Extensivo Raciocinio Logico Quantitativo Prof. Marcelo

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ÍNDICE
Extensivo jan - raciocínio lógico quantitativo • ccpp
Módulo 1 – Progressão Aritmética – PA e Progressão Geométrica – PG ����������������������������������������������������5
Módulo 2 – Raciocínio Matemático �������������������������������������������������������������������������������������������������������� 17
Módulo 3 – Análise combinatória ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� 28
Módulo 4 – Probabilidade ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 47
Anotações
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01 Módu
lo
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Progressão Aritmética – PA e 
Progressão Geométrica – PG
1�1� Sequência
Sequência é o conjunto, de tamanho finito ou infinito, cujos elementos estão 
dispostos ordenadamente de tal forma que fica configurada uma sequência.
O interesse dos concursandos restringe-se às sequências, claro, cobradas em 
concursos. São elas as que possuem uma lei de formação, ou seja, existe uma fór-
mula para calcular o valor de qualquer um dos termos da sequência.
Para alguns casos, será o formulador da questão que define a lei de formação 
da sequência. Então, a partir de modelo ou de dicas, o candidato identifica a regra 
de formação e responde ao que lhe foi solicitado. Também existem as sequências 
numéricas com regramento conhecido, são as definidas por progressão aritmética 
e progressão geométrica.
1�2� Progressão Aritmética – PA
A progressão aritmética – PA é uma sequência numérica cuja razão (diferença 
entre os termos anterior e sucessor da PA, a partir do seu segundo termo) é cons-
tante.
Fórmula do termo geral da PA:
an = a1 + (n – 1) . r
Sendo:
 • an = termo de posição n qualquer
 • a1 = primeiro termo
 • r = razão
A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada pela seguinte fórmula:
S =
(a + a ) n
2n
1 n ⋅
1�3� Propriedades da PA
I. obtém-se um termo da PA a partir da média dos termos que imediatamente 
o antecede e o sucede;
II. a diferença entre dois termos consecutivos da PA é sempre igual a sua razão.
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Questão Resolvida
01� (ESAF/2013 – MF – Cargos de nível superior) 
A soma dos 100 primeiros termos da sequência (4, 7, 10, 13, 16,...) é igual a:
a) 15.270
b) 15.410
c) 15.320
d) 15.340
e) 15.250
Comentário: Para calcularmos a soma dos 100 primeiros termos da progressão arit-
mética, usamos a fórmula:
S =
(a + a ) n
2n
1 n ⋅
Sendo:
 – S = soma
 – a = termos da progressão aritmética
 – n = posição do termo na sequência (último termo da soma)
Para aplicar a fórmula, falta identificar o valor do centésimo termo da progres-
são. Começamos, então, pela fórmula do termo geral:
an = a1 + (n – 1) . r
a100 = 4 + (100 – 1) . 3
a100 = 4 + 99 .3
a100 = 4 + 297
a100 = 301
Retornando para a fórmula da soma, teremos:
S =
(a + a ) n
2n
1 n ⋅
S =
(4 + 301)
2
S =
(305)
2
100
100
⋅
⋅
100
100
S100 = 305 . 50 = 15.250
Resposta: A soma dos cem primeiros termos da sequência é igual a 15.250.
A alternativa “e” está correta.
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QUESTÕES DE CONCURSOS
02� (CESPE – Banco do Brasil – Escriturário)
O gráfico a seguir, que ilustra a previsão das reservas monetárias de alguns países, 
em 2008, deve ser considerado para o julgamento da questão.
 
É possível encontrar uma progressão aritmética decrescente, em que os 5 primeiros 
termos, a1, a2, a3, a4, a5 coincidam, respectivamente, com os valores das reservas 
da China, da Rússia, da Índia, da Coréia do Sul e do Brasil, constantes do gráfico.
( ) Certo ( ) Errado
03� (Funcab/2013 – PM-ES – Soldado)
O Batalhão de Polícia Militar Ambiental da PMES contava com um efetivo de 30 po-
liciais em 1987. Em 2012, contava com um efetivo de 180 policiais. Supondo linear a 
taxa de crescimento do efetivo de policiais no Batalhão de Polícia Militar Ambiental 
nos últimos 25 anos, e que a mesma taxa de crescimento permanecerá constante 
nos próximos cinco anos, o número total de policiais no Batalhão de Polícia Militar 
Ambiental, ao final desses cinco anos, será de:
a) 200
b) 210
c) 220
d) 230
e) 240
04� (MS Concursos/2013 – CBM-SC – Soldado 3ª Classe)
Seja a função do 1º grau f: R → R, tal que f transforma a Progressão Aritmética 3, 7, 
11, 15, 19, 23..., em outra Progressão Aritmética 5, 25, 45, 65, 85, 105... Qual é a lei 
de formação dessa função f?
a) f(x) = 2x – 15
b) f(x) = x + 2
c) f(x) = – x + 20
d) f(x) = 5x – 10
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05� (Vunesp/2013 – PC-SP – Perito Criminal)
O gráfico mostra 9 colunas numeradas no eixo horizontal, sendo que a altura de cada colu-
na é numericamente igual a 3(i-1)+5, em que representa o valor indicado no eixo horizon-
tal, em cada coluna. As alturas das colunas formam uma sequência a1, a2, ..., a9.
Essa sequência é uma progressão
a) aritmética de razão 3.
b) aritmética de razão 2.
c) geométrica de razão 5.
d) aritmética de razão 1.
e) geométrica de razão 9.
06. (Cesgranrio/2013 – BNDES – Técnico Administrativo)
Progressões aritméticas são sequências numéricas nas quais a diferença entre dois 
termos consecutivos é constante. A sequência (5, 8, 11, 14, 17, ..., 68, 71) é uma pro-
gressão aritmética finita que possui
a) 67 termos
b) 33 termos
c) 28 termos
d) 23 termos
e) 21 termos
07� (Funcab/2013 – PM-ES – Soldado)
Sendo a PA = (x; x + 2; 2x – 3), o valor de x é:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
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08� (Cesgranrio – Petrobras – Técnico de Administração e Controle Júnior) 
Em 15 partidas que certo time de futebol disputou em um campeonato, houve x 
empates, y derrotas e z vitórias. Se x, y e z formam, nessa ordem, uma progressão 
aritmética de razão 2, quantos jogos esse time venceu?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
09� (Cesgranrio/2012 - Transpetro - Técnico de Administração e Controle Júnior)
Parlamentares alemães visitam a Transpetro para conhecer logística de biocombus-
tível.
“o presidente Sergio Machado mostrou o quanto o Sistema Petrobras está cres-
cendo. Com a descoberta do pré-sal, o Brasil se transformará, em 2020, no quarto 
maior produtor de petróleo do mundo. ‘Em 2003, a Petrobras produzia cerca de 1,5 
milhão de barris. Atualmente (2011), são 2,5 milhões. A perspectiva é de que esse 
número aumente ainda mais’.”
Disponível em: <http://www.transpetro.com.br>. Acesso em: 07 abr. 2012. Adaptado.
Suponha que o aumento na produção anual de barris tenha sido linear, formando 
uma progressão aritmética.
Se o mesmo padrão for mantido por mais alguns anos, qual será, em milhões de 
barris, a produção da Petrobras em 2013?
a) 2,625
b) 2,750
c) 2,950
d) 3,000
e) 3,125
1�4� Progressão Geométrica – PG
A progressão geométrica – PG é uma sequência numérica cuja razão (quociente 
entre os termos anterior e sucessor da PG, a partir do segundo termo) é constante.
Fórmula do termo geral da PG:
an = a1 . q
n–1
Sendo:
 – an = termo de posição n qualquer
 –a1 = primeiro termo
 – q = razão
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Soma dos n primeiros termos da PG:
S =
a )
q 1n
1 ⋅ −
−
(qn 1
Soma dos infinitos termos da PG:
S =
a
q
1
∞
−1
Observação: é condição necessária para a soma dos infinitos termos de uma PG que 
a razão esteja no intervalo entre um negativo e um, ou seja, –1 < q < 1.
Questão Resolvida
10� (ESAF/2013 – MF – Cargos de nível superior) 
Em uma progressão geométrica, tem-se a1 = 2 e a5 = 162. Então, a soma dos três 
primeiros termos dessa progressão geométrica é igual a:
a) 26
b) 22
c) 30
d) 28
e) 20
Comentário: Fórmula para a soma dos termos da progressão geométrica:
S = a
q 1n 1
qn −
−
1
E, para o termo geral, adotamos a fórmula:
an = a1 . q
n–1
Sendo:
 – S = soma
 – a = valor do termo
 – q = razão
 – n = posição do termo da progressão
Começamos pelo termo geral para definir qual a razão da progressão apresentada:
an = a1 . q
n – 1
a5 = a1 .q
5 – 1
162 = 2 . q4
q4 = 162/2
q = 814
 q = 3
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Conhecendo o valor da razão, podemos inserir na fórmula da soma dos três primei-
ros termos da progressão geométrica:
S = a
q 1
S = a
q 1
S = 2
3 1
S = 2
1
S = 2
n 1
3 1
3
3
3
q
q
n
−
−
−
−
⋅
−
−
⋅
−
−
⋅
1
1
3 1
27 1
3
26
2
3
3
S3 = 26
Alternativamente, poderíamos montar a sequência já que dispomos do valor do 
primeiro termo e da razão. Para isso, basta multiplicar cada termo por três para 
definir o termo seguinte:
PG = {2, 6, 18, 54, 162, 486, ...}
Soma = 2 + 6 + 18 = 26
Resposta: A soma dos três primeiros termos da progressão geométrica é igual a 26.
A alternativa “a” está correta.
1�5� Concomitância da PA e PG
A progressão aritmética será também uma progressão geométrica quando 
seus termos forem iguais. Nesse caso, a PA tem razão igual a zero e a PG tem razão 
igual a um.
