Mecânica dos Sólidos: Tensões

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MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 03 –TENSÕES 
 
 
Prezado(a) aluno(a), 
 
Na presente aula, continuaremos nossos estudos a respeito da mecânica 
dos sólidos, analisando conceitos fundamentais para o seu desenvolvimento, 
assim como princípios e definição de conceitos importantes que estão relacionados 
à matéria. 
Também estudaremos, o cisalhamento, fatores de carga e de resistência, 
critérios de projetos, bem como o equilíbrio e as diversas formas distintas de tensão 
que fazem parte de seus estudos. 
Utilizaremos principalmente os autores Popov (2019) e Hibbeler (2018) para 
nos guiar nessa importante etapa do estudo. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
3 TENSÕES 
3.1 Cargas Internas resultante 
Popov (2019) explica que a preparação de um diagrama de corpo livre é a parte 
inicial de uma análise sobre vigas. As reações são determinadas na sequência. Isso 
é viável sempre que a viga esteja estaticamente determinada. Após a determinação 
das reações, elas se tornam forças conhecidas, e nas fases posteriores da análise, 
não é necessário distinguir entre as forças aplicadas e as reações. Assim, aplica-se o 
conceito de equilíbrio das partes de um corpo, quando o corpo como um todo está em 
equilíbrio. 
Hibbler (2018) relata que na resistência dos materiais, a estática é usada para 
determinar as cargas resultantes que atuam no interior de um corpo. Isso é realizado 
através do método das seções. Para demonstrar tal afirmação, considere o corpo na 
Figura 1 (a), mantido em equilíbrio por quatro forças externas. Para obter as cargas 
internas que atuam em uma determinada região no interior do corpo, é preciso realizar 
uma seção imaginária, passando pelo local em que as cargas internas devem ser 
determinadas. As duas partes do corpo são separadas, e o diagrama de corpo livre 
de uma das partes é traçado. No momento em que isso é feito, existe uma distribuição 
da força interna atuando sobre a área “exposta” da seção, conforme observado na 
Figura 1(b). Tais forças representam os efeitos do material da parte superior do corpo 
atuando na parte inferior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Método de seções 
 
Fonte: adaptado de Hibbler, (2018). 
 
Apesar da distribuição da carga interna poder ser indeterminada, suas 
resultantes 𝐹𝑅 e 𝑀𝑅0 são determinadas através da aplicação das equações de 
equilíbrio ao segmento retratado na Figura 1 (c). Tais cargas atuam no ponto O; 
entretanto, esse ponto é frequentemente escolhido como centroide da área 
seccionada. 
Para aplicar posteriormente as fórmulas na resistência dos materiais, 
consideraremos as componentes 𝐹𝑅 e 𝑀𝑅0 agindo tangente e normal à área 
seccionada, conforme demonstrado na Figura 1 (d), Entre as cargas diferentes 
resultantes, Hibbeler (2018) as define como: 
 
 
 
 
• Força normal, N: Tal força atua perpendicularmente à área. É desenvolvida 
sempre que as cargas externas tendem a tracionar ou comprimir os dois 
segmentos do corpo. 
• Força de cisalhamento, V: Tal força é encontrada no plano da área e é 
desenvolvida quando as cargas externas tendem a fazer que ambos os 
segmentos do corpo deslizem um sob o outro. 
• Momento de Torção ou Torque, T: Tal efeito é desenvolvido quando as 
cargas extremas tendem a torcer um segmento do corpo em relação a outro 
sobre um eixo perpendicular à área. 
• Momento Fletor, M: É causado pelas cargas externas que tendem a fletir 
o corpo em torno de um eixo que se encontra no plano da área. 
• É importante observar que a representação gráfica de um momento ou 
toque é representada em três dimensões como um vetor e uma curvatura a 
ele associada. 
3.2 Tensão 
De acordo com Hallack (2013), uma vez que as características fundamentais 
da grandeza (tensão) são compreendidas, e sua ligação com a pressão é conhecida, 
é possível realizar duas observações. Existem forças que tentam aproximar ou afastar 
moléculas nas três direções ortogonais, que geram tensões normais nas três direções, 
e existem forças tentando deslizar moléculas nas três direções ortogonais, gerando 
tensões tangenciais ou cisalhamento nas três direções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Tensão 
 
Fonte: adaptado de Hibbeler, 2018. 
 
