Catálogo de Funções Matemáticas

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Aula 13 de Bases Matemáticas
Rodrigo Hausen
Versão: 18 de julho de 2016
Catálogo de Funções Reais
No estudo de funções é extremamente útil conhecer as propriedades e gráficos
de algumas funções reais.
1 Função constante
f : R → R
x 7→ f(x) = c, onde c é uma constante real
Gráfico de f = {(x, y) ∈ R2; y = c} = {(x, c);x ∈ R}
se c > 0
f
se c = 0
f
se c < 0
f
2 Função identidade
f : R → R
x 7→ f(x) = x
Gráfico de f = {(x, x);x ∈ R}
f(x)=x
1
3 Função módulo
f : R → R
x 7→ f(x) = |x|
Note que |x| =
{
x , se x ≥ 0
−x , se x < 0 , ou seja a função módulo é uma função
definida por partes.
Gráfico:
f(x)=|x
3.1 Composição da função módulo com outras funções
Seja f a função módulo e g uma função real com gráfico como abaixo:
g
Considere a função real f ◦ g tal que f ◦ g(x) = f(g(x)) = |g(x)|, cujo
gráfico é:
2
g
f◦g
Considere agora a função g ◦ f , onde g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(|x|), cujo
gráfico é:
g
f◦g
4 Função linear
f : R → R
x 7→ f(x) = ax, onde a é uma constante real
se a > 0
f
se a = 0
f
se a < 0
f
3
4.1 Propriedade importante
Uma função real f é linear se, e somente se, as três condições abaixo são
satisfeitas:
• f(0) = 0
• f(cx) = cf(x) para qualquer número real c
• f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)
Demonstração. (⇒) Trivial. (⇐) Considere f satisfazendo as três condi-
ções, g(x) = ax, com a 6= 0, e h(x) = f(x)g(x) . Demonstre que h : R∗ → R é
constante. �
Note que a função identidade é um caso particular de função linear.
Pergunta: se f é ao mesmo tempo constante e linear, o que podemos
concluir sobre f?
5 Função afim
f : R → R
x 7→ f(x) = ax+ b, a, b constantes reais
No caso em que a = 0, temos uma função constante. No caso em que
b = 0, temos uma função linear. Analisaremos o gráfico de uma função afim
em que ambos a e b são diferentes de zero.
se a > 0, b > 0 se a > 0, b < 0
f
b
−b/a
f
b −b/a
se a < 0, b > 0 se a < 0, b < 0
f
b
−b/a
f
b−b/a
4
Observações:
• a função corta o eixo Y no ponto (0, b), pois f(0) = a0 + b = b.
• se a 6= 0, a função corta o eixo X no ponto (−b/a, 0), pois f(x) =
0 ⇐⇒ ax+ b = 0 ⇐⇒ x = −b/a
• toda função linear é uma função afim, mas nem toda função afim é
linear (p. ex. f(x) = x+ 1 é afim, mas não linear)
• as funções constantes são afins
6 Função polinomial
f : R → R
x 7→ f(x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0 , a0, a1, . . . an constantes reais
Ou seja, a expressão para f(x) é um polinômio. Dizemos que o grau de
uma função linear é n se n é o maior expoente para o qual an 6= 0.
Exemplos:
• f(x) = 2x+ 3. Grau de f = 1
• g(x) = x2 + 3x. Grau de g = 2
• h(x) = 0x6 + 6x4 + x3 + 2. Grau de h = 4
Observe que:
• uma função f polinomial de grau 0 tem expressão f(x) = a0, ou seja,
é uma função constante
• uma função f polinomial de grau 1 tem expressão f(x) = a1x+ a0, ou
seja, é uma função afim
• uma função f polinomial de grau 2 tem expressão f(x) = a2x2+a1x+
a0, onde a2 6= 0. Funções polinomiais de grau 2 também são chamadas
de funções quadráticas.
6.1 Funções quadráticas
f : R → R
x 7→ f(x) = ax2 + bx+ c , a, b, c constantes reais
Iniciaremos o estudo destas funções pelo caso especial a = 1, b = 0, c = 0,
ou seja, pela função cuja expressão é f(x) = x2.
Gráfico de f(x) = x2: parábola com vértice em (0, 0) e que passa pelos
pontos (1, 1) e (−1, 1).
