Portfólio - UNIVESP - Cálculo II - Semana 6

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PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 
4º BIMESTRE 
Willians Freire Pires 
AULA 21 – EXERCÍCIO 3 
Calcule a massa de um fio metálico modelado pela curva 𝐶 dada por 𝑟 𝑡 =
 𝑡, 2𝑡, 3𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 1, com densidade linear 𝜌 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧. 
 
𝑟′ 𝑡 = 1,2,3 
𝜌 𝑟 𝑡 = 𝑡 + 2𝑡 + 3𝑡 = 6𝑡 
 𝜌 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑠
𝐶
= 6𝑡. 12 + 22 + 32𝑑𝑡
1
0
 
= 6 14𝑡𝑑𝑡
1
0
 
= 6 14 
𝑡2
2
 
𝑡=0
𝑡=1
 
= 6 14.
1
2
 
= 3 14 
Portanto, a massa do fio é 3 14. 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 
4º BIMESTRE 
Willians Freire Pires 
AULA 22 – EXERCÍCIO 3 
Mostre que o campo de força 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝑒𝑥𝑦 𝑖 + 𝑥𝑒𝑥𝑦 𝑗 é conservativo e calcule o 
trabalho realizado pelo campo, ao longo de uma curva contínua ligando os 
pontos 𝐴 = −1,1 e 𝐵 = 2,0 . 
Sejam 𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝑒𝑥𝑦 e 𝑄 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥𝑦 . Note que 𝐹 𝑥, 𝑦 está bem definida em ℝ2 
que é uma região simplesmente conexa. Logo, calculando 
𝜕𝑃
𝜕𝑦
 e 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
 temos: 
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 1. 𝑒𝑥𝑦 + 𝑦. 𝑥𝑒𝑥𝑦 = 𝑒𝑥𝑦 1 + 𝑥𝑦 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
= 1. 𝑒𝑥𝑦 + 𝑥. 𝑦𝑒𝑥𝑦 = 𝑒𝑥𝑦 1 + 𝑥𝑦 
Como 
𝜕𝑃
𝜕𝑦
=
𝜕𝑄
𝜕𝑥
 o campo é conservativo. 
 
Encontrando 𝑓 tal que ∇𝑓 = 𝐹 . 
∇𝑓 = 𝐹 ⇒
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗 = 𝑃𝑖 + 𝑄𝑗 ⇒
 
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑃 𝑥, 𝑦 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑄 𝑥, 𝑦 
 
Então: 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑃 𝑥, 𝑦 ⇒
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑦𝑒𝑥𝑦 ⇒ 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝑒𝑥𝑦𝑑𝑥 = 𝑦 𝑒𝑥𝑦𝑑𝑥 = 𝑦
1
𝑦
𝑒𝑥𝑦 + 𝑔 𝑦 
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑦 + 𝑔 𝑦 
Por outro lado 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑥𝑒𝑥𝑦 + 𝑔′ 𝑦 = 
𝑄
𝑥𝑒𝑥𝑦 ⇒ 𝑔′ 𝑦 = 0 
Logo 
𝑔 𝑦 = 𝑘, 𝑘 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 
Portanto 
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑦 + 𝑘 
Como qualquer função 𝑓 satisfaz, tomando 𝑘 = 0 temos o trabalho realizado calculado 
por: 
 𝐹𝑑𝑟
𝐶
= − 𝑓𝑑𝑟
𝐶
= − 𝑓 2,0 − 𝑓 −1,1 = − 𝑒2.0 − 𝑒−1.1 = − 1 −
1
𝑒
 
= 
1
𝑒
− 1 𝑜𝑢 𝑎𝑖𝑛𝑑𝑎
1 − 𝑒
𝑒
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 
4º BIMESTRE 
Willians Freire Pires 
AULA 23 – EXERCÍCIO 3 
O Teorema de Green nos dá que o centroide de uma região 𝒟, limitada por 
uma curva fechada 𝐶, no plano-xy tem coordenadas 𝑥 , 𝑦 dadas por: 
𝑥 =
1
2𝐴
 𝑥2𝑑𝑦
𝐶
 𝑒 𝑦 = −
1
2𝐴
 𝑦2𝑑𝑥
𝐶
 
onde 𝐴 é a área delimitada pela curva fechada 𝐶. Calcule o centroide da região 
𝒟 = 𝑥, 𝑦 | 0 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑎2 , 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 
 
Note que a região 𝒟 é um setor circular de 90º de abertura e raio 𝑎. Logo, a área 𝐴 é: 
𝐴 =
90
360
𝜋𝑎2 =
𝜋𝑎2
4
 
 
Sejam os caminhos: 
 𝐶1: o segmento que vai do ponto 0,0 ao 𝑎, 0 ; 
 𝐶2: o arco que vai do ponto 𝑎, 0 ao 0, 𝑎 ; 
 𝐶3: o segmento do ponto 0, 𝑎 ao 0,0 ; 
 
Calculando 𝑥 . 
𝑥 =
1
2𝐴
 𝑥2𝑑𝑦
𝐶
=
2
𝜋𝑎2
 𝑥2𝑑𝑦
𝐶
=
2
𝜋𝑎2
 𝑥2𝑑𝑦
𝐶1
+ 𝑥2𝑑𝑦
𝐶2
+ 𝑥2𝑑𝑦
𝐶3
 
