OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL DE LONGARINAS PARA AERONAVES SAE AERODESIGN 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS 
ESCOLA DE ENGENHARIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
LUCAS COSTA MACHADO 
 
 
 
 
 
 
OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL DE LONGARINAS PARA AERONAVES 
SAE AERODESIGN 
 
 
 
 
 
BELO HORIZONTE 
2018 
LUCAS COSTA MACHADO 
 
 
 
 
OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL DE LONGARINAS PARA AERONAVES 
SAE AERODESIGN 
 
 
 
 
Monografia apresentada ao Departamento de 
Engenharia Mecânica da Escola de Engenharia da 
Universidade Federal de Minas Gerais como 
exigência para graduação em engenharia 
aeroespacial 
Área de concentração: Estruturas de aeronaves e 
otimização estrutural 
Orientador: Marcelo Greco 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BELO HORIZONTE 
2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“And all this science I don't understand 
It's just my job five days a week” 
Elton John, Rocket Man 
AGRADECIMENTOS 
 
 
 
Agradeço aos meus pais e irmã, Bamberg, Graciete e Luana por todo o apoio e 
amor que sempre me deram durante esta jornada. São sem dúvidas as pessoas mais 
importantes na minha vida. 
Agradeço aos amigos da Uai, sô, Fly!!! e do CEA, por todos os momentos e 
desafios vivenciados. Fica registrado a honra que foi trabalhar ao lado de pessoas de 
admirável competência e talento. 
Expresso meu sincero agradecimento ao professor Marcelo Greco, por toda 
ajuda e ensinamentos compartilhados ao longo desta jornada. 
Agradeço aos fundadores da AERON, Guilherme Andre Santana, Antônio Rafael, 
Francisco Ribeiro e Igor Machado, pela oportunidade de trabalho que me foi oferecida. 
Vocês foram mais do que chefes, foram professores e amigos que eu obtive lá dentro. 
Agradeço ao meu companheiro de trabalho e de Uai, sô, Fly!!! Igor Brito por 
toda ajuda, amizade e momentos vividos dentro e fora da AERON. 
Agradeço a todas as pessoas que de forma direta ou indireta me ajudaram de 
alguma maneira nessa caminhada. 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
Figura 1 Relação entre a asa real a asa elíptica e a asa de Stender ..................... 13 
Figura 2 Características geométricas de uma elipse ........................................... 13 
Figura 3 Distribuição de sustentação utilizando o método de stender ................ 14 
Figura 4 Sustentação proporcional a corda de Stender ....................................... 14 
Figura 5 Viga sob efeito de um carregamento distribuído ................................. 15 
Figura 6 Diagrama de corpo livre do segmento Δx ............................................ 16 
Figura 7 Diagrama de corpo livre do segmento Δx com a força resultante R .... 16 
Figura 8 Comportamento da viga sujeita a flexão pura ...................................... 18 
Figura 9 Comportamento de uma área A submetida a flexão pura .................... 19 
Figura 10 Esforços atuantes sobre um elemento infinitesimal longitudinal ....... 20 
Figura 11 Forças de equilíbrio atuando no elemento infinitesimal Δx ............... 21 
Figura 12 Fluxograma das etapas ....................................................................... 25 
Figura 13 Diagrama V x n da aeronave .............................................................. 26 
Figura 14 Forças atuantes na aeronave ............................................................... 27 
Figura 15 Distribuição da força de sustentação .................................................. 29 
Figura 16 Visão superior da mesa de compressão afilada linearmente conforme no 
projeto original ............................................................................................................... 30 
Figura 17 Diferentes formas da curva de Bézier ................................................ 31 
Figura 18 Exemplificação da função GeradorMesa ........................................... 33 
Figura 19 Desenho das mesas com valores de teste das variáveis...................... 34 
Figura 20 Parte do código da função ga ............................................................. 37 
Figura 21 Desenho da longarina ......................................................................... 38 
Figura 22 Definição das propriedades dos materiais .......................................... 39 
Figura 23 Definição do layup ............................................................................. 40 
Figura 24 Definição das propriedades ................................................................ 41 
Figura 25 Modelo da longarina pôs aplicação do mesh control ......................... 42 
Figura 26 Modelo após a geração da malha ....................................................... 42 
Figura 27 Aplicação das cargas no modelo ........................................................ 44 
Figura 28 Modelo pos aplicação do elemento rígido RB3 ................................. 45 
Figura 29 Aplicação das condições de contorno no modelo .............................. 45 
Figura 30 Geometria da mesa de tração ............................................................. 48 
Figura 31 Geometria da mesa de compressão .................................................... 50 
Figura 32 Distribuição de tensão ao longo da longarina .................................... 52 
Figura 33 Distribuição do critério de falha ao longo da longarina ..................... 53 
 
 
 
LISTA DE TABELAS 
Tabela 1 Condições de carregamento na asa ...................................................... 12 
Tabela 2 Velocidades estruturais ........................................................................ 26 
Tabela 3 Distribuição de cordas ......................................................................... 28 
Tabela 4 Distribuição de sustentação ................................................................. 28 
Tabela 5 Propriedade dos materiais .................................................................... 34 
Tabela 6 Cargas para serem aplicadas na simulação .......................................... 43 
 
 
LISTA DE SÍMBOLOS 
 
𝐶𝑆- Corda de stender 
𝐶𝑔 – Corda geométrica 
𝐶𝑒- Corda elíptica 
𝐿 –Força de sustentação 
S- Área em planta da asa 
q- Carga distribuída 
V- Força cortante 
𝑀 –Momento fletor 
L.N.- Linha neutra 
𝜌- Raio de curvatura 
k– Curvatura 
E- Módulo de Young 
I- Momento de inercia da seção 
𝜎 – Tensão normal 
𝜏 – Tensão de cisalhamento 
t- Espessura 
𝑄𝑧 – Momento estático da área acima ou abaixo da linha de cálculo 
f(.) – Função objetivo 
g(.) – Restrição de desigualdade da função objetivo 
h(.) – Restrição de igualdade da função objetivo 
 
