Unidade_2_-_Sistemas_de_Numeracao

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IESAM – Sistemas Digitais I – Profa. Josiane Rodrigues 1
 Unidade 2 
Sistemas de Numeração 
 
2.1 – Introdução 
 
O homem, através dos tempos, sentiu a necessidade da utilização de sistemas 
numéricos. 
Existem vários sistemas numéricos, dentre os quais se destacam: o sistema decimal, o 
binário, o octal e o hexadecimal. 
O sistema decimal é utilizado por nós no dia-a-dia e é, sem dúvida, o mais importante 
dos sistemas numéricos. Trata-se de um sistema que possui dez algarismos, com os quais 
podemos formar qualquer número, através da sua lei de formação. Os sistemas binário, 
octal e hexadecimal são, por sua vez, muito importantes na área de técnicas digitais e 
computação. Este capítulo discorre sobre esses sistemas de numeração, assim como, a 
conversão de um sistema para outro. 
 
2.2 – Sistema Decimal 
 
O sistema decimal é composto de 10 algarismos ou símbolos. Esses 10 símbolos são 0, 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Utilizando esses símbolos como dígitos de um número, podemos 
expressar qualquer quantidade. Esse sistema é o mais conhecido e utilizado dentre todos os 
sistemas existentes. 
 
2.3 – Sistema Binário 
 
O sistema de números binários fornece a base para um projeto digital e possui apenas 
dois algarismos: 
 o algarismo 0 (zero), e, 
 o algarismo 1 (um). 
 
Para representarmos a quantidade zero, utilizamos o algarismo (0), para representarmos 
a quantidade um utilizamos o algarismo (1). E para representarmos a quantidade dois, se 
nós não possuímos o algarismo (2) nesse sistema? 
É simples. No sistema decimal, nós não possuímos o algarismo dez e representamos a 
quantidade de uma dezena utilizando o algarismo (1) seguido do algarismo (0). Neste caso, 
o algarismo 1 significa que temos o grupo de uma dezena e o algarismo 0 nenhuma 
unidade, o que significa dez. 
No sistema binário agimos da mesma forma para representarmos a quantidade dois, 
utilizamos o algarismo 1 seguido do algarismo 0. O algarismo 1 significará que temos um 
grupo de dois elementos e o 0 um grupo de nenhuma unidade, representando assim o 
número dois. 
Após esta explicação, podemos notar que a numeração em binário é formada como 
mostra a Tabela 2.1. 
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Tabela 2.1 
DECIMAL BINÁRIO 
0 0 
1 1 
2 10 
3 11 
4 100 
5 101 
: : 
: : 
 
Observando-se a Tabela 2.1, percebe-se que um único bit nos permite descrever apenas 
dois valores possíveis; portanto, uma única variável binária tem um uso limitado. Porém, 
podemos utilizar grupos de bits para descrever situações mais complexas (por exemplo, 
descrever o número 2, como foi descrito anteriormente). Seguindo esse raciocínio, um 
grupo de 4 bits pode fornecer 16 combinações (que representam números) diferentes, pois, 
24=16. Portanto, mesmo que um dígito binário possa ser apenas 0 ou 1, um segmento de 
dados de quatro bits pode ser utilizado para descrever uma situação em que podem ocorrer 
16 possibilidades diferentes. 
Essa linha de raciocínio pode ser utilizada para construir grupos com um número 
arbitrário de bits. Por exemplo, o segmento de oito bits: 
 
Info = X7X6X5X4X3X2X1X0 
 
É definido como sendo um único objeto que tem 28 = 256 possíveis combinações. De 
forma semelhante, um grupo de 16 bits tem 216 = 65 536 valores distintos a assim por 
diante. Grupos de dígitos binários podem ser usados para representar qualquer situação, 
desde que utilizemos um número suficiente de bits. Esta é a chave da utilização de números 
binários para a solução dos problemas do mundo real. 
Neste momento torna-se útil introduzir alguma terminologia para lidar com grupos de 
bits. Um grupo de bits é freqüentemente chamado de palavra, independentemente do 
número de bits envolvido. No exemplo acima Info é uma palavra de 8 bits. O número de 
bits (b) em uma palavra pode ou não ter significado, dependendo do sistema. No mundo 
dos microcomputadores, um byte (B) significa uma palavra de oito bits. 
Quando se discute sistemas binários, introduzem-se abreviações para certas potências 
de dois, como estão detalhadas na Tabela 2.2. 
Tabela 2.2 
Tamanho da Palavra Número de Valores Abreviação para o Valor 
8b 28=256 
10b 210=1024 1Kb (kilobit) 
16b 216=65 536 64Kb 
20b 220=1 048 576 1Mb (megabit) 
28b 228=268 435 456 256Mb 
30b 230=1 073 741 824 1Gb (gigabit) 
 
