Controle Estatístico do Processo Parte II

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Histograma
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Distribuição de Freqüência ou Histograma: 
É um gráfico de colunas que representa a variação de uma medida em um grupo de dados através de uma distribuição de freqüências
Conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal
Os retângulos têm mesma largura com altura variável
A largura representa um intervalo dentro da faixa de valores dos dados
A altura representa o número de valores de dados dentro de um intervalo especificado
A forma de variação das alturas mostra a distribuição dos valores dos dados
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
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3
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
3
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Utilização – Área de Saúde
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
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5
Utilização – Área Imunológica
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
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Utilização – Imagem Digital: 
O histograma de uma imagem revela a distribuição dos níveis de cinza da imagem
É representado por um gráfico que dá o número de pixels na imagem para cada nível de cinza
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
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Aula 6
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Imagem Digital
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
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Finalidade 
Identificar anormalidade no processo
Comparar os resultados com as especificações
Tomada de decisões sobre um processo
Indica de um modo intuitivo o valor central e a dispersão para um dado processo
Fácil construção e interpretação
Pode dar uma idéia sobre a capacidade do processo
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Condensa uma coleção de dados conforme as freqüências (repetições de seus valores)
Tabela primitiva ou dados brutos
Tabela ou relação de elementos que não foram numericamente organizados
É difícil formarmos uma idéia exata do comportamento do grupo como um todo, a partir de dados não ordenados
Ex : 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41 ,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51
ROL
Tabela obtida após a ordenação dos dados (crescente ou decrescente).
Ex : 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45 ,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
Distribuição de freqüência sem intervalos de classe
Simples condensação dos dados conforme as repetições de seu valores
Para um ROL de tamanho razoável esta distribuição de freqüência é inconveniente, já que exige muito espaço
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Aula 6
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
Distribuição de freqüência com intervalos de classe
Quando o tamanho da amostra é elevado é mais racional efetuar o agrupamento dos valores em vários intervalos de classe
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Elementos de uma distribuição de freqüência (com intervalos de classe)
Classe
Intervalos de variação da variável (i) 
Número total de classes (k)
Ex: na tabela anterior k = 5 e 49 |------- 53 é a 3ª classe, onde i = 3
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
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Elementos de uma distribuição de freqüência (com intervalos de classe)
Limites de classe
Extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior de classe e o maior número, limite superior de classe
Ex: em 49 |------- 53... Limite inferior = 49 e limite superior = 53
O símbolo |------- representa um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita
O dado 53 do ROL não pertence a classe 3 e sim a classe 4 representada por 53 |------- 57
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
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Elementos de uma distribuição de freqüência (com intervalos de classe)
Amplitude do intervalo de classe (h)
Obtida através da diferença entre o limite superior e inferior da classe
Ex: na tabela anterior h3 = 53 - 49 = 4
Obs: Na distribuição de freqüência com classe a amplitude será igual em todas as classes
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
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Amplitude total da distribuição
Diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe. AT = L(max) - l(min)
Ex: na tabela anterior AT = 61 - 41= 20
Amplitude total da amostra (ROL)
Diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra (ROL), onde AA = x.máx – x.min
No exemplo de distribuição sem intervalo de classe AA = 60 - 41 = 19
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
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Ponto médio de classe
Ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais
Ex: em 49 |------- 53 o ponto médio x3 = (53+49)/2 = 51
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
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A área de um histograma é proporcional à soma das freqüências simples ou absolutas
Freqüências simples ou absolutas
Valores que realmente representam o número de dados de cada classe
A soma das freqüências simples é igual ao número total dos dados da distribuição
Freqüências relativas
Valores das razões entre as freqüências absolutas de cada classe e a freqüência total da distribuição
A soma das freqüências relativas é igual a 1 (100 %)
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
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Polígono de freqüência
Gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe
Para realmente obtermos um polígono (linha fechada), devemos completar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à primeira e da posterior à última, da distribuição
Polígono de freqüência acumulada
Traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe*
 * Definição encontrada na literatura, porém uma classe representada por intervalo fechado à esquerda, não inclui o limite superior na representação de valores da classe
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
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Polígono de frequência acumulada
Freqüência simples acumulada de uma classe
Total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma determinada classe
Freqüência relativa acumulada de um classe
Freqüência acumulada da classe, dividida pela freqüência total da distribuição
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
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Construindo um Histograma
Definir o tamanho da amostra e coletar os dados (Amostra  30)
Identificar os valores máximos e mínimos dos elementos da amostra (x.máx e x. mín.)
Calcular a amplitude da amostra (AA = x.máx - x. mín.)
Determinar o número de classes (K)  5  K  20
Dividindo a amplitude (R) em intervalos de mesmo tamanho. 
Dividir R por 1, 2 ou 5 (ou 10; 20 ; 50 ou 0,1; 0,2; 0,5 etc.) de forma a obter de 5 a 20 intervalos de classe de tamanho igual, ou K=Tolerância/h
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
Construindo um Histograma
Determinar a amplitude do intervalo de classe (h)  h > AA/k
Preparar o formulário da tabela de frequência
Amostra
30 ~ 50
51 ~ 100
101 ~ 250
> 250
K
5 ~ 7
6 ~ 10
7 ~ 12
10 ~ 20
Classe (i)
Ponto Médio da Classe
Tabulação
Frequência (f)
1
Total
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
Construindo um Histograma
Determinar os valores limites para cada classe, englobando o menor e o maior valor observado 
O primeiro elemento das classes seguintes sempre será formado pelo último elemento da classe anterior
Calcular o ponto médio da classe
Anotar a freqüência por classe e fazer tabulação
Freqüência
1
2
3
4
5
6
7
Tabulação
/
//
///
////
////
//// /
//// //
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Construindo um Histograma
Construir o histograma (marque o eixo x com os valores dos limites das classes)
Trace o eixo vertical esquerdo com a freqüência e, se necessário, o eixo vertical direito com escala de freqüência relativa (freqüência relativa = f/n)
Calcular os parâmetros X (média) e  (desvio padrão)
Traçar as linhas X, LSE e LIE
LSE – Limite Superior de Especificação
LIE – Limite Inferior de Especificação
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
Exemplo
Classes
f
X
fa
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
Tipos de Histogramas
Forma de Gauss
Forma bimodal – Tipo Pico Duplo
Forma asimétrica
Forma censurada
Forma com anomalías – Tipo Pico Isolado
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Como comparar histogramas com limites de especificação?
LIE
LSE
O histograma atende a especificação com folga e, portanto, deve-se manter a situação atual
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
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Como comparar histogramas com limites de especificação?
LIE
LSE
O histograma atende a especificação sem folga e, portanto, deve-se reduzir um pouco o grau de variação
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
27
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Como comparar histogramas com limites de especificação?
LIE
LSE
O histograma não atende a especificação e, portanto, deve-se agir para trazer a média mais próxima ao centro da especificação
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
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Como comparar histogramas com limites de especificação?
LIE
LSE
O histograma não atende a especificação e, portanto, deve-se agir para reduzir a variação
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
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Como comparar histogramas com limites de especificação?
LIE
LSE
O histograma não atende a especificação e, portanto, deve-se agir para reduzir a variação e trazer a média mais próxima ao centro da especificação
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
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Teste gráfico de normalidade
Uma forma de verificar a distribuição das variáveis é através do papel de probabilidade que permite testar graficamente o ajuste de diferentes distribuições de probabilidade. 
O papel de probabilidade Normal possui uma escala vertical transformada, de forma que se um conjunto de dados segue a distribuição Normal, suas freqüências acumuladas aparecerão dispostas ao longo de uma linha reta. 	
Teste gráfico de normalidade
Caso contrário, quando o modelo Normal não se ajusta bem aos dados, suas freqüências acumuladas irão apresentar curvatura quando plotadas no papel de probabilidade Normal.
Caso o papel de probabilidade Normal não esteja disponível, há outra alternativa gráfica para verificar o ajuste de um modelo Normal através do teste gráfico de valores teóricos de Z.
Passos para elaborar o teste gráfico de valores teóricos de Z 	
Essa alternativa utiliza os valores teóricos de Z esperados para cada valor ordenado de X(i).
Para elaborar o teste gráfico de valores teóricos de Z, recomenda-se seguir os seguintes passos:
a) colocam-se os dados (X(i).) em ordem crescente;
b) calcula-se a probabilidade acumulada F(X(i));
c) obtém-se o valor teórico de Z a partir de F(X(i)), usando a tabela da
distribuição Normal acumulada;
d) plota-se o Z teórico x X(i);
e) se o ajuste Normal é adequado, os valores plotados devem aparecer seguindo, aproximadamente, uma linha reta.
Passos para elaborar o teste gráfico de valores teóricos de Z 	
Por exemplo, sejam os valores de espessura de peças cerâmicas apresentados na Tabela 14. 
Passos para elaborar o teste gráfico de valores teóricos de Z 	
Como pode ser visto na Figura 43, os pontos estão aproximadamente dispostos segundo uma linha reta, indicando que os dados provêm de uma população com distribuição Normal. 	
Cálculo dos limites naturais 	
	
