Listas cone sul (9)

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XXI Olimpı´ada de Matema´tica do Cone Sul
Quarta Lista de Preparac¸a˜o
1. Num triaˆngulo acutaˆnguloABC, CF e´ altura eBM e´ me-
diana. Se BM = CF e ∠MBC = ∠FCA, prove que ABC
e´ equila´tero.
2. Ao redor de um cı´rculo sa˜o desenhadas p cruzes e q bolas,
p, q > 0. Se a denota o nu´mero de pares de cruzes lado a
lado e b o nu´mero de pares de bolas lado a lado, mostre
que
a− b = p− q.
3. Seja n um inteiro positivo dado. Mostre que existe um
conjunto A = {a1, a2, . . . , an} de inteiros positivos tal que
cada ai na˜o divide a soma dos elementos de qualquer sub-
conjunto na˜o-vazio de A− {ai}.
4. Sejam n um inteiro positivo e d1, d2, . . . , dk divisores pos-
itivos de n tais que d1 + d2 + · · · + dk e´ primo. Sabendo
que k > 1, mostre que
d1 · d2 · · · dk ≤ n
k−1.
5. Considere duas circunfereˆncias ω1 e ω2 que se intersec-
tam em dois pontos A e B. Seja l uma reta passando por
B que intersecta ω1 e ω2 em C e D, respectivamente. A
reta tangente a ω1 passando por C intersecta a tangente a
ω2 passando por D em E. Se a reta sime´trica a AE com
respeito a AC intersecta ω1 em F , F 6= A, mostre que BF
e´ tangente a ω2.
6. (a) Mostre que, para todo inteiro positivo n, existe um
inteiro positivo de n dı´gitos, cada um deles igual a 1
ou 2, divisı´vel por 2n.
(b) Mostre que existe um inteiro positivo divisı´vel pelo
produto de seus algarismos e tal que esse produto e´
maior que 102010.
7. Considere um tabuleiro 4× 4.
(a) Demonstre que se pintarmos 6 casas do tabuleiro,
enta˜o podemos escolher duas linhas e duas colunas
cuja unia˜o que conte´m todas as casas pintadas.
(b) Demonstre que e´ possı´vel pintarmos 7 casinhas em
um tabuleiro 4× 4 de modo que na˜o seja possı´vel es-
colhermos duas linhas e duas colunas contendo todas
as casinhas pintadas.
8. Encontre todos os pares de inteiros (x, y) satisfazendo a
igualdade
y(x2 + 36) + x(y2 − 36) + y2(y − 12) = 0.
9. Happy City possui 10 cidades, chamadas
H1,H2, . . . ,H10, e algumas delas sa˜o ligadas por estradas
de ma˜o dupla. Sabe-se que e´ possı´vel chegar de H1 a
H10. Mostre que uma das situac¸o˜es abaixo ocorre:
(i) Existe um caminho ligando H1 a H10 utilizando no
ma´ximo 3 estradas.
(ii) Existem duas cidades Hi e Hj , 2 ≤ i < j ≤ 9, tais
que todo caminho ligando H1 a H10 passa por Hi ou
Hj .
10. Dado um triaˆngulo ABC, sejam D e E pontos interiores
dos lados AB e AC, respectivamente, tais que B,D,E,C
sa˜o concı´clicos. Seja F a intersec¸a˜o das retas BE e CD.
Ass circunfereˆncias circunscritas aos triaˆngulos ADF e
BCD se cortam em G e D. Mostre que a reta GE corta
o segmento AF em seu ponto me´dio.
11. Sa˜o dadas n moedas, na˜o necessariamente todas iguais,
tais que cada uma pesa um nu´mero inteiro de gramas e
que no total pesam 2n gramas. Sabe-se que e´ impossı´vel
dividir o conjunto das moedas em dois grupos de mesmo
peso. Determinar quanto pesa cada moeda, dando todas
as possibilidades.
12. Quadrados ABDE e ACFG sa˜o construı´dos externa-
mente a um triaˆngulo acutaˆngulo ABC. Se H e´ o orto-
centro de ABC, mostre que as retas AH , BF e CD sa˜o
concorrentes.
Enderec¸o para envio das listas:
Samuel Barbosa Feitosa
Avenida Ataulfo de Paiva n 50 Bl A2 apto 1201,
CEP: 22440-033
Rio de Janeiro-RJ
Prazo ma´ximo para postagem no correio: 2 de Abril.
http://www.treinamentoconesul.blogspot.com/
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