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Como estas abreviações são baseadas no sistema de numeração binário, os prefixos 
correspondem a valores diferentes daqueles quando aplicados aos números da base-10 
(decimais). Por exemplo, no sistema binário, 1Kb significa 1024 bits, enquanto seu uso 
convencional (por exemplo, em física ou eletrônica), 1K = 1000 = 103. De forma 
semelhante, 1Mb = 1024Kb. 
Deve-se também ter a cautela com a diferença entre um bit(b) e um byte(B). Desde que 
1B=8b. É importante observar a separação entre eles. Por exemplo, o tamanho da memória 
principal de um computador pessoal é especificado como o número de bytes que ela pode 
armazenar. 
 
2.3.1 – Representação dos Dados 
 
É possível utilizar palavras binárias para representar o qualquer coisa, desde que elas 
sejam definidas de maneira apropriada. Por exemplo, suponha que se queira descrever as 
quatro direções (esquerda, direita, frente e atrás) utilizando uma palavra binária. Como 
22=4, necessitaremos de uma palavra de dois bits para descrever as quatro direções. 
Criando-se a palavra “direção” D=D1D0, em que D1 e D0 são bits. Uma vez criada a 
palavra, pode-se definir as seguintes associações: 
 
D = 00 Esquerda 
D = 01 Direita 
D = 10 Frente 
D = 11 Atrás 
Tais associações são completamente arbitrárias. Contudo, uma vez definidas, deve-se 
mantê-las intactas de tal forma que sempre se saiba o real valor a que D está associado. Por 
exemplo, a tradução da palavra D=01 significa “Direita”. Apesar de os bits por si só não 
terem nenhuma relação com as direções, as definições fornecem as associações 
apropriadas. 
O processo de dar significado a um grupo de bits é chamado de codificação e pode 
ser aplicado a qualquer situação que se deseja. Números e letras são itens usualmente mais 
codificados, mas pode-se representar qualquer grupo de objetos através de definições. O 
processo inverso da codificação, quando um número binário é interpretado para o nosso 
uso, é chamado de decodificação. Nessa operação, a informação codificada é utilizada para 
extrair o seu real significado. Por motivos óbvios, deve-se utilizar o mesmo esquema de 
codificação para decodificar uma palavra binária ou, de outra forma, você terá um grupo de 
bits sem qualquer significado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 – O processo de codificação e decodificação. 
En
tra
da
 d
e 
da
do
s 
C
od
ifi
ca
do
r A unidade de 
processamento 
“processa” os dados 
D
ec
od
ifi
ca
do
r 
Sa
íd
a 
Saída binária Representação 
binária dos dados 
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O processo de codificação e decodificação necessita, muitas vezes, da conversão entre 
um sistema de numeração e outro, como veremos a seguir: 
 
2.3.2– Conversão do Sistema Binário para o Sistema Decimal 
 
Considerando-se um número decimal qualquer, por exemplo, o número 594. Este 
número significa: 
 
5 x 100 + 9 x 10 + 4 x 1 =594 
 
 
5 x 102 + 9 x 101 + 4 x 100 = 594 
 
Neste exemplo, nota-se que o algarismo menos significativo (no caso o quatro) 
multiplica a unidade (1 ou 100), o segundo algarismo ( o nove) multiplica a dezena (10 ou 
101) e o mais significativo (no caso o 5) multiplica a centena (100 ou 102). 
A soma desses resultados irá representar o número, onde, a base desse sistema é o 
número 10 (dez). 
A base do sistema binário é o 2 (dois). 
Considerando-se, agora, um númerobinário qualquer, por exemplo, o número 101. 
Pela Tabela 2.1 observa-se que este equivale ao número 5 no sistema decimal. 
Utilizando-se o conceito básico de formação de um número, pode-se obter a mesma 
equivalência, convertendo assim o número 101 para o sistema decimal, tem-se: 
 
1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 
1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 = 5 
 
Portanto, o número 101 na base 2 é igual ao número 5 na base 10. 
 
Exemplo 1 
Converta o número binário de quatro bits N=0110 para o seu equivalente na base-
10. 
 
N= 0110 
 = (0 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20) 
 = (0x 8) + (1 x 4) + (1 x 2) + (0 x 1) 
 = 4 + 2 
 = 6 
 
 O que mostra que 01102 é igual ao decimal 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 centena dezena unidade 
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Exemplo 2 
Converta o número binário de 8 bits X=01011100 para o seu equivalente na base-10. 
 