Exemplo:
Sequência = {7, 7, 7, 7, 7, ...}
Trata-se de uma PA com razão = 0
Trata-se de uma PG com razão = 1
1�6� Propriedades da PG
I� O produto dos termos equidistantes em relação ao centro de uma PG é constante:
PG = {a, e, i, o, u}
a . u = e . o = i . i
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II� O quadrado de um termo é igual ao produto de seu antecedente pelo seu conse-
quente:
PG = {a, e, i, o, u}
e2 = a . i
i2 = e . o
o2 = i . u
Questão Resolvida
11� (ESAF/2012 – RFB – Auditor-Fiscal da Receita Federal)
Uma sequência de números k1, k2, k3, k4,.... , kn é denominada Progressão Geomé-
trica — PG — de n termos quando, a partir do segundo termo, cada termo dividido 
pelo imediatamente anterior for igual a uma constante r denominada razão. Sabe-se 
que, adicionando uma constante x a cada um dos termos da sequência (p – 2); p; e 
(p + 3) ter-se-á uma PG. Desse modo, o valor de x, da razão e da soma dos termos da 
PG são, respectivamente, iguais a
a) (6 – p); 2/3; 21.
b) (p + 6); 3/2; 19.
c) 6; (6 – p); 21.
d) (6 – p); 3/2; 19.
e) (p – 6); p; 20.
Comentário: Para o cálculo da razão r, conforme definido na questão, faz-se a divisão 
de qualquer termo pelo seu antecessor. Basta esse fundamento para a resolução da 
questão.
A sequência dada é {(p – 2); p; (p + 3)} e o enunciado afirma que, a cada um desses 
números, é acrescentada a constante x. A sequência ajustada fica:
PG = {(p – 2) + x; p + x; (p + 3) + x}
Com a adição da constante x, está formada a progressão geométrica e, sendo uma 
PG, a razão entre o segundo e o primeiro termos é igual à razão entre o terceiro e o 
segundo termo:
p x
p x
p x
p x
+
− +
=
+ +
+2
3
(p + x)2 = (p - 2 + x) (p + 3 + x)
(p + x)2 = ((p + x) – 2) ((p + x) + 3)
(p + x)2 = (p + x)2 + 3(p + x) – 2(p + x) – 6
(p + x)2 – (p + x)2 – 3(p + x) + 2(p + x) = – 6
– 3(p + x) + 2(p + x) = – 6
– (p + x) = –6
(p + x) = 6
x = 6 – p
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O valor da constante x é igual a “6 – p”. As alternativas que interessam são “a” e “d”. 
Seguimos com o segundo questionamento: o valor da razão, ou seja, a divisão de 
um termo pelo que o antecede:
r
p x
p x
=
+ +
+
3
Organizando a razão:
r
p x
p x
=
+ +
+
( ) 3
Observem que tanto no numerador quanto no denominador existe a expressão “p + x”. 
Vimos a mesma expressão quando achamos o valor da constante x: “x = 6 – p” ou 
“p + x = 6”. Então, vamos usar o valor 6 no lugar de “p + x”:
r =
+
= =
6 3
6
9
6
3
2
A questão está respondida, a alternativa “d” é a correta. Mas seguimos com a soma 
dos termos da PG:
PG = {(p – 2) + x; p + x; (p + 3) + x}
Essa é a progressão já com o acréscimo da constante x. Vamos organizar sua apre-
sentação para facilitar o trabalho de resolução:
PG = {(p + x) – 2; p + x; (p + x) + 3}
Sabemos que “x + p = 6”, substituindo:
PG = {6 – 2; 6; 6 + 3}
PG = {4; 6; 9}
Existe a fórmula para achar a soma dos primeiros n termos da PG, mas, por se tratar 
de uma questão simples, faremos o somatório sem a sua utilização.
Soma = 4 + 6 + 9
Soma = 19
Resposta: O valor de x é igual a “6 – p”, a razão equivale a 3/2 e o valor da soma dos 
termos da PG é igual a 19.
A alternativa “d” está correta.
EXERCÍCIOS
12. (UFMT/2012 – TJ-MT – Oficial de Justiça) 
A figura a seguir apresenta o resultado de uma pesquisa sobre o crescimento do 
número de baleias da espécie jubarte no litoral brasileiro depois da proibição da 
caça de baleias e golfinhos no país.
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Se o número de jubartes em 1987, em 2002, em 2008 e em 2012 formassem, nessa 
ordem, uma progressão geométrica de razão 2 tendo como primeiro termo o número 
de jubartes registrado na pesquisa em 1987, pode-se afirmar que, em 2012,
a) haveria o mesmo número de jubartes que o registrado na pesquisa.
b) existiriam 2.500 jubartes a menos que o registrado na pesquisa.
c) haveria o dobro do número de jubartes que o registrado na pesquisa.
d) existiriam 4.500 jubartes a mais que o registrado na pesquisa.
13. (Cops-Uel/2013 – AFPR – Assistente Administrativo)
A população de uma cidade aumenta a uma taxa de 2% a cada 5 anos. Deseja-se esti-
mar a população no ano de 2030, sabendo que em 2010 a população era de 100.000 
habitantes. Com relação a esse contexto, considere as afirmativas a seguir.
I� A solução desse problema forma uma PG, no qual a1 = 100.000
II� a2 = 100.000 + 0,02 × 100.000 = 100.000 (1 + 0,02) = 1,02 × 100.000
III. Em 2030, a população será o quinto termo de uma PG, dado por:
 a5 = (1, 02)4 × 100.000 = 108.243
IV� O número de habitantes a cada 5 anos é dado por uma PG de razão q = 0,02
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas I e II são corretas.
b) Somente as afirmativas I e IV são corretas.
c) Somente as afirmativas III e IV são corretas.
d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas.
e) Somente as afirmativas II, III e IV são corretas.
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14� (FAFIPA/2013 – PM-PR – Soldado da Polícia Militar)
Em uma progressão aritmética (P.A.) crescente de dezesseis termos positivos, x é o 
primeiro termo, y é o quarto termo e z é o último termo. Sabe-se que x, y e z for-
mam, nessa ordem, uma progressão geométrica cuja soma é 42 e x.z = 64. Nessas 
condições, é correto afirmar que o décimo termo da P.A. é:
a) um múltiplo de 8.
b) um quadrado perfeito.
c) igual à diferença entre dois termos da P.A.
d) igual à média aritmética dos extremos da P.A.
e) maior do que a soma dos quatro primeiros termos da P.A.
15� (Fundatec/2014 – Sefaz-RS – Técnico Tributário da Receita Estadual) 
Em uma Progressão Geométrica crescente, a7 + a5 = 26.112 e a4 + a2 = 408. Sendo 
assim, o 6º termo dessa Progressão Geométrica é:
a) 2.056.
b) 6.144.
c) 13.056.
d) 14.112.
e) 24.576.
1�7� Resumo Esquematizado
Progressão Aritmética – PA
Fórmula do termo geral da PA:
an = a1 + (n – 1) . r
A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada pela seguinte fórmula:
S =
(a + a ) n
2n
1 n ⋅
Propriedades da PA
 I� obtém-se um termo da PA a partir da média dos termos que imediatamente o 
antecedem e o sucedem;
 II. a diferença entre dois termos consecutivos da PA é sempre igual a sua razão.
Progressão Geométrica – PG
Fórmula do termo geral da PG:
an = a1 . q
n – 1
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Soma dos n primeiros termos da PG:
S =
a )
q 1n
1 ⋅ −
−
(qn 1
Soma dos infinitos termos da PG:
S =
a
q
1
∞
−1
Observação: é condição necessária para a soma dos infinitos termos de uma PG que 
a razão esteja no intervalo entre zero e um, ou seja, 0 < q < 1.
Propriedades da PG
 • O produto dos termos equidistantes em relação ao centro de uma PG é constante:
PG = {a, e, i, o, u}
a . u = e . o = i . i
 • O quadrado de um termo é igual ao produto de seu antecedente pelo seu 
consequente:
PG = {a, e, i, o, u}
e2 = a . i
Gabarito do Módulo 1
01 - E
02 - Errado
03 - B
04 - D
05 - A
06 - D
07 - A
08 - C
09 - B
10 - A
11 - D
12 - D
13 - D
14 - C
15 - B
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M
ó
d
u
lo
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Raciocínio Matemático02
2�1� Operações Numéricas
Questão de Concurso
01� (FCC/2014 – TRF 4ª Região – Analista Judiciário) 
Em um voo com 117 viajantes, todos nascidos no Brasil, 35 viajantes eram homens 
nascidos em algum estado da região sul do país e 38 viajantes eram mulheres não 
nascidas em estados da região sul do Brasil. Sabe-se ainda que o número de viajan-
tes homens não nascidos em estados da região sul do Brasil é o triplo do número de 
viajantes mulheres nascidas em algum estado da região sul do Brasil. Sendo assim, 
o número de viajantes desse voo não nascidos em estados da região sul do Brasil 
era de
a) 73.
b) 71.
c) 68.
d) 44.
e) 76.
2�2� Equações
Questão de Concurso
02� (FCC/2014 – TRF 3ª Região – Analista Judiciário) 
Um cofrinho possui apenas moedas de 25 centavos e moedas de 1 real, em um total 
de 50 moedas. Sabe-se que a diferença entre o total de moedas de 25 centavos e de 
1 real do cofrinho, nessa ordem, é igual a 24 moedas. O total de moedas de maior 
valor monetário em relação ao total de moedas de menor valor monetário nesse 
cofrinho corresponde, em %, a, aproximadamente,
a) 44.
b) 35.
c) 42.
d) 28.
e) 32.
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2�3� Divisibilidade
Um número é divisível por outro quando o quociente é um número inteiro, ou seja, 
o resto da divisão é igual a zero (não existe resto). Para alguns números, há regras 
que possibilitam certificar se a divisão será exata sem a realização do cálculo. São as 
regras de divisibilidade.
