Apostila Estatistica com Resp Exercicios

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus de Campina Grande
UNIDADE ACADÊMICA DE ESTATÍSTICA - UAEst
Disciplina: Introdução à Estatística Período 2014.1
Professores: Grayci-Mary Leal e Gilberto Matos
NOTAS DE AULA PARA O 2o ESTÁGIO
1 Teste de Hipóteses
1.1 Introdução
Até o presente momento consideramos o problema de estimarmos um parâmetro desco-
nhecido da população tanto pontualmente como através de um intervalo de con�ança.
Apresentaremos agora, outra maneira de tratar o problema de fazer uma a�rmação sobre
um parâmetro desconhecido. Em vez de procurarmos uma estimativa do parâmetro, fre-
quentemente nos parecerá conveniente admitir um valor hipotético para ele e, depois, utilizar
a informação da amostra para con�rmar ou rejeitar esse valor hipotético.
A construção de um teste de hipóteses, para um parâmetro populacional, pode ser
colocada do seguinte modo: existe uma variável X associada a dada população e tem-se
uma hipótese sobre determinado parâmetro θ dessa população. Por exemplo, a�rmamos
que o verdadeiro valor de θ é θ0. Colhe-se uma amostra aleatória de elementos dessa
população, e com ela deseja-se comprovar ou não tal hipótese.
Iniciamos a análise explicitando claramente qual a hipótese que está sendo colocada à
prova e a chamamos de hipótese nula, e escrevemos
H0 : θ = θ0.
Convém explicitar a hipótese que será considerada aceitável, caso H0 seja rejeitada.
A essa hipótese chamamos de hipótese alternativa. Formularemos, então, duas hipóteses
básicas:
H0: hipótese nula
H1: hipótese alternativa
Geralmente, a hipótese H0 é a hipótese a ser testada. Caso rejeitemos H0, a hipótese H1
será considerada aceitável.
1
1.2 De�nições Básicas
1.2.1 Tipos de Testes
Iremos considerar os seguintes tipos de testes:
1. Teste bilteral{
H0 : θ = θ0
H1 : θ 6= θ0
2. Teste unilateral à direita{
H0 : θ = θ0
H1 : θ > θ0
3. Teste unilateral à esquerda{
H0 : θ = θ0
H1 : θ < θ0
1.2.2 Tipos de Erros
Qualquer que seja a decisão tomada, estamos sujeitos a cometer erros. Neste caso, os
possíveis erros serão
Erro de tipo I: rejeitar a hipótese nula quando essa é verdadeira. Chamamos de α a
probabilidade de cometer esse erro, isto é,
α = P (erro do tipo I) = P (rejeitar H0|H0 é verdadeira)
Erro de tipo II: não rejeitar a hipótese nula quando essa é falsa. A probabilidade de
cometer esse erro é denotada por β, logo
β = P (erro do tipo II) = P (não rejeitar H0|H0 é falsa)
Exemplo 1: Um pesquisador acredita que descobriu uma vacina contra resfriado.
Ele irá conduzir uma pesquisa de laboratório para veri�car a veracidade da a�rmação. De
acordo com o resultado, ele lançará ou não a vacina no mercado. As hipóteses que pode
testar são:
1) A vacina não é e�caz;
2
2) A vacina é e�caz.
Descreva os dois tipos de erro que podem ser cometidos nesta situação.
Exemplo 2: Identi�que as hipóteses que estão sendo testadas em cada caso:
a) A força de rompimento de uma �bra têxtil é uma variável aleatória distribuída
normalmente. As especi�cações exigem que a força média de rompimento seja igual a 150
psi. O fabricante gostaria de detectar qualquer afastamento signi�cante desse valor.
b) Sempre que o aumento médio da temperatura da água em uma câmara compressora
superar 5
◦C, o processo de resfriamento deve ser recalibrado. Este processo é, entretanto,
caro e, portanto, deve ser feito apenas se for realmente necessário.
c) Um criador tem constatado uma proporção de 10% do rebanho com verminose. O
veterinário alterou a dieta dos animais e acredita que a doença diminuiu de intensidade.
1.2.3 Região Crítica do Teste
Nosso interesse ao realizar um teste de hipótese é decidir se a hipóteseH0 é ou não aceitável.
Tal decisão deve ser baseada em uma estatística θ̂, que será usada para estabelecer o que
chamamos de região crítica do teste.