5
−1 1
1
f(x)=x 2
6.1.1 Transformações do gráfico de f(x) = x2
Homotetia vertical: g(x) = af(x) = ax2
se a > 0
−1 1
a
g(x)=ax 2
se a < 0
−1 1
a
g(x)=ax 2
O gráfico é uma parábola com vértice em (0, 0) e que passa pelos pontos
(1, a) e (−1, a).
Translação vertical: g(x) = f(x) + c = x2 + c
se c > 0
−1 1
1+c
g(x)=x 2+c
se c < 0
−1 1
1+c
g(x)=x 2+c
O gráfico é uma parábola com vértice em (0, c) e que passa pelos pontos
(1, 1 + c) e (−1, 1 + c).
Note que, se c ≤ 0, existe x tal que g(x) = 0, ou seja, a parábola cruza
o eixo X. Isto ocorre quando x2 + c = 0, ou seja, quando x = ±√−c. Note
que
√−c só está definido para c ≤ 0.
Translação horizontal: g(x) = f(x− b) = (x− b)2 = x2 − 2bx+ b2
6
se b > 0
1
g(x)=(x−b)2
b−1 b+1b
se b < 0
1
g(x)=(x−b)2
b−1 b+1b
Parábola com vértice em (b, 0) e que passa por (b+ 1, 1) e (b− 1, 1).
Caso geral: g(x) = ax2 + bx+ c
Note que este caso pode ser obtido compondo-se homotetia vertical com
translação vertical e translação horizontal.
Para casa: 1) aplique transformações no gráfico de f(x) = x2 até obter
o gráfico de g(x) = ax2 + bx + c. 2) por meio do raciocínio feito em (1),
identifique o vértice da parábola e os pontos onde o gráfico de g cruza o eixo
X.
6.2 Função polinomial de grau par (caso específico)
Caso específico f(x) = xn, com n par. Gráficos para n = 2, 4, 6, . . .
1
1−1
x2 x4
x6 x8
Note que os gráficos são todos simétricos com relação ao eixo Y , ou seja,
se n é par, então f(x) = xn é função par.
6.3 Função polinomial de grau ímpar (caso específico)
Caso específico f(x) = xn, com n ímpar. Gráficos para n = 1, 3, 5, . . .
7
1
−1
1
−1
x
x3
x5 x7
Note que os gráficos são todos simétricos com relação à origem, ou seja,
se n é ímpar, então f(x) = xn é função ímpar.
Para casa: 1) Demonstre que a soma de duas funções pares é uma
função par e que a soma de duas funções ímpares é uma função ímpar. 2)
Demonstre que xn1 + xn2 + . . . + xnk é par se n1, n2, . . . , nk são pares, e é
ímpar se n1, n2, . . . , nk são ímpares. 3) Acesse wolframalpha.com e veja o
gráfico de x2 + x4, x2 + x4 + x6, . . . e de x+ x3, x+ x3 + x5, . . .
7 Função racional
f : D ⊂ R → R
x 7→ f(x) = p(x)
q(x)
, onde p(x) e q(x) são funções polinomiais
Note que o domínio de uma função racional não inclui os valores reais x
onde q(x) se anula, ou seja:
Dom f = R \ {x ∈ R; q(x) = 0︸ ︷︷ ︸
raízes de q
}
7.1 Caso específico: f(x) = 1/x
Domínio: R∗
Gráfico: hipérbole equilátera passando pelos pontos (−1,−1) e (1, 1).
Observe a simetria em torno da origem (função ímpar)
8
1
−1
−1
1
7.2 Caso específico: f(x) = 1/x2
Domínio: R∗
Gráfico: simétrico em torno do eixo Y (função par)
1
−1
f(x) = 1x2
1
8 Para casa
Ler pp. 141–151, fazer os exercícios 7.1 a 7.7, 7.8 de (a) até (f), de (h) até
(k), (n) e (v), 7.9 de (a) até (c) e 7.10 de (a) até (d). Fazer as listas 6 e 7.
9
	Função constante
	Função identidade
	Função módulo
	Composição da função módulo com outras funções
	Função linear
	Propriedade importante
	Função afim
	Função polinomial
	Funções quadráticas
	Transformações do gráfico de f(x) = x2
	Função polinomial de grau par (caso específico)
	Função polinomial de grau ímpar (caso específico)
	Função racional
	Caso específico: f(x) = 1/x
	Caso específico: f(x) = 1/x2
	Para casa