Como observado anteriormente, Hibbeler (2018) declara que a força e o 
momento que atuam em um ponto específico O na seção transversal do corpo 
conforme a Figura 2, demonstra os efeitos resultantes da distribuição de carga sobre 
essa seção na figura 3 (a). Obter essa distribuição é crucial para a resistência dos 
materiais. Para abordar essa questão, é essencial primeiro compreender o conceito 
de tensão. 
Ao analisar a área transversal dividida em partes menores, como 𝛥𝐴, conforme 
mostrado na figura 3(a). À medida que diminuímos o tamanho de 𝛥𝐴 adotamos duas 
suposições sobre as propriedades do material. Consideramos o material como 
contínuo, ou seja, composto por uma distribuição uniforme e ininterrupta da matéria. 
Além disso, o material deve ser coeso, o que significa que todas as suas partes estão 
conectadas sem vazios, rachaduras ou separações. Uma força típica finita, mas muito 
pequena 𝛥𝐹, atuando em 𝛥𝐴, é ilustrada na figura 3(a). Essa força, assim como todas 
as outras, tem uma direção única, mas, para facilitar a comparação com as demais 
forças, a substituímos por suas três componentes, ou seja, 𝛥𝐹𝑥,𝛥𝐹𝑦 e 𝛥𝐹𝑧. À medida 
que 𝛥𝐴 se aproxima de zero, o mesmo ocorre com 𝛥𝐹 e suas componentes; no 
entanto, o quociente entre a força e a área alcança um limite finito. Esse quociente é 
chamado de tensão e descreve a intensidade da força interna que atua em um plano 
específico (área) que passa por um ponto dado. 
 
 
 
 
Figura 3 – Tensão norma (a) Estado de Tensão (b) e (c) 
 
Fonte: adaptado de Hibbeler, 2018. 
 
Hibbeler (2018), também relata que a intensidade da força que normalmente 
atua à 𝛥𝐴 é considerada como tensão normal, σ. Se 𝛥𝐹𝑧 seja normal à área, então: 
σ𝑧 = 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝐴→0
 
 𝛥𝐹𝑧 
 𝛥𝐴 
 (Equação 1). 
 Caso a tensão normal ou força traciona 𝛥𝐴, como demonstra a Figura 3, se 
tratara de tensão de tração; entretanto, caso comprime 𝛥𝐴 , será uma tensão de 
compressão. 
Hibbeler (2018) explica que, a intensidade da força que atua tangente a 𝛥𝐴 é 
denominada tensão de cisalhamento, τ. Aqui teremos duas componentes da tensão 
de cisalhamento. 
 
τ𝑧𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝐴→0
 
 𝛥𝐹𝑥 
 𝛥𝐴 
 
τ𝑧𝑦 = 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝐴→0
 
 𝛥𝐹𝑥 
 𝛥𝐴 
 (Equação 2). 
 
O índice z especifica a orientação da área 𝛥𝐴, e x e y indicam os eixos ao longo 
dos quais cada tensão de cisalhamento atua, conforme a Figura 4. 
 
Figura 4 – Tensão de cisalhamento 
 
 
 
 
Fonte: Adaptado de Hibbeler, 2018. 
 
Hibbeler (2018), também nos orienta, que caso o corpo secionado por mais 
planos paralelos a x-z [figura 3(b)] e ao plano y-z [figura 3(c)], é possível “cortar” um 
elemento cúbico de volume do material que representa o estado de tensão atuando 
ao redor de um ponto escolhido no corpo. Esse estado de tensão é então 
caracterizado por três componentes que atuam em cada face do elemento, como 
retratado na Figura 5. 
 
Figura 5 – Três componentes do estado de tensão. 
 
Fonte: adaptado de Hibbeler, 2018. 
 
