norma específica para escoramentos e
fôrmas de madeira
Pcÿ> Se limitados os
alinhamentos ->
no centro do vão
d) Obter os coeficientes kcx e kÿ.
1
kcv =_ 1ky+A/(kJ-Ure,JK +faJ e
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
e) Verificar a estabilidade -> Usar a mais rigorosa das condições:
fcO:dv
°Kçd
|
°Mx,d
X*"íçOd
°Nc.d A
Mo.d V'W WK
í <1 , onde:e
kM = 0,7 em seção retangular;
kM = 1,0 nas demais seções. Só na Flexocompressão oblíqua
daN
resistência devido
'vàplastificaçãoÿ
MNd y.d•Yd e = •Xci°N<;d -T ly-yIx-xA
Observações
interessantes OBS.: Nas peças com fibras
inclinadas de a > 6o, fc0 d deve ser fca>d =
substituído por fcad, aplicando:
fc0,d-fc90,d
fcod-senÿ +fÿod-cos2»
íProf.Dr. Norman Barros Logsdon
105 
 
 
 
 
402 0459 5- Estruturas de Madeira
5 -Verificação da Tensão normal
Na Borda comprimida -> Usar a mais rigorosa das condições:
°My,d°k<;d °Mx,d °N<;d
V *w
, onde:1 e+ fcO,fC0.d fC0,d fcO,d
LkM = 0,7 em seção retangular;
kM = 1,0 nas demais seções. Só
na Flexocompressão oblíqua
NddaX
resistência devido
sÿplastificaçãoÿ
•Yd e •xci°N<;d- 7A
OBS.: Nas peças com fibras
inclinadas de a > 6o, fc0 d deve ser fcad =
substituído por fcad, aplicando:
fç0,d-fc90.d
fc0,d-Sen2«+fc90,d-COs2a
6 -Verificação da tensão de cisalhamento
r _%4-Sy-y
h.1
_Vx,d-Sx-x
rd - VrM+Ty,d - fvo.d , onde: rx,d eb-Ix-x
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
7 -Verificação da Flecha
Uef - +uy,ef - uHm , lembrando que: Uef =Ume+UC =(1+/)U,ime
Existindo vãos diferentes, melhor:
Ox,ef — 0X| |ím ® Oyef Uy |jm
Flecha devida
à fluência
Coeficiente de fluência
(Tabela 20, Página 84)
8 -Conclusão
n Se todas as verificações forem satisfeitas e pelo menos uma delas se
encontrar muito próxima do correspondente valor limite => tem-se a
seção ideal.
n Se todas as verificações forem satisfeitas, mas se encontrarem muito
distantes do correspondente valor limite => a madeira resiste com folga
e pode-se diminuir a seção.
n Se pelo menos uma das verificações não for satisfeitas => a seção não
resiste aos esforços e deve-se aumentar a seção.
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
106 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira> Exemplo de aplicação 21 -> Um galpão foi construído tendo tesouras
simplesmente apoiadas sobre pilares. As paredes eram formadas por tábuas
pregadas a estes pilares. Verificar se para os pilares pode
ser utilizada madeira de uma folhosa, da classe de
resistência D50, e seção 20 cm x 20 cm, sabendo-se que os
T esquemas estáticos admitidos, o esquema de fixação das
paredes e os carregamentos, aplicados pela parede e pelas
reações da tesoura, são apresentados nas figuras a seguir.
Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores
a 5 kN/m2); madeira usual, não classificada; carregamento
de longa duração e classe de umidade 1.
3,00 m
m
Pilar
Tábuas
da parede
£
E Eo o
co coEsquema:
estáticos
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
i Esquema
construtivo íI
1402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 103)
Solução:
Observando-se os carregamentos, na
figura ao lado, percebe-se que as cargas
verticais causam compressão no pilar e
a carga horizontal flexão. Portanto, o
dimensionamento do pilar deve ser feito
à flexocompressão.
15950 N 7950 N
2100 N
E
E
:E E
E8\ E
-oO o
8 8.2 1 -Determinar: a área da seção
transversal (A); os momentos
estáticos (Sx_x e Sy_y), de meia seção;
os momentos de inércia (lx.x e ly_y); e
os raios de giração (ix_x e iy_y). Obter,
também, as dimensões da seção
transversal (b e h), no centro de
gravidade, e as distâncias deste às
bordas comprimida (xc1 e yc1) e
tracionada (x,2 e ye).
8
i=
C0
J/ss/s c //£//
CDSeção
~]]200 mm
Seção
]j200mm
200 200
a) Carga
permanente
b) Vento
de pressão
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
107 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira C. geométricas(Anexo 1) Ver roteiro(página 103)y E
E Observa-se, também, que a flexão ocorrerá apenas em
torno do eixo y-y, ou seja, o problema é de
flexocompressão simples.
§
CNCD
7D <S>
O §>
ro ro
K °
ii
V ro
A= a2 A = 20tf A = 40000 mnrX(2 Xd =>
200 mm
a3 2003
Sx_x =Sy_y =1000000min3sx-x = s s =sx-x =>y-y y-y8 8
a4 200* IX_X=IV_V =133333333mm4x-x y-y 2 2 => Ix-x=I =>y-y 12
200i =i =—X-x S-v rr b-x íy-y ix_x =iv-y =57,74 mm=> =>Vl2 Ju
b=h= 200 mmb=h=a b=h= 200=> =>
xci =xt2 =ycl =yt2 =100 mm=>Xcl = Xt2 = Ycl = Yt2 = 2
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira C. da madeira(Página 44)
2 -Determinar: a resistência à compressão paralela às fibras, fc0 d; a
resistência à tração paralela às fibras, ft0d (se necessário verificar a
borda fracionada); a resistência ao cisalhamento paralelo às fibras,
fvod; os módulos de elasticidades efetivo, Ec0ef, e de cálculo, Ec0d,
ambos à compressão paralela às fibras.
fc0d =17,50 MPa
ft0d =17,50 MPa
Dicotiledônea, classe D50 -> ( fv0d =1,91MPa
Ec0.ef =10780 MPa
Ec0d =5390MPa
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
108 
 
 
 
 
1 Ver roteiro(página 103)402 0459 5- Estruturas de Madeira
3 -Obter os esforços de cálculo (Nd, Vxd, Vyd, Mxd e Myd) e as flechas de
serviço (uxime e uwme, que correspondem a uxd utl e uyAuti).
a) Valores característicos
> Carga permanenteI15950 N Ng =18150NV-1 g
$i
15950 N
V (N) M (N.mm)N (N)
SE 1-1 TM VM =X,=°N<J>COE
E15950 N ~ E5>{o 'E O Mj. g =My g = 0 N.mm£ ooz
COEO OSN E
O TO
u*lg =Uy.g = 0 mm8 E 2LU //////
VÍ2 15950+0,90.3000 = 18150
Sem flexão => sem flechas (Eld2v/dx2=-M)
%M Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
1402 0459 5- Estruturas de Madeira Diagramas deE. S. (Anexo 2)> Vento de pressão
l7950 N2100 N Nq =7950 No 7950 N
N (N) V (N) M (N.mm)2100 N
+1 S O Yi,q =0 NCT>M s
E7950 N
E Vyq=2100 N© ©2100 N oo
on
o
q = 0 N.mmEE TO
O .2Es LU //////
My. q = 6300000N.mm•y 2100.3000 = 6300000.2
*0*VL3 ux q =0 mm-y Flexão apenas em torno do eixo y-y
PI3 2100.3000’ u = 13.15 mmUy,q => lVq = =>3.10780.133333333
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
109 
 
 
 
 
C. Última Normal
(Página 25)
402 0459 5- Estruturas de Madeira
b) Valores de cálculo
4- Compressão
> Estados Limites Últimos (Nd)
Esforços solicitantes, como a força normal, podem causar a
ruptura de seções e, portanto, estados limites últimos. Estes
estados, nos carregamentos de longa duração, são verificados
com a Combinação Última Normal, aplicando-a obtém-se:
Nd =l,4.Ng +l,4.Nq.0,75 =>Nd =1,4.18150+1,4.79500,75 => Nd=33758N
\
Carregamento considerado em conjunto (carga permanente = telhas e madeira)
lFlexão em torno do eixo x-x
No caso só existe flexão em torno do eixo y-y, portanto:
> Estados Limites Últimos (Mxd e Vxd)
VXsd =0 N M* d =0 N.mrne
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
C. Última Normal
(Página 25)
402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Estados Limites de serviço (uxdjUtj)
Ux,diUtí = 0 mm Ujjne =0 mmou
lFlexão em torno do eixo y-y
> Estados Limites Últimos (Myd e Vyd)
Esforços solicitantes, como a momento fletor e força cortante, podem
causar a ruptura de seções e, portanto, estados limites últimos. Estes
estados, nos carregamentos de longa duração, são verificados com a
Combinação Última Normal, aplicando-a obtém-se:
Myj =1,4-My g +l,4.Myq.0,75 =>Myid =1,4.0+1,4.63000000,75=» =6615000N.mm
Vy d =1,4.Vyg+1,4.Vyq.0,75 => Vy d =1,4.0+1,4.2100.0,75 Vy d =2205 N
> Estados Limites de serviço (uyd Lítj)
Deslocamentos (flechas) excessivos podem causar a perda de
funcionalidade da construção, portanto, estados limites de serviço
(utilização). _ - - ~—---;---(—Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
110 
 
 
 
