Aula 3 -Método das bielas e tirantes e aplicações

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14/03/2023, 16:44 Método das bielas e tirantes e aplicações
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Método das bielas e
tirantes e
aplicações
Prof. Larissa Araújo
Descrição
A aplicação do método das bielas e tirantes em consolos, dentes Gerber, vigas-parede e sapatas com apresentação do modelo utilizado em cada
caso e o desenvolvimento dos cálculos para dimensionamento.
Propósito
O método das bielas e dos tirantes é uma importante ferramenta para o engenheiro projetista estrutural realizar um projeto de modo racional e
adequado para o dimensionamento e o detalhamento de elementos especiais de concreto, passando a evitar os acidentes estruturais que eram
frequentes em tais elementos.
Objetivos
Módulo 1
Conceitos básicos para aplicação do método
Reconhecer os conceitos básicos aplicados ao método das bielas e tirantes.
Módulo 2
Consolos curtos e dentes Gerber
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Aplicar o modelo de bielas e tirantes para o dimensionamento de consolos curtos e dentes Gerber.
Módulo 3
Sapatas rígidas
Aplicar o modelo de bielas e tirantes para o dimensionamento de sapatas rígidas com carga concentrada.
Módulo 4
Vigas-parede
Aplicar o modelo de bielas e tirantes para o dimensionamento de vigas-parede biapoiadas.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e compreenda os conceitos que serão abordados neste conteúdo.
1 - Conceitos básicos para aplicação do método

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Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer os conceitos básicos aplicados ao método das bielas e tirantes.
Vamos começar!
Reconhecendo os conceitos básicos aplicados ao método das bielas e
tirantes
Confira os principais conceitos que serão abordados ao longo deste módulo.
Fundamentos e bases teóricas
O Teorema Estático da Teoria da Plasticidade fundamenta os modelos de bielas e tirantes e campos de tensão. Tais modelos são utilizados para o
dimensionamento e o detalhamento de estruturas em concreto estrutural.
Para a compreensão do método, é importante lembrar que o concreto é considerado um material rígido-plástico,
enquanto o aço é elástico linear e perfeitamente plástico.
A imagem da esquerda é um caso do concreto, e a imagem da direita é um caso do aço. Veja:
Diagrama tensão-deformação de material idealizado rígido-plástico.
Diagrama tensão-deformação de material elastoplástico bilinear.

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Em que:
: módulo de elasticidade;
: tensão de escoamento;
: tensão aplicada;
: deformação específica;
 deformação específica para o escoamento.
Momento-curvatura de viga de seção retangular em �exão e viga
biengastada
Observe agora uma seção retangular com material elastoplástico perfeito e submetida à flexão em torno do eixo y.
Tensões e deformações em seções retangulares submetidas a momento fletor.
Em que refere-se ao momento, ao momento de escoamento e ao momento de plasticidade.
Considerando que a seção permanecerá plana após a deformação, teremos:
Rotacione a tela. 
Sendo o ângulo, conforme representado na imagem anterior.
E a condição de equilíbrio será:
Rotacione a tela. 
A fase elástica se caracteriza por:
Rotacione a tela. 
Já o fim da fase elástica é dada por:
Rotacione a tela 
E
fy
σ
ε
εy :
M My Mp
ε = κZ
κ
M = ∫ σzdA
σ = Eε e M = EIκ, com I =
bh3
12
κy =
2fy
Eh
 e My =
bh2
6
fy = Wfy
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Rotacione a tela. 
Sendo o módulo elástico da seção.
E a fase elastoplástica se caracteriza por:
Rotacione a tela. 
Sendo a relação entre e dada por:
Rotacione a tela. 
Por fim, quando , a resistência plástica da seção é atingida, logo:
Rotacione a tela. 
Em que Z é o módulo plástico e é o fator de forma da seção transversal. Para seções retangulares, .
Na próxima imagem, é apresentado o diagrama momento-curvatura bilinear, com fator de forma , uma aproximação muito empregada na
prática que permite assumir rótulas plásticas ideais que tornam os cálculos mais simples.
Diagrama momento-curvatura de uma viga com material elastoplástico.
Já para uma viga biengastada com carregamento uniforme , assumimos, inicialmente, , a viga livre de tensões residuais e o diagrama
momento-curvatura bilinear para todas as seções. A carga será aumentada monotonicamente para que os momentos fletores nas suas
extremidades atinjam o limite :
Rotacione a tela. 
A próxima imagem, por meio do diagrama , mostra que as extremidades não permitem incremento de momentos, mas permitem acréscimos
na curvatura. Assim, são criadas rótulas plásticas nas extremidades, e a viga reage como uma viga biapoiada com momento máximo no meio do
vão:
Rotacione a tela. 
Em que representa um incremento.
W = I
h/2
κ =
fy
Eαh
 e M = ( bh
2
4
−
bα2h2
3
)fy,
1
2
≤ α ≤ 0
M κ
M
My
=
3
2
−
κ2y
2κ2
κ → ∞
Mp =
bh2
4
fy = Zfy = λMy
λ = Z/W λ = 1, 5
λ = 1, 0
(p) p = 0
(p)
Mp
−Mp = −
pL2
12
→ p = py =
12Mp
L2
M − κ
M =
ΔpL2
8
Δ
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O estado limite (fim da fase elastoplástica, ) ocorre quando o momento no meio do vão atinge o limite plástico e a viga se torna um
mecanismo. A carga última será dada por:
Rotacione a tela. 
A próxima imagem apresenta, esquematicamente, a situação da viga biengastada.
Análise elastoplástica de uma viga biengastada com carga uniformemente distribuída.
A partir dos exemplos vistos, podemos concluir que, para determinar a carga última de um material com comportamento elastoplástico, não
precisamos calcular todo o histórico de carregamento.
Análises-limite
As análises-limite são realizadas com a finalidade de determinar os carregamentos-limite de sistemas rígido-plásticos perfeitos. Sendo assim,
permitem o dimensionamento e a verificação de segurança estrutural de sistemas com materiais ou elementos de comportamento plástico. As
hipóteses utilizadas são:
1ª hipótese
Linearidade geométrica, ou seja, as deformações, rotações e deslocamentos são pequenos
2ª hipótese
Ductilidade infinita, ou seja, sem limite para as deformações plásticas.
Veja a seguir os teoremas cinemático e estático da teoria da plasticidades!
Teorema cinemático
"Um carregamento que está em equilíbrio com um campo de deslocamentos cinematicamente admissível, formando um mecanismo, possui um
valor igual ou superior ao carregamento que leva a estrutura ao colapso".
Por suposição, o carregamento externo não está em equilíbrio com os campos de tensão, logo, os critérios de
resistência dos materiais não são respeitados em toda a estrutura.
O carregamento determinado é maior ou igual ao carregamento-limite , portanto, a estrutura entrará em colapso. Por isso, esse teorema
também é conhecido como teorema do limite superior.
p = pr
pr = py + Δp =
12Mp
L2
+
4Mp
L2
=
16Mp
L2
Qs
QR
Qs QR
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Teorema estático
“Um carregamento atuando sobre uma estrutura, gerando um campo de tensões estáticas e plasticamente admissível, é um limite inferior do
carregamento que leva a estrutura ao colapso”.
Os campos de tensões considerados serão:
Campo de tensões estaticamente admissível
As condições de equilíbrio são satisfeitas.
Campo de tensões plasticamente admissível
Os critérios de resistência dos materiais são respeitados.
É conhecido como o teorema do limite inferior e permite dimensionar a estrutura a favor da segurança.
Os modelos debielas e tirantes, também chamados de campos de tensões, são baseados nesse teorema!