Uma vez identificada a distribuição dos valores individuais calcula-se os limites naturais. 
Caso a distribuição dos valores individuais seja Normal, os limites naturais são calculados considerando-se a extensão de seis desvios-padrões (6). 
Dessa forma, os limites naturais compreendem 99,73% dos valores, ou seja, teoricamente 99,73% das peças produzidas estarão dentro dos limites naturais e 0,27% estarão fora dos limites naturais. 	
Cálculo dos limites naturais 	
	
Cálculo dos limites naturais 	
	
Onde d2 é uma constante que depende do tamanho da amostra, cujos valores encontram-se na Tabela 15. Ou a partir do desvio-padrão das amostras usando: 	
Onde c4 é uma constante que depende do tamanho da amostra, cujos valores encontram-se na Tabela 15. 	
Cálculo dos limites naturais 	
	
Cálculo dos limites naturais 	
	
Cálculo dos limites naturais 	
	
Índices de capacidade
Muitas vezes é conveniente ter uma maneira simples e quantitativa de expressar a capacidade do processo. 
Uma maneira é utilizar os índices de capacidade que comparam os limites naturais do processo com a amplitude das especificações exigidas para o processo. 
	
Índices de capacidade
O cálculo dos índices de capacidade é realizado supondo que as
variáveis provêm de uma distribuição Normal.
Índices de capacidade
A Figura ilustra a situação de processos capaz e não-capaz. 	
Índices de capacidade
Índices de capacidade
Índices de capacidade
Índices de capacidade
Há vários tipos de índice de capacidade. Um índice usado com frequência para avaliação de características do tipo nominal-é-melhor, ou seja, características que possuem um valor alvo a ser atingido e qualquer desvio desse valor alvo é prejudicial, é o Cp calculado segundo a equação abaixo: 	
Índices de capacidade
O índice Cp avalia a capacidade potencial do processo, que poderia ser atingida se o processo estivesse centrado. 	
Índices de capacidade
Índices de capacidade
Índices de capacidade
A capacidade real do processo para características do tipo nominal-é-melhor é estimada pelo índice Cpk que considera a média do processo 	
Índices de capacidade
Índices de capacidade
Índices de capacidade
Índices de capacidade
Índices de capacidade
Teorema do Limite Central 	
O Teorema do Limite Central indica que a soma (e, por conseguinte, a média) de n variáveis independentes seguirá o modelo Normal, independentemente da distribuição das variáveis individuais. 	
A aproximação melhora na medida em que n aumenta. Se as distribuições individuais não são muito diferentes da Normal, basta n = 4 ou 5 para se obter uma boa aproximação. 	
Se as distribuições individuais forem radicalmente diferentes da Normal, então será necessário n = 20 ou mais. 	
	
	
	
Forneça uma breve descrição geral da apresentação. Descreve o enfoque principal da apresentação e porque é importante.
Apresentar cada um dos tópicos principais.
Para fornecer informações gerais à audiência, pode repetir este diapositivo com a Descrição Geral ao longo da apresentação, realçando o tópico específico que irá explicar a seguir.
58
Teorema do Limite Central 	
	
	
	
	
Forneça uma breve descrição geral da apresentação. Descreve o enfoque principal da apresentação e porque é importante.
Apresentar cada um dos tópicos principais.
Para fornecer informações gerais à audiência, pode repetir este diapositivo com a Descrição Geral ao longo da apresentação, realçando o tópico específico que irá explicar a seguir.
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Teorema do Limite Central 	
Exemplo
A distribuição de probabilidade da variável resultante do lançamento de um dado segue a distribuição uniforme, ou seja, qualquer valor (1, 2, 3, 4, 5, 6) tem a mesma probabilidade (1/6) de ocorrer. No entanto, se ao invés de lançar um dado, sejam lançados dois dados e calculada a média, essa média seguirá uma distribuição aproximadamente Normal como pode-se visualizar no histograma abaixo. Na Tabela 7, apresenta-se as médias dos lançamentos de dois dados 	
	