Note que em 𝐶1 e 𝐶3 a integral de vale zero, pois na parametrização, ou 𝑥 é zero ou 𝑦 é 
zero, então em 𝐶2 temos 𝑥 = 𝑎 cos 𝑡, 𝑦 = 𝑎 sen 𝑡 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑎 cos 𝑡 𝑑𝑡 e 0 ≤ 𝑡 ≤
𝜋
2
, 
assim: 
𝑥 =
2
𝜋𝑎2
 𝑥2𝑑𝑦
𝐶2
=
2
𝜋𝑎2
 𝑎 cos 𝑡 2𝑎 cos 𝑡 𝑑𝑡
𝜋
2
0
 
=
2𝑎3
𝜋𝑎2
 cos3 𝑡 𝑑𝑡
𝜋
2
0
=
2𝑎
𝜋
 sen 𝑡 −
sen3 𝑡
3
 
𝑡=0
𝑡=
𝜋
2
 
=
2𝑎
𝜋
 1 −
1
3
 =
4𝑎
3𝜋
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 
4º BIMESTRE 
Willians Freire Pires 
Calculando 𝑦 . Analogamente, 
𝑦 = −
1
2𝐴
 𝑦2𝑑𝑥
𝐶
= −
2
𝜋𝑎2
 𝑦2𝑑𝑥
𝐶1
+ 𝑦2𝑑𝑥
𝐶2
+ 𝑦2𝑑𝑥
𝐶3
 
= −
2
𝜋𝑎2
 𝑦2𝑑𝑥
𝐶2
= −
2
𝜋𝑎2
 𝑎 sen 𝑡 2 −𝑎 sin 𝑡 𝑑𝑡
𝜋
2
0
 
= − −
2𝑎3
𝜋𝑎2
 sen3 𝑡 𝑑𝑡
𝜋
2
0
=
2𝑎
𝜋
 − cos 𝑡 +
cos3 𝑡
3
 
𝑡=0
𝑡=
𝜋
2
 
=
2𝑎
𝜋
 −0 + 0 − −1 +
1
3
 =
4𝑎
3𝜋
 
 
Portanto, o centroide da região 𝒟 é 
4𝑎
3𝜋
,
4𝑎
3𝜋
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 
4º BIMESTRE 
Willians Freire Pires 
AULA 24 – EXERCÍCIO 3 
Mostre que o campo vetorial 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑥𝑦𝑖 + 𝑥2 + 2𝑦𝑧 𝑗 + 𝑦2𝑘 é 
conservativo e encontre uma função potencial 𝑓 tal que ∇𝑓 = 𝐹 , satisfazendo 
𝑓 1,1,1 = 1. 
Calculando o rotacional de 𝐹 . 
rot 𝐹 = 
 
𝑖 𝑗 𝑘 
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
2𝑥𝑦 𝑥2 + 2𝑦𝑧 𝑦2
 
 
=
𝜕
𝜕𝑦
 𝑦2 𝑖 +
𝜕
𝜕𝑥
 𝑥2 + 2𝑦𝑧 𝑘 +
𝜕
𝜕𝑧
 2𝑥𝑦 𝑗 −
𝜕
𝜕𝑦
 2𝑥𝑦 𝑘 −
𝜕
𝜕𝑥
 𝑦2 𝑗 −
𝜕
𝜕𝑧
 𝑥2 + 2𝑦𝑧 𝑖 
= 2𝑦𝑖 + 2𝑥𝑘 + 0𝑗 − 2𝑥𝑘 − 0𝑗 − 2𝑦𝑖 = 0𝑖 + 0𝑗 + 0𝑘 = 0 
Como 𝐹 está definida para todo o ℝ3 que é uma região simplesmente conexa, tem 
derivadas contínuas em todos os pontos e rot 𝐹 = 0 então o campo é conservativo. 
Para encontrar 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 tal que 𝐹 = ∇𝑓 resolvemos exatamente o sistema gerado por 
essa igualdade. 
2𝑥𝑦𝑖 + 𝑥2 + 2𝑦𝑧 𝑗 + 𝑦2𝑘 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝑘 
 
 
 
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑥2 + 2𝑦𝑧
𝜕𝑓
𝜕𝑧
= 𝑦2
 
Da primeira equação temos 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑦 ⇒ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑥2 + 𝑔 𝑦, 𝑧 
Derivando 𝑓 em relação a 𝑦 temos: 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑥2 +
𝜕𝑔
𝜕𝑦
 𝑦, 𝑧 . Igualando a segunda equação 
temos: 
𝑥2 +
𝜕𝑔
𝜕𝑦
 𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 2𝑦𝑧 ⇒
𝜕𝑔
𝜕𝑦
 𝑦, 𝑧 = 2𝑦𝑧 ⇒ 𝑔 𝑦, 𝑧 = 𝑦2𝑧 + 𝑕 𝑧 
Logo 
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑥2 + 𝑦2𝑧 + 𝑕 𝑧 
Derivando em relação a 𝑧 temos: 
𝜕𝑓
𝜕𝑧
= 𝑦2 +
𝜕𝑕
𝜕𝑧
 𝑧 . Igualando com a terceira equação 
temos: 
𝑦2 +
𝜕𝑕
𝜕𝑧
 𝑧 = 𝑦2 ⇒
𝜕𝑕
𝜕𝑧
 𝑧 = 0 ⇒ 𝑕 = 𝑘 𝑘 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 
 
 
 
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PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 
4º BIMESTRE 
Willians Freire Pires 
Então, 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑥2 + 𝑦2𝑧 + 𝑘. Aplicando ao ponto 1,1,1 temos: 
𝑓 1,1,1 = 1 ⇒ 1. 12 + 12 . 1 + 𝑘 = 1 ⇒ 2 + 𝑘 = 1 ⇒ 𝑘 = −1 
Portanto, a função 𝑓 procurada é 
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2𝑦 + 𝑦2𝑧 − 1