capítulo 2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
OPERAÇÕES UNITÁRIAS I
Capítulo 2
© Prof. Lair Pereira de Carvalho-DEQ/UFRN
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Campos de uso para diferentes métodos de separação
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Sob campo gravitacional
Sob campo centrífugo
Equação do movimento da partícula
Métodos gráficos para estimativa da velocidade terminal ou do diâmetro
OPERAÇÕES UNITÁRIAS I 
Capítulo II
FLUIDODINÂMICA DA PARTÍCULA
SEPARAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO EM SISTEMAS DILUÍDOS
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Estimativa da velocidade terminal
Partícula esférica em queda livre num fluido 
Empuxo
Peso
Atrito
Peso = massa da partícula x ac.gravitacional
Empuxo = (massa do volume de fluido deslocado) x
 (aceleração gravitacional)
FP = m.g
Força de Arraste = ½ A r CD v2
FE = (m/rs) r g
A força resultante equilibra as três forças atuando sobre a partícula sólida: a força externa (ou o peso devido a atração gravitacional), o empuxo, dado pelo princípio de Archimedes e
a força de arraste que se manifesta pelo atrito na superfície sempre que existe movimento relativo sólido-fluido
F= m(dv/dt) = FP – FE – FA
Balanço de forças:
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Desprezando a aceleração instantânea e considerando a partícula esférica: Ap =Dp2/4 e Vp =  Dp3/6
BALANÇO DE FORÇAS:
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BALANÇO DE FORÇAS:
CD
É função da forma da partícula (esfericidade) e do número de Reynolds
Re é função do Diâmetro da partícula e da velocidade terminal, vt. 
Portanto, CD é dependente de duas incógnitas e a equação é indeterminada
A expressão acima pode ser linearizada para se obter uma expressão independente
do DIÂMETRO ou da VELOCIDADE, permitindo que se obtenha, num gráfico CD x Re
em escala logarítmica, uma ou outra grandeza.
O procedimento é descrito a seguir.
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Coeficiente de atrito em função do número de Reynolds para partículas de diversas formas, submersas num fluido
CD x Re
1
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1ª SITUAÇÃO: 
Determinar o DIÂMETRO DA PARTÍCULA que sedimentará a partir de uma
VELOCIDADE CONHECIDA de fluido.
e
Equação de uma reta de coeficiente angular +1, passando pelos pontos: 
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Re  Diâmetro
1ª SITUAÇÃO: 
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2ª SITUAÇÃO: 
Determinar a VELOCIDADE TERMINAL DA PARTÍCULA com um certo
DIÂMETRO CONHECIDO.
Equação de uma reta de coeficiente angular -2, passando pelos pontos: 
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Re diâmetro 
2ª SITUAÇÃO: 
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Estimativa da velocidade terminal, conhecido o diâmetro da partícula

vt
CDRe2 x Re
2
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Estimativa do diâmetro,
conhecida a velocidade
da partícula
CD/Re x Re
3
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Método analítico de McCabe-Smith
Com o adimensional “K”, identifica-se o regime de escoamento sólido-fluido:
K<3,3 – Lei de Stokes (regime laminar)
3,3 <K<44 – Região intermediária
44<K<2360 – Lei de Newton (regime turbulento)
K>2360Re>200.000 (turbulência completa)
Conhecido o regime de escoamento, utiliza-se a equação adequada
para cada região
1
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Determinação utilizando os adimensionais CDRe2 e CD/Re
2
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Richardson-Zaki (1954) para partículas arredondadas:
U é o módulo da velocidade relativa fluido-partícula, U = ║u – v ║
R∞ o número de Reynolds referente à velocidade terminal da partícula isolada,
e “ ε “, a porosidade, é a fração volumétrica de fluido na suspensão.
n = n (Re)
CV: Concentração volumétrica de sólidos
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Politis e Massarani (1989) para partículas irregulares:
O diâmetro médio é a média aritmética da abertura das peneiras de corte. 
