Gabarito P2 Física II 2014.2

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Universidade Federal do Rio de Janeiro � Instituto de Físi
a
Físi
a II� 2014.2 � Prova 2: 12/11/2014
Versão: A
Seção 1. Múltipla es
olha (8× 0,6= 4,8 pontos)
1. Uma 
orda �xa nas duas extremidades e sub-
metida a uma tensão T os
ila em seu ter
eiro
modo normal, 
om 
omprimento de onda λ3 e
frequên
ia f3. Se a tensão for quadrupli
ada,
os novos λ e f para este modo serão, respe
-
tivamente:
(a) λ3 e 2f3.
(b) λ3 e f3.
(
) 2λ3 e 2f3.
(d) λ3/4 e f3.
(e) 2λ3 e 4f3.
2. Considere um os
ilador harm�ni
o simples,
ini
ialmente na posição de equilíbrio, e as três
ondições abaixo:
I x˙(0) = 0;
II x˙(0) = v0;
III x˙(0) = 2v0.
Marque a alternativa 
orreta:
(a) Em todos os 
asos o 
orpo �
ará sem-
pre parado, pois já está na posição de
equilíbrio.
(b) O 
orpo atingirá o deslo
amento má-
ximo em menos tempo no 
aso III.
(
) O 
orpo atingirá o deslo
amento má-
ximo ao mesmo tempo nos 
asos II e
III.
(d) O 
orpo os
ilará 
om a mesma ampli-
tude nos 
asos II e III.
(e) A energia me
âni
a total do os
ilador no
aso III é o dobro da do 
aso II.
3. Marque a a�rmativa ERRADA a respeito do
efeito de Doppler.
(a) Quando um observador se aproxima
de uma fonte de onda em repouso, a
frequên
ia observada aumenta.
(b) Quando uma fonte de onda se apro-
xima de um observador em repouso, a
frequên
ia observada aumenta.
(
) Quando uma fonte de onda se aproxima
de um observador em repouso, o número
de onda observado aumenta.
(d) Quando um observador se aproxima de
uma fonte de onda em repouso, o 
om-
primento de onda observado diminui.
4. Considere dois tubos de ar de mesmo 
om-
primento e mesma seção transversal, um
deles fe
hado numa das extremidades, e o
outro, aberto em ambas, e ondas sonoras
propagando-se nestes tubos. Considere as a�r-
mações abaixo:
I O deslo
amento é máximo na extremi-
dade do tubo aberto pois há um máximo
da onda de pressão neste ponto.
II O deslo
amento é máximo na extremi-
dade do tubo aberto pois há um nodo da
onda de pressão neste ponto.
III O 
omprimento de onda do modo fun-
damental, no tubo fe
hado, é o dobro
do 
omprimento de onda deste modo no
tubo aberto.
IV O 
omprimento de onda do modo fun-
damental, no tubo aberto, é o dobro
do 
omprimento de onda deste modo no
tubo fe
hado.
Qual(is) da(s) a�rmação(ões) a
ima é(são)
verdadeira(s)?
(a) III.
(b) I e II.
(
) I e III.
(d) I e IV.
(e) II e IV.
(f) III e IV.
(g) II e III.
5. Duas balanças são 
onstituídas, 
ada uma, por
uma mola e um prato, em que se deposita uma
massa a ser medida. Observa-se que para a
primeira balança, o prato não os
ila, mas a
balança demora um 
erto tempo para mar
ar
o valor 
orreto depois que a massa é posta no
prato. Nota-se também que a segunda balança
os
ila várias vezes antes que o prato pare e
esse valor possa ser lido. Assinale a alterna-
tiva INCORRETA:
(a) Na primeira balança observa-se um re-
gime de amorte
imento 
ríti
o ou super-
ríti
o.
(b) Na segunda balança observa-se um re-
gime de amorte
imento sub
ríti
o.
(
) Quanto mais amorte
ido o sistema, me-
nos tempo a balança leva para mar
ar o
valor 
orreto.
(d) Se não houvesse nenhum tipo de amor-
te
imento, a balança poderia os
ilar por
tempo indeterminado.
(e) O valor da massa altera a frequên-
ia natural de os
ilação do sistema
massa+prato+mola.
6. No momento em que 
omeça a ser observada
(t = 0), uma partí
ula de massa m ligada
a uma mola ideal de 
onstante elásti
a k se
afasta da origem e sua energia poten
ial vale
metade da energia me
âni
a total. Sobre sua
onstante de fase δ podemos a�rmar que:
(a) sen δ =
1
2
.
(b) sen δ =
√
2
2
.
(
) sen δ = −1
2
.
(d) sen δ =
√
3
2
.
7. Um os
ilador levemente amorte
ido tem seu
parâmetro de amorte
imento γ muito menor
que sua frequên
ia natural ω0. Neste 
aso a
energia me
âni
a média armazenada no os
i-
lador num dado instante de tempo é dada por
E¯(t) = Eoe
−γt
. A vida média destas os
i-
lações é de�nida 
omo intervalo de tempo no
qual a energia média se reduz de um fator 1/e.
O número de os
ilações n que a partí
ula rea-
liza neste intervalo pode ser expresso por
(a) n =
ωo
2πγ
.
(b) n =
ωo
γ
.
(
) n =
2πωo
γ
.
(d) n =
ln 2ωo
2πγ
.
(e) n =
ωoγ
2
.
(f) n =
2πγ
ωo
.
8. Marque a a�rmativa ERRADA a respeito do
omportamento de um pêndulo simples, na
aproximação de pequeno ângulos.
(a) Se dobrarmos o 
omprimento da 
orda
do pêndulo, o seu período também vai
dobrar.
(b) O período não depende das 
ondições
ini
iais.
(
) A velo
idade máxima de os
ilação não
depende do valor da massa do pêndulo.
(d) Um mesmo pêndulo na lua os
ila 
om
menor frequên
ia do que na terra sob as
mesmas 
ondições ini
iais.
Seção 2. Questões dis
ursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. [2,6 pontos℄ Considere um 
orpo de massa m1, preso a uma mola (de 
onstante elásti
a k e
omprimento relaxado L0) 
uja outra extremidade está presa ao teto. Considere que pode os
ilar,
sem resistên
ia, na verti
al sob ação de um 
ampo gravita
ional g. O 
orpo é solto, ini
ialmente
em repouso, da posição em que a mola en
ontra-se relaxada.
(a) [1,0 ponto℄ DEDUZA a equação diferen
ial de movimento. Espe
i�que CLARAMENTE o
eixo e a origem de seu sistema de 
oordenadas.
(b) [0,7 ponto℄ Mostre que a equação diferen
ial de movimento pode ser es
rita 
omo a equação
do os
ilador harm�ni
o simples em torno de uma nova posição de equilíbrio e determine esta
posição.