Região Crítica: é um conjunto de valores para os quais a estatística de teste, θ̂, leva
à rejeição da hipótese H0. Esta região é construída de modo que
P (θˆ ∈ RC | H0 verdadeira) = α,
onde α é �xado a priori.
A região crítica de�ne o conjunto de valores amostrais para os quais a estatística de
teste deixa evidente a não veracidade da hipótese H0, a uma determinada probabilidade, α,
de se cometer o Erro Tipo I. Caso o valor observado da estatística pertença a essa região,
rejeitamos H0; caso contrário, não rejeitamos H0. Um fato importante a ressaltar é que a
região crítica é sempre construída sob a hipótese de H0 ser verdadeira.
3
A probabilidade α de se cometer um erro de tipo I é um valor arbitrário e recebe o
nome de nível de signi�cância do teste. O resultado da amostra é tanto mais signi�cante
para rejeitar H0 quanto menor for esse nível α. Usualmente, o valor de α é �xado em 5%,
1% ou 0,1%.
A determinação do valor de β já é mais difícil, pois usualmente não especi�camos
valores �xos para o parâmetro sob a hipótese alternativa.
1.2.4 Procedimento Geral para a Construção de um Teste de Hipóteses
Passo 1. Fixe qual a hipótese H0 a ser testada e qual a hipótese alternativa H1.
Passo 2. Use a teoria estatística e as informações disponíveis para decidir qual esta-
tística (estimador) será usada para testar a hipótese H0. Obtenha as propriedades dessa
estatística (distribuição, média, desvio padrão).
Passo 3. Fixe a probabilidade α de cometer o erro de tipo I e use este valor para
construir a região crítica (regra de decisão). Lembre que essa região é construída a partir
da estatística de�nida no passo 2, usando o valor do parâmetro hipotetizado por H0.
Passo 4. Use as observações da amostra para calcular o valor da estatística do teste
(valor observado da estatística).
Passo 5. Se o valor da estatística calculado com os dados da amostra não pertencer
à região crítica, não rejeite H0; caso contrário, rejeite H0.
1.3 Teste de Hipótese sobre a Média de uma População com
Variância Conhecida
Vamos aplicar o procedimento geral para o caso em que queremos testar uma hipótese
sobre a média de uma população que tem variância conhecida.
(i) De�nição das hipóteses:
a)
{
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
b)
{
H0 : µ = µ0
H1 : µ > µ0
c)
{
H0 : µ = µ0
H1 : µ < µ0
(ii) Escolha da Estatística para o teste
Neste caso, utilizaremos a estatística X =
∑n
i=1Xi
n
. Assim, pelo T.C.L. sabemos
que
X − µ
σ/
√
n
≈ N(0, 1).
4
(iii) Fixado o nível de signi�cância do teste (α) e supondo H0 verdadeira, podemos cons-
truir a região crítica do teste como:
a) RC =
{
x¯; P
(
X ≤ µ0 − z 1−α
2
σ√
n
ou X ≥ µ0 + z 1−α
2
σ√
n
)
= α
}
=
]
−∞;µ0 − z 1−α
2
σ√
n
]
∪
[
µ0 + z 1−α
2
σ√
n
;∞
[
.
A região crítica também pode ser escrita em termos de valores padronizados, ou seja
RCp =
{
z; P
(
|Z| ≥ z 1−α
2
)
= α
}
=
]
−∞;−z 1−α
2
]
∪
[
z 1−α
2
;∞
[
.
b) RC =
{
x¯; P
(
X ≥ µ0 + z 1−2α
2
σ√
n
)
= α
}
=
[
µ0 + z 1−2α
2
σ√
n
;∞
[
. Ou então,
RCp =
{
z; P
(
Z > z 1−2α
2
)
= α)
}
=
[
z 1−2α
2
;∞
[
.
c) RC =
{
x¯; P
(
X ≤ µ0 − z 1−2α
2
σ√
n
)
= α
}
=
]
−∞;µ0 − z 1−2α
2
σ√
n
]
. Ou en-
tão,
RCp =
{
z; P
(
Z ≤ −z 1−2α
2
)
= α)
}
=
]
−∞;−z 1−2α
2
]
.
(iv) Estatística de teste: dada uma amostra de tamanho n, a estatística de teste será
x0 =
∑n
i=1 xi
n
, ou então, considerando o intervalo com valores padronizados, a
estatística de teste será:
z0 =
x0 − µ0
σ/
√
n
.
