Espaços Métricos: uma introdução

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Universidade Federal de São Carlos
Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia
Departamento de Matemática
Espaços Métricos: uma introdução
Autor: Daniela Hiromi Cavamura Endo
Orientador: Francisco Braun
Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso
Curso: Licenciatura em Matemática
Professores Responsáveis: Selma Helena de Jesus Nicola
João Carlos Vieira Sampaio
Alessandra Aparecida Verri
São Carlos, 13 de agosto de 2015.
Espaços Métricos: uma introdução
Autor: Daniela Hiromi Cavamura Endo
Orientador: Francisco Braun
Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso
Curso: Licenciatura em Matemática
Professores Responsáveis: Selma Helena de Jesus Nicola
João Carlos Vieira Sampaio
Alessandra Aparecida Verri
Instituição: Universidade Federal de São Carlos
Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia
Departamento de Matemática
São Carlos, 13 de agosto de 2015.
Nome do Autor (aluno) Nome do Orientador (orientador)
Agradecimentos
Agradeço primeiramente a Deus por ter me dado condições para seguir em frente e estar
aqui correndo atrás dos meus objetivos, e ter colocado pessoas maravilhosas no meu
caminho, as quais sempre estarão no meu coração. Agradeço aos meus antepassados, pois
sem eles eu também não estaria aqui.
A toda minha família, meus agradecimentos eternos por toda ajuda e força. Mas
principalmente, para as pessoas que mais amo e admiro, meus pais Julia e Hiroo, por
tudo que já fizeram e ainda fazem por mim, por todo amor que têm me dado, e por
passarem valores tão ricos que levarei para a vida toda, e pela minha irmã Marcela, um
exemplo de pessoa, que sempre esta do meu lado, minha melhor companheira. Não tenho
palavras que expressem a imensa gratidão e orgulho que sinto em tê-los em minha vida.
Agradecimentos especiais para vó Carola por tanta bondade que há em seu coração e
ter cuidado de mim com tanto amor, e para família Shinozaki, os quais considero minha
segunda família, muito obrigado por todo carinho.
Não poderia esquecer da pessoa que me faz tão feliz, que me apoia, me ajuda e segue
firme ao meu lado, meu namorado e companheiro, a pessoa que mais me aguenta, Edson
agradeço por tudo, mas principalmente pela paciência e compreensão que tem demons-
trado nos momentos mais difíceis.
Não posso deixar de citar meus amigos, da escola, faculdade, infância, e aqueles que
conheci a pouco tempo, mas que já conquistaram minha confiança e respeito. Dentre
todos destaco aqueles que se fizeram mais presentes nestes últimos tempos e tiveram uma
especial importância neste semestre tão difícil, Daiane, Junia, Lucas, Elard e Hiroshi
agradeço pela ajuda, pela preocupação, por acreditarem em mim, mas principalmente
por estarem do meu lado. Agradeço também ao time de beisebol e softbol da UFSCar,
e especialmente à galera da rep Yakuza que sempre fizeram com que me sentisse em
casa, destaco Yuiti, Camila, Martinez, Massao, Guilherme, Marcelo e Cauã, obrigada por
deixarem eu fazer parte dessa família e estarem presentes nesta etapa.
Meus sinceros agradecimentos a todos os meus professores por compartilharem seus
conhecimentos e contrinuírem para minha formação, mas pricipalmente ao meu orientador
Francisco Braun, o qual tenho tanta admiração, muito obrigada por toda paciência e
empenho para me encaminhar neste trabalho.
E por fim e não menos importante, agradeço a todas as pessoas que contrinuíram
direta ou indiretamente para a finalização de mais uma importante etapa da minha vida.
Resumo
Neste trabalho apresentamos uma introdução aos Espaços Métricos, partindo da defini-
ção, trabalhando alguns exemplos, definindo e entendendo os conceitos primários deste
contexto, como bolas abertas, funções contínuas, noções de Topologia, culminando com o
Teorema do Ponto Fixo de Banach.
vii
Sumário
Introdução xiii
1 Espaços Métricos: noções básicas 1
1.1 Métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Bolas e Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Conjuntos Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Funções Contínuas 21
2.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Conceitos e Noções de Topologia 25
3.1 Conjuntos Abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Sequências 31
4.1 Limite de Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Convergência e Topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3 Sequências de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Pontos Fixos 39
5.1 Teorema do Ponto Fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
ix
Lista de Figuras
1.1 Distância entre as funções x e x2 no intervalo [0, 1] . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Círculo de raio 1 centrado na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Quadrado centrado na origem, com diagonais paralelos os eixos . . . . . . 15
1.4 Quadrado centrado na origem, com lados paralelos os eixos . . . . . . . . . 16
1.5 Gráfico de g na amplitude 2r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
xi
Lista de Tabelas
3.1 Contrapontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
xii Lista de Tabelas
xiii
Introdução
Neste trabalho, tive a oportunidade de estudar conceitos mais abstratos e mais gerais do
que vistos em minha graduação em Licenciatura em Matemática. Os cursos de Espaços
Métricos e Topologia não fizeram parte da minha formação, por isso foi muito interessante
de conhecer, mesmo em um nível introdutório. Este estudo teve como objetivo comple-
mentar minha formação, além de conhecer assuntos mais abstratos, como bolas e noções
de topologia, obter uma base um pouco mais geral de alguns conceitos já conhecidos como
conjuntos limitados, funções contínuas, limites de sequências, entre outros.
O trabalho está organizado em cinco capítulos, com os seguintes temas: Espaços Mé-
tricos: noções básicas, Funções Contínuas, Conceitos e Noções de Topologia, Sequências
e Ponto Fixo, respectivamente. E que serão explorados da seguinte maneira:
No Capítulo 1, serão apresentados os conceitos iniciais de Espaços Métricos. Em
primeiro momento, um estudo da definição trabalhando com métricas. Em Rn podemos
definir três diferentes maneiras de medir distâncias, mas em R essas três métricas são
iguais. Outros exemplos importantes de métrica são explorados, como Espaços Vetoriais
normados e Espaços Vetoriais com produto interno. Logo após, é abordado o conceito de
bolas, em R as bolas abertas são intervalos abertos, em R2 poderá ser um círculo, ou um
quadrado dependendo da métrica usada. Finalizamos o capítulo com conjuntos limitados,
agora, numa noção mais geral explorando as ideias de bolas.
Já no Capítulo 2, serão trabalhados somente as funções contínuas e algumas proprie-
dades, destacando as funções Lipschitzianas, em particular, as contrações que serão muito
importantes para o Teorema do Ponto Fixo.
No Capítulo 3, trabalharemos as noções de conjuntos abertos e fechados, com conceitos
um pouco mais abstratos usando bolas para definir conjuntos.
No Capítulo 4, serão apresentados os conceitos de sequências, trabalhando limites de
sequência, e as sequências de Cauchy que possuem interessantes relações como, sequências
convergentes são de Cauchy, já a recíproca não é verdadeira. Quando vale a recíproca,
dizemos que o Espaço Métrico é completo. Isto também será importante para o Teorema
do Ponto Fixo, explorado no Capítulo seguinte.
No último capítulo, será demonstrado o Teoremado Ponto Fixo de Banach, usando
alguns conceitos anteriores, como Espaço Métrico Completo, contrações, sequências de
Cauchy, entre outros. Finalizamos o trabalho com alguns exemplos de métodos de apro-
ximações sucessivas.
1
Capítulo 1
Espaços Métricos: noções básicas
1.1 Métrica
Definição 1.1. Dado um conjunto M 6= ∅, chamamos de uma métrica em M uma função
d : M ×M → R, que associa a cada par ordenado (x, y) ∈ M × M , um número real
d(x, y), chamado distância de x a y, de modo que satifaça às seguintes condições para
dados x, y, z ∈M :
(i) d(x, x) = 0;
(ii) Se x 6= y então d(x, y) > 0;
(iii) d(x, y) = d(y, x);
(iv) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Um Espaço Métrico é um conjunto munido de uma métrica. Em outras palavras, é um
par ordenado (M, d), em que M é um conjunto não vazio e d é uma métrica em M .
Portanto, ter um conjunto e uma métrica nesse conjunto que satisfaça às condições
mostradas acima nos garante ter um espaço métrico.
Nesta primeira seção, veremos vários exemplos de espaços métricos, desde os mais
simples como o exemplo abaixo, aos com estruturas mais ricas, como por exemplo, os
espaços euclidianos com distintas distâncias.
Exemplo 1.2.
Considerando um conjunto M formado por três objetos aleatórios, por exemplo uma
caneta, uma borracha e uma tesoura, denotados por c, b e t, respectivamente, e definamos
a seguinte função d : M ×M → R: a distância de um elemento com ele mesmo é zero,
ou seja, d(x, x) = 0 para qualquer x ∈M ; e a distância de um objeto com qualquer outro
objeto diferente dele é um, ou seja, d(x, y) = 1 para quaisquer x, y ∈M , com x 6= y.
Vamos mostrar que (M, d) é um espaço métrico. Para isso, temos que verificar que são
válidas as propriedades da Definição 1.1. De fato, pela construção, temos que d(x, x) = 0
2 1. Espaços Métricos: noções básicas
para qualquer x ∈ M e d(x, y) = 1 > 0 para quaisquer x, y ∈ M , com x 6= y. Logo as
condições (i) e (ii) estão verificadas. Também é imediata a condição (iii), pois d(x, y) =
1 = d(y, x) para quaisquer x, y ∈M , com x 6= y. Agora, para mostramos o (iv), d(x, z) ≤
d(x, y) + d(y, z) para qualquer x, y, z ∈ M , vamos separar em casos: Sejam x, y, z ∈
{c, b, t}.
Caso(1): Se x = z, então é claro que d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), independentemente de
quem seja y, pois 0 é menor ou igual que a soma de quaisquer números positivos, inclusive
o próprio zero;
Caso(2): Se x 6= z, então certamente temos que ou x 6= y ou z 6= y (pois, se x = y e y = z
então x = z contrariando a hipótese). Logo, d(x, y) + d(y, z) ≥ 1 = d(x, z).
Este exemplo pode facilmente ser generalizado para um conjunto não vazio qualquer.
Exemplo 1.3 (Métrica “zero-um”).
Agora, consideremos um conjunto M qualquer. E definamos a métrica d : M ×M → R
como no exemplo anterior, ou seja, colocando d(x, x) = 0 e d(x, y) = 1 se x 6= y. Vejamos
que d assim definida é uma métrica.
Analisando a demonstração do Exemplo 1.2, observamos que não foi usado explicita-
mente o fato de M ter só três elementos, da mesma forma como naquele exemplo, é trivial
concluir que no caso atual d é uma métrica.
Observação 1.4. Para o próximo exemplo, utilizaremos o seguinte resultado de R (desi-
gualdade triangular)
|a+ b| ≤ |a|+ |b|,
∀a, b ∈ R.
Demonstração. Temos que por definição de módulo, ∀a, b ∈ R,
|a+ b| =
{
a + b, Se a + b ≥ 0;
−a− b, Se a + b < 0. (1.1)
Temos que ∀a ∈ R, ±a ≤ |a|, pois se a ≥ 0, ±a ≤ a = |a|. Ja se a < 0, ±a ≤ −a = |a|.
Da mesma forma acontece para b. Assim,
−|a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|.
Então, somando as desigualdades:
−|a| − |b| ≤ a+ b ≤ |a|+ |b|,
temos que nos leva a
a + b ≤ |a|+ |b| e − a− b ≤ |a|+ |b|
1.1. Métrica 3
Logo, de (1.1), segue que
|a+ b| ≤ |a|+ |b|
Observação 1.5. Com a observação acima, fica simples garantir que a função d : R×R→
[0,∞) definida por d(x, y) = |x− y| é uma métrica em R.
Demonstração. De fato, (i), (ii) e (iii) são trivialmente verificados. Já (iv), segue da
observação anterior, pois
d(x, y) = |x− y| = |x− z + z − y| ≤ |x− z| + |z − y| = d(x, z) + d(z, y),
∀x, y, z ∈ R.
Generalizando, temos o seguinte
Exemplo 1.6 (Espaço Euclidiano Rn).
Neste exemplo, definiremos três maneiras diferentes de medir distâncias entre dois pontos
em Rn. Assim, com o mesmo conjunto Rn, teremos três espaços métricos distintos. Pontos
em Rn são as listas x = (x1, ..., xn) em que cada uma das n coordenadas xi, com i = 1, ..n, é
um número real. Dados x = (x1, ..., xn) e y = (y1, ..., yn), definamos d, d′, d′′ : Rn×Rn → R
por
d(x, y) =
2
√
(x1 − y1)2 + ...+ (xn − yn)2 =
[
n∑
i=1
(xi − yi)2
] 1
2
,
d′(x, y) = |x1 − y1|+ ... + |xn − yn| =
n∑
i=1
|xi − yi|,
d′′(x, y) = max{|x1 − y1|, ..., |xn − yn|} = max1≤i≤n|xi − yi|.