0,47 < Ф < 0,80 
9,5 < Re∞ < 700
Outra estratégia adotada é considerar o comportamento isolado de uma partícula no interior
da mistura sólido-fluido, com a mistura sendo caracterizada por ρsusp e μSUSP.
(Govier-Aziz, 1972; Massarani-Costapinto Santana, 1994)
Assim, no regime de Stokes:
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Massarani e Costapinto (1994) – Correlações empíricas com base nos dados
experimentais de Concha-Almendra (1978):
Re∞ < 0,2
1<Re∞<500
Re∞ ≥ 2 x 103
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: viscosidade do fluido
ρs: densidade do sólido
ρF: densidade do fluido
ε: porosidade (ou fração de vazios = volume ocupado pelo fluido)
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McCabe-Smith:
ae aceleração que atua sobre a partícula ( 9,81m/s2 ou 981 cm/s2 no campo gravitacional) ou aE = rw2, no campo centrífugo,
 sendo r o vetor posição num instante qualquer e w z velocidade angular da pártícual
Regime laminar (K < 3,3)
Parâmetro que corrige a viscosidade do fluido
Avaliação do regime de escoamento:
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Número de Reynolds de uma partícula isolada (a diluição infinita)
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Esferas de vidro de 50m de diâmetro, sedimentam em água a 25ºC. A densidade relativa do vidro
é 2,6. (a) Qual é a velocidade máxima atingida quando as esferas sedimentam sob condições de
queda livre? (b) Qual é a velocidade máxima atingida quando a sedimentação ocorre numa suspensão
Em que a razão pondera entre água e vidro é 2?
Dp = 50m=0,005
Ρ = 1 g/cm3
Ρs = 2,6 g/cm3
 = 1c P = 0,01 g/cm.s
a) Sob condições de sedimentação livre
Conhecemos Dp, queremos encontrar Vt:
Supondo regime laminar, 
Confirmação do regime: 
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b) Velocidade quando m(água)/m(vidro) = 2
Cálculo da porosidade:
Correlação Massarani-Costapinto:
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Separação sólido–fluido em Sistemas diluídos
1 - Sob ação do campo gravitacional
Elutriadores
Câmaras gravitacionais
SÓLIDOS
LÍQUIDO + finos
Líquido
Sólidos
Partículas
AR
Poeira
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Conjunto de Elutriadores
Líquido + Sólidos finos
Suspensão
- operação
líquido
sólidos
1
2
3
4
Granulometria 1 > 2 > 3 > 4
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- objetivos
Sólido mais denso
Sólido menos denso
objetivos
Separação de sólidos de densidades diferentes
(materiais tamanhos e densidades diferentes)
“Corte” de um material granulado em um certo tamanho
(partículas de um mesmo material)
Classificação de sólidos por tamanhos (adequado para
Análise granulométrica numa faixa abaixo do peneiramento)
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A elutriação é um processo de separação em que um fluxo ascendente de líquido arrasta as partículas sólidas que, conforme as suas densidades (ou tamanhos) vão posicionar-se a diferentes níveis, podendo sedimentar ou ser arrastadas para fora da coluna vertical mediante controle adequado do fluxo de líquido.
Este processo de separação de partículas consiste fundamentalmente numa “sedimentação ao contrário”: é o fluído que se move através da zona onde as partículas sólidas se encontravam dispersas inicialmente. 
A velocidade de ascensão do líquido determinará o tamanho das partículas que serão coletadas, depositando no fundo da coluna, ou que serão arrastadas.
Para um certo tamanho crítico de partícula, Dpc, haverá uma velocidade do fluido, u, que neutralizará seu movimento descendente. Todas as partículas menores que este tamanho crítico, terão velocidades menores que a velocidade do fluido e serão arrastadas por este. As de maiores tamanhos vencerão o arraste do fluido e se depositarão no fundo.