(
) [0,9 ponto℄ Es
reva a solução 
ompleta x = x(t) que des
reve o movimento, em função dos
dados do problema.
2. [2,6 pontos℄ Uma 
orda homogênea e inextensível de 
omprimento L e densidade linear de massa
µ é tensionada por um blo
o de massa m, 
omo mostrado na �gura. A extremidade esquerda da
orda está ligada a um anel de massa desprezível, o qual pode deslizar sem atrito em uma haste
verti
al. Considere o eixo x apontado para direita 
om origem na posição do anel e suponha que
ondas transversais sejam produzidas na 
orda usando-se uma fonte externa de frequên
ia variável
(não indi
ada na �gura). Suponha 
onhe
ida a velo
idade v da onda nesta 
orda sob estas 
ondições
e que a 
orda não des
ole da roldana em nenhum momento.
(a) [1,0 ponto℄ Mostre que y(x, t) = [A cos(kx)+Bsen(kx)] cos(ωt+ δ), onde A, B e δ são 
ons-
tantes, é solução da equação de ondas unidimensional (não é ne
essário deduzi-la) e determine
a relação entre v, k e ω.
(b) [1,0 ponto℄ Utilizando as 
ondições de 
ontorno ∂y(0, t)/∂x = 0 e y(L, t) = 0 determine o
omprimento de onda do n-ésimo modo normal de vibração.
(
) [0,6 ponto℄ Esbo
e os três modos normais de vibração de menor frequên
ia observados na
orda indi
ando expli
itamente o 
omprimento de onda de 
ada um.
FIM
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla es
olha (8× 0,6= 4,8 pontos)
1. (a)
2. (
)
3. (d)
4. (g)
5. (
)
6. (b)
7. (a)
8. (a)
Seção 2. Questões dis
ursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Colo
ando a origem do sistema de 
oordenadas no teto e o eixo x apontando para baixo, 
onforme a �gura:
[0,3 pontos℄
m x
As forças que agem sobre o 
orpo são: a força elásti
a, 
ausada pela mola: [0,3 pontos℄
~Fel = −k(x− L0)xˆ (1)
e a força gravita
ional: [0,2 pontos℄
~Fgrav = mgxˆ . (2)
A segunda Lei de Newton �
a, então [0,2 pontos℄:
mx¨ = −k(x− L0) +mg
x¨+
k
m
(x− L0) = g . (3)
(b) Se de�nirmos
L1 :=
mg
k
, [0,4 pontos℄,
a equação diferen
ial �
ará
x¨+
km
(x− L0 − L1) = 0 , (4)
a equação diferen
ial de um os
ilador harm�ni
o 
ujo 
omprimento relaxado vale L0 + L1 [0,3 pontos℄.
(
) A solução 
ompleta x(t) vale
x(t) = A cos(ωt+ δ) + L0 +
mg
k
. (5)
[0,1 pontos℄
As 
ondições ini
iais são:
x(0) = L0 ; (6)
x˙|t=0 = 0 . (7)
Substituindo (6) em (5),
x(0) = A cos(δ) + L0 +
mg
k
= L0 ∴ A cos(δ) = −mg
k
. (8)
[0,1 pontos℄
Substituindo (7) em (5),
x˙|t=0 = −ωA sin(δ) = 0 . (9)
[0,1 pontos℄
Como não estamos interessados na solução trivial x(t) = 0, A 6= 0 e sin(δ) = 0. Assim,
δn = nπ , (10)
onde n = 0,±1,±2, . . . [0,3 pontos℄. Substituindo este resultado na equação (8),
An(−1)n = −mg
k
∴ An = (−1)n+1mg
k
. (11)
[0,2 pontos℄
A solução 
ompleta, em termos dos dados do problema, �
a
x(t) = (−1)n+1mg
k
cos
(√
k
m
t+ nπ
)
+ L0 +
mg
k
x(t) = −mg
k
cos
(√
k
m
t
)
+ L0 +
mg
k
.
[0,1 pontos℄
�
2. Resolução:
(a) A equação de ondas unidimensional é es
rita na forma (0,3 ponto - a equação de ondas tem que ser
es
rita em algum momento na solução)
∂2y
∂x2
− 1
v2
∂2y
∂t2
= 0
Desta forma, utilizando a função de onda do enun
iado temos
∂y
∂x
= k[−Asen(kx) +B cos(kx)] cos(ωt+ δ)→ ∂
2y
∂x2
= −k2y(x, t)
e
∂y
∂t
= −ω[A cos(kx) +Bsen(kx)]sen(ωt+ δ)→ ∂
2y
∂t2
= −ω2y(x, t)
Substituindo estes resultados na equação de ondas, obtemos (0,5 ponto),[
−k2 + ω
2
v2
]
y(x, t) = 0,
e, portanto, 
on
luímos que a função de onda y(x, t) forne
ida no enun
iado da questão é solução da equação
de ondas desde que −k2 + ω2/v2 = 0→ ω = kv (0,2 ponto).
(b) Utilizando a primeira 
ondição de 
ontorno, temos
∂y(x, t)
∂x
∣∣∣∣
x=0
= 0→ kB cos(ωt+ δ) = 0,
Como esta equação deve ser satisfeita para qualquer instante de tempo, é ne
essário impor B = 0 (0,3
ponto).
Similarmente, utilizando a segunda 
ondição de 
ontorno e o resultado a
ima, obtemos
y(L, t) = A cos(kL) cos(ωt+ δ) = 0
Novamente, a equação anterior deve ser válida para qualquer instante de tempo. Além disso, não podemos ter
A = 0, pois neste 
aso obteríamos a solução trivial da equação de ondas y(x, t) = 0. Assim, devemos impor
cos(kL) = 0, de forma que o produto kL deve ser um múltiplo ímpar de π/2 (0,4 ponto):
knL = (2n+ 1)
π
2
, n = 0, 1, 2, 3...
Portanto (0,3 ponto)
λn =
2π
kn
=
4L
2n+ 1
, n = 0, 1, 2, 3...
(
) Utilizando os resultados obtidos nos itens (b) e (
) é imediato mostrar que o per�l do n-ésimo modo normal
de vibração observado na 
orda é des
rito pela função de onda
yn(x, t) = An cos
{(
n+
1
2
)
πx
L
}
cos
{(
n+
1
2
)
πvt
L
+ δn
}
Assim, os três modos normais de vibração de menor frequên
ia que podem ser observados na 
orda 
orrespon-
dem à n = 0, n = 1 e n = 2, para os quais o per�l de os
ilação está esboçado na Fig.4. (0,6 pontos - 0,2
para 
ada modo normal)
�
Figura 1: Item 2
.