(v) Conclusão: se x¯0 ∈ RC ou z0 ∈ RCp, rejeitamos H0, caso contrário, não rejeitamos
H0.
Exemplo 3: Seja X uma população normal com variância 36. Dessa população,
toma-se uma amostra de tamanho 16, obtendo-se x¯ = 43. Ao nível de 10%, testar as
hipóteses:
{
H0 : µ = 45
H1 : µ 6= 45
Exemplo 4:A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está muito preo-
cupada com o tempo perdido com acidentes de trabalho, cuja média, nos últimos tempos,
tem sido da ordem de 60 horas/homem por ano e desvio padrão de 20 horas/homem.
Tentou-se um programa de prevenção de acidentes, após o qual foi tomada uma amostra
de nove indústrias e medido o número médio de horas/homem perdidas por acidente, que
foi de 50 horas. Você diria, no nível de 1%, que há evidência de melhoria?
5
1.4 Teste de Hipótese para a Proporção
Consideraremos uma população X onde X = 1 com probabilidade p e X = 0 com pro-
babilidade 1 − p. Assim, a estatística de teste será a proporção amostral pˆ. Pelo T.C.L.
sabemos que
pˆ ≈ N
(
p,
p(1− p)
n
)
.
Assim, podemos aplicar o teste de hipóteses seguindo os seguintes passos:
1. Retirada uma amostra aleatória de tamanho n dessa população queremos testar hi-
póteses do tipo:
a)
{
H0 : p = p0
H1 : p 6= p0
b)
{
H0 : p = p0
H1 : p > p0
c)
{
H0 : p = p0
H1 : p < p0
2. Portanto, dado um nível de signi�cância α a região crítica do teste será respectiva-
mente:
a) RC =
[
0, p0 − z 1−α
2
√
p0(1− p0)
n
]
∪
[
p0 + z 1−α
2
√
p0(1− p0)
n
, 1
]
.
b) RC =
[
p0 + z 1−2α
2
√
p0(1− p0)
n
, 1
]
.
c) RC =
[
0, p0 − z 1−2α
2
√
p0(1− p0)
n
]
.
Onde zα é um valor tabelado tal que P (0 ≤ Z ≤ zα) = α e Z ∼ N(0, 1).
3. A estatística de teste é pˆ avaliada em uma amostra particular.
Exemplo 5: Uma �rma de semicondutores produz aparelhos lógicos. O contrato com
o cliente exige uma fração de defeituosos não mais que 5%. Uma amostra de 200 aparelhos
resultou em 12 defeituosos. Existe razão para o cliente descon�ar da �rma, ao nível de 5%
de signi�cância?
6
1.5 Teste de Hipótese sobre a Média de uma População com
Variância Desconhecida
Consideraremos agora, o caso em que queremos testar hipóteses sobre a média de uma
população com distribuição normal, porém, com variância desconhecida. Para isso, teremos
que estimar a variância através da estatística S2. Além disso, utilizaremos o fato de que
(X − µ)
S/
√
n
∼ t(n−1).
Assim, a estatística do teste será T =
(X − µ)
S/
√
n
.
Assim, podemos aplicar o teste de hipóteses seguindo os seguintes passos:
1. Queremos testar hipóteses do tipo:
a)
{
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
b)
{
H0 : µ = µ0
H1 : µ > µ0
c)
{
H0 : µ = µ0
H1 : µ < µ0
2. Fixado um nível de signi�cância α, a região crítica do teste será dada respectivamente
por:
a) RC =
]
−∞, µ0 − tα S√
n
]
∪
[
µ0 + tα
S√
n
,∞
[
.
b) RC =
[
µ0 + t2α
S√
n
,∞
[
.
c) RC =
]
−∞, µ0 − t2α S√
n
]
.
Onde tα é um valor tabelado tal que P (|T | < tα) = 1− α e T ∼ t(n−1).
3. A estatística de teste é dada por X avaliada em uma amostra particular.
Exemplo 6: Um teste de resistência à ruptura feito em seis cordas acusou resistência
média de 3530kg com desvio-padrão de 66kg. O fabricante a�rma que seu produto tem
resistência média de 3650 kg. Pode-se justi�car a alegação do fabricante, ao nível de 1%?
