Apostila de Análise Matemática - UNIP

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Autores: Profa. Valéria de Carvalho
 Prof. Paulo Nascimento 
Colaboradoras: Profa. Maria Rezende Bernardes
 Profa. Ana Carolina Bueno Borges
Análise Matemática
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Professores conteudistas: Valéria de Carvalho / Paulo Nascimento
Valéria de Carvalho 
É especialista em Matemática pelo IMECC (Instituto de Matemática Estatística e Computação Cientifica), mestre 
e doutora em Educação Matemática pela Faculdade de Educação (Unicamp). Leciona no Ensino Superior desde 1988.
No LEM (Laboratório de Ensino de Matemática – IMECC) e na Faculdade de Educação, ambos na Unicamp, trabalhou 
como professora colaboradora sobre temas das Tecnologias da Informação e da Comunicação (TICs) em projetos de 
Educação Continuada.
Apresenta publicações em anais de congressos fora do Brasil e capítulos de livros em nossa língua, pensando o 
trabalho docente, a educação matemática crítica e a sociedade.
Atualmente, é professora da Universidade Paulista (UNIP) e coordenadora do curso de Matemática na modalidade 
EaD (ensino a distancia).
Paulo Nascimento
Possui graduação em Matemática realizada na Universidade Federal de São Carlos (1996) e mestrado em 
Matemática realizado na mesma universidade (1999). Atualmente, é professor adjunto da Universidade Cruzeiro do Sul 
em São Paulo – SP. Tem experiência na área de Matemática, com ênfase em Análise Matemática. Atua principalmente 
nos seguintes temas: educação matemática e operadores diferenciais parciais.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
C331a Carvalho, Valéria de.
Análise matemática. / Valéria de Carvalho, Paulo Nascimento. 
– São Paulo: Editora Sol, 2014.
100 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XIX, n. 2-004/14, ISSN 1517-9230.
1. Análise matemática. 2. Sequências infinitas. 3. Séries 
geométricas. I. Nascimento, Paulo . II. Título.
CDU 51
U501.09 – 19
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Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Virgínia Bilatto
 Amanda Casale
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Sumário
Análise Matemática
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 AQUECENDO O ESTUDO DE ANÁLISE COM NOÇÕES DOS CONCEITOS DE LÓGICA, 
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA E TEORIA DOS CONJUNTOS ..........................................................9
2 PRINCÍPIOS DE INDUÇÃO MATEMÁTICA ............................................................................................... 15
3 VISITANDO A TEORIA DOS CONJUNTOS COM ESPECIAL ATENÇÃO A ALGUNS CONJUNTOS 
NUMÉRICOS .......................................................................................................................................................... 28
4 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS E ENUMERÁVEIS E NÃO ENUMERÁVEIS ............................ 38
Unidade II
5 SEQUÊNCIAS INFINITAS ................................................................................................................................ 54
5.1 Conceito de limite de uma sequência ......................................................................................... 56
6 TEOREMAS SOBRE SEQUÊNCIAS ............................................................................................................... 61
6.1 Propriedades e teoremas sobre sequências ............................................................................... 61
6.2 Sequências monótonas e subsequências ................................................................................... 64
7 SÉRIES NUMÉRICAS INFINITAS .................................................................................................................. 66
7.1 Introdução ............................................................................................................................................... 66
8 SÉRIES GEOMÉTRICAS ................................................................................................................................... 69
8.1 Introdução ............................................................................................................................................... 69
8.2 Definição .................................................................................................................................................. 70
8.3 Convergência de séries geométricas ............................................................................................ 70
8.4 Limites num espaço métrico ............................................................................................................ 90
8.4.1 Limites de sucessões .............................................................................................................................. 90
8.4.2 Limites de funções ................................................................................................................................ 90
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APRESENTAÇÃO
Nesta disciplina, ampliaremos vários dos conceitos de fundamentos de matemática em relação aos 
conjuntos numéricos. Nosso estudo de cálculo diferencial de várias variáveis está apoiado em ideias e 
conceitos que desenvolvemos em funções de uma variável. Tomando os conceitos de funções de uma 
variável como ponto de partida, faremos a expansão lógica das operações com funções reais de uma 
variável para duas ou mais variáveis. 
Nossa intenção é que, ao terminar esta disciplina, você tenha desenvolvido solidez de conceitos 
e conteúdos matemáticos, bem como tenha aprendido a identificar os conhecimentos matemáticos 
necessários para que se torne um bom profissional. Nossa intenção é capacitá-lo a trabalhar de forma 
integrada como professor da sua área e de outras, de modo a contribuir efetivamente com a proposta 
pedagógica da sua escola. O presente livro foi pensado e desenvolvido para facilitar o seu engajamento 
num processo contínuo de aprimoramento profissional, atualizando os seus conhecimentos, incorporando, 
se possível, novas tecnologias e adaptando o seu trabalho às novas demandassocioculturais. Nossa 
intenção é auxiliá-lo a reconhecer as dificuldades individuais de seus futuros educandos para que seja 
capaz de sugerir caminhos alternativos a eles.
Ao realizar esta disciplina, você deve estar preocupado em se capacitar a identificar, interpretar 
e utilizar representações numéricas, algébricas e geométricas em situações-problema. Você deve 
procurar compreender e se familiarizar com técnicas e símbolos matemáticos que envolvem o estudo 
de alguns fundamentos de matemática, bem como de análise na reta. Além de ficar plenamente 
capacitado a derivar e integrar funções com mais de uma variável e aplicar o conteúdo ensinado na 
resolução de problemas.
A primeira perspectiva que este texto irá abordar é o fato de ele ter sido elaborado para um curso 
de educação a distância. Este é um posicionamento importante, uma vez que estabelece um ambiente 
de aprendizagem diferente daquele utilizado pelo ensino presencial e, portanto, tem exigências 
diferenciadas. Esta modalidade de educação caracteriza-se por ser uma prática educativa que exige do 
estudante, mais do que em outra modalidade, construir conhecimentos, ou seja, participar efetivamente 
de seu próprio crescimento. Este modelo implica, obviamente, um processo de ensino próprio, uma vez 
que modifica, ou mesmo suprime, o físico e o estrutural do ensino presencial. Assim, a função docente 
sofre um deslocamento: seu papel é descentralizado, e a forma de atenção ao aluno está mais próxima 
do que se entende por pesquisa em meios acadêmicos. É um novo formato de ensino-aprendizagem na 
graduação, no qual os estudantes, assim como aqueles que se iniciam em pesquisas acadêmicas, devem 
aprender a estudar sozinhos, buscar informações com base em indicações do docente responsável pelo 
curso (orientador) e serem capazes de fazer inferências na produção do seu conhecimento.
INTRODUÇÃO
Iniciamos o presente livro com uma breve revisão sobre os fundamentos da matemática e 
conjuntos numéricos. Vale destacar que o objetivo da Teoria dos Números Reais aqui apresentada é o 
de completar o conjunto dos números racionais criando um sistema contínuo de números, bem como 
conceber o conjunto dos números reais como um corpo ordenado completo. Serão apresentados 
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conceitos envolvendo demonstrações matemáticas, conjuntos enumeráveis e não enumeráveis, 
além de uma construção rigorosa do pensar o desenvolvimento de uma Teoria dos Números Reais, 
bem como da identificação, interpretação e utilização de sequências e séries numéricas. Além disso, 
compreender e se familiarizar com técnicas e símbolos matemáticos que envolvem o estudo de 
sequências, séries e demais temas matemáticos serão uma constante. 
Apresentaremos um estudo introdutório à Topologia na reta, uma vez que funções topológicas irão 
dar o domínio de funções contínuas, mesmo em se tratando de funções reais de uma variável. Vale 
destacar que toda função contínua pode ser definida em um conjunto compacto com um máximo e um 
mínimo. Ou seja, tem um ponto no qual a função assume maior valor e outro ponto no qual ela assume 
menor valor.
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ANÁLISE MATEMÁTICA
Unidade I
1 AQUECENDO O ESTUDO DE ANÁLISE COM NOÇÕES DOS CONCEITOS DE 
LÓGICA, FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA E TEORIA DOS CONJUNTOS
Nesta disciplina, chegou a hora, caro aluno, de você realizar algumas pequenas demonstrações. A 
demonstração da validade de um teorema pode ser feita de várias maneiras. Mas o que é mesmo um 
teorema? 
Um teorema é um resultado matemático de grande importância e é um resultado que pode ser 
provado. Peço permissão a você, caro aluno, para apresentar o significado de outros termos muito 
comuns nos livros de análise. Lema: um lema pode ser encarado como um pré-teorema; ou seja, 
geralmente, é um pequeno teorema que usamos para ajudar a realizar a prova de outro teorema maior. 
Não há muita diferença entre teorema e lema, uma vez que grandes resultados também são usados para 
provar outros. Um corolário é uma consequência de um teorema ou de uma definição, as demonstrações 
dos corolários geralmente são simples e, por essa razão, usualmente são omitidas. 
Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser verdadeira ou falsa; geralmente, é 
facilmente provada. Toda proposição possui três características obrigatórias: 
• possui sujeito e predicado;
• é uma declaração;
• ou é verdadeira ou é falsa.
São exemplos de proposições verdadeiras: 
• 6 ≥ 2 (seis é maior ou igual a dois);
• N ⊂ Z (o conjunto dos números naturais ou inteiros não negativos está contido no conjunto dos 
números inteiros; 
• a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo numa superfície plana resulta em 180º.
São exemplos de proposições falsas: 
• todo número ímpar é primo. É falsa porque, por exemplo, 9 é ímpar e não é primo (9=3*3);
• 5|12 (cinco é divisor de doze). É falsa, porque a divisão de 12 por 5 não é exata.
• 5<3 (cinco é menor que três). Todos sabemos que 5 é maior que 3.
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Unidade I
Não são consideradas proposições as frases:
• 2*3-1. Nota-se que há ausência de predicado;
• -3 ∈ Z? Trata-se de uma oração interrogativa;
• “Vamos ao cinema!”. A frase é uma declaração, mas não é uma proposição, porque não podemos 
atribuir um único valor verdadeiro ou falso. 
Há proposições que dependem de uma ou mais variáveis, estas são chamadas de proposições abertas: 
p(x), q(x), p(x,y). 
Tomemos por exemplo 2x+6=12. A sentença não pode ser diretamente classificada como 
verdadeira ou falsa; este é um exemplo de uma sentença aberta quantificadora. 2x+6=12 é 
uma proposição de que seu valor verdade depende do valor atribuído a x. Deste modo, se x=3, 
então 2*3+6=12 tem valor verdade verdadeiro; por outro lado, se considerarmos x=2, temos que 
2*2+6=12 tem valor verdade falso.
Através de proposições abertas, podemos fazer afirmações sobre todos os elementos de um conjunto 
usando o quantificador universal ∀, que é lido como “para todo” ou ”qualquer que seja”. Também é 
possível fazer afirmações sobre a existência de um elemento de um conjunto usando o quantificador 
existencial ∃, que é lido como “existe”. Uma proposição será universal se fizer referência a todos os 
objetos de um conjunto. Caso contrário, é dita particular.
Exemplos, considerando o conjunto dos números naturais (N):
• “Todos os números naturais são pares”. Esta é uma proposição universal.
• “O número 5 é ímpar”. Trata-se de uma proposição particular.
• “n< n+1” ∀n ∈ N é uma proposição universal.
• “∃n ∈ N; n2 = n” é uma proposição particular.
Um contraexemplo para uma proposição é um elemento do universo que não satisfaz a propriedade 
p. Considere as duas proposições a seguir:
• “∀n ∈ N . (2n + 1)2 é ímpar.” É fácil ver que para:
— n=2, temos (2n + 1)2 = (2*2 + 1)2 = 52 = 25, uma proposição verdadeira.
— n=3, temos (2n + 1)2 = (2*3 + 1)2 = 72 = 49, uma proposição verdadeira.
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ANÁLISE MATEMÁTICA
Será que realmente podemos afirmar que essa proposição é verdadeira para qualquer valor de n? 
Voltaremos a essa indagação mais adiante. Iremos provar que o quadrado de um número ímpar também 
é um número ímpar.
• “∀m ∈ N, m2 - m + 17 é primo.” Se tomarmos:
— m=1, temos 12 - 1 + 17 =17, que é primo.
— m=17, temos 172 - 17 + 17 = 172 = 17*17, que não é primo.
Vamos agora, partir de uma proposição p, construirsua negação ~p. ~p é uma proposição de valor 
oposto a p, isto é, se p é uma proposição verdadeira, ~p será uma proposição falsa. Logo, se ~p é 
verdadeira, p será falsa. 
 Lembrete
Para que ~p seja uma proposição, devemos ser capazes de classificá-la 
em verdadeira ou falsa!
Exemplos:
• sentença: “p: 5 > 2”;
negação: “~p: 5 ≤ 3”;
• sentença: “p: 11 é divisível por 2”; 
negação: temos “~p: 11 não é divisível por 2”. 
Podemos compor proposições, isto é, a partir de proposições dadas, podemos construir novas 
proposições através do emprego dos conectivos ∧ (conjunção) e ∨ (disjunção). Ao colocarmos o 
conectivo ∧ entre duas funções p e q, obtemos uma nova proposição (p∧q), denominada conjunção 
entre p e q. Por outro lado, ao inserirmos o conectivo ∨ entre duas funções p e q, obtemos uma nova 
proposição (p∨q), denominada disjunção entre p e q. Se p e q são proposições, então são válidas as 
seguintes regras de negação:
• ~(p∧q)=~p∨~q, isto é, a negação da proposição (p e q) é a proposição (~p ou ~q);
• ~(p∨q)=~p∧~q, isto é, a negação da proposição ~(p ou q) é a proposição (~p e ~q).
Exemplos: 
• a negação da proposição “x é divisível por 2 e por 5” é “x não é divisível por 2 ou x não é divisível 
por 5”;
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Unidade I
• a negação da proposição “x é divisível por 2 ou por 5” é “x não é divisível por 2 e x não é divisível 
por 5”. Neste caso, x não pode ser divisível por 10.
Se p(x) é uma proposição aberta. Então, valem as seguintes regras de negação:
• A negação da proposição “para todo x em um conjunto é verdade p(x)” é a proposição “existe 
pelo menos um x no mesmo conjunto tal que não é verdade p(x).” Simbolicamente, (∀x)(p(x)) tem 
como negação (∃x)(~p(x)).
Exemplo:
— sentença: (∀x) (3x+1=4);
— negação: (∃x) (3x+1≠4).
• A negação da proposição “existe pelo menos um x em um conjunto tal que é verdade p(x)” é a 
proposição “para todo x no mesmo conjunto não é verdade p(x)”. Simbolicamente, (∃x)(p(x) (∀x)
(p(x)) tem como negação (∀x) (~p(x)).
Exemplo: 
— sentença: (∃x) (3x+1=4);
— negação: (∀x) (3x+1≠4). 
Finalizando, podemos construir uma nova proposição a partir de proposição de uma dada, usando:
• os símbolos condicionais: → (se... então...) e ↔ (...se e somente se...). Exemplos:
— “p: 2|6”
“q: 6|12”
“p → q: 2|6 → 6|12” 
Atenção: o condicional p → q é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa; caso contrário, 
p → q é verdadeiro.
— “p: 2|6”
 “q: 2*5|5*5”
 “p ↔ q: 2|6 ↔ 2*5|5*5” 
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ANÁLISE MATEMÁTICA
Atenção: o condicional p ↔ q é verdadeiro somente quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas 
falsas; caso contrário, p ↔ q é falso.
• ⇒ (p implica q) 
 Observação
1º. Note que p implica q quando o condicional p → q é verdadeiro1.
2°. Todo teorema é uma implicação da forma: hipótese ⇒ tese.
Deste modo, demonstrar um teorema significa mostrar que não ocorre 
o caso da hipótese ser verdadeira e a tese falsa.
Exemplo:
2|6 ⇒ 2|6*3; significa dizer que “se 2 é divisor de 6, então 2 é divisor de 6*3” é verdadeiro.
 Observação
Dada uma proposição p ⇒ q então:
• proposição q ⇒ p é chamada de recíproca da proposição;
• proposição ~q ⇒ ~p é chamada de contrapositiva;
• proposição ~q ⇒ ~p é chamada de inversa da proposição.
Uma afirmação e sua contrapositiva são equivalentes. A contraposição 
é frequentemente usada em demonstrações.
• A relação de equivalência: ⇔ (p equivale a q)2
Exemplo:
2|6 ⇔ mdc (2, 6)=2, significa dizer que é verdadeiro o bicondicional “2 é divisor de 6, se, e somente 
se, o máximo divisor comum de 2 e 6 é 2”.
1 Em um teorema, a expressão P ⇒ Q é dita condição suficiente. A hipótese P é condição suficiente para que 
Q ocorra.
2 Em um teorema, a expressão P ↔ Q é dita condição necessária e suficiente. No enunciado do teorema de Pitágoras, 
temos um exemplo da condição necessária e suficiente. Veja: para que um triângulo ABC seja retângulo em B, é necessário 
e suficiente que AC2 = AB2 + BC2.
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Unidade I
 Observação
1º. Note que p equivale a q quando o condicional p ↔ q é verdadeiro.
2°. Todo teorema, cujo recíproco também é verdadeiro, é uma 
equivalência da forma: hipótese ⇔ tese.
 Lembrete
Dois princípios da Lógica: a não contradição e o terceiro excluído. 
O princípio da não contradição afirma que uma proposição não pode 
ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 
O princípio do terceiro excluído afirma que qualquer proposição ou é 
verdadeira ou falsa, não sendo possível uma terceira alternativa.
Conceituando expressões
Um axioma é uma proposição ou sentença que é tida como óbvia demais para ser demonstrada, 
também chamamos de axioma uma sentença ou uma proposição que historicamente é aceita por 
consenso entre os matemáticos de determinado ramo da matemática que compõe os primeiros 
elementos necessários para a construção de uma determinada teoria. Há autores que fazem 
uso da palavra “proposição” para nomear alguns teoremas mais simples e guardam a palavra 
“teorema” para os resultados tidos como mais importantes. Neste livro, os verbos “demonstrar”, 
“provar” e “mostrar” possuem mesmo significado. Podemos provar teoremas por diversas 
técnicas diferentes, por exemplo: demonstração direta, demonstração por redução ao absurdo e 
demonstração por indução.
Exemplo da técnica da demonstração direta: 
Vamos mostrar que o quadrado de um número par também é par.
• Hipótese: n é par (com n ∈ Z).
• Tese: n2 também é par.
Seja K um número inteiro, logo 2k é par. 
Tomemos n=2k, vamos elevar ambos os lados quadrado. 
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ANÁLISE MATEMÁTICA
Temos n k
n k
n k
2 2
2 2
2 2
2
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2 2
=
=
=
( )
( )