Universidade Federal do Rio de Janeiro � Instituto de Físi
a
Físi
a II� 2014.2 � Prova 2: 12/11/2014
Versão: B
Seção 1. Múltipla es
olha (8× 0,6= 4,8 pontos)
1. Uma 
orda �xa nas duas extremidades e sub-
metida a uma tensão T os
ila em seu ter
eiro
modo normal, 
om 
omprimento de onda λ3 e
frequên
ia f3. Se a tensão for quadrupli
ada,
os novos λ e f para este modo serão, respe
-
tivamente:
(a) λ3 e 2f3.
(b) λ3 e f3.
(
) 2λ3 e 2f3.
(d) λ3/4 e f3.
(e) 2λ3 e 4f3.
2. No momento em que 
omeça a ser observada
(t = 0), uma partí
ula de massa m ligada
a uma mola ideal de 
onstante elásti
a k se
afasta da origem e sua energia poten
ial vale
metade da energia me
âni
a total. Sobre sua
onstante de fase δ podemos a�rmar que:
(a) sen δ =
1
2
.
(b) sen δ =
√
2
2
.
(
) sen δ = −1
2
.
(d) sen δ =
√
3
2
.
3. Considere um os
ilador harm�ni
o simples,
ini
ialmente na posição de equilíbrio, e as três
ondições abaixo:
I x˙(0) = 0;
II x˙(0) = v0;
III x˙(0) = 2v0.
Marque a alternativa 
orreta:
(a) Em todos os 
asos o 
orpo �
ará sem-
pre parado, pois já está na posição de
equilíbrio.
(b) O 
orpo atingirá o deslo
amento má-
ximo em menos tempo no 
aso III.
(
) O 
orpo atingirá o deslo
amento má-
ximo ao mesmo tempo nos 
asos II e
III.
(d) O 
orpo os
ilará 
om a mesma ampli-
tude nos 
asos II e III.
(e) A energia me
âni
a total do os
ilador no
aso III é o dobro da do 
aso II.
4. Marque a a�rmativa ERRADA a respeito do
efeito de Doppler.
(a) Quando um observador se aproxima
de uma fonte de onda em repouso, a
frequên
ia observada aumenta.
(b) Quando uma fonte de onda se apro-
xima de um observador em repouso, a
frequên
ia observada aumenta.
(
) Quando uma fonte de onda se aproxima
de um observador em repouso, o número
de onda observado aumenta.
(d) Quando um observador se aproxima de
uma fonte de onda em repouso, o 
om-
primento de onda observado diminui.
5. Considere dois tubos de ar de mesmo 
om-
primento e mesma seção transversal, um
deles fe
hado numa das extremidades, e o
outro, aberto em ambas, e ondas sonoras
propagando-se nestes tubos. Considere as a�r-
mações abaixo:
I O deslo
amento é máximo na extremi-
dade do tubo aberto pois há um máximo
da onda de pressão neste ponto.
II O deslo
amento é máximo na extremi-
dade do tubo aberto pois há um nodo da
onda de pressão neste ponto.
III O 
omprimento de onda do modo fun-
damental, no tubo fe
hado, é o dobro
do 
omprimento de onda deste modo no
tubo aberto.
IV O 
omprimento de onda do modo fun-
damental, no tubo aberto, é o dobro
do 
omprimento de onda deste modo no
tubo fe
hado.
Qual(is) da(s) a�rmação(ões) a
ima é(são)
verdadeira(s)?
(a) III.
(b) I e II.
(
) I e III.
(d) I e IV.
(e) II e IV.
(f) III e IV.
(g) II e III.
6. Um os
ilador levemente amorte
ido tem seu
parâmetro de amorte
imento γ muito menor
que sua frequên
ia natural ω0. Neste 
aso a
energia me
âni
a média armazenada no os
i-
lador num dado instante de tempo é dada por
E¯(t) = Eoe
−γt
. A vida média destas os
i-
lações é de�nida 
omo intervalo de tempo no
qual a energia média se reduz de um fator 1/e.
O número de os
ilações n que a partí
ula rea-
liza neste intervalo pode ser expresso por
(a) n =
ωo
2πγ
.
(b) n =
ωo
γ
.
(
) n =
2πωo
γ
.
(d) n =
ln 2ωo
2πγ
.
(e) n =
ωoγ
2
.
(f) n =
2πγ
ωo
.
7. Duas balanças são 
onstituídas, 
ada uma, por
uma mola e um prato, em que se deposita uma
massa a ser medida. Observa-se que para a
primeira balança, o prato não os
ila, mas a
balança demora um 
erto tempo para mar
ar
o valor 
orreto depois que a massa é posta no
prato. Nota-se também que a segunda balança
os
ila várias vezes antes que o prato pare e
esse valor possa ser lido. Assinale a alterna-
tiva INCORRETA:
(a) Na primeira balança observa-se um re-
gime de amorte
imento 
ríti
o ou super-
ríti
o.
(b) Na segunda balança observa-se um re-
gime de amorte
imento sub
ríti
o.
(
) Quanto mais amorte
ido o sistema, me-
nos tempo a balança leva para mar
ar o
valor 
orreto.
(d) Se não houvesse nenhum tipo de amor-
te
imento, a balança poderia os
ilar por
tempo indeterminado.
(e) O valor da massa altera a frequên-
ia natural de os
ilação do sistema
massa+prato+mola.
8. Marque a a�rmativa ERRADA a respeito do
omportamento de um pêndulo simples, na
aproximação de pequeno ângulos.
(a) Se dobrarmos o 
omprimento da 
orda
do pêndulo, o seu período também vai
dobrar.
(b) O período não depende das 
ondições
ini
iais.
(
) A veloidade máxima de os
ilação não
depende do valor da massa do pêndulo.
(d) Um mesmo pêndulo na lua os
ila 
om
menor frequên
ia do que na terra sob as
mesmas 
ondições ini
iais.
Seção 2. Questões dis
ursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. [2,6 pontos℄ Considere um 
orpo de massa m1, preso a uma mola (de 
onstante elásti
a k e
omprimento relaxado L0) 
uja outra extremidade está presa ao teto. Considere que pode os
ilar,
sem resistên
ia, na verti
al sob ação de um 
ampo gravita
ional g. O 
orpo é solto, ini
ialmente
em repouso, da posição em que a mola en
ontra-se relaxada.
(a) [1,0 ponto℄ DEDUZA a equação diferen
ial de movimento. Espe
i�que CLARAMENTE o
eixo e a origem de seu sistema de 
oordenadas.
(b) [0,7 ponto℄ Mostre que a equação diferen
ial de movimento pode ser es
rita 
omo a equação
do os
ilador harm�ni
o simples em torno de uma nova posição de equilíbrio e determine esta
posição.
