8_matematica_1_volume_01

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221Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
Análise Combinatória
PrincíPio Fundamental da contagem
“Se um evento ocorre de m modos distintos e outro even-
to, independentemente do primeiro, ocorre de n modos dis-
tintos, então os dois eventos juntos ocorrem m x n de modos 
distintos”.
Utilizamos o princípio multiplicativo na formação de gru-
pos onde pode haver repetição ou não de elementos.
observação:
Alguns problemas de combinatória podem ser resolvidos 
utilizando a seguinte estratégia:
1º) Calculam-se todas as possibilidades possíveis (todo).
2º) Calcula-se o que não é pedido no problema (condição 
contrária).
3º) Para obter o que é pedido subtrai-se do todo a condição 
contrária.
Isto é, TODO – CONDIÇÃO CONTRÁRIA = O que é pedido
introdução
Análise combinatória é a área da Matemática que estuda 
os problemas de contagem.
As atividades matemáticas iniciais da humanidade 
estavam ligadas a problemas de contagem de objetos de um 
conjunto, enumerando todos os seus elementos. Portanto, o 
estudo da análise combinatória tem por objetivo a formação 
de grupos segundo “regras pré-estabelecidas” utilizando fór-
mulas de resolução.
Para essa formação de grupos é comum utilizarmos um 
produto de números naturais consecutivos, que iremos chamar 
de fatorial.
Fatorial
Produto dos n primeiros números naturais significativos
Notação: n!
n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x (n – 1) x n
observações:
 1! = 1
 0! = 1 (convenção)
 n! = n x (n – 1)!
01 Simplifique as expressões abaixo:
a) 
b) 
02 Resolva as equações:
a) 
b) (n!)2 – 25n! + 24 = 0
c) (x + 1)! = x! + 6x
d) 
03 Determine quantos números naturais de três algarismos 
podem ser escritos empregando os algarismos 1, 2, 3, 4, 
5, 6 e 7 em cada caso:
a) podendo haver repetição de algarismo no mesmo número,
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b) sem haver repetição de algarismo no mesmo número.
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04 Considerando todos os números de três algarismos distintos que podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 
9 e 0, responda:
d) quantos são divisíveis por 5? 
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e) quantos são ímpares?
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f) quantos são pares?
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a) quantos números são?
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b) quantos são maiores que 500?
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c) quantos são menores que 300?
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01 Se , então a2014 é igual a:
a) b) 2013
c) 2015 d) 
e) 
02 (UFF) O produto 20 . 18 . 16 . 14 ... 6 . 4 . 2, é equivalente a:
a) b) 2 . 10!
c) d) 210 . 10!
e) 
03 (PUC) Chamam-se “Palíndromos” números inteiros que 
não se alteram quando é invertida a ordem de seus alga-
rismos (por exemplo: 383; 4224; 74847). O número de 
palíndromos de cinco algarismos é:
a) 900 b) 1000
c) 1900 d) 2500
e) 5000
04 (UFF) Uma empresa vai fabricar cofres com senha de 4 
letras, usando as 18 consoantes e as 5 vogais. Se cada 
senha deve começar com uma consoante e terminar com 
uma vogal, sem repetir as letras, o número de senhas 
possíveis é:
a) 3060 b) 24480
c) 37800 d) 51210
e) 73440
05 Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 formam-se números 
naturais de 6 algarismos distintos. Sabendo-se que ne-
les não aparecem juntos dois algarismos pares nem dois 
algarismos ímpares, calcular o número total de naturais 
assim formados.
a) 6! b) 36
c) 72 d) 5!
e) 144
 
01 (2005) A escrita Braile para cegos é um sistema de sím-
bolos no qual cada caractere é um conjunto de 6 pontos 
dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um 
se destaca em relação aos demais.
 Por exemplo, a letra A é representada por 
 O número total de caracteres que podem ser representa-
dos no sistema Braile é:
a) 12
b) 31
c) 36
d) 63
e) 720
02 (2004) No Nordeste brasileiro, é 
comum encontrarmos peças de arte-
sanato constituídas por garrafas pre-
enchidas com areia de diferentes co-
res, formando desenhos. Um artesão 
deseja fazer peças com areia de cores 
cinza, azul, verde e amarela, manten-
do o mesmo desenho mas variando 
as cores da paisagem (casa, palmeira 
e fundo), conforme a figura.
 O fundo pode ser representado nas 
cores azul ou cinza; a casa, nas cores 
azul, verde ou amarela; e a palmeira, 
nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mes-
ma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão 
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de contraste, então o número de variações que podem 
ser obtidas para a paisagem é:
a) 6 b) 7
c) 8 d) 9
e) 10
03 (2007) Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de ma-
míferos, distribuídos conforma a tabela ao lado.
 Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três des-
sas espécies de mamíferos – uma do grupo Cetáceos, ou-
tra do grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores. O 
número de conjuntos distintos que podem ser formados 
com essas espécies para esse estudo é igual a:
a) 1.320 b) 2.090
c) 5.845 d) 6.600
e) 7.245
04 (UFRJ) A mala do Dr. Z tem um cadeado cujo segredo 
é uma combinação com cinco algarismos, cada um dos 
quais podendo variar de 0 a 9. Ele esqueceu a combina-
ção que escolhera como segredo, mas sabe que atende às 
condições:
• se o primeiro algarismo é ímpar, então o último algaris-
mo também é ímpar;
• se o primeiro algarismo é par, então o último algarismo é 
igual ao primeiro;
• a soma do segundo e terceiro algarismos é 5.
 Quantas combinações diferentes atendem às condições 
estabelecidas pelo Dr. Z?
05 (UERJ – Adaptada) Uma turma de 3ª Série do Ensino 
Médio tem aulas extras às segundas, quartas e sextas, de 
13h 30min às 15h e de 15h 30min às 17h. As matérias 
são Matemática, Física e Química, cada uma com duas 
aulas por semana, em dias diferentes.Calcular o número 
de modos diferentes de fazer o horário dessa turma.
01 Utilizando-se no máximo 5 cores, de quantos modos 
pode ser pintada a bandeira abaixo de forma que duas 
regiões vizinhas não tenham a mesma cor?
02 (UFRJ) Usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9 existem 
“x” números de quatro algarismos, de modo que, pelo 
menos dois algarismos sejam iguais. Calcule x.
03 Determine os dois últimos algarismos do número N, 
N = 1 + 2! + 3! + 4! + ... + 2011! + 2012!
Arranjos e Permutação
“Com n objetos distintos ‘tomados’ P a P, formamos 
grupos de p objetos distintos, escolhidos dentre esses n, levando 
em conta a ordem em que os elementos aparecem no 
grupo”.
Notação: 
Permutação Simples
“São arranjos simples onde o número de elementos (n) é 
igual a taxa (p)”.
Notação: Pn
Pn = n!
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Permutação com Repetição de Elementos onde n = a + b + g + ... + W
a, b, g, ..., W são as repetições dos elementos no 
grupo que devem ser descontadas.
01 Para ocupar os cargos de presidente e vice-presidente do 
grêmio de um colégio, candidataram-se dez alunos. De 
quantos modos distintos pode ser feita essa escolha?
02 Considerando os anagramas da palavra ALUNO,
a) quantos começam por vogal?
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b) quantos começam por vogal e terminam por consoante?
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c) quantos começam e terminam por consoante?
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d) quantos apresentam as vogais AUO juntas nesta ordem?
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e) quantos apresentam as vogais juntas, porém em qual-
quer ordem?
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03 Permutando os algarismo 1, 3, 5 e 7, formamos uma cer-
ta quantidade de números. Dispondo-se esses números 
em ordem crescente, qual o número que ocupa a 17ª 
posição?
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04 Quantos anagramas da palavra CASACO apresentam as 
três vogais juntas?
01 (UNB-DF) Seis pessoas devem ocupar uma fileira de seis 
cadeiras dispostas lado a lado. Duas dessas pessoas se 
recusam a ficar lado a lado. 0 número de possibilidades 
distintas para as seis pessoas se disporem é:
a) 240
b) 320
c) 480
d) 380
e) 300
02 (PUC) Num tribunal, dez réus devem ser julgados isola-
damente num mesmo dia; três são paulistas, dois minei-
ros, tres gaúchos e dois baianos. 0 número de formas de 
não julgar consecutivamente três paulistas é:
a) P7
b) P8
c) P10 – P8
d) P10 – P3P7
e) P10 – P8P3
03 O número de anagramas da palavra “CARIOCA” que co-
meçam por consoante é:
a) 540 b) 360
c) 180 d) P7
2,2
e) P7
04 Numa estante existem 3 livros de História, 3 de Mate-
mática e um de Geografia. Se em cada extremidade deve 
ficar um livro de História, o número de maneiras distintas 
dessa estante ficar arrumada é:
a) P5 b) P7
3,3
c) P5
3,2 d) P6
e) P7
05 (PUC) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto que-
rem formar uma sigla com 5 símbolos, onde cada símbo-
lo é a primeira letra de cada nome. O número total de 
siglas possíveis é:
a) 10 b) 24
c) 30 d) 60
e) 120
01 Seja um barco com 8 lugares, numerados como mostra a 
figura ao lado.
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 Há 8 remadores para guarnecê-lo, com as seguintes res-
trições: os remadores A e B só podem sentar no lado ím-
par e o remador C, no lado par. Os remadores D, E, F, G e 
H podem ocupar quaisquer posições. Quantas posições po-
dem ser obtidas para o barco ficar totalmente guarnecido?
