Derivada de funcoes na forma parametrica

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32 
 
Derivada de funções na forma paramétrica 
 
 
Sejam 





)(
)(
tyy
txx (1)
 
 
duas funções da mesma variável t  [a,b]. Tomando x e y como as coordenadas de um 
ponto P, podemos dizer que a cada valor de t, corresponde um ponto do plano xy. Se as 
funções x = x(t) e y = y(t) são contínuas quando t varia de a a b, o ponto P(x(t), y(t)) 
descreve uma curva no plano. As equações dadas em (1) são chamadas equações 
paramétricas da curva e t é chamado parâmetro. 
 
Exemplo: 
Esboce a trajetória de uma partícula que se move no plano xy, no intervalo de 
tempo 0  t  4 cujas coordenadas são dadas por:
 








2
3
3
1
2
3
1
ty
ttx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Supondo que a função x = x(t) admite uma inversa t = t(x), podemos escrever 
y = y(t) = y(t(x)). Neste caso, dizemos que as equações dadas em (1) definem y como 
uma função de x na forma paramétrica. Eliminando o parâmetro t nas equações (1), 
podemos obter y = y(x) na forma analítica usual. 
 
Exemplo: 
As equações 





34
12
ty
tx definem uma função y(x) na forma paramétrica?
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
33 
 
Muitas curvas importantes costumam ser representadas na forma paramétrica. 
 
Exemplo: 
]π2,0[
)(3
)cos(3






t
tseny
tx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando t varia de 0 a 2 a função x(t) = 3cos(t) não admite inversa, uma vez que 
não é bijetora neste intervalo. No entanto, podemos restringir o domínio desta função 
convenientemente, a fim de obter uma inversa t = t(x). 
Por exemplo, quando t  [0, ], a equação apresentada no exemplo define a 
função 
29 xy 
 e quando t  [, 2], a equação define a função 
29 xy 
. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
]π2,0[
)(2
)cos(3






t
tseny
tx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
y 
x 
34 
 
As equações deste exemplo não representam uma função y = f (x) na forma 
paramétrica, uma vez que a função x(t) = 3cos(t) não admite inversa em [0,2]. Se 
t  [0, /2], as equações 
]π2,0[
)(2
)cos(3






t
tseny
tx definem a função y = f (x) na forma 
paramétrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivada da função na forma paramétrica 
 
Seja y = f (x) dada na forma paramétrica por: 
],[
)(
)(
bat
tyy
txx





 . Se as funções 
y = y(t), x = x(t) e t = t(x) são deriváveis e x = x(t) admite inversa t = t(x), podemos ver a 
função y = y(x) como uma função composta: 
 
y = y( t ) = y( t( x )) 
 
Aplicando a regra da cadeia: 
 
x'(t)
y'(t)
x'(t)
y'(t)(t)t'(x)y'(x) = y' 
1
 
 
Exemplo: 
Calcule a derivada das funções y(x) definidas na forma paramétrica por: 
 
a. 





34
12
ty
tx 
 
 
b. 





tty
tx
69
13
2
 
 
 
y 
x 
35 
 
c. 





tseny
tx
3
3
4
cos4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
36 
 
Regra de L’Hôpital 
 
Se f (x) e g(x) são duas funções contínuas e f(a ) = g(a) = 0, então 
)(
)(
lim
xg
xf
ax


 
não pode ser encontrado com a substituição x = a. Muitas vezes, limites deste tipo 
podem ser calculados por cancelamento, rearranjo de termos ou outros tipos de 
manipulações algébricas. Outras vezes, não é possível seu cálculo através dos métodos 
vistos anteriormente. 
Em geral, se tivermos um limite da forma 
)(
)(
lim
xg
xf
ax
 em que f(x)0 e g(x)0 
quando xa, então esse limite pode não existir e é chamado forma indeterminada do 
tipo 
0
0
. 
Outra situação na qual um limite não é óbvio ocorre quando procuramos uma 
assíntota horizontal de F e precisamos calcular o limite: 
1
ln
lim
1  x
x
x
 
Em geral, se tivermos um limite da forma 
)(
)(
lim
xg
xf
ax
 em que f(x)  ∞ e g(x) 
∞ quando xa, então esse limite pode não existir e é chamado forma indeterminada 
do tipo 


. 
A Regra de L’Hôpital, é um método geral para o cálculo de limites que 
envolvem formas indeterminadas, mesmo quando não é possível o cálculo do limite 
através de manipulações algébricas. 
 