Aplicação da teoria da plasticidade em estruturas de concreto
Utilizando o teorema estático, podemos determinar o carregamento-limite de um elemento por analogia de treliça. Nos modelos de bielas e tirantes,
é preciso que ocorra o equilíbrio entre o carregamento externo e as solicitações internas e que as bielas, os tirantes e os nós da treliça não tenham
seus critérios de resistência violados.
Ao aplicar o teorema do limite inferior, atribuímos ao aço e ao concreto um comportamento de material rígido plástico com deformações plásticas
infinitas, o que difere bastante do comportamento do concreto.
Logo, em estruturas de concreto simples, esse teorema não deve ser aplicado; e, em estruturas de concreto armado, pode ser necessária a
comprovação da deformação plástica para não ocorrer ruptura prematura da estrutura.
Modelo de bielas e tirantes e campos de tensões
Como desenvolver o modelo
No modelo de bielas e tirantes, as bielas representam os campos de tensões de compressão, enquanto os tirantes representam os campos de
tensões de tração. Já os nós são os volumes de concreto onde as forças que agem nas bielas e nos tirantes se encontram e se equilibram. Na
maioria das vezes, os esforços e tensões nas bielas representam estes no concreto, enquanto os esforços e tensões no tirante representam estes
na armadura de aço.
Observe abaixo variados elementos e pontos de elementos estruturais com suas duas regiões:
Região B
Onde os esforços internos podem ser obtidos pelo equilíbrio da seção transversal (Vale a hipótese de Bernoulli-Euler).
Qs
QR
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Região D
Onde as deformações específicas na seção transversal são não lineares e os métodos das seções não são aplicáveis.
Agora analise a seguinte representação gráfica:
Regiões D (área laranja) com distribuição de deformações não linear devido a: a) descontinuidade geométrica; b) descontinuidade estática; c) descontinuidade geométrica e estática.
Embora a análise das regiões B possa ser feita pelo método das seções, os modelos de bielas e tirantes também são aplicáveis e podem ser a base
das formulações para o método das seções.
Campo de tensões e modelo de bielas e tirantes aplicados a vigas altas
Vamos considerar a viga da próxima imagem:
Viga-parede biapoiada submetida a duas forças concentradas e simétricas.
Para resolver a viga, podemos adotar a solução de uma treliça isostática através do teorema do limite inferior, conforme imagem abaixo. As larguras
das bielas dependem da resistência do concreto.
Idealização do equilíbrio interno de uma viga biapoiada com duas forças iguais e simétricas e próximas aos apoios.
Vamos utilizar os dados a seguir para determinar a largura da biela.
Resistência efetiva do concreto: .
Resistência plástica do tirante de aço: .
Estima-se a largura , por exemplo, .
Determina-se o braço de alavanca e, por consequência, o ângulo de inclinação da biela:
fcp = 15MPa
fyd = 435MPa
y y = 0, 2h = 21cm
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Rotacione a tela. 
e
Rotacione a tela. 
Determina-se o binário de forças (banzo comprimido e tirante) e a espessura do banzo:
Rotacione a tela. 
A largura estimada é aproximadamente igual à calculada ?
Resposta
Não. Então, deve-se atualizar o valor de y e recomeçar o procedimento até que elas sejam aproximadamente iguais.
Observação: o exemplo em questão tem solução direta, veja:
Rotacione a tela. 
Assim, o equilíbrio interno da viga é dado por:
Solução baseada na teoria da plasticidade do problema proposto.
O equilíbrio mostra que não é necessária a colocação de estribos, porém, armaduras verticais (estribos) ou horizontais (pele) são indispensáveis e
deve ser considerado o mínimo exigido pela norma.
Considerando um carregamento distribuído que produz as mesmas resultantes, observamos na imagem a seguir, que para situações de
carregamento distribuído, a geometria das curvas AB e CD da zona nodal segue uma função hiperbólica, porém não importa, pois a geometria no nó
é triangular.
z = h − y = 105 − 21 = 84cm
tan θ =
z
a
=
84
80
= 1, 05 → θ ≅46, 4∘
Fcd = Ftd = Fd cot θ =
600
1, 05
= 571, 4kN
y =
Fcd
(bwfcp)
=
571, 4
20 × 1, 5
= 19, 0cm
(yest ≅ycalc )
y =
h − √h2 − 4apa
2
=
105 − √1052 − 4 × 20 × 80
2
≅18, 5cm
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Viga biapoiada submetida a carregamento distribuído.
Para o caso de carregamento distribuído, o campo de tensões de compressão possui o formato de um leque, as tensões ao longo das bielas são
variáveis e possuem maior valor na seção mais estreita.
Logo, a resistência do nó tracionado é considerada menor do que a do nó comprimido, e, assim, os campos de tensões com as bielas prismáticas
são substituídos por diagonais em formato de leque. Analise a próxima imagem:
Solução usual para concreto estrutural.
Campo de tensões e modelo de bielas e tirantes aplicados a vigas
medianamente esbeltas
Considere a seguinte viga:
Viga medianamente esbelta biapoiada submetida a suas forças concentradas e simétricas.
A solução de biela direta mostra que a espessura do montante comprimido será de:
Rotacione a tela. 
E resulta em uma inclinação de biela igual a . Porém, essa inclinação só é possível em certas condições, sendo assim, um
modelo alternativo é adotado para evitar o problema que surge na transmissão de forças pelo concreto quando uma biela sem armadura de
cisalhamento fica muito próxima da armadura de flexão – surgimento de grandes fissuras que atravessam a biela. Veja:
Idealização do equilíbrio interno de uma viga biapoiada com duas forças iguais e simétricas e próximas aos apoios.
Neste modelo, a força aplicada não é transmitida diretamente ao apoio, mas através de uma suspensão de carga intermediária. Assim, o equilíbrio é
obtido por dois sistemas de transporte de cargas. A biela é equilibrada no nó inferior por dois tirantes: um horizontal (armadura de flexão) e um
y = d − √d2 − 2apa = 80 − √802 − 2 × 20 × 120 = 40cm
θ = 26, 6∘(tan θ = 0, 5)
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vertical (estribos). O estribo transfere a força do nó inferior para o superior, por isso é muito importante que os estribos estejam bem ancorados na
parte inferior e superior da viga. Veja a representação:
Combinação de dois sistemas de transporte da força com suspensão.
Assim, o equilíbrio do problema será dado por este modelo:
Campo de tensões e modelo de bielas e tirantes com suspensão entre a força aplicada e a reação.
Esse modelo permite que a armadura seja reduzida no apoio, já que a tração no apoio é de 502,6kN e a tração máxima do vão é de 1200kN. Logo,
algumas armaduras podem ser cortadas antes de entrarem na zona nodal.
Na imagem anterior, observamos que as bielas em leque se sobrepõem no triângulo ABC e ainda pode ser mais rigoroso: distribuindo os estribos
em uma faixa menor – evitando a sobreposição, ou aumentando a largura do nó do apoio e garantindo o equilíbrio apenas por aderência.
É importante ressaltar que, segundo a ABNT NBR 6118, os ângulos de inclinação permitidos entre bielas e tirantes são:
Rotacione a tela. 
Ou seja:
Rotacione a tela. 
No entanto, em vigas usuais, o ângulo não pode ser maior do que , porém, em regiões de descontinuidade, como vigas-parede, é desejável
.
Carga próxima ao apoio
Quando há carga aplicada próxima ao apoio, a força é transferida diretamente ao apoio via uma biela direta, ou seja, sem a contribuição de estribo e
com o auxílio de armaduras secundárias.
Aqui, apresentaremos dois modelos para este carregamento.
Descontinuidadetotal
30∘ ≤ θ ≤ 63, 4∘
0, 577 ≤ tan θ ≤ 2
θ 45∘
θ > 45∘
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Em cargas muito próximas ao apoio, a tendência é que a transmissão seja direta e que o campo de compressões tenha o formato de garrafa. A
tração transversal para zona de descontinuidade total pode ser dada por:
Rotacione a tela. 