02 (UFRJ) Uma partícula desloca-se sobre uma reta percor-
rendo 1cm para a esquerda ou para a direita a cada mo-
vimento. Calcule de quantas maneiras diferentes a par-
tícula pode realizar uma sequência de 10 movimentos, 
terminando na posição de partida.
03 Quantos anagramas da palavra MATEMÁTICA não apre-
sentam nem vogais, nem consoantes juntas?
04 (UNICAMP) A figura representa parte de uma cidade 
onde estão assinalados as casas de Pacheco (A), de Geral-
do (B), a escola (C) e um possível caminho que Pacheco 
percorre para, passando pela casa de Geraldo, chegar à 
escola. Qual o número total de caminhos distintos que 
Pacheco poderá percorrer, caminhando somente para 
norte ou leste, para ir de sua casa à escola, passando pela 
casa de Geraldo?
05 Qual o número de soluções inteiras e não negativas da 
equação x + y + z + t = 6?
Permutação Circular e
Combinação Simples
Observe o exemplo:
De quantos modos 4 crianças podem formar uma roda 
para brincar?
Num primeiro momento, poderíamos imaginar que o 
resultado era 4! = 24 (bastaria escolher uma ordem para as 
crianças e depois trocá-las de lugar).
Entretanto, observamos que as duas rodas da figura aci-
ma são iguais. Logo, podemos concluir que quando tivermos 
elementos dispostos ao redor de um círculo, cada disposição 
possível é chamada de permutação circular. Além disso, duas 
permutações circulares são idênticas, quando percorremos o 
círculo no sentido anti-horário a partir de um mesmo elemento 
das duas permutações. De um modo mais simples, podemos 
dizer que nas permutações circulares, duas posições são con-
sideradas distintas, se pelo menos um elemento não possuir o 
mesmo vizinho à direita, nas duas posições.
A cada conjunto de 4 permutações que definem uma 
determinada permutação circular chamamos de classe.
Como temos x permutações circulares, temos x classes.
(exemplo de disposição diferente do exemplo inicial)
Logo, o número de permutações circulares de A, B, C e D 
pode ser calculado do seguinte modo:
1º) P4 = 4!
2º) Como existem x classes, cada qual com 4 permutações, 
teremos como número total de permutações 4 . x.
 Portanto: 
Generalizando o raciocínio anterior:
Podemos calcular o número de permutações circulares de 
n (n ≥ 2) elementos.
1º) existem n! permutações dos n elementos.
2º) existem x permutações circulares em que a cada uma cor-
respondem n permutações.
 Portanto: 
 que é o número de permutações circulares de n elementos.
Combinações Simples
“Com n objetos distintos, formamos grupos de p objetos 
distintos, escolhidos dentre esses n objetos, não levando em 
conta a ordem em que os elementos aparecem no grupo.”
Notação: 
 (combinação com taxa complementar)
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01 (PUC) Um torneio de xadrez, no qual cada jogador joga 
com todos os outros, tem 435 partidas. Quantos jogadores 
o disputam?
a) 25 b) 23
c) 20 d) 24
e) 30
02 (UERJ) Ao refazer seu calendário escolar para o segun-
do semestre, uma escola decidiu repor algumas aulas em 
exatamente 4 dos 9 sábados disponíveis nos meses de 
outubro e novembro de 2009, com a condição de que 
não fossem utilizados 4 sábados consecutivos.
 Para atender às condições de reposição das aulas, o 
número total de conjuntos distintos que podem ser 
formados contendo 4 sábados é de:
a) 80
b)96
c) 120
d) 126
03 (UERJ) 
 Considere como um único conjunto as 8 crianças – 4 me-
ninos e 4 meninas – personagens da tirinha. A partir des-
se conjunto, podem-se formar n grupos, não vazios, que 
apresentam um número igual de meninos e de meninas. 
 O maior valor de n é equivalente a:
a) 45
b) 56
c) 69
d) 81
01 De quantas maneiras 12 crianças podem formar uma roda?
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02 De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda 
com 6 crianças, de modo que duas delas, Xuxa e Angélica, 
não fiquem juntas?
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03 Ao planejar uma prova de Matemática contendo 5 ques-
tões, um professor dispõe de 5 questões de Álgebra e 6 
de Trigonometria. Calcule o número de provas diferentes 
que é possível elaborar, usando em cada prova 2 questões 
de Álgebra e 3 de Trigonometria.
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04 Numa congregação de 20 professores, exatamente 6 le-
cionam Matemática. Qual o número de comissões de 4 
professores que podem ser formadas de modo que exista 
no máximo um professor de Matemática na comissão?
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04 Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe 
e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar 
uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes 
essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de 
modo que o pai e a mãe fiquem juntos?
a) P4
b) P5
c) P6
d) P6
2
e) 2 . P4
05 (FUVEST-SP) Uma classe de Educação Física de um co-
légio é formada por dez estudantes, todos com alturas 
diferentes. As alturas dos estudantes, em ordem crescen-
te, serão designadas por h1, h2, ... h10 (h1 < h2 < ... h9 < 
h10). O professor vai escolher cinco desses estudantes em 
ordem para participar de uma demonstração na qual eles 
se apresentam alinhados, em ordem crescente de suas 
alturas.
 Dos grupos que podem ser escolhidos, em 
quantos o estudante cuja altura é h7 ocupará a posição 
central durante a demonstração?
a) 7
b) 10
c) 21
d) 45
e) 60
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01 (UFRJ) Um grupo constituído por 4 mulheres e 4 homens 
deve ocupar as 8 cadeiras dispostas ao redor de uma 
mesa circular.
 O grupo deve ser acomodado de modo que cada homem 
sente entre duas mulheres. 
 João e Maria estão nesse grupo de pessoas; entretanto, 
por motivos de ordem estritamente pessoal, não podem 
sentar-se lado a lado.
 Duas acomodações das pessoas ao redor da mesa são 
consideradas diferentes quando pelo menos uma das 
pessoas não tem o mesmo vizinho à direita, nas duas aco-
modações, Determine o número de diferentes acomoda-
ções possíveis dessas 8 pessoas ao redor da mesa circular.
02 (UFRJ) Em todos os 53 finais de semanas do ano 2000, 
Júlia irá convidar duas de suas amigas para sua casa em 
Teresópolis, sendo que nunca o mesmo par de amigas se 
repetirá duranto o ano.
a) Determine o maior número possível de amigas que Júlia 
poderá convidar.
b) Determine o menor número possível de amigas que ela 
poderá convidar.
03 (AFA) Numa demonstração de páraquedismo, durante a 
queda livre, participaram 10 paraquedistas. Em um certo 
momento, 7 deles devem dar as mãos e formar um círculo. 
De quantas formas distintas eles poderão ser escolhidos e 
dispostos nesse círculo?
04 (PUC) Pretende-se formar uma comissão de 5 membros 
a partir de um grupo de 10 operários e 5 empresários, de 
modo que nessa comissão haja pelo menos dois repre-
sentantes de cada uma das duas classes. Quantas comis-
sões diferentes podem ser assim formadas?
05 Quantos são os anagramas da palavra MISSISSIPI que 
não possuem duas letras “i” juntas?
Teoria das Probabilidades
Introdução
Na análise combinatória que estudamos anteriormente, 
tínhamos como objetivo formar agrupamentos segundo algu-
mas “regras” pré-estabelecidas. Na Teoria das Probabilidades 
iremos quantificar numericamente a chance de ocorrência des-
ses grupos.
A teoria das probabilidades teve origem despretensiosa, 
no estudo dos chamados “jogos de azar”, começando com 
trabalhos de matemáticos contratados por jogadores, ou in-
teressados, eles próprios, em jogar. Tornou-se depois um fun-
damento sobre o qual se baseia a Estatística, ciência que visa 
a tirar conclusões e autorizar a tomada de decisão em deter-
minadas situações de incerteza, com informações numéricas, 
por assim dizer, incompletas. Isso ocorre nas áreas empresarial, 
governamental e científica, no estudo de fenômenos físicos, 
biológicos e sociais.
Experimentos aleatórios ou experiência aleatória
Falaremos indistintamente em experiência aleatória ou 
experimento aleatório. O lançamento de um dado e a obser-
vação do número da face que ficar voltada para cima é um 
experimento. Dizemos que é um experimento aleatório, ou ao 
acaso, porque, repetido em condições tidas como idênticas, 
apresenta geralmente resultados diferentes.
Essa teoria possui uma nomenclatura própria que, aju-
dará na resolução da probabilidade de ocorrência de um 
acontecimento.
Nomenclatura
esPaço amostral (s) (está associada a uma exPeriência)
“É o conjunto formado por todos os resultados possíveis 
da experiência”.
Notação: “S”
evento
É qualquer subconjunto do Espaço Amostral. 
Notação: “A”
observação 1:
Esse número de subconjuntos é dado por 2n (tirado de 
).
observação 2:
O conjunto vazio e o próprio Espaço Amostral são sub-
conjuntos de “S” e portanto são eventos.
•	 Evento	Impossível	( )
Não ocorre em todas as provas feitas na experiência.
•	 Evento	Certo	(S)
 Ocorre em todas as provas feitas na experiência.
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Os subconjuntos unitários recebem o nome de EVENTO 
SIMPLES ou ELEMENTARES.
•	 Evento	Complementar	( )
É o conjunto formado pelos elementos de espaço amos-
tral que não pertencem a um determinado evento A.
Notação: 
Observem que se o evento ocorre, o evento A não ocorre.
O evento também é chamado de “evento NÃO A”.
•	 Interseção	e	União	de	Eventos
Considere dois eventos A e B:
O evento A B só ocorre quando os eventos A e B ocor-
rem ao mesmo tempo.