(
) [0,9 ponto℄ Es
reva a solução 
ompleta x = x(t) que des
reve o movimento, em função dos
dados do problema.
2. [2,6 pontos℄ Uma 
orda homogênea e inextensível de 
omprimento L e densidade linear de massa
µ é tensionada por um blo
o de massa m, 
omo mostrado na �gura. A extremidade esquerda da
orda está ligada a um anel de massa desprezível, o qual pode deslizar sem atrito em uma haste
verti
al. Considere o eixo x apontado para direita 
om origem na posição do anel e suponha que
ondas transversais sejam produzidas na 
orda usando-se uma fonte externa de frequên
ia variável
(não indi
ada na �gura). Suponha 
onhe
ida a velo
idade v da onda nesta 
orda sob estas 
ondições
e que a 
orda não des
ole da roldana em nenhum momento.
(a) [1,0 ponto℄ Mostre que y(x, t) = [A cos(kx)+Bsen(kx)] cos(ωt+ δ), onde A, B e δ são 
ons-
tantes, é solução da equação de ondas unidimensional (não é ne
essário deduzi-la) e determine
a relação entre v, k e ω.
(b) [1,0 ponto℄ Utilizando as 
ondições de 
ontorno ∂y(0, t)/∂x = 0 e y(L, t) = 0 determine o
omprimento de onda do n-ésimo modo normal de vibração.
(
) [0,6 ponto℄ Esbo
e os três modos normais de vibração de menor frequên
ia observados na
orda indi
ando expli
itamente o 
omprimento de onda de 
ada um.
FIM
Gabarito para Versão B
Seção 1. Múltipla es
olha (8× 0,6= 4,8 pontos)
1. (a)
2. (b)
3. (
)
4. (d)
5. (g)
6. (a)
7. (
)
8. (a)
Seção 2. Questões dis
ursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Colo
ando a origem do sistema de 
oordenadas no teto e o eixo x apontando para baixo, 
onforme a �gura:
[0,3 pontos℄
m x
As forças que agem sobre o 
orpo são: a força elásti
a, 
ausada pela mola: [0,3 pontos℄
~Fel = −k(x− L0)xˆ (1)
e a força gravita
ional: [0,2 pontos℄
~Fgrav = mgxˆ . (2)
A segunda Lei de Newton �
a, então [0,2 pontos℄:
mx¨ = −k(x− L0) +mg
x¨+
k
m
(x− L0) = g . (3)
(b) Se de�nirmos
L1 :=
mg
k
, [0,4 pontos℄,
a equação diferen
ial �
ará
x¨+
k
m
(x− L0 − L1) = 0 , (4)
a equação diferen
ial de um os
ilador harm�ni
o 
ujo 
omprimento relaxado vale L0 + L1 [0,3 pontos℄.
(
) A solução 
ompleta x(t) vale
x(t) = A cos(ωt+ δ) + L0 +
mg
k
. (5)
[0,1 pontos℄
As 
ondições ini
iais são:
x(0) = L0 ; (6)
x˙|t=0 = 0 . (7)
Substituindo (6) em (5),
x(0) = A cos(δ) + L0 +
mg
k
= L0 ∴ A cos(δ) = −mg
k
. (8)
[0,1 pontos℄
Substituindo (7) em (5),
x˙|t=0 = −ωA sin(δ) = 0 . (9)
[0,1 pontos℄
Como não estamos interessados na solução trivial x(t) = 0, A 6= 0 e sin(δ) = 0. Assim,
δn = nπ , (10)
onde n = 0,±1,±2, . . . [0,3 pontos℄. Substituindo este resultado na equação (8),
An(−1)n = −mg
k
∴ An = (−1)n+1mg
k
. (11)
[0,2 pontos℄
A solução 
ompleta, em termos dos dados do problema, �
a
x(t) = (−1)n+1mg
k
cos
(√
k
m
t+ nπ
)
+ L0 +
mg
k
x(t) = −mg
k
cos
(√
k
m
t
)
+ L0 +
mg
k
.
[0,1 pontos℄
�
2. Resolução:
(a) A equação de ondas unidimensional é es
rita na forma (0,3 ponto - a equação de ondas tem que ser
es
rita em algum momento na solução)
∂2y
∂x2
− 1
v2
∂2y
∂t2
= 0
Desta forma, utilizando a função de onda do enun
iado temos
∂y
∂x
= k[−Asen(kx) +B cos(kx)] cos(ωt+ δ)→ ∂
2y
∂x2
= −k2y(x, t)
e
∂y
∂t
= −ω[A cos(kx) +Bsen(kx)]sen(ωt+ δ)→ ∂
2y
∂t2
= −ω2y(x, t)
Substituindo estes resultados na equação de ondas, obtemos (0,5 ponto),[
−k2 + ω
2
v2
]
y(x, t) = 0,
e, portanto, 
on
luímos que a função de onda y(x, t) forne
ida no enun
iado da questão é solução da equação
de ondas desde que −k2 + ω2/v2 = 0→ ω = kv (0,2 ponto).
(b) Utilizando a primeira 
ondição de 
ontorno, temos
∂y(x, t)
∂x
∣∣∣∣
x=0
= 0→ kB cos(ωt+ δ) = 0,
Como esta equação deve ser satisfeita para qualquer instante de tempo, é ne
essário impor B = 0 (0,3
ponto).
Similarmente, utilizando a segunda 
ondição de 
ontorno e o resultado a
ima, obtemos
y(L, t) = A cos(kL) cos(ωt+ δ) = 0
Novamente, a equação anterior deve ser válida para qualquer instante de tempo. Além disso, não podemos ter
A = 0, pois neste 
aso obteríamos a solução trivial da equação de ondas y(x, t) = 0. Assim, devemos impor
cos(kL) = 0, de forma que o produto kL deve ser um múltiplo ímpar de π/2 (0,4 ponto):
knL = (2n+ 1)
π
2
, n = 0, 1, 2, 3...
Portanto (0,3 ponto)
λn =
2π
kn
=
4L
2n+ 1
, n = 0, 1, 2, 3...
(
) Utilizando os resultados obtidos nos itens (b) e (
) é imediato mostrar que o per�l do n-ésimo modo normal
de vibração observado na 
orda é des
rito pela função de onda
yn(x, t) = An cos
{(
n+
1
2
)
πx
L
}
cos
{(
n+
1
2
)
πvt
L
+ δn
}
Assim, os três modos normais de vibração de menor frequên
ia que podem ser observados na 
orda 
orrespon-
dem à n = 0, n = 1 e n = 2, para os quais o per�l de os
ilação está esboçado na Fig.4. (0,6 pontos - 0,2
para 
ada modo normal)
�
Figura 2: Item 2
.