 
% C. Quase Permanente(página 29) Ver roteiro(página 103)402 0459 5- Estruturas de MadeiraEstados limites de serviço (utilização) são verificados com combinações
de serviço. Nos carregamentos de longa duração usa-se a Combinação
Quase Permanente (de serviço), aplicando-a obtém-se:
= 0 mmli,.*,* =0+0.13,15 =>UyÀuti =Uy,g +V/2-Uy,q Uy,d,uti
uv ime =0 mmou
4 -Verificação da estabilidade (roteiro da NBR 7190, da ABNT (2012)).
a) Determinar comprimentos de flambagem (L0x e L0y) e índices de
esbeltezes (A* e Ay).
L0x =KE,LX => L0 x = 2,10.3000 => L0 x = 6300 mmTabela 17 -KE
(página 61)
L0y =KE.Ly => L0y = 2,10.3000 => |L0 y = 63OO mm
6300
\ = A =109,1=>57,74*x-x
Lo 6300JL =- 57.74
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
K =109,1=>
1Y-Y í
402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro
(página 103)
b) Obter as esbeltezes relativas (A,re!x e A,reiy).
109,1 17,50\ í I => Aeu = l,98=> 4el,x =K.x ~ _ "ÿtel,x _ • 539071 V Ec0,k * V Ec0.d n
_ j W — ÒL I 109,1 17,50 => Vyÿ1’98Vy- —Ael => KL,y y 5390LcO,k 7171
Note que:
fc0,k/Ec0,k = fcoVÿco.d
c) Obter os coeficientes kx e ky.
kx = 0,5.[l+A-fôeu-0,3)+{Kj.Y] => kx=0,5.[l+0,2.(1,98-0,3)+(l,98)2]=> |kx =2,63
ky =0,5.[l+Pc(K,y ~0,3)+(Vj] => ky = 0,5.[l+0,2.(l,98-0,3)+(l,98)2]=> |ky =2,63
A = °,2=>Madeira serrada, limitando 0 alinhamento no centro do vão em
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
111 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 103)
d) Obter os coeficientes kcx e kcy.
kcx = 1 1 => kcx = 0.23=* kcx =
K +faJ 2.63 + - (l.98)2
1 1 => kcy = 0.23kcy =
2.63 + A/(2;63f — (1.98 y2
e) Verificar a estabilidade -> Usar a mais rigorosa das condições:
ky + V(ky f ~ Urel.y)2
°Ncd
| QNM ,L
kcx-fcO.d kcyfc0,d V írO fcO,dI<1
<1 , onde:e
kM = 0,7 em seção retangular;
kM = 1,0 nas demais seções. Só na Flexocompressão oblíqua
Nd e O'My.d°Mx,d°Ncd . IV_yA
No caso, flexocompressão simples em torno do eixo y-y, a mais rigorosa
das condições será: iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
402 0459 5- Estruturas de Madeira
3Nd|
kcyfc0,d í:0,d
<1 , onde: -•XC1, e ly—yA
Portanto:
33758Nd o-y-cd =a85 MPa°Nç,d°Nc,d A => =>40000A
M 6615000
CTMvd ~ 133333333
y,d 100 o-Mvd = 4.96 MPa— =>Iy-y
0.85 496
0,23.17.50 17,50
<1==“ 0,21+0,28<1 H0-49ÿ1- 0K!<1 =»kyyÿcO.d fc0,d
O pilar não perde estabilidade
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
112 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 103
5 -Verificação da Tensão normal
Na Borda comprimida -> Usar a mais rigorosa das condições:
,2
°k<;d °Mx,d aMx,d\ , °My,d , onde:I<1 e+
v
' A. -'fc,í:0,d fc0,d fcO.d
7
kM = 0,7 em seção retangular;
kM = 1,0 nas demais seções.
Só na Flexocompressão oblíqua
M,Nd y.de = •Xci°ÍM- .A
No caso, flexocompressão simples em torno do eixo y-y, a mais rigorosa
das condições será:
M..2 Nd y,d0My,d°N<;d
Ç:0,d
°My,d -Xcl, onde: °Nc,d ~ e<1+ ly-:Aí:0,d
Portanto:
iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% Ver roteiro(página 103)402 0459 5- Estruturas de Madeira
Nd 33758 =0,85 MPa_ A => _A 40000
6615000My,d crMyd=4,96 MPa100=* ‘V.d = =>~ 133333333Iy-y
,2 20.85 4,96aN<;d
-1=> 0,0023+0,2834<1=* |0,286<l| ... OKI<1 =>|+ 17,50, 17,50fC0,d
OBS.: As expressões para verificação de estabilidade são mais rigorosas
que as de verificação de resistência. Assim, só faz sentido verificar a
resistência se Xre)>x<0,3 e Arely<0,3 (não ocorrerá instabilidade), ou se for
necessário verificar a borda tracionada (xc1 * xÿ ou yc1 * yÿ).
6 -Verificação da tensão de cisalhamento
VM-S,-» e r -Ai'S® 14 “ h.1n=TÍAÃJ £ fv»,d .°nde:
y-yTi,d b.Ix-x y-y
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
113 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 103)
Portanto:
Yc,d-Sx-x 0.1000000 rx d =0 MParx,d = => =>rx.d =bIX-X 100.133333333
V H.Sy.d ?-y 2205.1000000 ry d =0.17 MPaV=ry,d = => =>100.133333333h.Ivy—y
Vpid + — fv0,d rd = ry d < fv0 d => 017 MPa < 1,91 MPa ... OK!*"d
0
7 -Verificação da Flecha Coeficiente de fluência
(Tabela 20, Página 84)
ud uti
\
Uef - Vux,ef +uy,ef - llKm , lembrando que: Uef =Uime+Uc=(l+»Uime
Em x e y
Portanto:
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
402 0459 5- Estruturas de Madeira Tabela 20 - <(>
(Página 84)
Ver roteiro
(Página 84) (página 103)
U|im
Ux.ef = (1+m uxef = (1+0,8).0 Ux,ef = 0 mm=> =>xjme
Uy,ef =0+0K,im< uy ef = (1+ 0.8 ).0 uyef = 0 mm=>
i 3000Nos balanços -> uto = —L UHm = 20 mmuta ==> =>150 150
0 mm<20 mm ... OK!Uef = 0=>Uef
0 0
8 -Conclusão
Todas as verificações foram satisfeitas, portanto,
o pilar pode ter seção 20 cm x 20 cm e ser construído com——__rnadeira da classe de resistência D50.__——
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
114 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
e) Estabilidade lateral de vigas
A zona comprimida de uma viga fletida pode sofrer um fenômeno
parecido com a flambagem, ou seja, se a tensão atuante na borda
comprimida for elevada, a viga pode perder estabilidade lateral.
Movimento da seção
V
// Deslocamento
da zona comprimida poi
perda de estabilidade
\.lateral da vigaÿ/fjrfrrn
A verificação, quanto a estabilidade lateral, deve fazer parte de todo
problema de flexão, a exceção dos que garantem a estabilidade
lateral de maneira construtiva.
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
Os problemas de estabilidade são indeterminados na teoria linear
de primeira ordem, por isso os autores de NBR 7190, da ABNT
(2012), estabeleceram um roteiro para verificação da estabilidade
lateral, que admite uma viga cujas extremidades tem a rotação
impedida e com travamentos de distancia não maior queÿ-,.
Rotação das extremidades
impedidas pelos apoios 3SET Í2<kDimensões
da seção
a
jâ kk
Ê3 h
A 'r
Maior distancia
entre travamentos
h Í2<k i
b Notação utilizada
-htiProf. Dr. Norman Barros Logsdon
115 
 
 
 
 
402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Roteiro - Estabilidade lateral de vigas
1-Obter as dimensões da seção transversal (b e h) e o maior
espaçamento entre as barras de travamento (£-,).
2 -Determinar as propriedades de cálculo da madeira
utilizada, no caso: o módulo de elasticidade efetivo (Eÿf)
e a resistência à compressão paralela às fibras (fco.d)-
3 -Obter o coeficiente (3M, função da relação h/b, dado a seguir.
Tabela 21 -Coeficiente de correção, pM
h/b 1 82 3 4 5 6 7 9 10
PM 6,0 8,8 12,3 15,9 19,5 23,1 26,7 30,3 34,0 37,6
h/b 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
PM 41,2 44,8 48,5 52,1 55,8 59,4 63,0 66,7 70,3 74,0
OBS.: Valores intermediários podem ser obtidos por interpolação linear.
Na prática, utiliza-se o valor tabelado (de pM) imediatamente superior,
trabalhando-se a favor da segurança .
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
4 -Verificar a estabilidade lateral da viga.
íi< Ecoef
b Pu fcO.d então: a viga não perde estabilidade laterala) Se
Eçp.ef
b Pu-fc0,d> e a tensão normal foi verificada, então:b) Se
b.1) Recupere (e verifique) o valor da tensão normal máxima na
borda comprimida.
crcl d = .ycl < fc0 d (do problema de flexão)I
b.2) Obtenha o valor limite dessa tensão para que não ocorra
perda de estabilidade lateral:
EçO.ef= ViA. íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
116 
 
 
 
 
« 402 0459 5- Estruturas de Madeirab.3) Verifique a estabilidade lateral
EçO.ef A viga não perde
estabilidade lateralentão:— °limn Se f
A viga perde estabilidade
lateral deve-se aumentar
a seção da viga (b), ou
aumentar o número de
pontos contraventados,
diminuindo o valor de
Neste caso o problema
precisará ser refeito.
então:H Se <Tcl.d > _ f
> Dica -> Para definir a necessidade de contraventamentos laterais
é usual avaliar, sucessivamente, as seguintes hipóteses: 1) Não é
necessário contraventar 2) Um contraventamento no
centro (ÿ1=ÿ/2); 3) Um contraventamento a cada terço da viga
(£\=ÍIZ) etc..
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
« 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exemplo de aplicação 22 -> Seja a viga: simplesmente apoiada, com
4,00 m de vão; seção 6 cm x 16 cm; um carregamento permanente,
uniformemente distribuído em toda a extensão da viga, de 400 N/m; e um
carregamento acidental móvel (variável), concentrado, de 1000 N (homem
caminhando). Onde devem ser colocados contraventamentos laterais,
para evitar a perda de estabilidade lateral dessa viga? Considere:
edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira é uma
folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D30;
carregamento de longa duração e classe de umidade 1.
1000N (variável - homem caminhando)
0,40N/mm (permanente)var.
4000mm
160mm Esquema estático
do problema de-— flexãom Seção
Prof. Dr. Norman BarrosLogsdon
117 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 115)Solução:
Sendo o interesse obter a posição dos contraventamentos
laterais, deve-se avaliar, sucessivamente, as hipóteses: 1) Sem
contraventamento {£\=£)\ 2) Um contraventamento no centro
{£ÿ<=£12); 3) Um contraventamento a cada terço da viga {£<=£IZ)
etc..
n Hipótese 1 - Sem contraventamento
1 -Obter as dimensões da seção transversal (b e h) e o maior
espaçamento entre as barras de travamento {£<).
Hipótese
£, =£ => £.= 4000 mmb =60mm, h=160mm e í
2 -Determinar as propriedades de cálculo da madeira
utilizada, no caso: o módulo de elasticidade efetivo (Ec0ef)
e a resistência à compressão paralela às fibras (fc0d).C. da madeira
(Página 44)
Ec0ef = 7105 MPa
Dicotiledônea, classe D30 ->
fc0d= 10,50 MPa iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro
(página 115)
3 -Obter o coeficiente (3M, função da relação h/b, dado a seguir.
h _ 160
b
“
60
4 -Verificar a estabilidade lateral da viga.
L 4000
¥““60“
Eco,ef
A4,,d 123.10,50
b A1-fcO.d
Tabela 21 - pM
Página 115 — = 2.67 => Da tabela 21ÿb A, =123
= 66.67b
e
>
Eco,ef
b Al-IcO.d
í21
Ecoef =55,01
Al-lcO.d
7105 =>
L
deve-se retornar ao problema de flexãoComo
b.1) Recupere (e verifique) o valor da tensão normal
máxima na borda comprimida.
A partir do problema de flexão simples reta, obtém-se:
iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
118 
 
 
 
 
í 402 0459 5- Estruturas de Madeira
b.h3Seção 60.1603 1= 20.480.000 mm4i=u= =>=> i=12 12x x 160mm h 160 ycl =80 mm=>Yci = 2;ym p.f; 0,40.400tf => Mg = 800.000 N.mmCarga permanente
0,40N/mm
Mg = => Mg =8 8
PX 1000.4000 => Mq =1.000.000 N.mmM = —q 4 =» M = 4JF 1
4000mm Md =l,4.Mg +l,4.Mq => Md =1,4.800000+1,4.1000000 =>d
Carga variável
Posição crítica da carga móvel
(homem caminhando)
1000N
Md = 2.660.000 N.mm
2660000 80 => =10-39 MPaCTcLd =—T’-Ycl =* CTcl,d = 20480000I I Verifica a tensão
de flexãoJF =3. C7dd =10,39 MPa<fc0d =10,50 MPa =>
2000 2000 Prof. Dr. Norman Barros Logsdon+ d
4000mm
H
« 402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 115)
b.2) Obtenha o valor limite dessa tensão (C|im) para que não ocorra
perda de estabilidade lateral:
cO.ef 7105
akn ~ 0jfcn = 8,66 MPa66.67.12,3
>1
b.3) Verifique a estabilidade lateral
><Tcl d = 10.39 MPae <7ÿ = 8,66 MPa
A viga perde estabilidade
lateral deve-se aumentar a
seção da viga (b), ou
aumentar o número de
pontos
diminuindo o valor de e
refazer o problema.
então:Sendo > °Km
contraventados,
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
119 
 
 
 
 
« 402 0459 5- Estruturas de Madeira
n Hipótese 2 - Um contraventamento no centro
Essa nova hipótese altera somente o valor de £•, (íÿ=í!2). Esta
alteração muda a resolução anterior no passo 1 (valor de £:) e
depois, já nas verificações, no passo 4 (valores de tÿb e CTHm).
Assim, o cálculo fica reduzido a:
Hipótese
i,=en l, - 2000 mm=> A =4000/2 =>í
lx _ 2000
¥"60
e Eço.ef _
A¥c
A Eco,ef— = 33.33 , comob 55,01 k AffcO.d0,d
]<PA viga, sob essa hipótese, não perde estabilidade lateral
H Conclusão
Para evitar a perda de
estabilidade lateral, da viga em questão, deve-se colocar
-*----ip travamento lateral no centr<ÿ_____—----- %Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
402 0459 5- Estruturas de Madeira
Finalizar
f) Exercícios propostos
> Exercício proposto 31 -> Calcular a carga nominal
permanente máxima (pgk), uniformemente distribuída,
que poderá ser aplicada a uma viga caixão,
simplesmente apoiada, com
solidarizada por pregos comerciais, n° 21 X 33, que
possuem diâmetro de 4,9 mm e estão espaçados,
longitudinalmente, entre si de 20 cm. Sabe-se que não
existe carga variável e que a seção da viga é a
esquematizada na figura ao lado. Considere: edificação
do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira de uma
folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D30;
carregamento de longa duração e classe de umidade 1.
> Exercício proposto 32 -> Se a viga, do exercício proposto 31, tiver
uma carga permanente de 3 N/mm, uniformemente distribuída, qual a
máxima carga variável, oriunda de uma talha, concentrada e aplicada
no meio do vão, que pode ocorrer?
®I J4,00 m de vão, E
o
T°«í II -r-:'
11 cm
h H
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
120 
 
 
 
