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publicados na Revista do Professor de Matemática (RPM). Você poderá conferir vários
aspectos da relação entre o conceito de logaritmos e de funções exponenciais. O texto está
disponível nas páginas 75 a 83 do : < site http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed
 >./expensmat_3_2.pdf
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Qual é a função exponencial que relacione a quantidade de Ampicilina na corrente sanguínea com a quantidade
de horas após o paciente ter ingerido 250 mg do medicamento? Supondo que um médico recomende o
antibiótico para um paciente que está realizando um tratamento cuja quantidade de Ampicilina na corrente
sanguínea não deve baixar do valor de 11,664 mg, qual é a periodicidade, em horas, que o antibiótico deve ser
ingerido?
Vamos denominar de a quantidade (em miligramas) de Ampicilina na corrente sanguínea do paciente, e de o
tempo (em horas) a partir da ingestão do medicamento. Na tabela a seguir, podemos visualizar como acontece a
redução do remédio na corrente sanguínea, iniciando no momento , que corresponde à dosagem inicial de
250 mg, até o momento :
Tabela 9 - Relação entre o tempo de ingestão e a quantidade (mg) de Ampicilina no sangue.
Fonte: Elaborada pela autora, 2018.
Observe que a relação entre o tempo de ingestão e a quantidade em miligramas do antibiótico no sangue pode
ser dada pela função exponencial da forma , cujo domínio é o conjunto dos números reais não-
negativos, uma vez que não podemos considerar horas negativas.
Agora, podemos usar a função para determinar em quantas horas a quantidade de Ampicilina na corrente
sanguínea chega a 11,664 mg. Em termos matemáticos, vamos resolver a equação:
. Aplicando o logaritmo nos dois lados da
igualdade, obtemos . Resolvendo a divisão na
calculadora, temos o resultado . Podemos concluir, então, que o remédio deve ser tomado a cada seis horas
para que a quantidade de antibiótico na corrente sanguínea do paciente não baixe de 11,664 mg.
Por fim, vamos analisar um caso que trata de uma importante aplicação da função exponencial.
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Na sequência, vamos estudar um caso particular de função exponencial e de função logarítmica e que está
relacionado com o valor da base.
3.4 Logaritmos naturais
As funções exponenciais de base , em que é um número irracional conhecido como número de Euler e cujoe e
valor é 2,7182818284..., têm fundamental importância em muitos problemas teóricos e práticos das Ciências em
geral. Isto acontece porque este número aparece naturalmente em situações de crescimento e decaimento
exponencial que descrevem variações de grandezas relevantes para a Economia e Finanças, e também para as
Ciências Físicas, Sociais e Biológicas (HOFFMANN; BRADLEY, 2011).
CASO
Maria é proprietária de uma empresa que produziu 12.000 unidades de produto no último ano.
Ela projeta, para os próximos oito anos, um aumento anual de 20% na produção total da
empresa. Ela gostaria de verificar em quantos anos a produção chegará a 20.736 unidades.
Como ela pode proceder?
Inicialmente, ela pode analisar a produção total da empresa após um ano. Como 20% equivale
a 0,2, o cálculo será da forma: . Para o segundo ano, ela deve considerar o cálculo: .
Substituindo 1, ela obtém a equação equivalente: . Analogamente, para o terceiro ano, aP
produção total 3 será calculada a partir da produção 2. Assim, . Substituindo 2, obtemos .P P P
Com isso, Maria verificará que a produção pode ser modelada pela função exponencial , que
relaciona a quantidade de produtos totais produzidos pela empresa em anos, sendo . Agora,P t
para descobrir em quantos anos a produção será de 20.736 unidades, ela deve resolver a
equação . Isolando o termo com o expoente . Aplicando o logaritmo nos dois termos da
igualdade e utilizando a calculadora, ela encontrará a solução .
Portanto, a produção anual da empresa de Maria será de 20.736 unidades após três anos de
aumento anual de 20% na sua produção total.