2k2 ∈ Z O dobro de um número inteiro (2*2k2) também é um número par. 
Conforme queríamos demonstrar! (C.Q.D.)
Note que alguns conceitos e propriedades de conjuntos numéricos e algébricos permearam a 
demonstração, e o mesmo ocorrerá em outros casos. Por essa razão, faremos mais adiante o estudo do 
conjunto dos números naturais e uma incursão aos conceitos necessários de corpos.
Neste livro, ora nos contentaremos com uma análise mais intuitiva e menos analítica; ora 
realizaremos a análise mais rigorosa. Nossa opção por uma ou outra irá depender da intencionalidade 
do conhecimento abordado que se deseja construir ou fortalecer.
Um olhar ingênuo pode ser suficiente para os temas mais elementares do estudo da análise 
matemática, mas, quando formos abordar temas mais sutis e difíceis, inevitavelmente encontraremos 
questões sobre as quais não temos respostas. 
Dificuldades semelhantes à que acabamos de nos referir foram vivenciadas por geômetras gregos; quando 
tentavam descobrir qual o valor da hipotenusa de um triângulo retângulo com cada lado, medindo uma 
unidade, o resultado não era um número racional. Muito, muito tempo depois, se verificou que o comprimento 
da hipotenusa do mencionado triângulo era 2 , um número hoje classificado como irracional. O conjunto 
dos números irracionais não era definido na época em que os geômetras se debatiam com o problema citado.
Dificuldades para realizar certas demonstrações encontraram os analistas matemáticos do século XIX 
(Cauchy, Riemann, Weiesrstrass, Dedekind, entre outros) que, por terem em análise o hábito de definições 
e provas rigorosas, constataramque alguns dos teoremas mais fundamentais e mais conhecidos da 
análise exigiam dos números reais propriedades que certamente não são intuitivas. Aprofundaremos 
o aqui exposto mais adiante, quando provaremos que 2 é um número irracional e apresentaremos o 
conceito de corte de Dedekind. Este possibilitou definir 2 como um número irracional.
2 PRINCÍPIOS DE INDUÇÃO MATEMÁTICA
A indução vulgar
Antes de falarmos em indução finita vamos comentar a indução vulgar. Esta ocorre quando fazemos a 
generalização de propriedades após a verificação de que a propriedade é válida em alguns casos particulares. 
Apresentamos a seguinte proposição “∀n ∈ N . (2n + 1)2 é ímpar.” Fizemos duas verificações:
• Para n=2, temos (2n + 1)2 = (2*2 + 1)2 = 52 = 25, é verdadeira.
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Unidade I
• Para n=3 temos (2n + 1)2 = (2*3 + 1)2 = 72 = 49, é verdadeira.
Feitas as duas verificações, deixamos a seguinte indagação: será que realmente podemos 
afirmar que essa proposição é verdadeira para qualquer valor de n? Se você concluiu que sim 
apenas com as duas verificações, você realizou indução vulgar! O óbvio em matemática pode nos 
conduzir a conceitos enganosos, em especial quando a expressão “é óbvio” é usada no sentido de 
que “essa proposição é obvia porque é difícil duvidar de que seja verdadeira”. Esse é um raciocínio 
enganoso! Vamos apresentar alguma das conhecidas provas que, para se estabelecerem como 
certas, nos levam a conclusões paradoxais. Iremos mostrar que a indução vulgar pode nos levar a 
graves enganos matemáticos.
Exemplo 1: acompanhe os argumentos. 
0 = 0 + 0 + 0 +0 + 0 + ... zero pode ser escrito como uma soma infinita de zero.
0 = (1-1)+(1-1)+ (1-1)+ ... substituímos os zeros pelo equivalente (1-1).
0 = 1+ { – 1+ 1 – 1 + 1 –1+ ...} isolando o primeiro termo da soma infinita.
0 = 1+ { (– 1+ 1)+ (– 1 + 1)+( –1+ 1) +...} reagrupando a soma infinita.
0 = 1 +{ 0+ 0+ 0 + 0 + .... } efetuando as infinitas somas dos termos ( –1+ 1).
0 = 1 + 0 ... a soma infinita de zeros resulta em zero.
0 = 1
Com esse resultado, fica a pergunta: será que zero realmente é igual a um, ou há algum 
equivoco matemático nos argumentos usados? Muitas vezes, somos levados a concordar com um 
falso julgamento intuitivo de alguma situação na geometria ou aritmética elementares. Caso o 
resultado final do argumento tivesse sido menos gritante, teríamos deixado passar erros se nosso 
único acesso aos números reais fosse através de nossa compreensão intuitiva deles.
Exemplo 2: considere a relação y
n
 2 12 ;  n N temos:
Tabela 1 
n P n
n
( )  2 12 Resultado Observação
0 P( )0 2 1 2 1 22
0 0
    
