ASS LTI tempo discreto

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Análise de Sinais e Sistemas
Prof. Bernardo Caldas
14/09/2018 1ASS 03 - Bernardo Caldas
• “Por menor que seja seu tempo de estudo, ESTUDE.”
• “Não tenha medo de crescer lentamente, tenha medo apenas de ficar parado.”
• “Você deve estudar para “aprender” e “não” para passar de ano.”
• “Eu só sei que nada sei.” - Sócrates
• Minha meta é formar pensadores. O Brasil precisa de pensadores.
• “É desonroso para os homens sábios desperdiçarem seu tempo como escravos no 
trabalho de cálculo, que poderia ser relegado, com segurança, a qualquer um que 
usasse uma máquina”. (Leibnitz, 1646-1716)
14/09/2018 2ASS 03 - Bernardo Caldas
Análise no domínio do tempo em 
sistemas de tempo discretosistemas de tempo discreto
Prof. Bernardo Caldas
14/09/2018 3ASS 03 - Bernardo Caldas
Índice
• Sistemas LTI em tempo discreto
14/09/2018 4ASS 03 - Bernardo Caldas
Introdução
• Todo raciocínio aplicado no caso discreto é 
aplicado de forma análoga ao caso contínuo.
• E de forma mais rápida....• E de forma mais rápida....
• https://www.integral-calculator.com/
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 5
Introdução
• Entre os diversos métodos para descrever a
relação entre a entrada e saída de sistemas
lineares invariantes no tempo, destacaremos a
sua resposta ao impulso.
• A resposta ao impulso é a resposta do sistema
a uma entrada impulsiva δ(t) aplicada em t=0
ou n=0, com todas as condições iniciais zero
para t=0 ou n=0.
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 6
A resposta ao impulso
• Se h(t) é a resposta de um sistema LCIT (linear, contínuo,
invariante no tempo) a entrada δ(t), então h(t-T) é a resposta
deste mesmo sistema a entrada δ(t-T).
• Consequentemente, se a entrada em um sistema linear for
expressa como uma superposição ponderada de impulsosexpressa como uma superposição ponderada de impulsos
deslocado no tempo, a saída será uma superposição
ponderada da resposta do sistema a cada impulso
deslocado no tempo.
• Esta superposição ponderada é chamada de soma de
convolução (tempo discreto) e integral de convolução em
tempo contínuo.
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 7
A resposta ao Impulso
• A resposta ao impulso caracteriza um sistema
LTI por: dada uma entrada x qualquer, pode-se
conhecendo-se h, determinar a saída y. Essa
operação é denominada convolução.
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 8
Soma de Impulsos
• Mostre que o sinal abaixo, pode ser escrito
como uma soma de impulsos.






≠
=
=
0,0
0,1][
n
n
nδ
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 9
p[-3] = 3.δ[-3+3] + 2.δ[-3+1] + 4.δ[-3-2] – 1.δ[-3-3] 
p[-3] = 3.δ[0] + 2.δ[-2] + 4.δ[-5] – 1.δ[-6] 
Modelos úteis em tempo discreto
• Descreva o sinal x[n] por uma única expressão válida 
para todo n.






≠
=
=
0,0
0,1][
n
n
nδ






<
≥
=
0,0
0,1][
n
n
nu
14/09/2018 10ASS 03 - Bernardo Caldas
n->5 9
 < 0,0 n
Modelos úteis em tempo discreto
• Existem diversas formas de se montar esse sinal.
n->5 9






≠
=
=
0,0
0,1][
n
n
nδ






<
≥
=
0,0
0,1][
n
n
nu
14/09/2018 11ASS 03 - Bernardo Caldas
n->5 9
Primeiro intervalo de n=0 a n=4 => x1[n]= n(u[n]-u[n-5])
Segundo intervalo de n=5 a n=10 =>x2[n]= 4(u[n-5]-u[n-11])
Terceiro intervalo para n=8 =>x3[n] = 2δ[n-8] 
x[n]= x1[n] + x2[n] – x3[n]
x[n]= n(u[n]-u[n-5]) + 4(u[n-5]-u[n-11]) - 2δ[n-8] para todo n.
