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Universidade Federal Rural de Pernambuco
Unidade Acadeˆmica do Cabo de Santo Agostinho
Complementos de Matema´tica
Primeira Verificac¸a˜o de Aprendizagem - Parte 1
Professores: Fa´bio Santos e Serginei Liberato
Primeiro Semestre 2019
Introduc¸a˜o aos Nu´meros Complexos, Limites e Continuidade
1. Coloque os seguintes nu´meros na forma alge´brica x+ yi:
a) −i(−1 + i) + 2 b) (2− 2i)
2
1 + i
c)
z − zi
z − zi
2. Resolva as equac¸o˜es:
a) z + 2z = 1 b) z − iz = 2 + i c) z2 − z = 1 + i
3. Determine o conjunto de pontos definidos pela igualdade ou desigualdade e esboce tal conjunto no plano complexo:
a) 0 ≤ arg(z) ≤ pi
4
, |z| > 3 b)
∣∣∣∣z − iz + i
∣∣∣∣ = 2.
4. Determine a soluc¸a˜o das equac¸o˜es:
a) z3 = 1; b) z7 = −(1 + i).
5. Determine todos os valores inteiros de n para os quais (1− i√3)n e´ um nu´mero real.
6. Mostre que para qualquer complexo w a seguinte fo´rmula e´ verdadeira
|
√
w2 − 1 + w|+ |
√
w2 − 1− w| = |w − 1|+ |w + 1|.
Dicas:
i) |z|2 = zz
ii) |z + w|2 + |z − w|2 = 2|z|2 + 2|w|2,∀z, w ∈ C. (Demonstre esta igualdade)
7. Sejam z e w complexos na˜o nulos. Mostre que Re(zw) = |z||w| se, e somente se, argz = argw.
8. Escreva f(z) = z +
1
z
, z 6= 0 no formato f(z) = f(r, θ) = u(r, θ) + iv(r, θ).
9. Estude a continuidade, no ponto z = 0 da func¸a˜o w = f(z), sendo f(0) = 0 e, para z 6= 0:
a) f(z) =
Im(z)
|z| b) f(z) =
Re(z2)
|z2| .
10. Teorema: Se z0 e w0 forem pontos do plano complexo, enta˜o
lim
z→z0
f(z) =∞ se lim
z→z0
1
f(z)
= 0
e
lim
z→∞ f(z) = w0 se limz→0
f
(
1
z
)
= w0
Ale´m disso,
lim
z→∞ f(z) =∞ se limz→0
1
f
(
1
z
) = 0
Use este teorema para concluir que se T (z) =
az + b
cz + d
, (ad− bc 6= 0) enta˜o
a) lim
z→∞T (z) =∞ se c = 0;
b) lim
z→∞T (z) =
a
c
e lim
z→− dc
T (z) =∞ se c 6= 0.
Bom Trabalho!