Exemplo 7: Um fabricante a�rma que seus cigarros contêm não mais que 30 mg de
nicotina. Uma amostra de 25 cigarros fornece média de 31,5 mg e desvio padrão de 3 mg.
Ao nível de 5%, testar a a�rmação do fabricante.
7
1.6 Teste de Hipótese sobre a Igualdade Médias de Duas Popu-
lações Normais Independentes com Variâncias Conhecidas
Sejam X e Y duas populações independentes uma da outra e normalmente distribuidas,
X ∼ N(µX , σ2X) e Y ∼ N(µY , σ2Y ),
onde µX e µY são desconhecidos e σ
2
X e σ
2
Y são conhecidos.
Sejam X1, X2, ..., XnX e Y1, Y2, ..., YnY amostras de X e de Y , respectivamente.
Desejamos testar hipóteses sobre a igualdade das médias:
H0 : µX = µY versus

H1 : µX 6= µY ou
H1 : µX > µY ou
H1 : µX < µY ,
ou equivalentemente
H0 : µX − µY = 0 versus

H1 : µX − µY 6= 0 ou
H1 : µX − µY > 0 ou
H1 : µX − µY < 0.
(i) De�nição das hipóteses:
a)
{
H0 : µX − µY = 0
H1 : µX − µY 6= 0
b)
{
H0 : µX − µY = 0
H1 : µX − µY > 0
c)
{
H0 : µX − µY = 0
H1 : µX − µY < 0
(ii) Escolha da Estatística para o teste
Neste caso, utilizaremos a estatística X − Y . Daí, temos que
X − Y ∼ N
(
µX − µY , σ
2
X
nX
+
σ2Y
nY
)
.
Assim, se a hipótese nula H0 : µX = µY for verdadeira, a estatística de teste
Z =
(X − Y )− (µX − µY )√
σ2X
nX
+
σ2Y
nY
=
X − Y√
σ2X
nX
+
σ2Y
nY
∼ N(0, 1)
segue distribuição normal padrão.
8
(iii) Fixado o nível de signi�cância do teste (α) e supondo H0 verdadeira, podemos cons-
truir a região crítica do teste como:
a)RC =
{
x− y; P
(
X − Y ≤ −z 1−α
2
√
σ2X
nX
+
σ2Y
nY
ou X − Y ≥ z 1−α
2
√
σ2X
nX
+
σ2Y
nY
)
= α
}
=]
−∞;−z 1−α
2
√
σ2X
nX
+
σ2Y
nY
]
∪
[
z 1−α
2
√
σ2X
nX
+
σ2Y
nY
;∞
[
.
A região crítica também pode ser escrita em termos de valores padronizados, ou seja
RCp =
{
z; P
(
|Z| ≥ z 1−α
2
)
= α
}
=
]
−∞;−z 1−α
2
]
∪
[
z 1−α
2
;∞
[
.
b)RC =
{
x¯− y¯; P
(
X − Y ≥ z 1−2α
2
√
σ2X
nX
+
σ2Y
nY
)
= α
}
=
[
z 1−2α
2
√
σ2X
nX
+
σ2Y
nY
;∞
[
.
Ou então,
RCp =
{
z; P
(
Z > z 1−2α
2
)
= α)
}
=
[
z 1−2α
2
;∞
[
.
c)RC =
{
x¯− y¯; P
(
X − Y ≤ −z 1−2α
2
√
σ2X
nX
+
σ2Y
nY
)
= α
}
=
]
−∞;−z 1−2α
2
√
σ2X
nX
+
σ2Y
nY
]
.
Ou então,
RCp =
{
z; P
(
Z ≤ −z 1−2α
2
)
= α)
}
=
]
−∞;−z 1−2α
2
]
.
(iv) A estatística de teste será x¯0−y¯0 = 1nX
∑nX
i=1 xi− 1nY
∑nY
i=1 yi, ou então, considerando
o intervalo com valores padronizados, a estatística de teste será:
z0 =
x0 − y0√
σ2X
nX
+
σ2Y
nY
.
(v) Conclusão: se x¯0 − y¯0 ∈ RC ou z0 ∈ RCp, rejeitamos H0, caso contrário, não
rejeitamos H0.
