carregamento axial

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Faculdade Estácio de Sergipe 
 
 
 
Carregamento Axial 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 
 
 
Mercia M. P. Gambarra 
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Carga Axial 
A tubulação de perfuração de 
petróleo suspensa no guindaste 
da perfuratriz esta submetida a 
cargas e deformações axiais 
extremamente grandes, 
portanto, o engenheiro 
responsável pelo projeto deve 
ser extremamente capaz de 
identificar essas cargas e 
deformações a fim de garantir a 
segurança do projeto. 
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Princípio de Saint-Venant 
• Anteriormente desenvolvemos os conceitos 
de: 
 
Tensão (um meio para medir a distribuição de 
força no interior de um corpo); 
Deformação (um meio para medir a deformação 
geométrica de um corpo); 
 
Relação entre tensão e deformação depende do 
tipo de material (Lei de Hooke). 
• Com essa idéia em mente, considere o modo 
como uma barra retangular que se deforma 
elasticamente quando submetida a uma força 
P aplicada ao longo do eixo de seu centróide. 
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Princípio de Saint-Venant 
• Observe a deformação localizada que ocorre em cada 
extremidade. Esse efeito tende a diminuir conforme as 
medições são feitas cada vez mais distante das 
extremidades. Visto que a deformação está relacionada com 
a tensão, em C-C a tensão quase alcança um valor uniforme. 
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Princípio de Saint-Venant 
• O princípio Saint-Venant afirma que a deformação e tensão 
localizadas nas regiões de aplicação de carga ou nos apoios 
tendem a “nivelar-se” a uma distância suficientemente 
afastada dessas regiões. Como regra geral, esta distância é 
aplicada pelo menos igual à maior dimensão da seção 
transversal sob carga. 
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Princípio de Saint-Venant 
Esse princípio afirma que a tensão e a deformação produzidas 
em pontos de um corpo suficientemente distantes da região da 
aplicação da carga serão iguais à tensão e à deformação 
produzidas por quaisquer carregamentos aplicados que tenham 
a mesma resultante estaticamente equivalente e sejam 
aplicados ao corpo dentro da mesma região. 
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Deformação elástica de um elemento 
submetido a carga axial 
A partir da aplicação da lei de Hooke e das definições de tensão e 
deformação , pode-se desenvolver uma equação para determinar a 
deformação elástica de um elemento submetido a cargas axiais. 
Desde que essas quantidades não excedam o limite de proporcionalidade, 
as mesmas podem ser relacionadas utilizando-se a lei de Hooke, ou seja: 
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Deformação elástica de um elemento 
submetido a carga axial 
• As equações utilizadas são escritas do seguinte modo: 
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Deformação elástica de um elemento 
submetido a carga axial 
Em muitos casos, a barra tem área da seção transversal 
constante A; o material será homogêneo, logo E é constante. 
Além disso, se uma forca externa constante for aplicada em 
cada extremidade como mostra a figura, então a forca interna P 
ao longo de todo o comprimento da barra também será 
constante. 
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Deformação elástica de um elemento 
submetido a carga axial 
Convenção de sinais 
 
• Força e deslocamento são positivos se provocarem tração 
e alongamento; e negativos causarão compressão e 
contração. 
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Exemplo 
• As forças axiais internas P são determinadas pelo método das 
seções para cada segmento: 
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Exemplo 
A barra de aço A-36 mostrada na Figura é composta por dois 
segmentos, AB e BD, com áreas de seção transversal AB = 
600mm² e BD = 1.200mm², respectivamente. Determine o 
deslocamento vertical da extremidade A e o deslocamento de B 
em relação a C. Eaço= 210GPa 
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EXEMPLO: O conjunto mostrado na figura consiste de um tubo de alumínio 
AB com área da seção transversal de 400 mm². Uma haste de aço de 10 
mm de diâmetro está acoplada a um colar rígido que passa através do 
tubo. Se for aplicada uma carga de tração de 80 kN à haste, qual será o 
deslocamento da extremidade C? 
Supor que Eaço = 200 GPa e Eal = 70 GPa. 
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Resposta 
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Princípio da superposição 
 
• Princípio da superposição é frequentemente usado para 
determinar a tensão ou o deslocamento em um ponto de um 
elemento quando este estiver sujeito a um carregamento 
complicado. 
 