 
402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exercício proposto 33 -> Verificar se uma viga, simplesmente
apoiada, de seção 6 cm x 16 cm, e 4,00 m de vão, é suficiente para
resistir a um carregamento permanente, uniformemente distribuído em
toda a extensão da viga, de 450 N/m e um carregamento acidental
móvel (variável), concentrado, de 1000 N (homem caminhando).
Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a
5 kN/m2); madeira de uma folhosa, usual e não classificada, da classe
de resistência D40; carregamento de longa duração e classe de
umidade 1.
y Exercício proposto 34 -> Em uma viga simplesmente apoiada, de
seção 6 cm x 16 cm, com 2,00 m de vão, é aplicado um
carregamento uniformemente distribuído, vertical, de 5000 N/m e uma
carga concentrada axial, de compressão, no apoio móvel, passando
pelo centro de gravidade da viga, de 10000 N. Sabendo-se que o
carregamento é considerado permanente (não existe carga variável), a
viga suporta o carregamento?. Considere: edificação do tipo 2 (cargas
acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira de folhosa, usual e não
classificada, da classe de resistência D60; carregamento de longa
duração e classe de umidade 1. íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exercício proposto 35 -> Qual a melhor seção, retangular, comercial,
de largura 6 cm, para solução do exercício proposto 33?
y Exercício proposto 36 -> Qual a melhor seção, retangular, comercial,
de largura 6 cm, para solução do exercício proposto 34?
> Exercício proposto 37 -> Em uma viga simplesmente apoiada, de
seção 6 cm x 16 cm e 2,00 m de vão, é aplicado um carregamento
uniformemente distribuído, vertical, de 5000 N/m e uma carga
concentrada axial, de compressão, no apoio móvel, passando pelo
centro de gravidade da viga, de 10000 N. Sabendo-se que o
carregamento é considerado permanente (não existe carga variável), a
viga suporta o carregamento? Considere: edificação do tipo 2 (cargas
acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira de uma folhosa, usual e não
classificada, da classe de resistência D50; carregamento de longa
duração e classe de umidade 1.
y Exercício proposto 38 -> Qual a melhor seção, retangular, comercial,
de largura 6 cm, para solução do exercício proposto 37?
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
121 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exercício proposto 39 -> Uma viga simplesmente apoiada, de seção
6 cm x 16 cm e 1,50 m de vão, tem dois furos na seção central, com
1,50 cm de diâmetro cada. Esta viga foi submetida a um carregamento
composto por uma carga concentrada, vertical, aplicada no centro do
vão, de 1500 N e uma carga concentrada, axial, de tração, aplicada no
apoio móvel e passando pelo centro de gravidade da seção, de
35000 N. Sabendo-se que o carregamento é considerado permanente
(não existe carga variável), a viga suportará o carregamento?
Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a
5 kN/m2); madeira de uma folhosa, usual e não classificada, da classe
de resistência D60; carregamento de longa duração e classe de
umidade 1.
> Exercício proposto 40 -> Qual a melhor seção, retangular, comercial,
de largura 6 cm, para solução do exercício proposto 39?
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
í 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exercício proposto 41 -> Verificar se a viga simplesmente engastada,
de seção 10 cm x 30 cm e 1,50 m de vão, com o carregamento
indicado na figura abaixo, perde estabilidade lateral. Casoafirmativo,
onde deve(m) ser colocado(s) contraventamento(s)? Considere:
edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira
de uma folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D40;
carregamento de longa duração e classe de umidade 1.
Seção5 N/mm - Carga permanente
E
o
s
10000 N - Carga variável (talha[ para erguer motores)
10 cm1,50 m
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
122 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
8. Ligações
Em geral os pontos mais fracos de uma estrutura de madeira são suas
ligações. Assim é muito importante o conhecimento adequado do
cálculo e dos esquemas construtivos utilizados nas ligações. Para se
evitar a introdução de esforços secundários, a ligação deve ser
Isimétrica] em relação ao plano médio da estrutura e, se possível, a
disposição dos elementos de ligação deve ser|centrada|
a) Tipos de ligações Cola
P PParafusos
P1
Pregos
Força de
compressão
p IP
$
P
&QIUUi P.cos XL \®\®*Dentes e entalhes 'R
Área
p coladaPI2\ |P/2
I j !P/2 ]p P/2Í ÍP/2 |p
' Ligações por penetração
Resultante
.igações por
contato
P/2 .igações por
aderência
1402 0459 5- Estruturas de Madeirab) Ligações práticas (sem modelo de cálculo)
Algumas ligações utilizadas em estruturas de madeira não têm modelo de
cálculo definido, entretanto têm sido utilizadas por carpinteiros sem
apresentarem problemas para as estruturas e por isso tiveram sua
aplicação difundida.
\Terça Terça :
Prego Parafuso com
porcas e arruelas
TesouraTesoura Tesoura
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3
Apoio para
a Terça
Terça CobrejuntaCobrejunta Terça
Prego.
-h-O / O
1—
o o ? TerçaApoio para
a Terça ¥ Ti
Prego I I V
U Cobrejunta
lesoura
Recorte na
cobrejunta
Tesoura
/
Prego
Tesoura
Vista lateral Vista frontal Vista superior
íModelo 4Ligações típicas paraemenda de terças Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
123 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeiramodelo de cálculo, da ligação apresentada abaixo, não é definido para vigas
fletidas, embora para as peças tracionadas, segundo a NBR 7190, da ABNT
(1997), pode-se admitir 85% da resistência da peça maciça. A atual NBR 7190,
da ABNT (2012), é omissa a respeito.
OBS.: As vezes a inclinação
da cunha é proibitiva.
b
L 1 <3> 10.b
Ligação colada em viga maciça fletida ou tracionada
Embora a atual NBR 7190, da ABNT (2012), seja omissa a respeito, a emenda de
uma das lâminas (tábua) de uma peça de MLC, pode ser feita de três diferentes
maneiras e, segundo a NBR 7190, da ABNT (1997), pode-se admitir uma redução
da seção resistente da lâmina, em função do tipo de emenda, dada por:
{Emenda por entalhes múltiplos ("finger joints") ar= 0,90Emendas em cunha (inclinação 1:10)Emendas de topoAied=arAef curvaturaar= 0,85-> ar= 0,00 \
=> Kmod3jÿ.Ce Ce CtOBS.: O calculo da MLC é igual ao da madeira maciça, mas
a atual NBR 7190, da ABNT(2012), altera sua resistência,
conforme as características da peça, por meio do
]_
entalhe temperatura
!402 0459 5- Estruturas de Madeira
Emenda por entalhesmúltiplos
/ (“fingerjoints”) Cola
/Ferramenta/
para execução
dos entalhesy
múltiplosEmenda em cunha/(inclinação >1:10) Cola
*>10.t
Emenda de topo Cola Ligação
entre as tábuas de
uma peça de madeira
laminada fletida ou/
\ÿtracionada
íTábua extra para compensara emenda longitudinal Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
124 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeirac) Ligações pregadas
De maneira geral, o cálculo de uma ligação pregada, segundo a NBR 7190
da ABNT (2012), pode ser feito segundo o seguinte roteiro:
> Roteiro - Ligações pregadas
1 - Identificar, adotando se necessário, as espessuras das peças da
ligação e através delas a espessura convencional “t” (ver figura
abaixo). Identificar, ou escolher, o prego a ser utilizado (ver tabela 22,
a seguir) e em consequência o diâmetro do prego “d” (para uso
estrutural 3 mm < d < t / 5).
OBS.: Deve existir pré-furação (dfuro < d). A penetração mínima do
prego deve ser 12.d, desde que inferior a espessura da peça.
1(t4<t3)ÿ(t4< t2) % (t4=t2) 'Ih (U - t3)\J|ÿ-r-'U 'V-I- Vr-Corte simples -V-V
Í4I,d L
lit *2 . Lft•Vh*1 *4 h. l2íilJi*v (t4 =t3)
t é o menor l_*2
valor entre
t,e U
(t4>12.d)
t é o menor
valor entre
ti e t2
t é o menor
valor entre
U e t2/2
t é o menor
valor entre
t2/2 e t4
(t4>12.d)
|Kt é o menor
’I valor entre
ti,t2/2et3
fir%
Espessura convencional “t”
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Tabela 22 - Pregos comerciais
Características do prego Pregos
Por
pacote
de 1kg
Características do prego Pregos
por
pacote
de 1kg
Número
Comercial
Diâmetro
d (mm)
Comprimento
í (mm)
Número
Comercial
Diâmetro
d (mm)
Comprimento
i(mm)
1,6*12 x 12 22 1970 20x30
20x36
20x42
4,4 69 99
2,0*13x15 28 83 911430 4,4
2,2*14x 18 36 895 96 764.4
2,4*15x18 36 685 21 x 33
21 x36
21 x45
4,9 76 80
2,7*16 x 18 36 520 4,9 83 70
17x21
17x24
17x27
3,0 48 305 4,9 103 56
3,0 55 285 22x36
22x42
5,4 83 63
3,0 62 226 5,4 96 51
18x24
18x27
18x30
3,4 55 211 22x45
22x48
22 x 54
5,4 103 49
5,4 453,4 62 187 110
3,4 69 175 5,4 124 34
11019x27
19x30
19x33
19x36
3,9 62 152 24x48
24 x 60
6,4 34
3,9 69 133 6,4 138 27
3,9 76 122 25 x 60
25x72
7,6 138 24
3,9 83 109 7,6 165 16
* Não são utilizados em estruturas de madeira 26x84 7,8 190 14
125 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
2 -Obter a resistência de cálculo de embutimento (fÿd), da
madeira utilizada, na direção definida pelo ângulo a, entre a
direção do esforço e das fibras da madeira.
Tabela 23, abaixo
’ fe90,d'ÿe ®
'ÿe90:d Redefinido em relação
ao fe90d apresentado na
tabela 16 (página 44)
fen.d _ feod-seiror + fj cos a90,d‘
Tabela 23 - Valores do coeficiente ae para pinos (pregos, parafusos etc.)
Diâmetro P°l-
do pino
1/4” 3/8” 1/2" 5/8” 3/4" 7/8” 1” VÁ” VÁ” 13/4” 2” 3”
0,95 1,27 1,59 1,91 2,22 2,54 3,18 3,81 4,45 5,08á0,64* £7,62cm
2,50 1,95 1,68 1,52 1,41 1,33 1,27 1,19 1,14 1,10 1,07 1,00Coeficiente ae
* Só é válido para pregos
OBS.: Para valores intermediários recomenda-se utilizar, a favor da segurança, o
valor tabelado imediatamente inferior. iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
3 -Obter o valor de cálculo da resistência de um prego a corte
simples, segundo o seguinte roteiro:
a) Obter o parâmetro,p , e seu valor limite, /3|lm , dados por:
fydt qual: fyd 600 MPae A.=U5, , na
fea.d
Para pregos
b) Obter o valor de cálculo da resistência de um prego a
corte simples (Rvd1), por:
E o estado
limite último será
o embutimento
na madeira,/
n Se RV(U=0,50.t.d.fead
d2 E o estado•fyd limite último será a
lexão do prego
n Se P>pÿ=> Rvdsl = 0,625 . Am
fvd > 600 MPa
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
126 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
4 -Obter o valor de cálculo da resistência total de um prego
(Rvd), pela soma da resistência nos diversos cortes simples
(Rÿ 1) em que o prego atua. -
Número de cortes
simples em um pregoR,d = n„.R
i=l
Rvd vd I-d,li
5 -Obter o número de pregos necessários na ligação (np).
Id Valor de cálculo do esforço aser transmitido pela ligaçãonpÿ Rvd
OBS.: 1) Emendas são consideradas duas ligações; 2) Usar
no mínimo 2 pregos por ligação; 3) Usar no máximo 8 pregos
por linha.
6 -Obter o número de pregos em cada face da ligação (npface).
np
Hp.face — n Número de faces da ligaçãofaces
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira7 -Desenhar a ligação, garantindo os espaçamentos mínimos
(figura abaixo), com todos os detalhes necessários à sua
compreensão (detalhamento).
I /
/z./
~f~1.5.d~T~1.5.d~t~T T~l =1=1,5.d n.dn.d
=Jn.d|n.d 1 4.d 4.d4.d
3.dj1,S.d 1,5.dUii
-T t
3.d
1,5.d/t1,5.d
in.din.di 7.d Hl, 4.d
Pregos,cavilhas e
parafusos ajustados
n= 6
Parafusos
n = 4
n.d4.d
1,5.dX 7/7ÿn.d;i,5.d
7.d
1,5.di i3.d 1,S.d
ispaçamentos mínimos de pinos(pregos, parafusos etc.)c Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
127 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exemplo de aplicação 23 -> Dimensionar uma emenda pregada, em uma
barra de seção 6 cm x 12 cm. A barra é submetida a um esforço de cálculo
de 11200 N de tração (figura abaixo). Considere: edificação do tipo 2 (cargas
acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira é uma folhosa, usual e não
classificada, da classe de resistência D40; carregamento de longa duração e
classe de umidade 1.
Face
\
\ ENd= 11.200 N Nd= 11.200 N ol
CNU v
6
Face
Nd= 11.200 N Nd= 11.200 N* IFace
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 124)
Solução:
1 - Identificar, adotando se necessário, as espessuras das
peças da ligação e através delas a espessura convencional
“t” . Identificar, ou escolher, o prego a ser utilizado e em
consequência o diâmetro do prego “d”.
Escolha det -> As 2 cobrejuntas devem transmitir a carga total => Devem
ter a área total pelo menos igual a da peça central =>
Adotam-se 2 peças de seção 3 cm x 12 cm.Definição de t
Página 124
dprego — 3 mm
Largura da cobrejunta ou
metade da largura da barra
Penetração* do prego
na peça central
Escolha do prego -> Devem ser escolhidos o comprimento (£) e o diâmetro
do prego (d)
Se a corte simples ->£ = tcobrejunta+penetração* => C> 30+36=> t > 66 mm
Se a corte duploÿí > 2.tcobrejunta+bpeça centrai =>c* 2.30+60ÿ £ >120 mm
-> t = 3 cm = 30 mm
t = menor entre => t = 30 mm
-> Mínimo = 12.d > 36 mm
iProf. Dr. Norman Barros Logsdon* Penetração mínima de 12.d
128 
 