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A função é denominada de . Ela é definida no conjunto de todos osfunção exponencial natural
números reais e, como o valor da base é maior que 1, é crescente para todo valor de do domínio. O seu gráfico
apresenta o mesmo comportamento de uma função exponencial de base maior que 1 qualquer, como podemos
observar na figura abaixo:
Figura 9 - Comparação entre o comportamento da função exponencial natural e da função exponencial de base 4.
VOCÊ O CONHECE?
Leonhard Euler (1707-1783) foi um importante matemático suíço. Ele iniciou seus trabalhos
na Academia de Ciências de São Petersburgo, na Rússia, em 1729. Mas, a partir de 1740,
trabalhou na Alemanha, período no qual publicou aproximadamente 380 artigos. Em 1771,
Euler ficou totalmente cego devido a uma operação de catarata malsucedida. Contudo,
continuou a publicar com a mesma intensidade extraordinária. O conteúdo de suas obras
abrangeu praticamente todo o saber matemático e científico de sua época, além de criar novos
campos. As notações para a base natural e para funções foram introduzidas por Euler eme f(x)
1727 e 1734, respectivamente (ADAMI; DORNELLES FILHO; LORANDI, 2015).
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Figura 9 - Comparação entre o comportamento da função exponencial natural e da função exponencial de base 4.
Fonte: Elaborada pela autora, 2018.
Um resultado importante envolvendo as funções exponenciais é que qualquer função exponencial pode ser
expressa em termos da base natural . Segundo Demana (et al., 2013), uma função exponencial da forma e
, onde ≠ 0 e , pode ser reescrita como , sendo um número real apropriadamentea k
escolhido. Se os valores de e de são positivos, então a função apresenta um crescimento exponencial. No casoa k
do valor de ser positivo e de ser negativo, então a função apresenta um decaimento exponencial.a k
Observe o comportamento da curva de , quando a constante é positiva ou negativa.k
Figura 10 - Gráficos de ( ) = para < 0 (à esquerda) e para < 0 (à direita).f x ekx k k 
Fonte: Elaborada pela autora, 2018.
Da mesma forma que definimos as exponenciais de base natural, podemos caracterizar os logaritmos naturais.
Dizemos que o conjunto dos logaritmos base de todos os números reais positivos, constitui o sistema dee
logaritmos naturais (também conhecido como neperiano). A notação usual para o logaritmo natural é .
Assim, a é . Pela definição, temos que:função logarítmica natural 
VOCÊ QUER LER?
O artigo intitulado “O número , por quê?” e escrito pelo matemático brasileiro Elon Lages Lima
([s/d]) objetiva explicar, de modo simples e conciso, o motivo da escolha do número de Euler
como base dos logaritmos. Além disso, explicita a importância desse número para o Cálculo
(Diferencial e Integral), área da Matemática fundamental para as Ciências. O texto está
disponível nas páginas 28 a 30, do : <site http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed
>. Vale a pena conferir!/expensmat3_1_1.pdf
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O gráfico da função é simétrico ao gráfico de em relação à reta bissetriz do primeiro e
do terceiro quadrante do plano cartesiano. Portanto, a função logarítmica natural está definida para os valores
de reais e positivo. Veja o comportamento da curva da função na figura seguinte:
Figura 11 - A curva da função logarítmica natural é simétrica à curva da função exponencial natural.
Fonte: Elaborada pela autora, 2018.
Todas as propriedades e resultados obtidos para os logaritmos de base arbitrária , podem serb 
particularizados para o caso da base natural. Levando em consideração tais propriedades e a definição de
logaritmo natural, podemos resolver os seguintes exemplos:
• :
;
• :
• :
;
Uma aplicação das funções exponenciais, que utiliza as propriedades dos logaritmos naturais, trata-se da meia
Pesquisadores observaram, experimentalmente, que a maior parte dasvida de substâncias radioativas. 
substâncias radioativas decai exponencialmente. Assim, se uma amostra possui uma massa inicial , após anosa t
a massa restante