POLINÔMIOS - JEFERSON DE ARRUDA

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FATORAÇÃO E DIVISÃO 
DE POLINÔMIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FORTIUM – Grupo Educacional 
Faculdade Fortium 
Docente: Jeferson de Arruda 
E-mail: profjeferson_df@hotmail.com 
 
 1
3.1 - PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA 
 
O estudo da propriedade distributiva pode ser resumido no estudo de três propriedades básicas. Para 
tanto, sejam Rdcba ∈,,, . Assim, temos que: 
 
Propriedade 1: cabacba ..).( +=+ 
Propriedade 2: cabaacb ..).( +=+ 
Propriedade 3: dbcbdacadcba ....)).(( +++=++ 
 
Logo abaixo, apresentaremos não a demonstração, mas a explicação de como utilizar corretamente 
cada uma dessas propriedades. 
 
Considerando as propriedades 1 e 2, para multiplicarmos um número pela diferença (ou soma) de 
outros dois, ou seja, calcularmos alguma coisa do tipo )52.(7 − , podemos utilizar a propriedade 
distributiva. Note que, neste exemplo poderíamos também resolver a multiplicação utilizando as 
regras de precedência como aprendemos nos primeiros capítulos. Para aplicarmos a propriedade 
distributiva, podemos utilizar como “apoio” para a solução às “famosas setinhas”, para tanto, 
devemos proceder da seguinte maneira: 
 
1º passo: Devemos colocar setas “saindo” do número que se encontra multiplicando os parênteses 
(colchetes ou chaves) e “chegando” em cada um dos números que se encontram dentro dos 
parênteses, ou seja: 
 
 
2º passo: Devemos multiplicar os números que se encontram no começo e no final de cada seta, 
respectivamente. Como toda multiplicação, devemos fazer o jogo de sinal. 
Assim, 
 )52.(7 − =7.2+7.(-5)=14-35=-21 
Como exemplo, vamos desenvolver o produto )3.(2 −− x . 
Seguindo os dois passos iniciais, temos: 
 
 = 62)3.(2.2 +−=−−− xx 
 
Considerando a propriedade 3, para multiplicarmos uma diferença (ou soma) de dois números pela 
soma (ou diferença) de outros dois números, ou seja, calcularmos alguma coisa do tipo 
)54).(23( +− , podemos utilizar a propriedade distributiva. Observe que este exemplo, também 
poderia ser resolvido pelas regras de precedência. Para aplicarmos a propriedade distributiva, 
podemos utilizar como “apoio” para a solução às “famosas setinhas”, para tanto, devemos proceder 
da seguinte maneira: 
 
1º passo: Devemos colocar setas “saindo” de cada um dos números que se encontram no primeiro 
parentes (colchetes ou chaves) e “chegando” em todos os números que se encontram dentro do 
segundo parênteses, ou seja: 
 
 
 
2º passo: Devemos multiplicar os números que se encontram no começo e no final de cada seta, 
respectivamente. Assim, 
 910815125.24.25.34.3)54).(23( =−−+=−−+=+− 
 
)52.(7 − 
)54).(23( +− 
)3.(2 −− x 
 
 2
Como outro exemplo, vamos desenvolver o produto )3).(2( −+ xx . 
 
 6362)3.(.)3.(2.2 22 −−=−+−=−++−+= xxxxxxxxx 
 
Se utilizada corretamente, várias multiplicações podem ser simplificadas através da aplicação da 
propriedade distributiva. Como exemplo, vamos multiplicar 1279 por 7. 
Observe que, )9702001000(1279 +++= , assim, 
7).9702001000(7.1279 +++= 
Logo, aplicando a propriedade 2, temos: 
895363490140070007.97.707.2007.10007.1279 =+++=+++= 
Outro fato interessante é que sempre que desejamos realizar a multiplicação de um número par por 
5, basta realizar uma divisão desse número por 2 e a seguir acrescentar zero no resultado. Por 
exemplo, vamos multiplicar 1278 por 5. Note que 1278 dividido por 2 é igual a 639, assim, 
63905.1278 = 
Por outro lado, caso o número a ser multiplicado por 5 seja um número ímpar, basta escrevê-lo 
como um número par somado com uma unidade(o número par acrescentado de uma unidade deverá 
ser igual ao número original). A seguir, realizar a multiplicação. Como exemplo, vamos multiplicar 
1279 por 5. Observe que 1279=1278+1, assim, 6395563905.15.12785.1279 =+=+= . 
 