 
 
 
1 Ver roteiro(página 124)402 0459 5- Estruturas de Madeira
Adotando ligação à corte simples (prego não “vara" a peça
central), tem-se:
í > 66 mm e 3 mm< d< — =>3 mm< d< —
(.> 30+12.d
=> 3 mm < d< 6 mm
55
T. de Pregos
(página 124) Assim, adota-se o Prego n° 20 x 36 => d - 4.4 mm e t = 83 mm
2 -Obter a resistência de cálculo de embutimento (fÿ), da madeira
utilizada, na direção definida pelo ângulo a, entre a direção do
esforço e das fibras da madeira.
Dicotiledônea classe C 40 -> fe0 d =14,00 MPa e fe90 d = 3,50 MPa
C. da madeira
(página 44)
Tabela 23 - ae
(página 126) fe9o,d = fe9o,d => Cd= 3,50.2,50 fe*90d = 8.75 MPa=>
Observa-se, do esquema da ligação, que esforço é aplicado
paralelamente as fibras, portanto, a = 0o. Portanto:
feO.d'C 14,00.8,7590,dfea.d - =>feo.d-sen'a+ f* 14,00.sen:0 +8,75.cos2 0cos' a90,d'
ífea,d=feO,d=14ÿ0 Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
Ver roteiro
(página 124)
402 0459 5- Estruturas de Madeira
3 -Obter o valor de cálculo da resistência de um prego a corte simples,
segundo o seguinte roteiro:
a) Obter o parâmetro,p, e seu valor limite, pm , dados por:
30t P= 6,82
/L =1,25.
=>4,4
A. J- 600 An =8,!8f, 14,00a.à
Pr egos -> fyd > 600 MPa
b) Obter o valor de cálculo da resistência de um prego a corte simples
(Rvd.i), por:
f E o estado \
limite último será
o embutimento
na madeira,/
Rvd,i =0,50.t.d.feadn Como p<pÿ
Rvd,i = 0,50.t.d.fead => Rvdl =0,50.30.4,4.14,00 => Rvdl=924 N
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon k
129 
 
 
 
 
% Ver roteiro(página 124)402 0459 5- Estruturas de Madeira
4 -Obter o valor de cálculo da resistência total de um prego (Rvd), pela
soma da resistência nos diversos cortes simples (Rvd1) em que o
prego atua.
Foi adotado corte simples do prego (passo 1) :=> ncs =1
Rvd = 924 NRvd _ncs-Rvd,l => Rvd =1-924 =>
5 -Obter o número de pregos necessários na ligação (np).
11200
'*-924- np = 14 pregos=> np > 12,12 =>nPÿRyd
OBS.: 1) Lembrar que uma emenda são duas ligações; 2) Para
garantir simetria da ligação é usual “arredondar” np para um múltiplo
do número de faces.
6 -Obter o número de pregos em cada face da ligação (npface).
"P 14 np,face=7 Pre§osrÿp.face * —Hfaces np,face — 2 =>=> iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
1 Ver roteiro(página 124)402 0459 5- Estruturas de Madeira7 -Desenhar a ligação, garantindo os espaçamentos mínimos
(figura abaixo), com todos os detalhes necessários à sua
compreensão (detalhamento).
Na direção normal às fibras
Das arestas -> 1,5.d = 1,5.4,4 = 6,6 mm => pode-se adotar 10 mm = 1 cm
Entre pregos -> 3.d = 3.4,4 = 13,2 mm
Na direção paralela às fibras
Da aresta interrompida -> 7.d = 7.4,4 = 30,8 mm => adota-se 40 mm = 4 cm
Entre pregos -> 6.d = 6.4,4 EE 26,4 mm
Assim, a emenda pode ser detalhada como se apresenta na figura abaixo:
.4,3. 3. 4. 4.3. 3. 4.
Espaçamentos
(página 126)
=> pode-se adotar 50 mm = 5 cm
=> pode-se adotar 30 mm = 3 cm
l JNd= 11.200 N £Nd= 11.200 N 6 o
rg6 1
\
363Prego n°20 x 36
28 cm
Nd= 11.200 N Nd= 11.200 N
i
130 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
d) Ligações parafusadas
Segundo a NBR 7190, da ABNT (2012), o cálculo de uma ligação
parafusada pode ser feito usando o seguinte roteiro:
> Roteiro - Ligações parafusadas
1 -Identificar, adotando se necessário, as espessuras das peças da
ligação e através delas a espessura convencional “f” (ver figura
abaixo). Identificar, ou escolher, o parafuso (ver tabela 24) e em
consequência o diâmetro do parafuso “d” (para uso estrutural
9,5 mm <d <t/2).
>J[ÿ | Corte simples 1
£ É ]3 /Espessura
convencionalE *3*2hM—Lt—1 “t”té o menor
.. valor entre
if t-|, t2/2 e tj
t é o menor
valor entre
ti et2 % tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Tabela 24 - Diâmetros de parafusos comerciais, d
1/4”*Pol. 3/8” 1/2" 5/8” 3/4" 7/8” 1” 11/2”
0,64 0,95 1,27 1,59 1,91 2,22 2,54 3,18d cm
6,4 9,5 12,7 15,9 19,1 22,2 25,4 31,8mm
* Não devem ser utilizados em estruturas de madeira.
2 -Obter a resistência de cálculo de embutimento (fÿd), da madeira
utilizada, na direção definida pelo ângulo a, entre a direção do esforço
e das fibras da madeira. -
Tabela 23, página 125
CM Co,d ~ ÊCd = Cd - =>
Redefinido em relação ao fe90d
apresentado na Tabela 16 (página 44)Cd'Co.dCd - Cdsen2or + fCd- cos2 a
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
131 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
3 -Obter o valor de cálculo da resistência de um parafuso a corte
simples, segundo o roteiro:
a) Obter o parâmetro,p, e seu valor limite, , dados por:
fvdt , na qual: fyd MPae /L=1,25,M
fea.d
Para parafusos
b) Obter o valor de cálculo da resistência de um parafuso a corte
simples (Rvd1), por:
E o estado ' \
limite último será
o embutimento
na madeira.
Rvd,i =0,50.t.d.feadH Se p<pÿ
E o estado
limite último será
o de flexão do
parafuso
d2 •fvdRvd.i = 0,625 .H Se p>PbD => Am /
fvd > 250 MPa
lProf. Dr. Norman Barros Logsdon
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
4 -Obter o valor de cálculo da resistência total de um parafuso (Rÿ,),
pela soma da resistência nos diversos cortes simples (Rvdj) em que
o parafuso atua.
N° de cortes simples
em um parafusonc n,RXR
i=l
RvdRvd => vd.lvd.li
5 -Obter o número de parafusos necessários na ligação (np).
Valor de cálculo do esforço a ser transmitido pela ligação
Rvd
OBS.: 1) Emendas são consideradas duas ligações; 2) Usar no
mínimo 2 parafusos por ligação; 3) Usar no máximo 8 parafusos por
linha.
6 -Desenhar a ligação, garantindo os espaçamentos mínimos (figura da
página 126), com todos os
compreensão (detalhamento).
detalhes necessários à sua
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
132 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira> Exemplo de aplicação 24 -> O nó de uma tesoura (tipo Pratt), apresentado
na figura abaixo, tem sua diagonal ligada ao banzo inferior por meio de
parafusos. A diagonal é tracionada com uma carga de cálculo de 16800 N.
Considerando as dimensõesapresentadas na figura abaixo, detalhar a
ligação. Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a
5 kN/m2); madeira é uma folhosa, usual e não classificada, da classe de
resistência D60; carregamento de longa duração e classe de umidade 1.
Montante
12 cm
é?
?>16
Ar TV Plano de
corte do
parafuso
Plano de
corte do_ parafuso
bX40°51— igação de um nc
de tesoura Pratt
16 cm
Banzo Inferior
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
í 402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 130)
Solução:
1-Identificar, adotando se necessário, as espessuras das
peças da ligação e através delas a espessura convencional
“t” (figura da página 130). Identificar, ou escolher, o parafuso
(tabela 24, página 130) e em consequência o diâmetro do
parafuso “d” (para uso estrutural 9,5 mm <d <t / 2).
Definição de t
(página 130)
T. parafusos
(página 130) Espessura das peças
da diagonal
Metade da largura da
peça do banzo inferior-ÿ b/2=6/2 = 3 cm = 30 mm
9,5mm<d<ÿ => 9,5mm<d<ÿ => 9,5mm<d<15mm => d = 12,7 mm
-> t = 3 cm = 30 mm
t = menor => t = 30 mm
2 -Obter a resistência de cálculo de embutimento (fea,d). da
madeira utilizada, na direção definida pelo ângulo a, entre a
direção do esforço e das fibras da madeira.
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
133 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 130)
fe0 d =21.00 MPa efeC. da madeira Folhosa da classe D60 ->
(página 44)
= 5,25 MPa90,d
Tabela 23 - ae
(página 125) fj => 4,= 5,25.1,68 => K = 8,82 MPa90,d 90,d
Observa-se, do esquema da ligação, que esforço é aplicado pela
diagonal, a 40° com a direção das fibras, portanto, a = 40°. Portanto:
fe0,d-fe90,d 21,00.8,82— => fe*,d4d“ =>fe0d.seiror+f* 21,00.sen240 + 8,82.cos2 40.cos a90,d
4,=13,37 MPa
3 -Obter o valor de cálculo da resistência de um parafuso a corte
simples, segundo o roteiro:
a) Obter o parâmetro, p, e seu valor limite, , dados por:
30t P= p = 2,36=>12,7
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro
(página 130)
fvd 250/L =U5J-r => A. =U25. An =5,41=>lea.d 13,37
Paraíltsos —> fyd > 250 MPa
b) Obter o valor de cálculo da resistência de um parafuso a corte
simples (Rvd1), por:
E o estado
limite último será
o embutimento
na madeiraÿ
Rvd4 = 0,50.t.d.feadn Como p< /4
= 0,50.t.d.fead =>RvdI =0,50.30.12,7.13,37 => Rvd,t = 2547 NRvd.l
iV 4 -Obter o valor de cálculo da resistência total de um parafuso (Rvd),
pela soma da resistência nos diversos cortes simples (Rvd-1) em que o
parafuso atua.
Observa-se do esquema da ligação (ao lado),
que cada parafuso atua em 2 cortes simples. ncs = 2=>
%Prof. Dr. Norman Barros LogsdonCortes simples
134 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Rvd = 2.2547 => Rvd = 5094 NRvd = ncs.RvdI =>
5 -Obter o número de parafusos necessários na ligação (np).
16800 => np > 3,30 => np = 4 parafusosnp>
6 -Desenhar a ligação, garantindo os espaçamentos mínimos,
com todos os detalhes necessários à sua compreensão
(detalhamento).
5094Rvd
Espaçamentos
(página 126)
Na direção normal às fibras
Das arestas 1,5.d = 1,5.12,7=19,05 mm
Entre parafusos -> 3.d = 3.12,7= 38,1 mm
Na direção paralela às fibras
Da aresta interrompida -> 7.d = 7.12,7 = 88,9mm
Da aresta interna -> 4.d = 4.12,7= 50,8 mm
=> pode-se adotar 20 mm = 2 cm
=> pode-se adotar 40 mm = 4 cm
adota-se 90 mm = 9 cm
=>pode-se adotar 51 mm =5 cm
Entre parafusos n.d = 4.d = 4.12,7 = 50,8 mm => pode-se adotar 51 mm =5 cm
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
í 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Assim, a ligação pode ser detalhada como se apresenta na figura abaixo:
&
W12 cm16 &
Ar 6
6v 40°
’Wÿ±4.d = 50 mm
- -ÿL--9ÿ\-r1,5.d = 20 mm 16 cm
Parafuso passante
d = Vi” = 12,7 mm1,5.d =20 mm 7.d =90 mm
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
135 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
JJ. e) Ligações cavilhadas
Cavilhas são pinos torneados de madeira resistente. As cavilhas,
segundo a NBR 7190 da ABNT (2012), devem ser feitas com
madeiras de folhosas da classe D60, ou com madeiras moles
impregnadas com resinas de modo a possuírem resistências
compatíveis com a classe D60.
A NBR 7190, da ABNT (2012), admite o uso de cavilhas estruturais
com os diâmetros de 16 mm, 18 mm e 20 mm. O diâmetro dos
furos, para instalação, deve ser o mesmo da cavilha.
Segundo a NBR 7190, da ABNT (2012), o cálculo de uma ligação
cavilhada pode ser feito usando o seguinte roteiro:
> Roteiro - Ligações cavilhadas
1 - Identificar, adotando se necessário, as espessuras das
peças da ligação e através delas a espessura convencional
“f”(ver figura a seguir). Identificar, ou escolher, o diâmetro da
cavilha “d” (para uso estrutural 16 mm, 18 mm e 20 mm).
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
Cola
ú t
i402 0459 5- Estruturas de Madeira
| Corte simplêT í I
5 tiJl *2*2
t é o menor
valor entre_
t-j, t2/2 e tj
/Espessura
convencional
t é o menor
valor entre
et2 11
OBS.: Segundo a NBR 7190, da ABNT (2012), cavilhas submetidas a um
único corte simples só devem ser utilizadas em ligações secundárias.
2 -Obter as resistência de cálculo da madeira utilizada nas cavilhas à
compressão, nas direções paralela (fcod.cav) e normal (fC90d,cav) às
fibras.
OBS.: As cavilhas, segundo a NBR 7190 da ABNT (2012), devem ser
feitas com madeiras de folhosas da classe D60, ou com madeiras
moles impregnadas com resinas de modo a possuírem resistências
compatíveis com a classe D60. tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
136 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
3 -Obter o valor de cálculo da resistência de uma cavilha a corte
simples, segundo o roteiro:
a) Obter o parâmetro,p, e seu valor limite, pm , dados por:
fc0d,cavt e Am = fc90d,cav
b) Obter o valor de cálculo da resistência de uma cavilha a corte
simples (Rvd1), por:
E o estado x,
limite último será
o esmagamento
\da cavilhaÿ/
Ryd.l 0,50.t.dfc9odiCavn Se p<p,m =>
/Sc. o estado
limite último será
o de flexão da
\ÿcavilha.ÿ/
d2Rvd,i=°>50.« Se P>(\n Od:cavAm
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
402 0459 5- Estruturas de Madeira
4 -Obter o valor de cálculo da resistência total de uma cavilha (Rvd), pela
soma da resistência nos diversos cortes simples (Rvd1) em que a
cavilha atua.
N° de cortes simples
em uma cavilha“o Rvd -R vd,1XR
i=l
Rvd vd.li
5 -Obter o número de cavilhas necessárias na ligação (ncav).
Fd Valor de cálculo do esforço a ser transmitido pela ligaçãoncav Rvd
OBS.: 1) Emendas são consideradas duas ligações; 2) Usar no
mínimo 2 cavilhas por ligação; 3) Usar no máximo 8 cavilhas por
linha.
6 -Desenhar a ligação, garantindo os espaçamentos mínimos (figura da
página 126), com todos os detalhes necessários à sua compreensão
(detalhamento).
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
137 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exemplo de aplicação 25 -> Dimensionar uma emenda cavilhada, em uma
barra de seção 6 cm x 12 cm. A barra é submetida a um esforço de cálculo
de 11200 N de tração (figura abaixo). Considere: edificação do tipo 2 (cargas
acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira é uma folhosa, usual e não
classificada, da classe de resistência D40; carregamento de longa duração e
classe de umidade 1.
Face
\
\ ENd= 11.200 N Nd= 11.200 N ol
CNU v
6
Face
Nd= 11.200 N Nd= 11.200 N* IFace
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 135)
Solução:
1 - Identificar, adotando se necessário, as espessuras das peças da
ligação e através delas a espessura convencional “t”. Identificar, ou
escolher, o diâmetro da cavilha “d" (para uso estrutural d = 16 mm,
18 mm ou 20 mm).
Escolha det -> As 2 cobrejuntas devem transmitir a carga total => Devem
_ ter a área total pelo menos igual a da peça central =>
Definição de t Adotam-se2 peças de seção 3 cm x 12 cm.
(página 135)
Espessura da cobrejunta-> t = 3 cm = 30 mm
t = menor entre / Metade da espessura
Ida peça central
=> t = 30 mm
-> t = 6/2 = 3 cm = 30 mm
d= 20 mmEscolha da cavilha -> Escolher o diâmetro da cavilha (d) ->
2 -Obter as resistência de cálculo da madeira utilizada nas cavilhas à
compressão, nas direções paralela (fcodxav) e normal (fC90d,cav) às
fibras. As cavilhas devem ser de folhosas da classe D60, ou ter
resistência compatível com esta classe. íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
138 
 