 
 
 
Como a tensão mostra uma força por unidade de área, no Sistema Internacional 
de Unidades (SI), as grandezas da tensão de cisalhamento e da tensão normal, são 
especificadas em unidades newton por metro quadrado. A combinação dessas 
unidades é chamada de pascal (1Pa = 1N/m²), e por serem muito pequenos, prefixos 
como quilo (10³), simbolizados por K, mega (106) simbolizado por M, ou giga (109) 
simbolizado por G, são utilizados na engenharia para representar valores maiores e 
mais realistas de tensão. 
3.3 Tensão normal média em uma barra axialmente carregada 
Para determinar adistribuição média de tensão que atua sob a área de seção 
transversal de uma barra com carga axial, conforme demonstrado na Figura 6(a), 
Hibbeler (2018), nos ensina que a seção transversal em especial, é aquela 
perpendicular ao eixo longitudinal da barra, e, como a barra é prismática, toda a seção 
transversal será a mesma ao longo de seu cumprimento. Considerando que o material 
da barra é isotrópico e homogêneo, ou seja, possui as mesmas propriedades 
mecânicas e física em todo o seu volume e as mesmas propriedades em todas as 
direções, sendo assim, no momento em que a carga “P” é aplicada na barra através 
do centroide da área da seção transversal, a barra se deformará de maneira uniforme 
por toda a região central do seu cumprimento, conforme demonstrado na figura 6 (b). 
 
Figura 6 – Tensão normal em uma barra axialmente carregada 
 
Fonte: adaptado de Hibbeler, (2018). 
 
 
 
 
É importante lembrar que materiais anisotrópicos, como por exemplo a 
madeira, possui propriedades diferentes em direções diferentes; e apesar de este ser 
o caso, se os grãos de madeira são orientados ao longo do eixo da barra, a barra 
também se deformará de maneira uniforme quando sofrer à carga axial “P”. 
3.4 Distribuição de tensão normal média 
Ao seccionar uma barra e a separar em duas partes, o equilíbrio então 
demandará que a força natural resultante “N” na seção seja igual à “P” conforme a 
figura 6(c), demonstra. Como o material, sofre uma deformação uniforme, será 
necessário que a seção transversal seja sujeita a uma distribuição de tensão normal 
constante. 
Como resultado, cada pequena área 𝛥𝐴 na seção transversal estará sujeita a 
uma força 𝛥𝑁 = σ𝛥𝐴 [figura 6(d)] e a soma dessas forças atuando sob a área da 
seção transversal deve ser equivalente à resultante da força interna “P” na seção. 
Caso façamos 𝛥𝐴 → ⅆ𝐴 e, portanto 𝛥𝑁 → ⅆ𝑁 , então reconhecendo σ como 
constante, teremos a Equação 3: 
+↑ 𝐹𝑅𝑧 = ∑F𝑧; ∫ ⅆ𝑁 = ∫ 
σ
𝐴
ⅆ𝐴 
 𝑁 = σ𝐴 
 σ =
𝑁
𝐴
 
Onde σ representa a tensão normal média em qualquer ponto da área seção 
transversal. N representa a força normal interna resultante, que atua através do 
centroide da área de secção transversal. N será determinado utilizando o método de 
seções e as equações de equilíbrio, no caso N = P. A representa a área de seção 
transversal da barra onde σ é determinado. 
3.5 Equilíbrio 
A distribuição de tensão na figura 6, demonstra que há apenas uma tensão 
normal em qualquer elemento de volume de material localizado em cada ponto na 
seção transversal. Dessa forma, se considerarmos o equilíbrio vertical de um 
 
 
 
elemento material, e depois aplicarmos a equação de equilíbrio de força ao seu 
diagrama de corpo livre conforme a Figura 7, segundo a equação 4: 
 
∑F𝑧 = 0; σ(𝛥𝐴) − σ′(𝛥𝐴) = 0 
 
 σ − σ′ = 0 
Assim sendo, as componentes de tensão normal do elemento devem ser iguais 
em valor, mas em direções opostas. Sob essa condição, o material está sujeito à 
tensão uniaxial, e esta análise aplica-se a elementos sujeitos a tração ou compressão, 
conforme demonstra a Figura 7. 
 
Figura 7 – Tração e compressão 
 
Fonte: adaptado de Hibbeler, (2018). 
 