Observemos que em R, isto é, quando n = 1, d = d′ = d′′ = |x−y|. De fato, para cada
x, y ∈ R, d(x, y) = 2
√
(x− y)2 = |x − y|, d′(x, y) = |x − y| e d′′(x, y) = max{|x − y|} =
|x− y|.
Mostremos que as funções d, d′, d′′ : Rn × Rn → R são métricas.
De fato, verifiquemos as quatro condições da Definição 1.1 para garantir que d, d′, d′′
sejam métricas:
(i) Para cada x ∈ Rn,
d(x, x) =
2
√
(x1 − x1)2 + ...+ (xn − xn)2 = 2
√
0 + ... + 0 =
2
√
0 = 0;
d′(x, x) = |x1 − x1|+ ...+ |xn − xn| = |0|+ ...+ |0| = 0;
4 1. Espaços Métricos: noções básicas
d′′(x, x) = max{|x1 − x1|, ..., |xn − xn|} = max{0, ..., 0} = 0.
(ii) Se x 6= y, isto é, existe i ∈ {1, ...n} tal que xi 6= yi, temos
d(x, y) =
2
√
(x1 − y1)2 + ... + (xn − yn)2 ≥ 2
√
(xi − yi)2 = |xi − yi| > 0;
d′(x, y) =|x1 − y1|+ ...+ |xn − yn| ≥ |xi − yi| > 0;
d′′(x, y) =max{|x1 − y1|, ..., |xn − yn|} ≥ |xi − yi| > 0.
(iii) Se x, y ∈ Rn,
d(x, y) =
2
√
(x1 − y1)2 + ... + (xn − yn)2
=
2
√
(y1 − x1)2 + ... + (yn − xn)2
=d(y, x);
d′(x, y) =|x1 − y1|+ ...+ |xn − yn| = |y1 − x1|+ ...+ |yn − xn|
=d′(y, x);
d′′(x, y) =max{|x1 − y1|, ..., |xn − yn|} = max{|y1 − x1|, ..., |yn − xn|}
=d′′(y, x).
(iv) Se x, y, z ∈ Rn, temos:
d′(x, z) =|x1 − z1|+ ... + |xn − zn|
=|x1 − y1 + y1 − z1|+ ... + |xn − yn + yn − zn|
≤|x1 − y1|+ |y1 − z1|+ ...+ |xn − yn|+ |yn − zn|
=d′(x, y) + d′(y, z),
1.1. Métrica 5
em que na desigualdade acima foi usada a Observação 1.4;
d′′(x, z) =max{|x1 − z1|, ..., |xn − zn|}
=max{|x1 − y1 + y1 − z1|, ..., |xn − yn + yn − zn|}
≤max{|x1 − y1|+ |y1 − z1|, ..., |xn − yn|+ |yn − zn|}
=max{|x1 − y1|, ..., |xn − yn|}+max{|y1 − z1|, ..., |yn − zn|}
=d′(x, y) + d′(y, z),
em que na desigualdade acima também foi usada a Observação 1.4.
A verificação de (iv) para a métrica d será feita na Observação 1.16, mais abaixo.
Logo, mostramos que são satisfeitas as quatro condições (i), (ii), (iii) e (iv) necessárias
para que d, d′, d′′ : Rn × Rn → R sejam métricas.
A proposição a seguir apresenta relações entre métricas d, d′ e d′′, mostrando
Proposição 1.7. Sejam d, d′ e d′′ as métricas definidas no Exemplo 1.6. Quaisquer que
sejam x, y ∈ Rn, tem-se:
d′′(x, y) ≤ d(x, y) ≤ d′(x, y) ≤ nd′′(x, y).
Demonstração. Primeiramente, separaremos em três afirmações:
1o : d′′(x, y) ≤ d(x, y);
2o : d(x, y) ≤ d′(x, y);
3o : d′(x, y) ≤ nd′′(x, y).
Agora, provemos cada uma delas:
1o : Tomando o quadrado de d(x, y), temos:
d(x, y)2 = (x1 − y1)2 + ...+ (xn − yn)2 =
n∑
i=1
(xi − yi)2 (1.2)
Observemos que existe i0 ∈ {1, ..., n} tal que d′′(x, y) = max1≤i≤n{|xi−yi|} = |xi0−yi0 |.
Então,
d′′(x, y)
2
= |xi0 − yi0 |2 ≤
n∑
i=1
(xi − yi)2 = d(x, y)2.
Extraindo a raiz quadrada dos dois lados chegaremos a
|d′′(x, y)| ≤ |d(x, y)|,
e como distâncias são números positivos, segue a 1o.
6 1. Espaços Métricos: noções básicas
2o : Por definição de d’, temos de 1.2 que
d′(x, y)
2
=
n∑
i=1
(xi − yi)2 + 2
[
n∑
i 6=j
|xi − yi||xj − yj |
]
≥ d(x, y). (1.3)
Logo, segue o 2o.
3o : Temos qued′(x, y) = |x1 − y1| + ... + |xn − yn| e nd′′(x, y) = n[max1≤i≤n{|xi − yi|}].
Assim,
d′(x, y) =|x1 − y1|+ ... + |xn − yn|
≤max1≤i≤n{|xi − yi|}+ ...+max1≤i≤n{|xi − yi|}︸ ︷︷ ︸
n
=nd′′(x, y).
Portanto d′(x, y) ≤ nd′′(x, y).
Logo, relacionando as três afirmações provadas acima mostramos que d′′(x, y) ≤
d(x, y) ≤ d′(x, y) ≤ nd′′(x, y).
Os dois lemas abaixo serão usados no próximo exemplo (Espaços de Funções) e são
propriedades da reta interessantes por si só. Antes, lembremos que um conjunto X ⊂ R é
dito limitado superiormente se existe c ∈ R tal que x ≤ c, para todo x ∈ X. Neste caso,
c é dito um limitante superior de X. Analogamente, se X ⊂ R é limitado inferiormente,
d ∈ R é um limitante inferior de X se d ≤ x, para todo x ∈ X.
Seguem as definições de supremo e ínfimo:
Definição 1.8. Dado X ⊂ R um conjunto limitado superiormente, dizemos que α é o
supremo de X, denotando α = supX, se satisfizer
(i) α é limitante superior de X, isto é, x ≤ α, ∀x ∈ X;
(ii) α é o menor limitante superior de X, isto é, se c < α então existe x ∈ X tal que
c ≤ x < α.
Agora, dado Y ⊂ R um conjunto limitado inferiormente. Definimos β o ínfimo de Y ,
denotado por β = inf Y , se satisfazer
(1) β é um limitante inferior, ou seja, ∀y ∈ Y , tem-se β ≤ y;
(2) β é o maior dos limitantes inferiores, ou seja, se t ∈ R, t > β, então ∃y ∈ Y tal que
t > y ≥ β.
Lembramos que, em R, todo conjunto não vazio e limitado superiormente admite
supremo, bem como todo conjunto não vazio e limitado inferiormente admite ínfimo.
1.1. Métrica 7
Lema 1.9. Sejam A,B ⊂ R limitados superiormente. Seja, ainda,
C = A+B = {x+ y | x ∈ A e y ∈ B}.
Então C é limitado superiormente e supC = supA+ supB
Demonstração. Dado c ∈ C, segue que existem x ∈ A e y ∈ B tais que c = x+y ≤ supA+
supB. Logo supA+supB é um limitante superior de C, portanto supC ≤ supA+supB,
provando, em particular que C é limitado superiormente.
Seja l < supA + supB, então existem l1 e l2 tais que l = l1 + l2 e l1 < supA e
l2 < supB. Logo, existem x ∈ A e y ∈ B satisfazendo l1 < x e l2 < y. Consequentemente,
l = l1 + l2 < x + y. Isto é, supA + supB é o menor limitante superior de C. Portanto,
pela Definição 1.8,
supA + supB = supC
Lema 1.10. Seja A ⊂ R limitado superiormente e B ⊂ A, então supB ≤ supA.
Demonstração. Para todo b ∈ B, é dado que b ∈ A, logo b ≤ supA. Portanto, supB ≤
supA, pela Definição 1.8.
Exemplo 1.11 (Espaços de Funções).
Seja X um conjunto arbitrário. Uma função real f : X → R chama-se limitada quando
existe um número Kf > 0 tal que
|f(x)| ≤ Kf , ∀x ∈ X.
Indicaremos com B(X ;R) o conjunto das funções limitadas f : X → R.
Observemos que a soma, a diferença e o produto de funções limitadas são ainda limi-
tadas. De fato, considere f, g : X → R funções limitadas, ou seja, existem kf , kg ∈ R tal
que |f(x)| ≤ kf e |g(x)| ≤ kg, ∀x ∈ X. Então para todo x ∈ X,
|(f + g)(x)| = |f(x) + g(x)| ≤ |f(x)|+ |g(x)| ≤ kf + kg.
Assim, a soma de funções limitadas é limitada. Além disso, dados α ∈ R, f ∈ B, αf ∈ B,
pois
|αf(x)| = |α||f(x)| ≤ αkf
Logo, segue que a combinação linear de função limitada é também limitada. E finalmente,
|(fg)(x)| = |f(x)g(x)| = |f(x)||g(x)| ≤ kfkg.
Assim, provamos também que o produto de funções limitadas são limitadas.
8 1. Espaços Métricos: noções básicas
Considerando o conjunto B(X ;R) observemos que as operações produto e soma deste
conjunto são associativos e comutativos, e também vale a distributividade. Agora, consi-
dere as funções (−f)(x) = −f(x), ∀x ∈ X, 0B(x) = 0, ∀x ∈ X e 1B(x) = 1, ∀x ∈ X, ou
seja, cada elemento deste conjunto tem seu inverso em relação a operação soma, 0B(x) é
o elemento neutro da soma e 1B(x) é o elemento neutro do produto. Então, temos que
B(X ;R) é um anel comutativo com unidade.
Definimos agora uma métrica em B(X ;R) pondo, para f, g ∈ B(X ;R) arbitrárias,
d(f, g) = supx∈X |f(x)− g(x)| (1.4)
Verifiquemos as condições que fazem de d uma métrica:
(i) d(f, f) = supx∈X |f(x)− f(x)| = 0;
(ii) Se f 6= g, existe x ∈ X tal que f(x) 6= g(x). Daí, d(f, g) = supx∈X |f(x)− g(x)| ≥
|f(x)− g(x)| > 0;
(iii) d(f, g) = supx∈X |f(x)− g(x)| = supx∈X |g(x)− f(x)| = d(g, f);
(iv) Dados f, g, h ∈ B(X ;R), tomemos A,B e C ⊂ R como segue:
A = {|f(x)− g(x)| | x ∈ X};
B = {|g(x)− h(x)| | x ∈ X};
C = {|f(x)− h(x)| | x ∈ X}.
Para provar a propriedade (iv), basta mostrar que
supC ≤ supA+ supB.
Seja
D = {|f(x)− g(x)|+ |g(x)− h(x)| | x ∈ X}.
É claro que D ⊂ A+B. Daí, pelos Lemas 1.9 e 1.10 temos que,
supD ≤ supA+ supB. (1.5)
Por outro lado, dado x ∈ X,
|f(x)− h(x)| =|f(x)− g(x) + g(x)− h(x)|
≤|f(x)− g(x)|+ |g(x)− h(x)|
≤ supD.
1.1. Métrica 9
Logo, da definição de C e de sup,
supC ≤ supD. (1.6)
Por (1.5) e (1.6) chegamos, portanto, que
supC ≤ supA + supB,
como queríamos.
Seja X = [a, b]. Dadas f, g : [a, b]→ R limitadas, observamos que geometricamente, a
distância d(f, g) é o comprimento do maior segmento vertical que se pode traçar ligando o
gráfico de f ao gráfico de g. Assim, por exemplo, no espaço métrico B([0, 1];R), a distância
da função f(x) = x2 à função g(x) = x3 é d(f, g) = sup |x2 − x3| = 4
27
= 0.1481481481...,
com x ∈ [0, 1]. (Ver Figura 1.11)
Figura 1.1: Distância entre as funções x e x2 no intervalo [0, 1]
Os dois exemplos seguintes apresentam norma e produto em espaços vetoriais, respec-
tivamente. Os dois dão origem a espaços métricos como veremos. Após estes exemplos,
veremos que a distância d vista anteriormente em Rn provém de uma norma, que provém
de um produto interno. Só depois poderemos provar a desigualdade (iv) que ficou faltando
ao definirmos d.
Exemplo 1.12 (Espaços Vetoriais Normados).