Regra de L’Hôpital 
Sejam f e g funções diferenciáveis e g’(x)  0 próximo a a (exceto possivelmente 
em a). 
(i) Se 
0)(lim)(lim 

xgxf
axax
 e 
L
xg
xf
ax

 )('
)('
lim
, então 
L
xg
xf
xg
xf
axax

 )('
)('
lim
)(
)(
lim
. 
(ii) Se 


)(lim)(lim xgxf
axax
 e 
L
xg
xf
ax

 )('
)('
lim
, então 
L
xg
xf
xg
xf
axax

 )('
)('
lim
)(
)(
lim
. 
 
OBS: A Regra de L’Hôpital também válida para limites laterais e e para limites no 
infinito ou infinito negativo (xa+, xa-, x∞ ou x-∞). 
 
Exemplos: 
a. 
1
ln
lim
1  x
x
x
 
b. 
x
xsen
x
)(
lim
0
 
c. 
x
a x
x
1
lim
0


 
37 
 
d. 



 23
ln1
lim
31 xx
xx
x
. 
e. 
xx
ex
x 4
1
lim
3 


. 
f. 
4
2
lim
4 

 x
x
x
. 
 
Produtos indeterminados 
 
Se 
0)(lim 

xf
ax
 e 


)(lim xg
ax
 então 
)()(lim xgxf
ax
 pode não existir e é 
chamado forma indeterminada do tipo 0.∞. 
 Para trabalhar com esta indeterminação, escrevemos o produto fg como o 
quociente: 
g
f
fg
/1

 ou 
f
g
fg
/1

 
 
Exemplo 
Calcule 
xx
x
lnlim
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Calcule 
  xx
x
lncos1lim
0


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
Diferenças indeterminadas 
 
Se 


)(lim xf
ax
 e 


)(lim xg
ax
 então o limite 
)]()([lim xgxf
ax


 é chamado 
forma indeterminada do tipo ∞ -.∞. 
 Para trabalhar com esta indeterminação, tentamos converter a diferença, por 
exemplo, em um quociente usando um denominador comum ou racionalização, ou 
colocando em evidencia um fator em comum de modo a termos a forma indeterminada 


 ou 
0
0
. 
 
Exemplo 
a. Calcule 
 tgxx
x



seclim
2
π
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Potências indeterminadas 
 
Várias potências indeterminadas surgem do limite 
)()]([lim xg
ax
xf

. 
 
0)(lim 

xf
ax
 e 
0)(lim 

xg
ax
 tipo 00 


)(lim xf
ax
 e 
0)(lim 

xg
ax
 tipo ∞0 
1)(lim 

xf
ax
 e 


)(lim xg
ax
 tipo 1∞ 
 
 Cada um desses casos pode ser tratado tanto por tomar o logaritmo natural: 
 
 
 
 Quanto por escrever a função como exponencial: 
 
 
 
Exemplos 
a. Calcule 
  x
x
xsen
cotg
0
41lim 

 
 
 
 
 
 
39 
 
 b. Mostre que 
e
x
x
x








1
1lim
. 
 Seja 






































x
x
x
x
x
x xx
L
x
L
1
1lnlim
1
1limlnln
1
1lim1
1
1
lim
1
lim
1
1
1
lim
1
1
1ln
lim
1
1lnlim
2
2








 





 






















 xxxxx x
x
x
xx
x
x
x
x
x . 
Portanto, 
eeLL  11ln
. Logo, 
e
x
x
x








1
1lim
. 
 
 
Teorema do Valor Médio 
 
 Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: 
1. f é contínua no intervalo fechado [a, b]. 
2. f é derivável no intervalo (a, b). 
 Então existe um número c em (a, b) tal que 
 
 
( ) ( )
'( )
f b f a
f c
b a



 
ou, de maneira equivalente, 
 
( ) ( ) '( )( )f b f a f c b a  
 
 
 
 Graficamente, o TVM diz que há no mínimo um ponto P(c, f(c)) sobre o gráfico 
em que a inclinação da reta tangente é igual a inclinação da reta secante AB. 
 
