Resumo - Mecanica Geral (Cap.1-10)

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Resumo dos Capítulos 1-10
Mecânica do Corpo Rígido
Samuel de Souza 
Prof. Samuel de Souza FEI
Cap.2 – Vetores e Sistemas de Coordenadas
Ângulos Diretores:
Vetor posição:
Triângulo qualquer:
Vetor em função do Sistema de Coordenadas:
Prof. Samuel de Souza FEI
λ= ˆFF

AB
AB
F
Fˆ
−
−
==λ⇒

2
AB
2
AB
2
AB
ABABAB
)zz()yy()xx(
k)zz(j)yy(i)xx(ˆ
−+−+−
−+−+−
=λ

kcosjcosicoskjiˆ zyxzyx

θ+θ+θ=λ+λ+λ=λ⇒
kcosFjcosFicosFF zyx

θ+θ+θ=zyx ;; θθθ
zyx cos;cos;cos θθθCossenos Diretores:
O ≡A
x
y
Bθ
Fy
Fx
Fz
z
ϕ
kcosFjsensenFicossenFF

θ+ϕθ+ϕθ=
kzjyixr

++=
Vetor velocidade: kvjvivktd
zdj
td
ydi
td
xd
td
rdv zyx

++=++==
Vetor aceleração:
kajaiak
td
vdj
td
vd
i
td
vdk
td
zdj
td
ydi
td
xd
td
vda zyxz
yx
2
2
2
2
2
2 
++=++=++==
Cˆsen
c
Bˆsen
b
Aˆsen
a
==
Ccosab2bac
Bcosca2acb
Acosbc2cba
222
222
222
++=
++=
++=
A
C
B
ab
c
Lei dos cossenos:
Lei dos senos:
r
r2C
nciaCircunferê
π= 2rA
Círculo
π=
2r4S
:Esférica
Superfície
π=
3r
3
4V
:Esfera
π=
θ
Produto Vetorial:
b

a

baPv

∧= θ=∧= sen.b.abaPV

bàeaàlarperpendicu:Direção
:Módulo
VPdosentidonoapontapolegaro,angulopelovetor)b(2
opara)a(1doindodireitamãodadedos4oscom:Sentido
θ

jikji:ciclicagraRe
+
θ=⋅= cos.b.abaPE

Produto Escalar:
( ) ( ) zzyyxxzyxzyx bababakbjbibkajaiaba ++=++++=

..
θ
O
B
A
S
Soma de Vetores:
θ++= cos.b.a.2baS
22 
θ
O
B
A
D=B-A
Coordenadas Esféricas:
θ−+= cos.b.a.2baD
22 
x
yx
z
ϕ
r
O
ρ
θ
x
y
rz
ϕ ρ
P
O
z
Coordenadas Cilindricas:
Cap.3 – Centro de Massa
Distribuição Discreta ou 
Descontínua de massa:
Distribuições de massa:
Prof. Samuel de Souza FEI
(a) Distribuição Volumétrica 





=ρ 3m
kg
Vd
md
∫ ρ= Vdm Se ρ = const. então Vm ρ=
(d) Distribuição Puntual: 






=σ 2m
kg
Ad
md
∫ σ= Adm Am σ=Se σ = const. então: (b) Distribuição Superficial: 





=λ
m
kg
d
md
 ∫ λ= dm
Se λ é constante então Lm λ=
∑∑ ==
=
)(
1
kgmmm i
n
i
i
(c) Distribuição Linear: 
∑∑ = iCii mrmr
~
M

Centro de massa
De corpos discretos:
∑
∑=
i
ii
m
mx~x
∑
∑=
i
ii
m
my~y
∑
∑=
i
ii
m
mz~z∑
∑=
i
ii
C m
mr
~
r
M


Distribuição Contínua de 
massa:
∫
∫=
dm
dmr~r
MC

∫∫ = dmrdmr
~
MC

Centro de massa de 
corpos contínuos: ∫
∫=
dm
dmx~
x
∫
∫=
dm
dmy~
y
∫
∫=
dm
dmz~
z
Distribuição de Posiçóes x massas:
(Posicium)
∑
∑=⇒
i
ii
C m
mv
v
M

Distribuição de Velocidades x massas 
(Velocitum) (Momentum):
CMiCiiR rmmrmrP M

=== ∑∑ ∑
∑=⇒
i
ii
C m
mr
r
M


CMiCii
R
R vmmvmvdt
Pdp
M



==== ∑∑
Distribuição de Acelerações x massas 
(Acelerum) (Força): CMiCMii
R
R ammamadt
pdF 