Vt < u
Vt = u
Vt > u
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Suponha dois materiais A e B de densidades diferentes.
com ρA > ρB . Se eles têm um granulometria variada, como
saber se a separação desses dois materiais, por elutriação,
será completa?
Para estabelecer um critério que nos indique se esses dois materiais poderão ser completamente
Separáveis entre sí, num meio líquido, vamos partir do pressuposto que a velocidade de queda da
MENOR PARTÍCULA do material mais denso (A), será igual à velocidade da MAIOR PARTÍCULA do
material mais leve (B).
Ou seja, (vt)A = (vt)B
Do balanço de forças que atuam sobre um sólido submerso resultou a seguinte expressão:
Nessa expressão, vamos substituir o valor do coeficiente de arraste, CD, nas situações extremas 
(regime laminar e regime turbulento):
Quando
o regime de escoamento é laminar, 
Substituindo na anterior,
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No regime turbulento, o coeficiente de arraste é constante: CD = 0,44
Generalizando, a separação completa será possível, se
n = 0,5 (laminar)
0,5 < n < 1 (transição)
n = 1 (turbulento)
A+B
A+B
A
Se deseja estudar a possibilidade de separar o minério A do minério B através da
Elutriação com corrente ascendente de água (20ºC). Faixa granulométrica da mistura
A+B: 0,149 < Dp < 0,595 mm. Propriedades do minério A: ρa = 2,2g/cm3 e A = 0,7.
Propriedades do minério B: ρB = 3,2g/cm3 e B = 0,85
Água a 20°C: ρágua = 1,0g/cm3 e  = 0,01 g/cm.s
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A velocidade de elutriação de água que permite recuperar a maior quantidade possível DE
A puro, é igual à velocidade terminal da menor partícula de B (DpB = 0,149mm)
Da Tabela-3, utilizando as propriedades de B: 
uf = VtB = 2,0 cm/s
Conhecida a velocidade de elutriação u = 2,0 cm/s, é possível calcular o diâmetro da MAIOR partícula de
A presente no produto arrastado.
Utilizando as propriedades de A, 
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Dp = 0,202mm
CONCLUSÃO: A velocidade de elutriação u = 1,97 cm/s leva a um produto de topo constituido de
A puro na faixa de tamanhos 0,149 < Dp < 0,202mm.
O produto de fundo é constituído de uma mistura de a (0,202 < Dp < 0,595mm) e de B (0,149 – 0,595mm)
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Velocidades de Sedimentação e Separação 
Para discutir a separação/retenção de partículas num tanque, considere-se que na água a tratar existem partículas com velocidade de descida igual a vt tal que o tempo de permanência no tanque é suficiente para realizar o percurso indicado (desde o topo até ao fundo): todas estas partículas ficariam retidas.
 
 
 
 
Também ficariam retidas no tanque todas as partículas que tivessem velocidades de descida maiores que vt pois teriam tempo para se depositar no fundo.
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Eficiência de coleta de um certo tamanho de partícula 
Tempo de residência (permanência no tanque): tr = L / u = H / Vt
Rendimento global = 
Velocidade média do fluido: 1,5 < u < 3,0 m/s
Volume efetivo do tanque: V = HBL
Capacidade (Vazão Volumétrica) Q = u.HB
A velocidade média do fluido no interior da câmara não deve ultrapassar 10 ft/s
(3 m/s), para não provocar a re-suspensão dos sólidos sedimentados no fundo.Esta,
portanto, é a velocidade ideal a ser usada em projeto.
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O separador de poeira esquematizado abaixo, opera em três compartimentos. Especificar a faixa de diâmetros das partículas retidas em cada compartimento. O gás (ar a 20°C e 1 atm) tem vazão de 5000 ft3/min e as partículas, de esfericidade Φ=0,75 têm densidade de 3 g/cm3.