Divisíveis 
por: Regra:
3 Quando o somatório dos algarismos for divisível por 3.
4 Quando os dois últimos algarismos formarem um número divisível por 4. Ou números terminados em 00.
6 Divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
8 Quando os três últimos algarismos formarem um número divisível por 8. Ou númreos terminados em 000.
9 Quando o somatório dos algarismos for divisível por 9.
12 Divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo.
Questões Resolvidas
03� (FCC/2012 – SP – Auditor-Fiscal Tributário Municipal) 
Considere a multiplicação abaixo, em que letras iguais representam o mesmo dígito 
e o resultado é um número de 5 algarismos.
R A M O S
X 9
S O M A R
A soma (S + O + M + A + R) é igual a
a) 33.
b) 31.
c) 29.
d) 27.
e) 25.
Comentário: Claro que, com algumas tentativas e um pouco de paciência, essa é uma 
questão possível de ser resolvida pensando simplesmente na operação de multiplicação. 
Entretanto, o examinador quer saber se o concursando conhece as regras de divisibilidade.
A operação inversa da multiplicação é a divisão. Nesse caso, temos:
SOMAR / 9 = RAMOS
Para essa divisão, o resultado é exato, sem resto. Estamos diante de um número, 
SOMAR, que é divisível por 9.
Para saber se um número é divisível por 9, basta fazer a operação de adição de cada 
algarismo que compõe esse número e verificar se o total é divisível por 9.
Considerando que o resultado da operação S+O+M+A+R, exatamente o que pede a ques-
tão, é igual à regra de divisibilidade por 9, não é necessário saber o valor que representa 
cada uma das letras. Basta identificar a alternativa que traz um múltiplo de nove.
A única alternativa que atende a regra da divisibilidade por nove é a que nos oferece a 
resposta 27. Nas demais alternativas, 33, 31, 29 e 25, nenhum número é divisível por nove.
Resposta: A soma (S+O+M+A+R) é igual a 27.
A alternativa “d” está correta.
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2�4� Razão e Proporção
A razão é uma fração que possibilita a comparação de duas grandezas na mes-
ma unidade de medida de forma que o resultado vai apontar o quanto que a pri-
meira representa em relação à segunda grandeza. Conceitualmente, a partir de dois 
números dados, a e b, sendo b diferente de zero, a razão entre eles será o quociente 
do primeiro pelo segundo.
Quando comparadas duas razões, chamaremos de proporção a igualdade entre 
elas.
a
b
c
d
=
A razão a e b e a razão c e d são proporcionais e isso também se confirma pela 
propriedade fundamental da proporção: o produto dos meios (b e c) é igual ao pro-
duto dos extremos (a e d).
 a / b = c / d
meios
extremos
b . c = a . d
Mantida a igualdade, dizemos que as razões a
b
e
c
d
 são proporcionais, são equi-
valentes.
Questão Resolvida
04� (ESAF/2013 – MF – Cargos de nível superior) 
Em uma secretaria do Ministério da Fazenda, trabalham 63 pessoas. A razão entre 
o número de homens e o número de mulheres é igual 4/5. A diferença entre o nú-
mero de mulheres e o número de homens que trabalham nessa secretaria é igual a:
a) 8 b) 7 c) 6 d) 9 e) 5
Comentário: De acordo com a questão, a razão entre homens e mulheres é 4/5. 
Isso significa que, para cada grupo de 9 servidores, 4 são homens e 5 são mulheres.
Observe que 63 é múltiplo de 9; logo, é possível formar 7 grupos de 9 pessoas. 
Dessa forma, podemos multiplicar a razão por 7 (numerador e denominador) para 
chegar às quantidades de homens e mulheres:Razão: 4
5
28
35
=
Razão equivalente: 4 7
5 7
28
35
x
x
=
As duas frações são proporcionais e, para confirmar, a soma do numerador e deno-
minador é igual a 63. Finalmente, a diferença entre homens e mulheres que traba-
lham na secretaria, questionamento a ser respondido, será igual a:
Diferença = total de mulheres - total de homens
D = 35 – 28 = 7
Resposta: A diferença entre o número de mulheres e de homens é igual a 7.
A alternativa “b” está correta.
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Anotações
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Professor Marcelo Sbicca
05� (ESAF/2010 – MTE – Auditor-Fiscal do Trabalho) 
Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em cursos da área de ciências hu-
manas e os outros 44% estudam em cursos da área de ciências exatas, que incluem 
matemática e física. Dado que 5% dos alunos da universidade estudam matemática e 
6% dos alunos da universidade estudam física e que não é possível estudar em mais 
de um curso na universidade, qual a proporção dos alunos que estudam matemática 
ou física entre os alunos que estudam em cursos de ciências exatas?
a) 20,00%.
b) 21,67%.
c) 25,00%.
d) 11,00%. 
e) 33,33%.
Comentário: Foram dadas na questão as participações em percentuais dos alunos 
nos cursos de uma universidade:
 – 56% = ciências humanas
 – 44% = ciências exatas (matemática e física)
 – 5% = matemática
 – 6% = física
Não é possível estudar em mais de um curso
Pede-se a proporção dos alunos que estudam matemática ou física dentre os alunos 
de exatas.
A proporção pedida é representada, em percentual, pela quantidade de alunos de 
matemática e física somados em relação ao total de alunos de exatas. Apesar de não 
termos a informação em números absolutos, os números relativos (percentual) po-
dem substituí-los perfeitamente:
Proporção
P
P
=
=
+
=
+
=
Matemática ou física
exatas
5 6
44
5 6
44
11
44
% %
%
P = 0,25 = 25%
Resposta: A proporção de alunos que cursam matemática ou física em relação aos 
alunos de exatas é de 25%.
A alternativa “c” está correta.
2�5� Regra de Três
A regra de três é o nome dado ao processo em que grandezas proporcionais 
são relacionadas. É largamente utilizada em questões de provas e em situações co-
tidianas. O seu desenvolvimento consiste em definir um valor a partir de outros três 
conhecidos, mantida a mesma proporção.
Os valores são dispostos ordenadamente em linhas e colunas e segue-se com a 
identificação de grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcio-
nais para finalizar com o cálculo (multiplicação cruzada).
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Anotações
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Professor Marcelo Sbicca
Caso, no desenvolvimento do processo, sejam identificadas grandezas inver-
samente proporcionais (quando o valor de uma grandeza aumenta, a outra reduz), 
faz-se a inversão das posições.
Exemplo:
Uma equipe com 30 operários constrói uma caldeira em 30 dias. Com mais 90 
operários igualmente produtivos e desempenho igual ao dos operários da equipe 
inicial, a caldeira será concluída em quanto tempo?
Primeiro: organizar em linhas e colunas:
 
Operários Tempo (dias)
30 30
120 x
Segundo: analisar se as grandezas têm proporção direta ou inversa:
Observe que o aumento da quantidade de uma das grandezas possibilita a re-
dução da outra. Se a quantidade de operários é maior, o tempo para finalizar a 
construção do equipamento será menor. Nesse caso, uma das grandezas deve ter 
seus valores em posições invertidas. Faremos a inversão dos valores da grandeza 
“operários”:
Operários Tempo (dias)
120 30
30 x
Terceiro: multiplicação cruzada:
120x = 30 . 30
x = 900 / 120
x = 7,5 dias.
A caldeira será construída em sete dias e meio quando aumentar a quantidade 
de operários para 120.
Questão Resolvida
06� (ESAF/2012 – RFB – Auditor-Fiscal da Receita Federal) 
A taxa cobrada por uma empresa de logística para entregar uma encomenda até 
determinado lugar é proporcional à raiz quadrada do peso da encomenda. Ana, que 
utiliza, em muito, os serviços dessa empresa, pagou para enviar uma encomenda de 
25 kg uma taxa de R$ 54,00. Desse modo, se Ana enviar a mesma encomenda de 25 
kg dividida em dois pacotes de 16 kg e 9 kg, ela pagará o valor total de
a) 54,32
b) 54,86
c) 76,40
d) 54.
e) 75,60
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Anotações
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Comentário: A proporcionalidade à que se refere a questão é medida entre a raiz 
quadrada do peso e a taxa a ser cobrada pelo frete. O peso de 25 kg da encomenda 
já precificado serve de referência para determinar o valor do frete:
Frete 25 = 54,00
Frete 5 = 54,00
Com base na proporção acima, calcularemos o valor dos fretes (regra de três) para a 
encomenda dividida em dois pacotes, um de 16 kg e outro de 9 kg.
Da mesma forma que trabalhamos com a raiz quadrada de 25 para a encomenda de 
25 quilos, extraímos as raízes para as encomendas com 16 e 9 quilos:
16 4
9 3
=
=
Padronizadas as grandezas, aplica-se a regra de três para a encomenda de 16 Kg:
 5  54,00
 4  x
Cálculo, multiplicação cruzada:
5x = 4 .54,00
x = 43,20
Encomenda de 9 Kg:
 5  54,00
 3  x
Cálculo, multiplicação cruzada:
5x = 3 .54,00
x = 32,40
Resposta: Para a entrega dividida em dois pacotes, as taxas a serem cobradas para os 
pacotes de 16 Kg e 9 kg serão de valores iguais a R$ 43,20 e R$ 32,40, respectivamen-
te. O total do frete será igual a R$ 75,60.
A alternativa “e” está correta.
2�6� Regra de Três Composta
A regra de três é o mecanismo utilizado para descobrir o valor de uma grandeza 
a partir do valor de outras grandezas conhecidas, conforme explicado no item ante-
rior. Diz-se composta quando envolve três ou mais grandezas.
As grandezas, como no caso da regra de três simples, podem manter relação 
de proporcionalidade direta ou inversa e a resolução deve acompanhar a sequência:
1� Ordenar as grandezas em linhas e colunas.
2� Comparar cada grandeza com aquela que tem o termo desconhecido e identificar 
se a relação é direta ou inversamente proporcional.
3� Alterar a posição das grandezas identificadas como inversamente proporcional.
4� Isolar a coluna com o termo desconhecido e fazer o produto das demais grandezas.
