FT2 2018 Aula 5 (Distribuição de temperatura)

Prévia do material em texto

FENÔMENOS DE TRANSPORTE II
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA 
E RESISTÊNCIA TÉRMICA
Profª Drª Cleide Mara Faria Soares
2
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA
A distribuição de temperatura em uma parede plana pode ser
determinada pela resolução da equação de calor com as
condições de contorno apropriadas.
Ex: Uma parede plana separa dois fluidos de diferentes
temperaturas.
𝒒𝒄𝒐𝒏𝒗
𝒒𝒄𝒐𝒏𝒅
𝒒𝒄𝒐𝒏𝒗
Considerando regime estacionário,
sem geração de calor e que a
temperatura é função apenas de x,
a forma apropriada da equação de
calor é:
𝒅𝑻
𝒅𝒙
𝒌
𝒅𝑻
𝒅𝒙
= 0
3
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA
Para este caso, o fluxo de calor é uma constante. Se a condutividade
térmica do material da parede é considerada constante, a equação
pode ser integrada duas vezes para obter a solução geral:
𝑻 𝒙 = 𝑪𝟏 𝒙 + 𝑪𝟐
Para obter as constantes de integração 𝑪𝟏 e 𝑪𝟐, as condições de
contorno devem ser introduzidas, como por exemplo em 𝒙 = 𝟎 e 𝒙 =
𝑳, no qual temos: 𝑻 𝟎 = 𝑻𝑺,𝟏 e 𝑻 𝑳 = 𝑻𝑺,𝟐
Para 𝒙 = 𝟎:
Para 𝒙 = 𝑳:
𝑻𝑺,𝟏 = 𝑪𝟐
𝑻𝑺,𝟐 = 𝑪𝟏𝑳 + 𝑪𝟐
𝑻𝑺,𝟐 = 𝑪𝟏𝑳 + 𝑻𝑺,𝟏
𝑪𝟏 =
𝑻𝑺,𝟐 − 𝑻𝑺,𝟏
𝑳
4
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA
𝒒𝒙 = −𝒌 𝑨
𝒅𝑻
𝒅𝒙
=
𝒌𝑨
𝑳
(𝑻𝑺,𝟐 − 𝑻𝑺,𝟏)
A partir do conhecimento da distribuição da temperatura, pode-se
usar a lei de Fourier para determinar a taxa de TC por condução:
𝒒"𝒙 =
𝒒𝒙
𝑨
=
𝒌
𝑳
(𝑻𝑺,𝟐 − 𝑻𝑺,𝟏)
O fluxo de calor então pode ser obtido a partir da equação:
5
RESISTÊNCIA TÉRMICA
Em muitos problemas de engenharia, é necessário fazer uma analogia
entre a difusão de calor e a carga elétrica. Assim, a condução de calor
pode ser associada a resistência térmica.
RESISTÊNCIA TÉRMICA RESISTÊNCIA ELÉTRICA
Difusão de calor Carga elétrica
6
RESISTÊNCIA TÉRMICA
𝑹𝒆 =
𝑬𝑺,𝟐 − 𝑬𝑺,𝟏
𝑰
=
𝑳
σ𝑨
Definindo resistência térmica como a razão entre o potencial
motriz e a taxa correspondente de transferência, a partir da
equação da taxa de TC, temos:
Similarmente, para a condução elétrica no mesmo sistema, a lei
de Ohm estabelece a resistência elétrica na forma:
7
RESISTÊNCIA TÉRMICA
Assim como na TC por condução de calor, a resistência térmica
também pode estar associada com a TC por convecção, da lei de
resfriamento de Newton:
Dessa forma, fica evidente a relação direta entre os modos de 
transferência de calor por condução e por convecção e a 
resistência térmica, que englobam diversos problemas da 
engenharia.
8
RESISTÊNCIA TÉRMICA
A representação dos circuitos é uma ferramenta útil tanto para
a conceituação quanto para a quantificação dos problemas de
TC.
𝒒𝒙 =
𝑻∞, 𝟏 − 𝑻𝒔, 𝟏
𝟏
𝒉𝟏𝑨
=
𝑻𝒔, 𝟏 − 𝑻𝒔, 𝟐
𝑳
𝒌𝑨
=
𝑻𝒔, 𝟐 − 𝑻∞, 𝟐
𝟏
𝒉𝟐𝑨
Uma vez que 𝒒𝒙 é constante em todo o
circuito, a taxa de TC pode ser determinada
a partir da consideração em separado de
cada elemento do circuito.
9
RESISTÊNCIA TÉRMICA
Em termos da diferença de temperatura total (𝑻∞, 𝟏 − 𝑻∞, 𝟐) e da
resistência térmica total (𝑹𝒕𝒐𝒕), a taxa de TC também pode ser
expressa por:
Como as resistências condutiva e convectiva encontram-se em
série e podem ser somadas, tem-se que:
10
RESISTÊNCIA TÉRMICA
Outra resistência térmica pode ser pertinente a superfície se
estiver separada da grande vizinhança por um gás.
A troca de calor por radiação
pode ser importante. Assim, a
resistência térmica total para
radiação pode ser definida por:
Coeficiente de TC por radiação
As resistências convectiva e radiante atuam em paralelo e, se 𝑻∞ = 𝑻𝒗𝒊𝒛,
elas podem ser combinadas para se obter uma única resistência efetiva.
Grande 
vizinhança
𝒉𝒓 = ε σ (𝑻𝒔 + 𝑻𝒗𝒊𝒛) (𝑻𝒔
𝟐 + 𝑻𝒗𝒊𝒛
𝟐 )
11
PAREDE COMPOSTA
Circuitos térmicos equivalentes também podem ser utilizados
para sistemas mais complexos, tais como as paredes compostas.
Essas paredes compostas podem envolver qualquer número de
resistências térmicas em série e em paralelo devido às camadas
de diferentes materiais.
L L L
1
2 3
k k k
1
2 3
q
.
T
T
T
1
2
3
4T
RESISTÊNCIA EM SÉRIE RESISTÊNCIA EM PARALELO
12
PAREDE COMPOSTA
Considerando um sistema de paredes planas associadas em série, submetidas
a uma fonte de calor. O fluxo de calor que atravessa a parede composta pode
ser obtido em cada uma das paredes planas individualmente:
L L L
1
2 3
k k k
1
2 3
q
.
T
T
T
1
2
3
4T
.
.( );
.
.( );
.
.( )q
k A
L
T T q
k A
L
T T q
k A
L
T T     1 1
1
1 2
2 2
2
2 3
3 3
3
3 4
Colocando em evidência as diferenças de
temperatura em cada uma das equações, obtemos:
( )
.
.
( )
.
.
( )
.
.
.
.
.
.
.
.
T T
q L
k A
T T
q L
k A
T T
q L
k A
T T T T T T
q L
k A
q L
k A
q L
k A
1 2
1
1 1
2 3
2
2 2
3 4
3
3 3
1 2 2 3 3 4
1
1 1
2
2 2
3
3 3
 