 
 
 
i Ver roteiro(página 135)402 0459 5- Estruturas de Madeira
C. da madeira Folhosa da classe D60 -> fc0d = 21,00 MPa e fc90 d = 5.25 MPa =>
(página 44) -- ---
fc0d>cav = 21,00 MPa e lc90d,cav — 5,25 MPa
3 -Obter o valor de cálculo da resistência de uma cavilha a corte
simples, segundo o roteiro:
a) Obter o parâmetro,p , e seu valor limite, pm , dados por:
30t P= 1,50=> 20
fc '21,000d,cavAm ~ Am = Am =2,00fc 5,2590d,cav
b) Obter o valor de cálculo da resistência de uma cavilha a corte
simples (Rvd1), por:
O estado
limite último será o
de esmagamento
_da cavilha. i
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 1
Rvdl = 0,50.t.d.fc9Odcavn Como p<pÿ
I Ver roteiro(página 135)402 0459 5- Estruturas de Madeira
= 0.50.30.20.5,25 => Rvdl=1575 NRvd,, = 0,50.t.d.fc90d vd,l,cav
4 -Obter o valor de cálculo da resistência total de uma cavilha (Rvd), pela
£ soma da resistência nos diversos cortes simples (Rvd1) em que a
o cavilha atua.
Observa-se do esquema da ligação (ao lado),
que cada cavilha atua em 2 cortes simples.
Rvd = ncs-Rvd,l
n
CN
ncs = 2=>
Rvd =2.1575 Rvd = 3150 N=> =>Cortes
simples
5 -Obter o número de cavilhas necessárias na ligação (ncav).
li 11200 ncav = 4 caviUias=> ncav — 2,56 =>=> ncav —ncav 3150Rvd
OBS.: 1) Lembrar que uma emenda são duas ligações.
6 -Desenhar a ligação, garantindo os espaçamentos mínimos (figura da
página 126), com todos os detalhes necessários à sua compreensão
(detalhamento). íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
139 
 
 
 
 
1 Espaçamentos(página 126)402 0459 5- Estruturas de Madeira
Na direção normal às fibras
Das arestas -> 1,5.d = 1,5.20 s 30 mm
Entre cavilhas -> 3.d = 3.20 = 60 mm
Na direção paralela às fibras
Da aresta interrompida -> 7.d = 7.20 = 140 mm => adota-se 140 mm = 14 cm
Entre cavilhas -> 6.d = 6.20 = 120 mm => pode-se adotar 120 mm = 12 cm
=> pode-se adotar 30 mm = 3 cm
=> pode-se adotar 60 mm = 6 cm
Assim, a emenda pode ser detalhada como se apresenta na figura abaixo:
3 314 12 . 14 14 12 . 14 H H
p=qT ENd= 11.200 N Nd= 11.200 No o i o o n6 iQ O i o o3L tnd
i—i
Cavilha (£ = 12 cm e d = 2 cm)
40 cm
6
hNd= 11.200 N Nd= 11.200 N4 * íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
f) Ligações com anéis metálicos
Anéis metálicos são peças cilíndricas, ocas, de diâmetro
relativamente grande. A NBR 7190, da ABNT (2012), admite o uso
de anéis metálicos estruturais com diâmetros internos (d) de
64 mm e 102 mm e paredes de espessura (e) não menor que
— T 4 mm e 5 mm, respectivamente, sempre acompanhados por
h parafusos de diâmetros de 12 mm e 19 mm, respectivamente.
— A transmissão de esforços através de um anel metálico envolve
compressão na parede lateral do anel e cisalhamento na madeira
interna a ele.
Corte para
facilitar
instalação
e
d
Para instalar anéis metálicos é necessária
uma ferramenta especial, apresentada na
figura a seguir, que faz os sulcos onde são
encaixados os anéis metálicos na madeira.
m£
í= ‘t
==A h23 :—» ransmissão de esforços
jDor um anel metálico ,
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
Anel
7deParafuso demontagem
140 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira Pino para
fixação no
mandril
Segundo a NBR 7190, da ABNT (2012), o
cálculo de uma ligação com anéis metálicos
pode ser feito usando o seguinte roteiro:
> Roteiro - Ligações com anéis metálicos
1 - Obter a inclinação entre o esforço aplicado
e a direção das fibras (a). Determinar a
resistência de cálculo da madeira ao
cisalhamento (fÿ), a compressão paralela
(fco,d)< a compressão normal (fcgo,d) © a
compressão inclinada (fcotd).
o eo
6
fçQ,d-fc90,dfca.d - Facas que
fazem os
sulcos
fc0:d-sen2«+ fc cos2 a Pino guia
(diâmetro do
parafuso)
\JJ90.d"
2- Escolher as dimensões do anel a ser
utilizado, diâmetro interno (d), espessura
da parede (e), profundidade de penetração
na madeira (t) e altura total (h).
Ferramenta para
preparar os sulcos de
scolocação dos anéis/
í 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Lembrando que:
d -> deve ser 64 mm ou 102 mm;
e -> deve ser > 4 mm (se d = 64 mm) ou > 5 mm (se d = 102 mm);
parafuso -> de diâmetro 12 mm (se d = 64 mm) ou 19 mm (se d = 102 mm).
Sugere-se adotar:
j> fvo,d di ed d4 fca,d Um it h1=ÿVd2-d2he
;t|h> 2.t + Ã] d2
V':Acréscimo de
altura devido a
irregularidades
[ÃTõ] A =
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
141 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira- Obter o valor de cálculo da resistência de um anel a corte simples, dado
pelo menor dos seguintes valores: -
Resistência à compressão
na parede do anel7T.à ,—-I.M t.d.fCQ:dR-anel e
Resistência ao cisalhamento
da área interna do anel
4 -Obter o número de anéis necessários na ligação (nanéjs).
R
n . > —-aneis -pj•ÿanel
Valor de cálculo do esforço a ser transmitido pela ligação
OBS.: 1) Emendas são consideradas duas ligações; 2) Para solidarização
de uma viga de seção composta, Fd corresponde a força cisalhante que os
anéis devem absorver. Momento estático
Número de anéis na seção
Momento de inércia
©*->} aneis anelFd = rd-Aÿ Fd =Fd - Hjnns-R vd.s — aneis — naneis-F- anel => aneis —I yds/anel
/
Espaçamento entre anéis Força cortante no trecho
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira5 -Desenhar a ligação, garantindo os espaçamentos mínimos (figura abaixo),
com todos os detalhes necessários à sua compreensão (detalhamento).
Posição relativa do corte, no
anel, para facilitar montagem
e o esforço aplicado /"Vt 7//0,75.d
0,75.d
0,75.d |0,75.dk©-©- e,V 1,0.d 1,0.d' b+
"V °'fs
0,75.d 0,75.d-
/d = diâmetro interno do anel v7/V
0,75.d 1,0.d/1,0.d ©./-•0,75.d [0,75.d0,75.d br
<3pi5.d_|_1,5.d_| TV
0,75.dl 0,75.d--
142 
 
 
 
 
i402 0459 5- Estruturas de Madeira> Exemplo de aplicação 26 -> O nó de uma tesoura (tipo Pratt) é apresentado
na figura abaixo. Verificar se é possível fazer a ligação da diagonal ao banzo
inferior usando anéis metálicos. Se possível, como seria essa ligação? A
diagonal é tracionada com uma carga de cálculo de 12000 N. Considere: as
dimensões apresentadas na figura abaixo; edificação do tipo 2 (cargas
acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira de folhosa, usual e não classificada,
da classe de resistência D50; carregamento de longa duração e classe de
umidade 1. fi33®x12 cm ,12 cm
B I He Nd = 12000 NITVAr
2
Diagonal
.igação de um nc
de tesoura Pratt
Banzo inferior prof. Qr Norman Barros Logsdon
16 cm
1402 0459 5- Estruturas de Madeira Espaçamentos(página 141) /Solução:
A atual norma brasileira permite o uso
estrutural de dois anéis (diâmetros internos
de 64 mm ou 102 mm). Além disso os
anéis devem ter seu centro afastado das
bordas como indica a figura ao lado.
Portanto, para o caso em questão, pode-se
usar anéis metálicos se:
/7/
1,0.d/
0,75.d
<07
•<y
160
16 cm >1,0.d+ 0,75.d => 160mm>lJ5.d => d <- => d< 91,4 mm
1,75e
120 d < 80 mm12 cm >0,75.d+0,75.d 120mm>l,5.d => d< =>1,5
Assim, os anéis de d = 64 mm podem ser utilizados nesta ligação, se a
resistência o permitir.
Aplicando-se o roteiro correspondente, obtém-se:
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
143 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira C. da madeira(página 44) Ver roteiro(página 140)
1 - Obter a inclinação entre o esforço aplicadoe a direção das fibras (a).
Determinar a resistência de cálculo da madeira ao cisalhamento (fv0d), a
compressão paralela (fc0d), a compressão normal (fcg0 d) e a compressão
inclinada (fcctd).
Ângulo entre a diagonal (esforço) e o banzo inferior (fibras) ->
Folhosa da
classe D50
a = 40°
=>fv0d =1,91 MPa , fc0d =17,50 MPa e fc90d =4,38 MPa
íçO.dÿcM.d 17,50.4,38fc«,d = fcOA ~ fca,d =7,82 MPafc0d.serítf+fcMd.cosJtf 17,5O.seif 40+4,38.cos 40
2 - Escolher as dimensões do anel a ser utilizado, diâmetro interno (d),
espessura da parede (e), profundidade de penetração na madeira (t) e
altura total (h).
Adota-se, para este caso, anéis com: diâmetro interno, d = 64 mm;
espessura, e >4 mm; e acompanhados por parafusos de 12 mm de
diâmetro.
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
!402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 140)
TV Para profundidade de penetração (t) e altura do anel, recomendam-se:
t > ÍIM ;r.64 1,91
4 ‘7,82
t > 12,3 mm => t =1,5 cm =15 mm=>t>
4 fca,d
A = 0
h= 3,0 cin= 30 mmh > 2.t + A => h>2.15+0 =>
3 - Obter o valor de cálculo da resistência de um anel a corte simples,
dado pelo menor dos seguintes valores:
. •ÿ’ÿvO.d _
Ranel = t.d.fcají => R
;r.64: ,——•1,91 => R4
= 15.64.7,82 => R !Ranel 61II Nand => Raad = 6144 N= 7507 Nand anel
4 -Obter o número de anéis necessários na ligação (nanéls).
> 12000
“
6144 => nan«s L95 => =2 anéis=> naneisRanel
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
144 
 