Uma norma em um espaço vetorial real E é uma função real ‖ · ‖ : E → R, que associa
cada vetor x ∈ E ao número real não negativo ‖x‖, chamado a norma de x, de modo a
serem cumpridas as condições abaixo para quaisquer x, y ∈ E e λ ∈ R:
(I) Se x 6= 0 então ‖x‖ > 0;
(II) ‖λx‖ = |λ|‖x‖;
10 1. Espaços Métricos: noções básicas
(III) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖.
Um espaço vetorial normado é um par (E, ‖ · ‖) onde E é um espaço vetorial real e ‖ · ‖
é uma norma em E. Observemos que (I) e (II) garante que ‖x‖ > 0⇔ x 6= 0.
Afirmamos que todo espaço vetorial normado (E, ‖ · ‖) torna-se um espaço métrico
por meio da definição d : E ×E → R dada por
d(x, y) = ‖x− y‖.
Para mostrar que d(x, y) = ‖x− y‖ é uma métrica em E, devemos verificar as quatro
condições de métrica
(i) d(x, x) = ‖x− x‖ = ‖0‖ = ‖0.0‖ = |0|‖0‖ = 0 (pela condição (II));
(ii) Pela condição (I) temos que se d(x, y) = ‖x− y‖ = 0 então x− y = 0. Logo, x = y.
Portanto, se x 6= y então d(x, y) = ‖x− y‖ > 0, por (I);
(iii) d(x, y) = ‖x− y‖ = ‖(−1)(y − x)‖ = | − 1|‖y − x‖ = ‖y − x‖ = d(y, x), em que na
3a igualdade usamos a Condição (II). Logo,
d(x, y) = d(y, x).
(iv) Por fim,
d(x, z) =||x− z|| = ||x− y + y − z|| = ||(x− y) + (y − z)||
≤||x− y||+ ||y − z|| = d(x, y) + d(y, z).
em que a desigualdade acima segue da condição (III).
Logo,
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
Portanto, a distância d(x, y) = ||x− y|| é uma métrica em E.
Exemplo 1.13 (Espaços Vetoriais com Produto Interno).
Seja E um espaço vetorial real. Um produto interno em E é uma função 〈·, ·〉 : E×E → R,
que associa cada par ordenado de vetores (x, y) ∈ E × E a um número real chamado
produto interno de x por y, representado por 〈x, y〉, de maneira que sejam satisfeitas as
seguintes condições: Para x, x′, y ∈ E e λ ∈ R arbitrários:
(1) 〈x+ x′, y〉 = 〈x, y〉+ 〈x′, y〉;
(2) 〈λx, y〉 = λ〈x, y〉;
(3) 〈x, y〉 = 〈y, x〉;
1.1. Métrica 11
(4) x 6= 0 =⇒ 〈x, x〉 > 0.
Veremos agora que um produto interno define uma norma em E.
Definimos a norma de um vetor x ∈ E, em um espaço vetorial com produto interno,
da seguinte maneira: ||x|| = √〈x, x〉, ou seja, ||x||2 = 〈x, x〉. Mostremos que a função
definida ‖ · ‖ : E ×E → R é de fato uma norma.
Pela própria definição ‖x‖ ≥ 0
(I) Se x 6= 0, então pela condição (4) acima temos que 〈x, x〉 > 0. Assim, ‖x‖ =√〈x, x〉 > 0, ou seja, ‖x‖ > 0.
(II) ‖λx‖ =√〈λx, λx〉 =√λ〈x, λx〉 =√λ〈λx, x〉 =√λ2〈x, x〉 = |λ|||x||,
∀λ ∈ R e x ∈ E.
Em que a 2a e 4a igualdades decorrem da Condição (2) acima e da 3a igualdade
segue da Condição (3) acima.
Logo, ‖λx‖ = |λ|‖x‖, ∀λ ∈ R e para todo x ∈ E.
(III) Temos que a desigualdade ‖x+y‖ ≤ ‖x‖+‖y‖ decorre da Desigualdade de Cauchy-
Schwarz, que veremos no teorema seguinte.
Teorema 1.14 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz). Dado E espaço vetorial com produto
interno 〈·, ·〉, defina ‖ · ‖ conforme o Exemplo 1.13. Então
|〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖, ∀x, y ∈ E.
Demonstração. Sejam x, y ∈ E. Se x = 0, então a desigualdade é evidente, pois |〈0, y〉| =
0 e ‖0‖.‖y‖ = 0.
Suponha, então x 6= 0. Assim, dado t ∈ R, temos pelas propriedades (1), (2), (3) e
pela definição que
‖tx+ y‖2 =〈tx+ y, tx+ y〉
=〈tx+ y, tx〉+ 〈tx+ y, y〉
=t(〈tx+ y, x〉) + 〈tx+ y, y〉
=t(〈tx, x〉+ 〈y, x〉) + 〈tx, y〉+ 〈y, y〉
=t(t〈x, x〉 + 〈y, x〉) + t〈x, y〉+ 〈y, y〉
=t2‖x‖2 + 2t〈x, y〉+ ‖y‖2.
Isto é,
0 ≤ ‖tx+ y‖2 = ‖x‖2t2 + 2〈x, y〉t+ ‖y‖2.
Portanto, para cada x 6= 0 e y em E, temos uma inequação quadrática em que do lado
direito tem uma função quadrática cujo gráfico é uma parábola com concavidade para
12 1. Espaços Métricos: noções básicas
cima. Estudando o sinal, para que a inequação se verifique, devemos ter o discriminante
Delta da função quadrática satisfizando ∆ ≤ 0. Pois, se ∆ > 0 existiriam duas raízes,
o que significa que teríamos uma parte da parábola negativa, o que não pode acontecer.
Assim,
∆ =(2〈x, y〉)2 − 4‖x‖2‖y‖2 ≤ 0
⇔4〈x, y〉2 − 4‖x‖2‖y‖2 ≤ 0
⇔〈x, y〉2 ≤ ‖x‖2‖y‖2 ≤ 0
⇔|〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖,
como queríamos provar.
Definição 1.15. Definimos agora um produto interno em Rn, denotando x =
(x1, x2, ..., xn) os elementos de Rn, seja 〈·, ·〉 : Rn × Rn → R a função definida por
〈x, y〉 = x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn.
Verifiquemos que 〈·, ·〉 é um Produto Interno:
Sejam x = (x1, ..., xn), x′ = (x′1, ..., x
′
n) e y = (y1, ..., yn) ∈ Rn e λ ∈ R arbitrá-
rios.Verifiquemos as quatro condições para produto interno:
(1) Aplicando a definição acima:
〈x+ x′, y〉 =(x1 + x′1)y1 + ...+ (xn + x′n)yn
=x1y1 + x
′
1y1 + ...+ xnyn + x
′
nyn
=x1y1 + ...+ xnyn + x
′
1y1 + ... + x
′
nyn
=〈x, y〉+ 〈x′, y〉.
Logo 〈x+ x′, y〉 = 〈x, y〉+ 〈x′, y〉.
(2) 〈λx, y〉 = λx1y1 + ... + λxnyn = λ(x1y1 + ... + xnyn) = λ〈x, y〉.
Logo 〈λx, y〉 = λ〈x, y〉.
(3) 〈x, y〉 = x1y1 + ... + xnyn = y1x1 + ...+ y1x1 = 〈y, x〉.
Logo 〈x, y〉 = 〈y, x〉.
(4) Seja x = (x1, ..., xn) 6= (0, ..., 0) = 0. Temos que extiste i ∈ {1, ..., n} tal que xi 6= 0.
Daí
〈x, x〉 = x1x1 + ... + xnxn = x12 + ... + xn2 ≥ xi2 > 0.
Logo x 6= 0 =⇒ 〈x, x〉 > 0
1.2. Bolas e Esferas 13
Observação 1.16. Daí, consideremos a norma ‖x‖ de acordo com o Exemplo 1.13.
||x|| =
√
〈x, x〉.
Usando 1.12, segue que d(x, y) = ‖x − y‖ é uma métrica em Rn. É evidente que d = d
como no Exemplo 1.6.
Logo d(x, z) ≤ d(x, y)+ d(y, z) que era algo que havíamos deixado de mostrar naquele
exemplo.
1.2 Bolas e Esferas
Definição 1.17. SejaM um espaço métrico e a um ponto emM . Dado r > 0 um número
real, definimos bola aberta, bola fechada e esfera da seguinte maneira:
1. A bola aberta de centro a e raio r é o conjunto, denotado por B(a; r), dos pontos
de M cuja distância ao ponto a é menor do que r. Ou seja,
B(a; r) = {x ∈M | d(x, a) < r}.
2. A bola fechada de centro a e raio r é o conjunto, denotado por B[a; r], formado
pelos pontos de M que estão a uma distância menor do que ou igual a r do ponto
a. Ou seja,
B[a; r] = {x ∈M | d(x, a) ≤ r}.
3. A esfera de centro a e raio r é o conjunto, denotado por S(a; r), formado pelos
pontos x ∈ M tais que d(x; a) = r. Assim:
S(a; r) = {x ∈M | d(x, a) = r}.
Podemos observar que B[a; r] = B(a; r) ∪ S(a; r), sendo claramente disjunta a união.
Observação 1.18. Quando a métrica d provém de uma norma no espaço vetorial E, isto
é, d(x, y) = ‖x− y‖, temos:
B(a; r) ={x ∈ E | ‖x− a‖ < r};
B[a; r] ={x ∈ E | ‖x− a‖ ≤ r};
S(a; r) ={x ∈ E | ‖x− a‖ = r}.
Exemplo 1.19. Consideremos M com a métrica do Exemplo 1.3 (métrica “zero-um”), ou
seja,
d(x, y) =
{
0, se x = y;
1, se x 6= y.
14 1. Espaços Métricos: noções básicas
Observemos que dado x, a ∈M , temos:
d(x, a) < 1⇔ x = a;
d(x, a) ≥ 1⇔ x 6= a.
Assim, para todo a ∈M , temos:
Se r = 1, então
B(a; 1) ={x ∈M | d(x, a) < 1} = {a};
S(a; 1) ={x ∈M | d(x, a) = 1} = M − {a}
B[a; 1] ={x ∈M | d(x, a) ≤ 1} = M ;
Se r > 1, então
B(a; r) ={x ∈M | d(x, a) < r} = M ;
S(a; r) ={x ∈M | d(x, a) = r} = ∅;
B[a; r] =B(a; r) ∪ S(a; r) = M ∪∅ = M.
Se 0 < r < 1 então
B(a; r) ={x ∈M | d(x, a) < r} = {a};
S(a; r) ={x ∈M | d(x, a) = r} = ∅;
B[a; r] ={a} ∪∅ = {a}.
Exemplo 1.20. No plano R2, as métricas d, d’ e d” correspondem em termos de bolas
às seguintes figuras:
Para todo a ∈ R2 e r > 0, a bola aberta B(a; r) = {x ∈ R2 | d(x, a) < r} é interior de
um círculo de centro a e raio r, se
d(x, a) =
2
√
(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 < r ⇒ (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 < r2. (1.7)
Ou o interior de um quadrado de centro a e diagonais paralelos aos eixos, cada uma
medindo 2r, se
d′(x, a) = |x1 − a1|+ |x2 − a2|. (1.8)
Ou então o interior de um quadrado de centro a e lados paralelos aos eixos com medida
2r cada, se
d′′(x, a) = max{|x1 − a1|, |x2 − a2|} < r ⇒ |x1 − a1| < r ou |x2 − a2| < r. (1.9)
Sejam a = (0, 0) e r = 1. Usando a métrica d da Equação (1.7), temos d((x, y), (0, 0)) =
1.2. Bolas e Esferas 15
2
√
x2 + y2, então
B(a, 1) = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 < 1}.
É o interior da figura a seguir:
Figura 1.2: Círculo de raio 1 centrado na origem
Agora, usando a métrica d′ da Equação (1.8), temos d′((x, y), (0, 0)) = |x|+ |y|, então
B(a, 1) = {(x, y) ∈ R2 | |x|+ |y| < 1}.
Verifiquemos que para x = 0 então |y| < 1, e para y = 0 então |x| < 1, ou seja, as retas
y = 1, y = −1, x = 1 e x = −1 delimitam um quadrado com lados paralelos aos eixos.
Analisemos agora os casos, para x > 0, y > 0 temos que x + y < 1, ou seja, y < 1 − x;
para x < 0, y > 0 temos que −x + y < 1, ou seja, y < 1 + x; para x > 0, y < 0 temos
que x − y < 1, ou seja, −y < 1 − x; para x < 0, y < 0 temos que −x − y < 1, ou seja,
−y < 1 + x. Assim, cada reta delimita uma parte para que a bola aberta B(a; 1) seja o
interior da figura abaixo
Figura 1.3: Quadrado centrado na origem, com diagonais paralelos os eixos
16 1. Espaços Métricos: noções básicas
Enfim, usando a métrica d′′ da Equação (1.9), temos d′′((x, y), (0, 0)) = max{|x|, |y|},
então
B(a, 1) = {(x, y) ∈ R2 | max{|x|, |y|} < 1}.