 
 
       
T T
q L
k A
q L
k A
q L
k A
1 4
1
1 1
2
2 2
3
3 3
   
.
.
.
.
.
.
ou
13
PAREDE COMPOSTA
Colocando em evidência o fluxo de calor e substituindo os valores das
resistências térmicas em cada parede na equação, obtemos o fluxo de
calor pela parede:
T T q R R R1 4 1 2 3   .( )
q
T T
R R R


 
1 4
1 2 3
Portanto, para o caso geral em que temos uma associação de paredes
n planas associadas em série o fluxo de calor é dado por:
 
n
n
i
it
t
total RRRRRonde
R
T
q 

 

21
1
,
L L L
1
2 3
k k k
1
2 3
q
.
T
T
T
1
2
3
4T
14
PAREDE COMPOSTA
Considerando um sistema de paredes planas associadas em paralelo,
submetidas a uma fonte de calor. Considerando que: Todas as paredes estão
sujeitas a mesma diferença de temperatura; As paredes podem ser de
materiais e/ou dimensões diferentes; O fluxo de calor total é a soma dos
fluxos por cada parede individual.
O fluxo de calor que atravessa a parede
composta pode ser obtido em cada uma das
paredes planas individualmente:
.
.( );
.
.( )q
k A
L
T T q
k A
L
T T1
1 1
1
1 2 2
2 2
2
1 2   
O fluxo de calor total é igual a soma dos fluxos
da equação:
).(
..
).(
.
).(
.
21
2
22
1
11
21
2
22
21
1
11
21 TT
L
Ak
L
Ak
TT
L
Ak
TT
L
Ak
qqq 

















 
15
PAREDE COMPOSTA
A partir da definição de resistência térmica para parede plana, temos que:
Substituindo na equação do fluxo de calor total:
R
L
k A R
k A
L
  
.
.1
21
21
21
21
111
 onde, 
)(
).(
11
RRRR
TT
TT
RR
q
tt









Portanto, para o caso geral em que temos uma associação de n paredes
planas associadas em paralelo o fluxo de calor é dado por :
 
n
n
i itt
total
RRRRR
onde
R
T
q
11111
,
211


 


16
RESISTÊNCIA DE CONTATO
Embora desprezível nas situações abordadas até agora, é importante
reconhecer que, em sistemas compostos, a queda de temperatura
através da interface entre materiais pode ser considerável.
A mudança de temperatura que ocorre na interface é conhecida 
como resistência térmica de contato (𝑹𝒕,𝒄).
17
RESISTÊNCIA DE CONTATO
O efeito da queda de temperatura devido à resistência de
contato, para uma unidade de área da interface, é definida por:
A existência de uma resistência
de contato finita é devido,
principalmente, aos efeitos da
rugosidade da superfície.
18
RESISTÊNCIA DE CONTATOOs pontos de contato são intercalados com espaçamentos que
são, na maioria dos casos, preenchidos por ar.
Portanto, a TC ocorre por condução através da
área de contato real e por condução e/ou
radiação através dos espaçamentos.
Para sólidos, a resistência de contato pode ser
reduzida através do aumento da área de contato
dos pontos
Qualquer substância de preenchimento cuja
condutividade térmica seja maior do que a do ar e
que ocupe o espaçamento entre as superfícies de
contato irá diminuir a resistência de contato.
19
APLICANDO OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS
(EXERCÍCIO) A parede de um forno é constituída de duas camadas: 0,20 m de
tijolo refratário (k = 1,2 kcal/h m °C) e 0,13 m de tijolo isolante (k = 0,15
kcal/h m °C). A temperatura da superfície interna do refratário é 1675 °C e a
temperatura da superfície externa do isolante é 145 °C. Desprezando a
resistência térmica das juntas de argamassa, calcule:
a) O calor perdido por unidade de tempo e por m2 de parede;
b) a temperatura da interface refratário/isolante.
Etapa 1: Considerações ou Condições
 Condições de regime estacionário;
 Resistência de contato desprezível;
 Condução unidimensional através da parede;
Resolução:
20
MODOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Etapa 2: Esquema
Resolução:
parede de refratário :
 
parede de isolante :
 
 
L m k Kcal h m C
L m k Kcal h m C
T C T C
o
o
o o
1 1
2 2
1 3
0 20 1 2
0 13 0 15
1675 145
 
 
 