 
 
 
1 Espaçamentos(página 141) Ver roteiro(página 140)402 0459 5- Estruturas de Madeira5 -Desenhar a ligação, garantindo os espaçamentos mínimos (figura abaixo),
com todos os detalhes necessários à sua compreensão (detalhamento).
Na direção normal às fibras
Da aresta não solicitada -> 0,75.d = 0,75.64 = 48 mm => pode-se adotar
60 mm = 6 cm
Da aresta solicitada -> 1,0.d = 1,0.64 = 64 mm =>
pode-se adotar 100 mm = 10 cm
fi3
12 cm
h
6
TV ,12 cm-iV Na direção paralela às fibras
Da aresta interrompida ->
1,5.d = 1,5.64 = 96 mm =>
adota-se 100 mm = 10 cm
Parafuso
passante
(d = 1,2cm)
6
,'6
iLi L 16 cm[
4 t-H*-1,5 Anéis metálicos (d = 6,4 cm e h = 3,0 cm) Prof. Dr. Norman Barros Logsdon1,5-H* 3,0 cm
1402 0459 5- Estruturas de Madeira> Exemplo de aplicação 27 -> Uma viga bicircular, submetida a um
carregamento móvel, foi solidarizada por anéis metálicos de diâmetro interno
102 mm e espessura 6 mm. As peças roliças, que deram origem à viga,
possuíam diâmetro máximo (na base) de dmáx = 405 mm e mínimo (no topo)
de dmin= 355 mm. Conhecido o envoltório de forças cortantes (em valores de
cálculo), apresentado na figura abaixo, as características geométricas da
seção (em valor efetivo), S = 21548184 mm3 e I = 8188309924 mm4, e
sabendo que a madeira é de uma folhosa, usual e não classificada, da ciasse
de resistência D60, definir a altura e a distribuição dos anéis ao longo da
r . viga. Considere carregamento de longa duração e classe de umidade 1.z
o
2 ©z00CM O z z§ CM0000
00
Envoltório de máximos valores
de cálculo da força cortante
§© 00uo
CM
O)
CO co
z zz
CM § z§ OBS.: O envoltório de um esforço
solicitante registra seu máximo
valor em cada seção da estrutura.
O oo>
CD
oo
CD
CM
s z•o-co
CO
00
o
00
CM•o- í0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 Prof. Dr. Norman Barros Logsdon4,00 m
145 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira C. da madeira(página 44) Ver roteiro(página 140)
Solução:
1 - Obter a inclinação entre o esforço aplicado e a direção das fibras (a).
Determinar a resistência de cálculo da madeira ao cisalhamento (fv0d), a
compressão paralela (fc0d), a compressão normal (fc90,d) e a compressão
inclinada (fcad).
Ângulo entre o esforço cisalhante (axial) e a direção das fibras -> \a = 0°
Folhosa da
classe D60 -> fv0d =2,18 MPa, fc0d= 21,00 MPa e fc90d = 5.25 MPa
2 - Escolher as dimensões do anel a ser utilizado, diâmetro interno (d),
espessura da parede (e), profundidade de penetração na madeira (t) e
altura total (h).
Os anéis têm: diâmetro interno, d = 102 mm; espessura, e = 6 mm
(e > 5 mm); e serão acompanhados por parafusos com diâmetro de
19 mm.
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
1 Ver roteiro(página 140)402 0459 5- Estruturas de Madeira
Para profundidade de penetração (t) e altura do anel, recomendam-se:
102 2,18
-. —:— => t>8,3 mm =>4 21,00
j > K-d fyO.d => t>di 4 fca.de
t =1,0 cm =10 mmt4- A h h>2.t+ A, sendo:
"t i-h.Vi-h,hi = --Vdi “d2 h: = y Vd2 - d2 A =d2 2 2
No caso existem duas posições limites: nas extremidades da viga,
d1 = 405 mm e d2 = 355 mm; e no centro, d1 = d2 = dméd = 380 mm.
Deve-se utilizar o anel, cuja altura satisfaça as duas posições (maior
A), portanto: 1 .V4052 — 102 2 =196,0 mm
h, =-.V3552 -1022 =170.0
2
J +í ] =14,0 mm
h, =i
Extremidades
da viga
mm
405
A =
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
146 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 140)
h, =h, = -A/3802 -1022 =183.0 mm Maior dos dois
Centro
da viga ÍHO_183,OUM-183,O} 14,0 mm ... As14,0 mmA =
h= 4,0 cm = 40 mmh> 2.t + A => h> 2.10+14,0 => h>34,0 =>
3 - Obter o valor de cálculo da resistência de um anel a corte simples, dado
pelo menor dos seguintes valores:
;r.l022
„,0-.2,18 => R4
= 10.102.21,00 => R
Ranel _ . fvO.d Ranel
Ranel = td-fca.d => R
= 17813 Nanel
Riffle! =17813 N
= 21420 Nanel
4 -Obter o número de anéis necessários na ligação (nanéjs).
No caso, será usado um anel em cada seção (nanéls = 1) e deve-se obter o
espaçamento entre anéis ao longo da viga.
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
Ver roteiro
(página 140)
402 0459 5- Estruturas de Madeira
<• aneis ,Ranelaneis —O espaçamento entre anéis (4néis) em umtrecho de força cortante (Vd) constante será:
Admitindo-se um envoltório (superestimado) para força cortante (Vd),
como o representado abaixo, pode-se obter o espaçamento entre
anéis para cada trecho da viga, fazendo:
l-> vd.s
1©z 17813 N-7naneisO z •RanelOCO í aneis -O |Z1CM z V+So oco Oco CNCO © /CO CD05CO
r*rqCD
21548184 mm3 8188309924 mm4CN CO
Z ZZ
O o zo CM CO 0CDof OO)CD CO ZCD00 ooCM Envoltório de
máximos valores de cálculo
da força cortante
oh CO oX co CO
CM
0,80 0,80 0,80 0,80 0,80
4,00 m íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
147 
 
 
 