5� Resolver como uma regra de três simples.
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Questão Resolvida
07� (ESAF/2012 – RFB – Analista Tributário) 
Para construir 120 m2 de um muro em 2 dias, são necessários 6 pedreiros. Traba-
lhando no mesmo ritmo, o número de pedreiros necessários para construir 210 m2 
desse mesmo muro em 3 dias é igual a
a) 2. b) 4. c) 3. d) 5. e) 7.
Comentário: Trata-se de regra de três composta que envolve três grandezas. Man-
tada a estrutura de linhas e colunas, temos:
 
m2 dias pedreiros
120 2 6
210 3 x
Vamos comparar cada grandeza em relação ao número de pedreiros (grandeza que 
contém a variável x).
Inicialmente, comparamos a quantidade de pedreiros com metros quadrados de 
muro. Observe que, se aumentamos a quantidade de pedreiros, mantida a mesma 
produtividade individual, a área construída também aumentará. Portanto, a relação 
é direta:
m2 dias pedreiros
120  2 6 210 3 x
Quanto aos dias trabalhados, observe que, se ocorre o aumento no número de pe-
dreiros, o tempo para finalizar a construção é menor,reduzem-se os dias (a analise 
é apenas dessas duas grandezas); logo, a relação é inversa:
m2 dias pedreiros
120  2  6 210 3 x
Alternamos as posições da coluna que está na relação inversa (seta para baixo) e 
montamos a regra de três composta (coluna com a incógnita fica isolada e efetiva o 
produto das demais):
120 . 3  6
210 . 2  x
A resolução passa a ser como uma regra de três simples, multiplicação em cruz:
x . (120 . 3) = 6 . (210 . 2)
360x = 6 . 420
x = 6 . 420 / 360
x = 2520 / 360
x = 7
Resposta: Serão necessários 7 pedreiros para construir o muro de 210 m2 em 3 dias.
A alternativa “e” está correta.
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2�7� Média
A média é uma medida de tendência central que consiste na divisão do somató-
rio dos valores dos elementos considerados pela quantidade de elementos.
Questão de Concurso
08. (FGV/2014 – TJ-RJ – Técnico de Atividade Judiciária) 
A tabela a seguir mostra, em ordem crescente, os números de processos pendentes 
de julgamento, em 30 de setembro de 2014, nas oito Câmaras Criminais do Estado do 
Rio de Janeiro (não identificadas na tabela).
366 421 569 1030 1088 1139 1640 1853
Seja M a média do número de processos pendentes de julgamento em 30 de setem-
bro de 2014.
O número de Câmeras Criminais com número de processos pendentes de julgamento 
maiores do que M é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
2�8� Resultado Certo
Questão de Concurso
09� (FCC/2014 – TRT 16ª Região – Analista Judiciário) 
Uma urna contém 14 bolas vermelhas, 15 pretas, 5 azuis e 11 verdes. Retirando-se ao 
acaso uma bola por vez dessa urna, o número mínimo de retiradas para se ter certeza 
que uma bola azul esteja entre as que foram retiradas é
a) 6
b) 20
c) 1
d) 41
e) 40
EXERCÍCIOS
10� (FCC/2014 – TRT 16ª Região – Analista Judiciário) 
Em uma floresta com 1002 árvores, cada árvore tem de 900 a 1900 folhas. De acordo 
apenas com essa informação, é correto afirmar que, necessariamente,
a) ao menos duas árvores dessa floresta têm o mesmo número de folhas.
b) apenas duas árvores dessa floresta têm o mesmo número de folhas.
c) a diferença de folhas entre duas árvores dessa floresta não pode ser maior do 
que 900.
d) não há árvores com o mesmo número de folhas nessa floresta.
e) a média de folhas por árvore nessa floresta é de 1400.
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11. (FCC/2014 – AL-PE – Analista Legislativo) 
João, Pedro e Luís têm x, y e z reais, ainda que não necessariamente nessa ordem. 
Em uma conversa entre essas três pessoas, João disse a quem tem y reais que o 
outro tem x reais. Luís disse a quem tem x reais que nenhum dos três tem totais 
iguais de reais. Se todos dizem a verdade, e Pedro é o que tem menos reais, então, 
necessariamente será positivo o resultado da conta
a) z – y.
b) x – y – z.
c) x + y – z.
d) z – x.
e) x – y.
12� (FCC/2014 – TRT 2ª Região – Técnico Judiciário) 
Um jogo de vôlei entre duas equipes é ganho por aquela que primeiro vencer três 
sets, podendo o placar terminar em 3 a 0, 3 a 1 ou 3 a 2. Cada set é ganho pela 
equipe que atingir 25 pontos, com uma diferença mínima de dois pontos a seu 
favor. Em caso de igualdade 24 a 24, o jogo continua até haver uma diferença de 
dois pontos (26 a 24, 27 a 25, e assim por diante). Em caso de igualdade de sets 2 
a 2, o quinto e decisivo set é jogado até os 15 pontos, também devendo haver uma 
diferença mínima de dois pontos. Dessa forma, uma equipe pode perder um jogo 
de vôlei mesmo fazendo mais pontos do que a equipe adversária, considerando-se 
a soma dos pontos de todos os sets da partida. O número total de pontos da equipe 
derrotada pode superar o da equipe vencedora, em até
a) 47 pontos.
b) 44 pontos.
c) 50 pontos.
d) 19 pontos.
e) 25 pontos.
13� (FCC/2014 – TRT 2ª Região – Técnico Judiciário) 
Amanda utiliza pequenas caixas retangulares, de dimensões 20 cm por 20 cm por 4 
cm, para embalar as trufas de chocolate que fabrica em sua casa. As trufas são re-
dondas, tendo a forma de bolas (esferas) de 4 cm de diâmetro. Considerando que as 
caixas devem ser tampadas, a máxima quantidade de trufas que pode ser colocada 
em uma caixa desse tipo é igual a
a) 12.
b) 32.
c) 25.
d) 20.
e) 16.
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14� (FCC/2014 – TRT 2ª Região – Analista Judiciário) 
Uma costureira precisa cortar retalhos retangulares de 15 cm por 9 cm para decorar 
uma bandeira. Para isso, ela dispõe de uma peça de tecido, também retangular, de 
55 cm por 20 cm. Considerando que um retalho não poderá ser feito costurando dois 
pedaços menores, o número máximo de retalhos que ela poderá obter com essa 
peça é igual a
a) 7
b) 10
c) 8
d) 9
e) 6
15� (FCC/2014 – TRT 2ª Região – Analista Judiciário) 
O número A é composto por 2000 algarismos, todos eles iguais a 1, e o número B é 
composto por 1000 algarismos, todos eles iguais a 3. Se o número C é igual à soma 
dos números A e B, então a soma de todos os algarismos que compõem C é igual a
a) 5000.
b) 4444.
c) 4000.
d) 3333.
e) 3000.
16� (FCC/2014 – TRT 2ª Região – Analista Judiciário) 
No próximo ano, uma enfermeira deverá estar de plantão em 210 dos 365 dias do 
ano. No hospital em que ela trabalha, só se permite que uma enfermeira fique de 
plantão por, no máximo, 3 dias consecutivos. Nessas condições, combinando ade-
quadamente os dias de plantão e de folga, o número máximo de dias consecutivos 
que ela poderá tirar de folga nesse ano é igual a
a) 78.
b) 85.
c) 87.
d) 90.
e) 155.
17� (FCC/2014 – TRF 4ª Região – Analista Judiciário) 
Um corredor possui cem armários vazios, fechados e numerados de 1 a 100. Pas-
sando por esse corredor, Luiz abriu apenas as portas dos armários de numeração 
múltiplo de 2. Em seguida, Álvaro passou pelo corredor e fechou apenas as portas 
dos armários de numeração múltiplo de 3 que estavam abertos. Por fim, Lígia passou 
pelo corredor e colocou livros apenas nos armários abertos e de numeração múltiplo 
de 5. Ao final das operações realizadas por Luiz, Álvaro e Lígia, dos cem armários, 
permaneceram vazios
a) 93%.
b) 96%.
c) 95%.
d) 4%.
e) 6%.
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18� (FCC/2014 – Sefaz-PE – Auditor Fiscal do Tesouro Estadual) 
Um novo edifício será construído para abrigar a sede de uma secretaria estadual. 
Um dos responsáveis pela obra planejou que, na fase de terraplenagem do terreno, 
serão necessários 10 caminhões basculantes, de mesma capacidade, para transpor-
tar a terra retirada do local, cada um deles fazendo 22 viagens. Entretanto, durante 
a execução da obra, ele só conseguiu 4 desses caminhões, além de 3 caminhões 
pequenos, com metade da capacidade dos basculantes. De acordo com o plane-
jamento inicial e considerando que os 7 caminhões disponíveis façam o mesmo 
número de viagens, cada caminhão deverá fazer, nas novas condições, um total de
a) 33 viagens.
b) 31 viagens.
c) 44 viagens.
d) 40 viagens.
e) 36 viagens.
19. (FGV/2014 – TJ-RJ – Técnico Atividade Judiciária) 
Mario fez uma viagem de ônibus que durou três horas e meia. Assim que o ônibus 
partiu, Mario dormiu. Quando acordou, dois quintos do tempo da viagem haviam 
passado. O tempo que Mario passou dormindo nessa viagemfoi de:
a) 1h 10min;
b) 1h 24min;
c) 1h 32min;
d) 1h 48min;
e) 2h 12min.