Descontinuidade parcial
E no caso de descontinuidade parcial, temos:
Rotacione a tela. 
Os dois casos são apresentados nos seguintes modelos:
Parâmetros para a determinação das forças de tração transversais num campo de tensões em formato de garrafa: a) descontinuidade parcial e b) descontinuidade total.
Para o caso de descontinuidade parcial, 
E para o caso de descontinuidade total, 
Na maioria dos casos, não é comum a utilização de armadura incinada e, por isso, é realizada a decomposição da força em vertical e
horizontal :
Rotacione a tela. 
Com o aumento da distância entre a carga e a reação, o modelo deixa de ser o de garrafa (como mostrado na imagem anterior), e passa a ser o
modelo de biela direta com o modelo de suspensão total, como vemos a seguir:
Modelos de bielas e tirantes para cargas próximas ao apoio: a) modelo de biela direta.
Ftd
Ftd = 0, 25Fd(1 −
0, 7a
h
)
Ftd = 0, 25Fd (1 −
a
b
)
bef = b
bef = 0, 5H + 0, 65a; a ≤ h
(Fwvd)
(Fwhd)
Fwvd = 2Ftd cos θ
Fwhd = 2Ftd sin θ
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Modelos de bielas e tirantes para cargas próximas ao apoio: b) modelo de suspensão total da força.
Modelos de bielas e tirantes para cargas próximas ao apoio: c) modelo hiperestático que combina as duas soluções.
Sendo:
Rotacione a tela. 
Lembrando que a carga é transmitida integralmente ao apoio quando e que a suspensão é total quando . A NBR 6118, para o
cálculo da armadura transversal para apoio direto, faz as seguintes recomendações:
A força cortante oriunda de carga distribuída pode ser considerada, no trecho entre o apoio e a seção situada a distância da face do apoio,
constante e igual à desta seção.
A força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância do eixo teórico do apoio pode, nesse trecho de comprimento ,
ser reduzida, multiplicando-a por . Porém, essa redução não se aplica às forças cortantes provenientes de cabos inclinados de protensão.
Para a força de tração horizontal, nos casos em que a armadura secundária horizontal é mais importante do que a vertical (especialmente em
consolos altos), deve-se usar a equação:
Rotacione a tela. 
Resistência em tirantes, bielas e nós
Resistência nos tirantes
Para a NBR 6118, o diagrama tensão-deformação de materiais elastoplásticos perfeitos como os aços ativos e passivos deve ser como o
esquematizado nas próximas imagens.
β =
2(a/z) − 1
3
; 0, 5 ≤ a/z ≤ 2
a/z = 0, 5 a/z = 2
d/2
a ≤ 2d a
a/2d
Fwhd = (0, 4 − 0, 2a/z)Fd
0, 4 ≤ a/z ≤ 2
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Diagrama tensão-deformação para aços: a) passivos b) ativos.
Logo, o critério de resistência de um tirante, devidamente ancorado, será dado por:
Rotacione a tela. 
Sendo a primeira parcela referente à força suportada pela armadura passiva e a segunda parcela referente à força suportada pela armadura ativa.
Resistência nas bielas
Segundo a NBR 6118, a resistência das bielas, prismáticas, em leque e em formato de garrafa segue o padrão abaixo:
Em que:
Rotacione a tela. 
 é a tensão principal mínima de compressão (em módulo).
Resistência nos nós
Os nós possuem estados de tensões diferentes e precisam ser verificados separadamente, pois, nos modelos de bielas e tirantes, normalmente os
nós governam o dimensionamento dos elementos estruturais.
Ftd ≤ Asfyd + Apfpyd
Biela confinada ativa ou passivamente 
Biela sem fissuras em compressão uniaxial 
Biela fissurada com tração ortogonal 
Biela fissurada com tração diagonal 
Concreto sem controle de fissuras 
αv2 = (1 −
fck
250
), 20 ≤ fck ≤ 90MPa
fcd =
fck
γc
σ1
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Os nós, no plano, são:
Falta pouco para atingir seus objetivos.
CCC 
CCT 
CTT 
TTT 
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Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
O teorema _____________, conhecido como o teorema do limite _______________, dimensiona as estruturas a favor da segurança e é utilizado nos
modelos de bielas e tirantes.
Marque a opção que preencha a frase corretamente.
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20teorema%20cinem%C3%A1tico%20%C3%A9%20conhecido%20como%20o%20teorema%20do%20limite%20superior%2C%20enqu
Questão 2
Dada a viga mediante esbelta a seguir e suas dimensões, marque a opção que apresenta a espessura do montante comprimido, sabendo que:
A estático; inferior.
B estático; superior.
C cinemático; inferior.
D cinemático; superior.
E plástico; superior.
y = d − √d2 − 2apa
A 32cm
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Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAnalise%20a%20solu%C3%A7%C3%A3o%20da%20equa%C3%A7%C3%A3o%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph%20c-table'%3E%5C(y%3Dd-%5Csqrt%7Bd%5E2-
2%20a_p%20a%7D%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20c-table'%3E%5C(y%3D90-%5Csqrt%7B90%5E2-
2%20%5Ctimes%2020%20%5Ctimes%20135%7D%3D%2038cm%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
2 - Consolos curtos e dentes Gerber
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar o modelo de bielas e tirantes para o dimensionamento de consolos curtos e
dentes Gerber.
Vamos começar!
B 34cm
C 36cm
D 38cm
E 40cm

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Você sabe aplicar o modelo de bielas e tirantes para dimensionar consolos
curtos e dentes Gerber?
Confira os principais conceitos que serão abordados ao longo deste módulo.
Aplicação do modelo
Para dimensionamento de consolos
Em consolos, a força vertical é transmitida diretamente a um nó comprimido (nó A) no topo do pilar inferior e é resistida por um banzo comprimido
no pilar inferior e por um tirante proveniente do pilar superior. Admitimos que o apoio dado à biela diagonal é fornecido apenas pelo banzo
comprimido do pilar inferior. Como o nó é CCC, a largura do apoio será:
Rotacione a tela. 
E o modelo é dado por:
Modelo principal para a determinação da armadura do tirante.
O binário de forças atuantes deve ser resistido por um binário interno dado pela tração do tirante principal e pela compressão horizontal
, conforme ilustra o modelo anterior. Logo, essas forças são dadas por:
a1 =
Vd
bfcd1
(Ftd1)
(Fcd)
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Rotacione a tela. 
É importante ressaltar que o consolo é um elemento isostático sem capacidade de redistribuição de esforços e, portanto, a ductilidade é muito
importante. Para verificar a capacidade de rotação plástica, vamos considerar o consolo como uma viga, e sua profundidade da linha neutra 
será dada por (NBR 6118):
Rotacione a tela. 
A armadura secundária será determinada utilizando o modelo de biela em garrafa:
Rotacione a tela. 
Se a largura da biela no nó A for diferente da largura donó B (ver modelo), pode-se usar a largura média dada por:
Rotacione a tela. 
As forças pra o detalhamento das armaduras são dadas por:
Rotacione a tela. 
Observe as armaduras secundárias em consolos curtos:
Armadura secundária em consolos curtos.
Agora, veja uma estrutura com diversos consolos curtos:
Fcd = Ftd1 − Hd
Ftd1 = Vd cot θ + Hd
cot θ =
a
d − y/2
y = d − √d2 − 2a1a
a = a1/2 + ac + e
e =
Hd
Vd
d′
(x)
x/d ≤ 0, 4
Ftwd = 0, 25Fcwd (1 − 1, 4
abie
z
sin θ)
abie =
aAbie + a
B
bie
2
Fwvd = 2Ftwd cos θ
Fwhd = 2Ftwd sin θ
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Consolos curtos de pilares.