 
 
 
40 
 
Exemplo 
Determine um ponto c em (0, 2) que satisfaça as condições do TVM para a 
função f(x) = x3 – x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. Se 
21( ) 1
4
f x x 
, mostre que f verifica as hipóteses do TVM no intervalo [-1, 4], e 
determine um número c em (-1, 4) que satisfaça a conclusão do teorema. Ilustre os 
resultados graficamente. 
 
2. Se 
3( ) 8 5f x x x  
, mostre que f verifica as hipóteses do TVM no intervalo [-1, 4], 
e determine um número c em (-1, 4) que satisfaça a conclusão do teorema. Ilustre os 
resultados graficamente. 
 
3. Seja f uma função contínua e suponha que f(0) = -3 e f ’(c)  5 para todos os valores 
de x. Quão grande f(2) pode ser? 
 
 
 
 
41 
 
Aplicações da Derivada 
Taxa de variação 
Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Por exemplo, se a 
velocidade representa a razão de variação do deslocamento por unidade de variação do tempo, 
então s’ (t) é a taxa de variação da função s(t) por unidade de variação t. 
 Dada a função y = f(x), quando a variável independente varia de x a x+x a 
correspondente variação de y será x = f(x+x) – f(x). Desta forma, 
x
xfxxf
x
y




 )()(
 é a taxa média de variação de y em relação a x. 
 
A derivada, 
x
xfxxf
x 



)()(
lim
0
 é a taxa instantânea de variação, ou 
simplesmente, taxa de variação de y em relação a x 
 
Exemplos 
1. Se daqui a t anos o número N de pessoas que utilizarão a internet em 
determinada comunidade for dado por N(t) = 10t2 + 30t + 15000, determine: 
a. O número de pessoas que utilizarão a internet daqui a 2 anos nessa comunidade. 
b. A taxa de variação do número de pessoas que utilizarão a internet daqui a 2 anos 
Resp: a) 15100 b) 70 pessoas/ano 
 
 
 
 
 
2. Sabendo que a área de um quadrado é função de seu lado, determine: 
a. a taxa de variação média da área de um quadrado, em relação ao lado, quando este varia 
de 2,5 a 3,0 m; 
b. a taxa de variação da área, em relação ao lado, quando este mede 4 m. 
 
 
 
 
42 
 
3. Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde 
calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t 
(medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é dado, aproximadamente, 
por: 
f(t) = 64t - 
3
3t
. 
a. Qual a taxa da expansão da epidemia após 4 dias? 
b. Qual a taxa da expansão da epidemia após 8 dias? 
c. Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Custo Marginal 
Se o custo total de produção e comercialização de q unidades de um produto é 
dado por C = C(q), então se aumentarmos a produção de q para q + q, o acréscimo 
correspondente no custo total será dado por: 
C = C(q + q) − C(q) 
 
A taxa média de acréscimo no custo, por unidade acrescida na produção no 
intervalo [q,q + q] é dada por: 
q
qCqqC
q
C




 )()(
 
O custo marginal (CM) representa a taxa de variação instantânea do custo total 
por unidade de variação da quantidade produzida quando esta se encontra em um nível q 
e é definido como o limite: 
0
( ) ( )
( ) lim '( )
q
C q q C q
CM q C q
q 
 
 

 
Se o limite existir em q. 
43 
 
Receita Marginal 
Se a receita total obtida com a comercialização de q unidades de um produto é 
dada por R = R(q), então quando a demanda aumenta de q para q + q , o acréscimo 
correspondente na receita total será dado por: 
R = R( q + q )− R( q ) 
 
A taxa média de acréscimo na receita, por unidade acrescida na venda no intervalo 
[q,q + q] é dada por: 
q
qRqqR
q
R




 )()(
 
 
A receita marginal (RM) representa a taxa de variação instantânea da receita 
total por unidade de variação da demanda quando esta se encontra em um nível q e é 
definida como o limite: 
0
( ) ( )
( ) lim '( )
q
R q q R q
RM q R q
q 
 
 

 
Exemplos 
1. Supondo que a receita total de uma empresa que produz q unidades de um 
produto, no período de um mês, seja dada por R(q) = 1,32q e que o custo total 
seja dado por: 
 









1500,)1500(1330
1500600,6001300
6000,2100
)(
2 qq
qq
qq
qC 
Determine o custo marginal para q = 1000 ; 
 
 
 
 
44 
 
2. Suponha que o custo, em dólares, para uma companhia produzir x novas linhas 
de jeans é: 
32 0002,001,032000)( xxxxC 
 
 
a) Encontre a função custo marginal. 
b) Encontre C’(100) e explique seu resultado. 
 
