Estatística e probabilidade

Prévia do material em texto

Estudos Continuados em Matemática
Aula 7 – Estatística e Probabilidade
Profª Dra. Jenai Oliveira Cazetta
Profº Me. Marcelo Silva de Jesus
Estatística 
� Ramo da Matemática Aplicada;
� Preocupa-se em: listar fatos, sistematizar os métodos de arranjos e 
descrição de dados, possibilitar à ciência fazer inferências a partir de 
observações.
Estatística
• Estudo sobre o lançamento de um novo produto: preferências, 
percepção, valor, etc.;
• Relação entre consumo de um determinado 
item e renda de uma cidade;
• Índice de reclamação de determinado 
produto.
Dados, variáveis, população 
e amostra
POPULAÇÃO
� Conjunto de elementos que apresentam em comum determinadas
características definidas; 
� Também chamada de universo de dados.
População e amostra
AMOSTRA
� Parte representativa de uma população
selecionada segundo métodos adequados;
� Objetivo� fazer inferências � tirar conclusões 
sobre populações com base nos resultados 
da amostra.
Participando
da
aula
O que são dados? 
E variáveis?
DADOS ESTATÍSTICOS
� Qualquer característica que possa ser observada ou medida de alguma 
maneira; 
� Matéria-prima da estatística � dados observáveis.
Dados e variáveis
VARIÁVEIS
� Aquilo que se deseja observar para se tirar 
algum tipo de conclusão;
� Geralmente são selecionadas por processos de 
amostragem.
(a) População: peças produzidas por certa máquina. 
Variável: número de peças produzidas por hora.
(b) População: dados da Bolsa de Valores de São Paulo - IBOVESPA. 
Variável: número de ações negociadas.
(c) População: funcionários de uma empresa. 
Variável: salários.
Dados e variáveis
Medidas de tendência 
central
Medidas de tendência central
Como representar os dados 
referentes a cada variável 
por um único valor?
A média aritmética (ou simplesmente média) corresponde à divisão da
soma de todos os valores de um conjunto de dados pela quantidade de
valores desse conjunto.
Média aritmética
�̅ � 1����
�
�	
� 1� �
 � �� � �
 �⋯� ��
µµ
Um biólogo está interessado no desenvolvimento de certa 
planta que foi submetida a um tratamento com um hormônio 
de crescimento. Durante 5 meses, ele coletou a altura (em cm) 
de sua planta e anotou em uma planilha.
12,5 cm; 12,6 cm; 12,7 cm; 12,9 cm; 13,5 cm. 
Tendo como base os dados acima, o biólogo 
consegue encontrar a altura média que a planta 
alcançou nesses 5 meses.
Qual será a altura média para o conjunto de 
dados?
Exemplo
Exemplo
Altura (cm)
12,5
12,6
12,7
12,9
13,5
�
�
��
�
��
��
�̅ � 1� �
 � �� � �
 � �� � ��
�̅ � 12,5 � 12,6 � 12,7 � 12,9 � 13,55
�̅ � 64,25
�̅ � 12,84	��
A moda, simbolizada por ��, é o valor com maior frequência em um 
conjunto de dados.
Moda
que mais se repete!!!que mais se repete!!!
Número de salários mínimos recebidos pelos trabalhadores de uma 
determinada empresa: 
5 salários mínimos; 4 salários mínimos; 4,5 salários mínimos; 
6 salários mínimos; 5,5 salários mínimos; 8 salários mínimos;
6 salários mínimos; 6,5 salários mínimos.
Exemplo
Fonte: https://bit.ly/2UVEoGc. Acesso em 22/03/2019
�� � 6�� � 6
Mediana, simbolizada por ��, é o valor que ocupa a posição central em 
uma distribuição de valores organizada em ordem crescente ou 
decrescente.
Mediana
Número de dados ímpar
Número de dados par
A mediana será o valor que 
está no centro da série!
A mediana será a média dos valores 
que estão no centro da série!
� � 1 /2� � 1 /2
Calcule a mediana dos valores amostrados das variáveis � e !
apresentados a seguir.