Universidade Federal do Rio de Janeiro � Instituto de Físi
a
Físi
a II� 2014.2 � Prova 2: 12/11/2014
Versão: C
Seção 1. Múltipla es
olha (8× 0,6= 4,8 pontos)
1. No momento em que 
omeça a ser observada
(t = 0), uma partí
ula de massa m ligada
a uma mola ideal de 
onstante elásti
a k se
afasta da origem e sua energia poten
ial vale
metade da energia me
âni
a total. Sobre sua
onstante de fase δ podemos a�rmar que:
(a) sen δ =
1
2
.
(b) sen δ =
√
2
2
.
(
) sen δ = −1
2
.
(d) sen δ =
√
3
2
.
2. Duas balanças são 
onstituídas, 
ada uma, por
uma mola e um prato, em que se deposita uma
massa a ser medida. Observa-se que para a
primeira balança, o prato não os
ila, mas a
balança demora um 
erto tempo para mar
ar
o valor 
orreto depois que a massa é posta no
prato. Nota-se também que a segunda balança
os
ila várias vezes antes que o prato pare e
esse valor possa ser lido. Assinale a alterna-
tiva INCORRETA:
(a) Na primeira balança observa-se um re-
gime de amorte
imento 
ríti
o ou super-
ríti
o.
(b) Na segunda balança observa-se um re-
gime de amorte
imento sub
ríti
o.
(
) Quanto mais amorte
ido o sistema, me-
nos tempo a balança leva para mar
ar o
valor 
orreto.
(d) Se não houvesse nenhum tipo de amor-
te
imento, a balança poderia os
ilar por
tempo indeterminado.
(e) O valor da massa altera a frequên-
ia natural de os
ilação do sistema
massa+prato+mola.
3. Marque a a�rmativa ERRADA a respeito do
efeito de Doppler.
(a) Quando um observador se aproxima
de uma fonte de onda em repouso, a
frequên
ia observada aumenta.
(b) Quando uma fonte de onda se apro-
xima de um observador em repouso, a
frequên
ia observada aumenta.
(
) Quando uma fonte de onda se aproximade um observador em repouso, o número
de onda observado aumenta.
(d) Quando um observador se aproxima de
uma fonte de onda em repouso, o 
om-
primento de onda observado diminui.
4. Uma 
orda �xa nas duas extremidades e sub-
metida a uma tensão T os
ila em seu ter
eiro
modo normal, 
om 
omprimento de onda λ3 e
frequên
ia f3. Se a tensão for quadrupli
ada,
os novos λ e f para este modo serão, respe
-
tivamente:
(a) λ3 e 2f3.
(b) λ3 e f3.
(
) 2λ3 e 2f3.
(d) λ3/4 e f3.
(e) 2λ3 e 4f3.
5. Marque a a�rmativa ERRADA a respeito do
omportamento de um pêndulo simples, na
aproximação de pequeno ângulos.
(a) Se dobrarmos o 
omprimento da 
orda
do pêndulo, o seu período também vai
dobrar.
(b) O período não depende das 
ondições
ini
iais.
(
) A velo
idade máxima de os
ilação não
depende do valor da massa do pêndulo.
(d) Um mesmo pêndulo na lua os
ila 
om
menor frequên
ia do que na terra sob as
mesmas 
ondições ini
iais.
6. Um os
ilador levemente amorte
ido tem seu
parâmetro de amorte
imento γ muito menor
que sua frequên
ia natural ω0. Neste 
aso a
energia me
âni
a média armazenada no os
i-
lador num dado instante de tempo é dada por
E¯(t) = Eoe
−γt
. A vida média destas os
i-
lações é de�nida 
omo intervalo de tempo no
qual a energia média se reduz de um fator 1/e.
O número de os
ilações n que a partí
ula rea-
liza neste intervalo pode ser expresso por
(a) n =
ωo
2πγ
.
(b) n =
ωo
γ
.
(
) n =
2πωo
γ
.
(d) n =
ln 2ωo
2πγ
.
(e) n =
ωoγ
2
.
(f) n =
2πγ
ωo
.
7. Considere um os
ilador harm�ni
o simples,
ini
ialmente na posição de equilíbrio, e as três
ondições abaixo:
I x˙(0) = 0;
II x˙(0) = v0;
III x˙(0) = 2v0.
Marque a alternativa 
orreta:
(a) Em todos os 
asos o 
orpo �
ará sem-
pre parado, pois já está na posição de
equilíbrio.
(b) O 
orpo atingirá o deslo
amento má-
ximo em menos tempo no 
aso III.
(
) O 
orpo atingirá o deslo
amento má-
ximo ao mesmo tempo nos 
asos II e
III.
(d) O 
orpo os
ilará 
om a mesma ampli-
tude nos 
asos II e III.
(e) A energia me
âni
a total do os
ilador no
aso III é o dobro da do 
aso II.
8. Considere dois tubos de ar de mesmo 
om-
primento e mesma seção transversal, um
deles fe
hado numa das extremidades, e o
outro, aberto em ambas, e ondas sonoras
propagando-se nestes tubos. Considere as a�r-
mações abaixo:
I O deslo
amento é máximo na extremi-
dade do tubo aberto pois há um máximo
da onda de pressão neste ponto.
II O deslo
amento é máximo na extremi-
dade do tubo aberto pois há um nodo da
onda de pressão neste ponto.
III O 
omprimento de onda do modo fun-
damental, no tubo fe
hado, é o dobro
do 
omprimento de onda deste modo no
tubo aberto.
IV O 
omprimento de onda do modo fun-
damental, no tubo aberto, é o dobro
do 
omprimento de onda deste modo no
tubo fe
hado.
Qual(is) da(s) a�rmação(ões) a
ima é(são)
verdadeira(s)?
(a) III.
(b) I e II.
(
) I e III.
(d) I e IV.
(e) II e IV.
(f) III e IV.
(g) II e III.
Seção 2. Questões dis
ursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. [2,6 pontos℄ Considere um 
orpo de massa m1, preso a uma mola (de 
onstante elásti
a k e
omprimento relaxado L0) 
uja outra extremidade está presa ao teto. Considere que pode os
ilar,
sem resistên
ia, na verti
al sob ação de um 
ampo gravita
ional g. O 
orpo é solto, ini
ialmente
em repouso, da posição em que a mola en
ontra-se relaxada.
(a) [1,0 ponto℄ DEDUZA a equação diferen
ial de movimento. Espe
i�que CLARAMENTE o
eixo e a origem de seu sistema de 
oordenadas.
(b) [0,7 ponto℄ Mostre que a equação diferen
ial de movimento pode ser es
rita 
omo a equação
do os
ilador harm�ni
o simples em torno de uma nova posição de equilíbrio e determine esta
posição.