	
	
	
Forneça uma breve descrição geral da apresentação. Descreve o enfoque principal da apresentação e porque é importante.
Apresentar cada um dos tópicos principais.
Para fornecer informações gerais à audiência, pode repetir este diapositivo com a Descrição Geral ao longo da apresentação, realçando o tópico específico que irá explicar a seguir.
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Teorema do Limite Central 	
Forneça uma breve descrição geral da apresentação. Descreve o enfoque principal da apresentação e porque é importante.
Apresentar cada um dos tópicos principais.
Para fornecer informações gerais à audiência, pode repetir este diapositivo com a Descrição Geral ao longo da apresentação, realçando o tópico específico que irá explicar a seguir.
61
Teorema do Limite Central 	
Forneça uma breve descrição geral da apresentação. Descreve o enfoque principal da apresentação e porque é importante.
Apresentar cada um dos tópicos principais.
Para fornecer informações gerais à audiência, pode repetir
este diapositivo com a Descrição Geral ao longo da apresentação, realçando o tópico específico que irá explicar a seguir.
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Teorema do Limite Central 	
Exemplo
A distribuição de probabilidade da variável resultante do lançamento de um dado segue a distribuição uniforme, ou seja, qualquer valor (1, 2, 3, 4, 5, 6) tem a mesma probabilidade (1/6) de ocorrer. No entanto, se ao invés de lançar um dado, sejam lançados dois dados e calculada a média, essa média seguirá uma distribuição aproximadamente Normal como pode-se visualizar no histograma abaixo. Na Tabela 7, apresenta-se as médias dos lançamentos de dois dados 	
	
	
	
	
Forneça uma breve descrição geral da apresentação. Descreve o enfoque principal da apresentação e porque é importante.
Apresentar cada um dos tópicos principais.
Para fornecer informações gerais à audiência, pode repetir este diapositivo com a Descrição Geral ao longo da apresentação, realçando o tópico específico que irá explicar a seguir.
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Teorema do Limite Central 	
Conforme pode ser visto na Figura, o histograma da média dos dois dados resulta aproximadamente Normal. Além disso, observa-se que a aproximação da distribuição Normal melhora na medida que se fizesse a média do lançamento de mais dados.	
	
	
	
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Apresentar cada um dos tópicos principais.
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Teorema do Limite Central 	
O Teorema do Limite Central é básico para a maioria das aplicações do controle estatístico da qualidade. 
O controle estatístico do processo, em geral, trabalha com a média das amostras, pois independente da distribuição dos valores individuais, a média desses valores irá seguir aproximadamente a distribuição Normal. 
A distribuição Normal é uma teoria básica para o desenvolvimento das cartas de controle e é a principal ferramenta do controle estatístico de processos. 	
	
	
	
	
Forneça uma breve descrição geral da apresentação. Descreve o enfoque principal da apresentação e porque é importante.
Apresentar cada um dos tópicos principais.
Para fornecer informações gerais à audiência, pode repetir este diapositivo com a Descrição Geral ao longo da apresentação, realçando o tópico específico que irá explicar a seguir.
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Teorema do Limite Central 	
Forneça uma breve descrição geral da apresentação. Descreve o enfoque principal da apresentação e porque é importante.
Apresentar cada um dos tópicos principais.
Para fornecer informações gerais à audiência, pode repetir este diapositivo com a Descrição Geral ao longo da apresentação, realçando o tópico específico que irá explicar a seguir.
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Teorema do Limite Central 	
Forneça uma breve descrição geral da apresentação. Descreve o enfoque principal da apresentação e porque é importante.
Apresentar cada um dos tópicos principais.
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Teorema do Limite Central 	
Exemplo
Um pesquisador deseja saber a média de idade dos alunos de pós-graduação. Supondo que a população dos alunos seja: 
25, 35, 24, 43, 35, 22, 49, 56, 34, 26, 35, 52, 40, 35, 35,25, 
61,42, 58, 56, 45, 40, 38, 45, 33, 53, 22, 35, 23, 25, 36, 39 	
	
	
	
	
	
Forneça uma breve descrição geral da apresentação. Descreve o enfoque principal da apresentação e porque é importante.
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Para fornecer informações gerais à audiência, pode repetir este diapositivo com a Descrição Geral ao longo da apresentação, realçando o tópico específico que irá explicar a seguir.
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Teorema do Limite Central 	
Exemplo 2
Supondo que não fosse possível analisar a população inteira, e os dados fossem coletados por amostras de tamanho n=4. 	
	
