Estatística - Slides de Aula – Unidade III

Prévia do material em texto

Profa. Karina de Oliveira
UNIDADE III
Estatística
 Nas seções anteriores, apresentamos grandezas que nos trazem um valor 
significativo dos dados de um conjunto. 
 Nesta seção, vamos discutir como aprofundar nossa análise, enfocando agora a 
dispersão dos dados, ou seja, analisaremos se eles estão concentrados em torno 
do valor médio ou se estão espalhados, dispersos em torno dele.
 Vamos abordar aqui somente as medidas de dispersão mais frequentemente 
utilizadas: o intervalo e o desvio-padrão.
Medidas de dispersão 
Intervalo ou amplitude
 O conceito de intervalo é bastante intuitivo e coincide com o significado da 
linguagem cotidiana. O intervalo de valores é aquele que vai do menor 
ao maior valor. 
 Consideremos idades de pessoas em uma família. A mais nova, Ana, tem 3 anos e 
a mais velha, Gabriel, tem 56. Assim sendo, o intervalo vai de 3 a 56. 
 Quando não é de interesse saber exatamente qual o maior e qual o menor valor, 
mas apenas saber qual o tamanho do intervalo, este será 
encontrado, subtraindo-se o menor valor do maior valor 
do conjunto.
Medidas de dispersão 
Variância e desvio-padrão 
 O intervalo é uma medida de dispersão fácil de calcular, porém de utilidade 
limitada, pois traz apenas informações sobre os valores extremos. 
 Não leva em conta a variabilidade.
 A exemplo do que discutimos para as medidas de posição, quando abordamos a 
média, vamos agora definir uma medida de dispersão que considere cada um dos 
valores individuais.
Medidas de dispersão 
 Nesta seção vamos discutir alguns aspectos importantes referentes à 
definição de variância. 
 Tomemos um exemplo similar àquele dos gastos na lanchonete, em que 
analisaremos os gastos de 5 amigos em um restaurante. 
 Para analisar o quanto a divisão igualitária das despesas foi justa (ou injusta), o 
primeiro passo é comparar cada valor consumido com o valor efetivamente pago.
 Formalmente, isso significa subtrair o valor médio 
do valor específico.
Medidas de dispersão 
Consideremos a tabela
Medidas de dispersão 
 A variância utiliza as distâncias entre os valores individuais e as médias, mas o faz 
elevando esses valores ao quadrado. 
 Não cabe aqui discutir os motivos de tal definição, dada a complexidade da 
matemática envolvida, mas vale uma discussão qualitativa dessa escolha. 
 Ao utilizarmos os quadrados das diferenças, garantimos que os parâmetros de 
desvio serão sempre positivos, já que o produto de números com sinais iguais é 
sempre positivo.
 Além disso, esse critério faz com que tenhamos ainda 
mais rigor na medida da “injustiça”, pois quanto maior a 
diferença, maior o peso com que ela será contada.
Medidas de dispersão 
 Definições formais
 Há duas grandezas que descrevem a dispersão dos dados utilizando o critério 
acima: a variância e o desvio-padrão. 
 O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância e será denotado pela letra sigma 
minúscula (σ). A variância é, portanto, o quadrado do desvio-padrão e se denota 
por .
Medidas de dispersão 
Variância e desvio-padrão para populações
Quando nossos dados trazem a totalidade da população estudada, como é o caso do
exemplo anterior, a variância é definida como a média dos quadrados das diferenças
entre o valor individual e o valor médio, conforme formalizado a seguir:
Medidas de dispersão 
 Geralmente, a grandeza mais utilizada para analisar dispersões é o desvio-padrão. 
Não detalharemos ainda o seu significado, isso ficará para quando estudarmos a 
distribuição normal de probabilidades. 
 Por hora, basta saber que uma maior dispersão dos dados implica ter um valor 
maior para o desvio padrão. 
 Nos casos em que temos os dados em tabelas de frequência, precisamos 
lembrar que cada valor 𝑥𝑖 aparece 𝑓𝑖 vezes e é preciso 
multiplicar a quantidade de vezes que cada valor aparece 
para que todas as diferenças sejam computadas.