 
Sumário 
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................ 11 
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................. 12 
2.1 Cálculo de Cargas em Asas................................................................... 12 
2.1.1 Método de Stender para a Distribuição de Cargas .......................... 12 
2.2 Esforços Solicitantes ............................................................................. 15 
2.3 Cálculo de Tensões ............................................................................... 17 
2.3.1 Tensão de flexão ................................................................................ 17 
2.3.2 Tensão de cisalhamento associada a flexão ....................................... 20 
2.4 Método de Elementos Finitos ............................................................... 22 
2.5 Otimização ............................................................................................ 23 
3. MÉTODOLOGIA..................................................................................... 25 
3.1 Cálculo de cargas .................................................................................. 25 
3.2 Cálculo dos esforços solicitantes .......................................................... 27 
3.2.1 Distribuição de Sustentação Utilizando o Método de Stender .......... 28 
3.3 Criação do modelo geométrico da longarina ........................................ 29 
3.3.1 Geração das mesas utilizando uma curva cúbica de Bezier .............. 32 
3.4 Desenvolvimento do modelo para a otimização ................................... 35 
3.4.1 Função GA ......................................................................................... 36 
3.5 Simulação em elementos finitos ........................................................... 37 
4. RESULTADOS ........................................................................................ 46 
4.1 Resultados da otimização genética ....................................................... 46 
4.1.1.1 Resultado da mesa de tração ........................................................ 47 
4.1.1.2 Resultado da mesa de compressão ............................................... 49 
4.1.1.3 Resultado da alma ........................................................................ 51 
4.2 Análise da geometria através do método de elementos finitos ............. 51 
5. CONCLUSÃO .......................................................................................... 54 
6. Referências Bibliográficas ........................................................................ 55 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
Redução de peso é um ponto chave no projeto de uma aeronave comercial e de 
carga. Quanto menor o seu peso estrutural, mais carga esta aeronave poderá carregar 
acarretando em um ganho financeiro para as companhias aéreas. Isto torna a aeronave 
mais eficiente e competitiva no mercado. Desta forma, os engenheiros estruturais de 
aeronaves trabalham para projetar uma estrutura confiável, mas que ao mesmo tempo 
apresente o menor peso possível. 
E isto não é diferente no projeto de aeronaves para a competição SAE AeroDesign, 
uma vez que nesta competição busca-se projetar aeronaves que carreguem o máximo de 
carga pesando o mínimo possível. Por sua vez a competição gera restrições e desafios 
muitas vezes não encontrados em projetos de aeronaves tradicionais, uma vez que o 
tempo de projeto, orçamento e restrição geométrica das aeronaves são muito diferentes 
dos projetos convencionais. 
Um grande desafio de uma equipe que participa dessa competição é o projeto 
estrutural da asa, em que se busca uma combinação de material e formato geométrico que 
minimize o seu peso de forma a não penalizar a segurança. Para isto são projetadas 
longarinas e caixas de torções de forma a suportar os esforços gerados com alto grau de 
confiabilidade. 
Diferentemente do projeto estrutural da asa de uma aeronave convencional que 
apresenta um sistema fail safe, com longarinas primárias e secundárias, o projeto da asa 
para esta competição apresenta um sistema safe life. Dessa forma a asa apresenta somente 
uma longarina principal não possuindo sistema redundante em caso de falha deste, 
tornando o projeto ainda mais desafiador. 
Este trabalho tem como objetivo a otimização da longarina utilizada na aeronave 
da equipe de AeroDesign da UFMG (Uai! Sô, Fly!!!) em 2015, em que se busca 
minimizar ao máximo possível o seu peso mas mantendo a confiabilidade e segurança 
desta estrutura. Para isto serão geradas rotinas no MATLAB de forma a se obter a melhor 
combinação de geometria e material com posterior análise detalhada utilizando o método 
de elementos finitos. 
12 
 
 
 
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
2.1 CÁLCULO DE CARGAS EM ASAS 
Para o cálculo de cargas na asa é necessário obter-se primeiro o diagrama V x n 
da aeronave. Segundo (OLIVEIRA, 2008) este diagrama consiste em uma combinação 
de velocidade e fator de carga para diferentes condições de voo especificado pelos 
regulamentos em suas sub-partes C. 
Uma vez que o diagrama V x n da aeronave é determinado, é possível calcular as 
condições de carregamento na asa utilizando como referência o CS-VLA. Posteriormente 
determina-se qual das condições analisadas é a mais crítica, e a utiliza como condição de 
projeto. A tabela 1 mostra as cinco condições de carregamento para a asa determinadas 
pelo CS-VLA. 
Tabela 1 Condições de carregamento na asa 
(1) VD e nmáx 
(2) VA 2/3 nmáx e deflexão máxima dos ailerons 
(3) VD 2/3 nmáx e deflexão de ailerons para obter o mesmo roll-rate de (2) 
(4) VD e nmin 
(5) VF , nmáx e flaps com deflexão máxima 
 
Obtida a condição crítica de projeto é necessário determinar a forma como essa 
carga é distribuída sobre a asa. Segundo (OLIVEIRA, 2008) a forma que é feita essa 
distribuição é uma das questões mais importantes para o cálculo de esforços sobre os 
componentes estruturais, pois é esta distribuição que define a maneira como é distribuído 
os esforços cortante, momento fletor e momento torçor. 
2.1.1 Método de Stender para a Distribuição de Cargas 
Segundo (BARROS, 2001) o método de Stender se baseia na hipótese de que a 
distribuição de cargas ao longo da envergadura é proporcional as áreas de uma asa virtual 
na qual suas cordas são médias geométricas das cordas reais e de uma asa elíptica de 
mesma envergadura. A figura 1 mostra a relação entre a asa real, a asa elíptica e a asa de 
Stender. 
13 
 
 
Figura 1 Relação entre a asa real a asa elíptica e a asa de Stender 
 
Dessa forma as cordas de Stender são dadas por: 
𝐶𝑆 = √𝐶𝑔 ⋅ 𝐶𝑒 
Sendo que para calcular a corda da asa elíptica utiliza-se a equação da elipse. 
𝑥2
𝐴2
+
𝑦2
𝐵2
= 1 
Em que a figura 2 exemplifica cada variável. 
Figura 2 Características geométricas de uma elipse 
 
Em que A é a semi-envergadura. 
Sabendo que a área da elipse é dado por: 
14 
 
𝑆 = 𝜋 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝐵 
É possível obter-se B e posteriormente y em função de x. A distribuição de 
sustentação tem comportamento semelhante à figura 3. 
Figura 3 Distribuição de sustentação utilizando o método de stender 
 
Por fim tendo a nova forma em planta equivalente de Stender, admite-se que as 
sustentações são proporcionais as suas cordas, sendo as sustentações elementares dadas 
por: 
𝐿𝑖 =
Δ𝑆𝑖
𝑆
⋅ 𝐿 
A figura 4 exibe graficamente a carga de sustentação proporcional as cordas de 
Stender. 
Figura 4 Sustentação proporcional a corda de Stender 
 
15 
 
Onde S é a semi-asa de Stender (que é igual a área real) e L denota a força de 
sustentação em cada semi-asa. 
 
2.2 ESFORÇOS SOLICITANTES 
Uma vez obtida a carga crítica sobre a asa e a forma como ela é distribuída é 
possível determinar os esforços solicitantes sobre a mesma. Para deduzir os esforços 
solicitantes a partir da carga distribuída utilizou-se a metodologia sugerida por 
(CRANDALL, 1978). 
Para isso é necessário obter um pedaço infinitesimal de uma viga sob efeito de 
uma carga distribuída, e aplicar as equações de equilíbrio sobre o diagrama de corpo livre 
desse pedaço infinitesimal da viga. Esta condição de equilíbrio vai levar a equações 
diferenciais relacionando a carga distribuída a força cortante, e ao momento fletor. A 
figura 5 mostra uma viga sob efeito de um carregamento distribuído. 
Figura 5 Viga sob efeito de um carregamento distribuído 
 
 
Da viga da figura 5 analisa-se o diagrama de corpo do livre do segmento Δ𝑥, que 
pode ser observado na figura 6. 
16 
 
Figura 6 Diagrama de corpo livre do segmento ΔxConsiderando que o segmento Δ𝑥 é muito pequeno pode-se assumir que a variação 
do carregamento q(x) ao longo desse segmento é desprezível, dessa forma é possível 
substituir o carregamento q(x) nesse segmento pela força resultante equivalente (𝑅 =
𝑞(𝑥) ⋅ Δ𝑥) aplicada no centro desse elemento. A figura 7 mostra o diagrama de corpo 
livre com esta substituição. 
Figura 7 Diagrama de corpo livre do segmento Δx com a força resultante R 
 
Aplicando as condições de equilíbrio a figura 7 tem-se que: 
∑ 𝐹𝑦 = 𝑉 + Δ𝑉 + 𝑞 ⋅ Δ𝑥 − 𝑉 = 0 
∑ 𝑀𝑜 = 𝑀𝑏 + Δ𝑀𝑏 + (𝑉 + Δ𝑉) ⋅
Δ𝑥
2
+ 𝑉 ⋅
Δ𝑋
2
− 𝑀𝑏 = 0 
17 
 