(
) [0,9 ponto℄ Es
reva a solução 
ompleta x = x(t) que des
reve o movimento, em função dos
dados do problema.
2. [2,6 pontos℄ Uma 
orda homogênea e inextensível de 
omprimento L e densidade linear de massa
µ é tensionada por um blo
o de massa m, 
omo mostrado na �gura. A extremidade esquerda da
orda está ligada a um anel de massa desprezível, o qual pode deslizar sem atrito em uma haste
verti
al. Considere o eixo x apontado para direita 
om origem na posição do anel e suponha que
ondas transversais sejam produzidas na 
orda usando-se uma fonte externa de frequên
ia variável
(não indi
ada na �gura). Suponha 
onhe
ida a velo
idade v da onda nesta 
orda sob estas 
ondições
e que a 
orda não des
ole da roldana em nenhum momento.
(a) [1,0 ponto℄ Mostre que y(x, t) = [A cos(kx)+Bsen(kx)] cos(ωt+ δ), onde A, B e δ são 
ons-
tantes, é solução da equação de ondas unidimensional (não é ne
essário deduzi-la) e determine
a relação entre v, k e ω.
(b) [1,0 ponto℄ Utilizando as 
ondições de 
ontorno ∂y(0, t)/∂x = 0 e y(L, t) = 0 determine o
omprimento de onda do n-ésimo modo normal de vibração.
(
) [0,6 ponto℄ Esbo
e os três modos normais de vibração de menor frequên
ia observados na
orda indi
ando expli
itamente o 
omprimento de onda de 
ada um.
FIM
Gabarito para Versão C
Seção 1. Múltipla es
olha (8× 0,6= 4,8 pontos)
1. (b)
2. (
)
3. (d)
4. (a)
5. (a)
6. (a)
7. (
)
8. (g)
Seção 2. Questões dis
ursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Colo
ando a origem do sistema de 
oordenadas no teto e o eixo x apontando para baixo, 
onforme a �gura:
[0,3 pontos℄
m x
As forças que agem sobre o 
orpo são: a força elásti
a, 
ausada pela mola: [0,3 pontos℄
~Fel = −k(x− L0)xˆ (1)
e a força gravita
ional: [0,2 pontos℄
~Fgrav = mgxˆ . (2)
A segunda Lei de Newton �
a, então [0,2 pontos℄:
mx¨ = −k(x− L0) +mg
x¨+
k
m
(x− L0) = g . (3)
(b) Se de�nirmos
L1 :=
mg
k
, [0,4 pontos℄,
a equação diferen
ial �
ará
x¨+
k
m
(x− L0 − L1) = 0 , (4)
a equação diferen
ial de um os
ilador harm�ni
o 
ujo 
omprimento relaxado vale L0 + L1 [0,3 pontos℄.
(
) A solução 
ompleta x(t) vale
x(t) = A cos(ωt+ δ) + L0 +
mg
k
. (5)
[0,1 pontos℄
As 
ondições ini
iais são:
x(0) = L0 ; (6)
x˙|t=0 = 0 . (7)
Substituindo (6) em (5),
x(0) = A cos(δ) + L0 +
mg
k
= L0 ∴ A cos(δ) = −mg
k
. (8)
[0,1 pontos℄
Substituindo (7) em (5),
x˙|t=0 = −ωA sin(δ) = 0 . (9)
[0,1 pontos℄
Como não estamos interessados na solução trivial x(t) = 0, A 6= 0 e sin(δ) = 0. Assim,
δn = nπ , (10)
onde n = 0,±1,±2, . . . [0,3 pontos℄. Substituindo este resultado na equação (8),
An(−1)n = −mg
k
∴ An = (−1)n+1mg
k
. (11)
[0,2 pontos℄
A solução 
ompleta, em termos dos dados do problema, �
a
x(t) = (−1)n+1mg
k
cos
(√
k
m
t+ nπ
)
+ L0 +
mg
k
x(t) = −mg
k
cos
(√
k
m
t
)
+ L0 +
mg
k
.
[0,1 pontos℄
�
2. Resolução:
(a) A equação de ondas unidimensional é es
rita na forma (0,3 ponto - a equação de ondas tem que ser
es
rita em algum momento na solução)
∂2y
∂x2
− 1
v2
∂2y
∂t2
= 0
Desta forma, utilizando a função de onda do enun
iado temos
∂y
∂x
= k[−Asen(kx) +B cos(kx)] cos(ωt+ δ)→ ∂
2y
∂x2
= −k2y(x, t)
e
∂y
∂t
= −ω[A cos(kx) +Bsen(kx)]sen(ωt+ δ)→ ∂
2y
∂t2
= −ω2y(x, t)
Substituindo estes resultados na equação de ondas, obtemos (0,5 ponto),[
−k2 + ω
2
v2
]
y(x, t) = 0,
e, portanto, 
on
luímos que a função de onda y(x, t) forne
ida no enun
iado da questão é solução da equação
de ondas desde que −k2 + ω2/v2 = 0→ ω = kv (0,2 ponto).
(b) Utilizando a primeira 
ondição de 
ontorno, temos
∂y(x, t)
∂x
∣∣∣∣
x=0
= 0→ kB cos(ωt+ δ) = 0,
Como esta equação deve ser satisfeita para qualquer instantede tempo, é ne
essário impor B = 0 (0,3
ponto).
Similarmente, utilizando a segunda 
ondição de 
ontorno e o resultado a
ima, obtemos
y(L, t) = A cos(kL) cos(ωt+ δ) = 0
Novamente, a equação anterior deve ser válida para qualquer instante de tempo. Além disso, não podemos ter
A = 0, pois neste 
aso obteríamos a solução trivial da equação de ondas y(x, t) = 0. Assim, devemos impor
cos(kL) = 0, de forma que o produto kL deve ser um múltiplo ímpar de π/2 (0,4 ponto):
knL = (2n+ 1)
π
2
, n = 0, 1, 2, 3...
Portanto (0,3 ponto)
λn =
2π
kn
=
4L
2n+ 1
, n = 0, 1, 2, 3...
(
) Utilizando os resultados obtidos nos itens (b) e (
) é imediato mostrar que o per�l do n-ésimo modo normal
de vibração observado na 
orda é des
rito pela função de onda
yn(x, t) = An cos
{(
n+
1
2
)
πx
L
}
cos
{(
n+
1
2
)
πvt
L
+ δn
}
Assim, os três modos normais de vibração de menor frequên
ia que podem ser observados na 
orda 
orrespon-
dem à n = 0, n = 1 e n = 2, para os quais o per�l de os
ilação está esboçado na Fig.4. (0,6 pontos - 0,2
para 
ada modo normal)
�
Figura 3: Item 2
.