Verificando as condições, para x = 0 então |y| < 1 e, para y = 0 então |x| < 1. Assim, a
B(a, 1) é interior da figura a seguir:
Figura 1.4: Quadrado centrado na origem, com lados paralelos os eixos
Observemos que para cada métrica, a esfera S(a; r) representa o contorno das respec-
tivas figuras e a bola fechada B[a; r] é a união de B(a; r) e S(a; r).
Exemplo 1.21. Seja f ∈ B([a, b],R) e considere a métrica do Exemplo 1.11. Se g :
[a, b] → R é uma função limitada, então g pertence à B[f ; r], se, e somente se, sup |f(x)−
g(x)| ≤ r, isto é, se sup |f(x)−g(x)| ≤ r, ∀x ∈ [a, b], então, em particular, |f(x)−g(x)| ≤
r, ∀x ∈ [a, b], ou seja, f(x)− r ≤ g(x) ≤ f(x) + r, ∀x ∈ [a, b].
Para ilustrar, considere o intervalo [−0.5, 0.5], e as funções f(x) = 5x3+0.5x2−0.5x+
0.3 e g(x) = 1.1x+0.4. Temos que g ∈ B[f, r], com r = 0.5, pois para todo x ∈ [−0.5, 0.5],
g está entre as faixas f(x)−r = 5x3+0.5x2−0.5x−0.2 e f(x)+r = 5x3+0.5x2−0.5x+0.8.
Como mostra a figura abaixo:
Figura 1.5: Gráfico da função g que pertence a faixa de amplitude 2r em torno de f no
intervalo [−0, 5, 0.5]
1.3. Conjuntos Limitados 17
Agora, se g ∈ B(f ; r) então f(x)− r < g(x) < f(x) + r, ∀x ∈ [a, b]. Observemosque,
por outro lado, mesmo que f(x)− r < g(x) < f(x) + r, ∀x ∈ [a, b], isto não garante que g
pertença B(f ; r), pois se sup |g(x)− f(x)| = r, ∀ ∈ [a, b], então g /∈ B(f ; r).
Definição 1.22. Seja M um espaço métrico. Um ponto a ∈M é isolado de M se existe
uma bola em torno de a que não contém nenhum ponto de M , ou seja, existe r > 0 tal
que B(a; r) = {a}.
Observemos que um ponto a ∈ M não ser isolado significa afirmar que para todo
r > 0 pode-se encontrar um ponto a0 ∈ M , com a 6= a0 tal que 0 < d(a0, a) < r, ou seja,
a0 ∈ B(a; r).
Definição 1.23. Quando todos os pontos de um espaço métrico M são pontos isolados,
chamamos M de discreto.
Proposição 1.24. Seja M um espaço métrico. Dados os pontos a, b ∈M tais que a 6= b,
sejam r > 0 e s > 0 tais que r + s ≤ d(a, b). Então as bolas abertas B(a; r) e B(b; s) são
disjuntas.
Demonstração. Suponhamos por absurdo que as bolas abertas B(a; r) e B(b; s) não são
disjuntas, ou seja, existe x ∈ B(a; r) ∩ B(b; s). Então teríamos d(a, x) < r e d(x, b) < s.
Assim,
d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) < r + s ≤ d(a, b),
sendo que a primeira desigualdade decorre da condição (iv) de métrica, e a última desi-
gualdade decorre da hipótese.
Logo, chegamos que d(a, b) < d(a, b), o que é uma contradição. Portanto B(a; r) e
B(b; s) são disjuntas.
Corolário 1.25. Sejam a, b pontos no espaço métrico M tais que a 6= b. Se r + s <
d(a, b),com r > 0 e s > 0, então as bolas fechadas B[a; r] e B[b; s] são disjuntas.
Demonstração. Suponha por absurdo que existe x ∈ B[a; r] ∩ B[b, s], então d(a, x) ≤ r e
d(b, x) ≤ s. Temos que, como antes
d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) = d(a, x) + d(b, x) ≤ r + s < d(a, b),
Logo chegamos numa contradição, pois d(a, b) < d(a, b). Portanto, B[a; r] e B[b; s] são
disjuntas.
1.3 Conjuntos Limitados
Veremos agora uma generalização para espaços métricos da noção de conjuntos limitados
que já vimos na reta.
18 1. Espaços Métricos: noções básicas
Definição 1.26. Seja X 6= 0 um subconjunto de um espaço métrico M . Dizemos que X
é limitado quando existe k > 0 constante tal que d(x, y) ≤ k para quaisquer x, y ∈ X.
Ao menor desses números k chamamos de diâmetro de X, denotado por diam(X). Isto é,
de acordo com a Definição 1.8, verifiquemos que faz sentido definir o diam(X) conforme
diam(X) = sup{d(x, y) | x, y ∈ X}, (1.10)
Pois escrevemos diam(X) =∞ quando X não é limitado.
Além disso, quando diam(X) = ∞, isto significa que, dado um k ∈ R qualquer,
existem pontos xk, yk ∈ X tais que d(xk, yk) > k.
Podemos observar que se X é limitado e Y ⊂ X então Y também é limitado e
diam(Y ) ≤ diam(X). De fato, Se X é limitado então ∃k > 0 tal que d(x, y) ≤ k,
∀x, y ∈ X. Sejam x0, y0 ∈ Y , como por hipótese Y ⊂ X então x0, y0 ∈ X. Logo,
d(x, y) ≤ k e portanto, Y também é limitado. Além disso, como Y ⊂ X e pelo Lema 1.10
já verificado mais acima, temos que
sup{d(x0, y0) | x0, y0 ∈ Y } ≤ sup{d(x, y) | x, y ∈ X},
logo, diam(Y ) ≤ diam(X).
Exemplo 1.27. Toda bola B(a; r) em um espaço métrico é um conjunto limitado e seu
diâmetro não ultrapassa 2r. O mesmo vale para as bolas fechadas e esferas.
De fato, se x, y ∈ B(a; r), temos que d(x, a) < r e d(y, a) < r. Assim,
d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) = d(x, a) + d(y, a) < r + r = 2r.
Veja também que, dados x, y ∈ B[a; r], temos que d(x, a) ≤ r e d(y, a) ≤ r. Então,
d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) ≤ r + r = 2r.
Da mesma forma, sejam x, y ∈ S(a; r), temos que d(x, a) = r e d(y, a) = r. Logo,
d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) = r + r = 2r.
Observe que nem sempre o diâmetro é 2r, pois pelo Exemplo 1.19 S(a; r) pode ser vazio.
Exemplo 1.28. Se X e Y são conjuntos limitados em um espaço métrico, então X ∪ Y
é limitado.
Para X = ∅ ou Y = ∅ não há o que fazer. Então, seja a ∈ X um ponto fixado e outro
ponto b ∈ Y também fixado. Como X e Y são limitados, existem k1 > 0 e k2 > 0 tais que
d(x, a) ≤ k1, ∀x ∈ X e d(y, b) ≤ k2, ∀y ∈ Y . Então, pondo k = k1 + k2 + d(a, b), temos
1.3. Conjuntos Limitados 19
que para x ∈ X e y ∈ Y arbitrários:
d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, b) + d(b, y) ≤ k1 + d(a, b) + k2 = k
Logo, d(x, y) ≤ k, para todo x, y ∈ X ∪ Y e portanto X ∪ Y é um conjunto limitado.
20 1. Espaços Métricos: noções básicas
21
Capítulo 2
Funções Contínuas
Neste capítulo, estudaremos as funções entre espaços métricos. Mais precisamente, as
funções contínuas, que, como veremos generalizam as funções contínuas da reta.
2.1 Definição
Trabalharemos com métricas em dois ou mais espaços métricos distintos. Vamos deno-
tar as distâncias em cada um deles com a mesma letra d sempre que isso não causar
ambiguidade.
Sejam M,N espaços métricos e f : M → N uma função. Podemos pensar intuitiva-
mente que a ideia de uma função contínua é quando pequenas variações no domínio da
função ocasionam pequenas variações na imagem. Lembrando que para intervalos aber-
tos em termos de limites, continuidade em x0 significa que limx→x0 f(x) = f(x0). Agora,
formalizando esse conceito dizemos:
A função f : M → N é contínua no ponto x = x0 ∈M quando, para todo ε > 0 dado,
existe δ > 0 tal que d(x, x0) < δ ⇒ d(f(x), f(x0)) < ε. Ou seja, quando dada qualquer
bola aberta B′ = B(f(x0), ε) de centro f(x0), existe uma bola B = B(x0, δ), de centro
x0, tal que f(B) ⊂ B′ = B(f(x0), ε). Dizemos que f : M → N é contínua quando for
contínua em todos os pontos de M . Vejamos exemplos de funções contínuas.
Exemplo 2.1 (Função Lipschitziana).
Diante das diversas funções contínuas descamos as Funções Lipschitizianas por possuirem
algumas propriedades interessantes e que serão verificadas a seguir.
SejamM,N espaços métricos e f : M → N uma função. Dizemos que f é uma função
Lipschitziana se existir c > 0 constante, chamada constante de Lipschitz, tal que
d(f(x), f(y)) ≤ cd(x, y),
quaisquer que sejam x, y ∈ M . Afirmamos que funções Lipschitzianas são contínuas em
cada ponto a ∈ M .
22 2. Funções Contínuas
De fato, dado ε > 0 queremos encontrar um δ > 0 tal que satisfaça d(x, a) < δ ⇒
d(f(x), f(a)) < ε. Basta tomar δ = ε
c
. Pois d(x, a) < δ ⇒ d(f(x), f(a)) ≤ cd(x, a) < cδ =
c( ε
c
) = ε, sendo que a primeira desigualdade decorre da definição de função Lipzchitziana.
Logo, f é contínua.
Observemos que se as funções f, g : M → R são Lipzchitzianas, f + g e kf , em
que k ∈ R, também são. Então toda combinação linear k1f1 + ... + knfn de funções
Lipschitzianas é Lipschitziana. De fato, como f, g : M → R são Lipschitzianas, então
existem c1, c2 > 0 tal que |f(x)− f(y)| ≤ c1|x− y| e |g(x)− g(y)| ≤ c2|x− y|, para todo
x, y ∈M . Assim,
|(f + g)(x)− (f + g)(y)| =|f(x) + g(x)− (f(y) + g(y))|
=|f(x)− f(x) + g(x)− g(y)|
≤|f(x)− f(y)|+ |g(x)− g(y)|
≤c1|x− y|+ c2|x− y| = c′|x− y|,
sendo c′ = c1 + c2 > 0. Assim, f + g é Lipschitiziana. Do mesmo modo kf também é
Lipschitiana, pois
|kf(x)− kf(y)| =|k(f(x)− f(y))| = |k||f(x)− f(y)|
≤|k|c1|x− y| = c|x− y|,
sendo c = |k|c1 > 0. Mostremos então que a combinação linear k1f1 + ... + knfn é
Lipschitiziana. Como f1, ..., fn são funções contínuas, então existem c1, ..., cn > 0 tais que
para todo x, y ∈M , temos que |f1(x)− f2(x)| ≤ c1|x− y|, ..., |fn(x)− fn(y)| ≤ cn|x− y|.
Então,
|k1f1(x) + ...+ knfn(x)− (k1f1(y) + ...+ knfn(y))|
=|k1f1(x)− k1f1(y) + ... + knfn(x)− knfn(y)|
=|k1(f1(x)− f1(y)) + ... + kn(fn(x)− fn(y))|
≤|k1(f1(x)− f1(y))|+ ...+ |kn(fn(x)− fn(y))|
=|k1||(f1(x)− f1(y))|+ ... + |kn||(fn(x)− fn(y))|
≤|k1|c1|x− y|+ ...+ |kn|cn|x− y|
=(|k1|c1 + ... + |kn|cn)|x− y| = c|x− y|,
sendo c = |k1|c1 + ... + |kn|cn > 0. Logo, a combinação linear k1f1 + ...+ knfn é Lipschi-
tiziana.
Observemos também que seja f : I → R uma função real, diferenciavel e definida em
um intervalo I, existe c ∈ I tal que |f ′(x)| ≤ c, para todo x ∈ I. Então, pelo Teorema do
2.1. Definição 23
Valor Médio, dados quaisquer a, b ∈ I, existe x entre a, b tal que
|f(a)− f(b)| = |f ′(x)|a− b| ≤ |f′(x)||a− b| ≤ c|a− b|.
Logo, toda função com derivada limitada em um intervalo é Lipschitiziana.
Exemplo 2.2 (Contração e Contração Fraca).
O conceito de contração será essencial para provar o Teorema do Ponto Fixo de Banach.
Sejam f : M → N uma função e M,N espaços métricos. Definimos f uma contração
se f for Lipschitziana com 0 < c < 1. E quando c = 1 denominamos f como sendo uma
contração fraca. Logo a função f é contínua, pois é Lischitiziana.