 < 0,0 n
Soma de Impulsos
• Mostre que o sinal abaixo, pode ser escrito
como uma soma de impulsos.
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Soma de Impulsos
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 13
Soma de Impulsos
• Todo sinal discreto limitado pode ser escrito
como uma soma ponderada de impulsos
deslocados no tempo:
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 14
∑
∞
−∞=
−=
k
knkxnx ][][][ δ
deslocamento
Linearidade
• Relembrando...
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 15
Invariância no tempo
• P/h[n] que tende a 0 no infinito
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 16
Soma de Impulsos (problema)
• Aplicando linearidade e invariância no tempo
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 17
• É possível concluir que a saída é uma soma
ponderada das saídas devidas a cada entrada,ou
seja, um somatório de respostas ao impulso
deslocadas e ponderadas
Somatório de convolução
• Generalizando para qualquer sinal discreto limitado:
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 18
• Um sistema LTI é completamente caracterizado por sua
resposta ao impulso unitário.
Somatório de convolução
Somatório de convolução
• Resumo das operações
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 19
Somatório de convolução
Exemplo 1
• Suponha que um sistema H do tipo LTI tenha
resposta ao impulso abaixo. Determine a saída deste
sistema em resposta à entrada x[n]
-1 0,00
0 1,00
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 20
0 1,00
1 0,60
2 0,36
3 0,22
4 0,13
5 0,08
6 0,05
7 0,03
8 0,02
9 0,01
10 0,01
11 0,00
Somatório de convolução
Exemplo 1
-1 0,00
0 1,00
1 0,60
2 0,36
3 0,22
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 21
3 0,22
4 0,13
5 0,08
6 0,05
7 0,03
8 0,02
9 0,01
10 0,01
11 0,00
Somatório de convolução
Exemplo 1
• Resolver graficamente a resolução do exemplo
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 22
• Resolver graficamente a resolução do exemplo
utilizando a interpretação: rebate, desloca,
multiplica e soma.
• x[n]=1.δ[n] - 1. δ[n-2] + 2. δ[n-5] e
• y[n]=1h[n] + 0,6h[n-1] + 0,36h[n-2] + 0,22h[n-3]+........
Somatório de convolução
Exemplo 1
-1 0,00
0 1,00
1 0,60
2 0,36
3 0,22
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 23
Rebater 
Deslocar
3 0,22
4 0,13
5 0,08
6 0,05
7 0,03
8 0,02
9 0,01
10 0,01
11 0,00
Somatório de convolução
Exemplo 1 p/n=-5
-1 0,00
0 1,00
1 0,60
2 0,36
3 0,22
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 24
3 0,22
4 0,13
5 0,08
6 0,05
7 0,03
8 0,02
9 0,01
10 0,01
11 0,00
Somatório de convolução
Exemplo 1 p/n=-4
-1 0,00
0 1,00
1 0,60
2 0,36
3 0,22
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 25
3 0,22
4 0,13
5 0,08
6 0,05
7 0,03
8 0,02
9 0,01
10 0,01
11 0,00
Somatório de convolução
Exemplo 1 p/n=-3
-1 0,00
0 1,00
1 0,60
2 0,36