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Dp, mm 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110 110-120 120-130
Xi (%) 1 4 10 15 40 10 8 6 4 2
2. Uma suspensão diluída de cal em água, contém areia como produto indesejável. Determinar a capacidade da unidade abaixo esquematizada para a separação completa da areia (m3 suspensão /h). Não há efeito de população pois a suspensão é bem diluída. Determine também a percentagem de cal perdida na separação.
DADOS: Faixa granulométrica da areia = 70 < Da < 250 μm
Para a cal: esfericidade = 0,80; densidade = 2,2 g/cm3
Para a areia: esfericidade = 0,7; densidade = 2,6 g/cm3
Temperatura de operação = 30ºC
Análise granulométrica das partículas de cal
Determine as dimensões da câmara de poeira e a eficiência total de coleta no tratamento de um material de densidade 2.650 kg/m3. O fluido é ar a 30ºC e todas as partículas maiores que 100 mm deverão ser separadas. A vazão de alimentação é de 10.000 m3/h e a distribuição granulométrica do material é dada a seguir:
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Dimensionar uma câmara gravitacional para tratar, por hora, 10.000 m3 de ar, contendo partículas de sílica. Um teste revelou a existência de partículas num intervalo de 30 μm a 130 μm de diâmetro. Foi decidido que a câmara gravitacional deverá remover todas as partículas acima de 100 μm. O sólido tem massa específica de 2.650 kg/m3. O ar é alimentado na câmara a 30°C e a pressão atmosférica reinante no local é de 101,3 kPa. Determinar a eficiência total de coleta e as dimensões da câmara.
Dados:
Parâmetros operacionais da câmara gravitacional.
ηc (100) = 1 
Patm = 101,3 kPa
Tar = 30°C = 303 K
ρS = 2.650 kg/m3
R ar = 287 J/kg.K
Q = 10.000 m3/h
A fração mássica, xi (%), de partículas para cada intervalo de
diâmetros de partículas é fornecido na tabela ao lado. 
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Eficiência de coleta
Velocidade terminal da partícula
H = vt t 
ν ≈ (13 + 0,1 T) x 10-6 (m2/s) ρ = PM / RarT (kg/m3) 
μ = ν. r (kg/m.s) 
Q = u . H.B 
Equações básicas:
Cálculo da viscosidade
Cálculo da densidade
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SEPARAÇÃO DE TRÊS FASES:
Eficiência de coleta
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Relação entre as alturas:
ZA1 = Altura da camada mais densa
ZA2 = Altura do dreno de líquido denso
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Separação sólido -fluido
2 - Sob campo centrifugo
Ciclones e hidrociclones
Centrifugas
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O dimensionamento de ciclones tem por finalidade estabelecer o diâmetro da parte cilíndrica do equipamento, 
Dc, o número de ciclones em paralelo (ou em série) para tratar uma certa vazão de suspensão conhecida e a
potência do soprador para realizar a operação.
O diâmetro do ciclone é obtido em função do Diâmetro da partícula de corte, Dpc, que por sua vez é função da
Eficiência global de coleta pretendida.
A eficiência de coleta relacionada a um certo tamanho de partícula é dada por: 
Com base nessa eficiência determina-se o diâmetro de corte e deste, o diâmetro do ciclone, Dc: 
Onde K é uma constante 
A velocidade na seção retangular de entrada da alimentação, é 
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CICLONES EM PARALELO:
Q1
Q1/3
Q1/3
Q1/3
Pi
Pi
Pi
Eficiência global de coleta: T = i
CICLONES EM SÉRIE:
Q1
Q1
Q1
P1
P2
P3
PT = 
P1
P2
P3
+
+
Eficiência global de coleta: T = 1 – (1 – i)n
n = número de ciclones em série
P1 = P2 = P3
Q1 = Q2 = Q3
PERDA DE CARGA:
(dinas /cm2)
POTÊNCIA DO SOPRADOR:
e = efetividade do motor elétrico. Para motores de baixa potência, 0,6 ≤ e ≤ 0,75
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