	
	
	
	
Forneça uma breve descrição geral da apresentação. Descreve o enfoque principal da apresentação e porque é importante.
Apresentar cada um dos tópicos principais.
Para fornecer informações gerais à audiência, pode repetir este diapositivo com a Descrição Geral ao longo da apresentação, realçando o tópico específico que irá explicar a seguir.
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Teorema do Limite Central 	
Exemplo 2
Supondo que não fosse possível analisar a população inteira, e os dados fossem coletados por amostras de tamanho n=4. 	
	
	
	
	
	
Forneça uma breve descrição geral da apresentação. Descreve o enfoque principal da apresentação e porque é importante.
Apresentar cada um dos tópicos principais.
Para fornecer informações gerais à audiência, pode repetir este diapositivo com a Descrição Geral ao longo da apresentação, realçando o tópico específico que irá explicar a seguir.
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Teorema do Limite Central 	
Exemplo 3
Com base no exemplo 2, supomos que os dados fossem coletados por amostras de tamanho n=8. 	
. 	
	
	
	
	
	
Forneça uma breve descrição geral da apresentação. Descreve o enfoque principal da apresentação e porque é importante.
Apresentar cada um dos tópicos principais.
Para fornecer informações gerais à audiência, pode repetir este diapositivo com a Descrição Geral ao longo da apresentação, realçando o tópico específico que irá explicar a seguir.
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Teorema do Limite Central 	
Exemplo 3
Com base no exemplo 2, supomos que os dados fossem coletados por amostras de tamanho n=8. 	
. 	
	
	
	
	
	
Forneça uma breve descrição geral da apresentação. Descreve o enfoque principal da apresentação e porque é importante.
Apresentar cada um dos tópicos principais.
Para fornecer informações gerais à audiência, pode repetir este diapositivo com a Descrição Geral ao longo da apresentação, realçando o tópico específico que irá explicar a seguir.
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Teorema do Limite Central 	
Exemplo 3
Com base no exemplo 2, supomos que os dados fossem coletados por amostras de tamanho n=8. 	
. 	
	
	
	
	
	
Forneça uma breve descrição geral da apresentação. Descreve o enfoque principal da apresentação e porque é importante.
Apresentar cada um dos tópicos principais.
Para fornecer informações gerais à audiência, pode repetir este diapositivo com a Descrição Geral ao longo da apresentação, realçando o tópico específico que irá explicar a seguir.
73
Gráf1
	0	0
	1	0.0111111111
	4	0.0444444444
	9	0.1
	14	0.1555555556
	22	0.2444444444
	19	0.2111111111
	10	0.1111111111
	5	0.0555555556
	6	0.0666666667
	0	0
Exemplo
	Exemplo: Distribuição de Frequência
	
	
	Nº da Amostra	Resultados das medições dos diâmetros (mm)									X máx.	Xmín.
	1 ~ 10	2.51	2.517	2.522	2.522	2.51	2.511	2.519	2.543	2.525	2.543	2.51
	11 ~ 20	2.527	2.536	2.506	2.541	2.512	2.515	2.521	2.529	2.524	2.541	2.506
	21 ~ 30	2.529	2.523	2.523	2.523	2.519	2.528	2.543	2.518	2.534	2.543	2.518
	31 ~ 40	2.52	2.514	2.512	2.534	2.526	2.53	2.532	2.523	2.52	2.534	2.512
	41 ~ 50	2.535	2.523	2.526	2.525	2.532	2.522	2.502	2.522	2.514	2.535	2.502
	51 ~ 60	2.533	2.51	2.542	2.524	2.53	2.521	2.522	2.54	2.528	2.542	2.51
	61 ~ 70	2.525	2.515	2.52	2.519	2.526	2.527	2.522	2.54	2.528	2.54	2.515
	71 ~ 80	2.531	2.545	2.524	2.522	2.52	2.519	2.519	2.522	2.513	2.545	2.513
	81 ~ 90	2.518	2.527	2.511	2.519	2.531	2.527	2.528	2.519	2.521	2.531	2.511
											2.545	2.502
	R = 2,545 - 2,502	R =	0.043
	