3 0,22
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 26
3 0,22
4 0,13
5 0,08
6 0,05
7 0,03
8 0,02
9 0,01
10 0,01
11 0,00
Somatório de convolução
Exemplo 1 p/n=-2
-1 0,00
0 1,00
1 0,60
2 0,36
3 0,22
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 27
3 0,22
4 0,13
5 0,08
6 0,05
7 0,03
8 0,02
9 0,01
10 0,01
11 0,00
Somatório de convolução
Exemplo 1 p/n=-1
-1 0,00
0 1,00
1 0,60
2 0,36
3 0,22
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 28
3 0,22
4 0,13
5 0,08
6 0,05
7 0,03
8 0,02
9 0,01
10 0,01
11 0,00
Somatório de convolução
Exemplo 1 p/n=0
-1 0,00
0 1,00
1 0,60
2 0,36
3 0,22
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 29
3 0,22
4 0,13
5 0,08
6 0,05
7 0,03
8 0,02
9 0,01
10 0,01
11 0,00
Somatório de convolução
Exemplo 1 p/n=1
-1 0,00
0 1,00
1 0,60
2 0,36
3 0,22
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 30
3 0,22
4 0,13
5 0,08
6 0,05
7 0,03
8 0,02
9 0,01
10 0,01
11 0,00
Somatório de convolução
Exemplo 1 p/n=2
-1 0,00
0 1,00
1 0,60
2 0,36
3 0,22
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 31
3 0,22
4 0,13
5 0,08
6 0,05
7 0,03
8 0,02
9 0,01
10 0,01
11 0,00
Somatório de convolução
Exemplo 1 p/n=3
-1 0,00
0 1,00
1 0,602 0,36
3 0,22
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 32
3 0,22
4 0,13
5 0,08
6 0,05
7 0,03
8 0,02
9 0,01
10 0,01
11 0,00
Somatório de convolução
Exemplo 1 p/n=4
-1 0,00
0 1,00
1 0,60
2 0,36
3 0,22
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 33
3 0,22
4 0,13
5 0,08
6 0,05
7 0,03
8 0,02
9 0,01
10 0,01
11 0,00
Somatório de convolução
Exemplo 1 p/n=5
-1 0,00
0 1,00
1 0,60
2 0,36
3 0,22
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 34
3 0,22
4 0,13
5 0,08
6 0,05
7 0,03
8 0,02
9 0,01
10 0,01
11 0,00
Somatório de convolução
Exemplo 1 p/n=6
-1 0,00
0 1,00
1 0,60
2 0,36
3 0,22
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 35
3 0,22
4 0,13
5 0,08
6 0,05
7 0,03
8 0,02
9 0,01
10 0,01
11 0,00
Somatório de convolução
Exemplo 1 p/n=7
-1 0,00
0 1,00
1 0,60
2 0,36
3 0,22
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 36
3 0,22
4 0,13
5 0,08
6 0,05
7 0,03
8 0,02
9 0,01
10 0,01
11 0,00
Somatório de convolução
Exemplo 1 p/n=8
-1 0,00
0 1,00
1 0,60
2 0,36
3 0,22
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 37
3 0,22
4 0,13
5 0,08
6 0,05
7 0,03
8 0,02
9 0,01
10 0,01
11 0,00
Somatório de convolução
Exemplo 1 p/n=9
-1 0,00
0 1,00
1 0,60
2 0,36
3 0,22
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 38
3 0,22
4 0,13
5 0,08
6 0,05
7 0,03
8 0,02
9 0,01
10 0,01
11 0,00
Somatório de convolução
Exemplo 1 p/n=10
-1 0,00
0 1,00
1 0,60
2 0,36
3 0,22
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 39
3 0,22
4 0,13
5 0,08
6 0,05
7 0,03
8 0,02
9 0,01
10 0,01
11 0,00
Somatório de convolução
Exemplo 1 RESUMO
x[n] 1 0 -1 0 0 2
h[n] 0,08 0,13 0,22 0,36 0,6 1
y[0] 1
h[n] 0,08 0,13 0,22 0,36 0,6 1