Considere uma função g : M → R por g(x) = d(x,X). Verifiquemos que g é uma
contração fraca, e portanto contínua. De fato,
d(g(x), g(y)) = |g(x)− g(y)| = |d(x,X)− d(y,X)| ≤ d(x, y).
segue que a última desigualdade decorre do Lema 2.4. Logo, provamos que g é uma
contração fraca.
Agora, vamos definir distância de um ponto a um conjunto antes de provar o lema
2.4 abaixo. Dados x0 ∈ M e X ⊂ M , temos que a distância de x0 a X, denotado por
d(x0, X), é definido por
d(x0, X) = inf{d(x0, x), ∀x ∈ X}.
Isto está bem definido, pois o conjunto {d(x0, x), x ∈ X} é limitado inferiormente.
Lema 2.3. Se a ≤ ε, ∀ε > 0, então a ≤ 0.
Demonstração. De fato, se a < 0 é óbvio. Então verifiquemos, a ≥ 0. Suponha por
absurdo que a > 0, e tome ε = a
2
⇔ 0 < a ≤ ε = a
2
, implica que a = a
ε
. Absurdo, pois
por hipótese a 6= 0. Logo, a ≤ 0.
Lema 2.4. Seja M um espaço métrico. Dados X ⊂M e x0, y0 ∈M vale
|d(x0, X)− d(y0, X)| ≤ d(x0, y0).
Demonstração. Dado ε > 0, pela definição de Ínfimo 1.8, existe x ∈ X tal que d(x0, x) <
d(x0, X) + ε ⇔ −d(x0, X) < −d(x0, x) + ε. Para este x também vale (pela definição de
ínfimo 1.8) d(y0, X) ≤ d(y0, x). Logo,
d(y0, X)− d(x0, X) ≤ d(y0, x)− d(x0, x) + ε ≤ d(x0, y0) + ε,
em que usamos a propriedade (iv) de métrica na última desigualdade.
24 2. Funções Contínuas
Portanto, d(y0, X) − d(x0, X) ≤ d(x0, y0) + ε. Como vale para todo ε, então como
visto no Lema 2.3 acima, d(y0, X)− d(x0, X) ≤ d(x0, y0).
Exemplo 2.5 (Descontinuidade).
Seja M,N espaços métricos. Dizemos que uma função f : M → N é descontínua no
ponto a quando ela não é contínua em a. Isto é, existe ε > 0, para todo δ > 0, pode se
obter xδ ∈M tal que d(xδ, a) < δ e d(f(xδ), f(a)) ≥ ε.
Considere ϕ : R→ R uma função em que ϕ(x) = 1 se x ∈ Q e ϕ(x) = 0 se x /∈ Q. Em
qualquer ponto a ∈ R, ϕ é descontínua. De fato, basta tomar ε = 1
2
, então dado δ > 0,
tomemos xδ tal que |xδ − a| < δ, sendo xδ ∈ Q se a /∈ Q então |ϕ(xδ)− ϕ(a)| = |0− 1| =
1 ≥ 1
2
= ε.(E temos o mesmo resultado sendo xδ /∈ Q se a ∈ Q)
Proposição 2.6. Sejam f e g funções contínuas. Se f : A→ B é contínua no ponto a,
e g : B → C é contínua no ponto f(a), então g ◦ f : A → C é contínua no ponto a. Ou
seja, a composta de duas funções contínuas é contínua.
Demonstração. verifiquemos que a composta de duas funções contínuas é contínua. Seja
ε > 0 dado. Como, por hipótese, g é contínua em f(a), podemos obter λ > 0 tal que para
y ∈M
d(y, f(a)) < λ⇒ d(g(y), g(f(a))) < ε. (2.1)
Agora, para o λ > 0 acima, como f é contínua no ponto a, por hipótese, podemos obter
δ > 0 tal que
d(x, a) < δ ⇒ d(f(x), f(a)) < λ,
daí, de 2.1,segue que
d(g(f(x), g(f(a))) < ε,
Logo, provamos que a composta de duas funções contínuas também é contínua.
Corolário 2.7. Sejam M um espaço métrico e um conjunto X ⊂ M . Se f : M → N é
contínua no ponto a ∈ X então f |X : X → N é contínua no ponto a.
Demonstração. A restrição f |X é uma composição do tipo f ◦ i, onde i : X → M é uma
função de inclusão, ou seja, i(x) = x, com x ∈ X. Assim, d(i(x), i(a)) = d(x, a), em
particular, d(i(x), i(a)) ≤ d(x, a), logo i é uma contração fraca e portanto é uma função
contínua. Como por hipótese f é contínua, a Proposição 2.6 nos garante que a composição
f ◦ i é contínua. Logo, f |X é contínua.
25
Capítulo 3
Conceitos e Noções de Topologia
3.1 Conjuntos Abertos
Sejam M um espaço métrico e um subconjunto X ⊂ M . Dizemos que a ∈ X um ponto
interior a X quando existe r > 0 tal que a bola aberta de raio r centrada em a está toda
contida em X, ou seja, quando existe r > 0 tal que d(x, a) < r então x ∈ X. Assim, o
ponto b ∈ X não é interior a X se existir algum ponto que não pertence a X em toda
bola aberta de centro b.
Definimos a fronteira de X emM (denotamos pelo conjunto ∂X), o conjunto formado
pelos pontos b ∈ M tais que toda bola aberta de centro b contém uma parte pertencente
a X e a outra no seu complementar M −X.
Exemplo 3.1. Na reta, o interior do intervalo [0, 1) é o intervalo aberto (0, 1) e sua
fronteira são os pontos 0, 1 somente.
De fato, se a ∈ (0, 1), ou seja, 0 < a < 1, e tomando r = min{a, 1 − a}, então
garantimos que (a − r, a + r) ⊂ [0, 1). Logo a é ponto interior de [0, 1). Como todo
intervalo aberto de centro 0 contém números negativos e números entre [0,1), então 0 é
fronteira de [0, 1). Agora, notamos que 1 /∈ [0, 1), mas todo intervalo aberto de centro
em 1 contém números positivos menores do que 1 e menores do que 1, assim 1 ∈ ∂[1, 0).
Os únicos pontos pertencentes a fronteira são 0 e 1, pois para qualquer outro número
a, conseguimos intervalos abertos contidos em a ou totalmente contidos em [0, 1) ou não
interceptados [0, 1).
Exemplo 3.2. Seja Q o conjunto dos números racionais. Não existe ponto interior de
Q em R, pois não existe intervalo aberto formado apenas por números racionais, ou seja,
qualquer intervalo aberto contém números racionais e irracionais, logo a fronteira de Q é
toda a reta R.
Definição 3.3. Sejam um espaço métrico M e um subconjunto A ⊂ M , dizemos que
A é aberto em M se todos seus pontos forem pontos interiores. Assim, A é aberto
⇔ A ∩ ∂A = ∅⇔ para cada x ∈ A, podemos obter um raio r > 0 tal que B(x; r) ⊂ A.
26 3. Conceitos e Noções de Topologia
Lema 3.4. Sejam A e B conjuntos abertos, então A ∩B é aberto.
Demonstração. Se A é aberto, então para cada a ∈ A, existe rA > 0 tal que B(a; rA) ⊂ A.
Do mesmo modo, se B é aberto, então para cada b ∈ B, existe rB > 0 tal que B(b; rB) ⊂ B.
Seja A∩B 6= ∅ então existe x ∈ A∩B, ou seja, x ∈ A e x ∈ B. Como A e B são abertos,
existem rA, rB > 0 tais que B(x; rA) ⊂ A e B(x, rB)subsetB. Tomando r = min{rA, rB},
então B(x; r) ⊂ B(x; rA) ⊂ A e B(x; r) ⊂ B(x; rB) ⊂ B. Logo, B(x; r) ⊂ A ∩ B.
Portando, A ∩ B é aberto.
Proposição 3.5. Em um espaço métrico M qualquer, uma bola aberta B(a; r) é um
conjunto aberto.
Demonstração. Seja x ∈ B(a; r), então d(a, x) < r. Assim, s = r − d(a, x) é um número
positivo.
Afirmação: B(x; s) ⊂ B(a; r). De fato, seja y ∈ B(x; s), então d(x, y) < s e portanto
d(a, y) ≤ d(a, x) + d(x, y) < d(a, x) + s = r. Logo, y ∈ B(a; r).
Exemplo 3.6. Seja M um espaço métrico, o conjunto {a} ⊂ M é um conjunto aberto
em M se, e somente se, a é um ponto isolado. De fato, se {a} é aberto, então ∀x ∈ {a},
existe ε > 0 tal que B(x; ε) ⊂ {a} ⇒ ∃ε > 0 tal que B(a; ε) ⊂ {a}. Como {a} ⊂ B(a, ε),
então {a} = B(a, ε). Logo, pela definição 1.22, a é ponto isolado.
Reciprocamente, Se a é um ponto isolado em M , então pela definição 1.22, existe
ε > 0 tal que B(a; ε) = {a} então B(a; ε) ⊂ {a} então ∀x ∈ {a}, existe ε > 0 tal que
B(x, ε) ⊂ {a}. Logo, {a} é aberto.
Exemplo 3.7. Em qualquer espaço métrico M , o complementar de uma bola fechada
B[a; r] = {x ∈ M | d(x, a) ≤ r} é um conjunto aberto A = M − B[a; r] = {x ∈ M |
d(x, a) > r}.
Primeiramente, verifiquemos que A é um conjunto aberto. Seja b ∈ A, ou seja,
d(a, b) > r. tomemos um número k de modo que r + k < d(a, b). E pelo Corolário 1.25
sabemos que as bolas fechadas B[a; r] e B[b; k] são disjuntas. E que B[a; r]∩B(b; k) = ∅,
ou seja, B(b; k) ⊂ M − B[a; r]. Logo, todo ponto b ∈ A é interior, e portanto, A é
aberto. Agora, seja H = {a1, .., an}um subconjunto finito qualquer de M , se b ∈ M −H
e r = min{d(b, a1), ..., d(b− an)} > 0 então a bola aberta B(b; r) não contém nenhum dos
pontos a1, .., an, ou seja, B(b; r) ⊂ M − H . Logo, M − H que é complementar de H éaberto em M .
Proposição 3.8. Sejam M,N espaços métricos. A função f : M → N é contínua,
se, e somente se, a imagem inversa f−1(A′) de todo subconjunto aberto A′ ⊂ N é um
subconjunto aberto de M .
Demonstração. Suponhamos que f seja contínua, queremos mostrar que dado A′ aberto
em N, f−1(A′) é aberto em M . De fato, para cada a ∈ f−1(A′), temos que f(a) ∈ A′ daí,
3.2. Conjuntos Fechados 27
por definição, existe ε > 0 tal que B(f(a); ε) ⊂ A′. Sendo f contínua em a, segue que por
definição, existe δ > 0 tal que f(B(a; δ)) ⊂ B(f(a); ε) ⊂ A′, ou seja, B(a; δ) ⊂ f−1(A′).
Logo, f−1(A′) é aberto.
Reciprocamente, verifiquemos a volta, ou seja, suponhamos que f−1(A′) de cada A′ ⊂
N aberto seja um aberto em M . Queremos mostrar que f é contínua. De fato, seja
a ∈M . Dado ε > 0, a bola B(f(a); ε) é um aberto em N . Logo, f−1(A′) é aberto em M ,
contendo a, então, existe δ > 0 tal que B(a; δ) ⊂ f−1(A′), ou seja, f(B(a; δ)) ⊂ B(f(a); ε).
E portanto, f é contínua em a.
Exemplo 3.9. Sejam f, g : M → N contínuas. O conjunto A = {x ∈ M | f(x) 6= g(x)}
é aberto em M .
De fato, seja x0 ∈ A, então f(x0) 6= g(x0). Assim, d(f(x0), g(x0)) > 0. Sejam
rf > 0, rg > 0, satisfazendo d(f(x0), g(x0)) > rf+rg. Pela Proposição 1.24, B(f(x0); rf)∩
B(g(x0); rg) = ∅. Considere o conjunto B = f−1(B(f(x0); rf)) ∩ g−1(B(g(x0); rg)), que é
aberto, pois f, g são contínuas, imagem inversa de aberto é aberto, interseção de aberto
é aberto. Como x0 ∈ B existe r > 0 tal que B(x0, r) ⊂ B. Afirmação: B ⊂ A. De fato,
se x ∈ B então x ∈ f−1(B(f(x); rf)) e x ∈ g−1(B(g(x); rg)), ou seja, f(x) ∈ B(f(x); rf)
e g(x) ∈ B(g(x); rg). Então, f(x) 6= g(x), logo, x ∈ A.
Portanto, B(x0; r) ⊂ A, prova que A é aberto.
