Exercício Bielas e Tirantes

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ESTRUTURAS DE CONCRETO – BIELAS E TIRANTES – EXERCÍCIO 5 
Aluna (s): 
Mariane Pastore 
Tainá Borghi 
 
Dezembro de 2018 
EXERCÍCIO 5 – VIGA-PAREDE 
Dimensionar a viga-parede da Figura 1 utilizando o modelo de bielas e tirantes a partir 
dos carregamentos e seções dadas, verificar a tensão nas regiões nodais e na biela, 
verificar a ancoragem e fazer o detalhamento das armaduras. Dado: fck = 30 MPa. 
 
Figura 1 – Viga-parede 
 
 (Medidas em cm) 
Solução: São consideradas vigas-parede as vigas altas em que a relação entre o vão e 
a altura l/h é inferior a 2 em vigas biapoiadas e inferior a 3 em vigas contínuas. No 
presente caso tem-se viga bi-apoiada: 400/285 =1,4 (Viga-parede). 
As Figuras abaixo mostram as distribuições das tensões principais (Compressão e 
Tração). 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aplicação de Bielas e Tirantes 
 
Figura 2 – Direções das tensões principais máximas (compressão) 
 
Figura 3 – Direções das tensões principais máximas (tração) 
 
 
 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aplicação de Bielas e Tirantes 
 
Memorial de Cálculo 
a) Dimensionamento 
Modelo de biela e tirante 
As ações uniformemente distribuídas são substituídas nos modelos por duas forças 
concentradas equivalentes. As mesmas foram distanciadas por espaçamentos iguais e 
consideradas como duas resultantes. 
a.1) Cálculo das forças solicitantes nas bielas e tirantes 
O valor de θ (ângulo entre bielas e tirantes) é indicado na literatura por alguns autores. 
De acordo com Silva e Giongo (2000), para o presente caso de viga parede biapoiada, 
o ângulo entre as bielas e o tirante é dado por: 
{
θ = 68° → l h⁄ = 2
θ = 55° → l h⁄ = 1
 
Na viga-parede em estudo l/h = 1,4, logo θ = 60,2°. 
A NBR 6118:2014 sugere que este ângulo esteja entre 30° e 63°. 
A seguir apresenta-se o modelo de treliça idealizado para a distribuição dos esforços, 
sendo que as linhas tracejadas em vermelho representam as bielas de compressão e 
as linhas em azul os tirantes. Os esforços da figura 4 foram obtidos pelo software 
Abaqus e estão em kN. 
Figura 4 – Esforços das barras 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aplicação de Bielas e Tirantes 
 
 Para áreas com diferentes tirantes, escolheu-se o de maior valor para o 
dimensionamento. Por exemplo, na área inferior à abertura, tem-se três tirantes (113 
kN; 73,4 kN e 61,4 kN), sendo utilizado o valor de 113 kN para o dimensionamento. A 
figura 5 apresenta os tirantes para dimensionamento. 
Figura 5 – Modelo final de biela tirante 
 
a.2) Dimensionamento dos tirantes: As =
Rst,d
fyd
 
 
Tirante Esforço (kN) 
Área de aço 
Requerida (cm²) 
Armadura 
Adotada 
T1 113,4 3,65 2x3 ø12,5 
T2 71,3 2,30 2x1 ø12,5 
T3 24,1 0,77 2x2 ø8 
T4 13 0,42 2x2 ø6,3 
T5 12 1,39 2x4 ø6,3 
T6 39 1,26 
2x4 ø8 T7 53,6 1,73 
T8 15,7 0,51 
T9 32,3 1,04 2x2 ø6,3 
T10 33 1,06 2x2 ø6,3 
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Armaduras de Reforço – Tirantes T1 ao T10: 
 
 TIRANTE T1 (Tirante principal) 
 
De acordo com Araújo (2014) o momento de fissuração é menor que o de fissuração 
das vigas esbeltas usuais. Assim a armadura mínima é dada por: 
As,mín−VP = λ ∙ As,mín−VE 
𝑙
ℎ⁄ = 1,5 → λ = 0,90 (Araújo 2014) 
𝑙
ℎ⁄ = 1,25 → λ = 0,75 (Araújo 2014) 
∴ 𝑙 ℎ⁄ = 1,4 → λ = 0,84 
As,mín−VP = 0,84 ∙
0,15
100
∙ bw ∙ h = 0,84 ∙
0,15
100
∙ 20 ∙ 285 = 7,18 cm² 
 
