Notas de aula 3 definição derivada CDI I_2-2014

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Notas de aula 3 – Cálculo Diferencial e Integral I – 2014/2º sem. – Profª. Danielle Gomes da Veiga. É vedada a reprodução total ou parcial deste 
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Notas de aula 3 de “Cálculo Diferencial e Integral I” – 2º semestre de 2014 
 
Assunto: Derivada 
 
Derivada 
• A reta tangente 
Seja ݂ uma função dado pelo gráfico a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consideremos ܲ = (ݔ଴	, ݂(ݔ଴)) e ܳ = (ݔ	, ݂(ݔ)) pontos pertencentes ao gráfico de ݂ e seja ݏ a reta 
que passa por P e Q. Dizemos que s é uma reta secante ao gráfico de ݂ (uma reta secante a uma 
curva é uma reta que "corta" a curva em mais de um ponto). 
Vamos calcular a inclinação da reta ݏ, ou seja, vamos calcular a tangente do ângulo ߙ. Quando 
estudamos função do 1º grau, vimos que tg ߙ é igual ao coeficiente angular da reta. Temos que: 
tg ߙ = ܥܱܥܣ =
Δݕ
Δݔ =
݂(ݔ) − ݂(ݔ଴)
ݔ − ݔ଴ 
	Observação:	 
• 	ΔݕΔݔ =
݂(ݔ) − ݂(ݔ଴)
ݔ − ݔ଴ 	é	o	coeϐiciente	angular	da	reta	secante ao gráfico de	݂	que	passa	pelos	 
	pontos	ܲ	e	ܳ. 	 
 
• 	ΔݕΔݔ 	também	é	chamado	de	ܶܽݔܽ	ܯé݀݅ܽ	݀݁	ܸܽݎ݅ܽçã݋	de ݕ=݂(ݔ)em	relação	a	ݔ. 
 
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Por exemplo, para calcularmos a velocidade média em um certo intervalo de tempo fazemos: 
ݒ௠ =
݀݅ݏݐâ݊ܿ݅ܽ	݌݁ݎܿ݋ݎݎ݅݀ܽ
ݐ݁݉݌݋	݃ܽݏݐ݋ 
Se ݏ = ݏ(ݐ) descreve o espaço percorrido em função do tempo, no intervalo ∆ݐ = ݐ − ݐ଴ temos 
∆ݏ = ݏ(ݐ) − ݏ(ݐ଴) e podemos escrever 
ݒ௠ =
∆ݏ
∆ݐ =
ݏ(ݐ) − ݏ(ݐ଴)
ݐ − ݐ଴ 
 
 
Agora vamos analisar o que acontece com a reta ݏ quando fazemos ݔ se aproximar de ݔ଴ tanto pela 
esquerda como pela direita: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso desse gráfico, observamos que a reta ݏ tende a uma posição limite: a reta ݐ. Neste caso, a 
reta ݐ é chamada de reta tangente ao gráfico de ݂ em ܲ, desde que essa reta não seja vertical. O 
coeficiente angular da reta ࢚ tangente ao gráfico de ࢌ em ࡼ = (࢞૙	, ࢌ(࢞૙)) é: 
 
	
	݉ = lim௫→௫బ
Δݕ
Δݔ = lim௫→௫బ
݂(ݔ) − ݂(ݔ଴)
ݔ − ݔ଴		
	 
 
Observação:		 
• 	݉ = lim௫→௫బ
Δݕ
Δݔ = lim௫→௫బ
݂(ݔ) − ݂(ݔ଴)
ݔ − ݔ଴ 	também	é	chamado	de	ܶܽݔܽ	ܫ݊ݏݐܽ݊ݐâ݊݁ܽ	݀݁	 
ܸܽݎ݅ܽçã݋	de ݕ=݂(ݔ)	em	relação	a	ݔ. 
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Por exemplo, para calcularmos a velocidade instantânea (ou a velocidade no instante t) 
fazemos ∆ݐ tender a zero: 
ݒ(ݐ) = 	 lim௧→௧బ
Δݏ
Δݐ = lim௧→௧బ
ݏ(ݐ) − ݏ(ݐ଴)
ݐ − ݐ଴ 
ou seja, a velocidade instantânea é o limite das velocidades médias quando ∆ݐ tende a zero. O 
número ݒ(ݐ) é o valor que lemos no velocímetro de um automóvel. 
 