3.3 - FATORAÇÃO 
 
A fatoração consiste em transformar uma soma ou diferença em produto. Nesta seção, 
apresentaremos seis processos de fatoração, a saber: Evidenciação, Agrupamento, Diferença entre 
dois quadrados, Fatoração da soma ou diferença entre dois cubos, Trinômio quadrado perfeito e 
Fatoração por artifício. 
 
3.3.1 – Evidenciação (1º caso) 
 
É o processo de separar os termos comuns e de menor expoente. 
 
Exemplos: 
 
a) Vamos fatorar 253 555 xxx −+ . 
 
Observe que os elementos comuns são “5” e “x”, onde o menor expoente é 2. Assim, basta colocá-
los em evidência e a seguir dividir cada termo por 25x . 
Note que: 
x
x
x =2
3
5
5 32
5
5
5 x
x
x = 1
5
5
2
2
−=−
x
x 
 
Logo, 
=−+ 253 555 xxx ( )15 32 −+ xxx 
 
b) Vamos fatorar 253 156010 xxx −+ . 
 
Observe que os elementos comuns são “5”(Maior Divisor Comum entre 10, 60 e 15. Ver exemplo 
D) e “x”, onde o menor expoente é 2. Assim, basta colocá-los em evidência e a seguir dividir cada 
termo por 25x . 
Note que: 
)3).(2( −+ xx 
 
 1
x
x
x 2
5
10
2
3
= 32
5
12
5
60 x
x
x = 3
5
15
2
2
−=−
x
x 
 
Logo, 
=−+ 253 555 xxx ( )15 32 −+ xxx 
 
c) Vamos fatorar 465432 32 xaxaxa −+ . 
 
Observe que os elementos comuns são “a” e “x”, onde os menores expoentes são 2 e 3, 
respectivamente. Assim, basta colocá-los em evidência e a seguir dividir cada termo por 32 xa . 
Note que: 
132
32
=
xa
xa 2232
54
22 xa
xa
xa = xa
xa
xa 4
32
46
33 −=− 
Logo, 
=−+ 465432 32 xaxaxa ( )xaxaxa 42232 321 −+ 
 
d) Vamos fatorar 465432 30612 xaxaxa −+ 
 
Quando ocorrer a presença de coeficientes inteiros (diferente de 1) nos termos, devemos 
inicialmente, fatorar todos os coeficientes. Assim, 
4654322465432 .5.3.23.2.3.230612 xaxaxaxaxaxa −+=−+ 
A seguir, devemos encontrar os elementos comuns com os menores coeficientes. Nesse caso, “2”, 
“3” “a” e “x”, sendo os menores coeficientes iguais a 1,1,2 e 3, respectivamente. Dessa forma, basta 
colocá-los em evidência e a seguir dividir todos os termos por 323.2 xa . 
Observe que, 
2
3.2
.3.2
32
322
=
xa
xa 2232
54
3.2
3.2 xa
xa
xa = xa
xa
xa 4
32
46
5
3.2
.5.3.2 −=− 
 
Logo, 
=−+ 465432 30612 xaxaxa ( )xaxaxa 42232 523.2 −+ , ou ainda, 
=−+ 465432 30612 xaxaxa ( )xaxaxa 42232 526 −+ 
 
Uma forma alternativa para a utilização do método de fatoração chamado Evidenciação, pode ser 
obtida, encontrando inicialmente o Maior Divisor Comum entre os coeficientes. Assim, 
considerando como exemplo a expressão 465432 30612 xaxaxa −+ , devemos encontrar o MDC 
entre os valores 12, 6 e 30. O processo de cálculo do MDC é semelhante ao processo utilizado para 
calcular o MMC, a diferença é que estaremos procurando valores que dividam ao mesmo tempo 
todos os fatores. Desse modo, temos, 
63.2
3
2
5,1,2
15,3,6
30,6,12
=
 
Logo, 6)30,6,12( =MDC . 
Depois de encontrarmos o MDC entre os coeficientes da expressão 465432 30612 xaxaxa −+ , 
devemos observar quais são as “letras” com o menor expoente que aparece em todos os termos. 
Como podemos notar, os valores não numéricos comuns são 32 xa . Dessa forma, o valor comum em 
todos os termos é o produto do MDC por 32 xa , ou seja, 326 xa . 
 