y[1] 0,6 0
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 40
y[1] 0,6 0
h[n] 0,08 0,13 0,22 0,36 0,6 1
y[2] 0,36 0 -1
h[n] 0,08 0,13 0,22 0,36 0,6 1
y[3] 0,22 0 -0,6 0
Somatório de convolução
Exemplo 1 RESUMO
x[0] x[1] x[2] x[3] x[4] x[5]
x[n] 1 0 -1 0 0 2
h[n] 1 0,6 0,36 0,22 0,13 0,08
1 0 -1 0 0 2
0,6 0 -0,6 0 0 1,2
0,36 0 -0,36 0 0 0,72
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 41
0,22 0 -0,22 0 0 0,44
0,13 0 -0,13 0 0 0,26
0,08 0 -0,08 0 0 0,16
1 0,6 -0,64 -0,38 -0,23 1,86 1,07 0,64 0,44 0,26 0,16
y[n] y[0] y[1] y[2] y[3] y[4] y[5] y[6] y[7] y[8] y[9] y[10]
Somatório de Convolução
Método gráfico
• Se x[n] tiver comprimento L1 e h[n] tiver
comprimento L2, então y[n]=x[n]*h[n] terá
comprimento...L=L1+L2-1
14/09/2018 42ASS 03 - Bernardo Caldas
• Os valores diferentes de zero de x[n] pertencerem ao
intervalo [Mx, Nx] e os valores diferentes de zero de
h[n] pertencerem ao intervalo [Mh, Nh], então os
valores diferentes de zero de y[n] estão confinados
ao intervalo [Mx+Mh, Nx+Nh]
Somatório de Convolução
Método gráfico – Exemplo 2
• Calcular y[n]=x[n]*h[n] das sequências e fazer o gráfico.
3
2
1
x[n]
6
y[n]
14/09/2018 43ASS 03 - Bernardo Caldas
-2 -1 0
1
1 2 3 4 5 6 7 8 n
-2 -1 0
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8
h[n]
n
-2 -1 0
6
4
2
1 2 3 4 5 6 7 8 n
Resultado final de x[n]*h[n]=y[n]
Somatório de Convolução
Método gráfico – Exemplo 2
Número de elementos;
3+3-1=5
Primeiro índice de Kx=1
Primeiro índice de Kh=-1
Primeiro índice de y=1+(-1)=0
[1 : 3] x<> 0
[-1 : 1] h<>0
[0 : 4] y<>0
14/09/2018 44ASS 03 - Bernardo Caldas
x=[1 1 1];
h=[1 2 3];
n=0:4;
y=conv(x,h);
stem(n,y);
1 1 1
1 2 3 
-------------------------
1 1 1 0 0
0 2 2 2 0
0 0 3 3 3
-------------------------
1 3 6 5 3
x
Somatório de Convolução
Método gráfico – Exemplo 3
demaisnh
nnh
nnh
,0][
0,2][
1,1][
=
==
±=
demaisnx
nnx
nnx
nnx
,0][
2,2][
1,3][
0,2][
=
=−=
==
==
x[n] h[n]
Número de elementos;
3+3-1=5
Primeiro índice de Kx=0
Primeiro índice de Kh=-1
Primeiro índice de Y=0+-1=-1
[0 : 2] X<> 0
[-1 : 1] H<>0
[-1 : 3] Y<>0
14/09/2018 45ASS 03 - Bernardo Caldas
-2 -1 0 1 2 3 n
2
3
-2
x[n]
-2 -1 0 1 2 3 n
2
1
h[n]
1
]2[2]1[3][2][
]2[2]1[3][2][
−−−+=
−−−+=
nhnhnhny
nnnnx δδδ
Somatório de Convolução
Método gráfico – Exemplo 3
demaisnh
nnh
nnh
,0][
0,2][
1,1][
=
==
±=
demaisnx
nnx
nnx
nnx
,0][
2,2][
1,3][
0,2][
=
=−=
==
==
x[n] h[n]
Número de elementos;
3+3-1=5
Primeiro índice de Kx=0
Primeiro índice de Kh=-1
Primeiro índice de Y=0+-1=-1
[0 : 2] X<> 0
[-1 : 1] H<>0
[-1 : 3] Y<>0
14/09/2018 46ASS 03 - Bernardo Caldas
-2 -1 0 1 2 3 n
2
3
-2
x[n]
-2 -1 0 1 2 3 n
2
1
h[n]
1
]2[2]1[3][2][
]2[2]1[3][2][
−−−+=
−−−+=
nhnhnhny
nnnnx δδδ
>> x=[2 3 -2];
>> h=[1 2 1];
>> conv(x,h)
ans = 2 7 6 -1 -2
Somatório de Convolução
Exercícios
• Calcular y[n]=x[n]*h[n] das sequências e fazer o 
gráfico.