 
A equação da reta ࢚ tangente ao gráfico de ࢌ em ࡼ = (࢞૙	, ࢌ(࢞૙)) é: 
 
ݕ − ݕ଴ = ݉(ݔ − ݔ଴) 
		
		ݕ − ݂(ݔ଴) = ݉(ݔ − ݔ଴)		
	 
 
 
Observação:		 A reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto ࡼ = (࢞૙	, ࢌ(࢞૙)) nem 
sempre existe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo ݔ se aproximar pela esquerda de ݔ଴, obtemos a reta ݐଵ e fazendo ݔ se aproximar pela 
direita de ݔ଴, obtemos a reta ݐଶ. Neste caso, NÃO EXISTE a reta tangente ao gráfico de ݂ em ܲ. 
 
Exemplo: Determine a equação da reta tangente ao gráfico de ݂(ݔ) = ݔଶ − 3ݔ no ponto 
ܲ = (2, −2). 
 
Solução: ݔ଴ = 2										e											݂(ݔ଴) = ݂(2) = 2ଶ − 3.2 = 4 − 6 = −2 
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Vamos calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de ݂ no ponto ܲ: 
 
݉ = lim௫→௫బ
݂(ݔ) − ݂(ݔ଴)
ݔ − ݔ଴ = lim௫→ଶ
ݔଶ − 3ݔ − (−2)
ݔ − 2 = lim௫→ଶ
ݔଶ − 3ݔ + 2
ݔ − 2 
																													݉ = lim௫→ଶ
(ݔ − 2)(ݔ − 1)
ݔ − 2 = 2 − 1 = 1 
∴ 	݉ = 1 
Logo, a equação da reta tangente ao gráfico de 	݂ em ܲ é: 
 
ݕ − ݂(ݔ଴) = ݉(ݔ − ݔ଴)	 
ݕ + 2 = 1(ݔ − 2) 
ݕ = ݔ − 2 − 2 
ݕ = ݔ − 4 
 
 
• Derivada de uma função em um ponto 
 
Seja ݂ uma função e ݔ଴ ∈ ܦ(݂). Vimos que quando existe a reta tangente ao gráfico de ݂ em 
ܲ = (ݔ଴	, ݂(ݔ଴)) seu coeficiente angular é dado por: 
 
݉ = lim௫→௫బ
݂(ݔ) − ݂(ݔ଴)
ݔ − ݔ଴ 
 
A derivada de ݂ no ponto ݔ଴ ∈ ܦ(݂), representada por ݂′(ݔ଴) (lê-se: ݂ linha de ݔ଴), é 
 				
			݂′(ݔ଴) 	= lim௫→௫బ
݂(ݔ) − ݂(ݔ଴)
ݔ − ݔ଴ 						,	quando	este	limite	existe	(e	portanto				
																										é	um	número	real!)	
	
 
 
Neste caso, dizemos que ݂ é derivável em ݔ଴. 
 
Portanto, geometricamente, 
 	
		݂′(ݔ଴)	é	a	inclinação	da	reta	tangente	ao	gráϐico	de	݂	no	ponto	ܲ = (ݔ଴	, ݂(ݔ଴)):				݂′(ݔ଴) = tg ߙ	
	 
 
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ou seja, 
 	
		݂′(ݔ଴)	é	o	coeϐiciente	angular	da	reta	tangente	ao	gráϐico	de	݂	no	ponto	ܲ = (ݔ଴	, ݂(ݔ଴)).
	 
 
Logo, a equação da reta tangente ao gráfico de ݂ no ponto ܲ = (ݔ଴	, ݂(ݔ଴)) é: 
 		
		ݕ − ݂(ݔ଴) = ݂′(ݔ଴)	(ݔ − ݔ଴)			
	 
 
Uma outra interpretação é que 
 	
	a	derivada	݂′(ݔ଴)	é	a	taxa	instantânea	de	variação	de	ݕ = ݂(ݔ)	em	relação	a	ݔ	quando	ݔ = ݔ଴.
		 
 
Observação:		 
Se ݏ = ݏ(ݐ) descreve o espaço percorrido em função do tempo, pelo que vimos (ver pg. 3), temos 
que: 
ݒ(ݐ) = ݏ′(ݐ) 
ou seja, a velocidade no instante t é a taxa instantânea de variação do espaço percorrido s em 
relação ao tempo t. 
 