Medidas de dispersão
Assim sendo, teremos:
 Novamente, o desvio-padrão será simplesmente a raiz da variância.
 Lembre que, embora as fórmulas sejam escritas de maneira diferente quando 
colocamos as frequências explicitamente, a grandeza calculada é a mesma 
nos dois casos.
Medidas de dispersão
O Desvio Padrão de um conjunto de dados é 9. A variância é: 
a) 3.
b) 18.
c) 81.
d) 27. 
e) 36.
Interatividade
Variância e desvio-padrão para amostras 
 Nos casos em que temos dados para uma amostra e não para toda a população, 
em lugar de dividirmos por N, a divisão será feita por N-1. 
 Não cabe aqui discutir os motivos dessa definição, mas apenas comentar dois 
aspectos dessa diferença. 
 Quando o número de dados é grande, o valor final não 
será muito afetado pela substituição de N por N-1.
Medidas de dispersão 
Por fim, note que como na maioria das vezes temos amostras em lugar de 
populações, é mais comum utilizarmos as definições na forma que estão 
colocadas a seguir:
Medidas de dispersão 
 Realização dos cálculos
Dados não agrupados 
 Para efetuar os cálculos, é preciso lembrar que nesse caso temos uma população, 
já que temos os valores referentes a todos os ocupantes da mesa estudada.
 Utilizaremos aqui um procedimento similar ao usado no cálculo das médias, 
colocando os valores intermediários que precisamos para 
os cálculos em colunas adicionais e realizando as somas 
pertinentes nas colunas respectivas. Vejamos como fazer 
isso na tabela.
Medidas de dispersão 
Medidas de dispersão 
Para maior clareza, vejamos passo a passo como foi feito o cálculo do desvio-padrão 
depois de já termos calculado a média. 
 Como já visto anteriormente, a diferença entre o valor individual e a média, dado 
por xi - x, tem valor -5.
 Elevamos o valor encontrado ao quadrado para determinar (xi – x)2, obtendo o 
valor 25, que é colocado na tabela. 
 Repetimos esse procedimento para todos os dados xi.
 Somamos todos os valores da coluna (xi – x)2, obtendo o valor 440, que é 
colocado na linha adicional da coluna.
 Como se trata de uma população, dividimos o valor 
obtido por N, que, nesse caso, é 5. O resultado é a 
variância de valor 88.
Medidas de dispersão 
Dados agrupados
 No intuito de construir o procedimento para o caso de dados agrupados, vamos 
calcular a variância e o desvio-padrão para um conjunto de dados em que haja 
valores repetidos. 
 A partir de agora, passaremos a utilizar a fórmula da variância para amostras, visto 
que sua utilização é mais frequente, pois é mais comum termos estudos que 
utilizam amostras que estudos que trazem informações sobre toda a população. 
 Esse cálculo está colocado na tabela a seguir.
Medidas de dispersão 
Vamos ver agora um procedimento para o cálculo do desvio-padrão quando os 
dados estão agrupados em uma tabela de frequências. 
Medidas de dispersão 
Coeficiente de Variação
É uma medida de dispersão relativa.
 Elimina o efeito da magnitude dos dados. 
 Exprime a variabilidade em relação à média. 
 Útil comparar duas ou mais variáveis.
Medidas de dispersão 
Coeficiente de Variação
Medidas de dispersão 
Exemplo 4: Altura e peso de alunos 
Conclusão: Com relação às médias, os alunos são, aproximadamente, duas vezes 
mais dispersos quanto ao peso. 
Medidas de dispersão 
Média Desvio Padrão Coeficiente de Variação
Altura 1,143 cm 0,063 5,5%
Peso 50Kg 6kg 12%
Na distribuição de valores iguais, o desvio padrão é: 
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) -1. 
e) -2.
Interatividade
 Médias ponderadas
 Vamos ver agora um procedimento para o cálculo quando os dados 
têm pesos diferentes.