 2
A próxima etapa é semelhante àquela vista anteriormente, ou seja, devemos dividir cada uma dos 
termos por 326 xa . 
 
 
Assim, 
2
6
12
32
32
=
xa
xa 2232
54
6
6 xa
xa
xa = xa
xa
xa 4
32
46
5
6
30 −=− 
 
Logo, 
465432 30612 xaxaxa −+ = ( )xaxaxa 42232 526 −+ 
 
3.3.2 - Agrupamento (2º Caso) 
 
Este método consiste em colocar os termos comuns em evidência parcialmente, isto é, entre os 
termos, localizamos aqueles que possuem termos comuns e então, aplicamos o processo de 
fatoração chamado Evidenciação. 
 
Como exemplo, vamos fatorar byaybxax +++ . 
 
Note que, os doisprimeiros termos, têm um elemento em comum “x”. Já os dois últimos têm em 
comum o elemento “y”. Assim, aplicando o primeiro caso de fatoração em blocos (os dois primeiros 
termos e os dois últimos termos), temos: ( ) ( )baybax +++ . Note agora, que o termo ( )ba + é comum, assim, colocando-o em evidência, 
temos: ( )( )bayx ++ . . 
 
 
 
3.3.3 - Diferença entre dois quadrados (3º Caso) 
 
Como o próprio nome diz, para utilização desse método devemos ter um termo positivo e outro 
negativo. 
 
Como exemplo, vamos fatorar 22 ba − . 
 
1º passo: devemos encontrar a raiz quadrada de cada um dos termos(desprezando o sinal), assim: 
aa =2 e bb =2 
2º passo: Identificar o termo que possui sinal negativo(no nosso caso o segundo termo, 2b ) e 
escrever um produto da soma pela diferença das duas raízes encontradas, sendo que a variação de 
sinal deverá ocorrer na raiz do termo negativo( no nosso caso, b). Assim: ( )( )baba −+ . 
Logo, =− 22 ba ( )( )baba −+ . 
 
Fatoremos agora, 22 425 yx +− 
 
1º passo: xx 525 2 = e yy 24 2 = 
2º passo: ( )( )yxyx 25.25 +−+ 
Logo, =+− 22 425 yx ( )( )yxyx 25.25 +−+ 
 
 
 3
Como último exemplo, pergunta-se: Qual o valor de 22 20062007 − ? 
Se observarmos atentamente, podemos notar que temos uma diferença entre dois quadrados, assim: 
1º passo: 200720072 = e 200620062 = 
2º passo: ( )( ) =−+ 20062007.20062007 40131.4013 = 
Logo, =− 22 20062007 ( )( ) 401320062007.20062007 =−+ , ou seja, =− 22 20062007 4013. 
 
3.3.4 - Fatoração da soma ou diferença entre dois cubos (4º Caso) 
 
Para fatorar uma soma ou diferença entre dois cubos, como por exemplo, 33 ba − ,devemos: 
 
1º passo: Calcular a raiz cúbica de cada um dos termos. Assim, conforme nosso exemplo, aa =3 3 
e bb =3 3 . 
 
2º passo: Observar o sinal dos termos, caso os dois sejam positivos devemos considerar o sinal (+), 
porém, caso um deles seja negativo, devemos considerar o sinal (-). No exemplo acima, devemos 
considerar o sinal negativo (-). 
 
3º passo: Se o sinal obtido no segundo passo for negativo (nosso exemplo), escrever o produto da 
diferença (o sinal negativo deve acompanhar a raiz cúbica do termo negativo) entre a raiz cúbica de 
cada um dos dois termos pela soma do quadrado da raiz cúbica do primeiro termo com o produto da 
raiz cúbica do primeiro termo pela raiz cúbica do segundo com o quadrado da raiz cúbica do 
segundo termo, ou seja, considerando uma diferença do tipo, 33 ba − , teremos 
)).(( 22 bababa ++− . Assim, 33 ba − = )).(( 22 bababa ++− . 
Por outro lado, se o sinal obtido no segundo passo for positivo, escrever o produto da soma entre a 
raiz cúbica de cada um dos dois termos pelo trinômio constituído pelo valor positivo do quadrado 
da raiz cúbica do primeiro termo com o valor negativo do produto da raiz cúbica do primeiro termo 
pela raiz cúbica do segundo com o valor positivo do quadrado da raiz cúbica do segundo termo, ou 
seja, considerando uma soma do tipo, 33 ba + , teremos )).(( 22 bababa +−+ . Assim, 
33 ba + = )).(( 22 bababa +−+ . 
 