Exemplo 8: A gerente de uma indústria de suco de laranja enlatado está interessada
em comparar o desempenho de duas linhas de produção diferentes de sua fábrica. Como a
linha X é relativamente nova, ela suspeita que sua produção em número de caixas, por dia,
seja maior do que o número de caixas produzidas pela linha mais velha, Y . Selecionam-
se aleatoriamente 10 dias de dados de cada linha, econtrando-se x¯ = 824, 9 caixas por
dia e y¯ = 818, 6 caixas por dia. Devido à experiência com a operação com esse tipo de
equipamento, sabe-se que σ2X = 40 e σ
2
Y = 50. Veri�que se a gerente tem razão, usando
α = 5%.
9
1.7 Teste de Hipótese sobre a Igualdade Médias de Duas Po-
pulações Normais Emparelhadas
De�nição 1.1 (Populações Emparelhadas). Dizemos que duas populações são
dependentes (ou emparelhadas) se existir alguma relação de modo que cada valor em
uma população estiver emparelhado com um valor correspondente na outra população.
Exemplo 9: A e�cácia de uma dieta é testada usando pesos de indivíduos, medidos
antes e depois do tratamento. Cada valor �antes� é emparelhado com o valor �depois�, pois
cada par de medidas ates/depois se refere à mesma pessoa.
Sejam, então, X e Y duas populações normais emparelhadas,
X ∼ N(µX , σ2X) e Y ∼ N(µY , σ2Y ),
e sejam X1, X2, ..., Xn e Y1, Y2, ..., Yn amostras aleatórias de X e de Y , respectivamente.
Sejam Di = Xi−Yi, i = 1, 2, ..., n, as diferenças entre cada par de observações, onde
as diferenças Di seguem distribuição aproximadamente normal, com média
µD = E(X − Y ) = E(X)− E(Y ) = µX − µY ,
de modo que um teste sobre a igualdade de µX e µY pode ser obtido realizando-se um
teste t de amostra única sobre µD. Especi�camente, testar
H0 : µX = µY versus

H1 : µX 6= µY ou
H1 : µX > µY ou
H1 : µX < µY ,
é equivalentemente a testar
H0 : µD = µX − µY = 0 versus

H1 :µD = µX − µY 6= 0 ou
H1 : µD = µX − µY > 0 ou
H1 : µD = µX − µY < 0.
(i) De�nição das hipóteses:
a)
{
H0 : µD = 0
H1 : µD 6= 0
b)
{
H0 : µD = 0
H1 : µD > 0
c)
{
H0 : µD = 0
H1 : µD < 0
(ii) Escolha da Estatística para o teste
Neste caso, a estatística apropriada é X − Y = D. Daí, temos que
10
T =
(X − Y )− (µX − µY )√
S2d
n
=
D − µD
Sd√
n
∼ t(n−1),
Assim, se a hipótese nula H0 : µD = 0 for verdadeira, a estatística de teste
T =
D
SD√
n
,
segue distribuição t-Student com (n− 1) graus de liberdade, onde
SD =
√
1
n−1
∑n
i=1(Di −D)2 ou SD =
√
1
n−1
[∑n
i=1D
2
i − 1n (
∑n
i=1Di)
2
]
,
e D = 1
n
∑n
i=1Di.
(iii) Fixado o nível de signi�cância do teste (α) e supondo H0 verdadeira, podemos cons-
truir a região crítica do teste como:
a) RC =
{
d; P
(
D ≤ −tα SD√n ou D ≥ tα SD√n
)
= α
}
=
]
−∞,−tα SD√n
]
∪
[
tα
SD√
n
,∞
[
.
A região crítica também pode ser escrita em termos de valores padronizados, ou seja
RCp = {t; P (|T | < tα) = 1− α} = ]−∞;−tα] ∪ [tα;∞[ ;
b) RC =
{
d; P
(
D ≥ t2α SD√n
)
= α
}
=
[
t2α
SD√
n
,∞
[
. Ou então,
RCp = {t; P (T ≥ t2α) = α} = [t2α;∞[ ;
c) RC =
{
d; P
(
D ≤ −t2α SD√n
)
= α
}
=
]
−∞,−t2α SD√n
]
. Ou então,
RCp = {t; P (T ≤ −t2α) = α} = ]−∞;−t2α] ;
onde tα é um valor tabelado tal que P (|T | < tα) = 1− α e T ∼ t(n−1).
(iv) A estatística de teste será d0 =
1
n
∑n
i=1 di, ou então, considerando o intervalo com
valores padronizados, a estatística de teste será:
t0 =
d0
Sd√
n
.