Exemplo 
" 1 2 3 4 5 6 7 8
�� 102 103 135 144 148 159 160 166
!� 413 484 495 543 558 565 580	 -
Os dados estão 
ordenados?
%&
%&
Exemplo 
" 1 2 3 4 5 6 7 8
�� 102 103 135 144 148 159 160 166
�� � 146�� � 146
144 � 148
2
Exemplo 
" 1 2 3 4 5 6 7 8
!� 413 484 495 543 558 565 580	 - �� � 543�� � 543
Participando
da
aula
Abaixo são fornecidos os números de 
movimentos respiratórios por minuto (mpm) de cobaias de 
laboratório após a administração de um anestésico intravenoso: 
12 mpm; 13 mpm; 13 mpm; 13 mpm; 14 mpm; 
14 mpm; 15 mpm; 15 mpm; 16 mpm.
Participando
da
aula
Tendo como base os dados fornecidos, calcule as medidas de 
tendência central da distribuição.
12 – 13 – 13 – 13 – 14 – 14 – 15 – 15 – 16.
Exemplo 
" 1 2 3 4 5 6 7 8 9
�� 12 13 13 13 14 14 15 15 16
Os dados estão 
ordenados?
%&
Exemplo 
" 1 2 3 4 5 6 7 8 9
�� 12 13 13 13 14 14 15 15 16
�̅ � 1����
'
���
'
125
�̅ � 1259
�̅ � 13,89
�� � 13
�� � 14
Medidas de dispersão
Medidas de dispersão
Dispersão (ou variabilidade) de um
conjunto refere-se à maior, ou
menor, diversificação dos valores
de uma variável em torno de um
valor de tendência central tomado
como ponto de comparação. �̅�̅
São utilizadas para 
auxiliar as medidas de 
posição na descrição 
de um conjunto de 
dados.
Medida de dispersão que permite ter noção de quanto variam os dados
em relação a média.
(� � ∑ � * +
�,,
�
-� � ∑ � * �̅
�,,
� * 1
Variância e desvio padrão
Variância populacional
Variância amostral
O desvio padrão 
corresponde à raiz 
quadrada da variância.
Considere as notas obtidas por 4 alunos numa avaliação de Biologia. 
Calcule o desvio padrão considerando-se uma população.
Exemplo 1
" ��
1 2
2 8
3 5
4 6
Exemplo 1
" ��
1 2
2 8
3 5
4 6
(� � ∑ � * �̅
�,,
�
�� * �̅ �� * �̅ �
10,5625
7,5625
0,0625
0,5625
���
,
,
21
�̅ � ∑��
,,
� �
21
4 � 5,25
18,75
� 18,754 � 4,6875
( � (�, � 4,6875, � 2,17
2 * 5,25 � 3,25
8 * 5,25 � 2,75
5 * 5,25 � 0,25
6 * 5,25 � 0,75 5,25 . 2,175,25 . 2,17
Probabilidade
� Probabilidade sabemos como um processo funciona e queremos 
predizer os resultados de tal processo. 
Relação entre probabilidade e estatística
� Estatística não sabemos como um processo funciona, mas podemos 
observar os resultados para conhecer a natureza do processo.
A probabilidade é usada para associar, a cada fato possível, sua respectiva 
chance de ocorrência. 
Probabilidade
Se há 80% de possibilidade de 
chover então há 20% de 
possibilidade de não chover.
Existem situações nas quais, embora não se saiba o que de fato irá 
acontecer, tem-se uma lista de possíveis resultados. 
Probabilidade
Tipo sanguíneo de uma 
pessoa: A, B, AB e O!
Sexo de uma criança:
masculino ou 
feminino!
� Determinísticos: aqueles que, repetidos em idênticas condições, 
apresentam os mesmos resultados� governado por leis exatas! 
certeza de que o evento irá acontecer!
� Não determinísticos: o fenômeno é imprevisível, mas apresenta um 
padrão que vem sendo observado a longo prazo.
Experimentos
Probabilidade
Ao nível do mar, a água 
entra em ebulição a 
100°C.
Determinístico!
Probabilidade
Qual será o primeiro camundongo a 
girar a roleta dentro da uma gaiola?