y = 2 É um número primo!
1 P( )1 2 1 2 1 52
1 2
    
y = 5 É um número primo!
2 P( )2 2 1 2 1 172
2 4
    
y = 17 É um número primo!
3 P( )3 2 1 2 1 2572
3 8
    
y = 17 É um número primo!
4 P( ) .4 2 1 2 1 68 3572
4 16
    
y = 65.357 É um número primo!
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ANÁLISE MATEMÁTICA
Todos os resultados anteriores são primos. Fermat (1601–1665) acreditou que y
n
 2 12 ;  n N
sempre resultaria em números primos, qualquer que fosse o valor de n. Trata-se de uma indução 
vulgar e falsa! Euler (1107–1783) mostrou que, para n=5, a expressão y
n
 2 12 resulta em 
y       2 1 2 1 4294967297 641 6 700 4172
5 32 . . , ou seja, é um número divisível por 641 e por 
6.700.417, portanto não primo!
Exemplo 3: considere agora a seguinte igualdade: 
1 + 3 + 5 +...+ (2n-1) = n2, (n ∈ Z, ou seja, a soma dos n primeiros números ímpares é n2. Será que 
esta proposição é verdadeira?
Tabela 2 
n P n n n( ): ... ( )1 3 5 2 1 2      Resultado Obs.
1 P( ):1 1 1 12= = P(1) = 1 (V)
2 P P( ): ( ) :2 1 3 2 2 4 42    P(2) = 4 (V)
3 P P( ): ( ) :3 1 3 5 3 3 9 92     P(3) = 9 (V)
4 P P( ): ( ) :4 1 3 5 7 4 4 16 162      P(4) = 16 (V)
5 P( ):5 1 3 5 7 9 52� � � � � � �P(5): 25 25 P(5) = 25 (V)
6 P P( ): ( ) :6 1 3 5 7 9 11 6 6 36 362        P(6) = 36 (V)
   
10 P P( ): ... ( ) :10 1 3 5 7 19 100 10 100 100        P(100) = 100 (V)
Até quando precisaríamos fazer essa verificação para provar que a proposição é verdadeira? Para 
provar que é falsa, basta achar um valor de n, para o qual: 
P n n n( ): ... ( )1 3 5 2 1 2      . 
Se continuássemos seguindo os procedimentos da tabela anterior até para n igual um milhão, se 
cada n resultaria em uma sentença verdadeira, ainda assim não poderíamos garantir que para algum 
n maior que um milhão a fórmula não falharia, e todo esse trabalho, verificar que a proposição é 
verdadeira para 0 1 000 000≤ ≤n . . , teria sido em vão. Para provarmos que uma relação é válida a partir 
de um subconjunto de n ∈ N*, usaremos o princípio de indução matemática, que apresentamos a seguir. 
O princípio de indução finita (PIF) ou indução matemática (PIM)
O princípio de indução matemática é uma ferramenta poderosa para estabelecer a validade de 
alguma afirmação relacionada e associada aos números naturais. Vale lembrar que, além das operações 
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Unidade I
aritméticas da adição, multiplicação e relações de comparação (<, ≤, > e ≥), o conjunto dos números 
naturais goza da propriedade do princípio do bom ordenamento3. Essa propriedade é equivalente ao 
princípio de indução que definimos a seguir:
Definição: seja P(n) uma proposição aberta no universo dos números naturais.
Se valem ambas as propriedades a seguir:
• P(n0) é verdade para algum n0.
• P(k) ⇒ P(k+1) para todo k ≥ n0.
Então P(n) é verdadeira para todo n ≥ n0.
Isto é, verificamos que a proposição é válida para algum valor inicial (condição i). Supomos que a 
proposição seja verdadeira para um valor aleatório, por exemplo, para um número K ∈ N, e verificamos 
se ela também é válida para K + 1 (condição ii). Se as condições (i) e (ii) forem, simultaneamente, 
verdadeiras; então, podemos garantir que a proposição é verdadeira para qualquer n maior que o valor 
inicial verificado.
Exemplos:
• Vamos verificar se o quadrado de um número ímpar também é um número ímpar; isto é, que 
∀n ∈ N . (2n + 1)2 é ímpar.
Verificação:
(i) P(n0) é verdade para algum n0?
Vamos ver se P(0) é verdadeira. Fazendo n0 = 0, temos ( ) ( * )2 1 2 0 1 1 1
2 2 2n      . É ímpar? (V)
Como o resultado é um número primo, a proposição (i) mostrou-se verdadeira para algum n0. 
Vamos agora verificar a condição (ii). 
Vamos supor que P(k) é verdadeira, isto é, que o resultado de P(k) = (2K + 1)2 é um número primo. 
Se provarmos que P(k+1) também é um número primo, teremos verificado que o quadrado de 
um número ímpar também é um número ímpar. Caso contrário, não podemos concluir que o 
quadrado de um número ímpar resulta em um número ímpar a partir de n > 0. 
(ii) Supomos que P(k) = ( ) ( ) *2 1 2 2 2 1 4 4 12 2 2k k k k k       é um número ímpar.
3 O princípio da boa ordem para os números naturais consiste no fato de que um subconjunto A, não vazio de N, 
tem um elemento mínimo, isto é, se A ⊂ N, então existe n0∈ A, tal que n0≤ n para todo n ∈ A.
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ANÁLISE MATEMÁTICA
Verificando P(k+1).
P(k+1) = ( ( ) ) ( ) ( )2 1 1 2 2 1 2 3 4 6 92 2 2 2k k k k k         
P(k+1) = 4 6 9 4 4 2 8 12 2k k k k k      
P(k+1) = ( ) ( )44 1 2 82k k k+ + + +
P(k+1) = P(k)+(2k+8)
Sabemos que o dobro de um número natural é um número par e que oito também é um número par, 
logo, 2k+8 é um número par.
Por hipótese, ( )4 4 12k k+ + é ímpar. Sabemos que o resultado da soma de um número natural par 
com um número natural ímpar resulta em um número ímpar. Isto é, 
P(k+1) = 
P k k
mpar par
( ) ( )
í
� ���+ +2 8 é ímpar! (V)
Concluindo:
(i) verdadeiro
(ii) verdadeiro
é
é