 
 
 
 
Máximos e Mínimos 
 
 Seja a função y = f (x), na qual assinalamos os pontos de abscissas x1, x2, x3 e x4. 
 
 Esses pontos são chamados pontos extremos da função. Os pontos x1 e x3 são pontos de 
máximo relativos (ou local), enquanto que f(x1) e f(x3) são valores máximos relativos. Os 
pontos x2 e x4 são chamados pontos de mínimo relativos (ou local), enquanto que f(x2) e f(x4) 
são os valores mínimos relativos. Além disso, observamos que f é crescente para x < x1, x  
(x2, x3) e x > x4, e decrescente para x  (x1, x2) e x  (x3, x4). Formalizando estas definições, 
temos: 
 
Definição: Uma função f tem um máximo relativo em c, se existir um intervalo aberto I, 
contendo c, tal que f(c)  f(x) para todo x  I. 
 
Definição: Uma função f tem um mínimo relativo em c, se existir um intervalo aberto I, 
contendo c, tal que f(c)  f(x) para todo x  I. 
 
Definição: Seja f uma função definida em um intervalo I: 
(i) f é crescente nesse intervalo se, para quaisquer x1, x2  I tais que x1 x2  f(x1)  f(x2); 
45 
 
(ii) f é decrescente nesse intervalo se, para quaisquer x1, x2  I tais que x1  x2  f(x1)  
f(x2). 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 Verifique se a função f(x) = 3x4 – 12x2 possui máximos e mínimos relativos. Localize os 
intervalos em que a f(x) é crescente e decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
Proposição: Suponha que f(x) exista para todos os valores de x  (a, b) e que f tenha um 
extremo relativo em c, onde a  c  b. Se f ’(c) existe, então f ’(c) = 0. 
 
 Geometricamente esta proposição indica que se f tem um extremo relativo em c e se f ’(c) 
existe, então o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal no ponto onde x = c. 
 
Observação: A recíproca desta proposição não é verdadeira, ou seja, f ’(c) = 0 não implica que 
c seja um extremo de f. O exemplo mais simples que ilustra este fato é a função f (x) = x3 .x 
y 
x 
y 
x 
y 
46 
 
Por esta função, vemos que f ’(0) = 0, porém f não tem extremo em x = 0 . Da mesma 
forma, observamos nas figuras abaixo que quando f ’(c) não existe, f pode ter ou não um 
extremo relativo em c. 
 
 
 
 
Definição: O ponto c  D(f) tal que f ’(c) = 0 ou 

 f ’(c), é chamado ponto crítico de f. 
 
 Um ponto crítico pode ser ou não um ponto extremo. Porém, uma condição necessária 
para a existência de um extremo relativo em um ponto c é que c seja um ponto crítico. Em 
outras palavras, todo ponto extremo é ponto crítico, porém nem todo ponto crítico é ponto 
extremo. 
 É importante observar que uma função definida em um dado intervalo pode admitir 
diversos extremos relativos. O maior valor da função neste intervalo é chamado máximo 
absoluto e o menor valor, mínimo absoluto. 
 
Exemplo 
 Verifique se a função f(x) = - x2 + 2 possui um valor máximo absoluto em (-3, 2). 
 
Proposição: Seja f:[a, b]   uma função contínua, definida em um intervalo fechado [a, b]. 
Então f possui máximo e mínimo absoluto em [a, b]. 
 Para analisarmos o máximo e o mínimo absoluto em uma função quando o intervalo 
não for especificado, usamos as seguintes definições: 
Definição: Dizemos que f(c) é o máximo absoluto da função f se c  D(f ) e f(c)  f(x) para 
todos os valores de x no domínio de f. 
Definição: Dizemos que f(c) é o mínimo absoluto da função f se c  D(f ) e f(c)  f(x) para 
todos os valores de x no domínio de f. 
x 
y 
x 
y 
47 
 
Exemplo 
 Verifique se a função f(x) = x2 + 6x – 3 possui um mínimo absoluto. 
 