Simplificando essas equações: 
Δ𝑉
Δ𝑥
+ 𝑞(𝑥) = 0 
Δ𝑀𝑏
Δ𝑥
+ 𝑉 = −
Δ𝑉
2
 
Aproximando Δ𝑥 de zero, e consequentemente Δ𝑉 𝑒 Δ𝑀𝑏 de 𝑑𝑉 𝑒 𝑑𝑀𝑏 
respectivamente, tem-se que: 
𝑑𝑉
𝑑𝑥
+ 𝑞 = 0 
𝑑𝑀𝑏
𝑑𝑥
+ 𝑉 = 0 
Estas são as equações diferenciais básicas que relacionam a carga distribuída q(x) 
com a força cortante V(x) e o momento fletor 𝑀𝑏(𝑥) em uma viga. 
2.3 CÁLCULO DE TENSÕES 
Uma vez determinada a distribuição de força cortante V(x) e momento fletor M(x) 
é possível determinar a distribuição de tensões devido a estes esforços. Nesta seção serão 
demonstradas as fórmulas para cálculos de tensão utilizadas para dimensionar a longarina 
da asa. 
2.3.1 Tensão de flexão 
Nessa seção será analisado o comportamento de uma viga sujeita a flexão pura 
atuando no eixo normal ao seu plano. Nesta análise será considerado a cinemática de 
Bernoulli-Euler que segundo (GRECO e MACIEL, 2016) representa bem o 
comportamento físico da viga quando esta apresenta relação das dimensões da seção 
transversal por comprimento menores que 10%. 
Conforme dito por (GRECO e MACIEL, 2016) para o desenvolvimento das 
relações entre a flexão pura e tensões normais na viga é importante assumir algumas 
hipóteses, sendo elas que a viga é inicialmente reta, que ela é homogênia com 
comportamento elástico linear. 
A figura 8 mostra o comportamento dessa viga quando sujeita a flexão pura 
atuando no eixo normal ao seu plano. 
18 
 
Figura 8 Comportamento da viga sujeita a flexão pura 
 
Dessa figura temos que “o” representa o centro de curvatura da seção ds, que 𝜌 
representa o raio de curvatura dessa seção, e que L.N. é a linha neutra da seção, que é 
definida como a linha na qual as fibras da viga não mudam de comprimento. 
Considerando a que ds ≅ dx e aplicando semelhança de triângulos tem-se que: 
𝑑𝑥
𝜌
=
𝑑𝑥𝐴𝐵
𝜌 − 𝑦
 → 𝑑𝑥𝐴𝐵 =
𝜌 − 𝑦
𝜌
⋅ 𝑑𝑥 
Como próximos passo aplica-se a definição de deformação para calcular a 
deformação normal na fibra (AB), obtendo-se então 
𝜖𝑥𝐴𝐵 =
𝑑𝑥𝐴𝐵 − 𝑑𝑥
𝑑𝑥
=
𝜌 − 𝑦
𝜌 ⋅ 𝑑𝑥 − 𝑑𝑥
𝑑𝑥
→ 𝜖𝑥𝐴𝐵 = −
𝑦
𝜌
= −𝑘 ⋅ 𝑦 
Assim como dito por (GRECO e MACIEL, 2016) observa-se que para flexão pura, 
a distribuição de deformação normal varia linearmente, indo de zero na linha neutra para 
o seu valor máximo nas extremidades da seção transversal da viga. 
Considerando que o material apresenta comportamento elástico linear (lei de 
Hooke) tem-se que: 
𝜎𝑥 = 𝐸 ⋅ 𝜖𝑥 = −𝐸 ⋅ 𝑘 ⋅ 𝑦 
Dessa forma observa-se que uma área A submetida a flexão pura apresenta uma 
distribuição de tensão normal conforme exibido na figura 9 
19 
 
Figura 9 Comportamento de uma área A submetida a flexão pura 
 
Para cada elemento de área da figura 9 tem-se: 
𝑑𝑀 = (−𝜎𝑥 ⋅ 𝑑𝐴) ⋅ 𝑦 
Considerando toda a seção transversal e que tensão normal de compressão tem 
sinal negativo e de tração sinal positivo, tem-se que: 
𝑀 = ∫ 𝑑𝑀 = − ∫ 𝜎𝑥 ⋅ 𝑦𝑑𝐴
𝐴𝐴
 
𝑀 = − ∫ (−𝐸 ⋅ 𝑘 ⋅ 𝑦) ⋅ 𝑦𝑑𝐴
𝐴
 
𝑀 = 𝑘 ⋅ 𝐸 ∫ 𝑦2𝑑𝐴
𝐴
 
𝑀 = 𝑘 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝐼 
Em que I é o momento de inercia da seção em relação ao eixo “z”. 
Por fim obtém-se a relação entre o momento fletor e a tensão normal gerada por 
ele: 
𝜎𝑥 = −𝑘 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝑦 = −𝐸 ⋅ (
𝑀
𝐸 ⋅ 𝐼
) ⋅ 𝑦 
𝜎𝑥 = −
𝑀
𝐼
⋅ 𝑦 
 
20 
 
2.3.2 Tensão de cisalhamento associada a flexão 
O objetivo dessa seção é mostrar o desenvolvimento da equação de cisalhamento, 
que é a equação que relaciona a força cortante com a tensão de cisalhamento gerada por 
ela. Assim como na demonstração da fórmula de flexão, para a dedução dessa fórmula é 
necessário assumir algumas hipóteses. As hipóteses utilizadas por (GRECO e MACIEL, 
2016) para essa demonstração são que a viga deve estar sujeita somente a flexão simples, 
que o material apresente comportamento elástico linear, e que a viga sofra pequenas 
deformações. 
Como primeiro passo pode-se aplicar o equilíbrio de forças em um elemento 
infinitesimal na direção longitudinal de uma viga. A figura 10 mostra os esforços atuantes 
sobre este elemento. 
Figura 10 Esforços atuantes sobre um elemento infinitesimal longitudinal 
 
Conforme dito por (GRECO e MACIEL, 2016) o equilíbrio de forças longitudinal 
no elemento infinitesimal Δ𝑥 é realizado considerando as forças causadas pela tensões 
normal e de cisalhamento a esquerda, e a tensão normal a direita do corte analisado, 
conforme ilustrado pela figura 11. 
21 
 
Figura 11 Forças de equilíbrio atuando no elemento infinitesimal Δx 
 
As tensões a esquerda e a direita do corte considerado de acordo com a fórmula 
da flexão são respectivamente: 
𝜎𝐸𝑠𝑞 = −
𝑀 ⋅ (−𝑦)
𝐼𝑧0
 
𝜎𝐷𝑖𝑟 = −
(𝑀 + 𝑑𝑀) ⋅ (−𝑦)
𝐼𝑧0
 
 
As forças a direita e a esquerda geradas pelas tensões normais são dadas por : 
𝐹𝐸𝑠𝑞 = ∫ 𝜎𝐸𝑠𝑞𝑑𝐴 = ∫ −
𝑀 ⋅ (−𝑦)
𝐼𝑧0
𝑑𝐴
𝐴𝐴
 
𝐹𝐷𝑖𝑟 = ∫ 𝜎𝐷𝑖𝑟𝑑𝐴 = ∫ −
(𝑀 + 𝑑𝑀) ⋅ (−𝑦)
𝐼𝑧0
𝑑𝐴
𝐴𝐴
 
Considerando o equilíbrio de forças longitudinais: 
Σ𝐹𝑥 = 0 
22 
 
𝐹𝐷𝑖𝑟 − 𝐹𝐸𝑠𝑞 − 𝜏 ⋅ 𝑡𝑑𝑥 = 0 
𝜏 ⋅ 𝑡𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑀
𝐼𝑧0
𝑦𝑑𝐴
𝐴
 
𝜏 = ∫ (
𝑑𝑀
𝑑𝑥
) (
𝑦
𝑡 ⋅ 𝐼𝑧0
) 𝑑𝐴
𝐴
 
𝜏 =
𝑉 ⋅ 𝑄𝑧
𝑡 ⋅ 𝐼𝑧0
 
Chega-se então a fórmula de cisalhamento utilizada para calcular a tensão de 
cisalhamento na longarina devido a força cortante atuante na mesma. É importante 
observar que esta tensão varia de acordo com a altura da seção analisada em relação a 
linha neutra, sendo o seu valor máximo na própria linha neutra, em que o valor do 
momento estático da área acima ou abaixo é máximo. 
 