 A B = {x S | x A e x B}
O evento A B ocorre quando o evento A ocorre ou o 
evento B ocorre ou ambos ocorrem.
 A B = {x S | x A ou x B}
•	 Eventos	Mutuamente	Exclusivos	(disjuntos)
Se A B = , então A e B são ditos mutuamente exclu-
sivos ou disjuntos.
Distribuição de Probabilidades
Diante de uma experiência aleatória, que poderá apresentar 
“n” resultados diferentes, podemos associar um número “P”, 
que será chamado de Probabilidade de Ocorrência de cada 
um desses resultados, de modo que sejam válidas as seguintes 
condições:
1°) A Probabilidade desses resultados é sempre um número 
positivo ou nulo.
Pn > 0
2°) A soma das Probabilidades de todos resultados possíveis 
é igual a 1.
P1 + P2 + P3 + ... + Pn = 1
 Onde 1, 2, 3, ..., n são os possíveis resultados.
 P1, P2, ..., Pn formam a distribuição de Proba-
bilidades sobre o Espaço Amostral.
DistribuiçãoUniforme de Probabilidade
Se um experimento possui um Espaço Amostral compos-
to por elementos que possuem a mesma chance de ocorrência, 
dizemos que o espaço amostral é equiprovável e a distribui-
ção de probabilidades (P1 = P2 = P3 = ... = Pn) é denomina-
da de distribuição uniforme.
Assim temos:
Como P1 + P2 + P3 + ... + Pn = 1 tem que P1 = , P2 = , 
P3 = , ..., Pn = .
Concluímos que numa experiência aleatória com “n” 
resultados distintos, que tenham a mesma chance de ocor-
rência, a Probabilidade de cada resultado é . 
Probabilidade de Ocorrer um Evento
Diante de uma experiência aleatória com n resultados 
distintos e Espaço Amostral “S”, vamos denominar de Proba-
bilidade de ocorrência de um evento qualquer a soma das 
Probabilidades de ocorrência dos elementos deste evento.
Notação: A Evento
P(A) Probabilidade de ocorrência do evento A
exercício resolvido
Seja a experiência aleatória: “Lançar um dado e obter 
os pontos marcados na face voltada para cima”. Pergunta-
se:
a) S;
b) a probabilidade de obter cada um dos resultados;
c) a probabilidade de ocorrer um número ímpar.
solução:
a) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) P = 
c) P = 
Caso o Espaço Amostral seja equiprovável, isto é, a pro-
babilidade de ocorrência de cada evento é a mesma, a proba-
bilidade é dada por:
,
onde k é o número de elementos que constitui o evento 
“A”. Portanto:
onde n(A) número de elementos do evento A e 
n(S) número de elementos do Espaço Amostral “S”.
Assim temos: n(A) significa ocorrer um dos elementos que 
pertencem ao evento A, que chamaremos de “Casos Favoráveis”; 
e n(S) significa número de resultados possíveis da experiência.
Temos que P(A) será:
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01 Uma urna contém 3 bolas brancas, 2 verdes e 5 azuis. 
Uma bola é escolhida ao acaso na urna. Qual a probabi-
lidade de que:
a) a bola retirada seja branca?
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..........................................................................
...............................................................................
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b) a bola retirada seja azul?
..........................................................................
..........................................................................
...............................................................................
.............................................................................
c) a bola retirada não seja branca?
..........................................................................
..........................................................................
...............................................................................
.............................................................................
d) a bola retirada não seja branca, nem azul?
..........................................................................
..........................................................................
...............................................................................
.............................................................................
02 Dez livros são colocados da forma usual em uma pra-
teleira da estante, onde cabem, exatamente, conforme 
esquematizado na figura. Destes 10 livros, 7 são de Eco-
nomia. Colocados aleatoriamente, qual a probabilidade 
de que os 7 livros de Economia fiquem juntos?
03 (UFRJ) Duzentas bolas pretas e duzentas bolas brancas 
são distribuídas em duas urnas, de modo que cada uma 
delas contenha cem bolas pretas e cem bolas brancas. 
Uma pessoa retira ao acaso uma bola de cada uma. De-
termine a probabilidade de que as duas bolas retiradas 
sejam de cores ditintas.
.............................................................................
............................................................................
04 (PUC-RJ) Qual a probabilidade de um número escolhido 
entre 1 e 100 ser um quadrado perfeito?
.............................................................................
............................................................................
01 (UNIRIO) Numa urna existem bolas de plástico, todas do 
mesmo tamanho e peso, numeradas de 2 a 21, inclusive 
e sem repetição. A probabilidade de se sortear um número 
primo ao pegarmos uma única bola, aleatoriamente, é de:
a) 45% b) 40%
c) 35% d) 30%
e) 25%
02 (UFG-GO) Um jogo de memória é formado por seis car-
tas, cofnorme as figuras que seguem:
 Após embaralhar as cartas e virar as suas faces para bai-
xo, o jogador deve buscar as cartas iguais, virando exa-
tamente duas. A probabilidade de ele retirar, ao acaso, 
duas cartas iguais na primeira tentativa é de:
a) 1/2 b) 1/3
c) 1/4 d) 1/5
e) 1/6
03 (UFF) Em uma bandeja há dez pastéis dos quais três são 
de carne, três de queijo e quatro de camarão. Se Fabiana 
retirar, aleatoriamente e sem reposição, dois pastéis desta 
bandeja, a probabilidade de os dois pastéis desta bande-
ja, retirados serem de camarão é:
a) 3/25 b) 4/25
c) 2/15 d) 2/5
e) 4/5
04 (UFT-TO) Quando se jogam dois dados, tanto o número 
6 quanto o número 7, por exemplo, podem ser obtidos 
de três maneiras distintas:
• (5, 1), (4, 2), (3, 3) para o 6, e
• (6, 1), (5, 2), (4, 3) para o 7.
 Na prática, porém, segundo Galileu, a chance de se obter 
6 é menor que a de se obter 7, porque as permutações 
dos pares devem ser consideradas no cálculo das proba-
bilidades.
 Com base no raciocínio de Galileu, é correto afirmar que, 
nesse caso, a probabilidade de se obter o número e a proba-
bilidade de se obter o número 7 são, respectivamente, de:
a) 5/36 e 1/6
b) 1/18 e 1/12
c) 1/12 e 1/12
d) 1/3 e 1/2
05 (UNIRIO) Considerando-se um hexágono regular e to-
mando-se ao acaso uma de suas digaonais, a probabili-
dade de que ela passe pelo centro do hexágono é:
a) 1/9 b) 1/6
c) 1/3 d) 2/9
e) 2/3
230 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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03 (2011) Todo o país passa pela primeira fase de campa-
nha de vacinação contra a gripe suína (H1N1). Segundo 
um médico infectologista do Instituto Emílio Ribas, de 
São Paulo, a imunização “deve mudar”, no país, a histó-
ria da epidemia. Com a vacina, de acordo com ele, o Bra-
sil tem a chance de barrar uma tendência do crescimento 
da doença, que já matou 17 mil no mundo. A tabela 
apresenta dados específicos de um posto de vacinação.
 Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa atendida nes-
se posto de vacinação, a probabilidade de ela ser porta-
dora de doença crônica é:
a) 8%
b) 9%
c) 11% 
d) 12%
e) 22%
04 (2005) As 23 ex-alunas de uma turma que completou 
o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma 
reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e 
tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a 
quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo.
 
 Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas 
ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada 
tenha sido um(a) filho(a) único(a) é:
a) 1/3
b) 1/4
c) 7/15
d) 7/23
e) 7/25
01 (2007)
 Uma das principais causas da degradação de peixes fres-
cos é a contaminação por bactérias. O gráfico apresenta 
resultados de um estudo acerca da temperatura de peixes 
frescos vendidos em cinco peixarias. O ideal é que esses 
peixes sejam vendidos com temperaturas entre 2 ºC e 4 ºC. 
Selecionando-se aleatoriamente uma das cinco peixarias 
pesquisadas, a probabilidade de ela vender peixes frescos 
na condição ideal é igual a:
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/5
e) 1/6
02 (2011) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu 
se mudar, por recomendações médicas, para uma das re-
giões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residen-
cial Suburbano. A principal recomendação médica foi 
com as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que 
deveriam ser inferiores a 31°C. Tais temperaturas são 
apresentadas no gráfic o:
 Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões paramorar, a probabilidade de ele escolher uma região que 
seja adequada às recomendações médicas é:
a) 1/5
b) 1/4
c) 2/5
d) 3/5
e) 3/4
231Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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01 (UFRJ) De uma urna que contém 2 bolas vermelhas, 2 
brancas e 2 verdes, retiramos 4 bolas, sem repô-las. Qual 
a probabilidade de entre as bolas retiradas haver:
a) Um par de bolas da mesma cor?
b) Apenas 2 cores?
02 (UNIRIO)
 Um jogo é formado por 20 pontos, conforme a figura. 
Calcule:
a) o número total de possibilidade para “caminhar” de A a 
C, sabendo-se que só pode haver movimento na horizon-
tal (da esquerda para a direita) ou na vertical (de cima 
para baixo), um espaço entre dois pontos de cada vez;
b) a probabilidade de “caminhar” A a C, passando por B, 
seguindo as regras do item a.
03 (FUVEST) Um arquivo de escritório possui 4 gavetas, 
chamadas a, b, c, d. Em cada gaveta cabem no máxi-
mo 5 pastas. Uma secretária guardou ao acaso, 18 pastas 
nesse arquivo. Qual a probabilidade de haver exatamente 
4 pastas na gaveta a?