3.2 Conjuntos Fechados
Um ponto aderente a um subconjunto A de um espaço métrico M é definido como um
ponto a quando existem pontos de A arbitrariamente próximos de a, ou seja, d(a, A) = 0,
isto é, paratodo ε > 0 dado, existe x ∈ A tal que d(a, x) < ε. Ou equivalentemente:
(i) ∀ε > 0, existe x ∈ B(a; ε) ∩ A;
(ii) para todo aberto A′ contendo a, tem-se A′ ∩A 6= ∅;
(iii) toda vizinhança de a tem pontos em comum com A.
Exemplo 3.10. Todo ponto a ∈ A é aderente a A. Do mesmo modo, os pontos da
fronteira de A também são aderentes a A. Observemos o Exemplo 3.1, no intervalo [0, 1),
0 é aderente, pois 0 ∈ [0, 1) ou por ser ponto de fronteira. Além disso, 1 também é
aderente, pois também é fronteira.
Chamamos de fecho ou aderência de um conjunto A em um espaço métrico M , o
conjunto A dos pontos de M que são aderentes a A. Assim, a ∈ A significa que o ponto
a é aderente a A em M . Notemos que ∅ = ∅, M = M e A ⊂ A para todo A ⊂ M . Além
disso, X ⊂ Y então X ⊂ Y , pois X ⊂ X e Y ⊂ Y .
Definição 3.11. Dizemos que um conjunto F contido no espaço métrico M é fechado
em M , se seu complementar M − F for aberto em M .
28 3. Conceitos e Noções de Topologia
Relacionando o “conceito” de aderência e fechado, segue a proposição abaixo:
Proposição 3.12. Seja F ⊂M um conjunto, F é fechado se, e somente se, contém todos
os pontos aderentes, ou seja, F = F .
Demonstração. Mostremos a ida. Temos que f é fechado, ou seja, M −F é aberto, o que
significa que para todo a ∈ M − F existe r > 0 tal que Ba; r) ⊂ M − F . Assim, para
todo a ∈M −F , existe B(a; r) que não contém pontos de F . Logo, esses pontos que não
pertencem a F também não são aderentes a ele, pois B(a; r) ∩ F = ∅. Agora, provemos
a volta, ou seja, F contém todos os seus pontos aderentes de F . Assim, os pontos que
não pertencem a F também não são aderentes a ele, ou seja, para todo a ∈ M − F ,
podemos encontrar B(a; r) ∩ F = ∅. Então, para todo a ∈ M − F , existe r > 0 tal que
B(a; r) ⊂M − F , ou seja, M − F é aberto, e portanto F é fechado.
Exemplo 3.13. Seja M um espaço métrico, toda bola fechada B[a; r] é um subconjunto
fechado de M .
De fato, toda bola fechada B[a; r], de acordo com o Exemplo 3.7, tem que seu com-
plementar um conjunto aberto, logo, pela Definição 3.11 garantimos que B[a; r] ⊂ M é
um conjunto fechado.
Exemplo 3.14. A fronteira ∂X de qualquer conjunto X ⊂M é um subconjunto fechado
de M .
De fato, o conjunto ∂X contém os seus pontos aderentes, pois todos são pontos de
fronteira de X. De acordo com a Proposição 3.12 acima podemos garantir então que o
conjunto ∂X é fechado.
Proposição 3.15. Sejam M,N espaços métricos. A função f : M → N é contínua
se, e somente se, a imagem inversa f−1(F ) de todo conjunto fechado F ⊂ N seja um
subconjunto fechado de X.
Demonstração. Suponha, primeiramente, que f é contínua. Provemos que a imagem
inversa de todo conjunto fechado F ⊂ N é fechado em M . Como F ⊂ N é fechado, então
por definição o complementar de F (denotado por F
c
) é aberto, pela Proposição 3.8
f−1(F
c
) = f−1(F )
c
é aberto, logo, f−1(F ) é fechado. A última igualdade será verificada
na observação abaixo.
Reciprocamente, suponha que a imagem inversa de todo conjunto fechado em N é fe-
chado em M . Mostremos que f é contínua. Dado A ⊂ N aberto, então seu complementar
é fechado. Daí f−1(A
c
) = f−1(A)
c
(igualdade verificada na observação abaixo) é fechado
em M , e o complementar de f−1(A)
c
é aberto, logo, f−1(A) é aberto. Portanto, pela
Proposição 3.8, f é contínua.
Observação 3.16. Seja F um conjunto e F c seu complementar, queremos mostrar a se-
guinte igualdade:
f−1(F c) = [f−1(F )]
c
.
3.2. Conjuntos Fechados 29
De fato, primeiramente, mostremos que f−1(F c) ⊂ [f−1(F )]c. Seja x ∈ f−1(F c), pela
definição de imagem inversa, temos que f(x) ∈ F c. Pela definição de complementar, temos
que f(x) /∈ F , logo x /∈ f−1(F ), e portanto x ∈ [f−1(F )]c. Logo, f−1(F c) ⊂ [f−1(F )]c.
Agora, mostremos que [f−1(F )]c ⊂ f−1(F c). Seja x ∈ [f−1(F )]c, usando a definição
de complementar, segue que x /∈ f−1(F ). Assim, f(x) /∈ F , ou seja, f(x) ∈ F c, logo
x ∈ f−1(F c). Portanto, [f−1(F )]c ⊂ f−1(F c).
Assim, provamos que f−1(F c) = [f−1(F )]c.
Exemplo 3.17. Fazendo contraponto com o Exemplo 3.9, sejam f, g : M → N contínuas
e
C = {x ∈M | f(x) = g(x)},
então C é fechado.
De fato, seja x ∈ M , se x ∈ C então f(x) = g(x), mas se x /∈ C, pela definição de
complementar x ∈ M − C, ou seja, f(x) 6= g(x). Lembrado do Exemplo 3.9 o conjunto
A = {x ∈ M | f(x) 6= g(x)} segue que M = A ∪ C união disjunta. Assim, C = M − A
e A = M − C, ou seja, C é complementar de A e vice-versa. Logo C é fechado, pois seu
complementar A é aberto, uma vez que f e g são contínuas e o resultado do Exemplo 3.9.
Tabela 3.1: Contrapontos
ABERTO FECHADO
Ponto interior Ponto aderente
Interior a A Fecho de F
f contínua ⇔ f−1(A) é aberto f é contínua ⇔ f−1(F ) é fechado
para todo A aberto para todo F fechado
f, g contínuas, então é aberto f, g contínuas, então é fechado
A = {x ∈M | f(x) 6= g(x)} C = {x ∈M | f(x) = g(x)}
Definição 3.18. Sejam M um espaço métrico e um conjunto X ⊂M . Um ponto a ∈M
é dito ponto de acumulação de X, quando toda bola de centro a contém algum ponto
de X diferente de a. Chamamos de derivado do conjunto X o conjunto de pontos de
acumulação de X em M , e é representado por X ′.
Observemos que nem todo ponto de aderência é ponto de acumulação, por exemplo
considere o conjunto X = a possui só um elemento, como a ∈ X então é aderente, mas
não é de acumulação, pois não há nenhum outro elemento diferente de a em X.
30 3. Conceitos e Noções de Topologia
31
Capítulo 4
Sequências
4.1 Limite de Sequências
Definição 4.1. Uma sequência x em um conjunto M é uma função x : N → M que a
cada número n ∈ N associa um valor da sequência que chamamos o n-ésimo termo da
sequência e denotamos por xn.
x :N→ M
n 7→ xn
O conjunto dos termos da sequência será indicado por {xn : n ∈ N} e a sequência, por
(xn).
Observemos que se x : N → M for injetiva, ou seja, m 6= n ⇒ xm 6= xn, então (xn) é
uma sequência de termos distintos, isto é, semrepetições.
Definição 4.2. Seja (xn) uma sequência, dizemos que uma subsequência de xn, denotada
por (xnk)k∈N ou (xnk), é função (xn) restrita a {n1 < n2 < ... < nk < ...} um subconjunto
infinito de N, ou seja, são escolhidos, ordenadamente, alguns valores de (xn) que associa,
de modo natural, 1 7→ xn1 , 2 7→ xn2 , ..., k 7→ xnk , ... e assim formam uma nova sequência.
Definição 4.3. Dada (xn) uma sequência num espaço métrico M , dizemos que o ponto
a ∈M é limite da sequência (xn) se, para qualquer ε > 0 dado, pode-se encontrar n0 ∈ N
tal que n > n0 ⇒ d(xn, a) < ε. Escrevemos, lim xn = a ou limn→∞ xn = a. Dizemos
também que xn tende para a, denotado por xn → a.
Equivalentemente, podemos afirmar que toda bola B de centro a contém xn para todo
valor de n > n0, ou seja, apenas os pontos x1, .., xn0 podem não pertencer a bola B.
A sequência (xn) ∈ M é convergente em M , se existir a = lim xn ∈ M , e converge
para a. Por outro lado, se não existir o limite de (xn) ∈ M , então a sequência é dita
divergente em M .
32 4. Sequências
Exemplo 4.4. Seja x : N → R uma sequência de número reais definida em n ∈ N por
xn =
1
n
, temos que lim xn = 0.
De fato, dado ε > 0, usando o propriedade de que N não é limitade em R, tomemos
n0 >
1
ε
⇒ 1
n0
< ε, note que para n > n0 > 0 ⇒ 0 < 1n < 1n0 < ε. Então, ∀ε > 0 dado,
existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ | 1n − 0| = | 1n | < ε.
Definição 4.5. Uma sequência (xn) em um espaço métrico M é limitada se seu conjunto
de termos é limitado, ou seja, se existe c > 0 tal que d(xm, xn) ≤ c para quaisquer
m,n ∈ N.
Observação 4.6. Toda subsequência de uma sequência limitada é limitada.
De fato, por hipótese a sequência é limitada, ou seja, existe c > 0 tal que d(xm, xn) ≤ c
para quaisquer m,n ∈ N. Como a subsequência é formada por termos da sequência, então
quaisquer dois termos que escolha da subsequência terá a d(xnt , xnk) ≤ c, com t, k ∈ N,
logo, a subsequência também é limitada.
Proposição 4.7. Toda sequência convergente é limitada.
Demonstração. Seja (xn) uma sequência em um espaço métrico M . Considere que ela
tenda pra a então lim xn = a. Tomando ε = 1, obtemos n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn ∈
B(a; 1). Logo, a sequência está contida (por definição) em {x1, ..., xn0} ∪ B(a; 1). Como
ambos são limitados, então a sequência é limitada.
Observe que a recíproca da Proposição 4.7 acima nem sempre vale, o que mostra o
exemplo a seguir:
Exemplo 4.8. A sequência x : N → R, definida por xn = (−1)n é limitada por 1, no
entanto não é convergente, pois o limite varia de acordo com o valor de n,ou seja, poderá
ter limites distintos já que para n par lim xn = 1, e para n ímpar lim xn = −1. Logo, a
recíproca da Proposição 4.7 anterior não é verdadeira.
Proposição 4.9 (Unicidade do Limite).
Uma sequência não pode convergir para dois valores distintos.
Demonstração. Seja (xn) uma sequência no espaço métrico M . Suponhamos que existam
a, b ∈ M distintos tais que lim xn = a e lim xn = b. Assim, para todo ε > 0 dado, existe
n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ d(xn, a) < ε. Do mesmo modo, existe também n1 ∈ N tal que
n > n1 ⇒ d(xn, b) < ε. Tomando m = max{n0, n1}, para todo n > m, segue que:
d(a, b) ≤ d(a, xn) + d(xn, b) < ε+ ε = 2ε.
Então d(a, b) < 2ε, como vale para todo ε, pelo Lema 2.3, então 0 ≤ d(a, b) ≤ 0 ⇒
d(a, b) = 0. Pela condição (i) de métrica, temos que a = b.
Proposição 4.10. Se lim xn = a então toda subsequência de (xn) converge para a.
4.2. Convergência e Topologia 33
Demonstração. Como a sequência xn tende para a, então ∀ε > 0 dado, existe n0 ∈ N tal
que n > n0 ⇒ d(xn, a) < ε. Tomemos k0 tal que nk0 ≥ n0, para todo k > k0 ⇒ nk >
nk0 ≥ n0 ⇒ d(xnk , a) < ε. Logo, toda subsequência de (xn) também converga para a.
Corolário 4.11. Se lim xn = a então, para todo m ∈ N, tem-se lim xn+m = a.
Demonstração. De fato, (xn+m) = (xn+1, xn+2, ...) é uma subsequência de (xn). Logo,
pela proposição acima lim xn+m = a.
Corolário 4.12. Se lim xn = a, com a 6= b, então existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn 6= b.
Demonstração. Se a 6= b então d(a, b) > 0. Suponha que a < b. Tome ε = b − a > 0.
Então como a = lim xn, então existe n0 ∈ N tal que
n > n0 ⇒ |xn − a| < b− a⇔ −(b− a) < xn − a < b− a⇔ xn < b.
