Listas cone sul (2)

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Segunda Lista de Preparac¸a˜o para a XXVIII Olimp´ıada de Matema´tica do Cone Sul e
VII Olimp´ıada de Matema´tica dos Pa´ıses de L´ıngua Portuguesa
Prazo: 11/03/2017, 23:55 de Bras´ılia
A´lgebra e Teoria dos Nu´meros
xPROBLEMA 1
Encontre todos os pares de nu´meros primos (p, q) tais que p2 divide q3 + 1 e q2 divide p6 − 1.
xPROBLEMA 2
Prove que, para todo inteiro positivo n, o nu´mero 33
n
+ 1 e´ o produto de pelo menos 2n+ 1 fatores primos, na˜o
necessariamente distintos.
xPROBLEMA 3
Sejam a1 < a2 < · · · < an inteiros positivos ı´mpares. Demonstre que:
1
[a1]
+
1
[a1, a2]
+ · · ·+ 1
[a1, a2, . . . , an]
<
3
2
.
Observac¸a˜o: [x1,2 , ..., xk] e´ o mı´nimo mu´ltiplo comum dos inteiros positivos x1, x2, . . . , xk.
Combinato´ria
xPROBLEMA 4
Existem 20 alunos em uma escola. Quaisquer dois deles possuem uma avo´ em comum. Prove que pelo menos
14 deles possuem uma avo´ em comum.
xPROBLEMA 5
De quantos modos podemos pintar as casas de um tabuleiro 2017 × 2017 com 4 cores de modo que casas com
um lado em comum na˜o tenham a mesma cor e em cada quadrado 2× 2 formado por quatro casas em linhas e
colunas consecutivas aparec¸am as quatro cores? Cada casa recebe exatamente uma cor.
xPROBLEMA 6
Os Estados Unidos do Cone Sul possuem 2017 estados. A OBM linhas ae´reas quer estabelecer alguns voos,
apenas de ida, entre pares de estados, de tal modo que cada estado possua exatamente um voo saindo dele.
Determine o menor inteiro positivo k para o qual, na˜o importando como a OBM linhas ae´reas estabelec¸a seus
voos, os estados podem sempre ser particionados em k grupos, de modo que de qualquer estado dado na˜o e´
poss´ıvel alcanc¸ar outro estado do mesmo grupo usando no ma´ximo 199 voos.
Geometria
xPROBLEMA 7
No circunc´ırculo do triaˆngulo ABC, seja A1 o ponto diametralmente oposto ao ve´rtice A. Seja A
′ o ponto
de intersec¸a˜o de AA1 e BC. A perpendicular a` reta AA
′ por A′ intersecta os lados AB e AC em M e N ,
respectivamente. Prove que os pontos A,M,A1, N esta˜o numa circunfereˆncia cujo centro esta´ na altura relativa
ao ve´rtice A do triaˆngulo ABC
xPROBLEMA 8
Seja ABC um triaˆngulo, I seu incentro e D o pe´ da perpendicular de I ao lado BC. Sejam P e Q os ortocentros
dos triaˆngulos AIB e AIC, respectivamente. Prove que P,Q,D sa˜o colineares.
xPROBLEMA 9
Seja ABC um triaˆngulo com ortocentro H. As retas AH,BH,CH intersectam o circunc´ırculo de ABC nova-
mente em D,E, F , respectivamente. Determine o valor ma´ximo de
Area(DEF )
Area(ABC)
.
Problemas gerais
xPROBLEMA 10
Determine todos os polinoˆmios P (x) com coeficientes reais tais que P (2P (x)) = 2P (P (x)) + 2(P (x))2, para
todo nu´mero real x.
xPROBLEMA 11
Um conjunto de 3n pontos do plano e´ tal que quaisquer dois pontos deste conjunto esta˜o a` distaˆncia no ma´ximo
1. Prove que ha´ no ma´ximo 3n2 distaˆncias, dentre as
(
3n
2
)
distaˆncias determinadas pelos 3n pontos, que sa˜o
estritamente maiores que 1√
2
.
xPROBLEMA 12
Determine todos os pares de inteiros positivos (a, n) com a ≥ n ≥ 2 tal que (a+ 1)n + a− 1 e´ um poteˆncia de 2.
xPROBLEMA 13
Seja ABC um triaˆngulo acutaˆngulo de circuncentro O e sejam D,E, F os pe´s das alturas sobre os lados
BC,CA,AB, respectivamente. Seja ω o circunc´ırculo de ABC, seja ω′ o circunc´ırculo de DEF e seja P um
ponto varia´vel sobre ω. Considere uma circunfereˆncia tangente internamente a ω por P e tangente externamente
a ω′ em Q. Prove que a reta PQ passa por um ponto fixo sobre a reta HO.