 
 
 
Proposição: Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável em (a, b). 
i) Se f ’(x)  0 para todo x  (a, b), então f e crescente em [a, b]; 
ii) Se f ’(x)  0 para todo x  (a, b), então f e decrescente em [a, b]. 
OBS: Se uma função é crescente ou decrescente num intervalo, dizemos que é monótona nesse 
intervalo. 
Exemplos: Determine os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou 
decrescentes. 
 
a. f(x) = x3 + 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b f(x) = x2 – x + 5 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 c f(x) = 





.1,1
1,42 2
xsex
xsex 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Critérios para determinar a natureza dos extremos de uma função 
 A determinação e análise dos pontos críticos de uma função, bem como das 
regiões de crescimento ou decrescimento, permite a construção de seu gráfico de modo 
confiável. Como exemplo, podemos citar a necessidade de uma empresa determinar a 
produção que fornece seu lucro máximo, as medidas que permitem o custo mínimo de 
um determinado objeto e assim por diante. Para isso, a primeira medida é sempre 
encontrar os pontos críticos da função e em seguida, analisar se são de máximo, de 
mínimo ou nenhum, nem outro. Existem dois teoremas que estabelecem critérios para 
determinar a natureza dos extremos de uma função: 
 
Teorema: (Teste da derivada primeira). Seja f uma função contínua num intervalo 
fechado [a, b], que possui derivada em todo ponto do intervalo aberto (a, b), exceto 
possivelmente num ponto c. 
i. Se f ’(x)  0 para todo x  c e f ’(x)  0 para todo x  c, então f tem um máximo 
relativo em c. 
ii. Se f ’(x)  0 para todo x  c e f ’ (x)  0 para todo x  c, então f tem um mínimo 
relativo em c. 
 
 
49 
 
Exemplo: 
1 – Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, máximos e mínimos relativos 
da função f(x) = x3 – 7x + 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observamos que este teste informa as regiões do domínio onde a função cresce e 
onde ela decresce, porém não diz de que modo isso ocorre, ou seja, não diz nada sobre a 
curvatura do gráfico, o qual pode ser côncavo para baixo, para cima, ou reto, por 
exemplo. Quem fornece estas informações é a segunda derivada da função. Vejamos: 
 
2 – Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, máximos e mínimos relativos 
da função f(x) = x3 + x2 – 5x – 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
3 – Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, máximos e mínimos relativos 
da função f(x) = x1/3 (8 – x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Concavidade e pontos de inflexão 
 Seja f uma função diferenciável (pelo menos até a segunda derivada) em um 
intervalo (a, b). Se f ’’(x) > 0 para todo x em (a, b), então a função primeira derivada f 
’(x) é crescente em (a, b) e a concavidade do seu gráfico é voltada para cima: 
 
 
 
 
 
 Analogamente, se f ’’(x) < 0 para todo x em (a, b), então a função primeira 
derivada f ’(x) é decrescente em (a, b) e a concavidade do seu gráfico é voltada 
para baixo: 
 
 
 
 
51 
 
 Definição: Um ponto P(c, f(c)) do gráfico de uma função contínua f é chamado 
ponto de inflexão se a concavidade do gráfico muda neste ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 Nessa figura, os pontos de abscissa c1, c2, c3 e c4 são pontos de inflexão. Vale 
observar que c2 e c3 são pontos extremos relativos de f e que f não é derivável nestes 
pontos. Nos pontos c1 e c4 existem derivadas f ’(c1) e f ’(c4). Nos correspondentes 
pontos (c1, f(c1)) e (c4, f(c4)) a reta tangente corta o gráfico de f. 
 