, , . .
, , . .
21
MODOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Etapa 3: Cálculos
Resolução:
a) Considerando uma área unitária da parede (A= 1 m2), temos:
𝒒𝒙 =
∆𝑻𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝑹𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
=
𝑻𝟏 − 𝑻𝟑
𝑹𝒓𝒆𝒇 + 𝑹𝒊𝒔𝒐
𝒒𝒙 =
𝑻𝟏 − 𝑻𝟑
𝑳𝟏
𝒌𝟏𝑨
+
𝑳𝟐
𝒌𝟐𝑨
=
𝟏𝟔𝟕𝟓 − 𝟏𝟒𝟓 °𝐂
𝟎, 𝟐𝟎 𝒎
𝟏, 𝟐
kcal
h𝒎°𝐂 𝟏 𝒎²
+
𝟎, 𝟏𝟑 𝒎
𝟎, 𝟏𝟓
kcal
h𝒎°𝐂 𝟏 𝒎²
𝒒𝒙 = 𝟏. 𝟒𝟖𝟎, 𝟔
kcal
h𝒎2°𝑪
22
MODOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Etapa 3: Cálculos
Resolução:
b) O fluxo de calor também pode ser calculado em cada parede individual.
Na parede de refratário, obtemos:
𝒒𝒙 =
𝑻𝟏− 𝑻𝟐
𝑹𝒓𝒆𝒇
=
𝑻𝟏 − 𝑻𝟐
𝑳𝟏
𝒌𝟏𝑨
𝒒𝒙 =
𝒌𝟏𝑨
𝑳𝟏
𝑻𝟏 − 𝑻𝟐
𝟏𝟒𝟖𝟎, 𝟔𝟏. 𝟒𝟖𝟎, 𝟔
kcal
h𝒎2°𝑪
=
𝟏, 𝟐
kcal
h𝒎°𝐂 𝟏 𝒎²
𝟎, 𝟐𝟎 𝒎
𝟏𝟔𝟕𝟓 − 𝑻𝟐 °𝐂
𝑻𝟐 = 𝟏. 𝟒𝟐𝟖, 𝟐 °𝐂
23
APLICANDO OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS
(EXERCÍCIO) Um importante produtor de eletrodomésticos está propondo
um projeto de um forno autolimpante que envolve o uso de uma janela
composta separando a cavidade do forno do ar ambiente. A janela composta
consiste em dois plásticos de alta temperatura (A e B) de espessuras 𝑳𝑨 =
𝟐𝑳𝑩 e condutividades térmicas 𝒌𝑨 = 𝟎, 𝟏𝟓
𝑾
𝒎
. 𝒌 e 𝒌𝑩 = 𝟎, 𝟎𝟖
𝑾
𝒎
. 𝒌. Durante o
processo de autolimpeza, as temperaturas das paredes do forno e do ar, 𝑻𝒑 e
𝑻𝒂, são 400°C, enquanto a temperatura do ar ambiente 𝑻∞ é 25°C. Os
coeficientes internos de transferência de calor por convecção e radiação 𝒉𝒊 e
𝒉𝒓 , assim como o coeficiente de convecção externo 𝒉𝒆 são de
aproximadamente 2𝟓
𝑾
𝒎²
. 𝒌 cada.
Qual o valor mínimo para a espessura da janela, 𝑳 = 𝑳𝑨 + 𝑳𝑩, necessário
para garantir uma temperatura de 50°C ou menos na superfície externa da
janela? Essa temperatura não deve ser excedida por questões de segurança.
24
APLICANDO OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS
Etapa 1: Considerações ou Condições
 Condições de regime estacionário;
 Resistência de contato desprezível;
 Condução unidimensional através da janela;
 A troca de calor por radiação entre a superfície externa da janela e a
vizinhança é desprezível;
Resolução:
25
MODOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Etapa 2: Esquema
Resolução:
26
MODOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Etapa 3: Cálculos
Resolução:
𝑬𝒆 − 𝑬𝒔 ± 𝑬𝒈 = 𝑬𝒂𝒓
Balanço de Energia:
𝑬𝒆 = 𝑬𝒔
𝑬𝒆 = 𝒒 =
𝑻𝒂 − 𝑻𝒔, 𝒐
𝚺𝑹𝒕
Sabendo que 𝑻𝒑 = 𝑻𝒂:
𝑬𝒔 = 𝒒 = 𝒉𝑶𝐀 (𝑻𝒔, 𝒐 − 𝑻∞)
27
MODOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Etapa 3: Cálculos
Resolução:
A resistência térmica total entre a cavidade do forno e a superfície externa
da janela inclui a resistência efetiva associada à convecção e à radiação,
que agem em paralelo na superfície interna da janela, e as resistências
condutivas dos materiais da janela. Assim, pela equação de resistência
total:
𝜮𝑹𝒕 =
𝟏
𝟏
𝒉𝒊𝑨
+
𝟏
𝟏
𝒉𝒓𝑨
−𝟏
+
𝑳𝑨
𝒌𝑨𝑨
+
𝑳𝑩
𝒌𝑩𝑨
𝜮𝑹𝒕 =
𝟏
𝑨
𝟏
𝒉𝒊 + 𝒉𝒓
+
𝑳𝑨
𝒌𝑨
+
𝑳𝑨
𝟐𝒌𝑩
ou
Substituindo no balanço de energia:
𝑻𝒂 − 𝑻𝒔, 𝒐
𝟏
𝒉𝒊 + 𝒉𝒓
+
𝑳𝑨
𝒌𝑨
+
𝑳𝑨
𝟐𝒌𝑩
= 𝒉𝑶𝐀 (𝑻𝒔, 𝒐 − 𝑻∞)
28
MODOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Etapa 3: Cálculos
Resolução:
Resolvendo em função de 𝑳𝑨:
𝑳𝑨 =
𝟏
𝒉𝑶
(𝑻𝒂 − 𝑻𝒔
, 𝒐
)
(𝑻𝒔
, 𝒐
− 𝑻∞) − (𝒉𝒊 + 𝒉𝒓)
−𝟏
𝟏
𝒌𝑨
+
𝟏
𝟐𝒌𝑩
𝑳𝑨 =
𝟏
𝟎, 𝟎𝟖
𝒘
𝒎.𝒌
(𝟒𝟎𝟎 − 𝟓𝟎) °𝐂
(𝟓𝟎 − 𝟐𝟓) °𝐂 − (𝟐𝟓 + 𝟐𝟓)−𝟏 𝒘
𝒎². 𝒌
𝟏
𝟎, 𝟏𝟓 𝒘
𝒎.𝒌
+
𝟏
𝟐(𝟎, 𝟎𝟖) 𝒘
𝒎.𝒌
29
MODOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Etapa 3: Cálculos
Resolução:
𝑳𝑨 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟏𝟖𝒎
Sendo 𝑳𝑩 =
𝑳𝑨
𝟐
𝑳 = 𝑳𝑨 + 𝑳𝑩 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟏𝟖 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟎𝟗 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟕𝒎 ou 𝟔𝟐, 𝟕𝒎𝒎
𝑳𝑩 =
𝟎, 𝟎𝟒𝟏𝟖
𝟐
= 𝟎, 𝟎𝟐𝟎𝟗𝒎
30
QUESTÕES
ENADE E CONCURSOS
31
APLICANDO OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS
LIQUIGÁS 2015 (Engenharias):
Muitos problemas de transferência de calor são resolvidos utilizando-se uma
analogia entre os conceitos de resistência térmica (𝑹) e de resistência
elétrica (𝑹𝒆), conforme ilustrado na Figura ao lado.
Considere a condução unidimensional de
calor, em regime permanente, através de
uma parede plana de espessura 𝑳, área
𝑨 e condutividade térmica 𝒌 . Nessas
condições, a resistência térmica da
parede contra a condução de calor, ou
simplesmente a resistência de condução
da parede (𝑹), é dada por:
a) 𝑳. 𝒌. 𝑨 b) 
𝒌 𝑨²
𝑳
c) 
𝑳
𝒌 𝑨
d) 
𝑨
𝑳 𝒌
e) 
𝒌
𝑳 𝑨
32
APLICANDO OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS
LIQUIGÁS 2015 (Engenharias):
Muitos problemas de transferência de calor são resolvidos utilizando-se uma
analogia entre os conceitos de resistência térmica (𝑹) e de resistência
elétrica (𝑹𝒆), conforme ilustrado na Figura ao lado.
Considere a condução unidimensional de
calor, em regime permanente, através de
uma parede plana de espessura 𝑳, área
𝑨 e condutividade térmica 𝒌 . Nessas
condições, a resistência térmica da
parede contra a condução de calor, ou
simplesmente a resistência de condução
da parede (𝑹), é dada por:
a) 𝑳. 𝒌. 𝑨 b) 
𝒌 𝑨²
𝑳
c) 
𝑳
𝒌 𝑨
d) 
𝑨
𝑳 𝒌
e) 
𝒌
𝑳 𝑨