Logo, xn 6= b. Se agora, b < a, então pelo mesmo processor chegaremos que xn > b, ou
seja, xn 6= b.
Exemplo 4.13. Se uma sequência (xn) possui duas subsequências que convergem para
limites distintos, então (xn) é divergente.
De fato, segue da Proposição 4.10, que se a sequência (xn) converge para a, então
toda subsequência de (xn) também convergirá para a. De acordo com a Proposição 4.9
esse limite é único, ou seja, a subsequência não pode convergir para outro valor b 6= a.
Portanto, se cada subsequência converge para um valor, ambos distintos, e como o limite
da sequência é único. Então a sequência é divergente.
Proposição 4.14. Uma sequência zn = (xn, yn), no produto cartesiano M×N de espaços
métricos, converge para o ponto c = (a, b) ∈ M × N se, e somente se, lim xn = a em M
e lim yn = b em N .
Demonstração. Mostremos inicialmente que se lim zn = c então lim xn = a e lim yn = b.
Para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 então d(zn, c) < ε, assim d(zn, c) =
max{d(xn, a), d(yn, b)} < ε. Então, para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 então
d(xn, a) < ε, e d(yn, b) < ε. Isto é, lim xn = a e lim yn = b.
Reciprocamente, suponha que lim xn = a em M e lim yn = b em N . Ou seja, dado
ε existe n0 ∈ N tal que n > no então d(xn, a) < ε e existe n1 ∈ N tal que n > n1
então d(yn, b)) < ε. Tome n = max{n0, n1}. Então para n > n temos que d(zn, c) =
max{d(xn, a), d(yn, b)} < ε, portanto lim zn = c.
4.2 Convergência e Topologia
Lema 4.15. Seja (xn) tal que para todo n ∈ N, d(xn, a) ≤ 1n . Então lim xn = a.
34 4. Sequências
Demonstração. Dado ε > 0, pelo Exemplo 4.4, existe n0 ∈ N tal que 1n < ε, para todo
n > n0. Por hipótese, d(xn, a) < 1n < ε, para todo n > n0, provando o lema.
Proposição 4.16. Sejam N,M espaços métricos. A função f : M → N é contínua no
ponto a se, e somente se, para toda (xn) que converge para a em M então f(xn) converge
para f(a) em N .
Demonstração. Primeiramente, considere por hipótese que f é contínua e verifiquemos
que xn → a então f(xn) → f(a). Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que d(x, a) < δ então
d(f(x), f(a)) < ε, pois f é contínua em a. Se xn → a, então podemos obter n0 ∈ N
tal que n > n0 então d(xn, a) < δ então d(f(xn), f(a)) < ε. Logo, lim xn = a então
lim f(xn) = f(a).
Para mostrar a volta, suponha por absurdo que f não é contínua, ou seja, existe ε > 0
tal que, para cada n ∈ N, podemos obter xn ∈M , com d(xn, a) < 1n , e d(f(xn), f(a)) ≥ ε.
Isto é, obtemos xn → a (pelo Lema 4.15) sem que f(xn) convirja para f(a).
Proposição 4.17. Seja M um espaço métrico, A ⊂ M , a ∈ A se, e somente se, a for
limite de uma sequência xn ∈ A.
Demonstração. Provaremos, primeiramente, que lim xn = a. Por hipótese a ∈ A, então
para todo ε > 0, existe xε ∈ B(a, ε) ∩ A, tomemos ε = 1n . Para cada um deles, existe
xn ∈ B(a, 1n) ∩ A. Portanto (xn) ⊂ A.
Afirmação: lim xn = a. De fato, pois d(xn, a) < 1n .
Reciprocamente, que a ∈ A. Por hipótese temos que lim xn = a, com xn ∈ A.
Então, para todo ε > 0 dado, existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ d(xn, a) < ε, ou seja,
xn ∈ B(a; ε) ∩ A. Logo, a ∈ A, pois dado ε > 0, existe xn ∈ B(a; ε) ∩ A.
Corolário 4.18. A ⊂ M é fechado se, e somente se, para toda sequência (xn) ∈ A tal
que lim xn = a, então a ∈ A.
Demonstração. Suponhamos que A seja fechada e verifiquemos que se lim xn = a, então
a ∈ A. Por hipótese A é fechado, ou seja, todos os pontos de A são aderentes. Como
(xn) ∈ A e lim xn = a, então a ∈ A, pela Proposição 4.17.
Agora, provemos a recíproca, isto é, suponha que toda sequência (xn) ∈ A tal que
lim xn = a, então a ∈ A. Suponhamos por absurdo que A não é fechado, isto é, A
não está contido em A, então existe a ∈ A talque a /∈ A. Pela Proposição 4.17, existe
sequência (xn) ∈ A tal que xn → a. Mas por hipóteses, a ∈ A, absurdo.
Lema 4.19. Se a é ponto de acumulação de A, então ∀ε > 0, existem infinitos x ∈
B(a; ε) ∩ A− {a}
Demonstração. Dado ε > 0 fixado, sabemos que existe x1 ∈ B(a; ε) ∩ A − {a}. Con-
sideremos r1 = d(a, x1) > 0. Como a é ponto de acumulação de A, seque que existe
x2 ∈ B(a, r1) ∩A− {a}.
4.3. Sequências de Cauchy 35
Afirmação: x2 6= x1, pois d(x2, a) < r1 e d(x1, a) = r1.
Então já sabemos que existem x2 6= x1 ∈ B(a; ε)∩A−{a}. Provando por indução, su-
ponha que escolhidos x1, x2, x3, ..., xn ∈ B(a; ε) tais que r1 = (a, x1), r2 = d(a, x2), ..., rn =
d(a, xn) satisfaçam r1 > r2 > ... > rn > 0. Escolhamos agora xn+1, como a é ponto de
acumulação de A, existe xn+1 ∈ B(a; rn) ∩ A − {a}. Tomemos rn+1 = d(a, xn+1) > 0, é
claro que rn > rn+1 > 0, isto é, por indução, seque que existe x1, x2, ... todos disntintos
tais que xn ∈ B(a, ε) ∩A− {a}.
Proposição 4.20. Dado A um subconjunto de um espaço métricoM , a é ponto de acumu-
lação de A se, e somente se, existe uma sequência (xn) ⊂ A de pontos distintos (xn 6= xn′
se n 6= n′) tal que lim xn = a.
Demonstração. Provaremos primeiro a recíproca, ou seja, queremos mostrar que a é ponto
de acumulação de A. Note que a sequência de pontos distintos (xn) ⊂ A tal que lim xn = a,
isto é, ∀ε > 0 dado, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ d(xn, a) < ε⇔ xn ∈ B(a; ε) ∩ A. O
que implica que existem infinitos xn distintos em B(a; ε) ∩ A. Logo, existem infinitos xn
em B(a; ε) ∩ A− {a}, e portanto a é ponto de acumulação de A.
Agora, provaremos que lim xn = a. Assumindo que a é ponto de acumulação, ou seja,
pelo Lemma 4.19 acima, existem infinitos x ∈ B(a; ε) ∩ A − {a}. Consideremos εn da
forma 1
n
. Assim, ∀n > 0, teremos infinitos x tais que x ∈ B(a, 1
n
) ∩ A − {a}. Escolha
xn, xn−1, xn−2, ..., x1 todos dinstintos na interseção. Escolhendo xn+1, distintos de todos
os anteriores, em B(a; 1
n+1
) ∩ A− {a}, teremos, por indução, uma sequência (xn) ∩ A de
elementos todos distintos, tal que xn ∈ B(a; 1n). Portanto, lim xn = a, pelo Lema 4.15.
4.3 Sequências de Cauchy
Uma das sequências em Espaços Métricos que podemos destacar é a que chamamos
Sequências de Cauchy por possuir a interessante característica de que seus termos vão
se aproximando uns dos outros tanto quanto se queira à medida que cresce o indice n. A
definição precisa é a seguinte:
Definição 4.21. Seja M um espaço métrico. Uma sequência (xn) ∈ M é dita sequência
de Cauchy se, para todo ε > 0 dado, existe n0 ∈ N tal que m,n > n0 ⇒ d(xm, xn) < ε.
Tomando n como o menor entre m,n, e definindo m = n + p, a sequência de Cauchy
também pode ser definida da seguinte maneira: para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que
partir dele todo n > n0 implica que d(xn, xn+p) < ε, para qualquer p ∈ N.
Observemos que toda subsequência de uma sequência de Cauchy é também de Cauchy.
De fato, se (xn) é de Cauchy então para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que d(xm, xn) < ε,
para qualquer m,n > n0. Como todo termo da subsequência é também termo de (xn),
temos que d(xnp , xnk) < ε, para todo np, nk > n0. Logo, a subsequência é de Cauchy.
36 4. Sequências
Podemos observar também que quando uma sequência tem limite igual a a, isto sig-
nifica que os termos da sequência estão se aproximando de a tanto quanto se queira, o
que nos faz pensar que consequêntemente eles devem se aproximar um dos outros tanto
quanto se deseja. Temos que a próxima afirmação nos mostra justamente isso.
Proposição 4.22. Toda sequência convergente de um espaço métrico é de Cauchy
Demonstração. Seja M um espaço métrico e (xn) uma sequência que converge para a.
Assim, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica que d(xn, a) < ε2 . Se m,n > n0,
temos
d(xm, xn) ≤ d(xm, a) + d(a, xn) = d(xm, a) + d(xn, a) < ε
2
+
ε
2
= ε.
Logo, a sequência (xn) é de Cauchy.
Exemplo 4.23. Sendo M = Q (o conjunto dos números racionais com a métrica dada
pelo módulo), a sequência
x1 =1
x2 =1, 41
x3 =1, 414
x4 =1, 414
x5 =1, 4142
x6 =1, 41421
...
é uma sequência de Cauchy. Esta sequência, em R, converge a
√
2. Logo, em Q, ela não
pode convergir, pois
√
2 /∈ Q.
Proposição 4.24. Se uma sequência (xn) ⊂ M é de Cauchy e existe (xnk) subsequên-
cia convergente, então (xn) também é convergente. Em particular, (xn) converge para o
mesmo limite de (xnk).
Demonstração. Sejam (xn) uma sequência de Cauchy em um espaço métrico M e (xnk)
uma subsequência de (xn) que converge para a ∈ M . Então para todo ε > 0, existe
n1 ∈ N tal que m,n > n1 implica que d(xm, xn) < ε2 , e existe k2 ∈ N tal que nk > k2
implica que d(xnk , a) <
ε
2
. Consideremos k > k2 tal que nk > n1. Para todo n > n1 segue
que
d(xn, a) ≤ d(xn, xnk) + d(xnk , a) <
ε
2
+
ε
2
= ε.
Logo, a sequência (xn) converge para a.
Lema 4.25. Toda sequência de Cauchy num espaço métrico é limitada.
4.3. Sequências de Cauchy 37
Demonstração. Seja (xn) uma sequência de Cauchy no espaço métrico M . Então, para
todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que m,n > n0 implica que d(xm, xn) < ε. Tome ε = 1,
segue que o conjunto {xn0+1, xn0+2, ...} é limitado e, além disso, tem diâmetro menor ou
igual a 1. Observemos que,
{x1, x2, ..., xn, ...} = {x1, ..., xn0} ∪ {xn0+1, xn0+2, ...}.
Logo, como {x1, ..., xn0} é limitada, então a união é limitada. E portanto, a sequência
(xn) é limitada.
Lema 4.26. Em (R, | · |), toda sequência limitada tem subsequência convergente.
Demonstração. Seja (xn) uma sequência limitada, ou seja, existe N,M ∈ R tal que N ≤
(xn) ≤ M , para todo n ∈ N. Se {xn | n ∈ N} for finito, então existe xnk constante.
Suponhamos que {xn | n ∈ N} seja infinito e seja A = {r ∈ R tal que exista somente uma
quantidade finita de elementos xn tal que xn < r}. Observe que N ∈ A e, se r ∈ A então
todo s ≤ r também percente a A. Como M /∈ A, segue que M é um limitante superior
de A 6= 0, então existe α = supA.
Afirmação: Existe subsequência (xnk) tal que limk→∞ xnk = α.
Da fato, dado ε1 = 1, como α− 1 < α, existe r ∈ A tal que α− 1 ≤ r, então só existe
finitos xn < r, e assim existem infinitos xn tal que xn > α−1. Por outro lado α+1 > α, ou
seja, α+1 /∈ A, e portanto existem infinitos xn tal que xn < α+1. Então existem infintos
xn em (α− 1, α+1). Escolha xn1 neste intervalo. Tome, agora, ε2 = 12 . Como α− 12 < α,
então existem infinitos xn tal que xn > α− 12 . Também α+ 12 > α, então existem infinitos
xn tal que xn < α + 12 , e assim, existem infinitos xn tal que xn ∈ (α− 12 , α + 12). Escolha
xn2 6= xn1 com n2 > n1. Repetindo o procedimento para εk = 1k , suponha por indução
que existam n1 < n2 < ... < nk tal que
xn1 ∈ (α− 1, α+ 1), xn2 ∈ (α−
1
2
, α+
1
2
), · · · , xnk ∈ (α−
1
k
, α +
1
k
).