(v) Conclusão: se d0 ∈ RC ou t0 ∈ RCp, rejeitamos H0, caso contrário, não rejeitamos
H0.
11
Exemplo 9: Quinze homens adultos, com idades entre 35 e 50 anos, participaram
de um estudo para avaliar o efeito da dieta e de exercícios no nível de colesterol no
sangue. O colesterol total foi medido em cada indivíduo inicialmente e depois de três
meses de participação em um programa de exercícios aeróbicos e mudanças para uma
dieta de baixo teor de gordura. Os dados são apresentados na tabela a seguir.
Nível de Colesterol no Sangue
Indivíduo Antes Depois
1 265 229
2 240 231
3 258 227
4 295 240
5 251 238
6 245 241
7 287 234
8 314 256
9 260 247
10 279 239
11 283 246
12 240 218
13 238 219
14 225 226
15 247 233
Os dados justi�cam a a�rmação de que a dieta com baixo teor de gordura e um
programa de exercícios aeróbicos são valiosos para uma redução média nos níveis de
colesterol no sangue? Use α = 0, 05.
12
2a LISTA DE EXERCÍCIOS
1 - A tensão de ruptura de cabos fabricados por uma empresa apresenta distribuição
normal, com média 1800 kg e desvio padrão de 100 kg. Mediante uma nova técnica
de produção, proclamou-se que a tensão de ruptura teria aumentado. Para testar essa
declaração, ensaiou-se uma amostra de 50 cabos, obtendo-se como tensão média de
ruptura 1850 kg. Pode-se aceitar a proclamação ao nível de 5%? Resp.: RC =
[1823, 19;+∞)
2 - Um exame padrão de inteligência tem sido usado por vários anos com média de 80
pontos e desvio padrão de 7 pontos. Um grupo de 25 estudantes é ensinado, dando-se
ênfase à resolução de testes. Se esse grupo obtem média de 83 pontos no exame, há
razões para se acreditar que a ênfase dada melhorou o resultado do teste ao nível de
10%? Resp.: RC = [81, 792;+∞)
3 - A força de rompimento de uma �bra têxtil é uma variável aleatória distribuída normal-
mente. As especi�cações exigem que a força média de rompimento seja igual a 150
psi. O fabricante gostaria de detectar qualquer afastamento signi�cante desse valor.
Uma amostra de 15 espécimes de �bra forneceu força média de rompimento 152, 18
psi e variância 16, 63 psi2. O que se pode concluir, ao nível de 5% de signi�cância?
Resp.: RC = (−∞; 147, 74] ∪ [152, 26;+∞)
4 - Sempre que o aumento médio da temperatura da água em uma câmara compressora
superar 5
◦C, o processo de resfriamento deve ser recalibrado. Este processo é,
entretanto, caro e, portanto, deve ser feito apenas se for realmente necessário. Em
8 experimentos independentes com a câmara, foi obtida uma média 5, 65 ◦C e um
desvio padrão 0, 81 ◦C. Estes dados sugerem a necessidade de recalibração? (Use α
= 0,05) Resp.: RC = [5, 54;+∞)
5 - Estamos descon�ados de que a média das receitas municipais per capita das cidades
pequenas (0-20.000 habitantes) é maior do que a das receitas do estado, que é de 1229
unidades. Para comprovar ou não essa hipótese, sorteamos dez cidades pequenas,
e obtivemos os seguintes resultados: 1230; 582; 576; 2093; 2621; 1045; 1439; 717;
1838; 1359.
obs: Para facilitar os cálculos, informamos que a soma das observações é 13500, e a
soma dos quadrados das observações é 22335650.
a) Mostre que o teste de hipótese usado, com α = 0, 05, levará à aceitação de que a
receita média das cidades pequenas é igual à do estado. Resp.: RC = [1620, 74;+∞)
b) Você não acha estranha essa conclusão quando observa que a média da amostra
obtida é bem maior do que a média do estado? Como você explicaria isso?
