Juros Compostos e Descontos

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Aula 23 
Juros Compostos. Montante e juros. Desconto Composto. 
Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais 
equivalentes. Capitalização contínua. Equivalência Composta 
de Capitais. Descontos: Desconto racional composto e 
desconto comercial composto. 
23. Juros Compostos. .................................................................................................................. 2 
23.1. Introdução ........................................................................................................................ 2 
23.2. Convenções Linear e Exponencial ........................................................................... 7 
23.3. Capitalização Contínua ................................................................................................ 9 
23.4. Desconto Composto .................................................................................................... 11 
23.4.1. Desconto Composto Comercial ou Por Fora . ................................................ 11 
23.4.2. Desconto Racional, Financeiro, Matemático ou Por Dentro . .................. 13 
23.4.3. Desconto Bancário (DB) . ...................................................................................... 15 
23.5. Equivalência de Capitais e Séries de Pagamento (Rendas Certas ou 
Anuidades) ................................................................................................................................. 16 
23.5.1. Equivalência de Capitais – Desconto Racional ............................................. 16 
23.5.1.1. Data de Equivalência no Futuro ..................................................................... 16 
23.5.1.2. Data de Equivalência no Passado ................................................................. 16 
23.5.2. Equivalência de Capitais – Desconto Comercial .......................................... 19 
23.5.2.1. Data de Equivalência no Futuro ..................................................................... 19 
23.5.2.2. Data de Equivalência no Passado ................................................................. 19 
23.5.3. Renda Postecipada .................................................................................................. 20 
23.5.4. Renda Antecipada. .................................................................................................. 24 
23.5.5. Renda Diferida .......................................................................................................... 28 
23.6. Tabelas ............................................................................................................................ 30 
23.7. Memorize para a prova ............................................................................................. 33 
23.8. Exercícios de Fixação ................................................................................................. 37 
23.9. Gabarito .......................................................................................................................... 45 
23.10. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos .......................................... 46 
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23. Juros Compostos. 
23.1. Introdução 
Na capitalização por juros compostos, os juros são calculados sobre o 
montante do capital (C) no período anterior (juros sobre juros), ou seja, o 
capital inicial de cada período é o capital do período anterior acrescido dos 
juros do período anterior. 
M = C . (1 + i)t 
J = M - C 
Onde, 
M = montante 
C = capital 
J = juros 
i = taxa de juros 
t = período 
(1 + i)t = fator de capitalização 
Exemplo: Qual o montante produzido por R$ 10.000,00, à taxa de juros 
compostos de 2% ao mês, durante dez meses? 
Montante (M) = R$ 10.000,00 
Período (t) = 10 meses 
Taxa de Juros (i) = 2% ao mês = 2/100 = 0,02 ao mês 
M = C. (1 + i)t = 10.000 x (1 + 0,02)10 = 10.000 x (1,02)10 
E agora. Como calcular (1,02)10 sem tabela. Bom, vou te ensinar um 
procedimento que pode ser útil na hora da prova: 
1) Calcule: 1,02 x 1,02 = 1,0404. Com isso, você já possui (1,02)2. 
2) Calcule: (1,02)2 x (1,02)2 (para facilitar, vamos utilizar os valores até a 
segunda casa decimal) = 1,04 x 1,04 = 1,0816. Com isso, você já possui 
(1,02)4. 
3) Calcule: (1,02)4 x (1,02)4 (para facilitar, vamos utilizar os valores até a 
segunda casa decimal) = 1,08 x 1,08 = 1,1664. Com isso, você já possui 
(1,02)8. 
4) Agora, basta calcular: (1,02)8 x (1,02)2 (para facilitar, vamos utilizar os 
valores até a segunda casa decimal) = 1,17 x 1,04 = 1,2168. Ufa, 
chegamos a (1,02)10. 
⇒ M = 10.000 x 1,2168 ⇒ M = 12.168,00 
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Nota: Quando for fazer uma aproximação dos números para a segunda casa 
decimal, se o número da terceira casa decimal for menor que 5, deve ser 
mantido o número da segunda casa decimal. Caso contrário, se o número da 
terceira casa decimal for igual ou maior que 5, deve ser somada uma unidade 
ao número da segunda casa decimal. 
Exemplos: 
1,1664 = 1,17 (6 > 5 ⇒número da segunda casa decimal = 6 + 1 = 7) 
1,1643 = 1,16 (4 < 5 ⇒número da segunda casa decimal = 6) 
Caso utilizássemos o valor tabelado ou calculássemos com todas as casas 
decimais, teríamos: 
⇒ (1,02)10 = 1,218994 
⇒ M = 10.000 x 1,218994 ⇒ 
⇒ M = 12.189,94 
(ou seja, o procedimento nos forneceu uma boa aproximação). 
Exemplo: Determinar o capital (C) que, aplicado à taxa composta de 9% ao 
mês, rende juros de R$ 82.316,20 um uma aplicação de quatro meses. 
Juros (J) = 82.316,20 
Período (t) = 4 meses 
Taxa de Juros (i) = 9% ao mês = 9/100 = 0,09 ao mês 
J = M – C = C . (1 + i)n – C = C . [(1 + i)n – 1] ⇒ 
⇒ 82.316,20 = C x [(1,09)4 – 1] 
Novamente, vamos adotar o procedimento de cálculo: 
1) Calcule: 1,09 x 1,09 = 1,1881. Com isso, você já possui (1,09)2. 
2) 
3) Calcule: (1,09)2 x (1,09)2 (para facilitar, vamos utilizar os valores até a 
segunda casa decimal) = 1,19 x 1,19 = 1,4161. Com isso, chegamos a 
(1,09)4. 
⇒ 82.316,20 = C x [(1,09)4 – 1] ⇒ 
⇒ 82.316,20 = C x (1,4161 – 1) ⇒ 
⇒ C = 82.316,20/0,4161 = 197.828 
Utilizando o valor tabelado, teríamos: 
⇒ (1,09)4 = 1,411581 
⇒ 82.316,20 = C.[(1,09)4 – 1] ⇒ 
⇒ 82.316,20 = C.(1,411581 – 1) ⇒ 
⇒ C = 82.316,20/0,411581 = 200.000 
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Exemplo: Alfeu, um famoso investidor do mercado financeiro, aplicou uma 
certa quantia na bolsa de valores que, ao final de quatro meses, rendeu 
46,41% de juros no regime de juros compostos. Se essa mesma quantia 
ficasse aplicada durante 10 meses, à mesma taxa e mesmo regime, quanto 
renderia? 
Supondo que a quantia aplicada seja igual a 100. 
Capital (C) = 100 
Juros (J) = Rendimento (Percentual) x Capital = 46,41% x 100 = 46,41 
Período (t) = 4 
Montante = M 
M = C + J = 100 + 46,41 = 146,41 
⇒ 146,41 = 100 x (1 + i)4 ⇒ (1 + i)4 = 1,4641 
Se utilizarmos a tabela I, fornecida ao final do capítulo: 
Linha ⇒ t = 4 (procurar o valor 1,4641) 
8% 9% 10% 12% 15% 18% 
4 1,3604891,411581 1,464100 1,5735191,749006 1,938778
⇒ (1+ i)4 = 1,4641 ⇒ i = 10% ao mês 
Para achar a taxa de juros correspondente sem a utilização das tabelas 
teríamosque fazer por tentativa e erro, ou a questão deveria informar, pelo 
menos, uma tabela resumida. No caso do exemplo, temos que i = 10% ao 
mês. Veja alguns valores para i = 10% (muito comum de aparecer em prova). 
(1 + 10%) = (1,10) 
(1,10)2 = 1,21 
(1,10)3 = 1,21 x 1,10 = 1,331 
(1,10)4 = 1,331 x 1,10 = 1,4641 
(1,10)5 = 1,4641 x 1,10 = 1,61051 
Portanto ⇒ (1+ i)4 = 1,4641 ⇒ i = 10% ao mês 
A questão pede os juros se esta mesma quantia (100) fosse aplicada por 10 
meses, utilizando a mesma taxa de juros: 
Período (t) = 10: 
⇒ M = 100 x (1 + 10%)10 = 100 x (1 + 0,10)10 = 100 x (1,10)10 
⇒ (1,10)10 = (1,10)5 x (1,10)5 = 1,61 x 1,61 = 2,5921 
⇒ M = 100 x 2,5921 = 259,21 
⇒ J =M – C = 259,21 – 100 = 159,21 
Ou seja, o rendimento foi de: J(%) = 159,21/100 = 159,21% 
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Exemplo: Qual o período que devemos aplicar um capital de R$ 100.000,00, a 
uma taxa de juros de 10% ao mês, de modo que o montante final seja de R$ 
345.227,10? 
Montante (M) = R$ 100.000,00 
Período = t 
Taxa de Juros (i) = 10% ao mês 
M = C. (1 + i)t ⇒ 345.227,10 = 100.000 x (1 + 10%)t ⇒ 
⇒ (1 + 10%)t = 345.227,10/100.000 ⇒ 
⇒ (1 + 10%)t = (1,10)t = 3,452271 
Agora temos que achar o período (t), de modo que (1,10)t seja igual a 
3,452271. Já vimos, no exemplo anterior, que: 
⇒ (1,10)10 = (1,10)5 x (1,10)5 = 1,61 x 1,61 = 2,5921. Portanto, t é maior 
que 10 meses. 
Vamos tentar t = 15 meses: 
⇒ (1,10)15 = (1,10)10 x (1,10)5 = 2,59 x 1,61 = 4,1699. Portanto, t é menor 
que 15 meses. 
Vamos tentar t = 12 meses: 
⇒ (1,10)12 = (1,10)10 x (1,10)2 = 2,59 x 1,21 = 3,1339. Portanto, t é maior 
que 12 meses. 
Só pode ser 13 meses ou 14 meses. Vamos tentar t = 13 meses: 
⇒ (1,10)13 = (1,10)12 x 1,10 = 3,13 x 1,10 = 3,443. Como fazemos 
sempre aproximações para a segunda casa decimal, este é o valor 
correto (mais próximo de 3,452271). 
Se, ainda sim, ficar em dúvida, calcule o valor para t = 14 meses: 
⇒ (1,10)14 = (1,10)13 x 1,10 = 3,44 x 1,10 = 3,784. Portanto, t é menor que 
14 meses. 
Se utilizarmos a tabela I, fornecida ao final do capítulo: 
Coluna ⇒ i = 10% (procurar a linha que corresponda ao valor 3,452271). 
 10%
(…)
9 2,357948
10 2,593742
11 2,853117
12 3,138428
133,452271
14 3,797498
15 4,177248
(…)
⇒ (1 + 10%)t = 3,452271 
⇒ t = 13 meses 
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Já caiu em prova!(AFRFB-2009-Esaf) No sistema de juros compostos um 
capital PV aplicado durante um ano à taxa de 10 % ao ano com capitalização 
semestral resulta no valor final FV. Por outro lado, o mesmo capital PV, 
aplicado durante um trimestre à taxa de it% ao trimestre resultará no mesmo 
valor final FV, se a taxa de aplicação trimestral for igual a: 
a) 26,25 % 
b) 40 % 
c) 13,12 % 
d) 10,25 % 
e) 20 % 
I – Situação 1: 
Capital = PV 
Período = 1 ano 
Taxa = 10% ao ano 
Capitalização Semestral = 10%/2 = 5% ao semestre 
Valor Final = FV 
FV = PV. (1 + 5%)2 ⇒ FV = PV. (1,05)2 
II– Situação 2: 
Capital = PV 
Período = 1 trimestre 
Taxa = it% ao trimestre 
Valor Final = FV 
FV = PV. (1 + it%) 
Portanto: (1 + it%) = (1,05)2 = 1,1025 ⇒ it = 1,1025 – 1 =0,1025 ⇒ 
⇒ it = 10,25% ao trimestre 
GABARITO: D 
Já caiu em prova!(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças 
Públicas-Sefaz/SP-2009-Esaf) Um capital C é aplicado à taxa de juros 
compostos de 2% ao mês. Qual o valor mais próximo do montante ao fim de 
um ano e meio? 
a) 1,27C 
b) 1,32C 
c) 1,43C 
d) 1,40C 
e) 1,37C 
Juros Compostos: M = C. (1 + i)n 
i = 2% ao mês 
n = 1 ano e meio = 12 meses + 6 meses = 18 meses 
(1 + i)n = (1 + 2%)18 = (1,02)18 = 1,428246 (Tabela I) = 1,43 
⇒ M = C.1,43 = 1,43.C 
GABARITO: C 
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Memorize para a prova: 
23.2. Convenções Linear e Exponencial 
Na convenção linear o capital é atualizado a juros compostos no número inteiro 
de períodos (t) e atualizado por juros simples no período fracionário (q). 
M = C . (1 + i)t . (1 + i . q) 
Por outro lado, na convenção exponencial o capital é atualizado a juros 
compostos no período total da aplicação. 
M = C . (1 + i)t+q 
Exemplo: Calcule o montante produzido por R$ 10.000,00, durante o período 
de 5 meses e 20 dias, aplicados a uma taxa de capitalização composta de 15% 
ao mês. 
I – Convenção Linear (será utilizada na hora da prova, a menos que a banca 
informe os valores do período fracionário para os juros compostos): 
Capital (C) = 10.000 
Período (t) = 5 meses + 20 dias = 5 meses + 20/30 meses 
Período (t) = 5 meses + 2/3 meses 
t = 5 meses 
q = 2/3 meses 
Taxa de Juros (i) = 15% ao mês 
M = 10.000 x (1 + 15%)5 x (1 + 15% x (2/3)) ⇒ 
⇒ M = 10.000 x (1 + 0,15)5 x (1 + 0,10) ⇒ 
⇒ M = 10.000 x (1,15)5 x (1,10) ⇒ 
Juros Compostos: os juros são calculados sobre o montante do capital (C) 
no período anterior (juros sobre juros), ou seja, o capital inicial de cada 
período é o capital do período anterior acrescido dos juros do período 
anterior. 
M = C . (1 + i)t 
J = M - C 
Onde, 
M = montante 
C = capital 
J = juros 
i = taxa de juros 
t = período 
(1 + i)t = fator de capitalização 
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Novamente, vamos adotar o procedimento de cálculo: 
1) Calcule: 1,15 x 1,15 = 1,3225. Com isso, você já possui (1,15)2. 
2) Calcule: (1,15)2 x (1,15)2 (para facilitar, vamos utilizar os valores até 
a segunda casa decimal) = 1,32 x 1,32 = 1,7424. Com isso, você já 
possui (1,15)4. 
3) Calcule: (1,15)4 x (1,15) (para facilitar, vamos utilizar os valores até 
a segunda casa decimal) = 1,74 x 1,15 = 2,001. Com isso, chegamos 
a (1,15)5. 
⇒ M = 10.000 x 2,001 x 1,10 ⇒ 
⇒ M = R$ 22.011,00 
II – Convenção Exponencial: 
t = 5 meses + 20 dias = 5 meses + 20/30 meses = 5 meses + 2/3 meses ⇒ 
⇒ t = (15 + 2)/3 = 17/3 meses 
 