Exemplos: 
 Determine os pontos de inflexão e reconheça os intervalos em que as funções 
tem concavidade voltada para cima ou para baixo. 
a) f(x) = x3 – 7x + 6 
 
 
 
 
 
 
Observação: um ponto c  D(f ) onde f ’’ é contínua e tal que f ’’(c) = 0 é um ponto de 
inflexão de f 
b) (x – 1)3 
 
 
 
 
 
 
52 
 
c) f(x) = 1 – x1/3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) f(x) =






1para,)1(1
1para,
2
2
xx
xx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
e) f(x) = 12 + 2x2 – x4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema: (Teste da derivada segunda). Sejam f uma função derivável num intervalo (a, b) e 
c um ponto crítico de f neste intervalo, isto é, f ’(c) = 0, com a  c  b. Se f admite a 
derivada segunda em (a, b) então: 
i) Se f ”(c)  0, f tem um valor máximo relativo em c. 
ii) Se f ”(c)  0, f tem um valor mínimo relativo em c. 
 
Exemplos: 
 Encontre os máximos e mínimos relativos de f, aplicando o teste da derivada segunda. 
a) f(x) = 18x + 3x2 – 4x3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
b) f (x) = 6x –3x2 + 
2
1
x3 
 
 
 
 
 
 
Análise geral do comportamento de uma função 
 
Conceitos estudados: 
 Pontos crítico; 
 Intervalos de crescimento e decrescimento de f(x); 
 Máximos e mínimos relativos; 
 Concavidade e pontos de inflexão de f. 
 
Assíntotas horizontais e verticais 
 
Definição: A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f se pelo menos uma das 
seguintes afirmações for verdadeira: 
 
i) 
)(lim xf
ax 
 = +  ii) 
)(lim xf
ax 
= +  
 
iii) 
)(lim xf
ax 
 = -  iv) 
)(lim xf
ax 
= -  
 
Definição: A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico f se pelo menos uma das 
seguintes afirmações for verdadeira: 
 
i) 
)(lim xf
x 
 = b ii) 
)(lim xf
x 
= b 
 
 
 
55 
 
Esboço de gráficos 
 Utilizando todos os itens citados na análise de uma função, podemos fazer um 
resumo de atividades que nos levarão ao esboço de gráficos. 
Etapas Procedimento 
1ª EncontrarD(f) 
2a Calcular os pontos de intersecção com os eixos. 
(Quando não requer muito cálculo) 
3ª Determinar os pontos críticos 
4ª Determinar os intervalos de crescimento e 
decrescimento de f(x) 
5ª Encontrar os máximos e mínimos relativos 
6ª Determinar a concavidade e os pontos de inflexão 
7ª Encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se 
existirem 
8ª Esboçar o gráfico 
 
Exemplos: Esboçar os gráficos das funções abaixo: 
a) f (x) = x2 + x – 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
b) 2
2
2
( )
9
x
f x
x


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
c) Esboce o gráfico de uma função que tenha as seguintes características: 
 
25,00)(''
25,00)(''
0)2/3(')1('
2/310)('
2/310)('
;0)0(






xsexf
xsexf
ff
xsexf
xouxsexf
f
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
Problemas de Otimização 
 Quando estudamos problemas de otimização determinamos valores máximos 
e/ou mínimos absolutos das funções que os representam. São chamados de problemas 
de otimização pelo fato de que as soluções encontradas com esta técnica são as 
melhores possíveis para cada caso, ou seja, resolver estes problemas com as técnicas de 
máximos e mínimos significa encontrar a solução ótima para eles. 
 
Problema 1: Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade 
vem registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os 
resultados mostram que entre 13 e 18 horas, a velocidade média neste cruzamento é 
dada aproximadamente por v(t) = t3 – 10,5 t2 +30 t + 20 km/h, onde t é o número de 
horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é mais 
rápido? E qual o instante em que ele é mais lento? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
Problema 2: Um fazendeiro tem 2400 metros de cerca e quer cercar um campo 
retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa cercar ao longo do rio. 
Quais são as dimensões do campo que tem maior área? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
Problema 3: Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio 
de 900m de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3.000m rio abaixo. O 
custo para estender um cabo pelo rio é de R$ 5,00 o metro, enquanto que para estendê-
lo por terra custa R$ 4,00 o metro. Qual é o percurso mais econômico para estender o 
cabo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
Problema 4: Deve-se construir uma caixa retangular com uma folha de cartolina de 40 cm de 
largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto dobrando-se 
perpendicularmente os lados restantes. Determine o lado do quadrado que se vai retirar para que 
a caixa tenha volume máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
Problema 5: O modelo Count é uma fórmula empírica usada para predizer a altura de uma 
criança em idade pré-escolar. Se h(x) denota a altura (em centímetros) na idade x (em anos) para 
6
4
1
 x
, então h(x) pode ser aproximada por 
xxxh ln222,9104,5228,70)( 
. 
a) Construa o gráfico da função e da sua derivada. 
b) Estime a altura e a taxa de crescimento quando uma criança atinge a idade 2 anos. 
c) Quando a taxa de crescimento é máxima e mínima? Quanto valem estas taxas? 
 