2.4 MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS 
Segundo Logan (2007) o Método de Elementos Finitos (MEF) é um método 
numérico de resolver problemas de engenharia, física e matemática. Este método é 
geralmente aplicado em problemas de análise estrutural entre outros fenômenos de 
engenharia que são controlados por equações diferenciais que apresentam geometria, 
carregamento e propriedades do material variadas ao longo do corpo em estudo. Dessa 
forma, a equação diferencial passa a não ter solução analítica válida por todo o domínio 
do corpo. 
O que o método de elementos finitos faz é modelar o corpo como um conjunto de 
pequenos elementos conectados entre si que representam o corpo real, através de 
aproximações para os campos de deslocamentos. Com base nestas aproximações são 
também aproximados os campos de deformação e tensão. Dessa forma, o problema passa 
a ser linear no interior de cada elemento, e o desafio de resolver uma única equação 
diferencial muda para o problema de resolver um sistema de equações lineares. 
Tipicamente em problemas estruturais a variável que se obtém ao resolver o 
conjunto de equações lineares é o deslocamento de cada nó, com isto é possível 
determinar a deformação em cada nó e consequentemente a tensão em cada elemento. 
23 
 
Na indústria aeronáutica lida-se constantemente com estruturas esbeltas, 
estruturasque sofrem grandes deslocamentos e que são construídas com materiais 
compostos, tornando assim o uso do método de elementos finitos uma ferramenta 
essencial para se obter resultados confiáveis e que condizem com a realidade. 
 
2.5 OTIMIZAÇÃO 
Segundo (CAMPELO, 2012) otimização é um conjunto de técnicas capazes de 
determinar as melhores configurações possíveis para a construção e funcionamento de 
sistemas de interesses. 
Problemas de otimização podem ter contextos distintos, como por exemplo, obter 
o menor peso possível para uma longarina. Determinar a melhor política de compras e 
vendas de cabeça de um rebanho de gado, obter o melhor portfólio de investimentos 
financeiros, como melhorar o desempenho de uma rede de computadores, entre outros 
exemplos de diferentes áreas. Por sua vez, segundo (CAMPELO, 2012) apesar dos 
diferentes contextos, uma vez determinado o modelo matemático do problema, todos 
esses problemas a princípio distintos, possuem praticamente a mesma estrutura, sendo a 
solução obtida pelo mesmo conjunto de técnicas. 
Dessa forma conforme descrito por (CAMPELO, 2012) o primeiro passo de um 
problema de otimização é definir o problema matematicamente. Todos os problemas de 
otimização podem ser descritos da seguinte forma: 
 
𝑥∗ = arg min
x
𝑓(𝑥) 
 
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 ∶ {
𝑔𝑖(𝑥) ≤ 0, 𝑖 = 1, … , 𝑝
ℎ𝑗(𝑥) = 0, 𝑗 = 1, … , 𝑞
 
 
Em que x é o vetor de variáveis de otimização, que representa o conjunto de 
variáveis cujos valores deseja-se especificar através do processo de otimização. 
Por sua vez f(x) representa a função objetivo. Que representa o índice de 
desempenho do sistema e cujo valor, por convenção, queremos minimizar afim de obter 
o sistema com desempenho ótimo. 
24 
 
Por fim, 𝑔𝑖 𝑒 ℎ𝑖 representam as funções de restrição a qual o sistema está 
submetido. As funções 𝑔𝑖 estabelecem limites aos quais o sistema está restrito, enquanto 
ℎ𝑖 estabelece uma região ao qual a solução deve estar. 
2.5.1 Otimização Evolutiva 
Segundo (SIMON, 2013) dependendo das características apresentadas pela função 
objetivo existem diferentes tipos de estratégias mais efetivas para a sua otimização. 
Algumas características que são importantes de se analisar são: 
1) Modalidade, se a função é unimodal ou multimodal 
2) Diferenciabilidade, se a função é diferenciável ou não. 
3) Convexidade, se a função é convexa, quase-convexa, ou não-convexa 
4) Linearidade, se a função é linear ou não. 
Por exemplo, se a função objetivo for unimodal e diferenciável, é possível 
encontrar o seu máximo global através de uma técnica numérica para encontrar o valor 
do seu gradiente. 
Por sua vez, problemas multimodais e não-diferenciáveis não podem ser 
resolvidos com técnicas baseada em informação local de decrescimento e crescimento da 
função objetivo, sendo necessária uma abordagem diferente para este tipo de problema. 
Segundo (CAMPELO, 2012) os evolutivos são uma das soluções para este tipo de 
problema. Nesta família de algoritmos uma população de solução-candidato é utilizada 
para amostrar iterativamente o espaço de busca, de forma a determinar o seu ótimo global. 
Existem várias famílias de algoritmos que utilizam o método de populações para 
superar o desafio de encontrar um ótimo global para uma função não diferenciável e com 
vários mínimos locais. Neste trabalho será utilizado a família dos algoritmos genéticos 
evolutivos, que segundo (SIMON, 2013) é um dos métodos mais populares para este tipo 
de problema, que são baseados na dinâmica que controla a evolução dos seres vivos. 
Neste tipo de algoritmo a população de soluções candidatas evoluem de forma a convergir 
gradualmente para o ótimo global do problema. Isto acontece devido a pressão seletiva 
exercida em função da aptidão de cada indivíduo. 
 
25 
 
 
3. METODOLOGIA 
Na figura 12 é apresentado o fluxograma da metodologia adotada para realizar a 
otimização estrutural da longarina da asa utilizada pela equipe de AeroDesign da UFMG 
(Uai! Sô, Fly!!!) em 2015. Na sequência tem-se a explicação resumida de cada uma das 
etapas do trabalho. 
Figura 12 Fluxograma das etapas 
 
3.1 CÁLCULO DE CARGAS 
A primeira etapa para o cálculo de cargas é a determinação do diagrama V x n da 
aeronave. Para isto, utilizou-se os dados oriundos da aerodinâmica e desempenho, 
juntamente com o regulamento CS-VLA, para a determinação do diagrama. A figura 13 
mostra o diagrama, enquanto a tabela 2 exibe as velocidades estruturais e os fatores de 
carga. 
26 
 
Figura 13 Diagrama V x n da aeronave 
 
 
Para o cálculo desse diagrama considerou-se que as velocidades de rajadas 
propostas pelo regulamento não são compatíveis com as condições meteorológicas a que 
uma aeronave AeroDesign é submetida. Desta forma, as velocidades de rajadas foram 
consideradas de 5,5 m/s para velocidade de cruzeiro, e 3 m/s para velocidade de mergulho. 
Caso as condições meteorológicas fossem mais severas, seria optado por não voar a 
aeronave. 
Tabela 2 Velocidades estruturais 
 
 
 
 
27 
 
3.2 CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 
Como o foco do trabalho é a otimização estrutural não o cálculo de cargas, nesta 
etapa será detalhado o procedimento de cálculo somente para a condição mais crítica, que 
corresponde à condição 1 da tabela 1, na seção 2.1. O cálculo completo de cargas da 
aeronave se encontra em (GUEDES, MARIO, et al., 2015) 
A condição 1 corresponde à situação de voo com velocidade de mergulho e fator 
de carga máximo, e para o cálculo de carga nessa condição considerou-se o equilíbrio 
dinâmico da aeronave, que segundo (OLIVEIRA, 2008) é descrito por: 
𝐿𝑤 + 𝐿𝑇 = 𝑛𝑊 
A figura 14 mostra as atuações dessas forças. 
Figura 14 Forças atuantes na aeronave 
 