M = 10.000 x (1 + 15%)5 x (1 + 15%)2/3 ⇒ 
M = 10.000 x (1 + 15%)(5 + 2/3) = 10.000 x (1,15)17/3 = 10.000 x 2,207773 ⇒ 
⇒ M = R$ 22.077,73 
⇒ para calcularmos (1,15)17/3, somente com calculadora ou tabelas 
logarítmicas, pelo menos para a parte do expoente fracionário [(1,15)17/3 = 
(1,15)5 x (1,15)2/3], a menos que a banca informe o valor na hora da prova. 
Importante: Repare que, para períodos fracionários, o montante calculado 
pela convenção linear, que adota os juros simples, é maior que o montante 
calculado pela convenção exponencial, que adota juros compostos. 
Já caiu em prova!(Administração-Bndes-2008-Cesgranrio) Um indivíduo 
fez uma aplicação com taxa pré-fixada de 2,25% ao mês. Entretanto, passados 
20 dias, precisou fazer o resgate. Suponha que seja possível escolher entre os 
regimes de capitalização simples ou composto para realizar o resgate desse 
montante. Pode-se afirmar que o montante obtido: 
(A) pelo regime simples será igual ao capital inicial (não haverá juros simples). 
(B) pelo regime composto será igual ao capital inicial (não haverá juros 
compostos). 
(C) pelo regime composto será maior. 
(D) pelo regime simples será maior. 
(E) será o mesmo, considerando os dois regimes de capitalização. 
Como na questão o período é fracionário (20 dias, em relação a uma 
taxa mensal), temos que: O montante obtido pelo regime simples será 
maior. 
GABARITO: D 
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Memorize para a prova: 
23.3. Capitalização Contínua 
Na verdade, a capitalização contínua é um tipo de capitalização a juros 
compostos onde os juros auferidos em um instante de tempo t são 
imediatamente incorporados ao capital aplicado, produzindo, por conseguinte, 
os juros no instante de tempo t1, e assim sucessivamente. Neste tipo de 
capitalização, o capital sofrerá variações em intervalos infinitesimais de tempo, 
que é justamente o que a difere da capitalização a juros compostos, onde a 
variação de tempo é finita. 
Neste tipo de capitalização utiliza-se a seguinte fórmula: M = C . ei.t 
Onde: 
M = Montante; 
C = Capital Aplicado; 
e = número neperiano ou número de Euler = 2,718 (constante); 
i = taxa de juros; e 
t = período. 
Exemplo: Considere que o logaritmo neperiano de 2 é igual a 0,69. Aplicando 
um capital de R$ 30.000,00 a uma taxa de 5% ao mês, com capitalização 
contínua, verifica-se que o montante, no momento do resgate, é igual a R$ 
60.000,00. Calcule o período de aplicação é igual a 
e = número neperiano 
Dado: ln (logaritmo neperiano) 2 = 0,69 
Capital Aplicado (C) = R$ 30.000,00 
Montante (M) = R$ 60.000,00 
Período = t 
Taxa de Juros Compostos (i) = 5% ao mês = 5/100 ao mês = 0,05 ao mês 
M = C . ei.t ⇒ 
⇒60.000 = 30.000 x e (0,05 x t) ⇒ 
⇒ 60.000/30.000 = e (0,05 x t) ⇒ 
⇒ e (0,04 x t)= 2 ⇒ 
Relembrando: Logaritmo da potência: logb xn = n . logb x 
Convenção Linear: o capital é atualizado a juros compostos no número 
inteiro de períodos (t) e atualizado por juros simples no período fracionário 
(q). 
M = C . (1 + i)t . (1 + i . q) 
Convenção Exponencial: o capital é atualizado a juros compostos no 
período total da aplicação. 
M = C . (1 + i)t+q 
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Exemplo: 
log3 32 = x ⇒ 3x = 32 ⇒ x = 2 
log3 32 = 2 . log3 3 = 2 . 1 = 2 
Logo, log3 32 = 2. log3 3 
Além disso, logb a = y ⇒ a = by. Portanto, para calcularmos o ln e, por 
exemplo, teríamos: 
ln e = x ⇒ e = ex ⇒ Portanto, x = 1, para que: e = e1 = e. 
Aplicando o logaritmo neperiano em ambos os lados da equação: 
⇒ ln e (0,05 x t)= ln 2 ⇒ 
⇒ (0,05 x t) x ln e = 0,69 ⇒ 
⇒ 0,05 x t x 1 = 0,69 ⇒ 
⇒ t = 0,69/0,05 ⇒ 
⇒ t = 13,8 meses 
Já caiu em prova!(Fiscal de Rendas-SP-2009-FCC) Considere que o 
logaritmo neperiano de 1,8 é igual a 0,6. Aplicando um capital de R$ 
25.000,00 a uma taxa de 4% ao mês, com capitalização contínua, verifica-se 
que o montante, no momento do resgate, é igual a R$ 45.000,00. O período 
de aplicação é igual a 
(A) 12 meses. 
(B) 15 meses. 
(C) 18 meses. 
(D) 21 meses. 
(E) 24 meses. 
A questão definiu: Capitalização Contínua ⇒ M = C . ei.t 
Aplicando o logaritmo neperiano em ambos os lados da equação: 
⇒ ln e (0,04 x t)= ln 1,8 ⇒ 
⇒ (0,04 x t) x ln e = 0,6 ⇒ 
⇒ 0,04 x t x 1 = 0,6 ⇒ 
⇒ t = 0,6/0,04 ⇒ 
⇒ t = 15 meses 
GABARITO: B 
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Memorize para a prova: 
23.4. Desconto Composto 
Relembrando, desconto (D) é a diferença entre o valor nominal (valor do 
título) e o valor atual (valor de resgate do título), ou seja, são os juros pagos 
em virtude de não ter respeitado o prazo de resgate de determinado título. 
Valor Nominal ou Valor de Face ou Valor Futuro ou Valor do Título (N) é o valor 
do título na data do vencimento. 
Valor Atual ou Valor Descontado ou Valor do Resgate ou Valor Presente ou 
Valor Resgatado (AD) é o valor do título na data do resgate. 
23.4.1. Desconto Composto Comercial ou Por Fora 
O desconto composto comercial ou por fora é um desconto que incide sobre o 
valor nominal (N), período a período. 
A = N . (1 – iD)
t 
Dc = N – A = N – N . (1 – iD)
t = N . [1 - (1 – iD)
t] 
Onde, 
Dc = desconto comercial 
iD = taxa de desconto comercial (juros simples) 
t = período restante até o vencimento do título 
N = valor nominal 
A = valor atual 
Capitalização Contínua: é um tipo de capitalização a juros compostos onde 
os juros auferidos em um instante de tempo t são imediatamente 
incorporados ao capital aplicado, produzindo, por conseguinte, os juros no 
instante de tempo t1, e assim sucessivamente. Neste tipo de capitalização, o 
capital sofrerá variações em intervalos infinitesimais de tempo, que é 
justamente o que a difere da capitalização a juros compostos, onde a 
variação de tempo é finita. 
Neste tipo de capitalização utiliza-se a seguinte fórmula: M = C . ei.t 
Onde: 
M = Montante; 
C = Capital Aplicado; 
e = número neperiano ou número de Euler = 2,718 (constante); 
i = taxa de juros; e 
t = período. 
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Nota: 
- Quanto maior o prazo entre a data do vencimento do título e a data do 
resgate, menor será o valor atual do referido título (maior o desconto). 
- Quanto menor o prazo entre a data do vencimento do título e a data do 
resgate, maior será o valor atual do referido título (menor o desconto). 
Exemplo: Uma duplicata, no valor de R$ 10.000,00, foi descontada dois 
meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto comercial composto 
aplicada foi de 10% ao mês. Qual o valor recebido? 
Valor Nominal (N) = R$ 10.000,00 
Período (t) = 2 meses 
Taxa de Juros (iD) = 10% ao mês = 10/100 = 0,10 ao mês 
A = N . (1 – iD)t = 10.000 x (1 – 0,10)2 = 10.000 x (0,90)2 = 8.100 
Já caiu em prova!(Analista Administrativo-Ciências Contábeis-ANP-
2008-Cesgranrio) A Empresa Vista Linda Ltda. descontou no Banco da Praça 
S/A uma duplicata no valor de R$ 28.800,00 com 120 dias de prazo, a uma 
taxa de desconto composto de 2,5% ao mês. Com base nos dados acima e 
considerando o ano comercial, nos cálculos, o valor líquido creditado pelo 
Banco na conta corrente da empresa, em reais, foi 
(A) 28 888,08 
(B) 28.808,88 
(C) 27.062,61 
(D) 26.062,12 
(E) 26.026,21 
A questão não definiu o tipo de desconto: nesta questão, foi utilizado o 
desconto comercial composto. 
Valor Nominal da Duplicata (N) = R$ 28.800,00 
Período (t) = 4 meses 
Taxa de Juros (iD) = 2,5% ao mês = 2,5/100 = 0,025 ao mês 
A = N . (1 – iD)t = 28.800 x (1 – 0,025)4 ⇒ 
⇒ A = 28.800 x (0,975)4 ⇒ 
⇒ A = 28.800 x 0,903688 ⇒ 
⇒ A = 26.026,21 
GABARITO: E 
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Memorize para a prova: 
23.4.2. Desconto Racional, Financeiro, Matemático ou Por Dentro 
O desconto racional, financeiro, matemático ou por dentro é o desconto que 
determina um valor atual (Ad) que, corrigido nas condições de mercado, 
resulta em um montante igual ao valor nominal. 
N = A . (1 + ir)t ⇒ A = N/(1 + ir)t 
Dr = N – A = N - N/(1 + ir)t = N . [1 – 1/(1 + ir)t] ⇒ 
⇒ Dr = N . [(1 + ir)t – 1]/(1 + ir)t 
Onde, 
Dr = desconto comercial 
ir = taxa de desconto comercial (juros simples) 
t = período restante até o vencimento do título 
N = valor nominal 
A = valor atual 
Exemplo: Uma duplicata, no valor de R$ 10.000,00, foi descontada dois 
meses de seu vencimento. A taxa de desconto racional composto aplicada foi 
de 10% ao mês. Qual o valor recebido? 
Valor Nominal (N) = R$ 10.000,00 
Período (t) = 2 meses 
Taxa de Juros (iD) = 10%ao mês = 10/100 = 0,10 ao mês 
A = N/(1 + ir)t = 10.000/(1 + 0,10)2 = 10.000/(1,10)2 = 8.264,46 
Importante: 
Nas mesmas condições: Desconto Comercial > Desconto Racional 
Já caiu em prova!(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças 
Públicas-Sefaz/SP-2009-Esaf) Um título no valor de face de R$ 1.000,00 
deve ser descontado três meses antes do seu vencimento. Calcule o valor mais 
próximo do desconto racional composto à taxa de desconto de 3% ao mês. 
Desconto Composto Comercial ou por Fora: é um desconto que incide 
sobre o valor nominal (N), período a período. 
A = N . (1 – iD)
t 
Dc = N – A = N – N . (1 – iD)
t = N . [1 - (1 – iD)
t] 
Onde, 
Dc = desconto comercial 
iD = taxa de desconto comercial (juros simples) 
t = período restante até o vencimento do título 
N = valor nominal 
A = valor atual 
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a) R$ 92,73 
b) R$ 84,86 
c) R$ 87,33 
d) R$ 90,00 
e) R$ 82,57 
Desconto Racional Composto: N = A.(1 + i)n 
N = 1.000 
n = 3 meses 
i = 3% ao mês 
 