Nas várias vezes que você 
observou o comportamento dos 
animais, foi o camundongo de 
número 2 o primeiro a fazê-lo.
Não determinístico!
� Podem acontecer a qualquer hora do “jogo”, é impossível prever!
� É o processo pelo qual uma observação é obtida.
Experimento aleatório
• E1: Em uma linha de produção, fabricar peças em série e contar o 
número de peças defeituosas produzidas em um período de 24 
horas;
• E2: Peças são fabricadas até que 10 peças 
perfeitas sejam produzidas. O número total 
de peças fabricadas é contado; 
• E3: Sexo de acordo com a ordem de 
nascimentos de dois filhos.
� Conjunto formado por todos os possíveis resultados de um 
experimento aleatório; 
� É tambémchamado de espaço de possibilidades;
� Este conjunto deve ser o mais detalhado possível;
� Indicado por S ou Ω (Ômega).
Espaço amostral
� E1: Em uma linha de produção, fabricar peças em série e contar o número
de peças defeituosas produzidas em um período de 24 horas:
S1 = { 0, 1, 2, 3, ... , N } � N: número máximo de peças que podem ser 
produzidas em 24 horas.
� E2: Peças são fabricadas até que 10 peças perfeitas sejam produzidas. O 
número total de peças fabricadas é contado: 
S2 = { 10, 11, 12,..., N}
� E3: Sexo de acordo com a ordem de 
nascimentos de dois filhos:
S3 = { mm,mf, fm, ff }
Espaço amostral
� Cada um dos resultados possíveis de uma situação acontecer; 
� É um subconjunto do espaço amostral (S).
Eventos aleatórios
Um casal planeja ter 2 filhos.
Determine os eventos:
(a) Pelo menos um é do sexo masculino;
(b) No máximo um é do sexo masculino.
S4 = { ��,�/, /�, //}
A= { ��,�/, /�}
B= { �/, /�}
A probabilidade é um número que resulta da razão entre o número de 
casos favoráveis de um evento A e o número total de casos possíveis:
Probabilidade
0 1 � � 1� - �
número	de	casos	favoráveis
número	total	de	casos	possíveis0 1 �
� 1
� - �
número	de	casos	favoráveis
número	total	de	casos	possíveis
Desde que os resultados 
possíveis sejam 
igualmente prováveis!
O Ministério da Saúde apresentou dados sobre as doenças que mais 
mataram em 2018. 
O perfil das pessoas que vieram a óbito são:
� doenças cerebrovasculares: 99.732 pacientes;
� infarto agudo do miocárdio: 79.668 pacientes;
� pneumonia: 55.055 pacientes;
� diabetes melitus: 54.877 pacientes.
Com os dados apresentados (dados fictícios), 
qual a probabilidade de uma vítima fatal 
ser um paciente com pneumonia?
Exemplo 1
0 1 � � 1� - �
número	de	casos	favoráveis
número	total	de	casos	possíveis
� - � 99.732 � 79.668 � 55.055 � 54.877
� - � 289.332
� 1 � 55.055
0 1 � 55.055289.332
0 1 � 0,19
Exemplo 1
Participando
da
aula
Um casal planeja ter 3 filhos. 
Determine a probabilidade dos eventos:
(a) os três serem do sexo feminino;
(b) pelo menos um ser do sexo masculino;
(c) os três serem do mesmo sexo.
- � ���,��/,�/�, /��, //�, /�/,�//, ///
� - � 8
(a) os três serem do sexo feminino:
� 1 � 1
0 1 � 18
0 1 � 0,125
Exemplo 2
- � ���,��/,�/�, /��, //�, /�/,�//, ///
� - � 8
(b) pelo menos um ser do sexo masculino:
� E � 7
0 E � 78
0 1 � 0,875
Exemplo 2
- � ���,��/,�/�, /��, //�, /�/,�//, ///
� - � 8
(c) os três serem do mesmo sexo:
� E � 2
0 E � 28
0 1 � 0,25
Exemplo 2
Diálogo com os alunos
Fonte: https://bit.ly/2TXyrMx. Acesso em 28/08/2018