X=01011100 
 = (0 x 27) + (1 x 26) + (0 x 25) + (1 x 24) + (1 x 23) + (1 x 22) + (0 x 21) + (0 x 20) 
 = (0 x 128) + (1 x 64) + (0 x 32) + (1 x 16) + (1 x 8) + (1 x 4) + (0 x 2) + (0 x 1) 
 = 64 + 16 + 8 + 4 
 =92 
 
Exercícios Propostos 
Converta os seguintes números binários em decimal: 
 
a) 10011002 e) 100012 
b) 11112 f) 10101102 
c) 111112 g) 0110011001101012 
d) 100002 h) 0,101102 
 
2.3.3 – Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Binário 
 
Como vimos, a necessidade da conversão do sistema binário para decimal é evidente, 
pois, se tivermos um número grande no sistema binário fica difícil perceber a quantidade 
que este representa. Transformando-se este número em decimal, o problema desaparece. 
A mudança de um número da base-10 (decimal) para o seu equivalente binário requer 
um pouco mais de trabalho do que a operação contrária. Aqui, apresentaremos uma técnica 
chamada de divisões sucessivas, que permite efetuar a operação de mudança de base. 
Considere um número decimal N. Para encontrar a palavra binária b equivalente, 
dividiremos, sucessivamente, o número N por 2, anotando o resto após cada divisão. O 
resto da divisão será um bit em b, Esta técnica é melhor entendida através de exemplos. 
 
Exemplo 3 
 Tomemos um número decimal qualquer, por exemplo, o número 47. 
 Dividindo o número 47 por 2, temos: 
 
10
221
251
2111
2231
247
 
 
 
Portanto 4710 = 1011112 
 
 
 
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Exemplo 4 
 Convertendo o número 55210 em binário. 
 
10
220
240
281
2170
2341
2690
21380
22760
2552
 
 
Portanto, 55210 = 10001010002 
 
Exercícios Propostos: 
Converta os seguintes números decimais em binários: 
 
a) 7810 e) 80810 
b) 10210 f) 54210 
c) 21510 g) 1638310 
d) 40410 h) 0,687510 
 
2.4 - Sistema Octal 
 
O sistema de numeração octal é composto de 8 oito dígitos, os quais são: 
 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 
 
Para se contar acima de 7, neste sistema, veja Tabela 2.3, inicie uma nova coluna e 
continue: 
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 22, ... 
 A contagem em octal é similar à contagem em decimal, exceto que os dígitos 8 e 9 
não são usados. A fim de distinguir os números octais dos decimais usamos o subscrito 8 
para indicar que o número em questão é octal. Por exemplo, 158 em octal é equivalente a 
1310 em decimal. Algumas vezes podemos encontrar “o” ou “Q” após o número, indicando 
que ele é octal. 
 Após esta pequena introdução, podemos mostrar a seqüência da numeração octal: 
Tabela 2.3 – Números Octais. 
Decimal Octal 
0 0 
1 1 
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2 2 
3 3 
4 4 
5 5 
6 6 
7 7 
8 10 
9 11 
10 12 
11 13 
12 14 
13 15 
14 16 
15 17 
16 20 
17 21 
: : 
 
2.4.1 – Conversão do Sistema Octal para o Sistema Decimal 
 
 Para convertermos um número octal em decimal, utilizamos os conceitos básicos de 
formação de um número. Vamos, por exemplo, converter o número 1448 em decimal: 
 
82 81 80 
1 4 4 
 
108
10
012
100144
100432641484641848481


 
Exemplo 5 
Converta o número 778 em decimal. 
108
10
01
6377
6317878787


 
 
Exemplo 6 
 Converta o número 1008 em decimal. 
 
108
10
012
64100
64808081


 
 
Obs.: Pelos exemplos acima, podemos concluir que após o 778 vem o 1008. 
 
 
 
 
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Exemplo 7 
Converta o número 4768 em decimal. 
 
108
10
012
318467
3186562561687644868784


 
 
Exercícios Propostos 
1 - Converta para o sistema decimal os seguintes números octais: 
a) 148 
b) 678 
c) 1538 
d) 15448 
2 – Por que o número 158748 não pode ser um número octal? 
 
2.4.2 - Conversão do Sistema Octal para o Sistema Binário 
 Trata-se de uma conversão extremamente simples, podendo utilizar a regra prática 
descrita abaixo. 
Tomemos um número octal qualquer, por exemplo o número 27, a regra consiste em 
transformar cada algarismo no correspondente binário: 
28 1011127
11170102


 ( zero à esquerda é algarismo não significativo) 
 
Exemplo 8 
 Converta os seguintes números octais em binário: 
a) 348 
28 111003410040113  
 
b) 5368 
 
28 101011110536110601131015  
c) 446758 
 
28 1110110010011014467510151117110610041004 
 
Exercícios Propostos 
 Converta os seguintes números octais em binários: 
a) 4778 
b) 15238 
c) 47648 
d) 100008 
e) 43218 
 
 
 
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2.4.3 - Conversão do Sistema Binário para o Sistema Octal 
 
 Tomemos um número binário qualquer, por exemplo, o número 1100102. Para 
transformarmos esse número em octal, vamos separá-lo em grupos de três algarismos a 
partir da direita: 110 010 
 Fazemos, agora, a conversão de cada grupo de algarismo para o sistema decimal. 
Podemos notar que o maior número que se pode formar com três algarismos binários é o 7. 
Esta conversão irá resultar diretamente no número no sistema octal: 
26
010110
 82 62010:110  
 
 Em caso do último número se formar incompleto, adicionamos zeros à esquerda, até 
completá-lo com três algarismos. 
 Para exemplificar, vamos converter o número 10102 em octal: 
 0101 
 Acrescentamos zeros à esquerda até completarmos o grupo de três algarismos: 
 010001 
 A partir daí, utilizamos o processo já visto: 
 
21
010001
 82 121010  
Exemplo 9 
 Converta os seguintes números binários em octal: 
a) 101112 
72
2710111111010 82


 
 
b) 110101012 
523
32511010101101010011 82


 
c) 10001100112 
3601
10631000110011011110000001 82


 
Exercícios Propostos 
 Converta os seguintes números binários em octal: 
a) 10112 d) 10000000012 
b) 100111002 
c) 1101011102 
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2.4.4 – Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Octal 
 
Existem dois métodos para efetuarmos esta conversão. O primeiro é análogo à 
conversão do sistema decimal para o binário, somente que nesse caso, utilizaremos a 
divisão por 8, pois o sistema é octal. 
Vamos converter o número 9210 para o sistema octal: 
 
 92 8 
 4 11 8 
 3 1 
 
 
 810 13492  
 
O outro método consiste na conversão do número decimal em binário e logo após, na 
conversão do sistema binário em octal. Aparentemente é mais trabalhoso, porém, 
poderemos notar, em aplicações posteriores, que este método é de grande praticidade. 
Vamos converter o número 9210 em octal, utilizando o segundo método: 
 
 
10
221
251
2111
2230
2460
292
 
 
 210 101110092  
 
431
13492100011001 810


 
Exemplo 10 
 Converta o número 7410 em octal.1o método: 
 
11
892
874
 
 
 
 810 11274  
 
 
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2o método: 
 
10
220
241
290
2181
2370
274
 
 
 
 210 100101074  
211
11274010001001 810


 
Exemplo 11 
 
 Converta o número 51210 em octal: 
1o método: 
 
10
880
8640
8512
 
 
 
 810 1000512  
 
2o método: 
 
 210
9
10 10000000005122512  
 
0001
1000512000000000001 810


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 12 
 Converta o número 71910 em octal: 
 Vamos resolver, utilizando o segundo método: 
 
 
10
221
251
2110
2220
2441
2891
21791
23591
2719
 
 
 210 1011001111719  
 
7131
1317719111001011001 810


 
 
Exercícios Propostos 
 Converta os seguintes números decimais em octal: 
a) 10710 
b) 18510 
c) 204810 
d) 409710 
 
2.5 - Sistema Hexadecimal 
 
O hexadecimal é um sistema de base-16, que utiliza os seguintes 16 símbolos como 
dígitos básicos: 
 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 
 
Observe que A, B, C, D, E e F são utilizados como dígitos e não como letras. Os 
dígitos em letras minúsculas (a, b, c, d, e, f) são também utilizados na prática. Uma palavra 
em base-16 consiste em dígitos hexadecimais organizados em uma ordem específica, com o 
dígito mais significativo à esquerda e o menos significativo à direita. Por exemplo, H = 
304E é uma palavra hexadecimal válida, na qual 3 é o dígito mais significativo e o E é o 
menos significativo. 
 
 
IESAM – Sistemas Digitais I – Profa. Josiane Rodrigues 13
2.5.1 - Conversão do Sistema Hexadecimal para o Sistema Decimal 
 
Para encontrar o equivalente N na base-10 (decimal) de uma palavra hexadecimal H = 
h3 h2 h1 h0 de 4 dígitos, utiliza-se a fórmula: 
 
N = h3 x 163 + h2 x 162 + h1 x 161 + h0 x 160 
 
A qual pode ser estendida para uma palavra hexadecimal de tamanho arbitrário. Para 
mudar um número da base-10 para seu equivalente na hexadecimal, usam-se sucessivas 
divisões por 16. A Tabela 2.3 mostra a mudança entre números hexadecimais, decimais e 
binários. 
Tabela 2.3 – O sistema de numeração hexadecimal utiliza dígitos de 0 a F. 
Hexadecimal Decimal Binário 
0 0 0000 
1 1 0001 
2 2 0010 
3 3 0011 
4 4 0100 
5 5 0101 
6 6 0110 
7 7 0111 
8 8 1000 
9 9 1001 
A 10 1010 
B 11 1011 
C 12 1100 
D 13 1101 
E 14 1110 
F 15 1111 
 
Exemplo 13 
 
 3F = 3 x 161 + F x 160 = (F16 = 1510) 
= 3 x 161 + 15 x 160 = 3 x 16 + 15 x 1 
= 6310 
 
 3F16 = 6310 
Exemplo 14 
 
1C3 = 1 x 162 + 12 x 161 + 3 x 160 
= 1 x 256 + 12 x 16 + 3 x 1 
= 45110 
 
 1C316 = 45110 
 
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Exercícios Propostos: 
 Converta para o sistema decimal os seguintes números hexadecimais: 
 
a) 47916 
b) 4AB16 
c) BDE16 
d) FOCA16 
e) 2D3F16 
 
2.4.2 - Conversão do Sistema Hexadecimal para o Sistema Binário 
 
 Neste tipo de conversão, separamos os algarismos hexadecimais e procuramos os 
seu equivalente no sistema binário, com quatro algarismos. Tomemos os exemplos abaixo: 
 
Exemplo 15 
 Converta o número C1316 para o sistema binário: 
C 1 3 
 
 
1100 0001 0011 
 
C1316 = 1100000100112 
 
Exemplo 16 
 Converta o número 6CF916 para o sistema binário: 
 
6 C F 9 
 
 
0110 1100 1111 1001 
 
6CF916 = 0110110011111001 
 
Exercícios Propostos 
 
1) 8416 
2) 7F16 
3) 3B8C16 
4) 47FD16 
 
2.4.3 - Conversão do Sistema Binário para o Sistema Hexadecimal 
 
Na análise lógica digital, geralmente utilizam-se bastante os números hexadecimais 
para representar palavras binárias de quatro bits. É importante aprender sobre números 
hexadecimais, pois esta representação simplificará, consideravelmente, nossa notação. 
A equivalência entre dígitos hexadecimais e palavras binárias de quatro bits é fácil de 
ser entendida pela Tabela 2.3. Além disso, esta mudança de base pode ser aplicada a 
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palavras binárias de comprimento arbitrário, simplesmente agrupando, a partir da direita, os 
bits em grupos de quatro. 
 
Exemplo 17 
Iniciaremos com a palavra binária de 16 bits 1001110011100101. Dividindo-a em 
grupos individuais de quatro bits e encontrando o seu equivalente no sistema hexadecimal, 
temos: 
 
1001 1100 1110 01012 = 9CE516 
Exercícios Propostos 
 
a) 100112 
b) 11100111002 
c) 1001100100112 
d) 11111011112 
 
2.4.4 - Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Hexadecimal 
 
 Existem dois métodos de conversão: o primeiro método utiliza a divisão sucessiva 
do número decimal por 16, a base do sistema hexadecimal. O segundo método consiste em 
transformar primeiramente o número decimal em binário e logo a seguir em hexadecimal, 
como demonstrado abaixo: 
 
Exemplo 18 
 Converta o número decimal 1000 para o sistema hexadecimal. 
 
1o método 
 
314
16628
161000
 
 
 
Sabendo-se que 14 na base 16 é E, 
 
100010 = 3E816 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2o método 
 
11
231
271
2151
2310
2621
21250
22500
25000
21000
 
 
0011 1110 1000 
 
3 E 8 
Exercícios Propostos 
 Converta os seguintes números decimais em hexadecimais: 
 
a) 48610 
b) 200010 
c) 409610 
d) 555510 
e) 3547910 
 
Bibliografia: 
1 – Sistemas Digitais – Princípios e Aplicações, Tocci e Widmer, 7a edição, ed. LTC; 
2 – Elementos de Eletrônica Digital – Ivan V. Idoeta e Francisco G. Capuano, 19a edição, 
ed. Érica. 
 
100010 = 3E816