20� (IBFC/2014 – PC-SE – Agente Polícia Judiciária) 
Márcio tinha o total de R$ 252,00 e gastou um quarto do complemento de dois 
terços desse valor. A quantia que restou para Márcio foi de:
a) R$ 191,00
b) R$ 231,00
c) R$ 218,00
d) R$ 223,00
01 - B
02 - B
03 - D
04 - B
05 - C
06 - E
07 - E
08 - D
09 - D
10 - A
11 - D
12 - B
13 - C
14 - A
15 - A
16 - C
17 - A
18 - D
19 - B
20 - B
Gabarito do Módulo 2
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M
ó
d
u
lo
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Análise Combinatória03
A análise combinatória, assunto comum à matemática e raciocínio lógico, é o 
estudo das possibilidades de combinar elementos em conjuntos. Pode ser resumida 
em três tipos principais de agrupamentos cobrados em provas de concursos: per-
mutação, arranjo e combinação.
Imagine quatro candidatos igualmente capacitados para duas vagas (primeiro 
e segundo colocado) disputadas em determinada prova. Assim ficaria uma repre-
sentação por meio da árvore de possibilidades:
1ª vaga 2ª vaga Resultado
B (A, B)
Candidato A C (A, C)
D (A, D)
A (B, A)
Candidato B C (B, C)
D (B, D)
A (C, A)
Candidato C B (C, B)
D (C, D)
A (D, A)
Candidato D B (D, B)
C (D, C)
O total de possíveis resultados é igual a doze. E se fossem cinco vagas entre 
trinta candidatos! Que tamanho teria o diagrama???
3�1� Princípio Fundamental da Contagem
Também chamado de princípio multiplicativo, o princípio fundamental da con-
tagem é uma segregação do problema em etapas. Feita a segregação, fazemos o 
produto dos números de possibilidades de cada uma dessas etapas.
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Questão Resolvida
01. (ESAF/2012 – MF – Assistente Técnico Administrativo) 
Dos aprovados em um concurso público, os seis primeiros foram Ana, Bianca, Car-
los, Danilo, Emerson e Fabiano. Esses seis aprovados serão alocados nas salas nu-
meradas de 1 a 6, sendo um em cada sala e obedecendo a determinação de que 
na sala 1 será alocado um homem. Então, o número de possibilidades distintas de 
alocação desses seis aprovados é igual a
a) 720.
b) 480.
c) 610.
d) 360.
e) 540.
Comentário: O princípio fundamental da contagem nos diz para segregar em eta-
pas, verificar as possibilidades para cada uma das etapas e multiplicar os números 
de possibilidades.
1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa 4ª etapa 5ª etapa 6ª etapa
Possibilidades 4 5 4 3 2 1
Total de possibilidades = 4 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 480
Cada uma das etapas identificadas será, para essa questão, uma das salas.
Observem que, para a primeira etapa (primeira sala), a possibilidade de alocação 
é somente para aprovados homens, por isso a quantidade igual a 4 (Carlos, Danilo, 
Emerson e Fabiano).
Na sequência, para a identificação de possibilidades para a segunda sala (segunda 
etapa), foi considerado que um dos aprovados já foi alocado na primeira etapa, 
então restam outros cinco aprovados.
Para a terceira etapa, já foram dois candidatos para as suas salas: um na primeira 
etapa e outro na segunda etapa, restam quatro aprovados.
Para cada etapa subsequente, eliminam-se os candidatos com salas definidas em 
etapas anteriores.
No final, a quantidade total de possibilidades é o produto das possibilidades de 
cada uma das etapas.
Total = 4 .5 .4 .3 .2 .1
Total = 480
Resposta: O resultado é igual a 480. Esse é o total de possibilidades diferentes de 
alocar os aprovados nas diferentes salas e ainda considerando que, na sala 1, so-
mente um homem poderá ser alocado.
A alternativa “b” está correta.
3�2� Princípio da Preferência
A preferência diferencia etapas que devem ser primeiramente analisadas na 
definição da quantidade de possibilidades de combinações. Nas questões de con-
tagem, como os anagramas, as preferências virão como restrições e serão elas as 
primeiras a serem tratadas.
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Questões Resolvidas
02� (ESAF/2013 – MF – Cargos de Nível Superior) 
O número de anagramas da palavra FAZENDA que começam com FA e nessa ordem 
é igual a:
a) 130
b) 124
c) 120
d) 115
e) 136
Comentário: A questão pede o anagrama da palavra FAZENDA. Contudo, afirma que 
as duas primeiras letras são mantidas na mesma posição. Segregando por etapas, 
temos:
1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa 4ª etapa 5ª etapa 6ª etapa 7ª etapa
Possibilidades 1 1 5 4 3 2 1
Total de possibilidades = 1 . 1 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Iniciamos pela primeira e segunda etapas por serem elas as restrições. Para cada 
uma, existe apenas uma possibilidade. A primeira letra é fixa, só pode ser “F; a segun-
da, também fixa, só pode ser a letra “A”.
A sequência é um anagrama das demais letras: ZENDA. São cinco letras distintas sem 
a repetição (as letras são distintas). A permutação simples foi utilizada para essas 
letras.
Cálculo:
Anagrama = Pn = n!
A = P5 = 5!
A = 5 .4 .3 .2 .1
A = 120
Resposta: A quantidade de anagramas é igual a 120.
A alternativa “c” está correta.
03. (ESAF/2012 – MF – Assistente Técnico Administrativo) 
O número de centenas ímpares e maiores do que trezentos, com algarismos distin-
tos, formadas pelos algarismos 1, 2, 3, 4 e 6, é igual a
a) 15.
b) 9.
c) 18.
d) 6.
e) 12.
Comentário: Estamos falando de centenas (números formados por três algarismos), 
ímpares (terminadas por 1 ou 3) e maiores que trezentos (começa com 3, 4 ou 6).
Identificadas as restrições, observem que o número 3 é comum a ambas as restri-
ções. Nesse caso, faremos os cálculos separadamente para os números ímpares co-
meçados por 4 ou 6 e, depois, os ímpares começados pelo número 3.
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Professor Marcelo Sbicca
Ímpares começados por 4 ou 6:
 
Para a casa da centena são duas possibilidades; para a unidade, outras duas possi-
bilidades. Já para a dezena, após ter preenchido as restrições (centena e unidade), 
restam outros três algarismos possíveis para completar o número.
Cálculo:
Qde ímpares = 2 .3 .2
Qde ímpares = 12
Ímpares começados por 3:
 
Qde ímpares = 1 .3 .1
Qde ímpares = 3
Total de possibilidades:
A quantidade total é o somatório das partes calculadas anteriormente (números 
começados por 3 ou 4 com os começados por 3):
Qde total = 12 + 3
Qde total = 15
Resposta: A quantidade de centenas maiores que trezentos e ímpares é igual a 15.
A alternativa “a” está correta.
3�3� Permutação
Chamamos “permutação simples” todo arranjo formado pela totalidade dos 
elementos do conjunto dado. Foi o recurso utilizado para a resolução do anagrama 
apresentado anteriormente.
Permutação simples: Pn = n!
Questão Resolvida
04� (ESAF/2012 – RFB – Auditor-Fiscal da Receita Federal) 
Na prateleira de uma estante, encontram-se 3 obras de 2 volumes e 2 obras de 2 
volumes, dispondo-se, portanto, de um total de 10 volumes. Assim, o número de 
diferentes maneiras que os volumes podem ser organizados na prateleira, de modo 
que os volumes de uma mesma obra nunca fiquem separados, é igual a
a) 3.260.
b) 3.840.
c) 2.896.
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d) 1.986.
e) 1.842.Comentário: A questão relaciona um total de 5 obras em 10 volumes. A restrição para 
organizar as prateleiras é que os volumes de mesma obra fiquem juntos.
Primeiro, cada obra tem dois volumes, isso significa que, qualquer posição que a 
obra ocupe, temos duas formas diferentes para organizar os volumes na prateleira 
(volume 1 e volume 2 ou volume 2 e volume 1). Essa regra repete-se para cada uma 
das obras, o resultado com apenas essas alterações fica representado pelo produto 
de cinco fatores iguais (2 . 2 . 2 . 2 . 2).
Além do produto mencionado, existem os vários arranjos em que as obras podem 
ser dispostas nas prateleiras. Trata-se de uma permutação de cinco elementos. En-
tão, para juntar as formas para associação dos volumes e para associação de obras, 
faremos nova multiplicação.
Cálculo:
Disposições totais = 5! . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
Disposições totais = 5! . 32
Disposições totais = 120 . 32
Disposições totais = 3.840
Resposta: Os volumes podem ser organizados em 3.840 formas diferentes na prateleira.
A alternativa “b” está correta.
3�3�1� Anagrama
Em casos de anagramas (forma de combinar as letras de uma palavra) utilizamos 
o fatorial, ou seja, é um caso de permutação. Se desejarmos saber quantas são as 
associações possíveis com as letras da palavra FISCAL, basta a permutação simples, 
ou seja, fatorial:
Anagrama = Pn = n!
Sendo:
 – P = permutação
 – n = número total de letras
Cálculo:
Anagrama = P6 = 6!
Anagrama = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
Anagrama = 720
Resposta: São 720 formas diferentes de combinar as seis letras da palavra FISCAL.
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3�4� Permutação com Repetição
Na permutação com repetição de elementos (anagrama com repetição), o re-
sultado não será alterado pelas trocas desses elementos (que se repetem).
Fórmula da permutação com repetição:
P
P P ...
P
!
! ! ...
r r
rep
rep
=
⋅
=
⋅
P
n
r r
n
1 2
1 2
Sendo:
 – P = permutação
 – n = número de elementos
 – r = número de repetições
Atenção:
Convém lembra que, por convenção, fatorial de zero e fatorial de um são ambos 
iguais a um:
0! = 1
1! = 1
3�4�1� Anagrama com Repetição
O anagrama com repetição é um exemplo de permutação com repetição.
Anagrama com repetição
P
Anagrama com repetição
n
r
n
=
⋅
=
P P ...
!
r r1 2
1!! ! ...⋅ r2
Sendo:
 – P = permutação
 – n = quantidade total de letras
 – r = quantidade de cada repetição
Vejamos o anagrama da palavra CONCURSO. Uma das associações entre as letras 
dessa palavra é: CCNOORSU. Se alterada a posição das duas primeiras letras, o ana-
grama permanece o mesmo.