 Lembramos que, para efeito dos cálculos, o peso e a frequência têm papéis 
similares.Assim sendo, montaremos a tabela e efetuaremos os cálculos seguindo 
os mesmos passos descritos anteriormente. 
 Os dados e os cálculos estão esquematicamente 
apresentados na tabela colocada a seguir.
Medidas de dispersão 
Medidas de dispersão
 Vimos que:
 O estudo da Estatística apresenta medidas de dispersão que permitem a 
análise da dispersão dos dados. 
 Amplitude.
 Variância e Desvio Padrão.
Resumo
 Amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor em um intervalo de valores. 
Por exemplo, se tivermos um conjunto de valores ordenados, no qual o menor 
valor é 15 e o maior valor é 45, teremos uma amplitude de 45 - 15 = 30.
 Essa amplitude nos dá uma noção do quão afastados estão o maior e o menor 
valores, porém não nos traz informações sobre os demais elementos do 
conjunto de dados.
Resumo
Vimos que:
A variância é uma medida de dispersão que mostra quão distantes os valores estão 
da média. Nesse caso, como estamos analisando todos os valores de cada 
funcionário, e não apenas uma “amostra”, trata-se do cálculo da variância 
populacional.
Resumo
 O cálculo da variância populacional é obtido através da soma dos quadrados da 
diferença entre cada valor e a média aritmética, dividida pela quantidade de 
elementos observados.
 Para a variância amostral o cálculo é obtido através da soma dos quadrados da 
diferença entre cada valor e a média aritmética, dividida pela quantidade de 
elementos observados menos 1.
Resumo
Para uma população, a variância e o desvio padrão são dados por:
Resumo
Para uma amostra, a variância e o desvio padrão são dados por:
Resumo
 No caso de dados agrupados em uma tabela de frequência temos:
 Para uma população 
 Lembrando que equivale ao número de elementos da população.
Resumo
 No caso de dados agrupados em uma tabela de frequência temos:
 Para uma amostra
 Lembrando que σ𝑓𝑖 equivale ao número de elementos da amostra.
Resumo
Dado o seguinte conjunto de dados x: 5,5,5,2,4,3,3 , a variância e o desvio padrão 
para uma amostra são respectivamente: 
a) 6,52 e 2,55.
b) 3,63 e 1,90.
c) 2,55 e 6,52.
d) 1,90 e 1,38. 
e) 2,40 e 1,56.
Interatividade
 Estão no nosso dia a dia.
Será que vai chover hoje? 
Qual a probabilidade de que eu ganhe na loteria?
Qual a probabilidade de sair cara ou coroa quando lançamos uma moeda?
Probabilidades
Espaço amostral: para cada experimento aleatório E, define-se espaço amostral S o 
conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento. 
Evento: é um conjunto de resultados do experimento.
Probabilidades
 Mede-se a probabilidade numa escala de 0 a 1.
 Um evento impossível tem probabilidade 0.
 Um evento com absoluta certeza tem probabilidade 1.
Probabilidades
Variáveis aleatórias
 As probabilidades dizem respeito a situações em que existe aleatoriedade. 
Ou seja, em que o resultado a ser obtido depende de fatores imponderáveis 
do acaso. 
 Em estatística, quando falamos em um resultado, ele se expressa no valor 
de uma variável. 
 Se o valor depende do acaso, a variável que expressa 
esse valor é chamada de variável aleatória.
Probabilidades
Probabilidade enquanto frequência relativa
 Formalização
 Para determinar a probabilidade de que ocorra um determinado evento E como 
resultado de uma variável aleatória, precisamos analisar quantos são os resultados 
possíveis em geral e quantos são aqueles favoráveis ao evento E. 
 A probabilidade de o evento E ocorrer, que será denotada por P(E), será a razão 
entre o número específico de eventos que são favoráveis a 
E, ao qual chamaremos , pelo número total de eventos 
possíveis, ao qual chamaremos . . 