Isolando-se a carga de interesse que é a carga na asa, tem-se que: 
𝐿𝑤 = 𝑛𝑊 − 𝐿𝑇 
Para esta condição tem-se que 
𝑛 = 2 
𝑊 = 18,5 ⋅ 9,81 𝑁 
𝐿𝑡 = −10 𝑁 
Em que 18,5 é o peso máximo de decolagem da aeronave em kgf, e 9,81 é a 
aceleração da gravidade em 𝑚/𝑠2, ambos a nível do mar. 
Sendo assim, tem-se que: 
28 
 
𝐿𝑤 = 373 𝑁 
3.2.1 Distribuição de Sustentação Utilizando o Método de Stender 
Utilizando as equações desenvolvidas na seção 2.1.1 chega-se aos resultados 
apresentados na tabela 3. 
Tabela 3 Distribuição de cordas 
Estação Semi-envergadura [mm] CordaGeometrica [mm] CordaEliptica [mm] CordaStender [mm] 
1 0 300 340 319 
2 100 300 339 318 
3 200 300 336 317 
4 300 300 333 316 
5 400 300 327 313 
6 500 300 320 310 
7 600 300 311 305 
8 700 300 300 300 
9 800 300 287 293 
10 900 283 272 277 
11 1000 261 253 257 
12 1100 239 231 235 
13 1200 217 204 210 
14 1300 194 169 181 
15 1400 172 122 145 
16 1500 150 0 0 
 
Considerando que a sustentação de cada seção é proporcional à sua área de 
Stender, tem-se a distribuição de sustentação exibida na tabela 4 e na figura 15. 
Tabela 4 Distribuição de sustentação 
Estação Envergadura [mm] Li [N/m] 
1 0 25,65 
2 100 25,59 
3 200 25,48 
4 300 25,30 
5 400 25,06 
6 500 24,75 
7 600 24,35 
8 700 23,87 
9 800 22,96 
10 900 21,49 
11 1000 19,78 
12 1100 17,89 
13 1200 15,74 
14 1300 13,12 
29 
 
15 1400 5,83 
16 1500 0 
 
 
Figura 15 Distribuição da força de sustentação 
 
 
3.3 CRIAÇÃO DO MODELO GEOMÉTRICO DA LONGARINA 
Dada a distribuição de esforços a próxima etapa é determinar qual a geometria 
ótima da longarina. A geometria ótima será definida como aquela que suporte todos os 
esforços, com a margem de segurança estabelecida, pesando o mínimo possível. 
O primeiro desafio encontrado neste modelo foidefinir como seria o formato 
geométrico da longarina. Como ponto de partida decidiu-se utilizar a mesma geometria 
do projeto original, que é uma longarina tipo viga em “C”, com as mesas fabricadas com 
rovings de fibra de carbono em resina epóxi e alma de tecido bidirecional de carbono. 
Contundo, a fim de explorar novas possibilidades decidiu-se por parametrizar as 
mesas de tração e compressão não como retas afiladas, conforme no projeto original 
(figura 16), mas por curvas de Bezier. 
 
0
5
10
15
20
25
30
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500
Fo
rç
a 
D
is
tr
ib
u
id
a 
[N
/m
]
Envergadura [mm]
DistribuicaoSustentacao
30 
 
Figura 16 Visão superior da mesa de compressão afilada linearmente conforme no projeto 
original 
 
Segundo (NOWELL, 2014) curvas de Bézier são curvas polinomiais muito 
utilizadas para modelar curvas suaves, sendo bastante utilizadas em computação gráfica. 
O nome dessa curva tem origem no engenheiro Pierre Bézier, que foi o primeiro a utilizá-
la amplamente nos projetos de corpos suaves da Renault. 
Segundo (BIEZUNER e RODRIGUES DE JESUS, 2014) curvas de Bézier são 
curvas polinomiais paramétricas, sendo que para um polígono de controle com n+1 
vértices 𝑃0, … , 𝑃𝑛 a curva de Bézier é uma curva paramétrica polinomial de grau n da 
forma 
𝐵(𝑡) = ∑ 𝑃𝐾𝐵𝑘,𝑛(𝑡)
𝑛
𝑘=0
 
Que pode ser reescrita da seguinte forma: 
𝐵(𝑡) = ∑ (
𝑛
𝑖
) (1 − 𝑡)𝑛−𝑖 ⋅ 𝑡𝑖 ⋅ 𝐵𝑖
𝑛
𝑘=0
 
Em que t é a variável de parametrização, que varia de 0 a 1, n+1 é o número de 
pontos de controle, e 𝐵𝑖 corresponde ao ponto de controle 
Segundo (BIEZUNER e RODRIGUES DE JESUS, 2014) curvas de Bézier podem 
assumir formas diversas dependendo do seu grau e dos pontos de controle escolhidos. A 
figura 17 mostra diferentes formas que estas curvas podem assumir. 
 
 
 
31 
 
Figura 17 Diferentes formas da curva de Bézier 
 
 É importante notar uma propriedade relevante de todas essas curvas, em que todas 
elas devem estar limitadas pelos seus pontos de controle. 
Segundo (NOWELL, 2014) a forma mais comum da curva de Bézier é a cúbica, 
pois esta apresenta uma geometrica bastante suave com relativamente poucas variáveis. 
E este será o modelo de curva adotada neste trabalho para representar a geometria das 
mesas. 
32 
 
Na sua forma cúbica os pontos da curva de Bezier podem ser representados por: 
𝐵(𝑡) = [
𝑋
𝑌
] 
[
𝑋
𝑌
] = (1 − 𝑡)3 ⋅ [
𝐵0𝑋
𝐵0𝑌 
] + 3 ⋅ 𝑡 ⋅ (1 − 𝑡)2 ⋅ [
𝐵1𝑋
𝐵1𝑌 
] + 3 ⋅ 𝑡2 ⋅ (1 − 𝑡) ⋅ [
𝐵2𝑋
𝐵2𝑌 
] + 𝑡3 [
𝐵3𝑋
𝐵3𝑌 
] 
 
3.3.1 Geração das mesas utilizando uma curva cúbica de Bezier 
Uma vez definida o formato geral da curva a ser utilizada nas mesas o próximo 
passo é definir uma função que vai utilizar um conjunto de variáveis de entrada para obter 
como saída a geometria da mesa 
O desafio de gerar a geometria das mesas foi dividido em duas etapas. A primeira 
seria a geração da sua forma em planta, e a segunda etapa seria a determinação da sua 
distribuição de espessura. 
Para a primeira etapa utilizou-se seis variáveis para a parametrização de uma 
mesa, ou seja, doze variáveis para a geração das duas mesas. Essas variáveis são 
relacionadas aos quatro pontos de controle para a determinação da curva de Bézier. 
Considerando somente uma das mesas esses pontos seriam: 
P1 = [x1,y1] P2 = [x2,y2] P3 = [x3,y3] P3 = [x4,y4] 
Analisando esses pontos verifica-se que seriam oito variáveis, porém x1 e x4 são 
valores conhecidos, pois x1=0 e x4=1500 mm, uma vez que o primeiro ponto tem que 
estar na raiz e o último na ponta da asa. Dessa forma os pontos a serem determinados 
passam a ser: 
P1 = [0,y1] P2 = [x2,y2] P3 = [x3,y3] P3 = [1500,y4] 
A figura 18 ilustra como é o processo com as novas variáveis. 
 