Logo, 33 ba − = )).(( 22 bababa ++− . 
 
Exemplos: 
 
a) Fatorar 33 yx + 
 
1º passo: xx =3 3 e yy =3 3 
2º passo: Os dois termos têm sinal positivo. 
3º passo: )).(( 22 yxyxyx +−+ 
 
Logo, 33 yx + = )).(( 22 yxyxyx +−+ . 
 
B) Fatorar 
33
278
yx − 
1º passo: 
28
3
3 xx = e 
327
3
3 yy = 
 
 4
2º passo: O segundo termo tem sinal negativo e o segundo tem sinal positivo. 
3º passo: 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
22
33
.
22
.
32
yyxxyx , ou ainda, ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
22
964
.
32
yxyxyx 
Logo, 
33
278
yx − = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
22
964
.
32
yxyxyx . 
Caso os dois termos forem negativos, ou seja, se desejarmos fatorar 33 yx −− , basta, inicialmente, 
colocar o sinal negativo em evidência, dessa forma teremos, 33 yx −− = ( )33 yx +− . A seguir, 
aplicar as propriedades aprendidas anteriormente. Logo, 33 yx −− = )).(( 22 yxyxyx +−+− . 
 
 
3.3.5 - Trinômio do quadrado perfeito (5º Caso) 
 
O que caracteriza um trinômio do quadrado perfeito é que ele possui três termos e os termos extremos 
possuem raízes e o termo do meio é igual(com exceção do sinal) ao dobro do produto das duas raízes 
encontradas. A seguir, basta escrever o trinômio como quadrado da soma ou diferença (o que irá decidir 
entre a soma e a diferença será o sinal do termo do meio) 
 
Exemplos: 
 
a) =++ 962 xx 
Solução: 
1º passo: xx =2 e 39 = 
2º passo: (CONFERINDO) 2. xx 63. = 
3º passo: (temo do meio positivo) ( )23+x 
Logo, =++ 962 xx ( )23+x 
b) =+− 484 2 xx 
Solução: 
1º passo: xx 24 2 = e 24 = 
2º passo: (CONFERINDO) 2. xx 82.2 = 
3º passo: (temo do meio negativo) ( )222 −x 
Logo, =+− 484 2 xx ( )222 −x 
 
c) =+− 2342 255
4
1 babba 
Solução: 
1º passo: 242
2
1
4
1 abba = e bb 525 2 = 
2º passo: (CONFERINDO) 2. 32 55.
2
1 abbab = 
3º passo: (temo do meio negativo) 
2
2 5
2
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − bab 
Logo, =+− 2342 255
4
1 babba
2
2 5
2
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − bab 
 
 
 
 5
3.4.6 – Fatoração por artifício(6º Caso) 
 
A Fatoração por artifício consiste em somarmos e subtrairmos um mesmo valor à expressão inicial 
de modo que possamos conseguir termos que possamos fatorar por algum dos métodos conhecidos. 
Como exemplo, vamos fatorar a expressão 652 +− xx . 
Inicialmente, devemos verificar se o trinômio 652 +− xx não é um Trinômio Quadrado Perfeito, o 
que, conforme a seção 3.4.5, poder ser feito facilmente. Lembrando que, ( ) 963 22 +−=− xxx , nós 
iremos reescrever o trinômio 652 +− xx . 
Observe que, 
652 +− xx = 33652 +−+−+− xxxx , por outro lado, 
33652 +−+−+− xxxx = 3962 −++− xxx . 
Como ( ) 963 22 +−=− xxx e 652 +− xx = 3962 −++− xxx , temos que, 
652 +− xx = ( ) ( )33 2 −+− xx 
Conforme a seção 3.3.2, sabemos que ( ) ( ) ( ) ( )[ ]13.333 2 +−−=−+− xxxx , ou ainda, 
( ) ( ) ( )( )2.333 2 −−=−+− xxxx . 
Assim, sendo 652 +− xx = ( ) ( )33 2 −+− xx e ( ) ( ) ( )( )2.333 2 −−=−+− xxxx , temos que, 
652 +− xx = ( )( )2.3 −− xx . 
 