 
% Ver roteiro(página 140)402 0459 5- Estruturas de Madeira-Espaçamento entre anéis para cada trecho da viga
1, 4néis(2)Vd 4néisTrecho
(mm) (cm)
0,00 m < x < 0,80 m 42300 160,0 16
0,80 m < x < 1,60 m 33840 200,0 20
253801,60 m < x < 2,40 m 266,7 27
2,40 m < x < 3,20 m 33840 200,0 20
3,20 m < x < 4,00 m 42300 160,0 16
<2) Valores adotados<1) Valores calculados
5 -Desenhar a ligação, garantindo os espaçamentos mínimos (1,5.d = 15,3 cm
entre anéis), com todos os detalhes necessários à sua compreensão.
Assimetria (simetria de
posição com giro vertical)
iE o
Parafuso passante
(d = 1,9 cm)
Anéis metálicos
(d = 10,2 cm e h = 4 cm)
iin
oo I
15,1616,16,16,16,20,20,20,20, 27 ,1ÿ.5
4080 80
200 cm
í 402 0459 5- Estruturas de Madeirag) Ligações por meio de dentes e entalhes
Uma ligação tipica por meio de dentes e entalhes é o nó de apoio
de uma tesoura, onde o banzo superior (comprimido) se liga ao
banzo inferior (tracionado). Nesta ligação, apresentada em sua
forma geral na figura abaixo (à esquerda), o esforço de compressão
Nd, do banzo superior, transmite-se ao banzo inferior através das
componentes P1 e P2. Geralmente o ângulo entre as barras (y) é
pequeno e “P2" não tem valor elevado, entretanto é comum se fazer,
construtivamente, p=0°, como na figura abaixo (à direita), e então:
y = a, P2 = 0 e P1 = Nd.
Á2Nd bNd yHí-b heirrXheIfTT? Nd.cosl£HlII \hNd.cosYÿ *Mr
I er 0=90°, =a,I rra P1 = Nde P2=0t
Caso geral, /?/90° Caso mais comum, /?=9Õ0
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
148 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de MadeiraDois estados limites devem ser verificados: 1) O esmagamento por
compressão inclinada às fibras, na “cabeça do dente” ou na área de
contato do dente com o banzo inferior, que definirá um limite para a
altura do dente “he”; 2) A ruptura por cisalhamento (ver figura
abaixo) e o consequente “escorregamento" da madeira do banzo
inferior, a frente do dente, que definirá um limite para a folga
ue
Folga suficienteFolga insuficiente
Ruptura por cisalhamento
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
í 402 0459 5- Estruturas de Madeira Estudando o caso mais frequente (figura
ao lado), obtém-se;
* fca,d N- =>ÉS bNd y A AB.bhe dente
hjjTB Nd.cos‘)ÿ Nd Nd.coserCTco,i - í:a.dhe h.fca,db{1= 90°, 7=a,
PrNdeP2 = 0
<£isomais comum, (3=90°
tf Lcoser
fc«,d =Onde: fc0d.sen2or + fc90d.cos2ír
_ _ Nd.cosy
A~ A cisalhante
Nd.cosxNd.cosy
- fyO.d í>- fcct.d =>=> bfy0.dLb
Para o caso geral (figura ao lado), o
cálculo de t não se altera, mas é
provocada por P (em vez de Nd), assim:
\\ p
Ahei Pi Nd.cos(/- a),coser--- 4 J 11 Pj =Nd.cos(/-er) e he >Nd.cosY_ bfCa,d
Prof. Dr. Norman Barros LogsdonCaso geral, (3/90°'IaL
149 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
A altura do dente “he” é limitada, pois diminui a área efetiva do
banzo inferior (tracionado). Usualmente limita-se he a 25% de h, ou
seja, he < h/4 (h = altura da seção do banzo inferior). Por outro lado,
o carregamento pode exigir he maior que este limite, causando a
necessidade de estudar dois novos problemas, apresentados nas
figuras abaixo.
NdPreqo Cobrejunta
l\ >U2 Nd/
feir~2 L
VISTA LATERALt2>t
O uso de dois dentei
. (h/4<he<h/2) .. */tjuso de dois dentè$\e ligação complementarV__(he> h/2) VISTA SUPERIOR
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
O cálculo de uma ligação por meio de dentes e entalhes, com todas as
variações possíveis, pode ser feito segundo o seguinte roteiro:
> Roteiro - Ligações por meio de dentes e entalhes
1-Cálculo da altura do entalhe (dente) he e definição do problema.
a) Altura do dente he
n Se y*a, caso geral, então:
Nd.cos(/- cr) coser fç0,d-fc90,dK* na qual: ícaA = fd>,d-sen2ar+fc90d.cos2 ab.fcaid
n Se p=90°, o que é usual (caso mais frequente), então: y=a e,
fçQ,d-fc90,dNd.coser na qual: fcad = fc0d.sen2tf + fc90d.cos2orb-fc«.d
b) Definição do problema
n Se h < .«Jjtfljzshse um dente de alturahg.
4 Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
150 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
h , utilizam-se dois dentes de altura ~ cada.-<h,<-
4 e 2
n Se
h
utilizam-se dois dentes de altura
? .4
— da carga é absorvido por uma ligação pregada ou
parafusada.
cada e o restante
Neste caso a carga absorvida pelos dentes, Rcd=2.Rcd1, será
utilizada para definir a folga ao cisalhamento t, e o restante da
carga, Fdcj=Nd-Rcd=Nd-2.Rcd1, será absorvida pelas cobrejuntas
de uma ligação pregada ou parafusada.
cosa
OCÂ e F'd.q — Nd Rcd -Nd 2.RC(URcd = 2.Rcd:l
OBS.: Expressões válidas se p = 90° (caso mais frequente). No
caso geral altera-se a expressão de Rcd (basta trocar
cosa por cos(y-a).cosa, na expressão de Rcd>.
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
402 0459 5- Estruturas de Madeira
2 -Cálculo da folga necessária ao cisalhamento t.
, esta folga será:
b-fvo*d
/''ResistênciaX
ao cisalhamentoÿ
. paralelo às J
fibras
H Se
— < h < — , utilizam-se dois dentes de altura
4 e
- 9 ’ 2
—> folga necessária ao cisalhamento é marcada
a partir do segundo dente, sendo que deve-se
garantir ao menos metade dela do primeiro
dente. Os valores destas folgas serão:
n Se cada e a
Nd.cosf> a partir do segundo dente -> i í> b-fv0,d
> a partir do primeiro dente -> tx > h-fvo.d 2
%Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
151 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira h, h
> 2
H Se , utilizam-se dois dentes de altura — cada e o restante
4da carga é absorvido por uma ligação pregada ou
parafusada.
Neste caso a carga absorvida pelos dentes, Rcd= 2.Rcd1, será
utilizada para definir a folga ao cisalhamento í, e o restante da
carga, Fd cj=Nd-Rcd=Nd-2.Rcd1, será absorvida pelas cobrejuntas
de uma ligação pregada ou parafusada. Assim, os valores das
folgas serão:
> a partir do segundo dente -> Rcd-cos/k-fyO.da> a partir do primeiro dente ->Nas quais:
e Fd,çj - Nd Rcd -Nd 2.Rcd [Red _ 2-Rcd,l cosor
OBS.: Expressões válidas se p = 90° (caso mais frequente). No
caso geral altera-se a expressão de Rcd (basta trocar
cosa por cos(y-a).cosa, na expressão de Rcd).
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
3 -Cálculo da ligação pregada ou parafusada, se necessário.
Utilizar o roteiro específico, apresentado anteriormente.
4 -Desenha-se a ligação, com todos os detalhes necessários à sua
compreensão, permitindo sua construção (detalhamento).
> Outras aplicações
As ligações por meio de dentes e entalhes, também são utilizadas em
outras ligações de treliças. Em alguns casos, existe continuidade da
peça que recebe a ligação. Nestes casos o cálculo da folga necessária
ao cisalhamento é dispensado.
Apresentam-se, nas figuras seguintes, alguns nós típicos de treliças,
nos quais são aplicadas ligações por meio de dentes e entalhes, com o
objetivo de identificar os parâmetros utilizados no cálculo.
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
152 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira p*90°
'V'
Nd K1 0,Banzo
Superior Banzo
Superior
Banzo
SuperiorP=90°
Montantey = a
h. Nd' â ""Detalhes de alguns nós de umatesoura, identificando os parâmetros:
Nd, y, a e he
V
Diagonal
Montante
Montante MontanteDiagonal Diagonal
Pÿ90‘y=a
D-ppi Zríhe
Banzo Inferior Banzo Inferior
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
í 402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exemplo de aplicação 28 -> Dimensionar e detalhar a ligação do nó de
apoio de uma tesoura, sabendo-se que a inclinação do telhado é de 17°, que
a peça do banzo superior tem seção de 6 cm x 16 cm e uma carga atuante,
de cálculo, de 68000 N de compressão, e que a seção da peça do banzo
inferior é de 6 cm x 16 cm (ver figura abaixo). Considere: edificação do tipo
2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira é uma folhosa, usual e
não classificada, da classe de resistência D50; carregamento de longa
duração e classe de umidade 1.
A6CíCV
Nd= 68000 N
7=17° • 6
16 cm
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
153 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 149)Solução:
1 -Cálculo da altura do entalhe (dente) he e definição do problema.
a) Altura do dente he
n Adotando-se p=90° (caso mais frequente), então: y = a = 17° e,
fç0,d-Íc90,dNd.coser . na qual: fcad = fco,d-sen2tf + fC9o,d- cos2 ab-fca,d
C. da madeira
(página 44) Folhosa D50 -> fc0.d = 17>50 MPa fc9o,d = 4.38 MPae
17,50.4,38fca,d _ _fco,d-seifa+fC9od•coÿ cr 17,50.serrl7° +4,38.cos 17°
f« 13,90 MPa=> a.â —
68000.cosl7°Nd.cosa he >77,8 he = 80 mm=> he >he> b.fca!d 60.13,90
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
I402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 149)
b) Definição do problema
n Comparando-se he com h/4 e h/2 (onde h é a altura da barra
que recebe a ligação, no caso a do Banzo Inferior):
h 160
-= 40 mm
-= 40 mm<h =80 mm<-=80 mm4 e 2
4 4 =>
h 160
-= 80 mm
2 2 D.
Neste caso (h/4 < he< h/2), utilizam-se dois dentes de altura
he/2 cada. Portanto:
he 80— = — = 40 mm=4.0 cm
2 2
Adotam-se 2 dentes de altura
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
154 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 149)
2 -Cálculo da folga necessária ao cisalhamento t.
H Para — <h < — , utilizam-se dois dentes de altura
4 e 2
folga necessária ao cisalhamento é marcada a partir do segundo
dente, sendo que deve-se garantir ao menos metade dela do
primeiro dente. Os valores destas folgas serão:
he cada e a
Nd.cos/> a partir do segundo dente -> £2-ÿ h-fyO.d
fvM= l,91 MPaC. da madeira(página 44) Folhosa D50 ->
68000.cosi7o t1-í>567,4 mm=> t2 =í = 57 cm£2=£> 60.1,91
£ 57
> a partir do primeiro dente -> A - => A - f-\ ~ cm
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira Ver roteiro(página 149)
3 -Cálculo da ligação pregada ou parafusada, se necessário.
Neste caso (h/4< he <h/2), não é necessária ligação complementar.
4 -Desenha-se a ligação, com todos os detalhes necessários à sua
compreensão, permitindo sua construção (detalhamento).
«4v: ,16 cm
6y = 17°i4,0 cml —
16 cm
JL:
28,5 cm
57 cm
<- Cotas desnecessárias
? (£2 57 cm) Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
155 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeirah) Exercícios propostos
> Exercício proposto 42 -> Dimensionar e detalhar a ligação do nó 1 da
Tesoura Howe, ambos esquematizados na figura abaixo, de um
telhado. Considere: as seções e forças apresentadas na figura abaixo;
edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira
de uma folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D50;
carreaamento de lonaa duração e classe de umidade 1.
6
8 Dimensões 6
em cm<a co W'2 " Banzosuperior1,50 3 1,50 - 1,501 7 1.50 9 1,50111
_9,00 m_ \nNd = 58384 N
y= 20° g Banzo
H inferior
7 \I«
Banzo inferior
> Exercício proposto 43 -> O que resultaria se a madeira do exercício
proposto 42 fosse da classe D20? iProf. Dr. Norman Barros Logsdon
!402 0459 5- Estruturas de Madeira> Exercício proposto 44 -> Dimensionar e detalhar a ligação do nó 4 da
Tesoura Howe de um telhado. Utilizar, na diagonal, ligação por dentes e
entalhes e, no montante, ligação parafusada. Considere: as seções e forças
apresentadas na figura abaixo; edificação do tipo 2 (cargas acidentais
inferiores a 5 kN/m2); madeira de
folhosa, usual e não classificada,
da classe de resistência D50;
carregamento de longa duração
e classe de umidade 1.
c
Pi. Terça
$6_A
Terça
/
•I líII II
6
v-' i 56°i$-í s4 v% f .6 oc(!) o 6 //E S
>12
IO
CD Nd = 4528 N®p
,5cíÿ1,50ÿ;1,50-1,S0Ífi,5Cf11i1,50 0j
9,00 m
1 Diagonal
x2,5
Dimensões em cmx2,5
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
156 
 
 
 
 
1 402 0459 5- Estruturas de Madeira> Exercício proposto 45 -> Dimensionar e detalhar a ligação do nó 5 da
Tesoura Howe de um telhado. Utilizar, na diagonal, ligação por dentes e
entalhes e, no montante, ligação parafusada. Considere: as seções e forças
apresentadas na figura abaixo; edificação do tipo 2 (cargas acidentais
inferiores a 5 kN/m2); madeira de uma folhosa, usual e não classificada, da
classe de resistência D50; carregamento de longa duração e classe de
umidade 1. (6)
4 8 £x2,5Dimensões em cm IOCD61 121X2,5
Íÿ,5ÿ,5(ÿ,5(ÿ,5(@1,50A
9,00 m
.Zà.
1,5015<o
Nd = 4528 N'ÿ'o Diagonal6 r VH " 0)c
*°'*o c 6 •Jco H2 -«10 0I«+’ o
H Banzo inferior
6 Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
Exercício proposto 46 -> O que resultaria se a madeira do exercício
proposto 44 fosse da classe D20 e a ligação do montante pregada?
Seria necessário aumentar a largura das peças do montante?
>
Exercício proposto 47 -> O que resultaria se a ligação do montante
do exercício proposto 44 fosse cavilhada? Seria necessário aumentar
a largura das peças do montante?
>
Exercício proposto 48 -> O que resultaria se a madeira do exercício
proposto 45 fosse da classe D20 e a ligação do montante fosse
cavilhada? Seria necessário aumentar a largura das peças do
montante?
>
Exercício proposto 49 -> O que resultaria se a ligação do montante
do exercício proposto 45 fosse por anéis metálicos? Que dimensões
os anéis deveriam ter?
>
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
157 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira> Exercício proposto 50 -> Dimensionar e detalhar a ligação do nó 6 da
Tesoura Howe de um telhado. Verificar a altura do dente no banzo superior e
calcular uma ligação parafusada para o montante. Considere: as seções e
forças apresentadas na figura abaixo; edificação do tipo 2 (cargas acidentais
inferiores a 5 kN/m2); madeira de uma folhosa, usual e não classificada, da
classe de resistência D50; carregamento de longa duração e classe de
umidade 1.
MlI . /
6 Terça&
40°|
'T-- a>
\Is\OJ § V/l60o\c o
2cSt O :o° nTO
Nd = 16098 N
x2,5
x2,5
Diagonal©© E©. #161 Dimensões em cm©
1,5C@1,5(01,5cí7i1,50Í"9Í,5001,50.A. 15 í9,00 m Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
? 402 0459 5- Estruturas de Madeira> Exercício proposto 51 -> Dimensionar e detalhar a ligação do nó 7 da
Tesoura Howe de um telhado. Utilizar, nas diagonais, ligações por dentes e
entalhes e, no montante, ligação parafusada. Considere: as seções e forças
apresentadas na figura abaixo; edificação do tipo 2 (cargas acidentais
inferiores a 5 kN/m2); madeira de uma folhosa, usual e não classificada, da
classe de resistência D50; carregamento de longa duração e classe de
umidade 1. ©.15 ©. © Ex2,5
*2,5
Nd = 16098 N
© 0 COCDDimensões 61
em cm
12 ®-©
AA
1,50 3 1,50 5 lA7J,50 91,5(01,50
6 9,00 m
\ V2V6* o
//
Diagonalc
At#,hà A& ** 636°j 36°/'ij R Montante- -«10 ! 0I«
H Banzo inferior Banzo inferior
6 Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
158 
 
 
 
 
402 0459 5- Estruturas de Madeira
> Exercício proposto 52 -> O que resultaria se a madeira do exercício
proposto 50 fosse da classe D20 e a ligação do montante pregada? Seria
necessário aumentar a largura das peças do montante?
> Exercício proposto 53 -> O que resultaria se a madeira do exercício
proposto 51 fosse da classe D20 e a ligação do montante cavilhada? Seria
necessário aumentar a largura das peças do montante?
> Exercício proposto 54 -> O que resultaria se a ligação do montante do
exercício proposto 51 fosse por anéis metálicos? Que dimensões os anéis
deveriam ter?
> Exercício proposto 55 -> Dimensionar e detalhar uma emenda parafusada
na barra 5-7 da Tesoura Howe de um telhado. Considere: as seções e
forças apresentadas na figura abaixo; edificação do tipo 2 (cargas
acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira de uma folhosa, usual e não
classificada, da classe de resistência D50; carregamento de longa duração
e classe de umidade 1. 6Banzo inferior© H
8 DI«E0 Nÿ= 43723 N /(D, Nd = 43723t\«TA,5d'?1,5ÿ1,«SYsA,50A Prof. Dr. Norman Barros Logsdon9,00 m
1402 0459 5- Estruturas de Madeira> Exercício proposto 56 -> Como ficaria a emenda do exercício proposto 55
se fosse cavilhada?
> Exercício proposto 57 -> Como ficaria a emenda do exercício proposto 55
se fosse por anéis metálicos?
> Exercício proposto 58 -> Uma viga de uma ponte, com a seção composta
da figura abaixo, foi solidarizada por anéis metálicos de diâmetro interno
102 mm e espessura 6 mm. Conhecido o envoltório de forças cortantes em
valores de cálculo (figura abaixo), definir a altura e a distribuição dos
anéis ao longo da viga. Considere: madeira de folhosa, não classificada,
da classe de resistência D60; o carregamento de longa duração e classe de
umidade 1.rÿi—i—i . m_, _ _ _
IO©i cg2 2 2 ZO O o" o E©COO)04 <N co 0$'
CO
ir> o04
CMa» co IOz |S
o
oo o o
o <o
O) IOcg
/ÿEnvoltório da forçaTx
cortante de cálculo
<£>CO -O) 04
25 25 Seção
da viga
H
1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 50 cm H5,00 m
159 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
9. Referências bibliográficas
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1951). NB 11 -
Cálculo e execução de estruturas de madeira. Rio de Janeiro.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1982). NBR
7190 - Cálculo e execução de estruturas de madeira. Rio de Janeiro.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1997). NBR
7190 - Projeto de estruturas de madeira. Rio de Janeiro.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2012). NBR
7190 - Projeto de estruturas de madeira. Rio de Janeiro.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2004). NBR
8681 - Açõese segurança nas estruturas - Procedimentos. Rio de
Janeiro.
HELLMEISTER, J. C. (1977). Estruturas de Madeira.
Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo. 2ed. rev. São
Carlos, SP. 1977. (Notas de Aula).
Escola de
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
402 0459 5- Estruturas de Madeira
HELLMEISTER, J. C. (1978). Pontes de Eucalipto Citriodora. São
Carlos. 1978. Tese (Professor Livre Docente). Escola de Engenharia
de São Carlos - Universidade de São Paulo.
SOUZA, R. P. de (2009). Sobre a Flexão Simples Oblíqua em
elementos estruturais de madeira. Orientador: Prof. Dr Norman Barros
Logsdon. Universidade Federal de Mato Grosso - Faculdade de
Arquitetura, Engenharia e Tecnologia, Cuiabá, fevereiro de 2009. 115f.
(Monografia - Engenheiro Civil)
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
160 
 