Para dimensionamento de dentes Gerber
São dois os modelos principais aplicados a dentes Gerber, o de suspensão vertical e o com tirante diagonal. Porém, a NBR 6118 indica apenas o
modelo de suspensão vertical (conforme a próxima imagem). A norma estabelece que “a armadura de suspensão deve ser calculada para uma força
no mínimo igual a , de acordo com o modelo biela-tirante adotado”.
Modelo de bielas e tirantes segundo a Norma NBR 6118.
O modelo de bielas e tirantes do dente Gerber é semelhante ao utilizado para consolos, a diferença é que a biela inclinada não se equilibra mais no
canto do pilar, mas na armadura de suspensão. E a força no tirante é dada por:
Rotacione a tela. 
De acordo com a NBR 9062, deve existir uma armadura de suspensão para resistir à totalidade das cargas verticais aplicadas no dente com
tensão , e esta tensão não pode superar . A armadura de suspensão deve ser disposta concentrada na extremidade da viga adjacente
ao dente de apoio, na forma de estribos fechados que envolvam a armadura longitudinal da viga, veja:
Detalhe das armaduras de dente Gerber segundo a norma de pré-moldados.
Observe agora o modelo de suspensão vertical para o modelo de bielas e tirantes e a armadura necessária. A armadura horizontal é ancorada pela
biela entre os nós C e D. A inclinação da biela, no modelo, é , de modo que:
Rotacione a tela. 
Fd
Ftd1 = Vd cotg θ1
(Fd)
fyd 435MPa
θ1
Ftd2 = Ftd4 = Vd
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Modelo de suspensão vertical: a) modelo de bielas e tirantes e b) armaduras necessárias.
Em que:
Rotacione a tela. 
A tensão na biela horizontal do nó B pode ser considerada igual à resistência (nó CCT), e assim:
Rotacione a tela. 
E,
Rotacione a tela. 
Sendo assim, o modelo combinado de suspensão vertical com força horizontal pode ser dado pelo seguinte esquema:
Modelo combinado de suspensão vertical com força horizontal.
Determinação das armaduras
Armadura principal
De acordo com o que estabelece a NBR 6118, a armadura mínima do tirante deve ser determinada pelo mesmo critério de vigas. E o momento fletor
mínimo, respeitando a taxa mínima absoluta de , é dado por:
a = a1/2 + ac + c
a1 = (n − 1)s + ∅
fcd3
y = d1 −√d21 −
2Vda
bfcd3
tan θ1 =
z1
a
=
d1 − y/2
a
0, 15%
Md,m ín  = 0, 8W0fctk,sup
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Rotacione a tela. 
Em que, é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra mais tracionada e é a resistência
característica superior do concreto à tração. Já a força de cálculo mínima na armadura principal, respeitando o ângulo máximo entre biela e tirante,
é:
Rotacione a tela. 
Para calcular a área de aço mínima, pode-se utilizar os dados fornecidos pela seguinte tabela:
Valores de 
20 25 30 35 40
0,15 0,15 0,15 0,164 0,179
Tabela: Taxa mínima de armadura de flexão.
(NBR 6118, 2014 apud SANTOS, 2021, p. 91)
Armaduras secundárias
De acordo com a NBR 9062, a armadura mínima secundária horizontal, também conhecida como armadura de costura, é dada por:
Consolos com 
Consolos com 
Nos dois casos, a armadura deve ser distribuída em a partir do tirante, ou seja:
Consolos com 
Consolos com 
E ainda, deve-se respeitar a armadura mínima:
Rotacione a tela 
W0 fctk,sup
Ftd1,min = 0, 4Vd + Hd
ρmin = As/bh(%)
fck(MPa)
0, 5 < ac/d ≤ 1
Ash,mín = 0, 4
Vd cot θ
fyd
ac/d ≤ 0, 5
Ash,min = 0, 5
Vd cot θ
fyd
2d/3
0, 5 < ac/d ≤ 1
Ash,min
sv
= 0, 6 Vd cot θdfyd
ac/d ≤ 0, 5
Ash,min
sv
= 0, 75 Vd cot θdfyd
Ash,min
sv
= 0, 15b cm/m
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Rotacione a tela. 
Dimensionamento e detalhamento
Exemplo de consolo
Para entender esse exemplo, vamos precisar dos seguintes dados:
Concreto: 
Aço: CA-50 
Cobrimento: 3cm
Aparelho de apoio: 25cm x 10cm
Veja agora a geometria e as forças atuantes:
Geometria e forças do exemplo de cálculo.
Sabendo disso, vamos ao passo a passo para resolver o exemplo:
1º Passo
Para a classificação de consolos, temos:
Consolo curto: 
Consolo muito curto: 
Como, , trata-se de consolo muito curto, vamos calcular a resistência da biela de acordo com a NBR 6118 considerando a biela sem
fissuras em compressão axial:
Logo,
Rotacione a tela. 
2º Passo
Agora prosseguimos para a equação da largura do apoio dado à biela diagonal:
C35 (fck = 35MPa), γc = 1, 4
(fyk = 500MPa), γs = 1, 15
0, 5 ≤ ac/d ≤ 1, 0
ac/d < 0, 5
ac/d = 0, 33
fcd1 = 0, 85.αv2 ⋅ fcd;αv2 = (1 − fck250 )
fcd1 = 0, 85 × (1 −
35
250
) × 35
1, 4
= 18, 28MPa
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E para o cálculo da distância " ":
Portanto,
Rotacione a tela. 
3º Passo
Agora vamos calcular a espessura da biela:
Logo,
Rotacione a tela. 
Verificação simplificada da capacidade de rotação plástica:
Logo,
Rotacione a tela. 
4º Passo
Sabendo que:
Temos que,
Rotacione a tela. 
a1 =
Vd
b⋅fcd1
a
a = a1
2
+ ac + e; e =
H
V
⋅ d′
a1 =
300
30 × 1, 828
= 5, 47cm
a =
5, 47
2
+ 10 + 0, 2 × 5 = 13, 74cm
y = d − √d2 − 2a1a
y = 30 − √302 − 2 × 5, 47 × 13, 74 = 2, 62cm
x
d =
y
λd ≤ 0, 4
λ = {
0, 8 para fck ≤ 50MPa
0, 8 − ( fck−50400 ) para fck > 50MPa
z = d − y
2
x
d
=
2, 62
0, 8 × 30
= 0, 11 < 0, 4, 0K!
z = 30 −
2, 62
2
= 28, 69cm
cot θ = ya1 e cot θmín = 0, 4
cot θ =
2, 62
5, 47
= 0, 48 > 0, 4(OK!)
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Logo, a equação é satisfeita para consolo muito curto.
A força de cálculo na armadura principal e a área de aço principal mínima são dados por:
Portanto,
Rotacione a tela. 
E, a área de aço da armadura do tirante é dada por:
.
Será utilizada esta área de aço já que é maior do que a área de aço mínima calculada.
5º Passo
Utilizando , ou seja, três laços de :
Rotacione a tela. 
6º Passo
Este é o modelo utilizado:
Modelo de cálculo do exemplo.
O tirante está posicionado em uma região de má aderência (zona superior do consolo), com o uso de ganchos, o comprimento de ancoragem
necessário é dado por:
Rotacione a tela. 
Sabendo que:
 barra com gancho
 confinamento por compressão transversal
(Ftd1) (As,tir,mín)
Ftd1 = Vd cot θ + Hd
As,tir,min = 0, 04 ⋅ b ⋅ d ⋅
fck
fyk
Ftd1 = 300 × 0, 48 + 60 = 204kN
As,tir,mín = 0, 04 × 30 × 30 ×
35
500
= 2, 52cm2
(As,tir)
As,tir =
Ftd1
fyd
= 20443,5 = 4, 69cm
2
6ϕ10 10mm
As,ef = 6 × 0, 8 = 4, 80cm
2
lb,nec = α1α5lb
As,calc
As, ef
≥ lb, mín 
α1 = 0, 7− >
α5 = 0, 7− >
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E,
Rotacione a tela. 