6 - Uma companhia de cigarros anuncia que o índice médio de nicotina dos cigarros que
fabrica apresenta-se abaixo de 23 mg por cigarro. Um laboratório realiza seis análises
desse índice, obtendo: 27, 24, 21, 25, 26, 22. Sabe-se que o índice de nicotina se
distribui normalmente, com variância igual a 4,86 mg2. Pode-se aceitar, ao nível de
10%, a a�rmação do fabricante? Resp.: RC = [24, 152;+∞)
13
7 - Um certo tipo de rato apresenta, nos três primeiros meses de vida, um ganho médio de
peso de 58g. Uma amostra de 10 ratos foi alimentada desde o nascimento até a idade
de 3 meses com uma ração especial, e o ganho de peso de cada rato foi: 55, 58, 60,
62, 65, 67, 54, 64, 62 e 68. Há razões para crer, ao nível de 5%, que a ração especial
aumenta o peso nos três primeiros meses de vida? Resp.: RC = [60, 76;+∞)
8 - De uma população normal levantaram-se os seguintes dados:
Classes ni
1 ` 3 1
3 ` 5 5
5 ` 7 13
7 ` 9 14
9 ` 11 10
11 ` 13 5
13 ` 15 2
Testar, ao nível de 5%, se a média dessa população é igual a 7. Resp.: RC =
(−∞; 6, 25] ∪ [7, 75;+∞)
9 - Uma máquina automática que empacota o alimento A é programada para colocar
100g de peso. Para veri�car a precisão da máquina, uma amostra de 60 pacotes do
referido alimento fornece peso médio de 98g e desvio padrão de 6g. O que se pode
concluir ao nível de 1%? Resp.: RC = (−∞; 98, 0015] ∪ [101, 9985;+∞)
10 - Lança-se uma moeda 100 vezes e observa-se 40 caras. Baseado nesse resultado,
podemos a�rmar, ao nível de 5%, que a moeda não é honesta? Resp.: RC =
[0; 0, 402] ∪ [0, 598; 1]
11 - Um fabricante de droga medicinal a�rma que ela é 90% e�caz na cura de uma alergia,
em um determinado período. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga curou 150
pessoas. Testar ao nível de 1% se a pretensão do fabricante é legítima. Resp.:
RC = [0; 0, 8506]
12 - Uma estação de televisão a�rma que 60% dos televisores estavam ligados no seu
programa especial da última segunda-feira. Uma rede competidora deseja contestar
essa a�rmação e decide usar uma amostra de 200 famílias para um teste. Qual
deve ser o procedimento adotado para avaliar a veracidade da a�rmação da estação,
adimitindo-se que, das 200 famílias pesquisadas, 110 estavam assistindo ao programa?
Utilize um nível de 5%. Resp.: RC = [0; 0, 5432]
13 - Estão sendo estudadas as taxas de queima de dois diferentes propelentes sólidos
usados no sistema de escapamento das aeronaves. Sabe-se que ambos os propelentes
têm aproximadamente o mesmo desvio padrão da taxa de queima, ou seja, σX =
σY = 3 cm/s. Duas amostras aleatórias de nX = 20 e nY = 20 espécimes são
testadas. As taxas médias de queima das amostras são 18,02 cm/s e 24,37 cm/s.
Teste a hipótese de que ambos os propelentes têm a mesma taxa médiade queima.
Use α = 0, 05. Resp.: RC = (−∞;−1, 8594] ∪ [1, 8594;+∞)
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14 - Duas máquinas são usadas para encher garrafas de plástico com detergente para
lavagem de pratos. Os desvios padrão do volume de enchimento são conhecidos
como sendo σX = 0, 1 onça �uida e σY = 0, 15 onça �uida para as duas máquinas,
respectivamente. Duas amostras aleatórias de nX = 12 garrafas da máquina 1 e
nY = 10 garrafas da máquina 2 são selecionadas. Os volumes médios de enchimento
nas amostras são x¯ = 30, 61 onças �uidas e y¯ = 30, 34 onças �uidas. Suponha
a normalidade dos dados, e teste a hipótese de que ambas as máquinas enchem o
mesmo volume médio. Use α = 0, 05. Resp.: RC = (−∞;−0, 1088]∪[0, 1088;+∞)
15 - O diâmetro de bastões de aço, fabricados em duas máquinas diferentes, está sendo
investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos nX = 15 e nY = 17 são sele-
cionadas, obtendo-se as médias x¯ = 8, 73 e y¯ = 8, 68, respectivamente. Sabendo
que σ2X = 0, 35 e σ
2
Y = 0, 40, e que os dados sejam retirados de uma população
normal, podemos dizer que há evidência que justi�que a a�rmação de que as duas
máquinas produzam bastões com diferentes diâmetros médios? Use α = 0, 05. Resp.:
RC = (−∞;−0, 4243] ∪ [0, 4243;+∞)
16 - Dois catalisadores podem ser usados em um processo químico em batelada. Doze
bateladas foram preparadas usando o catalisador 1, resultando em um rendimento
médio de 86,20. Quinze bateladas foram preparadas usando o catalisador 2, resul-
tando em um rendimento médio de 89,38. Considere que as medidas de rendimento
sejam distribuídas aproximadamente de forma normal, com desvios padrão de 2,91 e
2,07, respectivamente. Há evidência que justi�que a a�rmação de que o catalisador
2 produza um rendimento maior do que o catalisador 1? Use α = 0, 01. Resp.:
RC = (−∞;−2, 3199]
17 - Na fabricação de semicondutores, o ataque químico por via úmida é frequentemente
usado para remover silicone da parte posterior das pastilhas antes da metalização.