==== ∑∑ ∑
∑=⇒
i
ii
C m
ma
a
M


∫
∫=
dm
dmr
r MC


Discreto ou Descontínuo: Contínuo:
CMC
R
R vmdmvdmvdt
PdP
M



==== ∫∫ ∫
∫=
dm
dmv
v MC


CMCM
R
R amdmadmadt
pdF 

==== ∫∫ ∫
∫=
dm
dma
a MC


CMCR rmdmrdmrP M

=== ∫∫
Centroide de Volume (CV) .const=ρ ∑=∑ iCii VrVr
~
V

∫=∫ dVrdVr
~
VC

Centro de Gravidade (G)
Baricentro
.const=ρ e = cte ∑∑ = iCii ArAr
~
A

∫∫ = dArdAr
~
AC
Centroide de Área (CA)
.const=ρ AS = cte ∑∑ = iCii LrLr
~
L

∫∫ = dLrdLr
~
LC

.constg =
Centroide de Linha (CL)
∑∑ = iCii PrPr
~
G

∫∫ = dPrdPr
~
GC

C
1
C
2
C
3C
4
C
5 C
6
x
y
iA
)z~;y~;x~(C iiii ≡
∑
∑=
i
ii
A
Ax~x
Cap.4 – Torque e Sistemas Equivalentes
Princípio de Transmissibilidade:
Prof. Samuel de Souza FEI
A
B B
A
z
yA
θ
x
P
B
Torque ou Força Angular ou 
Momento de Força ou Conjugado:
α=∧=τ

A
F
A IFr
Torque Polar:
APr −=
BP
BPFˆFF
−
−
=λ=

Torque Polar:
b.FF.rsenFr ==α=τ ⊥
Torque Axial 
nulo:
F
A.ˆ τλ=τλ

Torque Axial:
Força e eixo 
são retas 
reversas.
Força é paralela 
ao eixo ou passa 
em cima do eixo.
Torque Axial 
não nulo:
Binário (torque puro)
d.FR =τ

Forças 
Contínuas
x0 x0
Sistemas
Equivalentes:
A A
..
.
θ
∑= iR FF

∑∑ τ+τ=τ ii
F
AAR

A
PA A
R
R
PemF
A τ=τ

Sistema 
Força-
Torque 
não ∟: 
Torsor:
A A
P
R
R
F
F
Fˆ
R 

=λ
RFARRF//R
ˆ].ˆ[ λτλ=τ

//A RRR τ−τ=τ ⊥

⊥
τ=τ R
PemF
A
R 
Força-
Torque ∟:
Única
força
nForças-
nTorques:
Força-
Torque
Cap.5 - Equilíbrio
0amFF;0a;ctev GiRGG ===== ∑

Equilíbrio de Translação:
Equilíbrio de Rotação: 0I;0;0 A
F
AR
i
A
=α=τ=τ=α=ω ∑ 
∑ == 0FF iR

0i
F
AR
i
A ∑ ∑ =τ+τ=τ
Equações de Equilíbrio:
0Fx =∑
0Fy =∑
0Fz =∑
0
yG =τ∑
0
xG =τ∑
0
zG =τ∑
Equilíbrio em 
2D:
Equilíbrio
em 3D:
0Fx =∑
0Fy =∑
0
zA =τ∑
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Cap.6 – Momento de Inércia
Inércia de Translação: ∑ ∫== dmmm i
α=τ

A
F
A I
Momento de Inércia de Volume:
Momento de Inércia de Área::
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Inércia de Rotação: ∑ ∫== dmrmrI 2i2iA
amFR

=Massa
Momento
de Inércia:
Se ρ = cte ∫= dVrIVe 2
V
e
m
e IV
mI .=
∫= dArI 2AeSe ρ = cte e a e=espessura=cte
A
e
m
e IA
mI =
Momento de Inércia de Linha: Se ρ = cte e a S=seção transversal =cte ∫= dLrI 2Le Leme IL
mI =
∫∫∫ === dArI;dAxI;dAyI 2Az2Ay2Ax
Teorema dos Eixos Paralelos (TEP): 2
eeee 11
d.mII += 2ee
V
e
V
e 11
d.VII +=
2
ee
A
e
A
e 11
d.AII += 2
ee
L
e
L
e 11
d.LII +=
Raio de Giração:
2
e
m
e kmI =
m
ke
ke ke
ke
m m
2
e
V
e kVI =
2
e
A
e kAI =
2
e
L
e kLI =
1) Retângulo: 12/npI 3Gretângulo = 2) Triângulo: 36/npI
3
Gtriângulo = 3) Barra delgada:
5/mR2I 2esferaG =6) Esfera:
12/LmI 2adalgdebarraG =
2/mRI 2discoG =4) Disco fino: 5) Cilindro: 2/mRI
2
cilindroG =
7) Placa: 12/)ba(mI 22placaG +=
Momento de Inércia de um Sistema de Corpos Rígidos:
y
)3(
x
)2(
x
)1(
xx IIII −+=
2
xx1
)1(
x
)1(
x 11
d.AII +=
2
xx2
)2(
x
)2(
x 22
d.AII +=
2
xx3
)3(
x
)3(
x 33
d.AII +=x
x2
x3
x1
Reducionismos do momento de inércia de massa:
2
e
m
e kmI =
: Momentos de Inércia em G:
Movimento Circular e Uniforme (MCU):
Cap.7 - Cinemática
0=α
.const=ω
to ω+θ=θ
Movimento Circular Uniformemente Variado (MCUV):
.const=α
to α+ω=ω
2
oo t2
1t α+ω+θ=θ
θ∆α+ω=ω 22o
2
Expressões Genéricas do Movimento Circular qualquer:
)(tf=α
dt
dωα = )(tf=ω
dt
dθω = )(tf=θ∫∫ =
t
dtd
o 0
αω
ω
ω ∫∫ =
t
dtd
o 0
ωθ
θ
θ
)(θ=α f
θ
ω
ω=
θ
θ
ω
=
ω
=α
d
d
dt
d
d
d
dt
d ωω=θα dd ∫∫ = θαωω dd
Princípio Invariante entre Duas Engrenagens
θA rA = θB rB
ωA rA = ωB rB
αA rA = αB rBCinemática Rotacional Vetorial:
Cinemática Rotacional Escalar:
Movimento Relativo ABAB rrr