A tabela abaixo apresenta os dados para o cálculo do comprimento de ancoragem básico, segundo a NBR 6118.
25 30 35 40 45
Boa aderência 38 34 30 28 26
Má aderência 54 48 43 39 36
Tabela: Razão entre o comprimento de ancoragem básico e o diâmetro da barra com dados daNBR 6118, 2014.
Santos, 2021, p. 57.
Sabendo disso, analise a seguinte equação:
Rotacione a tela. 
Portanto:
Rotacione a tela. 
Barras transversais soldadas, .
7º Passo
Como a armadura não se estende até além da face externa do apoio, a largura da biela em B é:
Rotacione a tela. 
Como o nó é CCT, a resistência é dada por:
lb =
∅fyd
4fbd
lb/∅
fck(MPa)
lb,mi ́n = ma ́x (0, 3lb; 10∅; 100mm)
lb,nec = 0, 7 × 0, 7 × (43 × 1)
1
1
= 21cm
lb, mín  = ma ́x(0, 3 × 43; 10 × 1; 100mm) = 12, 9cm
lb, disp  = 10 + 10 − 3 − 0, 2 × 5 = 16cm (varia com a geometria do elemento) 
lb, nec  = 0, 7 × 21 = 14, 7cm OK!, pois lb, necessário  < lb, disponível 
α5 = 0, 7
2d′
aBbie = ap sin θ = 10 × sin 64, 4
∘ = 9, 02cm
fcd3 = 0, 72 ⋅ αv2 ⋅ fcd
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Rotacione a tela. 
E a força na biela é dada por:
Rotacione a tela. 
Na análise da tensão da biela, foi considerada a largura total do consolo e não do aparelho de apoio. Vale ressaltar que essa verificação é válida
apenas no caso de existir armadura de estribo “costurando” a tração devido à “abertura” de carga transversalmente, e no caso de a distância da face
do consolo até a borda do . Confira essas informações abaixo:
Geometria simplificada do nó B.
Assim, a tensão introduzida pelo apoio será:
Rotacione a tela. 
8º Passo
Agora vamos calcular as áreas de aço das armações horizontal e vertical. Antes é importante lembrar que:
Portanto, os cálculos são dados por:
fcd3 = 0, 72 × (1 −
35
250
) × 35
1, 4
= 15, 48MPa
Fcw =
Vd
sin θ
=
300
sin 64, 4∘
= 332, 7kN
 Verificação da ancoragem da armadura principal: 
σBcd =
Fcw
b. aBbie
≤ fcd3,  se carga direta (nó CCT )
 Logo, 
σBcd =
332, 7
30 × 9, 02
× 10 = 12, 29MPa < 15, 48MPa(OK!)
2d′
σBcd,ap =
Fd
Aaparelho 
≤ fcd3
σBcd,ap =
30
25 × 10
× 100 = 12MPa < 15, 48MPa
Fwd = 0, 25Fcwd (1 − 1, 4 ⋅
abie
z
sin θ)
Fwvd = 2Fwd cos θ
Fwhd = 2Fwd sin θ
Asv =
Fwvd
fywd
Ash =
Fwhd
fywd
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Rotacione a tela. 
9º Passo
Armaduras mínimas:
Rotacione a tela. 
10º Passo
Este é o detalhamento:
Detalhamento do exemplo de cálculo.
Exemplo de dentes Gerber
Para entender esse exemplo, vamos precisar dos seguintes dados:
Concreto: 
Aço: CA-50 
σAbie = √a21 + y2 = √5, 472 + 2, 622 = 6, 07cm
abie =
6, 07 + 9, 02
2
= 7, 55cm
Fwd = 0, 25 × 332, 7 × (1 − 1, 4 ×
7, 55
28, 69
× sin 64, 4∘) = 55, 5kN
Fwhd = 100, 1kN
Fwvd = 100, 1kN = 48, 0kN
Ash =
100, 1
43, 5
= 2, 30cm2
Asv =
48, 0
43, 5
= 1, 10cm2
Ash,m in  = 0, 5 ×
300 × 0, 48
43, 5
= 1, 66cm2
Ash,min
sv
=
Asv,min
sh
= 0, 15b
cm
m
= 30 × 0, 15 = 4, 5cm2/m
C35 (fck = 35MPa), γc = 1, 4
(fyk = 500MPa), γs = 1, 15
bw = 35cm
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Cobrimento: 3cm
Aparelho de apoio: 25cmx10cm
Veja a ilustração da geometria do dente Gerber:
Exemplo de dente Gerber.
Dados auxiliares:
Rotacione a tela. 
Sabendo disso, vamos ao passo a passo para resolver o exemplo:
1º Passo
Estimativa da armadura de suspensão:
Rotacione a tela. 
Sabendo que:
Sendo, o número de barras, o espaçamento e o diâmetro das barras.
E,
Assumindo inicialmente , temos:
Rotacione a tela. 
2º Passo
Vd = 200kN
Hd = 40kN
fcd2 = 0, 6(1 −
35
250
) × 35
1, 4
= 12, 90MPa
fcd3 = 0, 72(1 −
35
250
) × 35
1, 4
= 15, 48MPa
Ftd2 ≈ Vd + Hd/2 = 200 + 20 = 220kN → As2 = 220/43, 5 = 5, 06cm
2
a1 = (n − 1)s + ∅
n s ∅
a = ac + c +
a1
2
+ H
V
d′
4∅10c/5
a1 = 3 × 5 + 1 = 16cm
a = 15 + 3 +
16
2
+
40
200
× 5 = 27cm
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Vamos ao cálculo de y:
Rotacione a tela. 
Sabendo que:
E,
Fazemos a verificação:
Rotacione a tela. 
Determinação das armaduras principais:
Rotacione a tela. 
Utilizando três laços :
Rotacione a tela. 
3º Passo
Determinação da força de tração nos demais tirantes e validação do :
Rotacione a tela. 
Utilizando três laços :
y = d1 −√d21 −
2Vda
bfcd3
= 25 −√252 − 2 × 200 × 27
35 × 1, 548
= 4, 37cm
x
d =
y
λd ≤ 0, 4
z = d − y2
x
d
=
4, 37
0, 8 × 25
= 0, 22 < 0, 4(OK!)
z1 = 25 −
4, 37
2
= 22, 82cm
z = 55 −
4, 37
2
= 52, 82cm
tan θ1 =
22, 82
27
= 0, 845 → θ1 ≅40, 2
∘
Ftd1 = Vd cot θ1 + Hd = 200 × 1, 183 + 40 = 276, 68kN
As,tir = 276, 68/43, 5 ≅6, 36cm
2
∅12, 5mm
As,tir,ef = 7, 5cm
2
a1
Ftd3 = Vd cot θ1 + Hd
z1
z
= 200 × 1, 183 + 40 ×
22, 82
52, 82
= 253, 96kN
As,inf = 5, 84cm
2
∅12, 5mm
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Rotacione a tela. 
Agora observe o modelo detalhado:
Modelo de bielas e tirantes do exemplo.
4º Passo
Depois de realizar essa parte, agora precisamo fazer a verificação dos nós.
Ancoragem das barras:
Rotacione a tela. 
Nó A:
Rotacione a tela. 
Usando gancho e considerando a pressão transversal:
Rotacione a tela. 
Nó C:
Rotacione a tela. 