04 A figura a seguir representa uma bandeira com 4 listras. 
Dispondo-se de 4 cores distintas, deseja-se pintar todas 
as listras de forma que listras vizinhas tenham cores dife-
rentes.
a) De quantas maneiras distintas a bandeira pode ser pinta-
da? Justifique.
b) Escolhendo-se aleatoriamente uma das formas possíveis 
de pintar a bandeira, qual é a probabilidade de que a 
forma escolhida seja uma que contenha as 4 cores?
05 (FUVEST) Uma urna contém três bolas pretas e cinco 
bolas brancas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas 
nessa urna de modo que, retirando-se uma bola ao aca-
so, a probabilidade de ela ser azul seja igual a 2/3?
Propriedades da Probabilidade, Probabilidade 
Condicional e Eventos Independentes
•	 Probabilidade	de	ocorrência	do	Evento	Impossível
 P( ) = 0
•	 Probabilidade	de	ocorrência	do	Evento	Certo
 P(S) = 1
•	 Probabilidade	de	ocorrência	de	qualquer	Evento	A
 
 0 ≤ P(A) ≤ 1
•	 Probabilidade	de	não	ocorrer	um	Evento	A( )
 P( ) = 1 – P(A)
•	 Probabilidade	de	ocorrer	o	Evento	A	ou	B	(A	 B)
 1° caso: se A B = 
P(A B) = P(A) + P(B)
 2° caso: se A B ≠ 
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
Probabilidade Condicional
Em alguns problemas de probabilidade, devido a uma 
informação adicional, há uma alteração no Espaço Amostral. A 
probabilidade de ocorrer um evento “A” sabendo que ocorreu 
“B” é chamada de probabilidade condicional e será repre-
sentada por P (A/B): “p” de A, dado B.
Portanto P(A/B) é definida por P(A/B) ou ainda 
da definição P(A B) = P(A/B) . P(B) (Teorema do Produto).
Eventos Independentes
Considere o experimento “Lançar simultaneamente um 
dado e uma moeda” e os seguintes eventos:
A: obter a face 6 no dado;
B: obter a face cara na moeda.
Os eventos A e B são independentes, isto porque a pro-
babilidade de um deles (B, por exemplo) não se altera com a 
ocorrência ou não do outro, isto é, P(B) = P(B/A).
232 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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Vamos verificar a igualdade.
Os eventos A e B são dados pelos conjuntos: 
A = {(6, c) . (6, )}; B = {(1, c), (2, c), (3, c), (4, c), (5, c), 
(6, c)}
A B= {(6, c)}
O Espaço Amostral S do experimento tem 12 elementos 
(6 . 2 = 12); logo, n(S) = 12.
Assim, P(B) = 6/12 e P(A B) = 1/12.
Portanto: 
Se A e B são eventos independentes, o Teorema do Produ-
to pode ser aplicado, resultando: P(A B) = P(A) . P(B), pois 
P(B/A) = P(B).
01 Num sorteio de um número natural de 1 a 100, qual a 
probabilidade de não sair um múltiplo de 20?
..........................................................................
..........................................................................
...............................................................................
02 Numa classe de 32 alunos há 18 homens e 12 alunos 
loiros dos quais 6 são mulheres. Escolhendo um aluno ao 
acaso, qual a probabilidade de ser:
a) loiro ou mulher
b) homem não loiro
c) mulher não loira
d) homem loiro.
03 Um casal pretende ter três filhos. Admitindo probabilida-
des iguais para ambos os sexos, qual a probabilidade de 
que venha a ter três filhos do mesmo sexo?
..........................................................................
..........................................................................
...............................................................................
04 De um baralho comum, com 52 cartas, sendo 13 cartas 
de cada naipe, uma carta é extraída ao acaso. Qual a pro-
babilidade, da carta sorteada, ser um rei ou uma carta de 
ouros, sabendo que a carta sorteada não foi de copas?
..........................................................................
..........................................................................
...............................................................................
01 Em uma gaveta, cinco pares diferentes de meias estão 
misturados. Retirando-se ao acaso duas meias, a proba-
bilidade de que elas sejam do mesmo par é de:
a) 1/10 b) 1/9
c) 1/5 d) 2/5
e) 1/2
02 (PUC/RJ) Jogamos 5 moedas comuns ao mesmo tempo. 
Qual a probabilidade de que o resultado seja 4 caras e 1 
coroa?
a) 1/6 b) 5/32
c) 1/4 d) 1/5
e) 29/128
03 Jogamos dois dados comuns e somamos os pontos. Qual 
a probabilidade de que o total seja igual a 12?
a) 1/6 b) 1/11
c) 1/12 d) 1/36
e) 1/96
04 (UERJ) Numa sala existem cinco cadeiras numeradas de 
1 a 5. Antônio, Bernardo, Carlos, Daniel e Eduardo de-
vem se sentar nestas cadeiras. A probabilidade de que 
nem Carlos se sente na cadeira 3, nem Daniel na cadeira 
4, equivale a:
a) 16% b) 54%
c) 65% d) 96%
05 (UFF) Determinado provedor de Internet oferece aos 
seus usuários 15 (quinze) salas de bate-papo. Três usu-
ários decidiram acessar as salas. Cada usuário escolheu, 
independentemente, uma sala.
 Assinale a opção que expressa a probabilidade de os três 
usuários terem escolhido a mesma sala.
a) 1/152
b) 1/15
c) 1/30
d) 3/15
e) 32/152
01 (2001) Uma empresa de alimentos imprimiu em suas 
embalagens um cartão de apostas conforme a figura ao lado.
 Cada cartão de apostas possui 7 figuras de bolas de fu-
tebol e 8 sinais de “X” distribuídos entre os 15 espaços 
possíveis, de tal forma que a probabilidade de um cliente 
ganhar o prêmio nunca seja igual a zero.
233Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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 Em determinado cartão existem duas bolas na linha 4 e 
duas bolas na linha 5. Com esse cartão, a probabilidade 
de o cliente ganhar o prêmio é:
a) 1/27. b) 1/36.
c) 1/54. d) 1/72.
e) 1/108.
02 (2011) Em um jogo disputado em uma mesa de sinu-
ca, há 16 bolas: 1 branca e 15 coloridas, as quais, de 
acordo com a coloração, valem de 1 a 15 pontos (um 
valor para cada bola colorida). O jogador acerta o taco 
na bola branca de forma que esta acerte as outras, com o 
objetivo de acertar duas das quinze bolas em quaisquer 
caçapas. Os valores dessas duas bolas são somados e de-
vem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes 
do início da jogada.
 Arthur, Bernardo e Caio escolhem os números 12, 17 e 
22 como sendo resultados de suas respectivas somas. 
Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de 
ganhar o jogo é:
a) Arthur, pois a soma que escolheu é a menor.
b) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma 
escolhida por ele, contra 4 possibilidades para a escolha 
de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
c) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma 
escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha 
de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
d) Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma esco-
lhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de 
Arthur e 8 possibilidades para a escolha de Bernardo.
e) Caio, pois a soma que escolheu é a maior.
03 (2009) Um casal decidiu que vai ter 3 filhos. Contudo, 
quer exatamente 2 filhos homens e decide que, se a pro-
babilidade fosse inferior a 50%, iria procurar uma clí-
nica para fazer um tratamento específicopara garantir 
que teria os dois filhos homens. Após os cálculos, o casal 
concluiu que a probabilidadede ter exatamente 2 filhos 
homens é:
a) 66,7%, assim ele não precisará fazer um tratamento.
b) 50%, assim ele não precisará fazer um tratamento. 
c) 7,5%, assim ele não precisará fazer um tratamento.
d) 25%, assim ele precisará procurar uma clínica para fazer 
um tratamento.
e) 37,5%, assim ele precisará procurar uma clínica para fa-
zer um tratamento.
04 (2009) Um médico está estudando um novo medica-
mento que combate um tipo de câncer em estágios avan-
çados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componen-
tes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de 
que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais obser-
vados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou 
mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico 
oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses 
do medicamento, de acordo com o risco que o paciente 
pretende assumir.
 Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% 
de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais 
durante o tratamento, qual é o maior número admissível 
de doses para esse paciente?
a) 3 doses. b) 4 doses.
c) 6 doses. d) 8 doses.
e) 10 doses.
01 (PUC/RJ) Um baralho tem 26 cartas pretas e 26 cartas 
vermelhas. As cartas estão ordenadas ao acaso.
a) Retiramos uma carta do baralho completo: qual é a pro-
babilidade de que a carta seja vermelha?
b) Retiramos três cartas do baralho completo: qual a proba-
bilidade de que as três cartas sejam vermelhas?
c) Retiramos três cartas do baralho completo: qual a pro-
babilidade de que duas cartas sejam vermelhas e uma 
preta?
02 (PUC/RJ) João joga 3 dados comuns até sair um dos se-
guintes resultados:
• dois números iguais e um diferente, resultado que cha-
maremos de par
 ou
• três números iguais, resultado que chamaremos de trinca.
a) Qual a probabilidade de João obter uma trinca na pri-
meira jogada?
b) Qual a probabilidade de que o jogo termine na primeira 
jogada, isto é, de que saia um par ou uma trinca no pri-
meiro lançamento dos dados?
c) Qual a probabilidade de que o jogo acabe com João ob-
tendo uma trinca (e não um par)?
03 (UFRJ) Fernando e Cláudio foram pescar num lago onde 
só existem trutas e carpas. Fernando pescou, no total, 
o triplo da quantidade pescada por Cláudio. Fernando 
pescou duas vezes mais trutas do que carpas, enquanto 
Cláudio pescou quantidades iguais de carpas e trutas. Os 
peixes foram todos jogados num balaio e uma truta foi 
escolhida ao acaso desse balaio. Determine a probabili-
dade de que esta truta tenha sido pescada por Fernando.