14/09/2018 47ASS 03 - Bernardo Caldas
... .
Somatório de Convolução
Exercícios
• Calcular y[n]=x[n]*h[n] das sequências.
• x[n]=[0 1 0 4 1 2 3 0 0] e h[n]=[ a data de seu nascimento ]
14/09/2018 48ASS 03 - Bernardo Caldas
X[0] A seta sempre representa x[0]
Somatório de convolução
Exercícios
• Suponha que um sistema H do tipo LTI tenha
resposta ao impulso abaixo. Determine a saída
deste sistema em resposta à entrada x[n]
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 49
Somatório de convolução
Exemplo 4
• Suponha que um sistema H do tipo LTI tenha resposta ao
impulso abaixo. Determine a saída deste sistema em resposta
à entrada x[n]
• Entrada como soma de impulsos ->
Saída como soma de respostas
ao impulso ponderadas e deslocadas --->
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 50
Somatório de convolução
Exemplo 4
• Desenhando as funções
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 51
x[0] e h=[0]
h[n] 1 1 1
x[n] 0,5 2
0,5 0,5 0,5
2 2 2
y[n] 0,5 2,5 2,5 2
Somatório de convolução
Exercícios
• Suponha que um sistema H do tipo LTI tenha
resposta ao impulso abaixo. Determine a saída
deste sistema em resposta à entrada x[n]
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 52
Somatório de convolução
• No caso dos termos h[n] e x[n] tendendo para
o infinito...como no exemplo abaixo
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 53
Somatório de convolução
• O somatório de convolução pode ser dado
por:
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 54
Somatório de convolução
Exemplo 5
• Suponha que um sistema H do tipo LTI tenha
resposta ao impulso abaixo. Determine a saída
deste sistema em resposta à entrada x[n] para
n=5 e α=0,2n=5 e α=0,2
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 55
Somatório de convolução
Exemplo 5
x[0] e h=[0]
h[n] 1 1 1 1 1 1 ....
x[n] 1 0,2 0,04 0,008 0,0016 0,00032 ...
1 1 1 1 1 1
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04
0,008 0,008 0,008 0,008 0,008 0,008
0,0016 0,0016 0,0016 0,0016 0,0016 0,00160,0016 0,0016 0,0016 0,0016 0,0016 0,0016
0,00032 0,00032 0,00032 0,00032 0,00032 0,00032
y[n] 1 1,2 1,24 1,248 1,2496 1,24992 0,24992 0,04992 0,00992 0,00192 0,00032
y[0] y[1] y[2] y[3] y[4] y[5] y[6] y[7] y[8] y[9] y[10]
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 56
ANEXO
14/09/2018 ASS 03 - Bernardo Caldas 57
Representações em diagramas de blocos
14/09/2018 58ASS 03 - Bernardo Caldas
Representações em diagramas de blocos
14/09/2018 59ASS 03 - Bernardo Caldas
x[n] = depósito inicial
y[n] = saldo da conta
r = taxa de juros 
)1(_],[]1[][
][]1[)1(][
][]1[]1[][
racomnxnayny
nxnyrny
nxnrynyny
+==−−
+−+=
+−+−=
Saldo
anterior
Juros
s/saldoUm 
depósito
Representações em diagramas de blocos
y[n-2]
14/09/2018 60ASS 03 - Bernardo Caldas
][]2[
16
1]1[
4
1][
][]2[
16
1]1[
4
1][
nxnynyny
nxnynyny
+−−−−=
=−+−+
Representações em diagramas de blocos
w[n]
14/09/2018 61ASS 03 - Bernardo Caldas
O sistema usa
5 blocos de memória
- ]3[3/1]1[2/1]2[2][][
]3[3/1]1[2/1][][
]2[2][][
−+−−−+=
−+−−=
−+=
nynynxnxny
nynynwny
nxnxnw
Representações em diagramas de blocos
O sistema usa
4 blocos de memória
14/09/2018 62ASS 03 - Bernardo Caldas
Equações de sistemas em tempo discreto
A equação acima é um exemplo de equação diferença.