Universidade Federal do Rio de Janeiro � Instituto de Físi
a
Físi
a II� 2014.2 � Prova 2: 12/11/2014
Versão: D
Seção 1. Múltipla es
olha (8× 0,6= 4,8 pontos)
1. Marque a a�rmativa ERRADA a respeito do
efeito de Doppler.
(a) Quando um observador se aproxima
de uma fonte de onda em repouso, a
frequên
ia observada aumenta.
(b) Quando uma fonte de onda se apro-
xima de um observador em repouso, a
frequên
ia observada aumenta.
(
) Quando uma fonte de onda se aproxima
de um observador em repouso, o número
de onda observado aumenta.
(d) Quando um observador se aproxima de
uma fonte de onda em repouso, o 
om-
primento de onda observado diminui.
2. Considere um os
ilador harm�ni
o simples,
ini
ialmente na posição de equilíbrio, e as três
ondições abaixo:
I x˙(0) = 0;
II x˙(0) = v0;
III x˙(0) = 2v0.
Marque a alternativa 
orreta:
(a) Em todos os 
asos o 
orpo �
ará sem-
pre parado, pois já está na posição de
equilíbrio.
(b) O 
orpo atingirá o deslo
amento má-
ximo em menos tempo no 
aso III.
(
) O 
orpo atingirá o deslo
amento má-
ximo ao mesmo tempo nos 
asos II e
III.
(d) O 
orpo os
ilará 
om a mesma ampli-
tude nos 
asos II e III.
(e) A energia me
âni
a total do os
ilador no
aso III é o dobro da do 
aso II.
3. Uma 
orda �xa nas duas extremidades e sub-
metida a uma tensão T os
ila em seu ter
eiro
modo normal, 
om 
omprimento de onda λ3 e
frequên
ia f3. Se a tensão for quadrupli
ada,
os novos λ e f para este modo serão, respe
-
tivamente:
(a) λ3 e 2f3.
(b) λ3 e f3.
(
) 2λ3 e 2f3.
(d) λ3/4 e f3.
(e) 2λ3 e 4f3.
4. Considere dois tubos de ar de mesmo 
om-
primento e mesma seção transversal, um
deles fe
hado numa das extremidades, e o
outro, aberto em ambas, e ondas sonoras
propagando-se nestes tubos. Considere as a�r-
mações abaixo:
I O deslo
amento é máximo na extremi-
dade do tubo aberto pois há um máximo
da onda de pressão neste ponto.
II O deslo
amento é máximo na extremi-
dade do tubo aberto pois há um nodo da
onda de pressão neste ponto.
III O 
omprimento de onda do modo fun-
damental, no tubo fe
hado, é o dobro
do 
omprimento de onda deste modo no
tubo aberto.
IV O 
omprimento de onda do modo fun-
damental, no tubo aberto, é o dobro
do 
omprimento de onda deste modo no
tubo fe
hado.
Qual(is) da(s) a�rmação(ões) a
ima é(são)
verdadeira(s)?
(a) III.
(b) I e II.
(
) I e III.
(d) I e IV.
(e) II e IV.
(f) III e IV.
(g) II e III.
5. Marque a a�rmativa ERRADA a respeito do
omportamento de um pêndulo simples, na
aproximação de pequeno ângulos.
(a) Se dobrarmos o 
omprimento da 
orda
do pêndulo, o seu período também vai
dobrar.
(b) O período não depende das 
ondições
ini
iais.
(
) A velo
idade máxima de os
ilação não
depende do valor da massa do pêndulo.
(d) Um mesmo pêndulo na lua os
ila 
om
menor frequên
ia do que na terra sob as
mesmas 
ondições ini
iais.
6. Duas balanças são 
onstituídas, 
ada uma, por
uma mola e um prato, em que se deposita uma
massa a ser medida. Observa-se que para a
primeira balança, o prato não os
ila, mas a
balança demora um 
erto tempo para mar
ar
o valor 
orreto depois que a massa é posta no
prato. Nota-se também que a segunda balança
os
ila várias vezes antes que o prato pare e
esse valor possa ser lido. Assinale a alterna-
tiva INCORRETA:
(a) Na primeira balança observa-se um re-
gime de amorte
imento 
ríti
o ou super-
ríti
o.
(b) Na segunda balança observa-se um re-
gime de amorte
imento sub
ríti
o.
(
) Quanto mais amorte
ido o sistema, me-
nos tempo a balança leva para mar
ar o
valor 
orreto.
(d) Se não houvesse nenhum tipo de amor-
te
imento, a balança poderia os
ilar por
tempo indeterminado.
(e) O valor da massa altera a frequên-
ia natural de os
ilação do sistema
massa+prato+mola.
7. No momento em que 
omeça a ser observada
(t = 0), uma partí
ula de massa m ligada
a uma mola ideal de 
onstante elásti
a k se
afasta da origem e sua energia poten
ial vale
metade da energia me
âni
a total. Sobre sua
onstante de fase δ podemos a�rmar que:
(a) sen δ =
1
2
.
(b) sen δ =
√
2
2
.
(
) sen δ = −1
2
.
(d) sen δ =
√
3
2
.
8. Um os
ilador levemente amorte
ido tem seu
parâmetro de amorte
imento γ muito menor
que sua frequên
ia natural ω0. Neste 
aso a
energia me
âni
a média armazenada no os
i-
lador num dado instante de tempo é dada por
E¯(t) = Eoe
−γt
. A vida média destas os
i-
lações é de�nida 
omo intervalo de tempo no
qual a energia média se reduz de um fator 1/e.
O número de os
ilações n que a partí
ula rea-
liza neste intervalo pode ser expresso por
(a) n =
ωo
2πγ
.
(b) n =
ωo
γ
.
(
) n =
2πωo
γ
.
(d) n =
ln 2ωo
2πγ
.
(e) n =
ωoγ
2
.
(f) n =
2πγ
ωo
.
Seção 2. Questões dis
ursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. [2,6 pontos℄ Considere um 
orpo de massa m1, preso a uma mola (de 
onstante elásti
a k e
omprimento relaxado L0) 
uja outra extremidade está presa ao teto. Considere que pode os
ilar,
sem resistên
ia, na verti
al sob ação de um 
ampo gravita
ional g. O 
orpo é solto, ini
ialmente
em repouso, da posição em que a mola en
ontra-se relaxada.
(a) [1,0 ponto℄ DEDUZA a equação diferen
ial de movimento. Espe
i�que CLARAMENTE o
eixo e a origem de seu sistema de 
oordenadas.
(b) [0,7 ponto℄ Mostre que a equação diferen
ial de movimento pode ser es
rita 
omo a equação
do os
ilador harm�ni
o simples em torno de uma nova posição de equilíbrio e determine esta
posição.