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Cálculo:
A
P
A
n
r r
A
A
rep
n
rep
rep
rep
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
P P ...
!
! ! ...
!
! !
.
r r1 2
1 2
8
2 2
10 080
Resposta: Serão 10.080 possibilidades de combinações diferentes com as letras da 
palavra CONCURSO.
3�5� Permutação Circular
Existe ainda um caso bastante particular, quando os elementos do grupo estão 
dispostos de tal forma que não é possível identificar a posição inicial, bem como a 
posição final dentre os elementos que fazem parte do grupo. Não existe um ponto 
de referência.
É definida como permutação circular porque remete à ideia de não existir um 
ponto fixo para o começo nem para o fim. Imagine crianças brincando de roda, gi-
rando, estão constantemente em movimento, mas a relação entre as crianças não se 
altera.
Fórmula da permutação circular:
Pcir (n) = (n – 1)!
Por exemplo: De quantas maneiras podem sentar-se cinco diretores em uma 
mesa redonda, isto é, sem cabeceira.
Pcir (n) = (n – 1)!
Pcir (5) = (5 – 1)!
Pcir (5) = 4!
Pcir (5) = 4 .3 .2 .1
Pcir (5) = 24
Resposta: São 24 as diferentes formas de posicionar cinco diretores ao redor de uma mesa.
3�6� Arranjo e Combinação
Arranjo e combinação serão adotados quando os agrupamentos tiverem quanti-
dades diferentes de elementos que o grupo inicial. Como, por exemplo: agrupamen-
tos possíveis no jogo da mega-sena. O conjunto inicial tem 60 elementos (todos os 
números possíveis para montar a aposta) e os agrupamentos são feitos de seis em 
seis (total de números sorteados em cada edição do concurso).
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3�6�1� Arranjo Simples
Arranjos são agrupamentos com uma importante característica: a ordem dos 
seus elementos faz diferença. Assim, serão classificados como arranjo simples se 
considerarmos que o posicionamento em que são dispostos os elementos do con-
junto influencia no conjunto final.
Vejamos o exemplo: A partir de um conjunto dado, A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 
deseja-se formar um número de três dígitos. Uma opção possível é o número 123. 
Agora, mantendo os mesmos algarismos e alterando as suas posições, teremos ou-
tras opções: 132, 213, 231, 312, 321.
A ordem em que são dispostos os elementos faz diferença. Para questões com 
essa estrutura, a resolução faz-se com a utilização do arranjo simples.
Fórmula:
A
n
n pn p( , )
!
( )!
=
−
Sendo:
 – A = arranjo
 – n = quantidade de elementos do conjunto original
 – p = quantidade de elementos dos agrupamentos
Questão Resolvida
05. (CEPERJ/2010 – SEFAZ-RJ – Oficial de Fazenda) 
Em uma fila do cinema há 5 cadeiras consecutivas vazias.
 
O número de maneiras que três pessoas, A, B e C, podem sentar-se nelas é:
a) 10 b) 15 c) 30 d) 45 e) 60
Comentário: Vejamos as características do arranjo simples: conjunto inicial (cinco 
cadeiras consecutivas), formar subconjuntos (disposições de três pessoas) e, o mais 
importante, a ordem faz diferença (se a disposição for ABC, então é diferente da 
disposição CBA).
Dados da questão:
 – n = 5 cadeiras
 – p = 3 pessoas
Cálculo:
 
A
n
n p
A
A
n p( , )
( , )
( , )
!
( )!
!
( )!
!
!
=
−
=
−
=
⋅ ⋅ ⋅
5 3
5 3
5
5 3
5 4 3 2
2
A(5,3) = 5 .4 .3 = 60 
Resposta: São sessenta posições diferentes em que as três pessoas podem sentar-
se nos cinco lugares consecutivos de uma fila de cinema.
A alternativa “e” está correta.
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3�6�2� Combinação Simples
O que vai distinguir a combinação do arranjo é a ordem dos agrupamentos. 
Quando a ordem dos elementos faz diferença, trata-se de arranjo (item anterior); 
quando a ordem dos elementos não altera o conjunto, trata-se de combinação.
Vejamos um exemplo de combinação (a ordem é alterada e o conjunto não se 
altera): uma salada de frutas composta por banana, mamão e laranja é igual à salada 
de frutas composta por laranja, mamão e banana. Não importa a ordem das frutas, 
a salada é a mesma.
Outro exemplo: se tivermos bolas coloridas dentro de uma urna, não importa a 
ordem, todas estão misturadas. Podemos identificar como bolas azuis, verdes, ama-
relas e pretas ou podemos identificar como bolas pretas, amarelas, verdes e azuis. 
Independente da identificação, o conjunto de bolas dentro da urna é o mesmo.
O cálculo da quantidade de combinações, com n elementos distintos tomados p 
a p, será através da seguinte fórmula:
C
n
p n pn p( , )
!
! ( )!
=
−
3�6�3� Atalho para resolução de Arranjo e Combinação
ArranjoNos casos de arranjo, faremos o produto de tantos fatores quanto for o valor de 
p, ou seja, será uma multiplicação com a quantidade de fatores igual ao tamanho do 
agrupamento. Por exemplo:
A(n,p): faremos a multiplicação com a quantidade p de fatores.
A(6,4): multiplicação com quatro fatores.
A(8,2): multiplicação com dois fatores.
A(5,3): multiplicação com três fatores.
Os fatores começam pelo número n e na sequência, a cada novo fator, subtrai-se 
uma unidade.
Cálculo dos exemplos anteriores:
A(n,p): multiplicação de n pelos antecedentes (subtraindo uma unidade).
A(6,4) = 6 . 5 . 4 . 3 (quatro fatores iniciando pelo valor de n: 6).
A(8,2) = 8 . 7 (dois fatores iniciando pelo valor de n: 8).
A(5,3) = 5 . 4 . 3 (três fatores iniciando pelo valor de n: 5).
Combinação
Nos casos de combinação, antes de tudo, analisaremos o valor de p e o valor de 
n – p. Comparamos os valores e selecionamos o menor deles. Guarde esse valor pois 
ele será a quantidade de fatores tanto para o numerador como para o denominador 
da divisão. É isso mesmo, numerador e denominador, a resolução para os casos de 
combinação faz-se por meio de uma razão.
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Para o numerador da razão, a sequência de fatores começa por n e segue com 
seus antecedentes (subtraindo uma unidade a cada novo fator). Já no denomina-
dor, começa com o número 1 e segue com os subsequentes (adicionando uma uni-
dade a cada novo fator).
Por exemplo, a quantidade de agrupamentos possíveis com 4 elementos a par-
tir de um conjunto inicial de 6 elementos. Nesse caso, a combinação de 6 elementos 
tomados de 4 em 4.
C(6,4)
Primeiro, comparação do valor de p com o valor de n – p:
p = 4
n – p = 2
Os valores são 4 e 2, o menor valor é igual a 2, então serão dois fatores no nu-
merador e dois fatores no denominador.
 
C
C
( , )
( , )
6 4
6 5
1 2
6 4
30
2
=
⋅
⋅
=
C(6,4) = 15
Observe que, no numerador, são dois fatores iniciando por n (seis) multiplica-
do pelo antecedente cinco (n menos uma unidade). No denominador, dois fatores 
iniciando por um e seguido pelo subsequente adicionado de uma unidade.
Outros exemplos:
C
C
( , )
( , )
8 2
8 7
1 2
56
2
28
7 3
7 6 5
1 2 3
210
6
35
=
⋅
⋅
= =
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
= =
Vejamos algumas questões de provas sobre arranjo e combinação com as res-
pectivas resoluções utilizando a forma mais rápida, atalho apontado acima.
Questão Resolvida
06� (ESAF/2013 – MF – Cargos de Nível Superior) 
Uma comissão com 6 pessoas será formada para representar o Ministério da Fa-
zenda em um congresso internacional. Essas 6 pessoas serão selecionadas de um 
grupo formado por 5 homens e 6 mulheres. O número de possibilidades de nessa 
comissão termos 4 pessoas do mesmo sexo é igual a:
a) 210
b) 215
c) 245
d) 225
e) 240
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Comentário: Para montar uma comissão com seis pessoas, sendo quatro delas do 
mesmo sexo, precisamos pensar em duas combinações: quatro homens e duas mu-
lheres e, invertendo as quantidades, dois homens e quatro mulheres.
Para as associações com quatro homens, faz-se a combinação de cinco tomando de 
quatro em quatro. Cada uma das possibilidades de combinações de quatro homens 
ainda deve associar-se a cada uma das formas de se combinar, nas duas posições 
restantes, as seis mulheres do grupo. Fica assim:
Cálculo para comissões com quatro homens:
Comissões 4 homens = C(5,4) . C(6,2)
Comissões 4 homens = 5
1
6 5
2 1
⋅
⋅
⋅
Comissões 4 homens = 5 . 15
Comissões 4 homens = 75
Cálculo para comissões com quatro mulheres:
Para a quantidade de comissões formadas por 4 mulheres, teremos a combinação de 
seis mulheres em grupos de quatro multiplicada pela combinação de cinco homens 
em grupos de dois:
Comissões 4 mulheres = C(6,4) .C(5,2)
Comissões 4 mulheres = 6 5
2 1
5 4
2 1
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
Comissões 4 mulheres = 15 . 10
Comissões 4 mulheres = 150
Cálculo do total de comissões:
A quantidade total de possibilidades para se montar uma comissão com quatro ho-
mens ou quatro mulheres é a soma das duas situações:
Total de comissões = 75 + 150
Total de comissões = 225
Resposta: O total de comissões possíveis é igual a 225.
A alternativa “d” está correta.