 
33 
 
Figura 18 Exemplificação da função GeradorMesa 
 
Após o desenvolvimento de uma função que desenha a mesa dado os valores 
dessas seis variáveis, foram efetuados alguns experimentos para testar a função. A figura 
19 ilustra um exemplo de mesa testada em que os valores das suas variáveis são 
𝑦1 = 17,87 
𝑥2 = 3,97 
𝑦2 = 1040,86 
𝑥3 = 0,30 
𝑦3 = 25,21 
𝑦4 = 3,16 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
Figura 19 Desenho das mesas com valores de teste das variáveis 
 
Com a primeira etapa, geração da geometria plana das mesas, desenvolvida e 
funcionando corretamente começou-se a trabalhar na determinação das espessuras ótimas 
de cada região. 
A primeira parte no desafio de determinar a espessura ótima foi determinar o 
material a ser utilizado. Como o projeto original foi realizado com fibras de carbono 
unidirecional para as mesas, e tecido bidirecional na alma, adotaram-se os mesmos 
materiais nesse trabalho. É importar destacar que todas as fibras foram laminadas 
utilizando a resina epóxi Araldite® LY 5052 / Aradur® 5052, com proporção de 
fibra/resina próxima de 50%/50% em massa. 
Para a determinação das propriedades foi utilizado (GUEDES, MARIO, et al., 
2015), sendo os valores descritos na tabela 5. 
Tabela 5 Propriedade dos materiais 
 
35 
 
É importante destacar que com o uso do material composto pode-se obter somente 
valores discretos de espessuras, sendo a espessura um múltiplo da espessura de uma 
lâmina. Os laminados utilizados nesse trabalho, laminados de carbono unidirecional e 
bidirecional, com resina epóxi com proporção de fibra/resina de 50%/50%, são de 0,28 
mm e 0,36 mm respectivamente. 
O desafio de determinar as espessuras foi feito de duas maneiras. Na primeira 
determinou-se uma variável, número de camadas, para cada uma das estações utilizadas 
para o cálculo de cargas. Como foram utilizadas 16 estações para o cálculo de cargas o 
problema passou a contar com mais 48 variáveis, sendo 16 relacionadas as espessuras das 
estações na mesa de tração, 16 relacionado as espessuras de cada estação na mesa de 
compressão e mais de 16 relacionadas a espessuras de cada estação da alma. Sendo assim, 
o problema passou a contar com 48+12 = 60 variáveis para a determinação da longarina. 
Na segunda metodologia diminui-se o número de estações de 16 para 5, dessa 
forma passou-se a contar com regiões com larguras maiores (300mm cada contra 100 mm 
com 16 estações) e com menos variáveis no problema, de 48 para a determinação de todas 
as espessuras para 15, diminuído o total de variáveis do problema de 60 para 27. 
 
3.4 DESENVOLVIMENTO DO MODELO PARA A OTIMIZAÇÃO 
Para a realização da otimização foram desenvolvidas quatro funções, que serão 
utilizadas dentro da função “ga” do próprio MATLAB. Segue abaixo a lista das funções 
desenvolvidas: 
1) GeradorMesas 
2) CalculoPeso 
3) CálculoTensões 
4) MargemDeSegurança 
A primeira função GeradorMesas já foi descrita na subseção anterior. A função 
CalculoPeso utiliza os valores geométricos oriundos da função GeradorMesas, calcula o 
volume de cada uma das partes da longarina (mesa de tração, mesa de compressão, alma) 
e então utilizando a densidade do material calcula o peso total dessa estrutura. 
A terceira função CálculoTensões também utiliza os valores geométricos da 
função GeradorMesas, mas dessa vez para calcular as propriedades geométricas, como a 
36 
 
posição do centroide de cada seção, bem como o seu momento de inercia. Assim utilizam-
se esses dados geométricos juntamente com as cargas calculadas na seção 3.2 para 
calcular as tensões de tração, compressão e cisalhamento conforme descrito na seção 2.3. 
A última função MargemDeSegurança utiliza as tensõescalculadas com a função 
CálculoTensões, bem como o fator de segurança de 1,5 e o fator de qualidade do material 
de 1,15 conforme determinado pelo CS-VLA, para calcular a margem de segurança da 
longarina gerada na função GeradorMesas. 
Todo esse processo leva a formulação matemática do problema de otimização. 
𝑓(𝑥) = 𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜𝑃𝑒𝑠𝑜 (𝑥) 
𝑥𝑜𝑡𝑖𝑚𝑜 = arg min 𝑓(𝑥) 
Sujeito a: 
𝑀𝑎𝑟𝑔𝑒𝑚𝐷𝑒𝑆𝑒𝑔𝑢𝑟𝑎𝑛ç𝑎 (𝑥) > 0 
3.4.1 Função GA 
A função “ga” é uma função já contida dentro do Matlab que calcula o mínimo de 
uma função utilizando um algoritmo genético. Para isso, esta função precisa de receber 
como entrada um conjunto de variáveis e funções. 
Neste trabalho utilizou-se a função “ga” em que duas entradas eram funções, a 
função objetivo (função CalculaPeso), e a função de restrição (função 
MargemDeSeguranca), e quatro variáveis. As quatro variáveis, e seus respectivos valores 
foram: 
1) O número de variáveis utilizadas na função objetivo - 27 
2) Limite inferior das variáveis – Para todas as variáveis que representavam 
valores geométricos o limite inferior foi 3mm por razões construtivas 
3) Limite superior das variáveis – Para todas as variáveis que representavam 
valores geométricos o limite superior foi 20mm para não comprometer muito 
o formato aerodinâmico da asa 
4) Um índice que representa todas as variáveis que tem valores discretos – Foram 
especificadas todas as variáveis correspondentes aos números de camadas dos 
laminados 
 
37 
 
A figura 20 exibe parte do código desenvolvido que utiliza a função ga. 
Figura 20 Parte do código da função “ga” 
 
3.5 SIMULAÇÃO EM ELEMENTOS FINITOS 
O próximo passo após a determinação da geometria ótima é a simulação desse 
modelo em um programa de elementos finitos, a fim de verificar se a estrutura gerada é 
capaz de suportar as cargas as quais ela será submetida de forma confiável. 
Para poder simular esta estrutura, o primeiro passo é realizar o desenho dela, para 
isto utilizou-se os dados geométricos da longarina otimizada para desenhá-la no programa 
de CAD SolidWorks. É importante destacar que o desenho foi feito com todos os 
componentes da longarina sendo desenhados como elemento de superfície, uma vez que, 
este é o tipo de elemento aceito pelo software Femap/NX-Nastran para modelar elementos 
do tipo laminado. 
 Após o desenho foi feita a modelagem dessa estrutura no software Femap /NX-
Nastran. Neste capítulo será detalhado o passo a passo do que foi feito para realizar essa 
simulação com o objetivo de gerar a rastreabilidade dos resultados obtidos. Os resultados 
obtidos serão apresentados no capítulo 4. 
 O procedimento utilizado para realizar a simulação foi dividido em oito etapas 
sendo elas: 
38 
 
a) Importação da geometria 
Nesta etapa foi importada a geometria do SolidWorks para o Femap/ NX-Nastran, 
para isto a geometria criada no SolidWorks foi salva no formato parasolid, por este ser o 
formato recomendado pelo Femap/NX-Nastran. Para realizar a importação foi utilizado a 
sequência File,→ Import→ Geometry, sendo utilizado um fator de escala de 1000, uma 
vez que todas as dimensões e propriedades consideradas estão em milímetros. Na figura 
21 é possível ver o desenho da longarina importada. 
Figura 21 Desenho da longarina 
 
 
b) Definição dos materiais 
Conforme já mencionando os materiais utilizados são, os laminados de carbono 
com resina epóxi unidirecional e bidirecional. Estes materiais foram definidos como 
ortotrópicos 2D, uma vez que esta configuração representa de forma realística o 
39 
 
comportamento de uma lâmina. Os valores das propriedades foram preenchidos conforme 
os valores contidos na tabela 5. Na figura 22 é possível observar a janela de comando na 
qual são preenchidas as propriedades do material. 
Figura 22 Definição das propriedades dos materiais 
 
 
c) Definição dos layups 
Uma vez definido o material o próximo passo é definir os layups, que são os 
conjuntos de laminas que vão formar o laminado. Nesta etapa define-se as espessuras de 
cada lamina, e quantas laminas vão formar o laminado final. A figura 23 exibe a janela 
na qual é preenchido as propriedades para definir um layup. 
 