A taxa de ataque é uma característica importante nesse processo e é sabido que ela
segue uma distribuição normal. Duas soluções diferentes para ataque químico têm
sido comparadas, usando duas amostras aleatórias de 10 pastilhas para cada solução.
As taxas observadas de ataque (10−3polegadas/min) são dadas a seguir:
Solução 1 9,9 9,4 9,3 9,6 10,2 10,6 10,3 10,0 10,3 10,1
Solução 2 10,2 10,6 10,7 10,4 10,5 10,0 10,2 10,7 10,4 10,3
Os dados justi�cam a a�rmação de que a taxa média de ataque seja a mesma para
ambas as soluções? Considere que ambas as populações tenham variâncias iguais
a 0, 1(10−3polegadas/min)2 e use α = 0, 05. Resp.: RC = (−∞;−0, 277] ∪
[0, 277;+∞)
18 - Dois fornecedores fabricam uma engrenagem de plástico em uma impressora a laser. A
resistência de impacto (medida em libras-pé) dessas engrenagens é uma característica
importante. Uma amostra aleatória de 10 engrenagens do fornecedor 1 resulta em
x¯ = 289, 3, enquanto a outra amostra aleatória de 16 engrenagens do fornecedor 2
resulta em y¯ = 321, 5. Sabendo que σX = 22, 5 e σY = 21, há evidência justi�cando
a a�rmação de que o fornecedor 2 fornece engrenagens com maiores resistências
15
médias de impacto? Use α = 0, 05 e considere que ambas as populações sejam
normalmente distribuídas. Resp.: RC = (−∞;−14, 501]
19 - Dez indivíduos participaram de um programa de modi�cação alimentar para estimar a
perda de peso. Seus pesos antes e depois da participação no programa são mostrados
na lista a seguir. Há evidência para justi�car a a�rmação de que esse programa
particular de modi�cação alimentar seja efetivo na redução do peso médio? Use
α = 0, 05.
Peso
Indivíduo Antes Depois
1 195 187
2 213 195
3 247 221
4 201 190
5 187 175
6 210 197
7 215 199
8 246 221
9 294 278
10 310 285
Resp.: RC = [3, 7166;+∞)
20 - Dois diferentes testes analíticos podem ser usados para determinar o nível de impureza
em ligas de aço. Oito espécimes são testados usando ambos os procedimentos, sendo
os resultados mostrados na tabela a seguir. Há evidência su�ciente para concluir que
ambos os testes fornecem o mesmo nível médio de impureza? Use α = 0, 01.
Espécime Teste 1 Teste 2
1 1,2 1,4
2 1,3 1,7
3 1,5 1,5
4 1,4 1,3
5 1,7 2,0
6 1,8 2,1
7 1,4 1,7
8 1,3 1,6
Resp.: RC = (−∞;−0, 2136] ∪ [0, 2136;+∞)
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus de Campina Grande
UNIDADE ACADÊMICA DE ESTATÍSTICA
Disciplina: Introdução à Estatística Período 2013.2
Professor: Ana Cristina Brandão da Rocha
Relação de Exercícios para o 2◦ Estágio
Livro: "Estatística Básica". Wilton O. Bussab e Pedro A. Morettin. 5a. Edicão.
Capítulo 12 (Testes de Hipóteses)
Problema Página
3 330
8 334
10, 12 e 13 337
22 350
25 e 27 351
35 353
Capítulo 13 (Inferência para Duas Populações)
Problema Página
6 365
16 e 19 380
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