Algebra linear e vetorial avII

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Disciplina:
	Álgebra Linear e Vetorial (MAD13)
	Avaliação:
	Avaliação II - Individual FLEX ( Cod.:443712) ( peso.:1,50)
	Prova:
	10155966
	Nota da Prova:
	9,00
	Anexos:
	Formulário - Álgebra Linear e Vetorial
Legenda:  Resposta Certa   Sua Resposta Errada  
Parte superior do formulário
	1.
	Em Álgebra Linear, é fundamental conhecermos se um vetor é uma combinação linear de outros. Existem Sistemas de Equações que podem ser discutidos a partir destes resultados, bem como o conceito de base de um espaço vetorial necessita deste procedimento para ser definido. Neste sentido, para quais valores de k os vetores (1, 2, 6) e (k, 8, 24) são linearmente independentes?
	 a)
	Não existe k para satisfazer a condição acima.
	 b)
	Para k = 4.
	 c)
	Para k diferente de 4.
	 d)
	Para qualquer valor real de k.
	2.
	Em um espaço vetorial V, um vetor muitas vezes pode ser escrito como combinação linear de outros vetores do mesmo espaço vetorial V. A isso damos o nome de Combinação Linear (CL). Sejam os vetores v = (-1, 2) e w = (-2, 4), analise a opção que representa vetores que são combinações lineares de v e w:
I- u = (-3, 6).
II- u = (-2, 4).
III- u = (1, -2).
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	Somente a opção I está correta.
	 b)
	As opções II e III estão corretas.
	 c)
	As opções I e III estão corretas.
	 d)
	As opções I e II estão corretas.
	3.
	Ao se falar de vetores, algumas situações e definições são importantes para o desenvolvimento do raciocínio de tópicos posteriores. Alguns deles são o de dependência linear e o de subespaço vetorial. A partir deles, desenvolvem-se toda a base de sustentação da Teoria Vetorial. Visto isso, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e depois assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	
	 a)
	V - V - F.
	 b)
	F - V - F.
	 c)
	F - F - V.
	 d)
	V - F - V.
	4.
	Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado nisto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta um conjunto de vetores LI:
	 a)
	{(2,1,-1),(0,0,1),(2,1,0)}
	 b)
	{(1,1,0),(2,2,0),(0,0,3)}
	 c)
	{(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}
	 d)
	{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
	5.
	Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado nisto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta um conjunto de vetores LD:
	 a)
	{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
	 b)
	{(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}
	 c)
	{(1,1,0),(1,0,1),(0,0,3)}
	 d)
	{(2,1,-1),(0,0,1),(5,2,3)}
	6.
	Quando falamos sobre a posição relativa de dois vetores e analisamos o ângulo formado entre eles, há duas operações vetoriais que possibilitam determinar exatamente o ângulo formado ou simplesmente fazer uma analogia com relação a estes ângulos e determinar uma denominação apropriada àquela posição. Pensando nisso, determine qual alternativa apresenta a classificação relativa ao ângulo formado pelos vetores u = (-2, 4, -1) e v = (4, 3, -3). Analise as sentenças a seguir:
I- Os vetores são perpendiculares.
II- Os vetores formam um ângulo agudo.
III- Os vetores formam um ângulo obtuso.
IV- Os vetores são complementares.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	Somente a sentença II está correta.
	 b)
	Somente a sentença IV está correta.
	 c)
	Somente a sentença I está correta.
	 d)
	Somente a sentença III está correta.
	7.
	Os vetores têm aplicação em várias áreas do conhecimento, tanto técnico quanto científico, como física, engenharia e economia, por exemplo. No entanto, são necessárias definições de operações e propriedades para dar respaldo a essas aplicações. Algumas das definições e propriedades tratam-se da soma de vetores e da multiplicação por escalar. Então, resolva 2u + 7v, considerando u = (-3, 2, 1, -1) e v = (-4, 8, -3, 2), e assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	A soma é: (-7, 9, -2, 2).
	 b)
	A soma é: (-34, 53, -19, 14).
	 c)
	A soma é: (-34, 60, -19, 12).
	 d)
	A soma é: (-6, 4, 2, 0).
	8.
	O tetraedro regular é um sólido platônico representante do elemento fogo, figura geométrica espacial formada por quatro triângulos equiláteros (triângulos que possuem lados com medidas iguais). É então constituído por 4 vértices, 4 faces e 6 arestas. Para definirmos um tetraedro qualquer por vetores, devemos representá-lo por três vetores, os quais representam suas arestas principais, sendo as outras três representações congruentes às citadas. Dado que um tetraedro está definido pelos vetores u = (8, -4, 0), v = (-1, 3, -2) e w = (2, -3, 1), sobre o volume do tetraedro, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
(    ) 1.
(    ) 2.
(    ) 3.
(    ) 4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	V - F - F - F.
	 b)
	F - V - F - F.
	 c)
	F - F - V - F.
	 d)
	F - F - F - V.
	9.
	Ao falarmos do Produto Interno, podemos nos confundir, muitas vezes. Por exemplo, em física, em particular nas aplicações da teoria da Relatividade, o produto interno tem propriedades um pouco diferentes do que as usuais. Podemos ter equívocos quanto ao produto escalar, comumente usado na geometria euclidiana, que é um caso especial de produto interno. Portanto, quanto à necessidade de definirmos Produto Interno corretamente, analise as sentenças a seguir: 
I- O produto interno se faz necessário por facilitar e tornar mais coerente, num espaço vetorial qualquer, noções como comprimento e distância.
II- O produto interno se faz necessário para a generalização dos conceitos de autovalor e autovetor.
III- O produto interno se faz necessário porque facilita o cálculo do determinante.
IV- O produto interno se faz necessário porque determina se a transformação linear é um operador linear.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	Somente a sentença I está correta.
	 b)
	Somente a sentença II está correta.
	 c)
	Somente a sentença III está correta.
	 d)
	Somente a sentença IV está correta.
	10.
	Para quaisquer dois pontos no espaço, os ângulos formados entre eles resultam (caso somados) em 360°. Uma forma de observar este fato é a questão que indica que dois vetores não paralelos, definem um plano no espaço, e assim sendo, podemos enxergá-los neste plano em que eles residem. A partir daí, define-se o ângulo entre dois vetores, como sendo o "menor" ângulo que dois vetores podem formar, e é elementar que este valor esteja variando de 0 a 180°. No exemplo a seguir, é possível perceber dois vetores cujo "menor" ângulo formado entre eles é agudo, ou seja, menor do que o ângulo reto. Então, imagine agora um vetor v, que forma ângulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados (X e Y) positivos em R². Calcule suas coordenadas, sabendo que a norma de v é igual a 4.
	
	 a)
	(1,2,1).
	 b)
	(4,0,0).
	 c)
	(2,2,2).
	 d)
	(2,0,0).
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