São simultaneamente verdadeiras (i) e (ii)! 
Logo, (2n + 1)2 é ímpar ∀n ∈; n ≥ 0 é ímpar! 
C.Q.D.
• Vamos provar que: 1 + 3 + 5 +...+ (2n-1) = n2, (n ∈ N).
(i) tomemos n0 = 1.
P(1): 1 = 12 = 1=> proposição verdadeira para n0 = 1!
(ii) Vamos supor que P(k): 1 + 3 + 5 +...+ (2k - 1) = k2 é (V).
Para validar a proposição, temos que mostrar que P(k+1) também é verdadeira. Vamos lá!
P k k k k( ): ... ( ) ( ( ) ) ( )          1 1 3 5 2 1 2 1 1 12 , isto é,
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Unidade I
P k k k k k
P k
( ): ... ( ) ( )
( ) : ... (
           
    
1 1 3 5 2 1 2 2 1 2 1
1 1 3 5
2
22 1 2 1 2 12k k k k
P K P K
     ) ( ) ( )
( ) ( )
� ���� ���� �
P(k+1): P(K)+(2k+1)=P(K)+(2k+1) a igualdade é evidente, logo P(k+1) é verdadeira.
Concluindo:
(i) verdadeiro
(ii) verdadeiro
é
é



São simultaneamente verdadeiras(i) e (ii)! 
Logo, 1 + 3 + 5 +...+ (2n-1) = n2, (n ∈ Z+) n ≥ 1
 C.Q.D.
 Lembrete
Um fato importante nos estudos dos teoremas é que, quando este é 
enunciado através da expressão matemática P => Q, não se está afirmando 
que a hipótese P é verdadeira, o que se está afirmando é que, se P for 
verdadeira, então Q também o é. 
• Verifique a seguinte proposição:
P n n
n
( ): ...
( )
1 2 3 4
2 1
8
2
     

Verificação:
(i) P(n0) é verdade para algum n0?
Vamos buscar n = n0, para o qual P(n) seja verdadeira. 
Tabela 3 
n P n n
n
( ): ...
( )
1 2 3 4
2 1
8
2
     

Resultado Obs.
1 P( ):
( * ) ( )
1 1
2 1 1
8
1
3
8
1
9
8
2 2


    P( ):1 1
3
8
9
8
2
= = (F)
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ANÁLISE MATEMÁTICA
2 P( ):
( * ) ( )
2 1 2
2 2 1
8
3
5
8
3
25
8
2 2
 

    P( ):2 3
5
8
25
8
2
= = (F)
3 P( ):
( * ) ( )
3 1 2 3
2 3 1
8
6
7
8
6
49
8
2 2
  

    P( ):3 6
7
8
49
8
2
= = (F)
4 P( ):
( * ) ( )
4 1 2 3 4
2 4 1
8
10
9
8
10
81
8
2 2
   

    P( ):
( )
4 10
9
8
81
8
2
= = (F)
5 P( ):
( * ) ( )
5 1 2 3 4 5
2 5 1
8
15
11
8
2 2
    

  P( ):
( )
5 15
11
8
121
8
2
= = (F)
6 P( ):
( * ) ( )
6 1 2 3 4 5 6
2 6 1
8
21
13
8
2 2
     

  P( ):
( )
6 21
13
8
2
= (F)
7 P( ):
( * ) ( )
7 1 2 3 4 5 6 7
2 7 1
8
28
15
8
2 2
      

  P( ):
( )
7 28
15
8
2
= (F)
8
P
P
( ):
( * )
( ) :
( )
8 1 2 3 4 5 6 7 8
2 8 1
8
8 36
17
8
2
2
       



P( ):
( )
8 36
17
8
2
= (F)
Antes de esgotar sua paciência conferindo mais contas.... Vamos refletir um pouco.
Estamos procurando um n0, para o qual, a partir desse valor, a expressão: 1 2 3 4
2 1
8
2
� � � � � �
�
...
( )
n
n 
se verifique como verdadeira e, desse modo, fique garantido a validade do item (i) do P.I.F. 
 Lembrete
Para a verificação do P.I.F. temos que verificar se o item (i) é verdadeiro, 
se for verdadeiro, passamos a verificar a validade o item (ii). 
 Voltando a avaliar a validade do item (i) para algum n0. 
Analisando o segundo membro da proposição ( )2 1
8
2n+ , nos deparamos com a expressão (2n+1), 
que sabemos ser o padrão de um número ímpar. Foi provado no exemplo 1 do P.I.F. que o quadrado de um 
número ímpar é um número ímpar. Deste modo, no segundo membro dessa proposição, temos um número 
ímpar ((2n + 1)2) dividido por oito. O resultado dessa divisão sabe-se não ser um número natural. 
Por outro lado, analisando o primeiro membro da proposição (1 + 2 + 3 + 4 ...+ n), temos a 
soma de números naturais, cujo resultado sabe-se ser um número natural. Evidenciando, desse 
modo, uma contradição.
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Unidade I
Logo, podemos concluir que P(n0) é falsa! 
Como o item (i) do P.I.F. foi falsa, a proposição toda é falsa, isto é:
1 2 3 4
2 1
8
2
� � � � � �
�
...
( )
n
n
• Vamos mostrar que 1 2 3 4
1
2
� � � � � �
�
� �...
( )
,n
n n
n N.
Resolução:
Seja A o conjunto de números naturais para o qual é válida a igualdade anterior.
(i) 1∈A, pois 1
11 1
2
1
2
2
1

 
( )
* , deste modo, n0 1= .
(ii) Supomos, agora, que k∈A, tal que 1 + 2 + · · · + k = k k( )+1
2
, seja verdadeira. Vejamos que a 
proposição também é válida para k+1∈A. De fato,
P(k+1): 1 + 2 + · · · + k + (k + 1) = ( )(( ) )k k+ + +1 1 1
2
 
P(k+1): 1 + 2 + · · · + k + (k + 1) = ( )( )k k+ + +1 1 1
2
 
P(k+1): 1 + 2 + · · · + k + (k + 1) = ( )( )k k+ +1 2
2
 
Vamos dividir essa análise em duas partes: (a) e (b).
a) No primeiro membro, podemos substituir a soma 1+...+k por P(k), logo, o primeiro membro pode 
ser reescrito da seguinte forma:
1 2 1
1
2
1
2
1 1
1
2
     

    


... ( )
( )
( ) ( ) * (
( )
( )
k k
k k
k
k
k
P k
K k
� �� �� kk 1) , colocando (k+1) em evidência, temos: 
k k
k k
k k
k
k( )
( ) ( )( )

        
1
2
1 1
2
1
2 2
1
2
b) Avaliando o segundo membro de P(k+1), temos que:
( )( )
( )
( )
( )(( / ) )
k k
k
k
k k
k
k
k 
 

      
1 2
2
1
2
2
1 2 1
2 2
1
2
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ANÁLISE MATEMÁTICA
Como (a)=(b), concluímos que P(k+1) é verdadeira.
De (i) e (ii) concluímos que 1 2 3 4
1
2
� � � � � �
�
� �...
( )
,n
n n
n N.
• Exemplo: vamos verificar que a desigualdade de Bernoulli ( )1 1  x nxn vale para n ≥ 0; 
se x ≥ −1.
Seja A∈N que satisfazem a desigualdade ( )1 1  x nxn ; x ≥ −1 
(i) P(0) : ( )1 1 00  x x
P(0) : 1 ≥ 1 é verdade! 
(ii) Vamos supor que k∈A, mostraremos que k+1∈A, isto é, supomos que P(k): ( )1 1  x kxk ; x ≥ −1 
é verdade.
Vamos mostrar que P(k+1) também é verdade.
P(k+1): ( ) ( )1 1 11   x k xk ; x ≥ −1 é verdade?
De fato:
( ) ( )1 1 11   x k xk ; usando propriedade de potência ( * )a a am n m n� � , temos:
( ) ( )
( )
1 1 1 1    x x kx xk
P kupcurlybracketleftupcurlybracketmidupcurlybracketright
; mas ( )1+ x k é P(k), vamos substituir.
( ) ( )
( )
1 1 1 11       x kx kx xk
P k
(1 x) (1 x)

, sabemos que 1 1 12     x kx kx kx x é verdade !
Pois 
k
x
kx







 
0
0
0
2
2 . Note que a diferença entre o primeiro e o segundo membro da desigualdade 
é o termo k2, que vimos ser positivo ou zero. Logo, somar zero ou um número positivo no primeiro 
membro da expressão 1 1 1    x kx kx x a mantém verdadeira, isto é, 1 1 12     x kx kx kx x . 
Isso nos garante que P(k+1) é verdade.Logo (ii) é verdadeira.
Como (i) e (ii) são válidas, temos que a desigualdade de Bernoulli ( )1 1  x nxn foi confirmada 
como válida. 
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Unidade I
(ii) Vamos supor que k∈A, mostraremos que k+1∈A, isto é, supomos que P(k): ( )1 1  x kxk ; 
x ≥ −1 é verdade.
Vamos mostrar que P(k+1) também é verdade.
P(k+1): ( ) ( )1 1 11   x k xk ; x ≥ −1 é verdade ?
De fato:
( ) ( )1 1 11   x k xk ; usando propriedade de potência ( )a a am n m n   temos:
( ) ( )
( )
1 1 1 1    x x kx xk
P kupcurlybracketleftupcurlybracketmidupcurlybracketright
; mas ( )1+ x k é P(k) vamos substituir.
( ) ( )
( )
1 1 1 11       x kx kx xk
P k
(1 x) (1 x)