Usando gancho e barra transversal soldada:
As, inf,ef  = 7, 5cm
2
Ftd2 = Ftd3 tan θ1 = 253, 96 × 0, 845 = 214, 60kN
As, sup  = 4, 93cm
2
4∅10
c
5
→ As, sup  = 6, 4cm
2(OK!)
lb = 30∅ = 30 × 1, 25 = 37, 5cm
lb, disp  = 20 − 3 − 0, 2 × 5 = 16cm (varia com a geometria do elemento) 
σAcd,ap =
200
25 × 10
× 10 = 8MPa > 7, 5MPa → α5 = 0, 7
lb, nec  = 0, 7 × 0, 7 × (37, 5)
6, 36
7, 5
= 15, 6cm
lb, nec  < lb, disp , 0K!
lb, disp  = a1 = 16cm
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Rotacione a tela. 
Pronto! Agora precisamos fazer a verificação das tensões nos nós:
Nó A:
Rotacione a tela. 
Logo:
Rotacione a tela. 
Tensão introduzida pelo apoio:
Rotacione a tela. 
Nó B: Não necessita ser verificado, uma vez que o cálculo de y respeita a tensão .
Nó C:
Rotacione a tela. 
Logo:
Rotacione a tela. 
5º Passo
Armaduras secundárias :
lb,nec = 0, 7 × 0, 7 × (37, 5)
5, 84
7, 5
= 14, 3cm
lb,nec < lb, disp , 0K!
aA2 = ap sin θ1 + u cos θ1
u = 0
aA2 = 10 × sin 40, 2
∘ = 6, 45cm
Fcwd1 =
Vd
sin θ1
=
200
sin 40, 2∘
= 309, 87kN
σAcd =
Fcwd1
bw ⋅ aA2
=
309, 87 × 10
35 × 6, 45
= 13, 7MPa < fcd3 = 15, 48MPa(OK!)
σAcd,ap =
200
25 × 10
× 10 = 8MPa
σAcd,ap < fcd3
fcd3
aC2 = 16 × sin 40, 2
∘ = 10, 32cm
Fcwd2 =
Ftd2
sin θ1
=
214, 6
sin 40, 2∘
= 332, 49kN
σCcd =
332, 49 × 10
35 × 10, 32
= 9, 2MPa < fcd2 = 12, 9MPa(OK!)
( ac
d
= 0, 7)
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Rotacione a tela. 
Armaduras mínimas pela NBR 9062:
Rotacione a tela. 
6º Passo
Comprimento e ancoragem do tirante no nó D e distribuição da armadura vertical:
Rotacione a tela. 
Comprimento do tirante:
Rotacione a tela. 
Fwvd = Vd
(2a/z − 1)
3
= 200 ×
(2 × 1, 183 − 1)
3
= 91, 1kN
Asv =
91, 0
43, 5
= 2, 1cm2(2∅10)
Fwvd = Vd (0, 4 − 0, 2
a
z
) = 200 × (0, 4 − 0, 2 × 1, 183) = 32, 7kN
Ash =
32, 7
43, 5
= 0, 75cm2
Ash =
0, 4Vd cot θ
fyd
=
0, 4 × 200 × 1, 183
43, 5
= 2, 17cm2
Ash,mí
sv
= 0, 15b
cm
m
= 35 × 0, 15 = 5, 25cm2/m
Ash,min =
Ash,min
sv
d = 5, 25 × 0, 25 = 1, 31cm2
aD = 2 (d − d1) cot θ1 − a1
aD = 2(55 − 25) cot 40, 2∘ − 16 = 54, 99cm
aDmáx  = a1 + 2 (d − d1) (cot θmi ́n − cot θ1)
aDmáx  = 16 + 2(55 − 25) (cot 30
∘ − cot 40, 2∘) = 48, 9cm
aD > aDmáx 
Asw
s
=
Vd
fyda
D
máx 
=
200
0, 49 × 43, 5
≅9, 4cm2/m
Asw
s
→ ∅8c/10 (10cm2/m)
Ltir = L1 +
a1
2
+ (d − d1) cot θ1 +  maior entre {
Ltir = 30 +
16
2
+ (55 − 25) cot 40, 2∘ +  maior entre { = 111cm
aD/2
lb
48, 9/2
37, 5
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Observe o detalhamento do dente Gerber:
Detalhamento do dente Gerber.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
14/03/2023, 16:44 Método das bielas e tirantes e aplicações
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04370/index.html# 35/51
Questão 1
Um engenheiro, ao dimensionar a área de aço principal do tirante do modelo das bielas e tirantes de um dente Gerber, encontrou um
ângulo . Sabendo que as cargas vertical e horizontal aplicadas ao dente Gerber, respectivamente, são iguais a e , marque
a opção que apresenta o valor encontrado pelo engenheiro para a área de aço.
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAnalise%20a%20solu%C3%A7%C3%A3o%20da%20equa%C3%A7%C3%A3o%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph%20c-
table'%3E%5C(F_%7Bt%20d%201%7D%3DV_d%20%5Ccot%20%5Ctheta_1%2BH_d%3D230%20%5Ctimes%201%2C111%2B60%3D315%2C53%20kN%5
paragraph%20c-
table'%3E%5C(A_%7Bs%2C%20t%20i%20r%7D%3D315%2C53%20%2F%2043%2C5%20%5Ccong%207%2C2%20cm%20%5E2%5C)%3C%2Fp%3E%0A%2
Questão 2
Em consolos, no modelo de bielas e tirantes, o binário gerado pelo carregamento externo, deve ser resistido por um binário ____________
representado pelo tirante com esforços de _________________ e pelas bielas com esforços de __________________.
Marque a alternativa que preenche, na sequência, corretamente a frase acima.
(As,tir)
θ1 = 42
∘ 23kN 60kN
A 6,8cm²
B 7,2cm²
C 8,2cm²
D 8,9cm²
E 9,6cm²
A interno; tração; compressão.
B interno; compressão; tração.
C externo; tração; compressão.
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Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ENos%20consolos%2C%20o%20modelo%20de%20biela%20e%20tirante%20apresenta%20um%20bin%C3%A1rio%20de%20for%C3%A7as
3 - Sapatas rígidas
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar o modelo de bielas e tirantes para o dimensionamento de sapatas rígidas com
carga concentrada.
Vamos começar!
Você sabe aplicar o modelo de bielas e tirantes para dimensionar sapatas
rígidas?
Confira os principais conceitos que serão abordados ao longo deste módulo.
D externo; compressão; tração.
E externo; tração; tração.

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Aplicação do modelo a sapatas rígidas
Segundo a NBR 6118, as sapatas são estruturas de volume usadas para transmitir ao terreno as cargas de fundação direta. Temos as sapatas
rígidas e flexíveis.
Nas rígidas, podemos admitir a distribuição de tensões normais no contato sapata-terreno, caso não se disponha
de informações mais detalhadas a respeito.
Nas flexíveis, ou em casos extremos de fundação em rocha, mesmo com sapata rígida, essa hipótese deve ser revista. Veja as dimensões de uma
sapata:
Dimensões de uma sapata isolada.
Para as sapatas rígidas, a distribuição de deformações em uma seção transversal não é linear e por isso não devemos aplicar a teoria de flexão em
vigas. Uma solução é a análise por meio do método de bielas e tirantes.
Para Araújo (2010), para a sapata ser considerada rígida, sua altura precisa ser superior à metade do balanço. Essa condição é dada por:
Rotacione a tela. 
A espessura nas extremidades da sapata deve obedecer aos limites:
Rotacione a tela. 
Se, no local do pilar, for uma parede de concreto armado, a altura da sapata deve permitir que as barras da armadura da parede possam ser
ancoradas. Por conta das bielas de compressão inclinadas que convergem para o topo da sapata, a ancoragem das armaduras da parede ocorre na
região superior da sapata. Nesta situação, podemos considerar um comprimento de ancoragem reduzido, e a altura da sapata também deve seguir a
equação:
Rotacione a tela. 
Em que, é o comprimento básico de ancoragem das armaduras verticais da parede.
h ≥ (A − a)/4
h0 ≥ {
h/3
20cm
h ≥ 0, 6lb + 5cm
lb
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Exemplo de aplicação de sapatas.