N = A.(1 + i)n ⇒ 1.000 = A.(1 + 3%)3 = A.(1,03)3 
(1,03)3 = 1,092727 
A = 1.000/(1,03)3 = 1.000/1,092727 = 915,14 
Desconto Racional = N – A = 1.000 – 915,14 = R$ 84,86 
GABARITO: B 
Já caiu em prova!(Profissional Júnior-Ciências Contábeis-BR 
Distribuidora-2008) Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 
10.000,00 no seu vencimento, que ocorrerá dentro de 3 meses. Sabendo-se 
que o rendimento desse título é de 1,25% ao mês (juros compostos), seu valor 
presente, em reais, é 
(A) 9.638,55 
(B) 9.634,18 
(C) 9.625,00 
(D) 9.555,65 
(E) 9.333,33 
Atenção! Nesta questão não foi definido o tipo de desconto e foi 
adotado o desconto racional composto. 
Valor Nominal (N) = R$ 10.000,00 
Período (t) = 3 meses 
Taxa de Juros (ir) = 1,25% ao mês = 1,25/100 = 0,0125 ao mês 
A = N/(1 + ir)t = 10.000/(1 + 0,0125)3 ⇒ 
⇒ A = 10.000/(1,0125)3 ⇒ 
⇒ A = 10.000/1,037971 ⇒ 
⇒ A = 9.634,18 
GABARITO: B 
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Memorize para a prova: 
23.4.3. Desconto Bancário (DB) 
O desconto bancário corresponde ao desconto comercial acrescido de taxas 
bancárias sobre o valor nominal. 
DB = Dc + e . N 
Onde, 
e = encargos bancários 
Exemplo: Uma duplicata, no valor de R$ 10.000,00, foi descontada dois 
meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto comercial composto 
aplicada foi de 10% ao mês. Ainda houve despesas bancárias de 5%. Qual o 
valor do desconto bancário? 
Valor Nominal (N) = R$ 10.000,00 
Período (t) = 2 meses 
Taxa de Juros (iD) = 10% ao mês = 10/100 = 0,10 ao mês 
Despesas Bancárias (e) = 5% 
A = N . (1 – iD)t = 10.000 x (1 – 0,10)2 = 10.000 x (0,90)2 = 8.100 
Dc = N – A = 10.000 – 8.100 = 1.900 
DB = Dc + e . N = 1.900 + 5% x 10.000 = 1.900 + 500 = 2.400 
Desconto Racional, Financeiro, Matemático ou Por Dentro: é o 
desconto que determina um valor atual (Ad) que, corrigido nas condições de 
mercado, resulta em um montante igual ao valor nominal. 
N = A . (1 + ir)t ⇒ A = N/(1 + ir)t 
Dr = N – A = N - N/(1 + ir)t = N . [1 – 1/(1 + ir)t] ⇒ 
⇒ Dr = N . [(1 + ir)t – 1]/(1 + ir)t 
Onde, 
Dr = desconto comercial 
ir = taxa de desconto comercial (juros simples) 
t = período restante até o vencimento do título 
N = valor nominal 
A = valor atual 
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Memorize para a prova: 
23.5. Equivalência de Capitais e Séries de Pagamento (Rendas Certas 
ou Anuidades) 
23.5.1. Equivalência de Capitais – Desconto Racional 
23.5.1.1. Data de Equivalência no Futuro 
N = valor nominal 
A = valor atual 
i = taxa de juros 
t = período 
23.5.1.2. Data de Equivalência no Passado 
Exemplo: Luíza adquiriu um equipamento e vai pagá-lo em duas prestações 
iguais de R$ 3.564,00 com vencimentos em 30 e 60 dias, calculadas a juros 
compostos, a uma taxa mensal de 10%. Na data do vencimento da primeira 
prestação, Luíza propõe uma repactuação da dívida, em pagamentos iguais, 
com vencimento ao final de 60 e 90 dias, mantidos o sistema de capitalização 
e a taxa mensal de juros. Se a proposta apresentada mantém o valor à vista 
do equipamento, calcule o valor dessa nova prestação, desprezando os 
centavos, utilizando desconto simples racional. 
Prestações (duas) = 3.564 
Taxa de Juros (i) = 10% ao mês (juros compostos) = 10/100 = 0,10 ao mês 
T 
 
A 
T + t 
N N = A . (1 + i)t 
T 
 
A 
T + t 
N A = N/(1 + i)t
Desconto Bancário: corresponde ao desconto comercial acrescido de taxas 
bancárias sobre o valor nominal. 
DB = Dc + e . N 
Onde, 
e = encargos bancários 
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Repare que os vencimentos das novas prestações correspondem a 90 dias (60 
dias após a data de vencimento da primeira prestação) e 120 dias (90 dias 
após a data de vencimento da primeira prestação). 
2 3 4
2 3 4
2 4
2
1 1 1 1
3.564 
(1 0,10) (1 0,10) (1 0,10) (1 0,10)
1 1 1 1
3.564 
1,10 (1,10) (1,10) (1,10)
1,10 1 1,10 1
3.564 
(1,10) (1,10)
1,10 1 1,10
3.564 
(1,10)
P
P
P
P
   