, sabemos que 1 1 12     x kx kx kx x é verdade!
Pois 
k
x
kx







 
0
0
0
2
2 . Note que a diferença entre o primeiro e o segundo membro da desigualdade 
é o termo k2, que vimos ser positivo ou zero. Logo, somar zero ou um número positivo no primeiro 
membro da expressão 1 1 1    x kx kx x a mantém verdadeira, isto é, 1 1 12     x kx kx kx x. 
Isso nos garante que P(k+1) é verdade.
Logo (ii) é verdadeira.
Como (i) e (ii) são válidas, temos que a desigualdade de Bernoulli ( )1 1  x nxn foi confirmada 
como válida. 
C.Q.D.
 Observação
1) Acabamos de provar que a desigualdade de Bernoulli ( )1 1  x nxn 
vale para n ≥ 0; se x ≥ −1. Vale observar que, se x ≥ 0, temos que todos os 
termos da expressão são não negativos; logo, temos o binômio de Newton, 
isto é, ( )
( )
...1 1
1
2
2
   

 x nx
n n x
xn n .
2) Em alguns casos, algumas afirmações são válidas apenas para n ≥ n0, 
onde n0 ∈Z. Neste caso, podemos usar uma versão equivalente ao princípio 
de indução, a qual pode ser assim enunciada:
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ANÁLISE MATEMÁTICA
Seja A ⊂ {n ∈ Z : n ≥ n0}, tal que:
(i) O número n0 ∈A.
(ii) Se k∈A, implica que k + 1 ∈ A.
Então A = {n ∈ Z : n ≥ n0}.
3) Demonstrações são cobradas em algumas avaliações de concursos, 
desde vestibulares até em provas de seleção para o magistério de professores 
de matemática nas redes públicas. Uma possível ferramenta para provar uma 
demonstração, como estamos mostrando, é o princípio de indução finita.
• Prove que, ∀n ≥ 1, n ∈ N o número an
n

4 1
3
 é inteiro e ímpar.
Prova:
(i) A afirmação é verdadeira para n = 1.
a1
14 1
3
3
3
1

 
, que é inteiro e ímpar. Logo (i) é verdadeira.
(ii) Temos por hipótese que ak
k

4 1
3
 é inteiro e ímpar, vamos mostrar que, valendo aK , 
aK
K




1
14 1
3
 também é válida.
ak
K k k k k





  

   

  
1
1 14 1
3
4 4 1 0
3
4 4 1 4 4
3
4 4 3 4
3
4* ( ) * ( ) * ( ) * 44 4
3
3
3
4 4 1
3
1 4
4 1
3
1 4 11




 







  

a ak
k k
ak
k
( )
* *
upcurlybracketleftupcurlybracketmid� upcurlybracketright�
Por hipótese, a ak k  1 4 1* é inteiro e positivo, consequentemente a ak k  1 4 1* também é inteiro e positivo.
Como (i) e (ii) são válidas; o número an
n

4 1
3
 é inteiro e ímpar, ∀n ≥1. 
C.Q.D.
Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi é um jogo constituído por uma plataforma na qual são fixados três 
pinos. Você deve possuir n discos (também podem ser quadrados ou no formato que desejar) 
com tamanhos diferentes. Os discos devem ter um furo no centro grande o suficiente para 
que possa ser colocado até a base dos pinos.
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4
Unidade I
A regra do jogo é a seguinte: 
Qualquer que seja a configuração dos n discos na torre, é proibido colocar um disco 
maior sobre um disco menor e só é permitido mover 1 disco de cada vez.
Ponto de partida do jogo: todos os n discos estão encaixados em um dos pinos, como 
ilustramos a seguir.
1
2
n - 1
n
Figura 1 – Configuração inicial da Torre de Hanói com todos os discos em apenas um disco com 
todos os menores sobre os maiores
Desenvolvimento do jogo: contamos como uma jogada o movimento de mover um 
disco de um pino para outro, sempre respeitando a regra geral; ou seja, nunca colocar um 
disco maior sobre um disco menor. 
Objetivo do jogo: mover todos os discos do pino inicial para um, e apenas um, dos 
outros pinos.
Seja T(n) o número de movimentos necessários para resolver o jogo das Torres de Hanói 
com n discos. Notação T(n)=K ; a torre com n discos terá no mínimo K movimentos.
• A torre com 1 disco:
T(1) = 1 movimento.
• A torre com 2 discos:
T(2) = 3 movimentos.
• A torre com 3 discos:
T(3) = 7 movimentos.
• A torre com n discos:
T(n) = 2n - 1 movimentos.
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4
ANÁLISE MATEMÁTICA
Convidamos você aluno a realizar a demonstração prática (jogando) e teórica (por 
indução) do número mínino de movimentos das peças da Torre de Hanói.
A seguir apresentamos um “mapa esquemático” com os passos necessários para você 
conseguir resolver a Torre de Hanói com n pinos. 
1
2
n
n + 1
Início
1
2
n
n + 1
Mova os n discos para outro pino
T(n) mov.
1
1
2
2
n
n
n + 1
Mova disco maior para pino não ocupado
n + 1
Mova os n discos menores para cima do pino maior
1 mov.
T(n) mov.
Figura 2 – Mapa esquemático para resolução do jogo da Torre de Hanói
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Unidade I
 Saiba mais
Saiba mais sobre a Torre de Hanói estudando o texto do link a seguir e 
assistindo à videoaula sobre o tema na nossa Labemateca: 
SHINE, C. Y. A torre de Hanói. IV Semana Olímpica, Colégio Etapa, 
Salvador, [s.d.]. Disponível em: <http://www.obm.org.br/export/sites/
default/revista_eureka/docs/artigos/hanoi.pdf>. Acesso em: 5 mar. 2014.
3 VISITANDO A TEORIA DOS CONJUNTOS COM ESPECIAL ATENÇÃO A 
ALGUNS CONJUNTOS NUMÉRICOS
A seguir, apresentaremos uma breve revisão sobre a Teoria dos Conjuntos, esta teoria teve sua base 
organizada principalmente pelo matemático George Cantor. Vamos restringir-nos a fazer uma breve 
retomada sobre as noções básicas dos conjuntos. Nossa abordagem será objetiva, nos dirigindo apenas 
às propriedades elementares e operações com conjuntos. Ávila (2006), em seu livro Análise Matemática 
para Licenciatura, faz diferença entre Teoria dos Conjuntos e o conteúdo sobre conjuntos presente nos 
livros didáticos. Destacando que, para o Ensino Médio, os conjuntos “nada mais são do que linguagem 
e notação, que são ferramentas auxiliares; portanto só devem ser introduzidos quando necessários ao 
estudo que se pretende fazer” (ÁVILA, 2006, p. 29).
Em análise, precisamos de uma boa compreensão dos conjuntos numéricos. Deste modo, a este tema 
daremos um tratamento mais aprofundado.
Conjuntos 
Compreendemos como conjunto qualquer coleção de objetos concretos ou abstratos, sem repetição. 
Dado um conjunto, cada objeto pertencente a um conjunto será chamado de elemento. Essa não é uma 
noção muito diferente da utilizada em nosso cotidiano, que relaciona aos conjuntos, por exemplo, os 
agrupamentos, as classes, entre outros. É importante ressaltar que conjunto é um conceito primitivo 
e, sendo assim, desprovido deuma definição. Deste modo, estamos apenas citando uma possível 
característica dos conjuntos e não os definindo. 
O que interessa para os nossos estudos, nesta unidade, são os conjuntos numéricos. Utilizaremos a 
notação usual para conjuntos e para seus elementos, ou seja, letras maiúsculas para simbolizar conjuntos 
e minúsculas para simbolizar seus elementos (as exceções, caso existam, serão explicitadas). 
 Observação
A notação de conjuntos não é uma regra, até mesmo porque um 
elemento de um conjunto pode ser, por sua vez, outro conjunto.
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ANÁLISE MATEMÁTICA
Denotaremos o conjunto vazio, ou seja, o conjunto desprovido de elementos com o símbolo Ø. 
Sempre que um elemento x pertencer a um conjunto A, denotaremos esse fato simbolicamente com 
x∈A (leia-se “x pertence a A”); caso contrário, denotaremos que x∉A (leia-se “x não pertence a A”).
Exemplos:
• 3∈Z, (três pertence ao conjunto dos números inteiros).
• 1
2
∉Z , (meio não pertence ao conjunto dos números inteiros).
Se x é um elemento de um conjunto e A um conjunto não vazio, valem as seguintes propriedades:
• x ∉ Ø
• Ø ⊂ A
Representações
Convencionalmente, representam-se conjuntos em que os elementos são enumerados entre chaves 
e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula, sendo esse último usado para evitar possíveis confusões 
com números decimais. Vejamos alguns exemplos de descrição de conjuntos:
• Por enumeração:
— A = {0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5}.
— B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10}.
• Por um predicado:
— n N n  
 