A armadura da parede, ou do pilar, deve ser estendida até o fundo da sapata, apoiar sobre a armadura horizontal da sapata (com ganchos de 90°).
Se a armadura estiver comprimida, ela poderá ser ancorada por aderência ao longo do trecho reto dentro da sapata. E, se algumas barras da
armadura estiverem tracionadas, o gancho permitirá a redução do comprimento de ancoragem e, assim, a altura dada na equação acima estará
correta.
A imagem a seguir ilustra o modelo de bielas e tirantes para uma sapata. A carga de cálculo é transmitida até a base da sapata por meio de uma
série de bielas inclinadas que se apoiam no tirante inferior representado pela armadura. As bielas mais distantes do eixo da parede possuem
inclinação :
Rotacione a tela. 
A equação acima corresponde a sapatas com a altura mínima fornecida pela equação anterior,
Rotacione a tela. 
Se a altura da sapata for maior do que este valor mínimo, a inclinação das bielas será maior, e assim estaremos a favor da segurança.
Modelo de bielas e tirantes em sapatas rígidas.
A tensão, , aplicada no topo da sapata, é dada por:
Rotacione a tela. 
Em que, o valor usual de , e é a carga solicitante.
Atenção!
Quando há paredes em alvenaria sob as sapatas, a tensão de contato é pequena e, geralmente, não há esmagamento das bielas de compressão. E,
 é limitada pela resistência da alvenaria. No caso de paredes de concreto armado, a tensão pode ser superior à resistência do concreto da
sapata, e a seção de contato não é capaz de absorver a força aplicada sem o auxílio das armaduras da própria parede.
Sendo assim, as bielas de compressão devem convergir para uma seção situada a uma profundidade a partir do topo da sapata, onde as tensões
de compressão no concreto já tenham sido reduzidas o suficiente pra não ser necessária a colaboração da armadura da parede. Veja:
Nd
(θm)
θm = tan
−1 1/2
h ≥ 0, 6lb + 5cm
σd
σd =
Nd
a
=
γfNk
a
γf = 1, 4 Nk
σd σd
x
14/03/2023, 16:44 Método das bielas e tirantes e aplicações
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Tensão normal em uma seção dentro da sapata.
A tensão de compressão em um plano horizontal situado a uma distância x do topo da sapata é dada por:
Rotacione a tela. 
Portanto:
Rotacione a tela. 
A próxima imagem apresenta as tensões de compressão no plano horizontal e em uma biela com uma inclinação genérica . A tensão na biela
de compressão atua na área , sendo a largura da biela medida na horizontal. E a força de compressão na biela será dada por:
Rotacione a tela. 
Analise a representação gráfica:
Tensão de compressão na biela.
E a tensão de compressão na biela inclinada pode ser dada por:
Rotacione a tela. 
Para não ocorrer o esmagamento da biela de concreto, precisamos que:
Rotacione a tela. 
Porém, para a biela mais afastada do centro da sapata, temos que:
σ1d
σ1d =
Nd
a + 4x
σ1d = (
a
a + 4x
)σd
θ σc
L sin θ L
Fc = σcL sin θ
σc =
σ1d
(sin θ)2
σ1d ≤ (sin θ)
2fcd
14/03/2023, 16:44 Método das bielas e tirantes e aplicações
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Rotacione a tela. 
A profundidade será dada por:
Rotacione a tela. 
Cálculo da armadura
Se a altura da sapata for determinada por: , o valor de será inferior a , em que é a distância da armadura inferior de tração
até o topo da sapata, o que chamamos de altura útil.
Logo, para casos usuais, o braço de alavanca poderá ser considerado igual a . A imagem a seguir ilustra o modelo para o cálculo
da armadura para o caso de carga centrada.
Modelo para o cálculo da armadura.
Do modelo de bielas e tirantes indicado na imagem anterior, podemos escrever:
Rotacionea tela. 
Logo:
Rotacione a tela. 
E a área de aço será dada por:
Rotacione a tela. 
Observe agora a disposição da armadura na sapata:
θ = tan−1 1/2 e (sin θ)2 = 0, 20
x
x = 0, 25a( 5σd
fcd
− 1) ≥ 0
h ≥ (A − a)/4 x 0, 15d d
Z = d − x 0, 85d
RsdZ = 0, 5Nd(0, 25A − 0, 25a)
Rsd =
Nd(A − a)
8Z
= Asfyd
(AS)
As =
Nd(A − a)
8Zfyd
≅
Nd
0, 85d
(A − a)
8fyd
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Disposição das armaduras em sapatas.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
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Questão 1
Uma sapata quadrada com dimensões de (1,30x1,30)m recebe um pilar quadrado de (26x26)cm. Marque a opção que apresenta altura mínima
que essa sapata precisa ter para ser considerada rígida.
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAnalise%20a%20solu%C3%A7%C3%A3o%20da%20equa%C3%A7%C3%A3o%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph%20c-table'%3E%5C(h%20%5Cgeq%20%5Cfrac%7B130-
26%7D%7B4%7D%3D26cm%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 2
Um engenheiro, ao dimensionar a área de aço da sapata rígida , com dimensões de (1,10x1,10)m e braço de alavanca de 25cm, que recebe
um carregamento de cálculo do pilar com dimensões de (20x20)cm de 250kN, utilizou aço CA-50. Com isso, obteve
A 26cm
B 28cm
C 30cm
D 32cm
E 34cm
As
A 2,6cm²/m.
B 2,8cm²/m.
C 3,0cm²/m
D 3,2cm²/m.
14/03/2023, 16:44 Método das bielas e tirantes e aplicações
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Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAnalise%20a%20solu%C3%A7%C3%A3o%20da%20equa%C3%A7%C3%A3o%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph%20c-table'%3E%5C(A_s%3D%5Cfrac%7BN_d(A-a)%7D%7B8%20Z%20f_%7By%20d%7D%7D%3D%5Cfrac%7B250(110-
20)%7D%7B8.25%20%5Ccdot%5Cleft(%5Cfrac%7B50%7D%7B1%2C15%7D%5Cright)%7D%3D2%2C6%20cm%20%5E2%20%2F%20m%5C)%3C%2Fp%3
4 - Vigas-parede
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar o modelo de bielas e tirantes para o dimensionamento de vigas-parede
biapoiadas.
Vamos começar!
Você sabe aplicar o modelo de bielas e tirantes para dimensionar vigas-
parede?
Confira os principais conceitos que serão abordados ao longo deste módulo.
E 3,4cm²/m.

14/03/2023, 16:44 Método das bielas e tirantes e aplicações
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Aplicação do modelo a vigas-parede
Nosso estudo do modelo de bielas e tirantes em vigas-paredes se limitará às vigas-parede biapoiadas.
Lembrando que, segundo a NBR 6118, vigas-parede apresentam a relação entre o vão e a atura inferior a 2 para vigas biapoiadas, sob carga
uniformemente distribuída.
Comentário
O modelo de bielas e tirantes para vigas-parede biapoiadas é baseado no fluxo de tensões principais mediante a análise elástica que é considerada
segura em relação à análise plástica. E a diferença é ainda maior com a consideração das armaduras secundárias mínimas pelas normas vigentes.
Entretanto, o dimensionamento plástico pode levar à fissuração excessiva do concreto em serviço.
Para o caso de vigas-parede com carregamento uniformemente distribuído, algumas regras são usualmente empregadas, como o braço de alavanca
:
Para 
Para 
Assumir: , significa que:
Rotacione a tela. 
Para , este é o esquema:
Exemplo de viga-parede isostática com .
Porém, para respeitar o limite da NBR 6118, deve-se assumir: para , assim, e a armadura principal será dada por:
Rotacione a tela. 