Apesar de tal analise ser primariamente aplicada para barras prismáticas, essa 
suposição pode ser bastante abrangente para incluir barras que possuam uma leve 
conicidade. Utilizando uma análise mais exata da teoria da elasticidade, pode ser 
mostrado que, para uma barra cônica de seção transversal retangular, onde o ângulo 
entre os dois lados adjacentes é de 15º, a tensão normal média, calculada por σ = 
𝑁
𝐴
, 
é apenas 2,2% menor do que o valor encontrado pela teoria da elasticidade. 
 
 
 
3.6 Tensão normal média 
Hibbeler (2018) relata que tanto a força interna N, quanto a área da seção 
transversal A são constantes ao longo do eixo longitudinal da barra, e, como resultado 
a tensão normal σ = 
𝑁
𝐴
 também será constante ao longo de todo o cumprimento da 
barra. Entretanto, em algumas ocasiões a barra pode estar sujeita a diversas cargas 
axiais externas, ou uma mudança em sua área de seção transversal pode ocorrer. O 
resultado é que a tensão normal no interior da barra pode ser diferente de uma seção 
para a próxima e, se no máximo da tensão normal média deve ser determinado, então 
se torna importante encontrar a localização em que a razão 
𝑁
𝐴
 é máximo. 
3.7 Tensão de cisalhamento média 
A tensão de cisalhamento pode ser explicada como a componente de tensão 
atuando no plano da área seccionada. Quando uma força é aplicada a uma barra, 
pode causar deformação e ruptura ao longo de planos identificados. Para manter o 
equilíbrio do segmento da barra, a força de cisalhamento deve ser aplicada em cada 
seção. A fórmula para a tensão de cisalhamento média distribuída em cada área 
seccionada que desenvolve essa força de cisalhamento é definida como τ𝑚é𝑑 = 
𝑉
𝐴
, 
onde τ𝑚é𝑑 representa a tensão de cisalhamento média na seção, que é assumida 
como a mesma em cada ponte de seção. V representa a força de cisalhamento interna 
resultante na seção determinada pelas equações de equilíbrio e A corresponde a área 
da seção. 
A distribuição da tensão de cisalhamento média que atua nas seções é 
retratada na figura 8 (c). Deve ser observado que τ𝑚é𝑑 está na mesma direção que V, 
pois a tensão de cisalhamento deve criar forças associadas, e que todas elas 
contribuem para a força resultante V. 
O tipo de carregamento discutido aqui exemplifica o cisalhamento simples ou 
direto, causado pela carga aplicada F. Esse tipo de cisalhamento é comum em 
diferentes conexões simples que usam parafusos, pinos, soldas, entre outros. No 
entanto, a aplicação da Equação τ𝑚é𝑑 = 
𝑉
𝐴
 será apenas uma aproximação, já que 
uma análise mais precisa da distribuição de tensão de cisalhamento muitas vezes 
 
 
 
revela valores maiores do que os previstos por essa equação. Apesar disso, a 
utilização da Equação τ𝑚é𝑑 = 
𝑉
𝐴
 será geralmente aceitável para muitos problemas de 
projeto ou análise de elementos pequenos. Por exemplo, os códigos de engenharia 
permitem seu uso para determinar o tamanho ou a seção transversal de elementos 
de fixação, como parafusos, e para calcular a resistência de juntas coladas sujeitas a 
cargas de cisalhamento. 
 
Figura 8 – Tensão de cisalhamento média 
 
Fonte: adaptado de Hibbeler, 2018. 
3.8 Equilíbrio de tensão de cisalhamento 
Consideremos o bloco da figura 9(a), que foi secionado e está sujeito à força 
interna de cisalhamento V. Um elemento de volume tomado em um ponto localizado 
em sua superfície estará sujeito a uma tensão de cisalhamento direta τ𝑧𝑦 , como 
retratado na figura 9(b). No entanto, o equilíbrio de força e momento desse elemento 
também exigirá que a tensão de cisalhamento seja desenvolvida nos outros três lados 
do elemento. Para demonstrar isso, será necessário primeiro traçar o diagrama de 
 
 
 
corpo livre do elemento. Então, o equilíbrio de forças na direção y, como mostra a 
Equação 5, requer: 
 