: 2 1 10
— x R x  
 
; 2 1 24
— x Z x   
 
/ 3 13
 Observação
Usa-se / ou ; ou : ou | para separar a propriedade que caracteriza os 
elementos do conjunto ao qual o emento pertence. Estes símbolos são lidos 
como “tal que”.
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Unidade I
Conjuntos finitos e com “poucos” elementos podem ser representados por meio de diagramas, 
como segue:
A B
a
c
e
f
1
3
5
7
b
d
h
g
2
4
6
8
Figura 3 
Conjunto potência
Seja A um conjunto. O conjunto de todos os subconjuntos de A é chamado de conjunto potência de 
A ou conjunto das partes de A (P(A)). Deste modo, qualquer que seja o conjunto A, sempre valem:
• A ∈ P(A), porém A ⊄ P(A).
• Ø ∈ P(A) e também Ø ⊄ P(A).
Exemplo: 
Sejam A= {a,b} e B={1,2,3}, então:
P(A)= { Ø, {a},{b},{a,b}}
P(B)= { Ø, {1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}
O número de elementos do conjunto das partes é 2n. Sugerimos que você faça essa demonstração. 
Com base nos exemplos que acabamos de fazer, vimos que:
n(P(A))= 22 = 4, número de elementos de A n(A)=2;
n(P(B))= 23 = 8, número de elementos de A n(B)=3.
Neste livro, como já relatamos anteriormente, estaremos interessados nos conjuntos numéricos, 
inicialmente vamos relembrar suas representações e nomenclaturas:
N = {0, 2, 3, 4,...} (conjunto dos números naturais ou inteiros positivos).
Z = {0, ± ± ± ±1 2 3 4, , , , ..} (conjunto dos números inteiros).
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ANÁLISE MATEMÁTICA
Q = {a/b: a, b ∈ Z e b ≠ 0} (conjunto dos números racionais).
R (números reais, ou seja, números racionais e números irracionais).
C = {a+bi: a, b ∈R, i = −1} (conjunto dos números complexos).
Podemos representar um conjunto por uma característica comum a todos os elementos desse 
conjunto. Vejamos alguns exemplos: 
P = {3x | x ∈ Z}, onde se lê: P é o conjunto dos elementos 3x, tal que x pertence a Z.
A = {x ∈R| x > 6}, onde se lê: A é o conjunto dos elementos x pertencentes aos números reais, tal 
que x é maior que 6.
A igualdade entre dois conjuntos A e B ocorre quando todo elemento de A pertence a B e, 
reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. Simbolicamente, temos:
A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B)
Um conjunto A é um subconjunto de B (está contido em) se, e somente se, todo elemento x 
pertencente a A também pertence a B. Simbolicamente, temos:
A ⊂ B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B).
 Observação
A notação A⊂B, significa “A está contido em B” ou “A é um subconjunto 
de B”. A leitura da notação no sentido inverso é feita como “B contém A”. 
Consideraremos que o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.
Representado por meio de diagramas A⊂B:
B
A
Figura 4 
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Unidade I
Se o conjunto A não está contido em B, usaremos a notação A⊄B. 
Exemplo: 
Se P = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,....}, isto é, P é o conjunto dos números ímpares. Sejam:
Q = {7, 9, 11, 13, 15, 17, 21,...}, então Q ⊂ P.
R = {7, 9, 11, 12, 15, 17, 21}, então R ⊄ P.
S = {7, 9, 11, 13, 15, 17, 21}, então S ⊂ P.
Vejamos a relação de inclusão aplicada aos conjuntos numéricos que apresentamos anteriormente:
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.
Denotaremos o conjunto formado por elementos que pertencem simultaneamente a um conjunto 
A e a um conjunto B da seguinte forma:
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}. Esse conjunto é chamado de interseção de A e B.
Denotaremos o conjunto formado por elementos que pertencem a um conjunto A ou a um conjunto 
B da seguinte forma:
A∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}. Esse conjunto é chamado de união de A e B.
Vejamos um exemplo de interseção e união de conjuntos:
Exemplo: 
Considere o conjunto A = {-1, 1, 2, 3, 4} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
• A ∩ B = {1, 2, 3, 4}. Observe que esse conjunto é formado pelos elementos comuns aos dois 
conjuntos.
• A ∪ B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Observe que esse conjunto é formado pelos elementos que 
pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
Vejamos algumas propriedades da interseção entre conjuntos: os fatos anteriores nos dizem que A 
interseção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:
A ∩ B ⊂ A
A ∩ B ⊂ B
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ANÁLISE MATEMÁTICA
Considere A, B e C três conjuntos quaisquer. Então, são verdadeiras as seguintes propriedades: 
• Comutativa: A ∩ B = B ∩ A. 
• Elemento neutro: o conjunto universo U é o elemento neutro da interseção de conjuntos: 
A ∩ U = A.
• Associativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. 
 Observação
Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, 
dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois 
conjuntos são disjuntos quando a interseção entre eles é igual ao 
conjunto vazio.
Vejamos algumas propriedades da união entre conjuntos: se o elemento x pertencente a A∪B, é 
equivalente a dizer que uma das proposições “x pertence a A” ou “x pertence a B” é verdadeira. 
Desse fato, decorre que:
 A⊂A∪B e B⊂A∪B.
Considerando A, B e C três conjuntos quaisquer, são verdadeiras as seguintes propriedades:
• Comutativa: AUB = BUA.
• Elemento neutro: ØUA = AUØ = A. O conjunto Ø é o elemento neutro da união de conjuntos.
• Associativa: (AUB)UC = AU(BUC).
Consideremos A, B e C três conjuntos quaisquer, então valem as seguintes propriedades que 
inter-relacionam a união e interseção de conjuntos:
• A∪(A∩B) = A.
• A∩(A∪B) = A.
• A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).
• A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).
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Unidade I
Observe que a propriedade 3 é a distributiva da união em relação à interseção, assim como a 
propriedade 4 é a distributiva da interseção em relação à união.Como exemplo, podemos considerar A e B dois conjuntos quaisquer. A diferença entre A e B é o 
conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. Simbolicamente, podemos representar a diferença 
de A por B da seguinte forma: 
A - B ={x∈U | x∈A e x∉B}.
Observe no diagrama a seguir a diferença, a interseção e a união de A por B:
A
A - B A ∩ B
B
Figura 5 
Complementar de B em A
Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se complementar de B em relação 
a A o conjunto A - B, e indicamos como:
C A BA
B
 
Observe o exemplo a seguir:
Consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {1, 2}. Temos o complementar: 
C A BA
B � � �{ , , , }3 4 5 6
Observe que, no exemplo anterior, a condição para que o complementar de B em relação a A esteja 
definido é cumprida, isto é, B contido em A.
Propriedades da complementação entre conjuntos: sejam B e C subconjuntos de A; valem as 
propriedades a seguir:
1
2
3
4
5
.
.
.
.
.
( )
C B e C B A
C e C A
C B
C C C
A
B
A
B
A
A
A
A
CA
B
A
B C
A
B
A
C
� �� � �
�� �
�
� �
�
�
CC C CA
B C
A
B
A
C( )� � �
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ANÁLISE MATEMÁTICA
1
2
3
4
5
.
.
.
.
.
( )
C B e C B A
C e C A
C B
C C C
A
B
A
B
A
A
A
A
CA
B
A
B C
A
B
A
C
� �� � �
�� �
�
� �
�
�
CC C CA
B C
A
B
A
C( )� � �
Mais alguns conceitos necessários ao nosso estudo envolvendo conjuntos:
• Produto cartesiano: A × B = {(a, b) : a∈A e b∈B}
— União finita: A A A A A An n
n
n
i1 2 3 4
1
     

...

— Interseção finita: A A A A A An n
n
n
i1 2 3 4
1
     

...