 
 
 
402 0459 5- Estruturas de Madeira
ANEXO 1 - Características geométricas de seções planas
a) Seção retangular
A = b.hiy
4- h.b2b.h2i Si y-y 8x-x 8X...|CG.Xh
h.blb.h3i //i v-.v 12X -X 12
bhy ii y-y VÍ2A - Abh 1
menor / argura
i-min - VT2
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
402 0459 5- Estruturas de Madeira
b) Seção quadrada
A =a2
iy
3a*x-x =SI y-y 8'CGx Xa
a4i Ix-x =/I >->• 12+
y
<2
I x'mina x-xh 1
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
161 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
c) Seçào circular
7T.d~
A =iy 4
i
i dli Sx-x =Sy-y 12CGX Xd — + - -
i 7T.dAI h-x =Iy-yi 64i
y d
*x—x *mind
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
d) Seção triangular
b.hy A = —
2
i
h.b24i Sx r - — .b.h 2X—X sI y-y81 24hi
'CGX X h.b3b.h3 /h /i y-y.r-.x 48363 i
t
V64l.hy b= 0,236.h ii y-y 12x-.tb 6\
hum = merior entre i e ix-.x y-y
%Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
162 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
e) Seção semicírculo
TT.d ~
A =
8.y
dli Sx_x = 0,0085adl sI >’->• 24CGX X 4.rIi 3.71 = *./*48 /ni — r41 y-y 8x-xy 8 9.7T
d=2.r
= 0,2643./*ft-.t )->• 4
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
f) Seção setor circular
y K) tr 29 Sé?// A = —.ri c =— ./*. 23'CG 9X X
XwX a I« 4a
-—.[w+ Sé?//(iv)j2 3= — ./* .Sé?//(/<) /s Cl—ClI 8Cl — Cl 3y
OBS.: w em radianos
48 r4
—.— .Sé?//
9 w
-— \w — senMl2 /W,Ix-x =I y-y9o—o 8
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
163 
 
 
 
 
 
 
I402 0459 5- Estruturas de MadeiraSeção composta
Identificar os elementos, que compõem a seção composta, e obter, para cada
elemento, A;, 1;ÿ e I*
2 Adotar um sistema de eixos auxiliar OXY,identificar, neste sistema de eixos, a
posição do centro de gravidade de cada
elemento (x, e y) e obter o centro de
gravidade da seção composta por:
Z**A*
SA.
i=i
IA<
i=l
Q Em relação aos eixos x-x e y-y, que passam pelo centro de gravidade da
seção composta, calcular suas características geométricas por:
A=SAi Sx-x = y*. -A; (meia seção) Sy_y = Ax;A; (meia seção)
i=l i=l i=i
Ix-x =Z +ZAy'Ai Vy =ZVv +Z*** Ai=l i=l i=l i=l ix-x =
1 =menor entre ix_x e i Sempre que existir ao menos um eixo de simetriamin y-y
164 
 
 
 
 
402 0459 5- Estruturas de Madeira
ANEXO 2 - Diagramas e fórmulas para o cálculo de vigas
a) Viga simplesmente apoiada - Carga uniformemente distribuída.
I—-—*ÿ yp = cte.imuuufumuuui _ piR = V 2
A v-=p{rx)fa1R
Normal
= £áí*a Mmàx(no centro) 8
Cortante
v4Tm$rrrÿ
5.piAvmáx(no centro) =
Momento 384.£.7
— if3 -2.Í.X2 +x3)
24.£.7 V ’vx = i\parábola Prof. Dr. Norman Barros LogsdonMmáx
402 0459 5- Estruturas de Madeira
b) Viga simplesmente apoiada - Carga concentrada no centro.
P PR = V = —
2X
PiMmáx(no centro)=-
w , ( v P.xMx(para x<—)= —
Mx(para x'Zÿ)=
£12£12
R R1
Normal
*a
3Cortante
VH 1 1 1 leiTTTT
Pivmwc(no centro) = 48.£.7
I I I 101 I I I 1 t P.x 4<2-4.X2)vx(para x<-)=
vx(para x >-)= P
~* hi2 -4.(l-x)2 ]* 2 48.£.7 1 J
Momento 48.£.7
Mmáx Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
165 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
c) Viga simplesmente apoiada - Carga concentrada em qualquer ponto.
P.b
Rx-Vx(máximo se a <b) = —P
X P.a
R2 = V2(máximo se a>b)-—j-
.... . P.a.bMmáx(sob a carga)- ——
A
ba C+Ri R21 P.b.x
Mx(para x < a) = —-
Normal
_ Ja.(a+ 2.b) se a>b)~vmáx(ern xCortante
0 _ P.a.b.(a+2.b}-)]3.a.(a+ 2.b)
21.E.I.L1 1 1 1 1 1 1 lei 1 1 m-v2Momento P.a2.b2va(sob a carga)=
3.E.I.Í
.(e2-b2-x2)P.b.xvx(para x<a)=
6.E.I.Í
\,x.(para x>aj= .(2.í_x-x2 -a2 )1 6.E.I1 * ’
Mmáx
1402 0459 5- Estruturas de Madeira
d) Viga simplesmente apoiada - Carga uniforme parcialmente distribuída.
Rx = Vxímáximo se a <c)= .(2.c +b)Zíx p = cte.I
R2 =V2(máximo se a>c)=
ri-MR2
ZCR't= b1 Vx(para a < x <(a +b)j = Rx- p.(x -a)
Normal
*iMmáx(ern x = a+—)=R\. o+-2.pCortante P
i ; .V Mx(para x < a)= Rvx
Momento
Ri
Mx(para a <x< (a+b)j =
Mx(para x > (a+b)j= R2.(í -x)
a+—P
AI 'reta
parábola 'Mmáx
166 
 
 
 
 
5 402 0459 5- Estruturas de Madeirae) Viga simplesmente apoiada - Carga unilòrme parcialmente distribuída em um extremo.
Rl = Fj(máximo)-1—.(2i-a )21
p = cte.
R.-V
21J.V
RIH- JR2 Vx(para x<a)= Rx -p.x
\r / iMrnm(em -V =—;=T!-
P 2-P
x2Mx(para x < a)= Rx.x-p.—
Mx(para x > a)= R2 -x)
L
Normal
Cortante
Xl I I I I I !<=>! I I I I I I kVo
Momento
Rj/P vx(para x < a) =
t .[a*.(21-a f -2.a.x\(K -a)+ (.a' ]
PÿU-x) [)
24E.I1 “
P-x
24.E.I1
reta
lx2-a2}parábola Mmáx vx(para x>a)= xl-
% 402 0459 5- Estruturas de Madeiraf) Viga simplesmente apoiada - Carga uniforme parcialmente distribuída nos dois
extremos.
P\.a.(2.í-a)+ p2.c~R,=VX =
P2= cte. 21X->P1= cte.h xra _ pva~muni R2=V2
V*=Vx(para a< x<(a+b)j= J?, - p1.a
Vz(para x<a)=R1- p1.x
Vx (para x > (a+b)) = -R2 +p2-(í -x)
2CA
jR2b , cRi ' 9 1
Normal
R{*1Mmáx(em x = — se R-L<pi.a) = ——Cortante
~P\P\
RxR2M„m(em x-í--- se R-< < p->.c)= ——2 P2PiMomento
Ri'p. Mx(para x<a) = Rx.x- *
\lx(para a<x<(a+b)) =R\.x- .(2x-a)
Pi-U-xf
parábola
Mx(para x >[a+b))= R2{í -x)-
2
167 
 
 
 
 
5 402 0459 5- Estruturas de Madeira
g) Viga simplesmente apoiada - Duas cargas concentradas iguais e simetricamente
localizadas.
R = V =PP P
x Mmáx(entre as c argas) = P.a
Mx(para x< a) =P.xb 4- a - ‘R
a
R l Mx(para x>í-a)=P.(í- x)
Normal
Mx(entre as c argas)= constante = P.a
Cortante
P.a .(3.ÿ2 -4x2: )
.(3.Í.0 -3.a~ — x~ )
vmàx(no centro)=
24.E.7VI P.xMomento vx(para x < a) = 6.E.I
vxfpara a<x<(í-a))= .(3i.x- 3.x2 -cr I6P.IMmáx
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
h) Viga simplesmente apoiada - Duas cargas concentradas iguais em qualquer posição.
PRi = Vx(máximo se a<b)= —.((—a+b)P P
í
I-*- PR2 =Vj(máximo se a >b)= — .((.-b+a \
V1=Rl-P =
A A
b——1Rt R:l
Normal
*0 A/j(máximo se a<b) = Rx.a
Cortante
MS /V2 M2(máximo se a> b) = R2.b[ffiTn
Momento Mx(para x < a) = i?,.x
Mx(para a<x<(f. -b))= Rx.x -P.(x -a)M1 M2
íProf. Dr. Norman Barros Logsdon
168 
 
 
 
 
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira
i) Viga engastada - Carga uniformemente distribuída.
R = V= p.C
h-*, — ,p = cte.
iinninmiinnuiii
H= 0 (zero)
t) Vx--p.x
ÍR' M1 _ p.f.2M=Mmca (no extremo fixo) 2Normal
-*2.
p.x~Cortante
2
parábola
p.(f
vmàx(no extremo livre)=Momento
8.EJ
xWlmáx
— .(x4 -4ÿ3jc+3í4)
24.E.I v 'v, =
tProf. Dr. Norman Barros Logsdon
402 0459 5- Estruturas de Madeira
j) Viga engastada - Carga concentrada no extremo livre.
R = V =P
x
H — 0 (zero)P
H Vx = cons tan te = -P
1h M =Mmáx (no extiemo fixo) = p.£
Normal
Mx =-p.xCortante
V P.f.3
vmáx(no extremo livre)=-
3.E.IMomento
/ Mmáx —.Í2.í3-3.f2.x+x3)
6.E.I ’Vx =
Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
169 
 
 
 
 
 
1402 0459 5- Estruturas de Madeirak) Viga engastada - Carga concentradaem qualquer ponto.
R = V =P
H= 0 (zero)
Vx(para x < at = 0 (zero)
Vx(para x>a)=-P
M M= Mmco,{no extremo fixo) =Pb
Mx(para x <a) =0 (zero)
Mx(para x> a) = -P.(x - a )
P
X
H
}Rbay t 1y
Normal
Cortante Pb2 .(3.f.-b)vmáx(no extremo livre)-I i.E.IV py
Momento vjsob a carga)=
3E.I
x Mmáx P.b2 .(3.Í-3..X -b)vx(para x<a)= 6.E.I
_P.((-x)2 ,(3.b - (. + x)vx(para x>a) 6E.I
% 402 0459 5- Estruturas de Madeira1) Viga simplesmente apoiada com una balanço - Carga concentrada no extremo do
balanço.
í
R2 =Vl+V2 = —.{£+a)P2<1 'I—— y
v2 =p
Mmáxiem x= xl = 0) =Pa
. . . P.a.xMx(entre os apoios)=---—
Mxfno balanço )=-P.[a -Xj)
VmiJentre os apoios em x=—r
Rtf ÍRÿL a
Normal
P.at?
Cortante s' 9-43.EJV2. 0
P.al2Vvi 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 g 1 1 1 1 M 1 1 r = 0,06415
Momento E.IMmáx
PJCT
vmàíno balanço em xi =a) = ——{i+a\3.Elk P.a.xv/entre os apoios) = 6.EI.Í
vXi fno balanço) =~~{zai+3.axi-.xf )