× + = × + ⇒   + + + +   
   
⇒ × + = × + ⇒   
   
   + +
⇒ × = × ⇒   
   
 + +
⇒ × = × 
 
2 2
2
1 1
(1,10) (1,10)
3.564 (1,10)
3.564 1,21 4.312,44
P
P
 
× ⇒ 
 
⇒ = × ⇒
⇒ = × =
Nota: 
2
1 1
1,10 (1,10)
+ : Para fazer a conta acima, achei o Mínimo Múltiplo Comum 
(MMC) dos denominadores 1,10 e (1,10)2 (no caso, é (1,10)2). Portanto: 
2 2
1 1 1 1,10 1
1,10 (1,10) (1,10)
× +
+ = 
Já caiu em prova! (AFRF-2005-Esaf) Ana quer vender um apartamento por 
R$ 400.000,00 a vista ou financiado pelo sistema de juros compostos a taxa 
de 5% ao semestre. Paulo está interessado em comprar esse apartamento e 
propõe à Ana pagar os R$ 400.000,00 em duas parcelas iguais, com 
vencimentos a contar a partir da compra. A primeira parcela com vencimento 
em 6 meses e a segunda com vencimento em 18 meses. Se Ana aceitar a 
proposta de Paulo, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma 
das parcelas será igual a: 
0 
30 90 120 
P
Data Focal 60 
3.564 
t1 = 30 dias = 1 mês ⇒P1 = 3.564 
t2 = 60 dias = 2 meses ⇒ P2 = 3.564 
t3 = 90 dias = 3 meses ⇒ P 
t4 = 120 dias = 4 meses ⇒ P 
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a) R$ 220.237,00 
b) R$ 230.237,00 
c) R$ 242.720,00 
d) R$ 275.412,00 
e) R$ 298.654,00 
i = 5% ao semestre 
6 meses = 1 semestre ⇒ n = 1 
18 meses = 3 semestres ⇒ n = 3 
1 3 1 3
2
3
400.000 
(1 ) (1 ) (1,05) (1,05)
1,05 1 2,1025
400.000 . . 1,816.
1,05 1,157625
400.000 
220.237,80
1,816
P P P P
i i
P P P
P
= + = + =>
+ +
 +
=> = = = => 
 
=> = =
GABARITO: A 
Memorize para a prova: 
Equivalência de Capitais – Desconto Racional 
Equivalência no Futuro: N = A . (1 + i)t 
Equivalência no Passado: A = N/(1 + i)t 
400.000 
P P 
6 18 
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23.5.2. Equivalência de Capitais – Desconto Comercial 
23.5.2.1. Data de Equivalência no Futuro 
N = valor nominal 
A = valor atual 
i = taxa de juros 
t = período 
23.5.2.2. Data de Equivalência no Passado 
Exemplo: João precisa resgatar dois títulos. Um no valor de R$ 50.000,00 
com prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$ 100.000,00 com prazo 
de vencimento de três meses. Não tendo condições de resgatá-los nos 
respectivos vencimentos, Edgar propõe ao credor substituir os dois títulos por 
um único, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de 
desconto comercial composto é de 4% ao mês, o valor nominal do novo título, 
sem considerar os centavos, será igual a: 
Desconto Comercial Simples (D) 
Taxa de Juros (i) = 4% ao mês = 4/100 = 0,04 ao mês 
Dois títulos ⇒ R$ 50.000,00 (2 meses) e R$ 100.000,00 (3 meses) ⇒ 
substituir por um único com vencimento em 4 meses. 
3 meses 2 meses 
50.000 100.000 
4 meses 
N 
0
T 
 
A
T + t 
N N = A/(1 – i)t 
T 
 
A
T + t 
N A = N . (1 – i)t
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Levando tudo para o período t = 0: 
2 3 4
2 3 4
2
2
50.000 (1 0,04) 100.000 (1 0,04) (1 0,04)
50.000 (0,96) 100.000 (0,96) (0,96)
(0,96) 50.000 100.000 0,96 50.000 96.000 146.000
146.000 146.000 
158.420
(0,96) 0,9216
N
N
N
N
× − + × − = × − ⇒
⇒ × + × = × ⇒
⇒ × = + × = + = ⇒
⇒ = = =
Nota: Repare que, como (0,96)2 aparece em todos os termos da equação, foi 
possível dividir tudo por (0,96)2. 
2 3 450.000 (0,96) 100.000 (0,96) (0,96)N⇒ × + × = × ⇒ Dividido por (0,96)2 
1 250.000 100.000 (0,96) (0,96)N⇒ + × = × 
Memorize para a prova: 
23.5.3. Renda Postecipada 
Uma renda postecipada corresponde à série uniforme de pagamentos 
periódicos em que o primeiro pagamento ocorre um período após o negócio. 
A = valor da renda 
R = valor da prestação 
n = número de prestações 
i = taxa de juros 
2 1
...
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )n n
R R R R
A 
i i i i−
= + + + +
+ + + +
A 
0 
R 
1 n 2 ... n-1 
R R R 
Equivalência de Capitais – Desconto Comercial 
Equivalência no Futuro: N = A/(1 – i)t 
Equivalência no Passado: A = N . (1 – i)t 
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A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguinte resultado: 
(1 ) 1
. 
.(1 )
n
n
i
A R 
i i
+ −
=
+
(1 ) 1
.(1 )
n
n
i
i i
+ −
+
⇒ Fator de Valor Atual (FVA) ou Fator de Valor Presente 
(FVP) ⇒ A = R x FVA 
O termo a(n;i) = 
(1 ) 1
.(1 )
n
n
i
i i
+ −
+
é tabelado (tabela II fornecida no final do 
capítulo) e também pode ser apresentado como 
1 (1 ) ni
i
−− +
. 
Logo, A = R . a(n;i). 
Exemplo: Um empréstimo contraído no início de abril, no valor de R$ 
15.000,00, deve ser pago em dezoito prestações mensais e iguais, a uma taxa 
de juros compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação no final de 
abril, a segunda no final de maio, e assim sucessivamente. Calcule o valor da 
prestação. 
Dado: [(1,02)18 – 1]/[0,02 x (1,02)18] = 14,992031 
Aqui, vou apresentar a dedução da fórmula: 
(I) 15.000 = P x [1/(1+i) + 1/(1+i)2 + .... + 1/(1+i)18] x(1+i) 
(II) (1+i) x 15.000 = P x [1 + 1/(1+i) + .... + 1/(1+i)17] 
(II) – (I) ⇒ i x 15.000 = P x[1 - 1/(1+i)18] 
⇒ 15.000 = P x [(1+i)18 – 1]/[i x (1+i)18] 
Nesta situação, a questão teria que informar o valor de [(1+i)18 – 1]/[i x 
(1+i)18], para i = 2% ao mês. Neste exemplo, temos como dado: 
[(1,02)18 – 1]/[0,02 x (1,02)18] = 14,992031 
Portanto ⇒ 15.000 = P x 14,9920 ⇒ P = 1.000,53 
Se a questão não informasse o valor da expressão acima, poderíamos utilizar a 
tabela II, fornecida ao final do capítulo: 
[(1+i)18 – 1]/[i x (1+i)18], para i = 2% e n = 18 ⇒ a(n; i) 
a(18;2%) = Fator de Valor Atual = 14,992031 
⇒ 15.000 = P x 14,9920 ⇒ P = 1.000,53 
0 
1 2 3 1817 
 P P P P P 
15.000
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Caso quiséssemos calcular o total pago imediatamente após o último 
pagamento (montante de valor futuro), teríamos: 
A = valor da renda 
R = valor da prestação 
n = número de prestações 
i = taxa de juros 
F = montante de valor futuro 
.(1 )
(1 ) 1 (1 ) 1
. .(1 ) .
.(1 )
n
n n
n
n
F A i
i i
F R i R
i i i
= +
+ − + −
= + =
+
(1 ) 1ni
i
+ −
 ⇒ Fator de Acumulação de Capital (FAC) ou Fator de Valor 
Futuro ⇒ F = R x FAC 
O termo s(n;i) = 
(1 ) 1ni
i
+ −
 é tabelado (tabela III fornecida ao final do 
capítulo). Logo, F = R . s(n;i). 
Exemplo: No exemplo anterior, se quiséssemos calcular o montante pago 
após o último pagamento, teríamos: n = 18, i =2% ao mês, P = 1.000,53. 
Dado: [(1,02)18 – 1]/0,02 = 21,412312 
18(1 ) 1 (1 2%) 1
. 1.000,53 
2%
ni
F P 
i
+ − + −
= = × ⇒ 
⇒ F = 1.000,53 x 21,412312 = 21.423,66 
Se a questão não informasse o valor da expressão acima, poderíamos utilizar a 
tabela III, fornecida ao final do capítulo: 
18(1 ) 1 (1 2%) 1
. 1.000,53 
2%
ni
F P 
i
+ − + −
= = × = 1.000,53 x s(18;2%)⇒ 
⇒ F = 1.000,53 x 21,412312 (tabela III) = 21.423,66 
Exemplo: No exemplo anterior, se quiséssemos calcular o montante pago um 
mês após o último pagamento, teríamos: n = 18 + 1 = 19, i =2% ao mês, P = 
1.000,53. 
Dado: [(1,02)19 – 1]/0,02 = 22,840559 
A 
0 
R 
1 n 2 ... n-1 
R R R 
F
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19(1 ) 1 (1 2%) 1
. 1.000,53 
2%
ni
F P 
i
+ − + −
= = × ⇒ 
F = 1.000,53 x 22,840559 = 22.852,66 
Se a questão não informasse o valor da expressão acima, poderíamos utilizar a 
tabela III, fornecida ao final do capítulo: 
19(1 ) 1 (1 2%) 1
. 1.000,53 
2%
ni
F P 
i
+ − + −
= = × =1.000,53 x s(19;2%)⇒ 
F = 1.000,53 x 22,840559 (tabela III) = 22.852,66 
Memorize para a prova: 
Renda Postecipada: 
2 1
...
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )n n
R R R R
A 
i i i i−
= + + + +
+ + + +
A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguinte resultado: 
(1 ) 1
. 
.(1 )
n
n
i
A R 
i i
+ −
=
+
(1 ) 1
.(1 )
n
n
i
i i
+ −
+
⇒ Fator de Valor Atual (FVA) ou Fator de Valor Presente 
(FVP) ⇒ A = R x FVA 
Uma renda postecipada corresponde à série uniforme de pagamentos 
periódicos em que o primeiro pagamento ocorre um período após o negócio. 
.(1 )
(1 ) 1 (1 ) 1
. .(1 ) .
.(1 )
n
n n
n
n
F A i
i i
F R i R
i i i
= +
+ − + −
= + =
+
(1 ) 1ni
i
+ −
 ⇒ Fator de Acumulação de Capital (FAC) ou Fator de Valor 
Futuro ⇒ F = R x FAC 
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23.5.4. Renda Antecipada 
A renda antecipada corresponde à uma série uniforme de pagamentos 
periódicos em que o primeiro pagamento ocorre no ato da realização do 
negócio. 
A = valor da renda 
R = valor da prestação 
n = número de prestações 
i = taxa de juros 
2 1
...
(1 ) (1 ) (1 )n
R R R
A R 
i i i −
= + + + +
+ + +
A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguinte resultado:1
1
(1 ) 1
. 1
.(1 )
n
n
i
A R 
i i
−
−
 + −
= + + 
 = R . [a(n-1;i) + 1] 
O termo a(n-1;i) = 
1
1
(1 ) 1
.(1 )
n
n
i
i i
−
−
+ −
+
é tabelado (tabela II fornecida ao final do 
capítulo). Portanto basta achar o valor tabelado e somar 1. 
Exemplo: Um empréstimo contraído no início de abril, no valor de R$ 
15.000,00, deve ser pago em dezoito prestações mensais e iguais, a uma taxa 
de juros compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação no ato do 
negócio, a segunda no final de abril, e assim sucessivamente. Calcule o valor 
da prestação. 
Dado: [(1,02)17 – 1]/[0,02 x (1,02)17] = 14,291872 
15.000 = P x [[(1+i)17 – 1]/[i . (1+i)17] + 1] ⇒ 
⇒ 15.000 = P x [[(1,02)17 – 1]/[0,02 x (1,02)17] + 1] ⇒ 
⇒ 15.000 = P x (14,291872 + 1) ⇒ 
⇒ 15.000 = P x 15,291872 ⇒ P = 980,91 
A 
0 1 2 ... n-1 
R R R 
0 
1 2 3 17 
P P P P P 
15.000
R 
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Se a questão não informasse o valor da expressão acima, poderíamos utilizar a 
tabela II, fornecida ao final do capítulo: 
[(1+i)17 – 1]/[i x (1+i)17], para i = 2% e n = 18 – 1 = 17 ⇒ 
⇒ Fator de Valor Atual = a(17;2%) + 1 = 14,291872 + 1 = 15,291872 
⇒ 15.000 = P x 15,291872 ⇒ P = 980,91 
Caso quiséssemos calcular o total pago imediatamente após o último 
pagamento ou um período após o último pagamento (montante de valor 
futuro), teríamos: 
Valor futuro após o último pagamento: Fn-1 = R. 
(1 ) 1ni
i
+ −
 