• Pode-se determiná-los por cada componente da carga agindo 
separadamente sobre o elemento. 
 
• Então a tensão ou deslocamento resultante é determinado 
pela soma algébrica das contribuições causadas por cada 
uma das componentes das cargas. 
 
• Para aplicar o princípio da superposição, duas condições 
devem ser válidas: 
 
 
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Princípio da superposição 
 
1. A carga deve estar relacionada linearmente com a tensão ou 
deslocamento a ser determinado: 
 
 
 
 
2. A carga não deve provocar mudanças significativas na 
geometria ou configuração original do elemento. 
A
P
 AE
PL

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Elemento com carga axial estaticamente indeterminado 
 
• Quando uma barra está presa somente em uma 
extremidade e é submetida a uma força axial, a eq. De 
equilíbrio da força aplicada ao longo do eixo da barra é 
suficiente para determinar a reação no suporte 
(estaticamente determinado). 
 
 
• Entretanto, se a barra estiver presa em ambas as 
extremidades, então aparecem 2 reações axiais 
desconhecidas (estaticamente indeterminado). 
 
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Elemento com carga axial estaticamente indeterminado 
 
A barra é estatisticamente indeterminada quando as equações 
de equilíbrio não são suficientes para determinar as reações.: 
 
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Elemento com carga axial estaticamente indeterminado 
 
 
Para estabelecer uma equação adicional necessária para a 
solução, temos que considerar uma equação adicional que 
indique as condições de deslocamento: condição de 
compatibilidade ou condição cinemática. 
Como os apoios são fixos: 
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Elemento com carga axial estaticamente indeterminado 
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Elemento com carga axial estaticamente indeterminado 
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EXEMPLO: O tubo de aço A-36 tem raio externo de 20mm e raio 
interno de 15mm. Se ele se ajustar exatamente entre as paredes 
fixas antes de ser carregado, determine a reação nas paredes 
quando for submetido à carga mostrada. 
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Trata-se também de resolver problemas indeterminados, 
porém usando a superposição para escrever as equações de 
compatibilidade. 
 
Neste caso, para escrever a equação de compatibilidade é 
necessário escolher um dos apoios como redundante. 
 
Indica que o apoio não é necessário para manter a barra em 
equilíbrio estável, e portanto quando ele é retirado a barra 
torna-se estaticamente determinada. 
 
Consideremos novamente a 
figura ao lado: 
 
Método das forças para analisar membros 
com carga axial 
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Escolhendo o apoio B como redundante. Pelo princípio da superposição, 
a barra da figura a, é equivalente a barra sujeita apenas à carga externa 
P, figura b, mais a barra sujeita apenas à carga redundante 
desconhecida 
 
 
+ 
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Se a carga P desloca-se para baixo uma quantidade P, a reação 
FB deve deslocar a extremidade B da barra para cima uma 
quantidade B de modo que não ocorre deslocamento em B 
quando as duas cargas são superpostas: 
 
 
 
 Esta equação representa a equação de compatibilidade para 
deslocamentos no ponto B 
P traciona o segmento Lac Fb comprime o 
segmento L 
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Primeiro: a condição de compatibilidade: 
 
 
 
 
 
 
 
Segundo: a condição de equilíbrio: 
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EXEMPLO: A haste de aço tem diâmetro de 5 mm e está presa à 
parede fixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1 mmentre 
a parede B’ e a haste. Determine as reações em A e B’ se a haste for 
submetida a uma força axial P = 20 kN. Despreze o tamanho do colar 
em C. (Eaço = 200 GPa) 
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Tensão térmica 
 
• Uma mudança na temperatura pode provocar alterações nas 
dimensões de um material. 
• Se o material for homogêneo e isotrópico. 
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Tensão térmica 
 
• A mudança no comprimento de um elemento estaticamente 
determinado pode ser calculado diretamente pela eq. 
 