Ela pode ser escrita na forma de atraso ou de avanço.
][]1[]1[][ nxnrynyny +−+−=
14/09/2018 63ASS 03 - Bernardo Caldas
Para atraso, fazendo n=n-2....teremos
y[n-2] = y[n-3] + ry[n-3] + x[n-2]
Para avanço, fazendo n=n+2...teremos
y[n+2] = y[n+1] + ry[n+1] + x[n+2}
Equações de sistemas em tempo discreto 
(solução recursiva)
• Resolver interativamente a equação diferença com 
condição inicial y[-1]=16 e entrada causal x[n]=n2, 
começando com n=0. 
• Para n=0 teremos:
][]1[5,0][ nxnyny +−=
]0[]1[5,0]0[ +−= xyy
14/09/2018 64ASS 03 - Bernardo Caldas
• Para n=0 teremos:
• Para n=1 teremos:
• Para n=4 qual o valor de y[4]=????
80)16(5,0]0[
]0[]1[5,0]0[
=+=
+−=
y
xyy
51)8(5,0]1[
]1[]0[5,0]1[
2
=+=
+=
y
xyy
Equações de sistemas em tempo discreto 
(solução recursiva)
• Resolver interativamente a equação diferença com 
condição inicial y[-1]=2,y[2]=1 e entrada causal 
x[n]=n, começando com n=0. 
]1[2]2[][24,0]1[]2[ +−+=++−+ nxnxnynyny
14/09/2018 65ASS 03 - Bernardo Caldas
• Determine os três primeiros termos????
]1[2]2[][24,0]1[]2[ +−+=++−+ nxnxnynyny
Equações de sistemas em tempo discreto 
(solução recursiva)
• Resolver interativamente a equação diferença com 
condição inicial y[-1]=10 e entrada causal x[n]=2, 
começando com n=0. 
][][2]1[ nxnyny =−+
14/09/2018 66ASS 03 - Bernardo Caldas
• Determine os três primeiros termos????
][][2]1[ nxnyny =−+
Resposta h[n] ao impulso unitário
• Para determinar a resposta ao impulso unitário, consideramos 
a entrada x[n]=δ[n] e a saída y[n]=h[n]. O sistema fica sujeito 
as condições iniciais h[-1]= h[-2]= ... =h[-N]=0
• Determine a resposta ao impulso unitário da equação (forma 
interativa):
14/09/2018 67ASS 03 - Bernardo Caldas
interativa):
3]1[)0(5)0(16,0)5(6,0]1[,....1/
5]0[)1(5)0(16,0)0(6,0]0[
0]2[]1[....
][5]2[16,0]1[6,0][
][5]2[16,0]1[6,0][
=⇒=−−=
=⇒=−−
=−=−
=−−−−
=−−−−
hhnp
hh
hhcom
nnhnhnh
nxnynyny
δ
Obrigado
Prof. Bernardo Caldas
14/09/2018 68ASS 03 - Bernardo Caldas