Probabilidades
Formalmente, escrevemos: 
 A menor probabilidade possível está relacionada ao menor número possível de 
eventos favoráveis a E. O número de eventos favoráveis a E será, no mínimo, 
zero, visto que uma contagem de eventos não pode ser negativa. Assim sendo, a 
menor probabilidade possível é zero. O número de eventos favoráveis a E será, no 
máximo, igual ao número total de eventos possíveis. Dessa 
forma, , será igual a 𝑛𝑡𝑜𝑡 , e a divisão de um pelo outro 
será igual a 1.
Probabilidades
Exemplo
 Numa festa de escola são realizados alguns sorteios de brindes entre os alunos, 
cujas idades estão apresentadas na tabela.
Probabilidades
Idade Quantidade
6 12 
7 20
8 17
9 21
10 15
total 85
Para calcular a probabilidade de um aluno de 8 anos de idade ganhar o brinde num 
determinado sorteio seguimos os passos descritos abaixo:
 Temos 85 alunos no total, ou seja, o número de eventos possíveis nesse caso é 
85, ou, seguindo a notação proposta: = 85.
 Como queremos analisar o evento “aluno de 8 anos sorteado”, chamamos de 
“número de eventos favoráveis” ao número de crianças dessa idade. Dos 85 
alunos, 17 têm 8 anos de idade, assim, há 17 eventos favoráveis no conjunto. 
Novamente, de acordo com a notação proposta: = 17.
 O cálculo da probabilidade se dá dividindo-se o número 
de eventos favoráveis pelo número total de eventos 
possíveis. Chamaremos P(8) a probabilidade em 
questão. Assim, temos:
Probabilidades
E, portanto: 
P(8) = 0,2.
Se houver preferência pela notação percentual, podemos dizer que essa 
probabilidade é de 20%.
 Suponhamos agora que haja um brinde que seja de interesse apenas dos alunos 
maiores, com mais de 7 anos. Assim, o sorteio desse 
brinde seria feito somente com parte das crianças. Como 
calcularíamos a probabilidade de um aluno de 8 anos
ser sorteado?
Probabilidades
 Temos agora somente 53 alunos com mais de 7 anos, ou seja, o número de 
eventos possíveis nesse caso é 53, ou = 53.
 O número de crianças com 8 anos permanece o mesmo, portanto, = 17.
 O cálculo da probabilidade se dá dividindo-se o número de eventos favoráveis pelo 
número total de eventos possíveis. Agora temos:
E, portanto: 
P(8) = 0,32 ou 32%.
Probabilidades 
Origem dos dados
 Quando estudamos probabilidades, podemos analisar situações em que os valores 
conhecidos das variáveis são empíricos ou analíticos. 
 Na sequência definiremos cada um deles.
 Os dados analíticos e os empíricos são tratados de maneira diferente.
 Passamos agora a discutir essa distinção, mostrando 
como utilizar os dados de ambos os tipos.
Probabilidades
Dados empíricos
 Dados empíricos são aqueles cujos valores são observados na prática. 
 Fazem parte dessa classificação todos os dados oriundos de pesquisas de campo, 
como a idade das pessoas de certo grupo, os valores de preços de mercado etc.
 Para efeitos didáticos, os dados do tipo empírico utilizados não foram retirados da 
realidade, mas simulam valores que poderiam ter sido encontrados dessa maneira.
Probabilidades
Dados analíticos
 Os dados analíticos têm um caráter diferente, eles não precisam ser medidos 
diretamente, visto que a análise das características do sistema estudado já nos 
dá os valores possíveis da variável aleatória, bem como a proporção em que
eles se encontram. 
 Como exemplo dessa classe de dados temos os jogos de azar, como o jogo de 
uma moeda, o jogo de dados ou o sorteio de cartas, por exemplo.
Probabilidades
No lançamento de dois dados perfeitos, qual a probabilidade de que a soma dos 
resultados obtidos seja igual a 6?
a) 1/36.
b) 3/36.
c) 5/36.
d) 2/36. 
e) 6/36.
Interatividade
ATÉ A PRÓXIMA!