 
40 
 
 
 
 
 
 
Figura 23 Definição do layup 
 
 
Nesta etapa é possível verificar as orientações das laminas dentro do laminado 
bem como obter a sua matriz de rigidez. 
 
d) Definição dos elementos 
A próxima etapa depois de determinar os layups é definir as propriedades dos 
elementos que irão ser atribuídos aos componentes da longarina. Como os componentes 
da longarina serão laminados, foi escolhido a propriedade laminate do software. Para 
definir esta propriedade tem-se que atribuir o layup de cada elemento, a força de ligação 
interlaminar e o critério de falha. 
41 
 
Dessa forma criou-se três elementos, um para cada componente da asa (alma, 
mesa de tração e mesa de compressão) com os respectivos layups. A força de ligação 
interlaminar foi obtido com dados do fabricante da resina, e o critério de falha escolhido 
foi o de máxima deformação. 
Foi escolhido o critério de falha de máxima deformação por este não necessitar de 
variáveis adicionais que precisam de ser obtidas através de ensaios (critério de Tsai-wu), 
e por ser um critério bem consolidado dentro da indústria. 
Figura 24 Definição das propriedades 
 
 
e) Malha 
Após a definição das propriedades de cada um dos componentes da asa o próximo 
passo é definir a malha do modelo. O primeiro passo realizado para isto foi utilizar uma 
ferramenta disponível pelo software chamada mesh control. Com esta ferramenta é 
possível pré-configurar o número de nós que se quer obter em cada região. Definiu-se um 
número de 10 nós ao longo da largura das mesas, 30 ao longo da altura da alma e 1000 
elementos ao longo do comprimento, tanto das mesas como da alma. Na figura 25 é 
possível observar o modelo pos utilização do mesh control. 
42 
 
Figura 25 Modelo da longarina pós aplicação do mesh control 
 
A longarina com as quantidades de nós assim determinados ao longo dos seus 
componentes gera uma geometria que representa bem a realidade e que ao mesmo tempo 
não gera um modelo que demore muito tempo para processar a simulação. 
Após a utilização do mesh control foi gerada a malha do modelo, atribuindo a cada 
um dos componentes a sua respectiva propriedade. Para isto utilizou-se elementos de 
geometria quadrilateral, por esta geometria apresentar maior estabilidade numérica. O 
resultado do modelo após a geração da malha pode ser observado na figura 26. 
Figura 26 Modelo após a geração da malha 
 
 
O modelo final contou com 54368 elementos constituídos por 55802 nós. 
f) Orientação 
43 
 
Como se está trabalhando com materiais compostos que são anisotrópicos, em que 
as propriedades dependem de uma orientação de referência, que no caso é a orientação da 
fibra, é necessário definir a orientação principal dos materiais dentro do modelo. 
Para determinar a orientação dos elementos é preciso ir em Modify,→ Update 
Elements→ Material Orientation. Para o modelo em questão utilizou-se como referência 
coordenadas retangulares e determinou-se a direção de referência como sendo o eixo 
global X. 
g) Cargas 
O próximo passo realizado foi aplicar as cargas. As cargas já haviam sido 
calculadas conforme a metodologia exemplificada na seção 3.2, com os resultados 
demonstrados na tabela 4. 
Aplicar as cargas em 14 seções conforme feito na seção 3.2, demandaria um 
esforço manual muito grande dentro software. Dessa forma optou-se por diminuir o 
número de seções de 14 para 5, assimdiminui-se consideravelmente o trabalho manual 
sem comprometer a qualidade da simulação. A tabela 6 mostra o resultado do cálculo de 
cargas para apenas 5 seções. 
Tabela 6 Cargas para serem aplicadas na simulação 
Estação [mm] Cargas [N] 
100 76,73 
400 75,11 
800 71,19 
1100 59,16 
1300 34,69 
 
Uma vez obtidas as cargas, o próximo passo é aplica-las dentro do software de 
forma a tentar representar a realidade. Esta etapa pode ser quebrada em duas etapas. 
A primeira foi a aplicação das cargas, em cada uma das seções, em nós criados na 
região correspondente a 1 cm para frente do ¼ da corda. Esta região foi escolhida por 
estar relativamente próxima da região para onde as cargas foram calculadas (¼ da corda), 
mas que ao mesmo tempo não seja um nó da longarina, pois neste caso ocorreria uma 
concentração de tensão. As cargas nesses nós foram aplicadas como forças na direção 
44 
 
correspondente ao eixo global Z com os valores especificados pela tabela 6. Na figura 27 
é possível observar o modelo após esta etapa. 
 
 
Figura 27 Aplicação das cargas no modelo 
 
 
A segunda etapa foi distribuir as cargas aplicadas para a longarina. Para isto 
utilizou-se elementos de ligação do tipo RB3. Segundo o manual do software, elemento 
rígido é uma junção entre nós, havendo o nó de referência, e os nós dependentes desse nó 
de referência. Os movimentos dos nós dependentes, são governados pelos graus de 
liberdade atribuídos aos nós de referência. Dessa forma, atribuiu-se como nós de 
referência aqueles onde as cargas foram aplicadas, e estes nós foram ligados aos nós da 
sua vizinhança, para assim distribuir os esforços. 
Foi escolhido o elemento rígido RBE3, porque este elemento interpola o valor da 
força aplicada a vários nós sem inserir nenhuma rigidez na estrutura. A figura 28 mostra 
o resultado do modelo após a aplicação do elemento rígido RB3 para distribuir as cargas. 
45 
 
Figura 28 Modelo pos aplicação do elemento de ligação RB3 
 
h) Condição de contorno 
A uma última parte da criação do modelo foi a determinação da condição de 
contorno. Para isto considerou-se a aproximação que a longarina é engastada na sua raiz 
aplicando esta condição a todos os nós dessa região. 
Outra condição de contorno determinada foi a simetria da estrutura. Como 
somente metade da longarina foi desenhada, para assim diminuir o esforço 
computacional, é essencial que a outra metade seja representada no modelo. A Figura 29 
mostra o modelo com a aplicação das condições de contorno. 
Figura 29 Aplicação das condições de contorno no modelo 
 
 
Após a definição de todas as características do modelo realizou-se uma simulação 
estática, com o campo dos deslocamentos interpolados por uma função de forma bilinear, 
como um modelo linear para o material. 
46 
 
4. RESULTADOS 
Nesta seção serão apresentados os resultados que levaram à determinação da 
geometria ótima da longarina, bem como a análise dessa geometria através do método de 
elementos finitos 
4.1 RESULTADOS DA OTIMIZAÇÃO GENÉTICA 
Foi estabelecido como critério de parada da otimização genética uma variação do 
valor da função objetivo menor ou igual a 0,1%. Dessa forma o modelo demorou 153.73 
segundos para obter o resultado ótimo, em um computador com processador Intel(R) 
Core(TM) i7-5500U CPU @2.40GHz com 16 GB de memória. O resultado final das 27 
variáveis otimizadas pode ser observado no vetor X dado abaixo: 
𝑋 = [ 10,0 
3,0 
383,7 
0,6 
247,7 
2,3 
15,2 
3,0 
1163,4 
0,1 
281,2 
3 
1 
1 
1 
1 
47 
 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 ] 
Estas variáveis geraram uma geometria que tem o peso de 63,5g. A geometria 
original que foi utilizada pela equipe na competição de 2015 tinha um peso de 72,7g, 
Dessa forma a nova geometria representa uma redução de 12,6% do peso da geometria 
original. 
É importante analisar este resultado de forma a tornar mais claro o significado de 
cada variável. Dessa forma será feito um recorte dos diferentes subcomponentes da 
longarina (mesa de tração, mesa de compressão e alma). 
4.1.1.1 Resultado da mesa de tração 
As variáveis que determinam a forma em planta da mesa de tração são as seis 
primeiras, assim listadas: 
𝑋(1: 6) = [10 
3 
383,7 
0,6 
247,7 
48 
 