 
• Se o elemento for estaticamente indeterminado, esses 
deslocamentos térmicos podem ser restringidos pelos 
apoios, o que produz tensões térmicas que devem ser 
consideradas no projeto. 
• O cálculo destas tensões térmicas pode ser feito pelos 
métodos anteriores. 
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EXEMPLO: Duas barras feitas de materiais diferentes são acoplados e 
instalados entre duas paredes quando a temperatura é T1 = 10º C. 
Determine a força exercida nos apoios (rígidos) quando a temperatura 
for T2 = 20° C. As propriedades dos materiais e as áreas da seção 
transversal de cada barra são dadas na figura. 
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EXEMPLO: Uma barra rígida está presa à parte superior de três 
postes, feitos de aço A-36 e alumínio 2014-T6. Cada um dos postes 
tem comprimento de 250 mm quando não há nenhuma carga aplicada 
à barra e a temperatura é de T1 = 20°C. Determine a força suportada 
por cada poste se a barra for submetida a um carregamento distribuído 
uniformemente de 150 kN/m e a temperatura aumentar até T2 = 80°C. 
Eaço=200GPa e Eal=73,1GPa; aço = 12x10-6/°C,  al = 23x10-6/°C 
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Concentrações de tensão 
 
• Concentrações de tensão ocorrem em seções onde a 
área da seção transversal muda repentinamente. 
• Tensão máxima é determinada usando uma fator de 
concentração de tensão, K, o qual é uma função de 
geometria. 
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EXEMPLO: As dimensões da barra de aço são mostradas 
na figura. Se a tensão admissível for 115 MPa, determine a 
maior força axial P. 
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EXEMPLO: A tira de aço está sujeita a uma carga axial de 
80 kN. Determine a tensão normal máxima desenvolvida na 
tira e o deslocamento de uma de suas extremidades em 
relação à outra. A tensão de escoamento do aço é de e = 
700 MPa e Eaço = 200 GPa. 
Deformação axial inelástica. 
Um material perfeitamente plástico (ou 
elastoplástico) tem o seguinte 
comportamento gráfico: 
 
 
Aplicando numa barra uma carga P que 
provoca tensão elástica σ=σ1 e 
deformação ε1; 
A carga sempre poderá ser obtida pelo 
volume da tensão 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se, agora, P for aumentada para Pp , de tal modo que provoque 
escoamento do material, isto é, σ =σE então, novamente 
 
 
 
 
A carga Pp é denominada carga plástica, uma vez que representa a 
carga máxima que pode ser suportada por um material elastoplástico. 
Para o caso em questão, as deformações não são definidas de maneira única. 
Ao contrário, no instante em que σe é atingida, em primeiro lugar, a barra é 
submetida à deformação por escoamento e (Figura b) e, em seguida, a barra 
continuará a escoar (ou alongar-se) de modo que serão geradas as 
deformações  2,  3 etc. Visto que nosso "modelo" do material exibe 
comportamento de material perfeitamente plástico esse alongamento 
continuará indefinidamente, mesmo sem nenhum aumento na carga. Contudo, 
na verdade após um pouco de escoamento, o material começará a endurecer 
por deformação, de modo que a resistência extra que ele obtenha impedirá 
qualquer deformação adicional. O resultado é que qualquer projeto baseado 
nesse comportamento será seguro, pois o endurecimento por deformação 
proporciona ao material um potencial para suportar uma carga adicional, se 
necessário. 
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Exemplo: A barra é feita de aço e supõe-se que seja elástica 
perfeitamente plástica, com σE = 250 MPa. Determinar (a) o valor 
máximo da carga PE que pode ser aplicada sem provocar 
escoamento do aço e (b) o valor máximo de Pp que a barra pode 
suportar. Esquematizar a distribuição de tensão na seção crítica 
para cada caso.