Como segundo exemplo, vamos fatorar 63 +− xx . Para a fatoração deste trinômio, devemos utilizar 
o artifício de somar e subtrair 2. Assim, 
63 +− xx = 2263 −++− xx , ou ainda, 
63 +− xx = 283 −−+ xx , ou mesmo, 
63 +− xx = )2(233 +−+ xx . 
Conforme a seção 3.3.4, sabemos que )42).(2(2 233 +−+=+ xxxx . 
Como 63 +− xx = )2(233 +−+ xx e )42).(2(2 233 +−+=+ xxxx , temos que, 
63 +− xx = )2()42).(2( 2 +−+−+ xxxx , ou ainda, 
63 +− xx = [ ]1)42().2( 2 −+−+ xxx , ou mesmo, 
63 +− xx = )32).(2( 2 +−+ xxx 
 
Para aplicação deste método de fatoração não temos uma regra, contudo, sua utilização pode ser 
muito útil em diversas situações. 
 
3.4.7 – Aplicação simultânea de vários métodos de fatoração 
 
Muitas vezes precisamos utilizar mais de um caso de fatoração, para que assim, possamos obter 
sucesso na fatoração de alguns polinômios. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
a) =− 22 ayax 
Aplicando evidenciação, temos: 
=− 22 ayax ( )22 yxa − . 
Aplicando a diferença entre dois quadrados, temos: 
=− 22 ayax ( )22 yxa − ( )( )yxyxa −+= .. 
Assim, =− 22 ayax ( )( )yxyxa −+ .. . 
 
 
 6
b) =−++ 92 22 aaxx 
Aplicando trinômio do quadrado perfeito nos três primeiros termos, temos: 
=−++ 92 22 aaxx ( ) 92 −+ ax 
Aplicando a diferença entre dois quadrados, temos: 
=−++ 92 22 aaxx ( ) ( )[ ] ( )[ ]3.392 −+++=−+ axaxax 
Assim, =−++ 92 22 aaxx ( )( )3.3 −+++axax 
 
c) ( ) ( ) =+−++ 322 425 baxbabaxy 
Aplicando trinômio do quadrado perfeito dentro do primeiro parênteses, temos: ( ) ( ) =+−++ 322 425 baxbabaxy ( ) ( )32 45 baxbaxy +−+ 
Aplicando evidenciação, temos: ( ) ( ) =+−++ 322 425 baxbabaxy ( ) ( )32 45 baxbaxy +−+ ( ) ( )[ ]baybax +−+= 452 
Assim, ( ) ( ) =+−++ 322 425 baxbabaxy ( ) ( )baybax 4452 −−+ 
 
d) =+−− byby 22 
Aplicando a diferença entre dois quadrados nos dois primeiros termos, temos: 
=+−− byby 22 ( )( ) bybyby +−−+ . 
Colocando em evidência o sinal negativo dos últimos dois termos, temos: 
=+−− byby 22 ( )( ) bybyby +−−+ . ( )( ) ( )bybyby −−−+= . 
Aplicando evidenciação, temos: 
=+−− byby 22 ( )( ) ( )bybyby −−−+ . ( ) ( )[ ]1. −+−= byby 
Assim, =+−− byby 22 ( )( )1. −+−= byby . 
 
 
 
3.3 – EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 
 
Muitas vezes, para resolvermos algumas equações algébricas será necessário utilizarmos todas as 
teorias apresentadas neste capítulo e, às vezes, dependendo da equação, será necessário acrescentar 
novas teorias. 
Iniciaremos o nosso estudo sobre as Equações Algébricas resolvendo uma equação, ou seja, 
buscando os valores para variável x que é satisfazem a equação. Para tanto, considere a equação, 
3
65
1243
2
23
=+−
+−−
xx
xxx 
 
Inicialmente, uma das alternativas de solução é tentar fatorar os polinômios. Assim, aplicando o 
Agrupamento (no polinômio que está sendo dividido) e a Fatoração por artifício (no polinômio que 
está dividindo), temos: 
3
3365
)3(4)3(
2
2
=+−+−+−
−−−
xxxx
xxx , ou ainda, 
3
)3(96
)3).(4(
2
2
=−++−
−−
xxx
xx , ou mesmo, 
3
)3()3(
)3).(4(
2
2
=−+−
−−
xx
xx , assim, temos 
 
 7
3
)2).(3(
)3).(4( 2 =−−
−−
xx
xx 
Neste momento, é possível simplificarmos a equação, donde teremos: 
3
2
42 =−
−
x
x 
Observe que, 42 −x pode ser fatorado através da Diferença entre dois quadrados, assim, temos 
3
2
)2)(2( =−
+−
x
xx , ou ainda, 
32 =+x , donde, 
1=x . 
Portanto, a solução da equação 3
65
1243
2
23
=+−
+−−
xx
xxx , ou, em outras palavras, o valor de x que 
satisfaz (que torna a equação verdadeira) é igual a 1. 
 
