4-Lista de exercício- Produto Vetorial, Torque e Momento Angular

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Lista de Exercícios - Produto Vetorial, Torque e Momento Angular
1) Em termos dos vetores unitários, qual é o torque em relação à origem a que está submetida uma
partícula nas coordenadas (0;−4 m; 3 m) se esse torque se deve (a) a uma força F1 de componentes
F1x = 2, 0 N, F1y = F1z = 0, e (b) a uma força F2 de componentes F2x = 0, F2y = 2, 0 N e
F2z = 4, 0 N?
2) Uma partícula se move em um sistema de coordenadas xyz sob a ação de uma força. Quando o vetor
posição da partícula é −→r = (2, 00m)ˆi − (3, 00m)jˆ + (2, 00m)kˆ, a força −→F = Fxiˆ + (7, 00N)jˆ −
(6, 00N)kˆ e o torque correspondente em relação à origem e −→τ = (4, 00N.m)ˆi + (2, 00N.m)jˆ −
(1, 00N.m)kˆ. Determine Fx.
3) A força
−→
F = (2, 00N )ˆi − (3, 00N)k age sobre uma pedra cujo vetor posição é −→r = (0, 50m)jˆ −
(2, 00m)kˆ em relação à origem. Em termos dos vetores unitários, qual é o torque resultante a que a
pedra está submetida em relação à origem?
4) Em termos dos vetores unitários, qual é o torque em relação à origem a que está submetido um vidro
de pimenta localizado nas coordenadas (3, 0m;−2, 0m; 4, 0m) devido (a) à força−→F a = (3, 00N )ˆi−
(4, 00N)jˆ+(5, 00N)kˆ, (b) à força
−→
F b = (−3, 00N )ˆi−(4, 00N)jˆ−(5, 00N)kˆ e (c) à força resultante
Fa + Fb?
5) A força
−→
F = (−8, 0N )ˆi+ (6, 0N)jˆ age sobre uma partícula cujo vetor posição é −→r = (3, 00m)ˆi+
(4, 00m)jˆ. Qual é (a) o torque em relação à origem a que está submetida a partícula, em termos dos
vetores unitários; (b) e o ângulo entre −→r e −→F ?
6) Um disco de polimento, com momento de inércia I = 1, 2 × 10−3 kg.m2, está preso a uma broca
elétrica cujo motor produz um torque de módulo 16 N.m em relação ao eixo central do disco. Com o
toque aplicado durante 33 ms, qual é o módulo (a) do momento angular e (b) da velocidade angular
do disco em relação a esse eixo?
7) Na figura 1, três partículas de massa m = 23 g estão presas a três barras de comprimento d = 12 cm
e massa desprezível. O conjunto gira em torno do ponto O com velocidade angular ω = 0, 85 rad/s.
Quais são, em relação ao ponto O, (a) o momento de inércia do conjunto, (b) o módulo do momento
angular da partícula do meio e (c) o módulo do momento angular do conjunto?
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Figura 1: Corpo rígido constituído de três partículas de massa m ligadas por três barras de massa desprex-
zível.
8) O momento angular de um volante com um momento de inércia de 0, 140 kg.m2 em relação ao eixo
central diminui de 3, 00 para 0, 800 kg.m2/s em 1, 50 s. (a) Qual é o módulo do torque médio em
relação ao eixo central que age sobre o volante durante esse período? (b)Supondo uma aceleração
angular constante, de que ângulo o volante gira? (c) Qual é o trabalho realizado sobre o volante?
9) Um disco com um momento de inércia de 7, 00 kg.m2 gira como um carrossel sob o efeito de um
torque variável dado por τ = (5, 00 + 2, 00t) N.m. No instante t = 1, 00 s, o momento angular do
disco é 5, 00 kg.m2/s. Qual é o momento angular do disco no instante t = 3, 00 s?
10) Uma força de magnitude F é aplicada horizontalmente, no sentido −x, na borda de um disco de raio
R, como mostrado na figura 2. Escreva
−→
F e −→r em termos dos vetores unitários iˆ, jˆ, kˆ e calcule o
torque produzido por esta força em relação à origem localizada no centro do disco.
Figura 2: Torque em um disco.
11) Calcule o torque, em relação à origem, da força gravitacional
−→
F = −mgjˆ, que atua sobre uma
partícula de massa m localizada em −→r = xiˆ + yjˆ,e mostre que este torque é independente da
coordenada y.
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12) Determine
−→
A ×−→B nos seguintes casos: (a) −→A = 4ˆi e −→B = 6ˆi+ 6jˆ, (b) −→A = 4ˆi e −→B = 6ˆi+ 6kˆ, (c)
−→
A = 2ˆi+ 3jˆ e
−→
B = 3ˆi+ 2jˆ.