04 (UFRJ) Um alvo é formado por três círculos concêntricos.
 Um flecha, ao ser lançada, pode atingir as regiões I, II e 
III ou não acertar o alvo; as probabilidades de um arquei-
ro atingir as regiões I, II e III são iguais a 1/10, 3/10 e 1/2 
respectivamente.
 Um arqueiro lança três flechas. Determine a probabilida-
de de ele acertar somente duas flechas no alvo, ambas na 
região III.
234 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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05 (UFRJ) N homens e N mulheres serão dispostos ao acaso 
numa fila. Seja pN a probabilidade de que a primeira 
mulher da fila ocupe a segunda posição.
 Calcule pN e determine a partir de que valor de N tem-se 
pN < 11/40.
 nota
 Conforme foi falado anteriormente, a teoria das pro-
babilidades, como conhecemos hoje, teve seu início nos jo-
gos de azar. Cardano (1501-1576) e Galileu (1564-1642) 
estão entre os primeiros matemáticos a analisar, matemati-
camente, o jogo de dados.
 Depois disso, Blaise Pascal (1623-1662), consultado 
por um amigo que era jogador fanático, Chevalier de Méré, 
sobre questões do jogo de dados, manteve correspondên-
cia com Pierre de Fermat (1601-1665). Dessa correspon-
dência entre Pascal e Fermat e de suas pesquisas observan-
do várias situações de jogos de azar é que evoluiu a teoria 
das probabilidades.
Pascal e Binômio de Newton
Triângulo Aritmético de Pascal
É o quadro formado pelas combinações:
........................................
Resolvendo as combinações, temos:
 1
 1 1
 1 2 1
 1 3 3 1
 1 4 6 4 1
....................................
Propriedades
1ª) “A soma de dois elementos consecutivos de uma linha 
qualquer do triângulo é igual ao elemento da linha se-
guinte abaixo da última parcela”.
2ª) “Cada elemento do triângulo, a partir da 2ª coluna, é 
igual a soma de todos os elementos da coluna anterior 
que estão acima dele”.
3ª) “A soma de todos os elementos de uma linha qualquer 
do triângulo é igual a uma potência de 2”.
Binômio de Newton
deFinição
 É o desenvolvimento de ( x + a)n
conclusões a resPeito de (x + a)n
a) Possui n + 1 termos
b) As potências de “x” decrescem enquanto que as potên-
cias de “a” crescem.
c) Os coeficientes desse desenvolvimento são as combinações 
da última linha do triângulo aritmético de Pascal.
soma dos coeFicientes de (x + a)n
 
Fórmula do termo geral de (x + a)n
235Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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01 O número de soluções da equação abaixo é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 6
02 O termo independente de x no desenvolvimento é:
a) o sexto termo.
b) o quinto termo.
c) o primeiro termo.
d) o segunto termo
e) inexistente.
01 Calcule m, sabendo que:
02 Uma sala possui n lâmpadas. De quantas maneiras pode-
mos iluminá-la, ligando pelo menos duas lâmpadas?
03 Determine o termo médio do desenvolvimento:
04 Qual a soma dos coeficientes de (3x + 7y)6?
03 No desenvolvimento (2x + b)5, b IR*, o coeficiente 
numérico do termo em x4 é oito vezes aquele do termo 
em x3. Assim, o valor de b é:
a) 1/8 b) 1/6
c) 8 d) 6
e) 1/2
04 O coeficiente de x no desenvolvimento é:
a) inexistente. b) 7
c) 35 d) 27
e) 21
05 Se , o valor de m é igual a:
a) 6 b) 8
c) 2 d) 4
e) 16
01 (UERJ) Na potência , n é um número natural 
menor do que 100.
 Determine o maior valor de n, de modo que o desenvol-
vimento dessa potência tenha um termo independente 
de x.
02 Determine o coeficente do termo em x4 no desenvolvi-
mento de (x + 2)7 . (x – 2)7.
03 Coloque na forma mais simples a expressão:
04 Tomando 10 pontos distintos pertencentes a uma circun-
ferência, quantos polígonos convexos inscritos podem ser 
construídos com vértices nesses pontos?
05 (UERJ) Numa barraca de frutas, as laranjas são arruma-
das em camadas retangulares, obedecendo à seguinte 
disposição: uma camada de duas laranjas encaixa-se so-
bre uma camada de seis; essa camada de seis encaixa-se 
sobre outra de doze; e assim por diante, conforme a ilus-
tração ao lado.
 Sabe-se que a soma dos elementos de uma coluna do 
triângulo de Pascal pode ser calculada pela fórmula 
, na qual n e p são nú-
meros naturais, n > p e corresponde ao número de 
combinações simples de n elementos tomados p a p.
 Com base nessas informações, calcule:
a) a soma 
..........................................................................
..........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
b) o número total de laranjas que compõem quinze camadas.
..........................................................................
..........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
236 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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Introdução
É a parte da Matemática que se dedica ao estudo dos 
fenômenos que se prestam à avalição numérica.
Nomenclatura
Uma população é formada por todos os elementos de 
um conjunto que têm pelo menos uma característica em co-
mum – característica esta que representa interesse em determi-
nado estudo estatístico.
Amostra é um subconjunto de elementos extraídos de 
uma população.
Variável é a característicaestudada de uma população. 
Pode ser qualitativa (expressa por atributos ou palavras); quan-
titativa discreta (resultados de contagem): quantitativa contí-
nua (número real proveniente de medida).
Distribuição de Frequências
A tabela, com dados agrupados por intervalos ou não, 
que mostra a relação entre a variável e a frequência é chamada 
de tabela de frequências ou de distribuição de frequências.
•	 Frequência	absoluta é a quantidade de vezes que cada 
valor é observado.
•	 Frequência	relativa indica a comparação entre cada fre-
quência absoluta e o total pesquisado.
•	 Frequência	 absoluta	 acumulada corresponde à soma 
de cada frequência absoluta com as frequências absolu-
tas anteriores.
•	 Frequência	relativa	acumulada corresponde à soma de 
cada frequência relativa com as frequências relativas an-
teriores.
rePresentações gráFicas
Representação gráfica é uma forma visual eficiente e atra-
ente de apresentar informações.
Alguns tipos de gráficos são: de barras horizontais ou 
verticais (dados representados por retângulos); de segmentos 
(formados por linha poligonal); de setores (totalidade dos da-
dos representada por círculo); múltiplos (duas ou mais carac-
terísticas) e pictogramas (dados representados por símbolos).
Histograma e Polígono de Frequências
Histograma é um gráfico formado por retângulos e que 
representa uma distribuição de frequências cuja variável tem 
seus valores agrupados em intervalos.
Polígono de frequências (ou gráfico de curva poligonal) 
é um gráfico de segmentos que pode ser construído com base 
em um histograma.
Estatística
237Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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medidas de tendência central
As medidas estatísticas que descrevem a tendência dos 
dados de se agruparem em torno de um valor central são cha-
madas de medidas de tendência central.
•	 Média	aritmética é o quociente entre a soma dos valo-
res observados e o número de observações realizadas:
•	 Média	aritmética	ponderada é a média calculada com 
uso de pesos. Os pesos correspondem às frequências ab-
solutas de cada valor observado:
Para dados agrupados sem intervalos, a frequência é o 
peso, e a média é calculada como média ponderada. Já quan-
do há intervalos, o ponto médio (PM) de cada classe é usado 
para caracterizar a média, que é calculada por:
•	 Média	geométrica é a raiz n-ésima do produto dos n 
termos.
•	 Média	harmônica é o inverso da média aritmética dos 
inversos dos seus números.
•	 Moda é o dado que ocorre com maior frequência no 
conjunto de dados observados. Existem distribuições que 
não apresentam moda (todos os dados têm a mesma fre-
quência) e, também, há distribuições que têm mais de 
uma moda (bimodais, trimodais, etc.). Quando os dados 
estão agrupados em intervalos, a moda é o ponto médio 
da classe de maior frequência (classe modal).
observação:
Chamamos de rol a sequência organizada em ordem 
crescente ou decrescente.
•	 Mediana
I – Quando a seguência possui número ímpar de termos: 
após ter sido colocada em rol, a mediana será o termo 
central.
II – Quando a sequência possui número par de termos: após 
ter sido colocada em rol, a mediana será a média aritmé-
tica dos termos centrais equidistantes dos extremos.
medidas de disPersão
As medidas estatísticas que descrevem o comportamento 
de um grupo de valores em torno das medidas de tendências 
centrais são chamadas de medidas de dispersão.
•	 Desvio	médio	em	relação	à	média (ou desvio) é a di-
ferença entre cada valor observado e a média desses va-
lores. Essa diferença indica o quanto um valor observado 
se distancia da média.
•	 Desvio	médio é a média aritmética dos valores absolutos 
dos desvios:
•	 Variância é a média artimética dos quadrados dos desvios.
•	 Desvio	padrão é a raiz quadrada da variância:
01 Considere a seguinte distribuição de frequência corres-
pondente aos diferentes preços de um determinado pro-
duto em vinte lojas pesquisadas.
 Qual o percentual de lojas com preço maior que R$ 
51,00 e menor de que R$ 54,00?
..........................................................................
..........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
.............................................................................
02 
a) Em que períodos aumentou o desmatamento na Amazô-
nia?
b) Qual foi o acréscimo percentual da área desmatada de 
1999 a 2000?