2,3] 
em que X(1) e X(2), que são 10 e 3 mm respectivamente, representam a largura na raiz e 
na ponta da mesa de tração. 
Por sua vez, X(3) X(4) representam as coordenadas x e y do ponto 3 da curva de 
Bezier, enquanto X(5) e X(6) representam as coordenadas do ponto 4. E assim como 
explicado na seção 3.3, estes pontos que determinam a forma da curva da longarina. A 
figura 30 mostra o desenho da forma em planta da mesa de tração, bem como a posição 
de todos os pontos que formam a geometria. 
Figura 30 Geometria da mesa de tração 
 
As variáveis correspondentes de X(13) a X(17) representam o número de camadas 
na mesa de tração. 
𝑋(13: 17) = [1 
1 
1 
1 
1] 
49 
 
Observa-se que o resultado obtido foi como sendo uma estrutura com uma camada 
em todas as estações. 
Analisando os resultados para a mesa de tração chega-se a duas conclusões 
principais em relação a este problema: 
1) É mais vantajoso aumentar a largura na raiz da mesa, do que aumentar o 
número de camadas, tendo em vista minimização do peso. 
2) A largura da mesa decaiu rapidamente ao longo da envergadura, visto que, 
com a diminuição da carga, uma largura de aproximadamente 3mm a partir de 
500 mm ao longo da envergadura, é suficiente para resistir ás tensões com a 
margem de segurança estabelecida. 
 
4.1.1.2 Resultado da mesa de compressão 
As variáveis que determinam a forma em planta da mesa de compressão são as 
correspondentes de X(7) a X(12), sendo elas: 
𝑋(7: 12) = [15.2 
3.0 
1163.4 
0.1 
281.2 
3.0] 
em que X(7) e X(8), que são 15.2 e 3mm respectivamente, representam a largura na raiz 
e na ponta da mesa de compressão. 
As variáveis X(9) X(10) representam as coordenadas x e y do ponto 3 da curva de 
Bezier, enquanto X(11) e X(12) representam as coordenadas do ponto 4. A figura 31 
mostra o desenho da forma em planta da mesa de compressão, bem como a posição de 
todos os pontos que formam a geometria. 
50 
 
Figura 31 Geometria da mesa de compressão 
 
As variáveis correspondentes de X(18) a X(22) representam o número de camadas 
na mesa de compressão. 
𝑋(18: 22) = [1 
1 
1 
1 
1] 
Observa-se que o resultado obtido foi uma estrutura com uma camada em todas 
as estações. 
Analisando os resultados para a mesa de compressão chega-se a praticamente as 
mesmas conclusões em relação a análise feita para a mesa de tração. Pois, mesmo com o 
material tendo uma resistência a compressão menor do que a sua resistência a tração, o 
otimizador percebeu que é preferível aumentar a espessura na raiz do que aumentar o 
número de camadas. 
Há duas importantes diferenças entre os resultados obtidos para a mesa de tração 
e compressão. A primeira é que a taxa de decaimento da largura para a mesa de 
51 
 
compressão é menor do que para a mesa de tração, o que já era esperado visto a menor 
resistência do material para esta condição. A segunda é que o ponto em que a largura se 
estabiliza em 3 mm é de aproximadamente 800 mm em comparação com os 500 mm da 
mesa de tração. 
 
4.1.1.3 Resultado da alma 
Como a altura da alma já é determinada em função da corda da asa, e das 
espessuras das mesas, as únicas variáveis a serem otimizadas da alma são as espessuras 
de cada uma das suas estações. Os resultados da otimizaçãodessa espessuras são dados 
pelas variáveis correspondentes de X(23) a X(27), sendo elas: 
𝑋(23: 27) = [1 
1 
1 
1 
1] 
Estes resultados indicam que somente uma camada é suficiente para resistir as 
tensões de cisalhamento a qual a alma é submetida. 
 
4.2 ANÁLISE DA GEOMETRIA ATRAVÉS DO MÉTODO DE ELEMENTOS 
FINITOS 
A figura 32 exibe a distribuição de tensão ao longo da região da asa com maior 
tensão. Para isso foi utilizada a tensão equivalente de Von Mises, sendo importante 
destacar que neste caso perde-se o sinal das tensões, em que para determinar se o elemento 
está sofrendo tração ou compressão é necessário observar as tensões principais 
.Assim como esperado esta região corresponde a raiz da mesa de tração. 
52 
 
Figura 32 Distribuição de tensão ao longo da longarina 
 
A figura mostra que a tensão máxima atuante é de 1237 Mpa, e que as tensões 
estão abaixo do limite do material, e abaixo do calculado analiticamente pelo programa. 
A hipótese para esta diferença está nas aproximações e simplificações para realizar este 
cálculo analiticamente. 
Por sua vez na figura 33 é possível observar o índice de falha de máxima 
deformação ao longo da região mais crítica da longarina, que é a região correspondente a 
mesa de compressão. Apesar dessa região estar sujeita a uma tensão menor a da mesa de 
tração, o fato da resistência do material a compressão ser menor, torna essa região mais 
crítica. 
53 
 
Figura 33 Distribuição do critério de falha ao longo da longarina 
 
 
Para não ocorra a falha da estrutura este o índice de falha deve estar abaixo de 1,0 
e como a região mais crítica tem um índice de falha de 0,94 observa-se que a estrutura 
atende os requisitos de segurança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
5. CONCLUSÃO 
Minimização de peso é um ponto chave no projeto de aeronaves, e este trabalho 
apresentou os procedimentos para realizar a otimização estrutural de uma longarina afim 
de minimizar o seu peso. 
Mais especificamente, este trabalho determinou uma geometria otimizada para a 
longarina utilizada na aeronave da equipe de AeroDesign da UFMG (Uai! Sô, Fly!!!) em 
2015. A geometria obtida apresentou uma redução de peso de 12,6% em relação a 
geometria original, atendendo aos requisitos de segurança especificados pelo regulamento 
CS-VLA. 
Um diferencial abordado no trabalho foi a utilização de curvas de Bezier para 
determinar a geometria plana das mesas da longarina. Essa abordagem permitiu obter uma 
geometria suave, que ao mesmo tempo prioriza o aumento da largura somente em regiões 
críticas, decaindo a largura rapidamente para regiões em que uma largura maior é 
desnecessária. 
Os procedimentos utilizados neste trabalho, tanto na parte da modelagem da 
geometria, como na otimização e análise, não se restringem apenas a projetos de 
aeronaves aerodesign, podendo ser aplicados em outros projetos de aeronaves leves. 
Um ponto de atenção que é importante ressaltar, é que o trabalhou não avaliou a 
estabilidade da estrutura, uma vez que este ponto fugia do escopo. Mas uma análise de 
estabilidade atrelada a este procedimento é uma sugestão de trabalho futuro. Outros 
trabalhos futuros que seriam interessantes seria a posterior construção e ensaio da 
estrutura. 
55 
 
 
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
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2001. 
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[s.n.], 2014. 
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1978. 
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[S.l.]: [s.n.]. 
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sintética. [S.l.]: [s.n.], 2016. 
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2015. 
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aerodesign. [S.l.]: [s.n.], 2015. 
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Aerodesign. [S.l.]: [s.n.]. 
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[s.n.], 2014. 
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