Outro caminho para resolvermos a equação 3
65
1243
2
23
=+−
+−−
xx
xxx é utilizarmos a Divisão de 
Polinômios. 
Para realizarmos a Divisão de Polinômios, ou seja, a divisão 
)(
)(
xS
xP onde )(xP e )(xS são 
polinômios e )(xS é um polinômio não-nulo, devemos, inicialmente, encontrarmos valores que são, 
ao mesmo tempo, raízes de )(xP e )(xS , ou seja, valores r, tais que, 0)( =rP e 0)( =rS . 
Considerando 1243)( 23 +−−= xxxxP e 65)( 2 +−= xxxS , podemos notar que os valores 2 e 3 
são raízes dos polinômios )(xP e )(xS , pois 0)2( =P , 0)2( =S , 0)3( =P e 0)3( =S . 
Dessa maneira, o polinômio )3).(2()( −−= xxxD , ou ainda, 65)( 2 +−= xxxD é divisor dos 
polinômios )(xP e )(xS . Uma vez identificado um divisor comum entre os dois polinômios, 
podemos realizar tal divisão. Como )()( xSxD = , podemos realizar a divisão direta entre )(xP e 
)(xS . 
Inicialmente, devemos colocar os polinômios que serão divididos em uma chave de divisão, onde 
)(xP é o dividendo, )(xD é o divisor, )(xQ será o quociente da divisão e )(xR será o resto. Assim, 
 
 
 
Colocando os valores na chave, temos 
 
 
Uma vez que os valores encontram-se na chave, devemos, inicialmente, procurar um valor que 
multiplicado por 2x seja igual do termo com maior expoente (no nosso caso, 3x ) que se encontra 
no polinômio que é o dividendo. Como podemos notar, ao multiplicarmos x por 2x , teremos como 
resposta 3x . Logo, o primeiro termo do polinômio que representará o quociente da divisão é x . 
Assim, 
 
 
A seguir, devemos multiplicar o valor que colocamos como um dos termos do quociente da divisão 
por todos os termos presentes no divisor, subtraindo a resposta do dividendo. Dessa forma, 
 
 
 
 
)()(
)()(
xQxR
xDxP
651243 223 +−+−− xxxxx
x
xxxxx 651243 223 +−+−−
x
12102 2 +− xx
652 +− xx1243 23 +−− xxx
xxx 65 23 −+−
 
 8
Observando a divisão, podemos notar que o resto, até o momento, é igual a 12102 2 +− xx . Dessa 
maneira, de modo semelhante, devemos procurar um valor que, multiplicado por 2x , seja igual a 
22x , subtraindo a resposta do resto 12102 2 +− xx . Como valor procurado é 2, temos 
 
 
 
 
 
 
 
Como o resto é zero, o resultado da divisão de )(xP por )(xS é igual ao quociente da divisão, ou 
seja, 2+x . 
Como 
)(
)(
65
1243
2
23
xS
xP
xx
xxx =+−
+−− e 2)(
)(
)( +== xxQ
xS
xP , temos que 2
65
1243
2
23
+=+−
+−− x
xx
xxx . Por 
outro lado, como 2
65
1243
2
23
+=+−
+−− x
xx
xxx , para resolver a equação 3
65
1243
2
23
=+−
+−−
xx
xxx , basta 
resolver 32 =+x , donde 1=x . 
Portanto, a solução da equação 3
65
1243
2
23
=+−
+−−
xx
xxx é 1=x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Todos nós queremos e até sonhamos com a vida melhor, mas 
são poucos que acordam cedo para conquistá-la.” 
Autor desconhecido 
2+x
12102 2 +− xx
652 +− xx1243 23 +−− xxx
xxx 65 23 −+−
12102 2 −+− xx
0
 