07� (ESAF/2012 – STN – Analista de Finanças e Controle) 
De um grupo com 5 homens e 4 mulheres, deseja-se formar uma comissão com exa-
tamente 3 pessoas. A exigência é que nessa comissão precisa ter pelo menos 2 mu-
lheres. Então, o número de possibilidades de formar essa comissão é igual a
a) 20 b) 42 c) 24 d) 34 e) 48
Comentário: As comissões serão formadas com 3 pessoas, sendo no mínimo duas mulhe-
res; logo, é possível montar comissões com duas e comissões com três mulheres.
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As comissões formadas com três mulheres serão a combinação entre as quatro mu-
lheres do grupo, tomadas de três em três:
Comissões 3 mulheres = C(4,3) 
Comissões 3 mulheres = 4
1
Comissões 3 mulheres = 4
Para as comissões com duas mulheres, será utilizada uma combinação das quatro 
do grupo tomadas duas a duas. O total de grupos com duas mulheres será multi-
plicado pela quantidade de homens, isso porque, para cada duas mulheres, a co-
missão completa-se com qualquer um dos homens (são cinco homens, são cinco 
possibilidades):
Comissões 2 mulheres = C(4,2) . 5
Comissões 2 mulheres = 
4 3
2 1
5
⋅
⋅
⋅
Comissões 2 mulheres = 6 . 5
Comissões 2 mulheres = 30
Somando-se as possibilidades com duas mulheres (30 comissões) às possibilidades 
com três mulheres (4 comissões), o total é igual a 34.
Resposta: São 34 maneiras diferentes de se formar a comissão.
A alternativa “d” está correta.
08� (ESAF/2010 – SMF-RJ – Fiscal de Rendas) 
O departamento de vendas de imóveis de uma imobiliária tem 8 corretores, sendo 
5 homens e 3 mulheres. Quantas equipes de vendas distintas podem ser formadas 
com 2 corretores, havendo em cada equipe pelo menos uma mulher?
a) 15 b) 45 c) 31 d) 18 e) 25
Comentário: Dividiremos a questão em duas partes: primeiro trabalhamos com as 
equipes nas quais participa apenas uma mulher, depois verificamos a quantidade 
de equipes possíveis com duas corretoras.
Equipes com uma mulher:
Dado que são três corretoras, cada uma delas forma equipes com os demais corre-
tores homens. Traduzindo para a matemática, ficamos com a expressão:
Equipes 1 mulher = C(3,1) .C(5,1)
Equipes 1 mulher = 3/1 . 5⁄1
Equipes 1 mulher = 3 . 5
Equipes 1 mulher = 15
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Equipes com duas mulheres:
Para essas equipes, não há participação de corretores homens. Faremos a combina-
ção para equipes com duas mulheres considerando o total de corretoras igual a 3.
Equipes 2 mulheres = C(3,2)
Equipes 2 mulheres = 3/1
Equipes 2 mulheres = 3
Somando as equipes de uma mulher com as equipes de duas mulheres:
Total de equipes = 15 + 3
Total de equipes = 18
Resposta: É possível montar 18 equipes distintas com a participação de, pelo menos, 
uma mulher.
A alternativa “d” está correta.
3�7� Arranjo com Repetição
O arranjo com repetição é a forma de contagem dos váriosarranjos em que os 
elementos podem ser agrupados quando a ordem desses elementos faz diferença 
(mesma regra do arranjo simples), porém pode haver a repetição de elementos.
Fórmula do arranjo com repetição:
Arepetição (n,p) = n
p
Sendo:
 – A = arranjo
 – n = número de elementos
 – p = elementos escolhidos
Exemplo: quantidade de números possíveis de três algarismos formados a partir 
do conjunto n = {1, 2, 3, 4, 5} admitindo a repetição de algarismos:
Ar (n,p) = n
p
Ar (5,3) = 5
3
Ar (5,3) = 5 . 5 . 5
Ar (5,3) = 125
3�8� Combinação com Repetição
A combinação com repetição é a forma de contagem das várias combinações em 
que os elementos podem ser agrupados quando a ordem desses elementos não faz 
diferença (mesma regra da combinação simples), porém pode haver a repetição de 
elementos.
Fórmula da combinação com repetição:
Crepetição (n, p) = C(n + p – 1,p)
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Sendo:
 – C = combinação
 – n = número de elementos
 – p = elementos escolhidos
Exemplo: quantidade de conjuntos formados com três letras a partir das vogais 
do alfabeto:
Cr (n,p) = C(n + p – 1,p)
Cr (5,3) = C(5 + 3 – 1,3)
Cr (5,3) = C(7,3)
Cr (5,3) = 
7 6 5
3 2 1
⋅ ⋅
⋅ ⋅
Cr (5,3) = 
210
6
Cr (5,3) = 35
3�9� Definir entre Permutação ou Arranjo ou Combinação
Diante de um conjunto de elementos qualquer, deseja-se saber quantos são os 
possíveis subconjuntos formados por uma quantidade determinada de elementos 
pertencentes àquele conjunto inicial.
Se o tamanho dos subconjuntos é igual ao conjunto inicial, tratamos com per-
mutação. Se o número de elementos for menor nos subconjuntos em relação ao 
conjunto inicial, então a resolução será por arranjo ou combinação.
Para distinguir entre arranjo ou combinação, inverta a posição dos elementos 
que formam o subconjunto e veja se o resultado é um conjunto diferente, se for-
mou novo conjunto, então resolvemos por arranjo. Se não formar um novo conjun-
to, resolveremos por combinação.
Exemplo:
Considere uma classe com 10 alunos. A partir desse grupo, faremos a associa-
ção de elementos em dois formatos: quantidade de comissões possíveis com três 
alunos para representar a classe; quantidade de possíveis chapas com três alunos 
para disputar as eleições do diretório acadêmico, sendo um presidente, outro se-
cretário e o último tesoureiro.
Comissão com três alunos: Ângela, Bernardo e Cilmara. Com a alteração da 
ordem dos integrantes, a comissão permanece a mesma. Trata-se de combinação.
C(10,3) = 120
Chapa com três alunos: Ângela (presidente), Bernardo (secretário) e Cilmara 
(tesoureira). Alterando-se a ordem, fica configurado novo grupo: Bernardo (presi-
dente), Cilmara (secretária) e Ângela (tesoureira). Trata-se de arranjo.
A(10,3) = 720
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Atenção:
Definição entre arranjo ou combinação:
 • Alteram-se as posições, o subconjunto é alterado, arranjo
 • Alteram-se as posições, o subconjunto continua o mesmo, combinação
Para gravar, vejam que as letras iniciais são as mesmas: altera, arranjo e conti-
nua, combinação.
EXERCÍCIOS
09� (Bio-Rio/2014 – EMGEPRON – Advogado) 
Um torneio de futebol seria disputado por 8 equipes em regime de turno e returno, 
ou seja, cada equipe jogaria duas vezes com cada uma das demais. Entretanto, uma 
medida judicial mandou incluir outras duas equipes no torneio. Se o sistema de dis-
puta for mantido, o número de jogos do torneio aumentará de:
a) 56 para 64
b) 56 para 90
c) 112 para 64
d) 112 para 90
10. (FGV/2014 – TJ-RJ – Técnico Atividade Judiciária) 
Gabriel deve pintar a bandeira abaixo de forma que cada região tenha uma única cor. 
Regiões vizinhas não podem ter a mesma cor, mas regiões não vizinhas podem. Ele 
tem 5 cores disponíveis.
 
O número de maneiras diferentes pelas quais essa bandeira pode ser pintada é:
a) 120;
b) 240;
c) 480;
d) 720;
e) 900.
11� (UFMT/2013 – Copel – Técnico de Eletrônica) 
Com as letras da palavra COPEL, a soma do número de anagramas distintos que co-
meçam com C com o número de anagramas distintos que começam com C e termi-
nam com L é igual a:
a) 40
b) 35
c) 30
d) 45
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12. (Cesgranrio/2013 – BNDES – Técnico Administrativo) 
Uma empresa de propaganda pretende criar panfletos coloridos para divulgar certo 
produto. O papel pode ser laranja, azul, preto, amarelo, vermelho ou roxo, enquan-
to o texto é escrito no panfleto em preto, vermelho ou branco. De quantos modos 
distintos é possível escolher uma cor para o fundo e uma cor para o texto se, por 
uma questão de contraste, as cores do fundo e do texto não podem ser iguais?
a) 13
b) 14
c) 16
d) 17
e) 18
13. (Cespe/2013 – TCE-RS – Oficial Controle Externo) 
Na secretaria de um órgão público, as páginas dos processos, para serem digitaliza-
das, são separadas e distribuídas entre 7 servidores — 4 servidores recém-contrata-
dos e 3 servidores antigos. Julgue o item a seguir, a respeito dessa situação.
A quantidade de maneiras distintas de se escolher 2 entre os 7 servidores, para 
digitalizar um processo de 2 páginas, é superior a 20.
( ) Certo ( ) Errado
14� (FCC/2014 – Sefaz-PE – Auditor Fiscal do Tesouro Estadual) 
Um concurso público disponibilizará sete vagas para o cargo de auditor, distribuídas 
entre quatro cidades conforme descrito na tabela, a seguir:
Cidade Nº de vagas disponíveis
Recife 3
Caruaru 2
Petrolina 1
Salgueiro 1
Depois que os sete aprovados forem definidos, o número de diferentes maneiras 
que eles poderão ser distribuídos entre as quatro cidades é igual a
a) 420
b) 5040
c) 35
d) 56
e) 210
15. (IADES/2014 – Funpresp – Assistente Administrativo) 
Considere as duas situações hipotéticas a seguir:
I. Um técnico de basquete dispõe de sete jogadores para escalar o time titular.
II. Um júri tem que eleger o vencedor e o segundo colocado em um concurso 
musical com cinco finalistas.
De acordo com as situações apresentadas, assinale a alternativa correta.
a) Para a situação I, há 20 soluções possíveis.
b) A situação I e a II tratam, respectivamente, de um caso de combinação e de 
arranjo.
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c) Para a situação II, há 21 soluções possíveis.
d) Há mais de 30 maneiras diferentes para a escalação do time de basquete.
e) A situação I e a II tratam, respectivamente, de um caso de permutação simples 
e de arranjo simples.