Continuando para xnk+1 , existe xnk+1 6= xnk tal que xnk+1 ∈ (α− 1k+1 , α+ 1k+1). Portanto,
existe (xnk) tal que |xnk − α| < 1k . Logo, xnk converge para α, pelo Lema 4.15.
Definição 4.27. Um espaço métrico M é chamado completo quando toda sequência de
Cauchy em M é convergente.
Corolário 4.28. O conjunto R é um espaço métrico completo.
Demonstração. Seja (xn) uma sequência de Cauchy em R. Então pelo Lema 4.25 (xn)
é limitada. Segue do Lema 4.26 que (xn) tem subsequência (xnk) convergente. Assim,
como (xn) é de Cauchy e existe subsequência (xnk) convergente, então pela Proposição
4.24 (xn) é convergente. Logo, pela Definição 4.27 R é um espaço métrico completo.
38 4. Sequências
39
Capítulo 5
Pontos Fixos
5.1 Teorema do Ponto Fixo
Definição 5.1.
Dado f : M →M , x ∈M é dito ponto fixo de f quando f(x) = x.
Exemplo 5.2 (Teorema 1 do Ponto Fixo).
Seja f : [a, b] → [a, b] contínua. Então existe x ∈ [a, b] tal que f(x) = x.
Demonstração. Se f(a) = a ou f(b) = b então já a contínua. Observe que g(a) =
a−f(a) < 0 e g(b) = b−f(b) > 0.Pelo Teorema do Valor Intermediário, seque que existe
x tal que g(x) = 0. Então, x − f(x) = 0, ou seja, f(x) = x.cabamos. Caso f(a) > a e
f(b) < b, consideremos a função g : [a, b]→ R definida por g(x) = x− f(x)
Observe que o teorema é falso se em vez de intervalo fechado usarmos intervalo aberto:
Exemplo 5.3. Seja f : (−1, 1) → (−1, 1) definida por f(x) = −x2
2
+ x + 1
2
. Vejamos
primeiro que f((−1, 1)) ⊂ (−1, 1). Seja g(x) = −x2
2
+ x + 1
2
definida em [−1, 1]. Temos
g′(x) = −x + 1 ≥ 0, portanto g é crescente (pelo Teorema do Valor Médio). Como
g(±1) = ±1, segue que f((−1, 1)) = (−1, 1).
A função f não tem ponto fixo, pois se f(x) = x então x = ±1 /∈ (−1, 1).
Os pontos fixos não precisam ser únicos:
Exemplo 5.4. Seja f : R → R dada por f(x) = x. Todos os números reais, são pontos
fixos.
O Teorema seguinte dá condições para existência e unicidade de pontos fixos de fun-
ção contínuas em espaços métricos: M ser completo (Definição 4.27) e f ser contração
(Exemplo 2.2).
Teorema 5.5 (Ponto Fixo de Banach).
40 5. Pontos Fixos
Sejam M um espaço métrico completo e f : M → M uma contração, então existe um
único x ∈M tal que f(x) = x.
Demonstração. Seja 0 < c < 1 tal que d(f(x), f(y)) ≤ cd(x, y), para todo x, y ∈M .
Provemos, inicalmente, a existência de um ponto fixo. Tome x0 ∈M arbitrariamente.
Defina x1 = f(x0), x2 = f(x1), · · · , xn = f(xn−1). Temos definida a sequência xn+1 =
f(xn) por recorrência.
Afirmação: a sequência (xn) é de Cauchy, ou seja, temos que mostrar que para todo
ε > 0, existe n0 tal que d(xm, xn) < ε, para todo m,n > n0. De fato, como f é contração,
então
d(x1, x2) =d(f(x0), f(x1)) ≤ cd(x0, x1)
d(x2, x3) =d(f(x1), f(x2)) ≤ cd(x1, x2) ≤ c2d(x0, x1)
.
.
.
d(xn, xn+1) ≤... ≤ cnd(x0, x1).
A verificação dessa generalização é feita por indução na Observação 5.9 mais a diante.
Portanto para todo n ≥ 1 vale que
d(xn, xn+1) ≤ cnd(x0, x1). (5.1)
Se m > n, existe k ∈ N tal que m = n+ k. Temos de (5.1) que
d(xn, xm) =d(xn, xn+k) ≤ d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+k)
≤d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+2) + ...+ d(xn+k−1, xn+k)
≤cnd(x0, x1) + cn+1d(x0, x1) + ... + cn+k−1d(x0, x1)
=(cn + cn+1 + ... + cn+k−1)d(x0, x1)
=cn(1 + c+ c2 + ...+ ck−1)d(x0, x1).
A verificação por indução desta fórmula é feita na Observação 5.10 abaixo. Observamos
que 1+ c+ c2 + ...+ ck−1 é soma de uma progressão geométrica, a fórmula será mostrada
na Observação 5.11 mais a adiante.
cn(1 + c+ c2 + ...+ ck−1)d(x0, x1) =c
n[
1− ck−1+1
1− c ]d(x0, x1)
=cn(1− ck)[d(x0, x1)
1− c ]
≤cn[d(x0, x1)
1− c ].
5.1. Teorema do Ponto Fixo 41
Isto é, se m > n, temos
d(xn, xm) ≤ cn[d(x0, x1)
1− c ]. (5.2)
Como lim cn = 0, o que será mostrado na Observação 5.12, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal
que n > n0 então |cn − 0| < [ 1−cd(x0,x1) ]ε. Então para todo m,n > n0, se m > n então por
(5.2)
d(xn, xm) ≤ cn[d(x0, x1)
1− c ] ≤ [
1− c
d(x0, x1)
]ε[
d(x0, x1)
1− c ] = ε.
Portanto, (xn) é de Cauchy. Logo, comoM é completo, então existe x tal que limn→∞ xn =
x. Calculemos limn→∞ f(xn) de duas formas:
(i) como f é contínua em x, segue da Proposição 4.16 que limn→∞ f(xn) = f(x).
(ii) limn→∞ f(xn) = limn→∞ xn+1 = x.
Portanto, por (i) e (ii) f(x) = x, dando existência a um ponto fixo. Provemos que
não pode existir outro ponto fixo. Suponhamos por absurdo que exista y ∈ M tal que
f(y) = y, com y 6= x. Temos,
0 < d(x, y) = d(f(x), f(y)) ≤ cd(x, y).
Então, d(x, y) ≤ cd(x, y) implies 1 ≤ c. É um absurdo, pois c < 1. Logo, x = y.
Segue abaixo um resultado imediato da demonstração do Teorema 5.5 acima.
Corolário 5.6 (“Método” das aproximações sucessivas). Nas hipóteses do Teorema 5.5
anterior, dado x0 ∈ M , a sequência definida por xn+1 = f(xn) converge ao único ponto
fixo x de f , com “velocidade” d(xn, x) ≤ cn
(
d(x0,x1)
1−c
)
, para todo n ∈ N.
Demonstração. Seja a função g : M → R definida por g(a) = d(x, a). Pela propriedade
(iv) de métrica, segue que |d(x, a) − d(x, b)| ≤ d(a, b), provando que g é uma contração
fraca, logo ela é contínua. Da Proposição 4.16 segue que o limm→∞ g(xm) = g(x). To-
mando o limite dem→∞ na desigualdade (5.2), segue que g(x) ≤ cn
(
d(x0,x1)
1−c
)
, provando
o corolário.
Exemplo 5.7. Seja h : [
√
α,∞)→ R, definida por h(x) = 1
2
(x+ α
x
), com α > 0.
(1) Como a derivada h′(x) = 1
2
(1− α
x2
) é tal que 0 < h′(x) < 1
2
, para todo x ∈ [√2,∞),
(a) segue que h é crescente, pois h′(x) > 0. E como
h(
√
α) =
1
2
(
√
α +
α√
α
) =
1
2
(
√
α +
√
α) =
√
α,
segue que h([
√
α,∞)) ⊂ [√α,∞). Em particular, √α é um ponto fixo de h.
42 5. Pontos Fixos
(b) segue pelo Teorema do Valor Médio que para todo x 6= y em [√α,∞), existe
x entre x e y tal que
|h(x)− h(y)| ≤ |h′(x)||x− y| ⇒ |h(x)− h(y)| ≤ 1
2
|x− y|,
pois h′(x) < 1
2
< 1, então h é contração.
(2) Dada qualquer sequência de Cauchy (xn) em [
√
α,∞), segue do Corolário 4.28 que
(xn) converge para um número real x. Como este intervalo é um conjunto fechado,
segue do Corolário 4.18, que x ∈ [√α,∞). O que prova que [√α,∞) é completo.
(3) Assim, considerando a função h : [
√
α,∞) → [√α,∞) definida por h(x) = h(x),
segue do Corolário 5.6 que independentemente de x0 ∈ [
√
α,∞) dado, a sequência
xn = h(xn−1), n ∈ N, converge ao único ponto fixo de h, ou seja,
√
α.
Por exemplo, se α = 3, e tomando x0 = 7, temos que, usando 11 dígitos e arredondamento
simples
x1 =h(x0) = h(7) =
1
2
(
7 +
3
7
)
≈ 3, 7142857143
x2 =h(3, 7142857143) =
1
2
(
3, 7142857143 +
3
3, 7142857143
)
≈ 2, 2609890110
x3 =h(2, 2609890110) =
1
2
(
2, 2609890110 +
3
2, 2609890110
)
≈ 1, 7939209940
x4 =h(1, 7939209940) =
1
2
(
1, 7939209940 +
3
1, 7939209940
)
≈ 1, 7331177219
x5 =h(1, 7331177219) =
1
2
(
1, 7331177219 +
3
1, 7331177219
)
≈ 1, 7320511360
...
Assim, quanto maior o indice n ∈ N, mais aproximo fica xn de α =
√
3 ≈ 1, 7320508076...,
ou seja, a sequência vai convergindo para o ponto fixo α =
√
3. Observe o quão rápido é
a convergência.
Exemplo 5.8. Seja g : [1,∞)→ R definida por
g(x) = x+
α− x2
1 + x
=
x+ x2 + α− x2
1 + x
=
x+ α
1 + x
,
com 1 < α < 5. Temos que g′(x) = 1+x−(x+α)
(1+x)2
= 1−α
(1+x)2
.
(1) Como α > 1 e (1 + x)2 > 0 então é claro que g′(x) < 0, assim g é estritamente
decrescente. Observemos que, como
lim
x→∞
g(x) = lim
x→∞
1− α
x
( 1
x
+ 1)( 1
x
+ 1)
= 1,
5.1. Teorema do Ponto Fixo 43
segue que g([1,∞)) ⊂ [1,∞).
(2) Como
|g′(x)| =
∣∣∣∣ 1− α(1 + x)(1 + x)
∣∣∣∣ = α− 1(1 + x)(1 + x)
≤1
2
· 1
2
(α− 1) = α− 1
4
,
sendo que a desigualdade acima decorre de x ≥ 1 ⇒ x + 1 ≥ 2 ⇒ 1
x+1
≤ 1
2
. Segue
que a função g : [1,∞) → [1,∞) definida por g(x) = g(x) é uma contração, pois
pelo Teorema do Valor Médio, temos que
|g(x)− g(y)| ≤α− 1
4
|x− y|,
e temos também que α < 5 então α−1
4
< 1.
(3) Logo, para todo x0 ∈ [1,∞) dado, pelo Corolário 5.6, a sequência xn = g(xn−1)
converge ao único ponto fixo x de g.
(4) Temos que x é tal que
g(x) = x⇔ x+ α− x
2
1 + x
= x⇔ α− x
2
1 + x
= 0⇔ x2 = α.
Por exemplo, se α = 3 e tomando x0 = 7, temos que, usando 11 dígitos e arredonda-
mento simples
x1 =g(7) =
7 + 3
1 + 7
= 1.25
x2 =g(1.25) =
1.25 + 3
1 + 1.25
≈ 1.8888888889
x3 =g(1.8888888889) =
1.8888888889 + 3
1 + 1.8888888889
≈ 1.6923076923
x4 =g(1.6923076923) =
1.6923076923 + 3
1 + 1.6923076923
≈ 1.7428571429
x5 =g(1.7428571429) =
1.7428571429 + 3
1 + 1.7428571429
≈ 1.7291666667
...
Observemos que a sequência está convergindo para o ponto fixo α =
√
3 mais lentamente
que a contração do Exemplo anterior.
Para terminar, apresentamos observações com provas de pequeno resultados que foram