 9
EXERCÍCIOS 
 
1) Fatorar: 
 
a) =+ xx 2 
b) =+ 22x 
c) =+ 255x 
d) =− aax 2 
e) =+ ax 210 
f) =+ xx 525 2 
g) =− 22012 xx 
h) =+1510x 
i) =+ xx 108 2 
j) =−− xx 23 
k) =−− 23212 xx 
l) =+++ 632 xaax 
m) =−+− 933 xaax 
n) =−+− 22xaax 
o) =− 42x 
p) =− 29 x 
q) =− 254 2x 
r) =− 236100 x 
s) =++ 122 xx 
t) =+− 962 xx 
u) =+− 9124 2 xx 
v) =+− 169 2 xx 
x) =+− 122 xx 
y1) =−83x 
y2) =+ 33 ax 
w) =−−− 1243 23 xxx 
z) =+− 232 xx 
 
2) Simplifique: 
 
a) =
21
7x 
b) =
x
x
2
4 2 
c) =2
3
9
3.12
x
x 
d) =+
2
210 ax 
e) =+
−
x
x
3
9 2 
f) =+
++
1
122
x
xx 
g) =+−
−
12
1
2 xx
x 
h) =−
−+−
62
933
x
xaax 
i) ( )( ) =−
−
2
4
2
2
x
x 
j) ( )( ) ( ) =−−
−
32.32
32
2
4
xx
x 
k) =−−+
+−−
88
88
34
235
xxx
xxx 
 
3) Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio )(xP pelo polinômio )(xS no seguintes 
casos: 
 
a) 133)( 23 +++= xxxxP e 1)( += xxS ; 
b) 133)( 23 −+−= xxxxP e 1)( −= xxS ; 
c) 233)( 235 +++−= xxxxxP e 1)( −= xxS ; 
d) 8434)( 235 +++−= xxxxxP e 13)( 2 −−= xxxS ; 
e) 8335)( 245 ++−= xxxxP e 13)( 23 −+= xxxS ; 
 
4) Resolva: 
 
a) =+
+−+++
8
888
)1(2
)1.(5)1(7)1(
x
xxx 
b) ( ) =−+
−+−
5
55
)3(152
)3(5)3(
xx
xxx 
c) =+
+−+
3
45
)22(
)22()22(
x
xx 
d) =−
−−−
3
34
)2(
)2()2(
xy
xyxy
 
 
 
 
 
 
 
 
 10
GABARITO 
 
 
Exercício 1: 
 
a) xxx 33.)21( ==+ 
b) )1(2 +x 
c) )5(5 +x 
d) )2( −xa 
e) )5(2 ax + 
f) )15(5 +xx 
g) )53(4 xx − 
h) )32(5 +x 
i) )54(2 +xx 
j) xxx 5)5()23( −=−=−− 
k) )83(4 xx +− 
l) )2)(3( ++ xa 
m) )3)(3( −+ xa 
n) )1)(2( −+ xa 
o) )2)(2( −+ xx 
p) )3)(3( xx +− 
q) )52)(52( +− xx 
r) )610)(610( xx +− 
s) 2)1( +x 
t) 2)3( −x 
u) 2)32( −x 
v) 2)13( −x 
x) 2)1( −x 
y1) ( )42).2( 2 ++− xxx 
y2) ( )22).( aaxxax +−+ 
w) )3).(2).(2( ++− xxx 
z) )1).(2( −− xx 
 
Exercício 2: 
 
a) 
3
x 
b) x2 
c) x4 
d) axax +=+ 5
2
)5(2 
e) x
x
xx −=+
−+ 3
3
)3).(3( 
f) 1
1
)1)(1( +=+
++ x
x
xx 
g) 
1
1
)1(
1
2 −=−
−
xx
x 
h) 
2
3
)3(2
)3)(3( +=−
−+ a
x
xa 
i) 2)2( −x 
j) 32 −x 
k) 1−x 
l) 2−x 
m) 
2
2+x 
 
Exercício 3: 
a) 12)( 2 ++= xxxQ e 0)( =xR 
b) 12)( 2 +−= xxxQ e 0)( =xR 
c) 63)( 34 +++= xxxxQ e 8)( =xR 
d) 2463)( 23 +++= xxxxQ e 
3282)( += xxR 
e) 54185)( 2 +−= xxxQ e 
4618154)( 2 −+−= xxxR
 
Exercício 4: 
a)2
3 b) 
2
1 c) 264
2 ++ xx 
d) 12 −− xy 
 
 
 11