Igualmente, o equilíbrio da força na direção z produz τ𝑦𝑧 = τ′𝑦𝑧 . Finalmente 
tomando os momentos em torno do eixo x, como visto na equação 6. 
Dessa forma Hibbeler (2018) conclui que: 
 
τ𝑧𝑦 = τ′𝑧𝑦 = τ𝑦𝑧 = τ′𝑦𝑧= τ𝑦𝑧 = τ 
 
E dessa forma as quatro tensões de cisalhamento devem possuir valores iguais 
e serem direcionadas no mesmo sentido ou em sentido oposto uma das outras nas 
bordas opostas do elemento, conforme a figura 9(d). Isso é reconhecido como 
propriedade complementar de cisalhamento, e o elemento, nessa situação, está 
sujeito a cisalhamento puro. 
 
Figura 9 – Diagramas de corpos livresFonte: adaptado de Hibbeler, 2018. 
 
 
 
3.9 Tensão admissível de projeto 
Como forma de garantir a segurança de um elemento mecânico ou estrutural é 
necessário restringir a carga aplicada a ele a um valor inferior ao qual o elemento pode 
suportar totalmente. 
Existem muitas razões para isso, entre elas: 
 
• As medidas pensadas para uma estrutura ou máquina podem não ser 
exatas por conta de erros na fabricação ou na montagem de seus 
componentes. 
• Podem ocorrer vibrações, impactos ou cargas acidentais desconhecidas 
não consideradas no projeto. 
• Corrosão atmosférica, deterioração e intempéries tendem a danificar os 
materiais durante o serviço. 
• Alguns materiais como madeira, concreto ou compósitos reforçados, podem 
mostrar alta variabilidade nas propriedades mecânicas. 
 
Hibbeler (2018) propõe um método para especificar a carga admissível para 
um elemento. Usando um número denominado Fator Segurança (F.S) que representa 
a razão entre a carga de ruptura F𝑟𝑢𝑝 e a carga admissível F𝑎𝑑𝑚. F.S = 
F𝑟𝑢𝑝
F𝑎𝑑𝑚
. F𝑟𝑢𝑝 
deve ser determinado a partir de testes experimentais do material. 
Caso a carga aplicada no elemento esteja linearmente relacionada à tensão 
desenvolvida no interior dele, semelhante ao caso τ𝑚é𝑑 = 
𝑉
𝐴
 ou σ = 
𝑁
𝐴
 , então também 
podemos expressar o fator segurança como razão entre tensão de ruptura σ𝑟𝑢𝑝 (ou 
τ𝑟𝑢𝑝) e tensão admissível σ𝑎𝑑𝑚 (OU τ𝑎𝑑𝑚). 
Nesse caso a área A será cancelada e, assim: F.S = 
σ𝑟𝑢𝑝
σ𝑎𝑑𝑚
. 
Os valores específicos do F.S. variam de acordo com os tipos de materiais 
utilizados e o propósito pretendido para a estrutura ou máquina, levando em 
consideração as incertezas mencionadas anteriormente. Por exemplo, o F.S. utilizado 
no projeto de componentes de aeronaves ou veículos espaciais pode ser próximo de 
1 para reduzir o peso do veículo. Já em uma usina nuclear, o fator de segurança para 
algumas de suas componentes pode ser tão alto quanto 3, devido às incertezas no 
 
 
 