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candidato, ou então votou em branco (b). Com os dados 
obtidos, construiu-se um diagrama de setores como na 
figura ao lado. Quantas pessoas optaram pelo voto em 
branco?
a) 200
b) 175
c) 125
d) 100
e) 75
04 (ENEM-2010) O gráfico apresenta a quantidade de gols 
marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a 
Copa de 1930 até a de 2006.
 A partir dos dados apresentados, qual a mediana das 
quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas 
do Mundo?
a) 6 gols
b) 6,5 gols
c) 7 gols
d) 7,3 gols
e) 8,5 gols
03 (UNICAMP-SP) O gráfico abaixo, em forma de pizza, re-
presenta as notas obtidas em uma questão pelos 32000 
candidatos presentes à primeira fase de uma prova de 
vestibular. Ele mostra, por exemplo, que 32% desses can-
didatos tiveram nota 2 nessa questão. Pergunta-se:
a) Quantos candicatos tiveram nota 3?
b) É possível afirmar que a nota média, nessa questão, foi 
menor ou igual a 2? Justifique sua resposta.
04 Ana resolveu perguntar aos seus amigos e colegas qual 
era a estação do ano que eles preferiam. Após 180 ques-
tionários e a organização dos dados, obteve um gráfico 
circular. Os números correspondem à amplitude dos ân-
gulos ao centro.
a) Qual foi a percentagem de pessoas que responderam que 
gostavam mais da primavera?
b) Quantos responderam que gostavam mais do inverno?
c) Qual foi a moda? A quantas pessoas corresponde?
d) Qual foi a estação menos escolhida?
01 Um dado foi lançado 50 vezes. A tabela a seguir mostra 
os seis resultados possíveis e as suas respectivas frequên-
cias de ocorrências:
 A frequência de aparecimento de um resultado ímpar foi 
de:
a) 2/5
b) 11/25
c) 12/25
d) 1/2
e) 13/25
02 As notas de um candidato em suas provas de um concur-
so foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2. A nota média, a 
nota mediana e a nota modal desse aluno, são:
a) 7,9; 7,8; 7,2
b) 7,2; 7,8; 7,9
c) 7,8; 7,8; 7,9
d) 7,2; 7,8; 7,9
e) 7,8; 7,9; 7,2
03 Foi feita uma pesquisa com 1800 pessoas sobre suas pre-
ferências em relação a três candidatos, A, B e C, à pre-
feitura de uma cidade. Cada pessoa optou por um único 
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01 (2011) Uma equipe de 
especialistas do centro me-
terológico de uma cidade 
mediu a temperatura do 
ambiente, sempre no mes-
mo horário, durante 15 
dias intercalados, a partir 
do primeiro dia de um mês. 
Esse tipo de procedimento 
é frequente, uma vez que 
os dados coletados servem 
de referência para estudos 
e verificação de tendências 
climáticas ao longo dos me-
ses e anos.
 Em relação à temperatura, os valores da média, mediana 
e moda são, respectivamente, iguais a:
a) 17ºC, 17ºC e 13,5ºC
b) 17ºC, 18ºC e 13,5ºC
c) 17ºC, 13,5ºC e 18ºC
d) 17ºC, 18ºC e 21,5ºC
e) 17ºC, 113,5ºC e 21,5ºC
02 (2010) Marcos e Paulo foram classificados em um con-
curso. Para classificação o candidato deveria obter média 
aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso 
de empate na média, o desempate seria em favor da 
pontuação mais regular. No quadro a seguir são apre-
sentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, 
Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana 
e o desvio padrão dos dois candidatos.
 O candidato com pontuação regular, portanto mais bem 
classificado no concurso, é:
a) Marco, pois a média e a mediana são iguais.
b) Marco, pois obteve menor desvio padrão.
c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em 
Português.
d)Paulo, pois obteve maior mediana.
e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.
03 (2010) O quadro seguinte 
mostra o desempenho de um 
time de futebol no último 
campeonato. A coluna da es-
querda mostra o número de 
gols marcados e a coluna da 
direita informa em quantos 
jogos o time marcou aquele 
número de gols.
 Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a 
moda desta distribuição, então:
a) X = Y < Z b) Z < X = Y
c) Y < Z < X d) Z < X < Y
e) Z < Y < X
04 (2009) Suponha que a etapa final de uma gincana es-
colar consiste em um desafio de conhecimentos. Cada 
equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova ob-
jetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana 
das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no má-
ximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equi-
pe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, 
com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual 
ficou na terceira e última colocação, não pôde compare-
cer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas 
pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 
6,5; 7; 8; 6; 0.
 Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse compareci-
do essa equipe:
a) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0.
b) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.
c) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.
d) permaneceria na terceira posição, independente da nota 
obtida pelo aluno.
e) empataria com a equipe ômega na primeira colocação se 
o aluno obtivesse nota 9.
01 O histograma ao lado representa o tempo de espera (em 
minutos) na fila de um banco, em uma certa manhã, no 
centro de Belo Horizonte. Que porcentagem do total de 
pessoas esperou até 20 minutos na fila?
..........................................................................
..........................................................................
...............................................................................
..........................................................................
..........................................................................
...............................................................................
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02 
a) Calcule o número médio de brasileiros que viajaram à 
Disney nesses dez anos.
....................................................................
....................................................................
b) Qual foi a média de turistas nos três últimos anos?
....................................................................
....................................................................
03 (ENEM - Adaptada) Na tabela, são apresentdos dados 
da cotação mensal do ovo extra branco vendido no ata-
cado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de 
ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.
 De acordo com esses dados, determine o valor da me-
diana das cotações mensais do ovo extra branco nesse 
período.
Problemas de Raciocínio
São problemas em que temos que buscar um modelo 
matemático (já estudado) para sua resolução.
É importante saber o que é pedido inicialmente, para depois 
montar a equação (ou sistema) que soluciona a situação descrita.
01 (UFRJ) A figura abaixo representa uma estrela formada 
por doze triângulos elementares:
 A cada triângulo elementar está associado um número de 
acordo com as regras indicadas no diagrama seguinte:
 Dado que o número 28 está associado ao triângulo supe-
rior da estrela (ver figura), determine A, B, C, D e E.
02 (UFRJ) O quarteirão Q de uma cidade é limitado por 
quatro ruas. O número de veículos que passam por elas, 
em média, em certo horário, é indicado no diagrama, no 
qual as setas mostram o sentido do fluxo.
 Suponha que todo carro que chega no quarteirão sai por uma 
das vias indicadas, no horário considerado. Determine X.
03 (FGV) O produto das idades de três crianças com mais de 
1 ano é 231. Quantos anos tem a mais velha?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
04 Um elevador pode levar 20 adultos ou 24 crianças. Se 15 
adultos já estão nesse elevador, quantas crianças ainda 
podem entrar?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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01 Um homem que nasceu no século XVIII tinha x anos de 
idade no ano x2. A soma dos algarismos que representa 
a idade desse homem em 1776, equivale a:
a) 5 b) 7
c) 9 d) 11
02 (PUC) Em cada cela, há uma passagem secreta que con-
duz a um porão de onde partem três túneis. O primeiro 
túnel dá acesso à liberdade em 1 hora; o segundo, em 3 
horas; o terceiro leva ao ponto de partida em 6 horas. 
Em média, os prisioneiros que descobrem os túneis con-
seguem escapar da prisão em:
a) 3h 20min b) 3h 40min
c) 4h d) 4h 30min
e) 5h
03 (PUC) Em uma discoteca, há luzes vermelhas, verdes e 
amarelas. Quando ela começa a funcionar, as lâmpadas 
são acesas simultaneamente. A partir daí, a cada 16 segun-
dos, as lâmpadas vermelhas são apagadas, se estiverem 
acessas ou, acesas se estiverem apagadas. O mesmo se dá 
com as lâmpadas verdes a cada 45 segundos e com as 
amarelas a cada 140 segundos. Se a discoteca começou 
a funcionar às 21h, pode-se afirmar que às 21h 50min, 
estrão acessas:
a) todas as lâmpadas.
b) lâmpadas de apenas duas cores diferentes.
c) somente as lâmpadas vermelhas.
d) somente as lâmpadas amarelas.
e) somente as lâmpadas verdes.
04 Uma pessoa, começando com R$ 640,00, faz seis apostas 
consecutivas, em cada uma das quais arrisca perder ou 
ganhar a metade do que possui na ocasião. Se ela vence 
três e perde três dessas apostas, podemos afirmar que:
a) ganha dinheiro.
b) não ganha nem perde dinheiro.
c) ganha ou perde dinheiro, dependendo da ordem em que 
sucederam suas vitóries e derrotas.
d) perde R$ 270,00.
e) perde R$ 370,00.
05 Uma calculadora mostra no seu visor o número x. A tecla 
A transforma esse número em 1/x e a tecla B multiplica-o 
por 2. Se o número 2 está no visor e digitamos a se-
quência ABABABAB...AB, num total de 998 digitações, 
obteremos um número que é igual a:
a) 2 b) 1
c) 1/2 d) 1/4
01 (2000) O esquema ilustra o processo de obtenção do 
álcool etílico a partir da cana-de-açúcar.
 Em 1996, foram produzidos no Brasil 12 bilhões de litros 
de álcool. A quantidade de cana-de-açúcar, em toneladas, 
que teve de ser colhida para esse fim foi aproximadamente:
a) 1,7 x 108
b) 1,2 x 109
c) 1,7 x 109
d) 1,2 x 1010
e) 7,0 x 1010
02 (2000) Determinada Estação trata cerca de 30.000 litros 
de água por segundo. Para evitar riscos de fluorose, a 
concentração máxima de fluoretos nessa água não deve 
exceder a cerca de 1,5 miligrama por litro de água.