Vale citar que a armadura do tirante principal deve ser distribuída em altura da ordem 
de 0,15∙h, para o presente caso de viga-parede, como cita o item 22.4.4.1 da ABNT 
NBR 6118:2014. Dessa forma, 0,15∙h = 0,15∙285 = 42,75cm. 
Segundo Leonhardt & Monning (1978b), toda armadura longitudinal deve ter 
comprimento relativo à distância entre os apoios sem escalonamento e ser ancorada 
para a força de 0,8 Rst. De acordo com Silva e Giongo (2000), em apoios curtos, 
frequentemente o comprimento de ancoragem efetivo lbe é insuficiente, exigindo a 
utilização de maior número de barras com bitolas menores. O perímetro necessário de 
ancoragem para as barras pode ser calculado pela expressão: 
u =
0,8 Rst
lbe ∙ τbu
 
Sendo: 𝜏𝑏𝑢 = 0,42 ∙ √𝑓𝑐𝑑
23 
𝜏𝑏𝑢 = 0,42 ∙ √(
30
1,4
)
23
= 0,324 𝑘𝑁
𝑐𝑚²
⁄ 
Considerando cobrimento mínimo de 25mm, temos comprimento de ancoragem efetivo 
de 17,5cm (20 – 2,5). 
Para o tirante abaixo da abertura, tem-se o seguinte perímetro de ancoragem das 
barras: 
u =
0,8 ∙ 113,4
17,5 ∙ 0,324
= 16 cm 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aplicação de Bielas e Tirantes 
 
Adotando-se três camadas de duas barras de armadura, a bitola necessária para 
promover o perímetro necessário para a ancoragem é: 
𝑢𝑒 = 6 ∙ 𝜋 ∙ Ø ≥ 16 
Ø ≥ 0,85 𝑐𝑚 = 8,5 𝑚𝑚 
Portanto, o diâmetro mínimo de acordo com o comprimento de ancoragem deve ser de 
10 mm. 
Adotou-se 3 camadas de 2 barras de 12,5 mm de armadura. 
A armadura adotada (7,36 cm²) atende a armadura requerida pelo projeto (3,65 cm²) e 
a armadura mínima necessária (7,18 cm²). 
 
 TIRANTE T2: 
As =
Rst,d
fyd
= 2,30 𝑐𝑚² 
Adotou-se 2x1 Ø12,5mm (2,45 cm²). 
 TIRANTE T3: 
As =
Rst,d
fyd
= 0,77 𝑐𝑚² 
Adotou-se 2x2 Ø8 mm (2,01cm²). 
 TIRANTE T4: 
As =
Rst,d
fyd
= 0,42 𝑐𝑚² 
Adotou-se 2x2 Ø6,3 mm (1,25 cm²). 
 TIRANTE T5: 
As =
Rst,d
fyd
= 1,39 𝑐𝑚² 
Adotou-se 2x4 Ø6,3 mm (2,49 cm²). 
 TIRANTES T6 ao T8: 
As armaduras requeridas pelo projeto para os tirantes T6 ao T8 foram respectivamente: 
1,26 cm², 1,73 cm² e 0,51 cm². 
Adotou-se para eles uma armadura de 2x4 Ø8 mm (4,02 cm²). 
 
 TIRANTES T9 e T10: 
As armaduras de reforço para esses dois tirantes estão representadas junto com a 
armadura em malha da viga parede (descrita no próximo item). 
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Adotou-se para ambas uma armadura de 2x2 Ø6,3 mm (1,25 cm²), tanto na horizontal 
quanto na vertical. 
O detalhamento de todos os reforços está representado no final do memorial. 
 
b) Armadura em malha 
 
De acordo com a ABNT NBR 6118:2014, para controlar a fissuração, deve ser prevista 
armadura positiva adicional em malha uniformemente distribuída em duas direções, 
independente da armadura principal de flexão. Essa armadura pode ser calculada 
através de: 
 
As,malha =
0,1
100
∙ b ∙ h =
0,1
100
∙ 20 ∙ 285 = 5,70 cm² 
As,v =
As,malha
l
=
5,7
4,2
= 1,36 cm²/m. 
As,malha =
As,malha
h
=
5,7
2,85
= 2,0 cm²/m. 
 