Funções, um breve resumo 
A seguir apresentamos de forma sintética alguns conceitos envolvendo funções.
1) Dados dois elementos a e b. O par ordenado (a; b) é de definido quando determinamos que a é 
o primeiro elemento e b o segundo elemento. Por exemplo, par ordenado (3; 7). Logo 3 é a primeira 
coordenada e 7 a segunda coordenada. O par ordenado (3; 7) é diferente do par ordenado (7; 3). Os 
pares ordenados (a; b) e (c; d) serão iguais quando; (a; b) = (c; d) ó a = c e b = d.
2) Dados os conjuntos A e B, o produto cartesiano dos conjuntos A e B será o conjunto A x B, assim 
definido:
A x B = {(a; b); a∈A e b∈B}.
Exemplos:
1) Consideremos os conjuntos A = {x∈R/1 ≤ x ≤ 5} e B = {x∈R/ 2 ≤ x ≤ 4}. Então AxB está 
representada graficamente a seguir: 
4
2
1 5
AxB
Figura 6 
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Unidade I
2) Consideremos os conjuntos C = {n∈N/1 ≤ n ≤ 5} e B = {n∈N/ 2 ≤ n ≤ 4}. Então, AxB = {(1,2); 
(1,3); (1,4); (2,2); (2,3); (2,4); (3,2); (3,3); (3,4); (4,2); (4,3); (4,4); (5,2); (5,3); (5,4)} e está representada 
graficamente a seguir: 
4
2
1 5
CxD
Figura 7 
• Considere A e B dois conjuntos. 
• Uma função é uma regra que associa a cada elemento x∈A, um elemento f(x)∈B. 
• O conjunto A é denominado domínio da função f e simbolizaremos por D(f). 
• O conjunto B é denominado contradomínio da função f. 
• Representação simbólica de uma função de A em B, sendo x∈A.
f: A → B
x → f(x).
• Se E⊂A, chamamos de imagem de E o conjunto f(E) = {f(x) : x∈E}.
A
f
B
E F(E)
f(x)x
Figura 8 
• Similarmente, se H⊂B, chamamos de imagem inversa de H = f(E) o conjunto f H−1( )= {x : f(x) ∈ H}.
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ANÁLISE MATEMÁTICA
A
f
f-1
B
E H
f(x)x
Figura 9 
• Se f(A) = B, isto é, se B = H dizemos que f é sobrejetiva (ou sobre). 
• Dizemos que f é injetiva (ou biunívoca, ou um a um) quando, ∀a,a0 ∈ D(f) e f(a) = f(a0) então a = 
a0. Outra forma de enunciar que f é injetiva é a seguinte: ∀a,a0 ∈ D(f), se a ≠ a0 então f(a) ≠ f(a0)
• Se f é injetiva e sobre ao mesmo tempo, dizemos que f é bijetiva ou é uma bijeção. 
• Dizemos que g : B → A é a função inversa de f se g(f(x)) = x para todo ∀x∈A, f(g(y)) = y para 
todo ∀y∈B. Quando a inversa existir, denotamos a inversa de f por f-1. Dizemos que f é injetiva 
(ou biunívoca, ou um a um), isto é, os pares ordenados da função f deverão pertencer à função 
inversa f-1 da seguinte maneira: (x,y) ∈ f-1 (y,x) ∈ f.
• Dadas duas funções:
f: X → Y e g : Y → Z, definimos a composição de funções g º f: X→ Z como sendo 
(g º f)(x) := g(f(x)), ∀x ∈ D(f).
Exemplo: 
Vamos mostrar que f(A1 ∩ A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2).
Resolução:
Seja y∈f(A1∩A2), logo existe x∈A1∩A2, tal que y = f(x). 
Como x∈A1, então y = f(x)∈f(A1) e, como x∈A2, então y = f(x)∈f(A2), portanto y∈f(A1)∩f(A2).
 Lembrete
Atenção: pode ocorrer de os conjuntos não serem os mesmos! 
Basta que f(A1∩A2)⊂f(A1)∩f(A2). 
Segue um exemplo algébrico do que acabamos de expor: 
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Unidade I
Tomemos: f(x) = x2, A1 = {x∈R : −1 ≤ x ≤ 0} e A2 = {x∈R : 0 ≤ x ≤ 2}, então, por um lado: A1∩A2 = {0}, 
logo f(A1∩A2) = {0}. Por outro lado, temos: f(A1) = {y∈R : 0 ≤ y ≤ 1}, f(A2) = {y∈R : 0 ≤ y ≤ 4} e 
f(A1∩A2) = {y∈R : 0 ≤ y ≤ 1}.
Note que: f(A1∩A2)⊂ f(A1)∩f(A2).
4 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS E ENUMERÁVEIS E NÃO ENUMERÁVEIS
Cantor, ao investigar conjuntos infinitos, construiu o conceito de equivalência de conjuntos, que 
posteriormente se mostrou extremamente relevante para a matemática. Para Cantor, dois conjuntos são 
equivalentes, ou tem mesma cardinalidade, ou tem mesma potência, quando é possível estabelecer 
uma correspondência que leva os elementos distintos de um conjunto em elementos distintos do outro. 
Isto é, todos os elementos dos dois conjuntos são objetos dessa correspondência, ou seja, quando há 
uma bijeção entre os dois conjuntos. Graças à noção de equivalência desenvolvida por Cantor, que 
propiciou a abordagem abstrata dos números naturais.
A nossa intenção, no que se refere ao número de elementos de um conjunto, é apenas distinguir 
quatro tipos de conjuntos: os finitos, os enumeráveis (contável), os infinitos e os não enumeráveis. A 
noção de conjunto enumerável está diretamente ligada ao conjunto dos números naturais. É o conjunto 
dos números naturais que usamos na comparação e contagem dos conjuntos finitos. 
Se X é finito ou se existe uma bijeção entre X e os números naturais (N), ou seja, entre X e {1,2,...,n} 
para algum n ∈ N.
Caso X não seja finito, o dizemos infinito. 
Se X é finito ou se existe uma bijeção entre X e N, dizemos que X é enumerável.
 Observação
Podemos comparar dois conjuntos finitos (um com o outro) do seguinte 
modo: contamos os elementos do primeiro conjunto e o comparamos com 
os elementos do segundo conjunto. No caso de ambos os conjuntos terem o 
mesmo número de elementos, podemos estabelecer uma correspondência 
biunívoca, isto é, estabelecer uma correspondência que associe cada 
elemento do primeiro conjunto a um elemento e somente um elemento do 
segundo conjunto e vice-versa. 
Vale destacar que: todo subconjunto de um conjunto finito é finito. 
Deste modo, todo subconjunto de um conjunto enumerável é finito 
ou enumerável. A união de enumeráveis de uma família de conjuntos 
enumeráveis é enumerável. 
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ANÁLISE MATEMÁTICA
Dizemos que um conjunto é infinito quando nunca podemos parar decontar seus elementos até que todos sejam contados, ou seja, quando ele 
não é finito. Assim, se temos conjunto A finito, e B é conjunto infinito, não 
existe uma correspondência biunívoca entre A e B. 
Em termos simbólicos, temos:
Seja ln = {1,2,3,4,,...,,n}e um conjunto X não vazio. Dizemos que um conjunto X é finito se 
podemos estabelecer uma bijeção entre X e algum ln, isto é, se existe uma bijeção f: ln → X para algum 
n∈N, neste caso, dizemos que X tem n elementos e o conjunto X pode ser escrito da forma 
X = {f(1), f(2), . . . , f(n)}. Quando não é possível estabelecer uma bijeção entre X e algum ln 
dizemos que X é infinito, e um conjunto infinito pode ser enumerável ou não. Convencionamos 
que o conjunto vazio é finito e tem 0 elementos.
Exemplos:
• Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6} é finito, e, portanto, enumerável. O número de elementos de Y, n(Y) = 6.
• B = { } é finito, e, portanto, enumerável. O número de elementos de B, n(B) = 0.
• X = {2, 4, 6, 8, ... } é enumerável, pois f: N → X definida por f(n) = 2n é uma bijeção entre X e N. 
Ou seja, o conjunto dos números naturais pares é uma bijeção. Logo é enumerável.
• O conjunto Y = {1, 3, 5, 7} é enumerável, pois se f: N → Y, com f(n)=2n+1 é uma bijeção entre Y 
e N. Ou seja, o conjunto dos números naturais ímpares é uma bijeção. Logo é enumerável.
Refletindo sobre o infinito: Hotel de Hilbert ou um hotel com infinitos quartos
Imagine um hotel com infinitos quartos, o quarto número 1, o quarto número 2, o 
número 3, o quarto número 4, o quarto número n e assim por diante. Imagine agora que 
esse hotel está lotado. 
Chega ao hotel um novo hóspede; como seria possível (teoricamente) alojá-lo? 
Se fosse um hotel comum, num hotel finito não haveria jeito. Mas no hotel infinito basta 
pedir a cada hóspede o favor de se mudar para o quarto ao lado. Deste modo, a recepcionista 
solicita aos hóspedes do quarto 1 que passem para o quarto 2, os do 2 passam para o quarto 
3 e assim por diante. O quarto 1 fica vago para receber o hospede recém-chegado. 
Fantástico, não? Esta situação é conhecida como Paradoxo do Hotel de Hilbert, e foi 
criada pelo alemão David Hilbert (1862–1943). 
Agora responda você, caro aluno: e se chegasse no Hotel infinito, já lotado, um ônibus 
infinito de uma excursão, trazendo infinitos novos hóspedes? Será que você conseguiria 
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Unidade I
acomodar (teoricamente) todos os infinitos executivos, cada um em um quarto, sem 
desalojar os que já estão no hotel?
A solução para esta situação seria solicitar à recepcionista que providencie a seguinte 
mudança de quarto dos hospedes atuais: cada hóspede poderia mudar de quarto de forma 
que o número de seu novo quarto seja o dobro do número de seu quarto atual. Assim, o 
hóspede do quarto 1 passaria ao quarto 2, o do quarto 2 passaria para o quarto 4, o do 
quarto 3 passaria para o quarto 6, e assim por diante. A tabela a seguir ajudaria alguns 
hóspedes a encontrarem seus novos quartos: 
Tabela 4 
Número do quarto
 Em qual o hóspede está Para onde o hóspede vai
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
6 12
 