 
63 
 
EXERCÍCIOS: 
1) Encontre as dimensões de um cilindro circular reto, de área total igual a 50 cm2, de modo 
que o volume seja máximo. 
 
2) Cinqüenta animais ameaçados de extinção são colocados em uma reserva. Decorridos t 
anos, a população x desses animais é estimada por: 
30
306
50)(
2
2



t
tt
tx
. Em que instante 
essa população animal atinge seu máximo? Quanto ele vale? 
 
3) O peso específico da água a uma temperatura de T C é dado por 
321)( cTbTaTTP 
, 0  T  100, sendo
5103,5 a
, 
61053,6 b
 e 
8104,1 c
. Qual é a temperatura na qual a água apresentará o maior peso específico? 
Construa o gráfico. 
 
4) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de 375π cm3. O custo do 
material usado para a base do recipiente é de R$ 0,15 por cm2 e o custo do material usado 
na lateral é de R$ 0,05 por cm2. Se não há perda de material, determine as dimensões que 
minimizam o custo do material para construí-lo. 
 
5) Uma estação de rádio fez um levantamento dos hábitos dos ouvintes entre 17h e meia-noite. 
A pesquisa mostra que a porcentagem de adultos sintonizados na estação x horas após as 
17h é 
 240108272
8
1
)( 23  xxxxf
. 
a) Em que instante, entre 17h e meia-noite, existem mais ouvintes sintonizados na estação? 
Qual é a porcentagem de ouvintes neste momento? 
b) Em que instante, entre 17h e meia-noite, existem menos ouvintes sintonizados na 
estação? Qual é a porcentagem de ouvintes neste momento? 
 
6) De acordo com a lei de Poiseuille, a velocidade do sangue a r cm de distância do eixo 
central de uma artéria de raio R é dada por S(r) = c (R 2 – r2), onde c é uma constante 
positiva. A que distância do eixo central da artéria a velocidade do sangue é máxima? 
 
64 
 
7) Uma pesquisa de opinião revela que x meses após anunciar sua candidatura, certo político 
terá o apoio de 
 %1080636
29
1
)( 23  xxxxS
 dos eleitores, sendo 
120  x
. 
Se a eleição estiver marcada para novembro, qual o melhor mês para anunciar a 
candidatura? Se o político necessita de pelo menos 50% dos votos para vencer, quais são as 
chances de ser eleito? 
 
8) A reação do organismo à administração de um medicamento é freqüentemente representada 
por uma função da forma 







32
)( 2
DC
DDR
, onde D é a dose e C (uma constante) é a 
dose máxima que pode ser administrada. A taxa de variação de R em relação à D é chamada 
de sensibilidade. Determine o valor de D para o qual a sensibilidade é máxima. 
 
9) Quando um resistor de R ohms é ligado aos terminais de uma bateria com uma força 
eletromotriz de E volts e uma resistência interna de r ohms, uma corrente de I ampères 
atravessa o circuito e dissipa uma potência de P watts, sendo 
Rr
E
I


 e 
RIP 2
. 
Supondo que r seja constante, qual o valor de R para o qual a potência dissipada é máxima? 
10) Um departamento de estradas de rodagem está planejando fazer uma área de descanso para 
motoristas, à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma 
área de 5.000 m2 e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o 
menor comprimento da cerca necessária para a obra? 
 
11) Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à margem de um rio 
de 500 m de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2.000 a 
oeste da central. O custo da obra através do rio é de R$ 640,00 por metro, enquanto que em 
terra custa R$ 312,00 por metro. Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede de 
água potável? 
 
12) A rapidez com que um boato se espalha em uma comunidade é proporcional ao produto do 
número de pessoas que já ouviram o boato pelo número de pessoas que ainda não o 
ouviram. Mostre que a rapidez é máxima no instante em que metade das pessoasainda não 
ouviu o boato.