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Outras notações usadas para derivada de ݂ no ponto 0x : 
 
)( 0xdx
df )( 0xfdx
d )( 0xDf )( 0xfDx 
 
Observe que, se escrevermos hxx += 0 , então 0xxh −=. Além disso, temos que x se aproxima de 
0x se, e somente se, h se aproxima de 0. Logo, podemos escrever: 
 		
	݂′(ݔ଴) 	= lim௫→௫బ
݂(ݔ) − ݂(ݔ଴)
ݔ − ݔ଴ = lim௛→଴
݂(ݔ଴ + ℎ) − ݂(ݔ଴)
ℎ 				
 
 
Do mesmo modo, em alguns livros, a definição de derivada de ݂ no ponto 0x aparece escrita da 
seguinte forma: 
		
	݂′(ݔ଴) 	= lim୼௫→଴
݂(ݔ଴ + Δݔ) − ݂(ݔ଴)
Δݔ 				
 
 
onde: xxx Δ+= 0 e, portanto, 0xxx −=Δ . 
 
 
• Derivada de uma função 
 
A derivada de uma função ݂ é a função representada por ݂′ e é dada por 
 		
	݂′(ݔ) 	= lim௛→଴
݂(ݔ + ℎ) − ݂(ݔ)
ℎ 	,				quando	este	limite	existe.			
 
 
Temos que	ܦ(݂′) = ሼݔ ∈ ܦ(݂)|	݂′(ݔ)	existeሽ e dizemos que ݂ é uma função derivável, quando 
existe a derivada de ݂ em todos os pontos do domínio de ݂. 
 
Exemplos: 
 
1) Determine, usando a definição, a derivada de 3)( =xf . 
Solução: 00lim33lim)()(lim)('
000
==
−
=
−+
=
→→→ hhh hh
xfhxfxf 
Portanto, 0)(' =xf para todo )( fDx ∈ . 
 
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2) Dada 62)( += xxf , determine )(' xf (usando a definição). 
Solução: Temos que 
2262622)62(6)(2)()( ==−−++=+−++=−+
h
h
h
xhx
h
xhx
h
xfhxf 
logo, 
22lim)()(lim)('
00
==
−+
=
→→ hh h
xfhxfxf 
Portanto, 2)(' =xf para todo )( fDx ∈ . 
 
3) O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se sobre uma reta é dado pela função 
ݏ(ݐ) = ݐଶ + 1 (na qual t é medido em segundos). Determine 
 
(a) a velocidade média nos intervalos [3	, 4]	, [4	, 5]		, [3,5	; 	4]		e		[4	; 	4,5]; 
 
(b) a velocidade instantânea quando ݐ = 4. 
Solução: 
	(ܽ)	ݒ௠ =
∆ݏ
∆ݐ =
ݏ(4) − ݏ(3)
4 − 3 =
17 − 10
1 = 7݉/ݏ 
 
								ݒ௠ =
∆ݏ
∆ݐ =
ݏ(5) − ݏ(4)
5 − 4 =
26 − 17
1 = 9݉/ݏ 
 
								ݒ௠ =
∆ݏ
∆ݐ =
ݏ(4) − ݏ(3,5)
4 − 3,5 =
17 − 13,25
0,5 =
3,75
0,5 = 7,5݉/ݏ 
 
								ݒ௠ =
∆ݏ
∆ݐ =
ݏ(4,5) − ݏ(4)
4,5 − 4 =
21,25 − 17
0,5 =
4,25
0,5 = 8,5݉/ݏ 
 
(ܾ)	ݒ(ݐ) = 	 lim௧→௧బ
Δݏ
Δݐ = lim௧→ସ
ݏ(ݐ) − ݏ(4)
ݐ − 4 = lim௧→ସ
ݐଶ + 1 − 17
ݐ − 4 = lim௧→ସ
ݐଶ − 16
ݐ − 4 = lim௧→ସ
(ݐ + 4)(ݐ − 4)
ݐ − 4 
 
ݒ(ݐ) = lim௧→ସ (ݐ + 4) = 8݉/ݏ																																																																																																											 
 
 
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Bibliografia: 
 
 
• BOULOS, P.; Cálculo diferencial e integral, v. 1, SP: Makron Books, 2006. 
 
• FLEMMING, M. D.; GONÇALVES, M. B., Cálculo A, 6ª Ed, SP: Makron Books, 2009. 
 
• GUIDORIZZI, H. L., Um curso de cálculo, v. 1, RJ: LTC, 2000. 
 
• SIMMONS, G. F., Cálculo com Geometria Analítica, v. 1.São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 1987. 
 
• STEWART, J., Cálculo, 4ª Ed, v. 1, São Paulo: Editora Thomson Learning, 1999.