Com o objetivo de respeitar o ELS (estado limite de serviço) e impedir a fissuração excessiva do concreto, assumem-se inclinações máximas de
bielas em relação às armaduras dentro dos limites normativos e utilizam-se armaduras secundárias que costuram as trações que atravessam o
campo de compressões.
(L/h)
(z)
1 < L/h ≤ 2
z = 0, 6h
h ≥ L
z = 0, 6L
z = 0, 6L
tan θ ≅
0, 6L
0, 25L
= 2, 4 → θ ≅67, 4∘
L > h
L > h
z = 0, 5L h > L θ ≅63, 4∘
As =
M
zfyd
=
pdL
2/8
0, 5Lfyd
=
pdL
2
cot θ =
pdL
4fyd
14/03/2023, 16:44 Método das bielas e tirantes e aplicações
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Campos de tensões idealizados mostrando a necessidade de armaduras secundárias.
Geralmente, o nó singular sobre o apoio é submetido a tensões muito elevadas e por isso deve ser realizada uma análise minuciosa das tensões
nessa região.
A NBR 6118 sugere que a armadura inferior, devido ao momento positivo, deve ser posicionada numa altura da
ordem de . Isto é necessário para alargar a biela diagonal e reduzir a tensão de compressão, com a
finalidade de evitar a ruptura por esmagamento do nó sobre o apoio.
Também contribui para melhorar o quadro de fissuração por flexão, pois reduz a tensão nas barras e, consequentemente, as deformações em
serviço, após as primeiras fissuras.
Quando sobre a viga-parede há a aplicação de carga indireta (analise a próxima imagem), deve-se prever armadura de suspensão. No caso de carga
uniformemente distribuída, a armadura vertical por unidade de comprimento será:
Rotacione a tela. 
Vale ressaltar que a carga direta e a indireta vão apresentar o mesmo ângulo (braço de alavanca):
Carga indireta em vigas-parede (h≥L).
A NBR 6118 apresenta a taxa mínima para as armaduras secundárias horizontais e verticais como sendo: , por face por metro. A próxima
imagem ilustra um detalhamento de uma viga parede.
Detalhamento da viga-parede isostática com carregamento uniforme.
Exemplo de cálculo em viga-parede isostática
0, 15h
Asv
s
=
qd,inf
fyd
0, 075%b
14/03/2023, 16:44 Método das bielas e tirantes e aplicações
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Para entender esse exemplo, vamos precisar dos seguintes dados:
Concreto: 
Aço: CA-50 
Cobrimento: 3cm
Veja agora as dimensões e as combinações de cargas da viga-parede:
Exemplo de viga parede isostática.
Observe o modelo de bielas e tirantes para este caso:
Modelo de bielas e tirantes do exemplo de viga-parede isostática.
Sabendo disso, vamos ao passo a passo para resolver o exemplo:
1ª Passo
Cálculo da armadura principal:
Rotacione a tela. 
2ª Passo
Armadura vertical (suspensão):
C30 (fck = 30MPa), γc = 1, 4
(fyk = 500MPa), γs = 1, 15
Ftd = Rd cot θ = 800 × 0, 5 = 400kN → As = 9, 2cm
2
u ≅0, 15h = 0, 6m → 5 × 2∅12, 5 a cada 15cm (12, 5cm2)
14/03/2023, 16:44 Método das bielas e tirantes e aplicações
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Rotacione a tela. 
3ª Passo
Armadura mínima horizontal ou vertical:
Rotacione a tela. 
4ª Passo
Verificação do nó CCT sobre o apoio:
Rotacione a tela. 
5ª Passo
Agora é importante calcularmos a tensão vertical:
Rotacione a tela. 
6ª Passo
Analise as seguintes equações e dados sobre a ancoragem:
As,susp
s
=
200
43, 5
= 4, 6cm2/m
As,min
s
= 0, 15 × 20 = 3cm2/m
Asv
sh
= 4, 6cm2/m
As, mín 
s
= 0, 15 × 20 = 3cm2/m
abie = a1 sin θ + u cos θ = 40 × sin 63, 4
∘ + 60 × cos 63, 4∘ = 62, 6cm
σcd,bie =
800/ sin 63, 4∘
20 × 62, 6
= 0, 72
kN
cm2
= 7, 2MPa
fcd3 = 0, 72αv2fcd = 0, 72 × (1 −
30
250
) × 30
1, 4
= 13, 6MPa
σcd,bie < fcd3(OK!)
σcd,v =
800
20 × 40
= 1
kN
cm2
= 10MPa < fcd3(OK!)
14/03/2023, 16:44 Método das bielas e tirantes e aplicações
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Este é o detalhamento:
Detalhamento do exemplo de viga-parede isostática.
Região de boa aderência 
Laço 
Comprimento de ancoragem disponível 
Emenda 
14/03/2023, 16:44 Método das bielas e tirantes e aplicações
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Falta pouco paraatingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Um engenheiro ao dimensionar a armadura principal de uma viga parede de altura , utilizando o método das bielas e tirantes com
ângulo de inclinação das bielas de e carregamento , utilizando aço CA-50, obteve o valor de
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAnalise%20a%20solu%C3%A7%C3%A3o%20da%20equa%C3%A7%C3%A3o%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph%20c-
table'%3E%5C(F_%7Bt%20d%7D%3DR_d%20%5Ccot%20%5Ctheta%3D1000%20%5Ctimes%200%2C5%3D500%20kN%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%2
paragraph%20c-
table'%3E%5C(A_s%3D%5Cfrac%7BF_%7Bt%20d%7D%7D%7Bf_%7By%20d%7D%7D%3D%5Cfrac%7B500%7D%7B50%20%2F%201%2C15%7D%3D11%2
Questão 2
Um engenheiro ao dimensionar a área de aço mínima para uma viga-parede de acordo com o modelo das bielas e tirantes com as dimensões
dadas abaixo, obteve o seguinte valor:
Altura da viga-parede: 4,5m
Comprimento da viga-parede: 4,5m
h = 5, 0m
63, 4∘ Rd = 100kN
A 7,4cm².
B 8,8cm².
C 9,2cm².
D 10,4cm².
E 11,5cm².
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Largura da viga-parede: 25cm
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAnalise%20a%20solu%C3%A7%C3%A3o%20da%20equa%C3%A7%C3%A3o%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph%20c-
table'%3E%5C(%5Cfrac%7BA_%7Bs%2C%20m%20i%20%CC%81%20n%7D%7D%7Bs%7D%3D0%2C15%20%5Ctimes%20b%20%5Ccdot%201%3D0%2C1
Considerações �nais
O método das bielas e tirantes é uma ferramenta de extrema importância e de grande utilização pelos engenheiros estruturais para o
dimensionamento de diversos elementos estruturais.
Ao longo do conteúdo, estudamos sobre a teoria que envolve o método das bielas e tirantes e os modelos para consolos, dentes Gerber, sapatas e
viga-parede isostática. Entendemos qual a posição dos tirantes e das bielas, a função de cada um e como eles auxiliam no dimensionamento das
estruturas estudadas.
O engenheiro calculista precisa saber usar as diversas ferramentas de dimensionamento para aplicar a que irá fornecer a melhor solução para o seu
projeto.
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Para encerrar, ouça um resumo dos aspectos mais relevantes deste conteúdo.
A 5,2cm²/m
B 4,5cm²/m
C 3,8cm²/m
D 3,2cm²/m
E 2,5cm²/m

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Referências
ARAÚJO, J. M. Curso de Concreto Armado. 3. ed. 4. v. Rio Grande do Sul: Dunas, 2010.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT. NBR 6118: Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2014.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT. NBR 9062: Projeto e execução de estruturas em concreto pré-moldado. Rio de Janeiro,
2017.
SANTOS, D. M. Projeto estrutural por bielas e tirantes. São Paulo: Oficina de textos, 2021.
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