 A quantidade máxima dessa espécie química que pode 
ser utilizada com segurança, no volume de água tratada 
em uma hora, nessa Estação, é:
a) 1,5kg b) 4,5kg
c) 96kg d) 124kg
e) 162kg
03 O ferro pode ser obtido da hematita, minério rico em óxi-
do de ferro, pela reação com carvão e oxigênio. A tabela 
a seguir apresenta dados da análise de minério de ferro 
(hematita) obtido de várias regiões da Serra de Carajás.
 No processo de produção do ferro, a sílica é removida do 
minério por reação com calcário (CaCO3). Sabe-se, teo-
ricamente (cálculo estequiométrico), que são necessários 
100g de calcário para reagir com 60g de sílica.
 Dessa forma, pode-se prever que, para a remoção de 
toda a sílica presente em 200 toneladas do minério na 
região 1, a massa de calcário necessária é, aproximada-
mente, em toneladas, igual a:
a) 1,9 b) 3,2
c) 5,1 d) 6,4
e) 8,0
04 (2002) Os números e cifras envolvidos, quando lidamos 
com dados sobre produção e consumo de energia em 
nosso país, são sempre muito grandes. Apenas no setor 
residencial, em um único dia, o consumo de energia elétrica 
é da ordem de 200 mil MWh. Para avaliar esse consumo, 
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01 (UFRJ) Os dados são usados para sortear números de 1 a 
6. Sempre que um dado é jogado, o resultado do sorteio 
é o número que aparece na face virada para cima. Todo 
dado é construído de forma que a soma dos números 
colocados em faces opostas é sempre 7.
 Um dado foi jogado duas vezes com resultado diferentes. 
Em ambas às vezes, a soma das cinco faces visíveis foi um 
número primo. Quais os números sorteados?
02 (UFRJ) Na pirâmide a seguir, para as camadas acima da 
base, o número colocado em cada tijolo é a soma dos nú-
meros dos dois tijolos nos quais ele se apóia e que estão 
imediatamente abaixo dele.
 Determine o número do tijolo situado na base da pirâmi-
de e apontado pela seta.
imagine uma situação em que o Brasil não dispusesse de hi-
drelétricas e tivesse de depender somente de termoelétricas, 
onde cada kg de carvão, ao ser queimado, permite obter 
uma quantidade de energia da ordem de 10kWh.
 Considerando que um caminhão transporta, em média, 
10 toneladas de carvão, a quantidade de caminhões de 
carvão necessária para abastecer as termoelétricas, a 
cada dia, seria da ordem de:
a) 20 b) 200
c) 1.000 d) 2.000
e) 10.000
03 (PUC) Três caixas etiquetadas estão sobre uma mesa. 
Uma delas contém apenas canetas; outra, apenas lápis; 
e há uma que contém lápis e canetas. As etiquetas são: 
“canetas”, “lápis” e “lápis e canetas”, porém nenhuma 
caixa está com a etiqueta correta. É permitida a opera-
ção: escolher uma caixa e dela retirar um único objeto. 
Qual o número mínimo de operações necessárias para 
colocar corretamente as etiquetas?
04 A população de uma cidade era expressa por um núme-
ro quadrado perfeito. Depois com um aumento de 100 
habitantes, a população passou a ser uma unidade maior 
do que um quadrado perfeito. Depois, com outro au-
mento de 100 habitantes, a população voltou a ser ex-
pressa por um número quadrado perfeito. Determine o 
número de habitantes originalmente.
05 O Gustavo viaja por uma estrada com velocidade cons-
tante. Num determinado instante passa por um marco de 
quilometragem que contém dois algarismos xy. Uma hora 
depois, passa por outro marco que contém os mesmos 
dois algarismos, mas em ordem invertida, yx. Mais uma 
hora depois, ao passar por um terceiro marco, observa que 
aí existe um zero entre aqueles mesmos algarismos, xoy. 
Determine a velocidade que Gustavo viaja em km/h.
01 Uma moça vai desfilar vestindo saia, blusa, bolsa e cha-
péu. O organizador do desfile afirma que três modelos 
de saia, três de blusa, cinco de bolsas e um certo número 
de chapéus permitem mais de duzentas possibilidades de 
diferentes escolhas deste traje. Assinale a alternativa que 
apresenta o número mínimo de chapéus que torna verda-
deira a afirmação do organizador.
a) 189 b) 30
c) 11 d) 5
e) 4
02 (UNESP) Um certo tipo de código usa apenas dois sím-
bolos, o número zero (0) e o número um (1) e, consi-
derando esses símbolos como letras, podem-se formar 
palavras. Por exemplo: 0, 01, 00, 001 e 110 são algumas 
palavras de uma, duas e três letras desse código. O núme-
ro máximo de palavras, com cinco letras ou menos, que 
podem ser formadas com esse código é:
a) 120 b) 62
c) 60 d) 20
e) 10
03 (UERJ) A tabela apresenta os critérios adotados por dois 
países para a formação de placas de automóveis. Em 
ambos os casos, podem ser utilizados quaisquer dos 10 
algarismos de 0 a 9 e das 26 letras do alfabeto romano. 
Considere o número máximo de placas distintas que po-
dem ser confeccionadas no país X igual a n e no país Y 
igual a p. A razão corresponde n/p a:
a) 1 b) 2
c) 3 d) 6
04 (UERJ) Um estudante possui dez figurinhas, cada uma 
com o escudo de um único time de futebol, distribuídas 
de acordo com a tabela.
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 Para presentear um colega, o estudante deseja formar um 
conjunto de cinco dessas figurinhas, atendendo, simulta-
neamente, aos seguintes critérios:
– duas figurinhas deverão ter o mesmo escudo;
– três figurinhas deverão ter escudos diferentes entre si e 
também das outras duas.
 De acordo com esses critérios, o número máximo de con-
juntos distintos entre si que podem ser formados é igual a:
a) 32 b) 40
c) 56 d) 72
05 (UFRRJ) Um grupo de dez pessoas da turma de Psicolo-
gia de Cris resolveu formar uma comissão de formatura 
escolhendo um presidente, um secretário e um tesourei-
ro. Sabendo-se que a filha de Cris integrava o grupo e 
preocupada com um possível carga que a mesma pudes-
se ocupar, Salete conversou com o marido:
 — Pierre, eu não gostaria que a Cris fosse tesoureira.
 — Fique tranquila, disse Pierre! A probabilidade de Cris 
ser tesoureira é muito pequena!
 Qual seria essa probabilidade?
a) 1/10 b) 1/8
c) 7/8 d) 1/7
e) 1/15
06 Um estudante caminha diariamente de casa para o colé-
gio, onde não é permitido ingressar após às 7h 30min. 
No trajeto ele é obrigado a cruzar três ruas. A probabili-
dade de cada sinal estar aberto para o pedestre é igual 
a 2/3 e a probabilidade de estar fechado é igual a 1/3. 
Cada sinal aberto não atrasa o estudante, porém cada si-
nal fechado o retém por 1 minuto. O estudante caminha 
sempre com a mesma velocidade. Quando os três sinais 
estão abertos, o estudante gasta exatamente 20 minutos 
para fazer o trajeto. Em certo dia, o estudante saiu de 
casa às 7h 09min. A probabilidade de o estudante, nesse 
dia, chegar atrasado ao colégio, ou seja, chegar após às 
7h 30min é:
a) 4/27 b) 5/27
c) 6/27 d) 7/27
e) 8/27
07 Suponha que, dos imigrantes que chegaram aos Estados 
Unidos, mil fossem brasileiros. Um dos milhões de imi-
grantes teve sorte grande naquele país: ficou rico. A pro-
babilidade de que esse imigrante não seja brasileiro é de:
a) 0,80% b) 9,92%
c) 80,00% d) 99,20%
e) 100%
08 (UNESP) Para uma partida de futebol, a probabilidade 
de o jogador R não ser escalado é 0,2 e a probabilidade 
de o jogador S ser escalado é 0,7. Sabendo que a escala-
ção de um deles é independente da escalação do outro, 
a probabilidade de os dois jogadores serem escalados é:
a) 0,06 b) 0,14
c) 0,24 d) 0,56
e) 0,72
09 (CEFET) Joga-se uma moeda não viciada 10 vezes. Qual 
a probabilidade de obtermos exatamente 5 caras?
a) b) 
c) d) 
10 (UERJ) Um RNA sintético foi formado apenas pelas bases 
citosina e guanina, dispostas ao acaso, num total de 21 
bases. O esquema abaixo mostra o RNA mensageiro, for-
mado a partir da introdução dos códons de iniciação AUG 
e de terminação UAA nas extremidades do RNA original. 
Nesse esquema, B representa as bases C ou G.
 Sabe-se que:
– os códons correspondentes ao aminoácido arginina são: 
AGA, AGG, CGA, CGC, CGG e CGU;
– o aminoácido metionina correspondente ao códon de 
iniciação AUG é removido do peptídeo sintetizado pela 
tradução desse RNA mensageiro. A probabilidade de que 
a arginina apareça pelo menos uma vez na estrutura final 
deste peptídeo é de:
a) b) 
c) d) 
11 (UERJ) A maioria dos relógios digitais é formada por um 
conjunto de quatro displays, compostos por sete filetes 
luminosos. Para acender cada filete, é necessária uma 
corrente elétrica de 10 miliampères. O 1º e o 2º displays 
do relógio indicam as horas, e o 3º e 4º indicam os minutos.