carregamento ou no comportamento do material. Independentemente do caso, o fator 
de segurança ou a tensão admissível para uma situação específica pode ser 
encontrado em normas de projeto e manuais de engenharia. O projeto que se baseia 
no limite de tensão admissível é conhecido como projeto por tensão admissível (ASD, 
do inglês, allowable stress design). O uso desse método garantirá um equilíbrio entre 
segurança pública e ambiental, por um lado, e aspectos econômicos, por outro. 
Ao realizar suposições simplificadas em relação ao comportamento do material, 
as equações τ𝑚é𝑑 = 
𝑉
𝐴
 e σ = 
𝑁
𝐴
 em geral podem ser utilizadas para projetar ou 
analisar um acoplamento simples ou um elemento mecânico. Dessa forma, se um 
elemento estiver sujeito à força normal em uma seção, a área exigida na seção 
determinada a partir de A = 
𝑁
σ𝑎𝑑𝑚
 ou se a seção esta sujeita a uma força de 
cisalhamento média, então a área necessária é A = 
𝑉
τ𝑎𝑑𝑚
. 
3.10 Projeto de estado limite 
Como observado anteriormente, um elemento devidamente projetado deve 
levar em conta as incertezas resultantes da variedade tanto das propriedades do 
material quanto da carga aplicada. Cada uma das incertezas pode ser investigada 
através de estatísticas e a teoria da probabilidade, dessa forma na engenharia 
estrutural tem ocorrido uma crescente tendencia para separar a incerteza de carga da 
incerteza material. Tal método é denominado Projeto de Estado Limite (LSD, do inglês 
limit state desing), nos Estados Unidos também é chamado de fator de projeto de 
carga e resistência (LRFD, do inglês, load and resistance factor desing). 
3.11 Fatores de carga e resistência 
Diversos tipos de carga R, podem atuar em uma estrutura ou em um elemento 
estrutural, e cada um pode ser multiplicado por um fator de carga 𝛾 que explica sua 
variabilidade. Entre essas cargas estão, o peso estrutural, que corresponde ao peso 
fixo da estrutura e cargas uteis, que podem ser pessoas ou veículos que se movem, 
ventos, terremotos e neve. O peso estrutural E é multiplicado por um fator 
relativamente pequeno, como 𝛾𝐸 = 1,2, uma vez que pode ser determinado com mais 
 
 
 
certeza do que por exemplo, a carga útil U, causada por pessoas que pode ter um 
fator de carga como 𝛾𝑈 = 1,6. 
Geralmente normas de construção exigem que uma estrutura seja projetada 
para suportar diversas combinações de cargas, e quando aplicadas em combinação 
cada tipo de carga possuirá um fator único. Para exemplificar, um fator de carga que 
combina o peso estrutural E, carga útil U, e de neve N, terá um total de carga R de: 
𝑅 = 1,2𝐸 + 1,6 𝑈 + 05𝑁. 
Os fatores de carga para esse carregamento combinado, reflete a probabilidade 
de R ocorrer para todos os eventos declarados. Diante dessa equação, deve ser 
observado que o fator de carga 𝛾𝑁 é baixo por causa da probabilidade pequena de 
que a carga máxima de neve ocorra ao mesmo tempo com as cargas uteis de peso e 
peso estrutural máximo. 
Os fatores de resistência 𝜙 são determinados através da probabilidade de 
ruptura do material em relação a quantidade e a consistência da sua resistência. Tais 
fatores serão diferentes de acordo com o material, por exemplo, o aço possuirá um 
fator maior do que o concreto, pois os engenheiros possuem mais confiança sobre o 
comportamento do aço sob carga do que a respeito do concreto. De acordo com 
Hibbeler (2018), um típico fator de resistência 𝜙 = 0,9 é utilizado para um elemento 
de aço em tensão. 
Depois de determinar os fatores de carga e resistência 𝛾 e 𝜙 de acordo com as 
normas, o projeto adequado de um elemento estrutural requer que sua resistência 
prevista, 𝜙𝑃, seja maior do que a carga prevista que o elemento deve suportar. 
Portanto, o critério LRFD pode ser definido como: 𝜙𝑃𝑛 ≥ ∑𝛾𝐼𝑅𝑖 
P representa a resistência nominal do elemento, a carga quando aplicada ao 
elemento, faz com que ele se rompa, ou deforme para um estado no qual ele não é 
mais útil. O fator de resistência 𝜙 diminui a resistência nominal do elemento e 
demanda que ela seja igual ou maior do que a combinação de cargas aplicadas e 
calculadas utilizando os fatores de carga 𝛾. 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
HALLACK, J. C. et al. Apostila de Resistência dos Materiais I, Universidade Federal 
de Juiz de Fora, Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional, 2013. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais, 10. ed. São Paulo, SP: Pearson, 2018. 
POPOV, E. P. Introdução à mecânica dos sólidos, 1. Ed. São Paulo, SP: Blucher, 
2019.