(
) [0,9 ponto℄ Es
reva a solução 
ompleta x = x(t) que des
reve o movimento, em função dos
dados do problema.
2. [2,6 pontos℄ Uma 
orda homogênea e inextensível de 
omprimento L e densidade linear de massa
µ é tensionada por um blo
o de massa m, 
omo mostrado na �gura. A extremidade esquerda da
orda está ligada a um anel de massa desprezível, o qual pode deslizar sem atrito em uma haste
verti
al. Considere o eixo x apontado para direita 
om origem na posição do anel e suponha que
ondas transversais sejam produzidas na 
orda usando-se uma fonte externa de frequên
ia variável
(não indi
ada na �gura). Suponha 
onhe
ida a velo
idade v da onda nesta 
orda sob estas 
ondições
e que a 
orda não des
ole da roldana em nenhum momento.
(a) [1,0 ponto℄ Mostre que y(x, t) = [A cos(kx)+Bsen(kx)] cos(ωt+ δ), onde A, B e δ são 
ons-
tantes, é solução da equação de ondasunidimensional (não é ne
essário deduzi-la) e determine
a relação entre v, k e ω.
(b) [1,0 ponto℄ Utilizando as 
ondições de 
ontorno ∂y(0, t)/∂x = 0 e y(L, t) = 0 determine o
omprimento de onda do n-ésimo modo normal de vibração.
(
) [0,6 ponto℄ Esbo
e os três modos normais de vibração de menor frequên
ia observados na
orda indi
ando expli
itamente o 
omprimento de onda de 
ada um.
FIM
Gabarito para Versão D
Seção 1. Múltipla es
olha (8× 0,6= 4,8 pontos)
1. (d)
2. (
)
3. (a)
4. (g)
5. (a)
6. (
)
7. (b)
8. (a)
Seção 2. Questões dis
ursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Colo
ando a origem do sistema de 
oordenadas no teto e o eixo x apontando para baixo, 
onforme a �gura:
[0,3 pontos℄
m x
As forças que agem sobre o 
orpo são: a força elásti
a, 
ausada pela mola: [0,3 pontos℄
~Fel = −k(x− L0)xˆ (1)
e a força gravita
ional: [0,2 pontos℄
~Fgrav = mgxˆ . (2)
A segunda Lei de Newton �
a, então [0,2 pontos℄:
mx¨ = −k(x− L0) +mg
x¨+
k
m
(x− L0) = g . (3)
(b) Se de�nirmos
L1 :=
mg
k
, [0,4 pontos℄,
a equação diferen
ial �
ará
x¨+
k
m
(x− L0 − L1) = 0 , (4)
a equação diferen
ial de um os
ilador harm�ni
o 
ujo 
omprimento relaxado vale L0 + L1 [0,3 pontos℄.
(
) A solução 
ompleta x(t) vale
x(t) = A cos(ωt+ δ) + L0 +
mg
k
. (5)
[0,1 pontos℄
As 
ondições ini
iais são:
x(0) = L0 ; (6)
x˙|t=0 = 0 . (7)
Substituindo (6) em (5),
x(0) = A cos(δ) + L0 +
mg
k
= L0 ∴ A cos(δ) = −mg
k
. (8)
[0,1 pontos℄
Substituindo (7) em (5),
x˙|t=0 = −ωA sin(δ) = 0 . (9)
[0,1 pontos℄
Como não estamos interessados na solução trivial x(t) = 0, A 6= 0 e sin(δ) = 0. Assim,
δn = nπ , (10)
onde n = 0,±1,±2, . . . [0,3 pontos℄. Substituindo este resultado na equação (8),
An(−1)n = −mg
k
∴ An = (−1)n+1mg
k
. (11)
[0,2 pontos℄
A solução 
ompleta, em termos dos dados do problema, �
a
x(t) = (−1)n+1mg
k
cos
(√
k
m
t+ nπ
)
+ L0 +
mg
k
x(t) = −mg
k
cos
(√
k
m
t
)
+ L0 +
mg
k
.
[0,1 pontos℄
�
2. Resolução:
(a) A equação de ondas unidimensional é es
rita na forma (0,3 ponto - a equação de ondas tem que ser
es
rita em algum momento na solução)
∂2y
∂x2
− 1
v2
∂2y
∂t2
= 0
Desta forma, utilizando a função de onda do enun
iado temos
∂y
∂x
= k[−Asen(kx) +B cos(kx)] cos(ωt+ δ)→ ∂
2y
∂x2
= −k2y(x, t)
e
∂y
∂t
= −ω[A cos(kx) +Bsen(kx)]sen(ωt+ δ)→ ∂
2y
∂t2
= −ω2y(x, t)
Substituindo estes resultados na equação de ondas, obtemos (0,5 ponto),[
−k2 + ω
2
v2
]
y(x, t) = 0,
e, portanto, 
on
luímos que a função de onda y(x, t) forne
ida no enun
iado da questão é solução da equação
de ondas desde que −k2 + ω2/v2 = 0→ ω = kv (0,2 ponto).
(b) Utilizando a primeira 
ondição de 
ontorno, temos
∂y(x, t)
∂x
∣∣∣∣
x=0
= 0→ kB cos(ωt+ δ) = 0,
Como esta equação deve ser satisfeita para qualquer instante de tempo, é ne
essário impor B = 0 (0,3
ponto).
Similarmente, utilizando a segunda 
ondição de 
ontorno e o resultado a
ima, obtemos
y(L, t) = A cos(kL) cos(ωt+ δ) = 0
Novamente, a equação anterior deve ser válida para qualquer instante de tempo. Além disso, não podemos ter
A = 0, pois neste 
aso obteríamos a solução trivial da equação de ondas y(x, t) = 0. Assim, devemos impor
cos(kL) = 0, de forma que o produto kL deve ser um múltiplo ímpar de π/2 (0,4 ponto):
knL = (2n+ 1)
π
2
, n = 0, 1, 2, 3...
Portanto (0,3 ponto)
λn =
2π
kn
=
4L
2n+ 1
, n = 0, 1, 2, 3...
(
) Utilizando os resultados obtidos nos itens (b) e (
) é imediato mostrar que o per�l do n-ésimo modo normal
de vibração observado na 
orda é des
rito pela função de onda
yn(x, t) = An cos
{(
n+
1
2
)
πx
L
}
cos
{(
n+
1
2
)
πvt
L
+ δn
}
Assim, os três modos normais de vibração de menor frequên
ia que podem ser observados na 
orda 
orrespon-
dem à n = 0, n = 1 e n = 2, para os quais o per�l de os
ilação está esboçado na Fig.4. (0,6 pontos - 0,2
para 
ada modo normal)
�
Figura 4: Item 2
.