 Admita, agora, que outro relógio, idêntico, apresente um 
defeito no 4º display: a cada minuto acendem, ao acaso, 
exatamente cinco filetes quaisquer. Observe, a seguir, al-
guns exemplos de forma que o 4º display pode apresentar 
com cinco filetes acesos.
244 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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16 (ESPM-SP) Considere todos os pares ordenados (x, y) do 
produto cartexiano A x B onde A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 
3, 5}. Tomando-se todos os 12 produtos x . y, podemos 
afirmar que a média, a moda e a mediana desse conjunto 
são respectivamente:
a) 9,5; 7,5 e 5,5 b) 7,5; 5,5 e 3,0
c) 7,5; 3,0 e 5,5 d) 5,5; 5,5 e 5,5
e) 7,5; 3,0 e 6,0
17 (UFPE) Os gráficos ilustram a distribuição percentual deenergia elétrica no Brasil dos diversos setores e do setor 
industrial. Assinale a alternativa incorreta sobre o consu-
mo de energia elétrica no Brasil.
a) O setor de metais consome mais que o comercial.
b) O setor público consome mais que o de alimentos.
c) O setor residencial consome mais que, juntos, o químico 
e o de metais.
d) O setor de papel consome 4,1% do total de energia.
e) O setor químico e o de alimentos consomem juntos me-
nos que o residencial.
18 (UFSC) O gráfico em setores do círculo de centro O re-
presenta a distribuição das idades dos eleitores de uma 
cidade. O diâmetro mede 10cm e o comprimento 
do menor arco AC é 5p/3 cm. 
O setor x representa todos os 
8000 eleitores com menos de 
18 anos, e o setor y representa 
os eleitores com idade entre 18 
e 30 anos, cujo número é:
a) 12000
b) 14800
c) 16000
d) 18000
e) 20800
19 (UFMG) Uma pesquisa eleitoral estudou a intenção de 
votos nos candidatos A, B e C, obtendo os resultados 
apresentados no gráfico. 
 A probabilidade de esse display formar, pelo menos, um 
número em dois minutos seguidos é igual a:
a) b) 
c) d) 
12 (UERJ) Um pesquisador possui em seu laboratório um 
recipiente contendo 100 exemplares de Aedes aegypti, 
cada um deles contaminado com apenas um dos tipos de 
vírus, de acordo com a seguinte tabela:
 Retirando-se simultaneamente e ao acaso dois mosquitos 
desse recipiente, a probabilidade de que pelo menos um 
esteja contaminado com o tipo DEN 3 equivale a:
a) b) 
c) d) 
13 (UERJ) Com o intuito de separar o lixo para fins de re-
ciclagem, uma instituição colocou em suas dependências 
cinco lixeiras de diferentes cores, de acordo com o tipo 
de resíduo a que se destinam: vidro, plástico, metal, pa-
pel e lixo orgânico. Sem olhar para as lixeiras, João joga 
em uma delas uma embalagem plástica e, ao mesmo 
tempo, em outra, uma garrafa de vidro.
 A probabilidade de que ele tenha usado corretamente 
pelo menos uma lixeira é igual a:
a) 25% b) 30%
c) 35% d) 40%
14 Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)9, desenmvol-
vido seguindo as potências decrescentes de x:
a) 1
b) x
c) 672 x3
d) 1000 x2
15 Determinar a soma dos coeficientes de (x – y)50:
a) 0 b) 10
c) 200 d) 3000
245Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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 No universo pesquisado, considere que P seja o conjunto 
das pessoas que vivem na rua por motivos de alcoolismo/
drogas e Q seja o conjunto daquelas cujo motivo para 
viverem na rua é a decepção amorosa. Escolhendo-se ao 
acaso uma pessoa no grupo pesquisado e supondo-se 
que seja igual a 40% a probabilidade de que essa pessoa 
faça parte do conjunto P ou do conjunto Q, então a pro-
babilidade de que ela faça parte do conjunto interseção 
de P e Q é igual a:
a) 12% b) 16%
c) 20% d) 36%
e) 52%
23 (ENEM) A tabela indica a posição relativa de quatro ti-
mes de futebol na classificação geral de um torneio, em 
dois anos consecutivos. O símbolo • singifica que o time 
indicado na linha ficou, no ano de 2004, a frente do time 
da coluna. O símbolo * significa que o time indicado fi-
cou, no ano de 2005, a frente do indicado na coluna. A 
probabilidade de que um desses quatro times, escolhidos 
ao acaso, tenha obtido a mesma classificação no torneio, 
em 2004 e 2005, é igual a:
a) 0,00
b) 0,25
c) 0,50
d) 0,75
e) 1,00
24 (ENEM) O controle de qualidade de uma empresa fabri-
cante de telefones celulares aponta que a probabilida-
de de um aparelho de determinado modelo apresentar 
defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de 
vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual 
é a probabilidade de esse clientes sair da loja com exata-
mente dois aparelhos defeituosos?
a) 2 x (0,2%)4
b) 4 x (0,2%)2
c) 6 x (0,2%)2 x (99,8%)2
d) 4 x (0,2%)
e) 6 x (0,2%) x (99,8%)
25 (ENEM) O diretor de um colégio leu numa revista que os 
pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, 
a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 
35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informa-
ção científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com 
funcionários do colégio, obtendo o quadro a seguir:
 Coloque V (verdadeiro) ou F (falso) nas afirmativas:
( ) O candidato B pode se considerar eleito.
( ) O número de pessoas consultadas foi de 5400.
( ) O candidato B possui 30% das intençõs de voto.
( ) Se o candidato C obtiver 70% dos votos dos indecisos 
e o restante dos indecisos optarem pelo candidato A, o 
candidato C assume a liderança.
( ) O candidato A ainda tem chances de vencer as eleições.
20 (ENEM) O jogo-da-velha é um jogo popular, originado 
na Inglaterra. O nome “velha” surgiu do fato de esse jogo 
ser praticado, à época em que foi criado, por senhoras 
idosas que tinham dificuldades de visão e não conse-
guiam mais bordar. Esse jogo consiste na disputa de dois 
adversários que, em um tabuleiro 3x3, devem conseguir 
alinhar verticalmente, horizontalmente ou na diagonal, 3 
peças de formato idêntico. Cada jogador, após escolher 
o fromato da peça com a qual irá jogar, coloca uma peça 
por vez, em qualquer casa do tabuleiro, e passa a vez 
para o adversário. Vence o primeiro que alinhar 3 peças.
 No tabuleiro representado abaixo, estão registradas as 
jogadas de dois adversários em um dado momento. Ob-
serve que uma das peças tem formato de círculo e a outra 
tem a forma de um xis. Considere as regras do jogo-da-
velha e o fato de que, neste momento, é a vez do joga-
dor que utiliza os círculos. Para garantir a vitória na sua 
próxima jogada, esse jogador pode posicionar a peça no 
tabuleiro de:
a) uma só maneira.
b) duas maneiras.
c) três maneiras distintas.
d) quatro maneiras distintas.
e) cinco maneiras distintas.
21 (ENEM) “Dados do Instituto de Pesquisas Econômicas 
Aplicadas (IPEA) revelaram que no biênio 2004/2005, 
nas rodovias federais, os atropelamentos com morte ocu-
param o segundo lugar no ranking de mortalidade por 
acidente. A cada 34 atropelamentos, ocorrem 10 mortes. 
Cerca de 4 mil atropelamentos/ano, um a cada duas ho-
ras, aproximadamente.”
(Disponível em www.ipea.gov.br. Acesso: 06/06/2009)
 De acordo com os dados, se for escolhido aleatoriamente 
para investigação mais detalhada um dos atropelamentos 
ocorridos no biênio 2004/2005, a probabilidade de ter 
sido um atropelamento sem morte é:
a) 2/17 b) 5/17
c) 2/5 d) 3/5
e) 12/17
22 (ENEM) O Ministério do Desenvolvimento Social e Com-
bate à Fome (MDS) realizou, em parceria com a ONU, 
uma pesquisa nacional sobre a população que vive na 
rua, tendo sido ouvidas 31.992 pessoas em 71 cidades 
brasileiras. Nesse levantamento, constatou-se que a 
maioria dessa população sabe ler e escrever (74%), que 
apenas 15,1% vivem de esmolas e que, entre os mora-
dores de rua que ingressaram no ensino superior, 0,7% 
se diplomou. Outros dados da pesquisa são apresentados 
nos quadros.
246 Volume 01 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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a
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tica 1
 Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela 
tem calçado maior que 36,0 a probabilidade de ela cal-
çar 38,0 é:
a) 1/3 b) 1/5
c) 2/5 d) 5/7
e) 5/14
26 (ENEM) Os dados do gráfico foram coletados por meio 
da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios.
 Supondo-se que, no Sudeste, 14900 estudantes foram 
entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuíam te-
lefone celular?
a) 5513 b) 6556
c) 7450 d) 8344
e) 9536
27 (ENEM) No gráfico estão representados os gols marcados 
e os gols sofridos por uma equipe de futebol nas dez pri-
meiras partidas de um determinado campeonato.
 Considerando que, neste campeonato, as equipes ga-
nham 3 pontos para cada vitória, 1 ponto por empate 
e 0 ponto em caso de derrota, a equipe em questão, ao 
final da décima partida, terá acumulado um número de 
pontos igual a:
a) 15 b) 17
c) 18 d) 20
e) 24
28 Os dados do gráfico seguinte foram gerados a partir de 
dados colhidos no conjunto de seis regiões metropolita-
nas pelo Departamento Intersindical de Estatística e Estu-
dos Socioeconômicos (Dieese).
 Supondo que o total