−=/
ABAB vvv

−=/
ABAB aaa

−=/
)( ABvv BAAB −∧ω+=

)()( 2 ABABaa BABAAB −ω−−∧α+=

Princípio do 
Centro Instantâneo de Rotação (CIR): PI
v...
BI
v
AI
v PBA ====ω
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Cap.8 - Dinâmica de Impulso e Momento
Impulso:
Gvmp

=
).(2
1
sNdtFI
tt∫=

Força:
Princípio 
Impulso-
Momentum 
(PIM):
Princípio de Conservação de Energia Mecânica:
.constUKUKE 2P21P1M =+=+=
Princípio de 
Conservação de 
Momentum
(PCM):
.const'pp ii ==∑∑ 
Momento 
Angular: ω=∧=

AAA IprL
)m.N(I
dt
LdFr AAAA α==∧=τ



Impulso
Angular :
Princípio de 
Conservação de 
Momento 
Angular(PCMA):
'
'
A
t
t RA
LdtL
A

=+ ∫ τ
.' constLL iAiA == ∑∑

Princípio 
Impulso 
Momento 
Angular (PIMA):
'
'
∫ =+
t
t R
pdtFp 

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Momentum:
GR amdt
pdF 

==
Linear: Angular:
Torque 
ou Força 
Angular:
)s.m.N(dtIrI
't
t AAA ∫ τ=∧=
θ 
Cap.9 - Dinâmica de Forças e Torques
Gi rmdmrDdDD

==== ∫∫∑Distribuição de massa:
Momentum resultante:
Força resultante:
GiG vmdmvpdpp

==== ∫∫∑
GiR amdmaFdFF

==== ∫∫∑
22
ee kmdmrI == ∫Momento de Inércia:
ω

eR IL e =
Momento Angular:
α=τ

eR IeTorque Resultante: GR amF

=
ατ

GR IG =
Princípio Força-Torque (PFT):
xGx amF =∑
yGy amF =∑
zGz amF =∑
yGG Iy ατ =∑
xGG Ix ατ =∑
zGG Iz ατ =∑
PFT em 2D:
PFT em 3D:
xGx amF =∑
yGy amF =∑
zGG Iz ατ =∑
Força de Atrito:
NF eatre µ≤≤0
NF eatre µ=max
NF datr d µ=
ou
ou
'
'
G
z
am
AzGG I

τατ +=∑
G
z
am
AzGA I

τατ +=∑
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Cap.10 - Dinâmica de Energia e Trabalho
Energia Cinética do Corpo Rígido:
Trabalho de uma Força:
Trabalho da Força Peso:
Trabalho do Torque
222
2
1
2
1
2
1 ωω
fixoAGG IIvmT =+=
∫= rd.FUF
 Força no sentido do movimento: UF >0 
Trabalho da Força
Elástica: ( )222
1
if
F xxkU el −−=
Trabalho da Força Elétrica: VqU eletrF ∆−=
∫=
2
1
θ
θ
τ θτ dU
Princípio Energia-Trabalho:
2211 TUT =+ ∑ → TU 21 ∆=∑ →
Princípio da Energia Potencial: ( )
12
21 PPP
F UUUU .cons −−=−=→ ∆
hgmU
.gravP =Energia Potencial gravitacional, elástica e elétrica: eVU elétricaP =2
2kxU
elásticaP
=
2
.conservnão
1 P2
F
P1 UTUUT +=++ ∑Princípio de Conservação de Energia:
Princípio de Conservação de Energia Mecânica: .constUTUT 2P21P1 =+=+
Força no sentido inverso ao mov.: UF <0 
Trabalho Nulo: 0
,,,
=escsemrolaatmagcentr
FFFNU
ou
mghyPU P −=−= ∆
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	Resumo dos Capítulos 1-10�Mecânica do Corpo Rígido�Samuel de Souza 
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	Slide Number 3
	Slide Number 4
	Slide Number 5
	Slide Number 6
	Slide Number 7
	Slide Number 8
	Slide Number 9
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