Valor futuro um período após o último pagamento: Fn = R. (
1(1 ) 1ni
i
++ −
– 1) 
Onde s(n;i) = 
(1 ) 1ni
i
+ −
 é tabelado (tabela III) e denominado fator de 
acumulação de capital ou fator de valor futuro. 
Valor futuro um período após o último pagamento: Fn = R. (
1(1 ) 1ni
i
++ −
– 1) ⇒ 
⇒ Fn = R. [s(n+1;i) – 1] 
Exemplo: Considere uma renda antecipada de quatro termos mensais e iguais 
a R$ 1.000,00, à taxa de 10% ao mês. Calcule o valor atual, o montante 
imediatamente após o último pagamento e o montante um mês após o último 
pagamento. 
Dados: 
[(1,10)3 – 1]/[0,10 x (1,10)3] = 2,486852 
[(1,10)4 – 1]/0,10 = 4,641 
[(1,10)5 – 1]/0,10 = 6,105100 
A 
0 1 2 ... n-1 
R RR 
Fn 
Fn-1 
R 
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R = 1.000 
i = 10% ao mês 
n = 4 
Para i = 10% ao mês e n – 1 = 4 – 1 = 3: 
1
1
(1 ) 1
. 1
.(1 )
n
n
i
A R 
i i
−
−
 + −
= + + 
= 1.000 x [[(1,10)3 – 1]/[0,10 x (1,10)3] + 1] ⇒ 
⇒ A = 1.000 x (2,486852 + 1) = 3.486,85 
Montante após o último pagamento: 
F(n-1) = R. 
(1 ) 1ni
i
+ −
⇒ F(3)= R. 
4(1 10%) 1
10%
+ −
⇒ 
⇒ F(3) = 1.000 x 4,641000 = 4.641,00 
Montante um mês após o último pagamento: 
Fn = R. (
1(1 ) 1ni
i
++ −
– 1)=> F(4)= R. (
5(1 10%) 1
10%
+ −
 – 1) ⇒ 
⇒ F(4) = 1.000 x (6.105100 – 1) = 5.105,10 
Repare que: 
F(4) = F(3) x (1 + i) = F(3) x 1,1 = 4,641,00 x 1,1 = 5.105,10 
Se a questão não informasse o valor da expressão acima, poderíamos utilizar 
as tabelas II e III, fornecidas ao final do capítulo: 
Para i = 10% ao mês e n = 4 – 1 = 3 (tabela II): 
Fator de Valor Atual = 2,486852 
Valor Atual: 
(1 ) 1
. 1
.(1 )
n
n
i
A R 
i i
 + −
= + + 
= 1.000.(2,486852 + 1) = 3.486,85 
A 
0 1 2 3 
RRR 
F4 F3 
R
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Montante após o último pagamento: 
F(n-1) = R. 
(1 ) 1ni
i
+ −
⇒F(3)= R. 
4(1 10%) 1
10%
+ −
 
Fator de Acumulação =
4(1 10%) 1
10%
+ −
 = s (4;10%) (tabela III) = 4,641000 
F(3) = 1.000 . 4,641000 = 4.641,00 
Montante um mês após o último pagamento: 
Fn = R. (
1(1 ) 1ni
i
++ −
– 1) ⇒ F(4)= R. (
5(1 10%) 1
10%
+ −
-1) = R.[s(5;10%) – 1] 
Fator de Acumulação =
5(1 10%) 1
10%
+ −
 (tabela III) = 6,105100 
F(4) = 1.000 . (6.105100 – 1) = 5.105,10 
Memorize para a prova: 
Renda Antecipada:
2 1
...
(1 ) (1 ) (1 )n
R R R
A R 
i i i −
= + + + +
+ + +
A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguinte resultado: 
1
1
(1 ) 1
. 1
.(1 )
n
n
i
A R 
i i
−
−
 + −
= + + 
 = R . [a(n-1;i) + 1] 
O termo a(n-1;i) = 
1
1
(1 ) 1
.(1 )
n
n
i
i i
−
−
+ −
+
é tabelado (tabela II fornecida ao final do 
capítulo). Portanto basta achar o valor tabelado e somar 1. 
Caso quiséssemos calcular o total pago imediatamente após o último 
pagamento ou um período após o último pagamento (montante de valor 
futuro), teríamos: 
Valor futuro após o último pagamento: Fn-1 = R. 
(1 ) 1ni
i
+ −
 
Valor futuro um período após o último pagamento: Fn = R. (
1(1 ) 1ni
i
++ −
– 1) 
Onde s(n;i) = 
(1 ) 1ni
i
+ −
 é tabelado (tabela III) e denominado fator de 
acumulação de capital ou fator de valor futuro. 
Valor futuro um período após o último pagamento: Fn = R. (
1(1 ) 1ni
i
++ −
– 1) 
⇒ Fn = R. [s(n+1;i) – 1] 
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23.5.5. Renda Diferida 
A renda diferida corresponde à série uniforme de pagamentos periódicos em 
que o primeiro pagamento ocorre m+1 períodos após o início do negócio, ou 
seja, há m períodos sem pagamento. 
A = valor da renda 
R = valor da prestação 
m = número de períodos sem pagamento 
n = número de prestações 
i = taxa de juros 
1 2 1
...
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )m m m n m n
R R R R
A 
i i i i+ + + − +
= + + + +
+ + + +
Repare que, no caso da renda diferida, A vai ser igual a: 
1 2 1 1
... ... ...
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
m m m n m
R R R R R R R
A 
i i i i i i i
+ +
 
= + + + + + + − + + + + + + + + + 
(1 ) 1 (1 ) 1
. 
.(1 ) .(1 )
m n m
m n m
i i
A R 
i i i i
+
+
    + − + −
= −    + +    
A = R. [a(m+n;i) – a(m;i)] 
Ou seja, consideramos a renda postecipada até o período m+n e subtraímos o 
período de diferimento (até m). 
Exemplo: Alfeu comprou uma televisão de 70 polegadas e irá pagá-la em 
cinco prestações mensais e iguais de R$ 2.000,00, com a primeira prestação 
vencendo ao final de sete meses após a realização do negócio. Sabendo-se que 
a taxa de juros compostos é de 3% ao mês, qual o valor atual das prestações? 
Dados: 
[(1,03)11 – 1]/[0,03 x (1,03)11] = 9,252624 
[(1,03)6 – 1]/[0,03 x (1,03)6] = 5,417191 
R = 2.000 
i = 3% ao mês 
Primeira prestação ⇒ m+1 = 7 ⇒ m = 6 
n = 5 ⇒ m + n = 6 + 5 = 11 
A 
0 1 2 ... m 
m+1
R R R R 
m+2 ... m+n
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7 8 9 10 11
2.000 2.000 2.000 2.000 2.000
(1 3%) (1 3%) (1 3%) (1 3%) (1 3%)
A = + + + +
+ + + + +
⇒
⇒ 
7 8 9 10 11
1 1 1 1 1
2.000 ( )
(1,03) (1,03) (1,03) (1,03) (1,03)
A = × + + + + ⇒ 
⇒
1 2 6 7 11
1 2 6
1 1 1 1 1
2.000 ... ...
(1,03) (1,03) (1,03) (1,03) (1,03)
1 1 1
...
(1,03) (1,03) (1,03)
A 
 
= × + + + + + + − 
 
 
− + + + 
 
Ou utilizando diretamente a fórmula: 
⇒ 
(1 ) 1 (1 )1
. 
.(1 ) .(1 )
m n m
m n m
i i
A R 
i i i i
+
+
    + − + −
= −    + +    
⇒ 
⇒
11 6
11 6
(1,03) 1 (1,03) 1
. 
0,03.(1,03) 0,03.(1,03)
A R 
    − −
= −    
    
⇒ 
⇒ A = 2.000 x (9,252624 – 5,417191) = 7.670,87 
Se a questão não informasse o valor da expressão acima, poderíamos utilizar a 
tabelas II, fornecida ao final do capítulo: 
A = R. [a(m+n;i) – a(m;i)] = 2.000.[a(6+5;3%) – a(6;3%)] ⇒ 
⇒ A = 2.000.[a(11;3%) – a(6;3%)] 
Da tabela II: a(11;3%) = 9,252624 e a(6;3%) = 5,417191 
A = 2.000.(9,252624 – 5,417191) = 7.670,87 
Memorize para a prova: 
Renda Diferida: 
1 2 1
...
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )m m m n m n
R R R R
A 
i i i i+ + + − +
= + + + +
+ + + +
Repare que, no caso da renda diferida, A vai ser igual a: 
1 2 1 1
... ... ...
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
m m m n m
R R R R R R R
A 
i i i i i i i
+ +
 