	K = 0,043/0,002	K =	21.5	21
	K = 0,043/0,005	K =	8.6	9	porque está entre 5 e 20
	K = 0,043/0,01	K =	4.3	4
	
	h = R/K (0,043/9)	h =	0.005
	
	
		Intervalo de Classe	Ponto Médio da Classe	Tabulação	Frequência	f/n
			0
	1	2,5005 ~ 2,5055	2.503	/	1	0.01
	2	2,5055 ~ 2,5105	2.508	////	4	0.04
	3	2,5105 ~ 2,5155	2.513	//// ////	9	0.10
	4	2,5155 ~ 2,5205	2.518	//// //// ////	14	0.16
	5	2,5205 ~ 2,5255	2.523	//// //// //// //// //	22	0.24
	6	2,5255 ~ 2,5305	2.528	//// //// //// ////	19	0.21
	7	2,5305 ~ 2,5355
2.533	//// ////	10	0.11
	8	2,5355 ~ 2,5405	2.538	////	5	0.06
	9	2,5405 ~ 2,5455	2.543	//// /	6	0.07
			0		90
	
	média =	2.2714444444
		0.0088201334
	
	Intervalo de Classe		Ponto Médio da Classe	Frequência	f/n
	0	0	0	0	0
	2.5005	2.5055	2.5030	1	0.01
	2.5055	2.5105	2.5080	4	0.04
	2.5105	2.5155	2.5130	9	0.10
	2.5155	2.5205	2.5180	14	0.16
	2.5205	2.5255	2.5230	22	0.24
	2.5255	2.5305	2.5280	19	0.21
	2.5305	2.5355	2.5330	10	0.11
	2.5355	2.5405	2.5380	5	0.06
	2.5405	2.5455	2.5430	6	0.07
	0	0.000	0	0	0.00
Exemplo
	
Exercício
	Exercício: Distribuição de Frequência
	
	Tamanho da Amostra: 50
	
	
	35.6	34.6	34.8	35	34.2	34.3	35.2	34.9	34.4	35	35.2	34.2
	34.8	35.6	35	35.2	34.7	34.8	34	35	35.6	33.8	35.6	33.8
	34.3	33.7	34.7	34	34.5	34.4	35	34	34.6	33.7	35	33.7
	35.5	35.2	34.4	35	34.5	34.4	34.8	34.6	35.2	34.6	35.2	34.4
	34.8	34.8	33.6	34	35.2	33.4	34.6	34.3	33	34.6	35.2	33
											35.6	33
	R = 35,6 - 33	R =	2.6
	
	h5 = 2,6/5	h5 =	0.5	= h
	h7 = 2,6/7	h6 =	0.4
	
	Tolerância=3
	K=T/h = 3/0,4	T/h =	7.5
	K=T/h = 3/0,5	T/h =	6.0
	
	
	
		Intervalo de Classe	Ponto Médio da Classe	Tabulação	Frequência	f/n
	1	32,5 ~ 33,0	32.75		0	0.00
	2	33,0 ~ 33,5	33.25	//	2	0.04
	3	33,5 ~ 34,0	33.75	////	4	0.08
	4	34,0 ~ 34,5	34.25	//// //// //	12	0.24
	5	34,5 ~ 35,0	34.75	//// //// //// //	17	0.34
	6	35,0 ~ 35,5	35.25	//// //// /	11	0.22
	7	35,5 ~ 36,0	35.75	////	4	0.08
	8	36,0 ~ 36,5	36.25		0	0.00
					50
	
	média =	34.598
		0.5697332709
	
	Intervalo de Classe		Frequência	f/n
	32.5	33.0	0	0.00
	33.0	33.5	2	0.04
	33.5	34.0	4	0.08
	34.0	34.5	12	0.24
	34.5	35.0	17	0.34
	35.0	35.5	11	0.22
	35.5	36.0	4	0.08
	36.0	36.5	0	0.00
	
	
	LSE = 34,5 + 1,5	36
	LIE = 34,5 - 1,5	33
	
		-2.8048212761	0.0026	0.26%
		-2.460800644	0.0069	0.69%
	
	
		0.8776036533
	Cp< 1 - inadequado
Exercício
	
LIE
LSE
Média