13) Uma partícula de 1, 8 kg se move em uma órbita de 3, 4 m de raio. Olhando de cima o plano de sua
órbita, a partícula está, inicialmente, se movendo no sentido horário. Chamando de positivo o sentido
horário, a quantidade de movimento angular da partícula em relação ao centro do círculo varia com
o tempo de acordo com L = 10− 4t, nas unidades do S.I. (a) Determine a magnitude e a orientação
do torque que atua sobre a partícula. (b) Determine a velocidade angular da partícula em função do
tempo.
14) Você está projetando um torno mecânico, que consiste em um cilindro uniforme de 90 kg de massa e
0, 40 m de raio, montado de forma a girar sem atrito em torno de seu eixo. O cilindro é acionado por
uma correia que o envolve em seu perímetro e exerce um torque constante. Em t = 0, a velocidade
do cilindro é zero. Em t = 25 s, a velocidade angular do cilindro é ω = 500 rev/min. (a) Qual é
a magnitude da quantidade de movimento angular do cilindro, em t = 25 s? (b) Com que taxa está
aumentando a quantidade de movimento angular? (c) Qual é a magnitude do torque sobre o cilindro?
15) Na figura 3, o plano inclinado é sem atrito e o fio passa pelo centro de massa de cada bloco. A polia
tem um momento de inércia I e raio R. (a) Determine o torque resultante sobre o sistema (as duas
massas, o fio e a polia) em relação ao centro da polia. (b) Escreva uma expressão para a quantidade de
movimento angular total do sistema em relação ao centro da polia. Suponha as massas se deslocando
com uma rapidez v. (c) Determine a aceleração das massas usando seus resultados das Partes (a) e (b)
e igualando o torque resultante à taxa de variação da quantidade de movimento angular do sistema.
Figura 3: Plano Inclinado: sistema de polia e blocos.
16) A figura 4 mostra uma visão posterior de uma cápsula espacial que ficou girando rapidamente em
torno de seu eixo, a 6 rev/min, após uma colisão com outra cápsula. Você é o controlador de vôo
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e tem pouco tempo para instruir a tripulação sobre como parar esta rotação antes que todos fiquem
enjoados devido à rotação e a situação se torne perigosa. Você sabe que eles têm acesso a dois
pequenos jatos montados tangencialmente a uma distância R = 3, 0 m do eixo, como indicado na
figura. Estes jatos podem ejetar, cada um, 10 g/s, com uma rapidez de 800 m/s. Determine o intervalo
de tempo em que estes jatos devem funcionar para parar a rotação. Em vôo, o momento de inércia
(suposto constante) da cápsula em relação ao seu eixo vale 4000 kg.m2.
Figura 4: Cápsula espacial.
Respostas:
1) (a) −→τ = (6jˆ + 8kˆ)N.m b) −→τ = −(22 N.m)ˆi 2) Fx = −5 N.
3) −→τ = (−1, 5ˆi− 4jˆ − 1kˆ)N.m,
4) (a) −→τa = (6ˆi− 3jˆ − 6kˆ)N.m, b) −→τb = (26ˆi+ 3jˆ − 18kˆ)N.m, c) −→τ = (32ˆi− 24kˆ)N.m
5) (a) −→τ = (50N.m)kˆ (b) θ = 900, 6) (a) L = 0, 528 kg.m2/s, (b) ω = 440 rad/s
7) (a) (a) I = 4, 6× 10−3 kg.m2 (b) L = 1, 1× 10−3 kg.m2/s (c) L = 3, 91× 10−3 kg.m2/s
8) (a) |τ | = 1, 47 N.m (b) ∆θ = 20, 4 rad (c) W = −29, 9 J
9) L = 23 kg.m2/s 10)
−→
F = −F iˆ, −→r = rjˆ, −→τ = rF kˆ
11) −→τ = −mgxkˆ 12) (a) −→τ = 24kˆ, b) −→τ = −24jˆ, c)−→τ = −5kˆ
13) a) τ = 4 N.m no sentido anti-horário. b) ω = 0, 48− 0, 19t
14) a) L = 376, 7 kg.m2/s, b) dLdt = 15, 1 kg.m
2/s2 c) τ = 15, 1 N.m
15) a) τ = (m2 sin θ −m1)gR, b)L = vr(m1 +m2 + I/R2) c) a = (m2 sin θ−m1)gm1+m2+I/R2
16) a) ∆t = 52, 33 s
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