= + + + + + + − + + + + + + + + + 
(1 ) 1 (1 ) 1
. 
.(1 ) .(1 )
m n m
m n m
i i
A R 
i i i i
+
+
    + − + −
= −    + +    
⇒ A = R. [a(m+n;i) – a(m;i)] 
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23.6. Tabelas 
Tabela I - Fator de Acumulação de Capital: an = (1 + i)
n 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 
11,010000 1,0200001,030000 1,0400001,050000 1,0600001,070000 
21,020100 1,0404001,060900 1,0816001,102500 1,1236001,144900 
31,030301 1,0612081,092727 1,1248641,157625 1,1910161,225043 
41,040604 1,0824321,125509 1,1698591,215506 1,2624771,310796 
51,051010 1,1040811,159274 1,2166531,276282 1,3382261,402552 
61,061520 1,1261621,194052 1,2653191,340096 1,4185191,500730 
71,072135 1,1486861,229874 1,3159321,407100 1,5036301,605781 
81,082857 1,1716591,266770 1,3685691,477455 1,5938481,718186 
91,093685 1,1950931,304773 1,4233121,551328 1,6894791,838459 
101,104622 1,2189941,343916 1,4802441,628895 1,7908481,967151 
111,115668 1,2433741,384234 1,5394541,710339 1,8982992,104852 
121,126825 1,2682421,425761 1,6010321,795856 2,0121962,252192 
131,138093 1,2936071,468534 1,6650741,885649 2,1329282,409845 
141,149474 1,3194791,512590 1,7316761,979932 2,2609042,578534 
151,160969 1,3458681,557967 1,8009442,078928 2,3965582,759032 
161,172579 1,3727861,604706 1,8729812,182875 2,5403522,952164 
171,184304 1,4002411,652848 1,9479002,292018 2,6927733,158815 
181,196147 1,4282461,702433 2,0258172,406619 2,8543393,379932 
191,208109 1,4568111,753506 2,1068492,526950 3,0256003,616528 
201,220190 1,4859471,806111 2,1911232,653298 3,2071353,869684 
 8% 9% 10% 12% 15% 18% 
11,0800001,090000 1,1000001,120000 1,150000 1,180000 
21,1664001,188100 1,2100001,254400 1,322500 1,392400 
31,2597121,295029 1,3310001,404928 1,520875 1,643032 
41,3604891,411581 1,4641001,573519 1,749006 1,938778 
51,4693281,538624 1,6105101,762342 2,011357 2,287758 
61,5868741,677100 1,7715611,973823 2,313061 2,699554 
71,7138241,828039 1,9487172,210681 2,660020 3,185474 
81,8509301,992563 2,1435892,475963 3,059023 3,758859 
91,9990052,171893 2,3579482,773079 3,517876 4,435454 
102,1589252,367364 2,5937423,105848 4,045558 5,233836 
112,3316392,580426 2,8531173,478550 4,652391 6,175926 
122,5181702,812665 3,1384283,895976 5,350250 7,287593 
132,7196243,065805 3,4522714,363493 6,152788 8,599359 
142,9371943,341727 3,7974984,887112 7,07570610,147244 
153,1721693,642482 4,1772485,473566 8,13706211,973748 
163,4259433,970306 4,5949736,130394 9,35762114,129023 
173,7000184,327633 5,0544706,866041 10,76126416,672247 
183,9960194,717120 5,5599177,689966 12,37545419,673251 
194,3157015,141661 6,1159098,612762 14,23177223,214436 
204,6609575,604411 6,7275009,646293 16,36653727,393035 
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Tabela II – Fator Valor Atual de uma Série de Pagamentos: 
a(n;i) = 
(1 ) 1
.(1 )
n
n
i
i i
+ −
+
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,9345790,925926 
2 1,970395 1,941561 1,913470 1,886095 1,859410 1,833393 1,8080181,783265 
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,6243162,577097 
4 3,901966 3,807729 3,717098 3,629895 3,545951 3,465106 3,3872113,312127 
5 4,853431 4,713460 4,579707 4,451822 4,329477 4,212364 4,1001973,992710 
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,7665404,622880 
7 6,728195 6,471991 6,230283 6,002055 5,786373 5,582381 5,3892895,206370 
8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,9712995,746639 
9 8,566018 8,162237 7,786109 7,435332 7,107822 6,801692 6,5152326,246888 
10 9,471305 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,0235826,710081 
1110,367628 9,786848 9,252624 8,760477 8,306414 7,886875 7,4986747,138964 
1211,255077 10,575341 9,954004 9,385074 8,863252 8,383844 7,9426867,536078 
1312,133740 11,34837410,634955 9,985648 9,393573 8,852683 8,3576517,903776 
1413,003703 12,10624911,296073 10,563123 9,898641 9,294984 8,7454688,244237 
1513,865053 12,84926411,937935 11,118387 10,379658 9,712249 9,1079148,559479 
1614,717874 13,57770912,561102 11,652296 10,83777010,105895 9,4466498,851369 
1715,562251 14,29187213,166118 12,165669 11,27406610,477260 9,7632239,121638 
1816,398269 14,99203113,753513 12,659297 11,68958710,827603 10,0590879,371887 
1917,226008 15,67846214,323799 13,133939 12,08532111,158116 10,3355959,603599 
2018,045553 16,35143314,877475 13,590326 12,46221011,469921 10,5940149,818147 
 9% 10% 12% 15% 18%
10,917431 0,9090910,892857 0,869565 0,847458
21,759111 1,7355371,690051 1,625709 1,565642
32,531295 2,4868522,401831 2,283225 2,174273
43,239720 3,1698653,037349 2,854978 2,690062
53,889651 3,7907873,604776 3,352155 3,127171
64,485919 4,3552614,111407 3,784483 3,497603
75,032953 4,8684194,563757 4,160420 3,811528
85,534819 5,3349264,967640 4,487322 4,077566
95,995247 5,7590245,328250 4,771584 4,303022
106,417658 6,1445675,650223 5,018769 4,494086
116,805191 6,4950615,937699 5,233712 4,656005
127,160725 6,8136926,194374 5,420619 4,793225
137,486904 7,1033566,423548 5,583147 4,909513
147,786150 7,3666876,628168 5,724476 5,008062
158,060688 7,6060806,810864 5,847370 5,091578
168,312558 7,8237096,973986 5,954235 5,162354
178,543631 8,0215537,119630 6,047161 5,222334
188,755625 8,2014127,249670 6,127966 5,273164
198,950115 8,3649207,365777 6,198231 5,316241
209,128546 8,5135647,469444 6,259331 5,352746
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Tabela III – Fator de Acumulação de Capital de uma Série de 
Pagamentos: 
s(n;i) = 
(1 ) 1ni
i
+ −
 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 
1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 
2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 2,050000 2,060000 2,070000 2,080000 
3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 3,152500 3,183600 3,214900 3,246400 
4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,310125 4,374616 4,439943 4,506112 
5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416323 5,525631 5,637093 5,750739 5,866601 
6 6,152015 6,308121 6,468410 6,632975 6,801913 6,975319 7,153291 7,335929 
7 7,213535 7,434283 7,662462 7,898294 8,142008 8,393838 8,654021 8,922803 
8 8,285671 8,582969 8,892336 9,214226 9,549109 9,897468 10,25980310,636628 
9 9,368527 9,75462810,159106 10,582795 11,02656411,491316 11,97798912,487558 
1010,462213 10,94972111,463879 12,006107 12,57789313,180795 13,81644814,486562 
1111,566835 12,16871512,807796 13,486351 14,20678714,971643 15,78359916,645487 
1212,682503 13,41209014,192030 15,025805 15,91712716,869941 17,88845118,9771261313,809328 14,68033215,617790 16,626838 17,71298318,882138 20,14064321,495297 
1414,947421 15,97393817,086324 18,291911 19,59863221,015066 22,55048824,214920 
1516,096896 17,29341718,598914 20,023588 21,57856423,275970 25,12902227,152114 
1617,257864 18,63928520,156881 21,824531 23,65749225,672528 27,88805430,324283 
1718,430443 20,01207121,761588 23,697512 25,84036628,212880 30,84021733,750226 
1819,614748 21,41231223,414435 25,645413 28,13238530,905653 33,99903337,450244 
1920,810895 22,84055925,116868 27,671229 30,53900433,759992 37,37896541,446263 
2022,019004 24,29737026,870374 29,778079 33,06595436,785591 40,99549245,761964 
 9% 10% 12% 15% 18%
1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000
2 2,090000 2,100000 2,120000 2,150000 2,180000
3 3,278100 3,310000 3,374400 3,472500 3,572400
4 4,573129 4,641000 4,779328 4,993375 5,215432
5 5,984711 6,105100 6,352847 6,742381 7,154210
6 7,523335 7,715610 8,115189 8,753738 9,441968
7 9,200435 9,48717110,089012 11,066799 12,141522
811,028474 11,43588812,299693 13,726819 15,326996
913,021036 13,57947714,775656 16,785842 19,085855
1015,192930 15,93742517,548735 20,303718 23,521309
1117,560293 18,53116720,654583 24,349276 28,755144
1220,140720 21,38428424,133133 29,001667 34,931070
1322,953385 24,52271228,029109 34,351917 42,218663
1426,019189 27,97498332,392602 40,504705 50,818022
1529,360916 31,77248237,279715 47,580411 60,965266
1633,003399 35,94973042,753280 55,717472 72,939014
1736,973705 40,54470348,883674 65,075093 87,068036
1841,301338 45,59917355,749715 75,836357103,740283
1946,018458 51,15909063,439681 88,211811123,413534
2051,160120 57,27499972,052442 102,443583146,627970
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23.7. Memorize para a prova 
Juros Compostos: os juros são calculados sobre o montante do capital (C) no 
período anterior (juros sobre juros), ou seja, o capital inicial de cada período é 
o capital do período anterior acrescido dos juros do período anterior. 
M = C . (1 + i)t 
J = M - C 
Onde, 
M = montante 
C = capital 
J = juros 
i = taxa de juros 
t = período 
(1 + i)t = fator de capitalização 
Convenção Linear: o capital é atualizado a juros compostos no número 
inteiro de períodos (t) e atualizado por juros simples no período fracionário (q). 
M = C . (1 + i)t . (1 + i . q) 
Convenção Exponencial: o capital é atualizado a juros compostos no período 
total da aplicação. 
M = C . (1 + i)t+q 
Capitalização Contínua: é um tipo de capitalização a juros compostos onde 
os juros auferidos em um instante de tempo t são imediatamente incorporados 
ao capital aplicado, produzindo, por conseguinte, os juros no instante de 
tempo t1, e assim sucessivamente. Neste tipo de capitalização, o capital 
sofrerá variações em intervalos infinitesimais de tempo, que é justamente o 
que a difere da capitalização a juros compostos, onde a variação de tempo é 
finita. 
Neste tipo de capitalização utiliza-se a seguinte fórmula: M = C . ei.t 
Onde: 
M = Montante; 
C = Capital Aplicado; 
e = número neperiano ou número de Euler = 2,718 (constante); 
i = taxa de juros; e 
t = período. 
Desconto Composto Comercial ou por Fora: é um desconto que incide 
sobre o valor nominal (N), período a período. 
A = N . (1 – iD)
t 
Dc = N – A = N – N . (1 – iD)
t = N . [1 - (1 – iD)
t] 
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Onde, 
Dc = desconto comercial 
iD = taxa de desconto comercial (juros simples) 
t = período restante até o vencimento do título 
N = valor nominal 
A = valor atual 
Desconto Racional, Financeiro, Matemático ou Por Dentro: é o desconto 
que determina um valor atual (Ad) que, corrigido nas condições de mercado, 
resulta em um montante igual ao valor nominal. 
N = A . (1 + ir)t ⇒ A = N/(1 + ir)t 
Dr = N – A = N - N/(1 + ir)t = N . [1 – 1/(1 + ir)t] ⇒ 
⇒ Dr = N . [(1 + ir)t – 1]/(1 + ir)t 
Onde, 
Dr = desconto comercial 
ir = taxa de desconto comercial (juros simples) 
t = período restante até o vencimento do título 
N = valor nominal 
A = valor atual 
Desconto Bancário: corresponde ao desconto comercial acrescido de taxas 
bancárias sobre o valor nominal. 
DB = Dc + e . N 
Onde, 
e = encargos bancários 
Equivalência de Capitais – Desconto Racional 
Equivalência no Futuro: N = A . (1 + i)t 
Equivalência no Passado: A = N/(1 + i)t 
Equivalência de Capitais – Desconto Comercial 
Equivalência no Futuro: N = A/(1 – i)t 
Equivalência no Passado: A = N . (1 – i)t 
Renda Postecipada: 
2 1
...
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )n n
R R R R
A 
i i i i−
= + + + +
+ + + +
A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguinte resultado: 
(1 ) 1
. 
.(1 )
n
n
i
A R 
i i
+ −
=
+
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(1 ) 1
.(1 )
n
n
i
i i
+ −
+
⇒ Fator de Valor Atual (FVA) ou Fator de Valor Presente 
(FVP) ⇒ A = R x FVA 
Uma renda postecipada corresponde à série uniforme de pagamentos 
periódicos em que o primeiro pagamento ocorre um período após o negócio. 
.(1 )
(1 ) 1 (1 ) 1
. .(1 ) .
.(1 )
n
n n
n
n
F A i
i i
F R i R
i i i
= +
+ − + −
= + =
+
(1 ) 1ni
i
+ −
 ⇒ Fator de Acumulação de Capital (FAC) ou Fator de Valor 
Futuro ⇒ F = R x FAC 
Renda Antecipada: 
2 1
...
(1 ) (1 ) (1 )n
R R R
A R 
i i i −
= + + + +
+ + +
A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguinte resultado: 
1
1
(1 ) 1
. 1
.(1 )
n
n
i
A R 
i i
−
−
 + −
= + + 
 = R . [a(n-1;i) + 1] 
O termo a(n-1;i) = 
1
1
(1 ) 1
.(1 )
n
n
i
i i
−
−
+ −
+
é tabelado (tabela II fornecida ao final do 
capítulo). Portanto basta achar o valor tabelado e somar 1. 
Caso quiséssemos calcular o total pago imediatamente após o último 
pagamento ou um período após o último pagamento (montante de valor 
futuro), teríamos: 
Valor futuro após o último pagamento: Fn-1 = R. 
(1 ) 1ni
i
+ −
 
Valor futuro um período após o último pagamento: Fn = R. (
1(1 ) 1ni
i
++ −
– 1) 
Onde s(n;i) = 
(1 ) 1ni
i
+ −
 é tabelado (tabela III) e denominado fator de 
acumulação de capital ou fator de valor futuro. 
Valor futuro um período após o último pagamento: Fn = R. (
1(1 ) 1ni
i
++ −
– 1) ⇒ 
Fn = R. [s(n+1;i) – 1] 
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Renda Diferida: 
1 2 1
...
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )m m m n m n
R R R R
A 
i i i i+ + + − +
= + + + +
+ + + +
Repare que, no caso da renda diferida, A vai ser igual a: 
1 2 1 1
... ... ...
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
m m m n m
R R R R R R R
A 
i i i i i i i
+ +
 
= + + + + + + − + + + + + + + + + 
(1 ) 1 (1 ) 1
. 
.(1 ) .(1 )
m n m
m n m
i i
A R 
i i i i
+
+
    + − + −
= −    + +    
⇒ A = R. [a(m+n;i) – a(m;i)] 
,
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23.8. Exercícios de Fixação 
1.(Administrador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Um 
investidor deposita R$ 12.000,00 no início de cada ano em um banco que 
remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juroscompostos de 
10% ao ano. Quando ele realizar o quarto depósito, tem-se que a soma dos 
montantes referentes aos depósitos realizados é igual a 
(A) R$ 52.800,00. 
(B) R$ 54.246,00. 
(C) R$ 55.692,00. 
(D) R$ 61.261,20. 
(E) R$ 63.888,00. 
2.(Administrador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Uma 
pessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$ 25.000,00, tendo que 
pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano, 
com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento 
pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por: 
(A) [(1,02)18 – 1] 
(B) 18 .
18 1,36 – 1 
(C) 18 .18 1,24 – 1 
(D) 3 . 1,24 – 1 
(E) 6 . 3 1,24 – 1 
3.(Contador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Uma pessoa 
aplica, na data de hoje, os seguintes capitais: 
I. R$ 8.000,00 a uma taxa de juros simples, durante 18 meses. 
II. R$ 10.000,00 a uma taxa de juros compostos de 5% ao semestre, durante 
um ano. 
O valor do montante verificado no item II supera em R$ 865,00 o valor do 
montante verificado no item I. A taxa de juros simples anual referente ao item 
I é igual a 
(A) 21%. 
(B) 15%. 
(C) 18%. 
(D) 27%. 
(E) 24%. 
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4.(Fiscal de Rendas-SP-2009-FCC) Uma programação de investimento 
consiste na realização de três depósitos consecutivos de valores iguais 
efetuados no início de cada ano. O resgate dos respectivos montantes será 
feito de uma só vez, três anos após a data do primeiro depósito. Considerando 
uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que a soma dos 
montantes no ato do resgate foi igual a R$ 43.692,00, conclui-se que o valor 
de cada depósito é igual a 
(A) R$ 10.000,00 
(B) R$ 10.500,00 
(C) R$ 11.000,00 
(D) R$ 11.500,00 
(E) R$ 12.000,00 
5.(Fiscal de Rendas-SP-2009-FCC) Um título é descontado dois anos antes 
de seu vencimento, a uma taxa positiva i ao ano. Se for utilizado o desconto 
racional composto, o valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e, se for 
utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$ 23.040,00. 
O valor nominal deste título é igual a 
(A) R$ 40.000,00 
(B) R$ 36.000,00 
(C) R$ 34.000,00 
(D) R$ 32.000,00 
(E) R$ 30.000,00 
6.(Auditor-Infraero-2009-FCC) Uma pessoa adquiriu um CDB − Certificado 
de Depósito Bancário prefixado com vencimento em 60 dias, cujo valor de 
resgate era R$ 212.000,00. O valor pago pelo investidor no CDB foi R$ 
200.000,00. No mesmo período, a economia registrou uma deflação de 1%. A 
taxa de juros real paga recebida pelo investidor na operação foi 
(A) maior que 7% 
(B) igual a 5% 
(C) maior que 5% mas inferior a 6% 
(D) igual a 6% 
(E) maior que 6%, mas inferior a 7% 
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7.(Contador-Infraero-2009-FCC) Antônio aplicou R$ 12.000,00 em um 
banco que remunera os depósitos de seus clientes a juros simples, a uma taxa 
de 1,5% ao mês. Após 8 meses, ele resgata todo o montante e o aplica 
totalmente em um outro banco, durante um ano, a juros compostos, a uma 
taxa de 5% ao semestre. No final da segunda aplicação, o valor do montante é 
de 
(A) R$ 15.214,50 
(B) R$ 14.817,60 
(C) R$ 14.784,40 
(D) R$ 13.800,00 
(E) R$ 13.230,00 
8.(Analista Judiciário-Auditor-TJ-PI-2009) Certa pessoa física conseguiu 
um financiamento de R$ 120.000,00 a ser quitado em 60 prestações mensais e 
consecutivas, à taxa efetiva de 1% ao mês, sendo que a primeira prestação 
vence em 30 dias após a concessão do financiamento. O valor da prestação 
mensal constante é de R$ 2.668,80. O saldo devedor do empréstimo, após o 
pagamento da 1a prestação é, em R$, é igual a 
(A) 118.531,20. 
(B) 117.331,20. 
(C) 117.600,00. 
(D) 118.200,00. 
(E) 117.799,20. 
9.(Assistente de Suporte Técnico Nível I - Suporte Técnico à Gestão – 
Contabilidade-Prefeitura/SP-2008-FCC) João depositou R$ 1.000,00 no 
início de cada mês durante seis meses consecutivos à taxa de juros de 24% ao 
ano com capitalização mensal. José depositou a mesma importância também 
no início de cada mês pelo mesmo período, mas à taxa de 27% ao ano com 
capitalização mensal. O montante obtido por José imediatamente após o último 
depósito foi, neste momento, superior ao de João em R$ 39,68. Sabendo-se 
que o fator de acumulação de capital (FAC) da taxa efetiva mensal de 2% em 
6 meses é 6,30812, o FAC, para o mesmo período correspondente à aplicação 
de José, foi equivalente a 
(A) 6,26488 
(B) 6,26844 
(C) 6,27884 
(D) 6,31548 
(E) 6,34780 
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10.(Assessor-Contabilidade-MPE/RS-2008-FCC) A taxa nominal i ao ano, 
com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva anual de 
(A) 
1
1212. (1 ) 1i
   