A armadura em malha disposta na horizontal será composta por barras de 6,3 mm 
espaçadas a cada 15 cm, resultando em uma área de aço efetiva igual a 2,08 cm²/m. 
Para a armadura disposta na vertical, serão utilizadas barras de 6,3 mm espaçadas a 
cada 20 cm, perfazendo uma área de aço efetiva igual a 1,56 cm²/m. 
Ressalta-se que a armadura em malha não deve ser superposta a armadura dos 
tirantes previamente dimensionadas, devendo ser disposta nas regiões com ausência 
de armadura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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c) Verificação das tensões 
c.1) Definição da região nodal 
Figura 6 – Região nodal do modelo biela-tirante 
 
Dados da região nodal: 
θ = 62° 
d′ = 20 cm 
u = 2d′ = 40 cm 
c = 20 cm 
 
Rd,k (reação de apoio) = 210kN 
Rst1,k = 113,4 kNFc,k = Rcc1 = −234,3 kN 
c1 = c + u cot θ → c1 = 20 + 40 ∙ cot 62° = 41,27 cm 
c2 = (c + u cot θ) ∙ sin θ → c2 = 41,27 ∙ sin 62° = 36,44 cm 
 
c.2) Verificação da tensão de compressão nos apoios 
σapoio,d =
Rapoio,d
b ∙ c
=
210 ∙ 1,4
20 ∙ 20
= 0,74 kN/cm² 
Para regiões CCT (compressão-compressão-tração), a tensão admissível é dada por: 
fcd3 = 0,72 ∙ αv2 ∙ fcd = 0,72 ∙ (1 −
30
250
) ∙
3
1,4
= 1,36 kN/cm² 
fcd3 > σapoio,d ∴ Ok! 
 
c.3) Verificação da tensão na biela (B1) 
σ2d =
Rapoio,d
b ∙ c1 ∙ sin 62°²
=
210 ∙ 1,4
20 ∙ (41,27) ∙ sin 62°²
= 0,4 kN/cm² 
Para regiões CCT, a tensão admissível é dada por: 
fcd3 = 0,72 ∙ αv2 ∙ fcd = 0,72 ∙ (1 −
30
250
) ∙
3
1,4
= 1,36 kN/cm² 
fcd3 > σ2d ∴ Ok! 
 
c.4) Verificação da tensão na biela (B2) 
σ2d =
Rapoio,d
b ∙ c1 ∙ sin 73°²
=
210 ∙ 1,4
20 ∙ (41,27) ∙ sin 73°²
= 0,39 kN/cm² 
Para regiões CCT, a tensão admissível é dada por: 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aplicação de Bielas e Tirantes 
 
fcd3 = 0,72 ∙ αv2 ∙ fcd = 0,72 ∙ (1 −
30
250
) ∙
3
1,4
= 1,36 kN/cm² 
fcd3 > σ2d ∴ Ok! 
 
c.5) Verificação da tensão na biela (B3) 
σ3d =
R𝑏𝑖𝑒𝑙𝑎
b ∙ c
=
47,3 ∙ 1,4
20 ∙ 20
= 0,17 kN/cm² 
Para regiões CTT, a tensão admissível é dada por: 
fcd2 = 0,60 ∙ 0,88 ∙
3
1,4
= 1,13 kN/cm² 
fcd2 > σ3d ∴ Ok! 
Como as tensões nas bielas são inferiores a fcd3 e fcd2, a região nodal está segura. 
 
d) Ancoragem 
O comprimento de ancoragem disponível é a largura do pilar menos o cobrimento. 
Considerando um classe de agressividade ambiental II, o cobrimento mínimo é 25 mm, 
logo o comprimento disponível para ancoragem é 17,5 cm. 
d.1) Comprimento básico de ancoragem 
fbd = η1 ∙ η2 ∙ η3 ∙ fctd = 2,25 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 0,7 ∙ 0,3 ∙
30
2
3
1,4
= 0,326 kN/cm² 
lb =
ϕ
4
∙
fyd
fbd
=
𝜙
4
∙
50/1,15
0,326
= 33,34𝜙 
∅ = 8mm → lb = 26,67 cm 
∅ = 10mm → lb = 33,34 cm (adotado) 
 
d.2) Comprimento necessário 
lb, nec = α ∙ lb ∙
As,cal
As,efet
> lb,min 
α = 0,7 ∴ barra com gancho (laço) 
∅ = 10mm 
lb, nec = α ∙ lb ∙
As,cal
As,efet
 
lb,nec = 0,7 ∙ 33,34 ∙
3,65
7,7
= 11,06 cm (Ok!) 
lb, min = {
0,3 ∙ lb = 10 cm
10 ∙ ∅ = 10 cm
10 cm
 
Tem-se comprimento necessário de 11,06 cm e disponivel de 17,5 cm → Verificado! 
e) Detalhamento
O detalhamento final da viga-parede esta apresentado na Figura 7.
Figura 7 - Detalhamento da viga-parede