N 2n
 
Como ilustramos na tabela, com a nova distribuição dos hóspedes pelos quartos, 
todos os quartos com números ímpares ficarão vagos. Você sabe que o conjunto 
dos números ímpares são infinitos! Neles cabem todos os novos hóspedes que 
chegam no ônibus infinito! 
Exemplos:
• O conjunto dos inteiros é enumerável uma vez que a função f: N → Z , f é definida por f(1) = 0, 
f(2n) = n e f(2n + 1) = −n é uma bijeção. Ou seja, o conjunto dos números inteiros é uma bijeção. 
Logo é enumerável.
A seguir apresentamos alguns resultados importantes sobre conjuntos finitos e infinitos e 
enumeráveis e não enumeráveis. Não iremos demonstrá-las, apenas desejamos que você, caro 
aluno, os compreenda intuitivamente e guarde-os em sua mente e no seu coração. Poesia, ou falta 
de poesia à parte; os resultados que apresentamos a seguir são fundamentais para compreender 
a cardinalidade dos números racionais e reais. Segundo Cantor, dois conjuntos, A e B, têm a 
mesma cardinalidade quando é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre os 
elementos de A e os elementos de B. Isso equivale a dizer que existe uma bijeção entre A e B.
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Será que todo conjunto numérico infinito é enumerável? 
Veremos nos exemplos a seguir que o conjunto dos números racionais é enumerável, enquanto 
o conjunto dos números reais é não enumerável. Em 1874, Cantor surpreendeu a comunidade de 
matemáticos de sua época com uma pesquisa muito importante. Ele mostrou que o conjunto dos 
números reais tem cardinalidade diferente da do conjunto dos números naturais.
Os conjuntos numéricos serão devidamente estudados ainda nesta unidade.
• Se g: X → Y é uma bijeção e um desses dois conjuntos é finito, então, o outro também será 
finito. De fato, se X é finito, então, existe uma bijeção tal que f: ln → X, então gºf: ln → Y será 
uma bijeção e, portanto Y é finito.
X
f g
Y N
h = gºf
Figura 10 
Como f e g são injetivas, o mesmo ocorre com h. Portanto: 
H: X → h(X)⊂N é uma bijeção. 
Como h(X)⊂N, é finito (enumerável). Logo, X é enumerável.
• Todo subconjunto de N é contável. Consequentemente, todo subconjunto de um conjunto 
enumerável é contável.
• Seja f: X → Y onde X e Y são conjuntos infinitos.
Se Y é enumerável e f injetiva, então X é enumerável.
Se X é enumerável e f sobrejetiva, então Y é enumerável.
• O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é também enumerável. 
• Nem todo conjunto infinito é enumerável.
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Unidade I
Exemplos importantíssimos:
• Um exemplo que une o terceiro e o quarto resultado é o seguinte: o conjunto dos números 
racionais (Q) que é enumerável, pois a função 
f : Z × N → Q 
f(m, n) = m/n é sobrejetiva.
Os conjuntos Z e N já foram apresentados como enumeráveis.
Fato: o conjunto R dos números reais é não enumerável! Para comprovar este fato, tem-se que 
mostrar que o intervalo ]0, 1[ não é enumerável; esta demonstração é feita por redução ao absurdo. 
Dica: para provar tal fato, precisamos mostrar que I = {x∈R: 0 ≤ x ≤ 1} não é enumerável. Essa 
demonstração fica sob sua responsabilidade, caro aluno.
• O conjunto dos números irracionais é infinito e não enumerável. 
O primeiro número irracional com o qual tivemos contato em nossa história com estudantes, na 
disciplina de Matemática, foi muito provavelmente o número p4, ao aprendermos qual era o valor do 
comprimento de uma circunferência. Depois, quando aprendemos o significado dos radicais, passamos 
a ter experiências matemáticas com números como 2 , entre outras a , quando r não representava 
o quadrado de um número real. Depois, vieram as variações envolvendo de apn , por entendermos a 
simbologia apn como sendo uma forma de representar uma fração irredutível no expoente da uma 
base a. 
E, provavelmente finalizando nossa experiência escolar com os números irracionais, o número 
de Euler (e = 2,7182818284590452353602874...), presente quando estudamos logaritmo neperiano, 
problemas envolvendo juros compostos (em cálculo diferencial e integral).
Sua experiência com os números irracionais pode ter lhe deixado a sensação de que eles são 
finitos. 
Enquanto números envolvendo radicais podem ser expressos como uma raiz de um polinômio, os 
números e p não podem ser raiz de polinômios de coeficientes inteiros: diz-se, então, que são irracionaistranscendentes.
4 Obtemos o valor de p ao efetuarmos a divisão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro.
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ANÁLISE MATEMÁTICA
 Saiba mais
Para ver algumas aplicações interessantes sobre número de Euler e uma 
história sobre ele, acesse:
PFÜTZENREUTER, E. Um exemplo da importância do número de Euler. 
[s.d.]. Disponível em: <http://epx.com.br/artigos/numeroe.php>. Acesso em: 
5 mar. 2014.
___. Outro exemplo da importância do número de Euler. [s.d.]. <http://
epx.com.br/artigos/numeroe2.php>. Acesso em: 5 mar. 2014.
CUNHA. I. M. S. e: a história e aplicação de um número. Universidade 
Católica de Brasília, [s.d.]. Disponível em: <http://www.ucb.br/
sites/100/103/TCC/22005/IsmaeteMariadeSousaCunha.pdf>. Acesso 
em: 5 mar. 2014.
Para ver uma das mais belas demonstrações matemáticas, a de que o 
número de Euler é um irracional, visite os sites: 
O NÚMERO e: número de Neper. [s.d.]. Disponível em: <http://www.
educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/numeroe.htm>. Acesso em: 5 mar. 2014.
Para aprender sobre a irracionalidade e a transcendência dos números 
p e e, acesse:
POMBO, O. Cantor. Material de Estudo do Seminário Temático, Licenciatura 
em Ensino da matemática – FCUL, 1999-2004. Disponível em: <http://www.
educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/cantor/teoriamatem.htm>. Acesso 
em: 5 mar 2014. 
SALLES, T.; DONOLATO, D.; PIRES, R. A irracionalidade e a transcendência 
dos números e e p. Instituto de Matemática e Estatística - Unicamp, 3 
out. 2007. Disponível em: <http://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/
MONOGRAFIAS/Transcendencia.pdf>. Acesso em: 5 mar 2014.
Números reais
Nessa seção, temos como objetivo fazer um esboço da construção do conjunto dos números 
reais, tomando como base os números racionais, usando como método os cortes de Dedekind. Para 
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Unidade I
tanto, admito que você, aluno, conheça a aritmética dos números naturais, dos números inteiros e dos 
números racionais. Simbolicamente, temos os seguintes conjuntos: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... , n, ...}; 
Z n    
 
0 1 2 3, , , , ..., , ... e Q
p
q
q p q Z  






; , ,0 .
Nos conjuntos racionais, são definidas as operações a seguir:
Adição: a cada par a,b ∈ Q, associa-se a um único valor racional a+b denominado de soma de a com 
b, satisfazendo as seguintes condições:
• a+b=b+a, ∀a,b ∈ Q => comutatividade;
• a+(b+c)= (a+b)+c, ∀a,b,c ∈ Q => associatividade;
• existe um racional 0; 0+a=a ∀a ∈ Q => elemento neutro de Q para a adição (o zero);
• ∀a ∈ Q existe -a ∈ Q denominado oposto de a, tal que, a+(-a)=0 => elemento oposto.
Multiplicação: a cada par a,b ∈ Q, associa-se a um único valor racional ab denominado de produto 
de a e b, satisfazendo as seguintes condições:
• ab=ba, ∀a,b ∈ Q => comutatividade;
• a(bc)= (ab)c, ∀a,b,c ∈ Q => associatividade;
• a(b+c)=ab+ac, ∀a,b,c ∈ Q => propriedade distributiva;
• existe um racional 1; 1a=a ∀a ∈ Q => elemento neutro de Q para a multiplicação (a unidade de Q);
• ∀a ∈ Q, com a ≠ 0 existe a-1 ∈ Q denominado oposto de a, tal que, aa-1 = 1 => elemento inverso.
O conjunto Q, munido das operações que acabamos de apresentar, é um corpo. Geometricamente, 
o corpo Q é representado por meio de pontos em uma reta, em que um desses pontos é escolhido 
para ser a origem, que é representado pelo racional 0. Adotamos nessa reta um sentido e uma unidade 
de medida. Existe no corpo Q uma relação de ordem a ≤ b, denominada menor ou igual; assim, a é 
menor ou igual a b, deste modo, Q é um corpo ordenado. É fato que os dois racionais a e b são valores 
quaisquer, e sabemos que sempre vai existir um racional c-1 ∈ Q tal que c
a b


2
. Esses infinitos pontos 
construídos dessa forma não são suficientes para preencher todos os pontos da reta.
Para os gregos, a régua e o compasso eram instrumentos divinos com os quais conseguiam 
representar geometricamente qualquer número. A dificuldade dos gregos, em termos matemáticos, 
inicia-se quando eles necessitam construir um cubo de aresta x cujo volume seja o dobro de um 
cubo conhecido de aresta a. Em termos algébricos, o problema fica equacionado do seguinte 
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ANÁLISE MATEMÁTICA
modo: x a3 32= . Se tomarmos a=1, temos x3 2= . Verificou-se a impossibilidade de realizar tal 
operação com os objetos divinos, constatando-se que não existe solução em Q para x3 2= .
Esse fato serviu de motivação para buscar uma forma de completar o corpo Q, construindo o que 
hoje chamamos de corpo dos reais (a reta).
A versão plana desse problema que acabamos de expor é o nosso desafio para iniciar o estudo dos 
números irracionais. 
Veja como fica o problema grego planificado:
Desejamos o lado de um quadrado que possui área igual ao dobro do lado de quadrado conhecido. 
Considere um quadrado de lado a, e seja x o lado do quadrado que se deseja calcular. Tem-se 
x a2 22= , supondo-se a=1 (uma unidade), o que não particulariza o problema. Obtemos x2 2= . Vale 
lembrar que no momento histórico em que esse problema foi proposto, o conjunto numérico mais 
amplo era o corpo dos racionais. E a equação x2 2= não possui solução nos racionais.
Faremos tal demonstração por redução ao absurdo. Vamos supor que x é um racional, logo, pode 
ser escrito como o quociente de dois outros racionais que sejam primos entre si. Iremos chegar a uma 
contradição, que será a de que x é par, isto é, os números usados para compor o quociente não são 
primos entre si.
Passando à demonstração: vamos supor que existisse uma solução no corpo dos racionais. Logo, 
existiria um racional x
p
q
q , 0 . Considere que p,q não possui divisor comum, tal que p q2 22= , p2 é 
par, pois é múltiplo de 2, isto é, p=2m, m ∈ Z, consequentemente:
4 2 22 2 2 2m q ou p q= =
Provando que p2 é par, logo, q é par. Portanto, p e q são pares, o que conduz a uma contradição, 
pois, por hipótese, eles são primos entre si, ou seja, não possuem divisores comuns. Logo, conclui-se que 
a equação x2 2= não possui solução no corpo dos racionais.
Os números reais
O estudo da teoria dos números reais é o de completar o conjunto dos números racionais criando 
um sistema contínuo de números.
A construção do conjunto dos números reais pode ser feita utilizando-se diversos métodos. Vamos 
fazer a construção utilizando a noção de corte no conjunto dos números racionais. A noção de corte foi 
introduzida por Dedekind.
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Unidade I
Dedekind se interessou no problema de números irracionais desde quando dava aulas de cálculo em 
1858. Para ele, o conceito de limite deveria ser desenvolvido através da aritmética apenas, sem usar a 
geometria como guia. Ele se indagava sobre o que há na grandeza geométrica contínua que a distingue 
dos números racionais.
Dedekind concluiu que a essência da continuidade de um segmento de reta não se deve a uma vaga 
propriedade de ligação mútua, mas a uma propriedade oposta – a natureza da divisão do segmento em 
duas partes por um ponto dado. Se os pontos de uma reta se dividem em duas classes, tais que todos os 
pontos da primeira estão à esquerda de todos os pontos da segunda, então, existe um, e um só, ponto 
que realiza essa divisão em duas classes, isto é, que separa a reta em duas partes.
Dedekind viu que o domínio dos números racionais pode ser estendido de modo