+ −  
   
(B) 
1
1212. (1 ) 1
12
i   
+ −  
   
(C) 12(1 ) 1
12
i + −  
(D) 
12
(1 ) 
1
12
i +
− 
 
(E) 
12
1
12
i   −  
   
11.(Analista Trainee-Contabilidade-Metrô/SP-2008-FCC) Assumindo 
uma taxa anual de juros de 10% no regime de capitalização composta, o 
pagamento de um empréstimo de R$ 1.000,00 no final de um ano após sua 
obtenção é equivalente, em termos de fluxo de caixa, ao pagamento, em R$, 
de duas prestações anuais iguais e sucessivas, vencendo a primeira um ano 
após a realização do empréstimo (desprezando os algarismos a partir da 
terceira casa decimal depois da vírgula) no valor de 
(A) 523,81 
(B) 555,55 
(C) 568,12 
(D) 576,19 
(E) 583,47 
12.(Analista Trainee-Contabilidade-Metrô/SP-2008-FCC) A taxa mensal 
equivalente a uma taxa de juros anual de 12% no regime de capitalização 
composta é (em percentagem): 
(A) (0,12/12) × 100 
(B) (12/100/12) × 100 
(C) (0,12)1/12× 100 
(D) [(1,01)12 – 1] × 100 
(E) [(1,12)1/12 -1] × 100 
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13.(Assistente-Contábil-PBGAS-2007-FCC) João dos Santos fez uma 
aplicação de R$ 28.500,00 numa instituição financeira por dois anos, com 
capitalização composta anual. Sabendo que a taxa composta de juros anual da 
aplicação correspondeu a 10%, o montante resgatado pelo investidor no 
vencimento da aplicação foi de 
(A) R$ 34.200,00 
(B) R$ 34.485,00 
(C) R$ 35.200,00 
(D) R$ 35.485,00 
(E) R$ 36.200,00 
14.(Especialista em Regulação de Saúde Suplementar-Ciências 
Contábeis-ANS-2007-FCC) Um título é resgatado dois anos antes de seu 
vencimento segundo o critério do desconto racional composto a uma taxa de 
juros compostos de 10% ao ano. Se o valor atual é igual a R$ 15.000,00, o 
valor correspondente do desconto é de 
(A) R$ 2.850,00. 
(B) R$ 3.000,00. 
(C) R$ 3.150,00. 
(D) R$ 3.300,00. 
(E) R$ 3.450,00. 
15.(Especialista em Regulação de Saúde Suplementar-Ciências 
Contábeis-ANS-2007-FCC) O custo efetivo do financiamento de uma 
determinada operação realizada em um ano foi de 15,5%. Se a taxa de 
inflação correspondente a este ano foi de 10%, significa que o custo real 
efetivo referente a esta operação foi de 
(A) 4,50%. 
(B) 5,00%. 
(C) 5,50%. 
(D) 5,75%. 
(E) 6,00%. 
16.(Analista Legislativo-Contador-Câmara dos Deputados-2007-FCC) 
Uma dívida no valor de R$ 46.200,00, na data de hoje, deverá ser quitada por 
meio de duas prestações de valores iguais, vencível a primeira daqui a um anoe a segunda daqui a dois anos. Considerando o critério do desconto financeiro 
composto a uma taxa de juros de 20% ao ano, tem-se que o valor de cada 
prestação é igual a 
(A) R$ 30.240,00 
(B) R$ 27.720,00 
(C) R$ 25.200,00 
(D) R$ 24.960,00 
(E) R$ 24.720,00 
,
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Instrução: Na resolução da questão no 17 utilize a tabela abaixo, que fornece 
os fatores de valor presente (FVP) de séries uniformes, a uma taxa de 2% ao 
mês, sendo FVP dado por 
(1,02) 1
(1,02) .0,02
n
n
−
 
Numero de 
prestações (n) 
FVP 
1 0,9804 
2 1,9416 
3 2,8839 
4 3,8077 
5 4,7135 
6 5,6014 
7 6,4720 
8 7,3255 
9 8,1622 
10 8,9826 
11 9,7868 
12 10,5753 
17.(Analista Legislativo-Contador-Câmara dos Deputados-2007-FCC) 
Um automóvel poderá ser adquirido à vista pelo valor de R$ 25.000,00. O 
comprador poderá também adquirir o automóvel dando uma entrada no ato da 
compra e o restante em 10 prestações mensais e consecutivas, no valor de R$ 
2.000,00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a data da compra. 
Utilizando o critério do desconto financeiro composto a uma taxa de 2% ao 
mês, tem-se que o valor da entrada referente à segunda opção que torna 
iguais os valores presentes das duas opções, na data da aquisição, é 
(A) R$ 8.675,60 
(B) R$ 7.855,20 
(C) R$ 7.034,80 
(D) R$ 5.526,20 
(E) R$ 3.234,80 
18.(Agente Fiscal de Rendas-Sefaz/SP-2006-FCC) Um capital de R$ 
50.000,00 foi aplicado à taxa semestral i, durante 2 anos, com capitalização 
contínua, apresentando, no final do período, um montante igual a R$ 
200.000,00. Utilizando ln 2 = 0,69 (ln é o logaritmo neperiano), tem-se que i é 
igual a 
(A) 14,02% 
(B) 17,25% 
(C) 30% 
(D) 34,5% 
(E) 69% 
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19.(Analista-Contabilidade-Casa da Moeda-2009-Cesgranrio) Um 
investidor aplicou a quantia de R$ 15.000,00, por um período de 4 meses, a 
uma taxa de juros compostos de 3% ao mês. O valor dos juros obtidos nessa 
aplicação, em reais, é 
(A) 1.165,32 
(B) 1.667,79 
(C) 1.882,63 
(D) 2.003,33 
(E) 2.182,83 
20.(Ciências Contábeis-BNDES-2009-Cesgranrio) O investimento, que 
proporcionou a um investidor obter um montante de R$ 15.000,00 aplicado a 
uma taxa de juros compostos de 1,5% ao mês, pelo período de seis meses, em 
reais, foi 
(A) 12.222,22 
(B) 13.718,13 
(C) 13.761,46 
(D) 14.061,75 
(E) 14.138,93 
21.(Contador-Funasa-2009-Cesgranrio) A Companhia Trilhos obteve um 
empréstimo no Banco em que opera, com as características apresentadas a 
seguir. 
Prazo de resgate: 2 anos 
Taxa de juros compostos: 12% ao ano 
Valor final a pagar: R$ 150.000,00 
Com base nesses dados, conclui-se que o valor do empréstimo obtido, em 
reais, foi 
(A) 129.975,80 
(B) 122.111,11 
(C) 120.000,00 
(D) 119.579,08 
(E) 118.891,99 
22.(Técnico de Administração e Controle-Termoceará-2009-
Cesgranrio) Se um empresário aplicar R$ 50.000,00 por um prazo de 3 
meses, que taxa mensal de juros compostos precisará obter para dobrar o 
capital? 
(A) 25,99% 
(B) 25,67% 
(C) 23,33% 
(D) 22,50% 
(E) 16,67% 
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23.(Técnico de Administração e Controle-Termoceará-2009-
Cesgranrio) Uma duplicata no valor de R$ 7.000,00 foi descontada dois 
meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto composta de 2,5% 
ao mês. O valor do desconto cobrado pelo banco, em reais, foi 
(A) 345,63 
(B) 369,17 
(C) 370,01 
(D) 371,99 
(E) 471,33 
24.(Técnico de Defesa Aérea e Controle de Tráfego Aéreo-Ciências 
Econômicas-DECEA-2009-Cesgranrio) O valor presente da quantia de 
R$1.000,00, a ser paga de uma só vez, em 6 anos contados a partir da data 
atual, é igual a R$ 1.000/(1.05)6, se a taxa anual de juros composto for 
(A) 6% a.a. 
(B) 5% a.a. 
(C) 30% a.a. 
(D) 105% a.a. 
(E) 1.05% a.a 
25.(Técnico de Defesa Aérea e Controle de Tráfego Aéreo-Ciências 3 
Econômicas-DECEA-2009-Cesgranrio) Uma pessoa recebe R$ 100,00, 
quantia que deverá pagar durante 3 anos, com a taxa de juros composto de 
6% a.a. Ao fim do primeiro ano, a pessoa faz um pagamento de R$ 6,00 ao 
credor, e o mesmo acontece ao fim do segundo ano. No final do terceiro ano, 
para liquidar sua dívida, ela deverá pagar, em reais, 
(A) 94,00 
(B) 100,00 
(C) 106,00 
(D) 112,00 
(E) 118,00 
26.(AFRFB-2009-Esaf) No sistema de juros compostos um capital PV 
aplicado durante um ano à taxa de 10 % ao ano com capitalização semestral 
resulta no valor final FV. Por outro lado, o mesmo capital PV, aplicado durante 
um trimestre à taxa de it% ao trimestre resultará no mesmo valor final FV, se 
a taxa de aplicação trimestral for igual a: 
a) 26,25 % 
b) 40 % 
c) 13,12 % 
d) 10,25 % 
e) 20 % 
,
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23.9. Gabarito 
1. C 
2. A 
3. C 
4. E 
5. B 
6. A 
7. B 
8. A 
9. E 
10. C 
11. D 
12. E 
13. B 
14. C 
15. B 
16. A 
17. C 
18. D 
19. C 
20. B 
21. D 
22. A 
23. A 
24. B 
25. C 
26. D 
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23.10. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos 
1.(Administrador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Um 
investidor deposita R$ 12.000,00 no início de cada ano em um banco que 
remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros compostos de 
10% ao ano. Quando ele realizar o quarto depósito, tem-se que a soma dos 
montantes referentes aos depósitos realizados é igual a 
(A) R$ 52.800,00. 
(B) R$ 54.246,00. 
(C) R$ 55.692,00. 
(D) R$ 61.261,20. 
(E) R$ 63.888,00. 
Resolução 
A questão definiu: Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t 
Investimento: depósito de R$ 12.000,00 (D) no início de cada ano, ou seja, os 
depósitos ocorrerão no início do ano 1 (momento “0”), no início do ano 2 
(momento “1”), no início do ano 3 (momento “2”) e no início do ano 4 
(momento “3”). 
Taxa de Juros Compostos (i) = 10% ao ano = 10/100 = 0,10 ao ano 
Para facilitar e fazermos somente conta de multiplicação, vamos trazer os 
valores para o momento “3” (equivalência de capitais). Repare ainda que, 
como a questão não estabeleceu, faremos a equivalência de capitais utilizando 
desconto racional. Nesse caso, teríamos: 
D x (1 + i)3 + D x (1 + i)2 + D x (1 + i) + D = Montante (M) ⇒ 
⇒ 12.000 x (1 + 0,10)3 + 12.000 x (1 + 0,10)2 + 12.000 x (1 + 0,10) + 
12.000 = M ⇒ 
Colocando 12.000 em evidência, pois aparece em todos os termos à esquerda 
da equação, teríamos: 
⇒ 12.000 x [(1,10)3 + (1,10)2 + 1,10 + 1] = M ⇒ 
Vamos calcular os valores: 
(1,10)2 = 1,10 x 1,10 = 1,21 
(1,10)3 = (1,10)2 x 1,10 = 1,21 x 1,10 = 1,331 
⇒ M = 12.000 x (1,331 + 1,21 + 1,10 + 1) ⇒ 
0 
Montante 
1 2 3 
D D D D
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⇒ M = 12.000 x 4,641 ⇒ 
Para facilitar: 12.000 x 4,641 = 12 x 1.000 x 4,641 = 12 x 4.641 
⇒ M = R$ 55.692,00 
GABARITO: C 
2.(Administrador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Uma 
pessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$