16� (Funcab/2014 – MDA Analista de Sistema Operacional) 
Paulo irá arrumar, lado a lado, na prateleira de seu bar, duas garrafas de vinho, três 
garrafas de licor e três garrafas de uísque, sendo cada garrafa de uma marca diferen-
te. Sabendo que Paulo deseja manter juntas as garrafas que contêm o mesmo tipo 
de bebida, determine de quantas formas distintas ele pode arrumar as garrafas lado 
a lado na prateleira.
a) 216
b) 72
c) 432
d) 36
e) 144
17� (Consulplan/2014 – MAPA – Administrador) 
Um pai comprou 6 barras de chocolate e pretende entregar 1 para cada um de seus 
6 filhos. Se 2 dessas barras são de chocolate branco e as demais, de chocolate preto, 
de quantas formas ele poderá distribuir as barras?
a) 15.
b) 20.
c) 24.
d) 30.
18. (Cespe/2013 – TCE-RO – AuditorControle Externo) 
Considerando que uma empresa adquira 10 desktops e 10 notebooks, todos distin-
tos, para distribuí-los entre 20 empregados — 10 homens e 10 mulheres —, de modo 
que cada empregado receba um único equipamento, julgue o seguinte item.
A quantidade de maneiras distintas de se distribuir esses equipamentos de for-
ma que os homens recebam somente desktops é superior a 2 x (9)2.
( ) Certo ( ) Errado
19. (Cespe/2013 – TCE-RO – Agente Administrativo) 
Considerando que, em uma pesquisa de rua, cada entrevistado responda sim ou não 
a cada uma de dez perguntas feitas pelos entrevistadores, julgue os itens seguintes.
Há menos de cem maneiras de um entrevistado responder sim a três perguntas e não 
às demais.
( ) Certo ( ) Errado
20. (Cespe/2013 – TCE-RO – Agente Administrativo) 
Considerando que, em uma pesquisa de rua, cada entrevistado responda sim ou não 
a cada uma de dez perguntas feitas pelos entrevistadores, julgue os itens seguintes.
Será necessário entrevistar mais de mil pessoas para se garantir que duas pessoas 
respondam igualmente a todas as perguntas.
( ) Certo ( ) Errado
Extensivo jan - raciocínio lógico quantitativo • ccpp45
Anotações
Central de Cursos Prof. Pimentel Extensivo 2015 • Raciocínio Lógico Quantitativo
Professor Marcelo Sbicca
21� (IADES/2014 – SEAP-DF – Analista) 
Um pintor expõe seus 8 quadros na parede de uma sala redonda, 2 a 2 igualmente 
espaçados. De quantas maneiras diferentes será possível dispor as obras?
a) 120.
b) 256.
c) 720.
d) 5.040.
e) 40.320.
22� (FCC/2013 – PGE-BA – Assistente de Procuradoria) 
O jogo de dominó é formado por 28 peças retangulares, cada uma delas dividida em 
dois quadrados. Em cada quadrado, está marcada uma quantidade inteira de pon-
tos que pode variar de 0 a 6. Assim, nas 28 peças, são formadas todas as possíveis 
combinações de pontos, inclusive aquelas em que as quantidades marcadas nos 
dois quadrados são iguais.
Considere apenas as peças de dominó em que as quantidades de pontos marcadas 
nos dois quadrados são números ímpares. A soma de todos os pontos marcados 
nessas peças é igual a
a) 18
b) 24
c) 72
d) 54
e) 36
23� (Cespe/2013 - MTE – Auditor Fiscal Trabalho) 
Um auditor do trabalho deve analisar 20 processos: 5 a respeito de segurança no 
trabalho, 7 a respeito de FGTS e 8 a respeito de jornada de trabalho. Considerando 
que esses processos sejam colocados sobre a mesa de trabalho do auditor, de ma-
neira aleatória, formando uma pilha, julgue o item que se segue.
Se os processos relativos a FGTS ficarem sempre na parte superior da pilha, então uma 
pilha com essa característica poderá ser formada de 13! × 7! maneiras distintas.
( ) Certo ( ) Errado
24� (Cespe/2013 - MTE – Auditor Fiscal Trabalho) 
Um auditor do trabalho deve analisar 20 processos: 5 a respeito de segurança no 
trabalho, 7 a respeito de FGTS e 8 a respeito de jornada de trabalho. Considerando 
que esses processos sejam colocados sobre a mesa de trabalho do auditor, de ma-
neira aleatória, formando uma pilha, julgue o item que se segue.
Se processos relativos a temas idênticos ficarem juntos, então a quantidade de maneiras 
distintas de se formar uma pilha com essa característica será inferior a (5!)3 x 72 x 29.
( ) Certo ( ) Errado
25� (Vunesp/2013 – PC-SP – Perito Criminal) 
A testemunha de uma ocorrência com certo veículo relatou o seguinte, a respeito 
da placa desse veículo: “Na parte da placa com os números apareciam dois alga-
rismos 5, mas não lembro em que posição. Não sei quais eram os outros dois al-
garismos, mas eram diferentes de 5”. Considerando somente a parte numérica da 
placa, a quantidade de sequências distintas de 4 algarismos, compatíveis com o que 
relatou a testemunha, é
a) 324. b) 720. c) 486. d) 120. e) 512.
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Extensivo jan - raciocínio lógico quantitativo • ccpp46
Anotações
Extensivo 2015 • Raciocínio Lógico Quantitativo
Professor Marcelo Sbicca
3�11� Resumo Esquematizado
3�11�1� Escolha entre permutação, arranjo ou combinação
3�11�2� Fórmulas: permutação, arranjo ou combinação
Agrupamento Fórmula Nomenclatura
Permutação
Simples P(n) = n!
P = Permutação
A = Arranjo
C = Combinação
n = quantidade de 
elementos
p = elementos esco-
lhidos
a e b = quantidade 
de repetições para 
cada elemento
Circular Pcir(n) = P(n – 1) = (n – 1)!
Repetição P
n
a bn
a b, ,... !
! ! ...
=
⋅
Arranjo
Simples A
n
n pn p( , )
!
( )!
=
−
Repetição Arep(n, p) = n
p
Combinação
Simples C
n
p n pn p( , )
!
! ( )!
=
−
Repetição Cr(n, p) = C (n + p – 1, p)
3�11�3� Atalho para arranjo e combinação
 
Atalho Exemplo
Arranjo Multiplica-se n por seus anteceden-
tes (subtraindo uma unidade a cada 
fator), tantas vezes quanto for o valor 
de p.
A(5, 3) = 5 . 4 . 3
A(5, 4) = 5 . 4 . 3 . 2
A(6, 2) = 6 . 5
Combinação Compara-se “n – p” com “p”, aquele 
que for menor será a quantidade de 
faores a serem multiplicados tanto no 
numerador quanto no denominador
No numerador multiplica-se n pelos 
antecedentes (subtraindo uma unida-
de a cada fator).
No denominador multiplica-se 1 por 
seus subsequentes (acrescentando 
uma unidade a cada fator).
C
C
C
( , )
( , )
( , )
5 3
5 4
1 2
9 4
9 8 7 6
1 2 3 4
6 2
6 5
1 2
=
⋅
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅
⋅
Gabarito do Módulo 3
01 - B
02 - C
03 - A
04 - B
05 - E
06 - D
07 - D
08 - D
09 - B
10 - D
11 - C
12 - C
13 - Certo
14 - A
15 - B
16 - C
17 - A
18 - Certo
19 - Errado
20 - Certo
21 - D
22 - E
23 - Certo
24 - Errado
25 - C
Anotações
Central de Cursos Prof. Pimentel Extensivo 2015 • Raciocínio Lógico Quantitativo
Professor Marcelo Sbicca
M
ó
d
u
lo
Extensivo jan - raciocínio lógico quantitativo • ccpp47
Probabilidade04
4�1� Introdução
A probabilidade de um evento é representada por um número real entre 0 e 
1. Um evento impossível tem probabilidade 0 e um evento certo de acontecer tem 
probabilidade 1 ou 100%.
4�2� Definições
4.2.1. Experimento Aleatório
São experimentos que, sob mesma condição, podem apresentar diferentes re-
sultados a cada ocorrência. Os experimentos aleatórios são fenômenos com resul-
tados imprevisíveis. Como, por exemplo: lançamento de um dado, lançamento de 
uma moeda.
Características do experimento aleatório:
 • mantidas as mesmas condições, o experimento repete-se indefinidas vezes;
 • todas as possibilidades são conhecidas, porém não se conhece o resultado 
de uma prova específica;
 • a frequência dos resultados tende à regularidade quando aumenta a 
repetição do experimento.
4�2�2� Espaço Amostral
É o conjunto formado por todos os possíveis resultados de um experimento 
aleatório, comumente representado por S. Exemplo: para o lançamento de um 
dado, o espaço amostral será:
S = {1,2,3,4,5,6}
4�2�3� Evento
É qualquer subconjunto do espaço amostral, ou seja, cada uma das ocorrên-
cias. Convém lembrar que o conjunto vazio é um evento.
Exemplo: obter um número par com o lançamento de um dado.
Experimento: lançar o dado e observar o resultado.
Espaço amostral: S = {1,2,3,4,5,6}
Evento: A = {2,4,6}
4�2�4� Evento Complementar
É um subconjunto do espaço amostral, porém esse subconjunto somado ao 
evento resulta no espaço amostral. Então, o somatório de um evento e seu comple-
mentar é igual ao espaço amostral. Para o evento nominado A, o evento comple-
mentar ao evento A é representado por A̅.
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Extensivo jan - raciocínio lógico quantitativo • ccpp48
Anotações
Extensivo 2015 • Raciocínio Lógico Quantitativo
Professor Marcelo Sbicca
 • Espaço amostral para o lançamento de um dado:
E = {1,2,3,4,5,6}
 • Evento A, números ímpares: