Aula 7 (1)

Prévia do material em texto

AED - Propriedades algébricas da média aritmética e da variância (continuação) 
 
Sejam: 
k , V: números reais quaisquer; m: média aritmética; VAR: variância; DP: desvio-padrão 
X = {x1, x2, ..., , xn} e Y = {y1, y2, ..., yn} conjunto de n observações através de duas variáveis, X e Y. 
Lembre-se da propriedade 1.4 da média aritmética , sobre a repartição de n em g subgrupos: 
 
 
 Aplicando duas outras propriedades à relação abaixo, onde 
consideramos a i-ésima observação do j-ésimo grupo, j= 1,2, ... , g e i=1,2, ..., nj 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, a média aritmética é a média ponderada das médias dos subgrupos, onde os pesos 
correspondem aos respectivos tamanhos de cada subgrupo. 
Já verificamos anteriormente (propriedade 2.1) que a VAR é o menor dos desvios-quadráticos 
médios (momento centrado na média de ordem 2). Vamos agora verificar outra propriedade 
importante da variância, também em relação aos subgrupos 
 
 
Sabemos que : 
 
 
 
 
2............................................................. (1) 
 que pode ser re-escrito como: 
 
 
 
 
 
2 
Desenvolvendo o termo do somatório e aplicando a propriedade 1.5 da média aritmética 
(centro geométrico do conjunto de dados), teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo por (1), teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A interpretação da relação acima é bastante utilizada em Estatística: 
A variação total do conjunto total de dados (formado pelos g subgrupos) é igual à variação 
dentro (“within”) dos subgrupos adicionada à variação entre (“between”) os subgrupos. 
 
 
 
Lembrar que a variação entre os grupos é entendida como a variação da média de cada grupo 
em relação á média total , que verificamos ser a média ponderada das médias dos subgrupos 
(propriedade 1.4, revista acima). 
Essa partição da variação é muito utilizada para o cálculo da razão entre a variação média 
“entre” e a variação média “dentro”, que informa onde há mais variação, se entre os grupos 
(determinados por uma variável categórica que classifica as observações que formam o 
conjunto de dados dentro dos subgrupos) ou dentro dos grupos. Em inferência estatística essa 
razão é utilizada em uma metodologia denominada Análise de Variância. 
Exemplo: 
Supor que 30 empresas de cada um dos setores de produtos agrícolas, produtos de 
panificação e bebidas foram selecionadas, totalizando 90 empresas para análise (n = 90). Os 
índices de liquidez corrente de cada empresa são mostrados no quadro abaixo, onde Índice de 
Liquidez Corrente = Ativo circulante / Passivo circulante (O ativo circulante normalmente 
inclui caixa, títulos negociáveis, contas a receber e estoques. O passivo circulante consiste em 
contas a pagar, títulos de curto prazo, impostos a pagar e outros valores, principalmente 
salários). 
 
Variação total = variação “dentro” + variação “entre” 
Índice de Liquidez Corrente por Setores 
Observações Setores Total 
Agrícola Panificação Bebidas 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
21 
22 
23 
24 
25 
26 
27 
28 
29 
30 
2,40 
2,60 
2,70 
2,80 
2,40 
2,30 
2,10 
1,90 
2,80 
2,70 
2,30 
2,40 
1,80 
1,50 
1,60 
1,80 
1,90 
1,50 
1,70 
1,80 
1,20 
1,30 
1,90 
1,80 
2,20 
2,50 
2,60 
2,70 
2,80 
1,50 
1,30 
1,50 
1,40 
1,60 
1,80 
1,40 
1,20 
1,10 
1,40 
1,50 
1,60 
1,70 
1,80 
1,50 
1,40 
1,60 
1,20 
1,10 
1,00 
1,40 
1,10 
1,20 
1,30 
1,50 
1,20 
1,40 
1,20 
1,50 
1,10 
1,00 
1,60 
1,50 
1,40 
1,30 
1,40 
1,50 
1,70 
1,40 
1,20 
2,30 
2,60 
1,70 
2,80 
2,60 
1,70 
1,50 
1,30 
1,50 
1,50 
1,40 
1,60 
1,40 
1,30 
1,50 
1,50 
1,60 
1,40 
1,80 
1,30 
1,20 
 

 63,50 41,00 48,50 153 
iX
 2,12 1,37 1,61 1,7 
 
Abaixo estão os Box-plots que representam os dados acima: 
 
303030N =
setores analisados
BebidasPanificaçãoP.Q.Agrícola
ind
ice
 d
e l
iqu
ide
z c
or
re
nte
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
,5
0,0
70
7174
73
22
21
Utilizando a relação encontrada acima sobre a variação total: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos: Variação total = 22,16 
 Variação “dentro” dos subgrupos = 13,42 
 Variação “entre” os três subgrupos = 8,42 
 
Através do cálculo das variações médias (momentos centrados de 2ª ordem) pode-se verificar 
a razão entre as mesmas e descobrir se a variação média devida aos subgrupos (“entre”) é 
maior que a variação média observada no conjunto total de dados (“dentro”) que é sempre 
entendida como a variação residual dos dados em relação à média total.