P1_ME4120_1S_2013_gabarito

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NÚMERO SEQUENCIAL (LISTA DE PRESENÇA) >> 
DISC: Nº ME4120 - FUND. DA TRANSMISSÃO DE CALOR P1 DATA: 04/04/13 [14h00] quinta 
NOME: GABARITO NOTA: 
ASS.: TURMA: 
Instruções Gerais: 
 
- Prova SEM consulta; - É PROIBIDO empréstimo de material; 
- Tempo de prova 70 minutos; - Resolva e responda no LOCAL INDICADO; 
- A INTERPRETAÇÃO FAZ PARTE DA PROVA; - Resultados sem justificativa serão ANULADOS; 
- É permitido o uso de UMA calculadora; 1111º º º º SEM/SEM/SEM/SEM/11113333 
 
[Ex.1 – valor 0,5 ponto item a e 3,0 pontos item b] Água a 17ºC e com vazão em massa de 0,2 kg/s 
escoa no interior de um tubo de teflon (condutividade térmica de 0,35 W/m.K) com raios interno e externo 
iguais a 10 e 13 mm, respectivamente. Um finíssimo aquecedor elétrico em forma de fita é enrolado ao 
redor de toda a superfície externa do tubo, fornecendo fluxo de calor de 2000 W/m2 constante. Dados: 
coeficiente de transferência de calor por convecção externo do tubo (fita) com o ar de 20 W/m2K, 
emissividade da superfície da fita 0,8 , temperatura uniforme da superfície da fita (aquecida) de 308,3 K e 
temperatura do ar externo e das vizinhanças igual a 300 K. Admitindo regime permanente e desprezando 
resistências de contato, determine: 
(a) Resistência térmica à condução para tubo de 1 m de comprimento e, 
(b) o coeficiente de transferência de calor por convecção interno do tubo (água). 
 
Resolução: 
item a: Provas A e B 
( )ln 13 10 0,1193
2 1 0,35tubo
R K W
pi
= =
⋅ ⋅
 
item b: Prova A 
Admitindo comprimento unitário de tubo: 
Taxa de transferência de calor fornecida ao sistema pela 
fita: 
( ) ( )2 0,013 2000
163,36
total
total
q
q W
pi= ⋅
=
 
Taxa de transferência de calor perdida por radiação pela 
superfície do tubo / fita para as vizinhanças: 
( ) ( )8 4 40,8 5,67 10 2 0,013 308,3 300
3,461
rad
rad
q
q W
pi−= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
=
 
Taxa de transferência de calor perdida por convecção 
pela superfície do tubo / fita para o ar: 
( ) ( )20 2 0,013 308,3 300
13,56
conv
conv
q
q W
pi= ⋅ ⋅ ⋅ −
=
 
Taxa de transferência de calor para a água: 
163,36 13,56 3,46 146,342aguaq W= − − = 
( )
2
308,3 290146,342
0,1193
10,005744
2 0,01 1
2770,33
agua
ci
ci
i
i
q W
R
R K W
h
Wh
m K
pi
−
= =
+
= =
⋅ ⋅
=
 
 
 
 
 
 
 
item b: Prova B 
Exatamente igual ao da prova A, exceto pela 
temperatura da água de 7ºC que altera a 
solução para: 
( )
2
308,3 280146,342
0,1193
10,074
2 0,01 1
214,84
agua
ci
ci
i
i
q W
R
R K W
h
Wh
m K
pi
−
= =
+
= =
⋅ ⋅
=
 
 
 
 
RESPOSTAS: 
item a: 
0,1193 K W Prova A e B 
_________________ 
 
item b: 
22770,33i
Wh
m K
= Prova A 
_________________ 
2214,84i
Wh
m K
= Prova B 
_________________ 
 
Nº 
 
 
[Ex.2 – valor 1,5 pontos item a, 1,5 pontos item b, 2,0 pontos item c e 1,5 pontos item d] Considere 
uma esfera homogênea (maciça e confeccionada completamente de mesmo material) de raio externo 40 
mm composta de um material radioativo que gera calor a uma taxa de geração volumétrica não uniforme: 
73 10Gq r= ⋅ɺ 
onde r é uma coordenada radial medida a partir do centro da esfera. O calor gerado é dissipado 
constantemente para o ambiente. A superfície externa da esfera é mantida a uma temperatura uniforme 
de 80ºC e a condutividade térmica da esfera é de 5 W/mK. Assumindo que a transferência de calor é 
unidimensional e permanente determine: 
(a) Uma equação para distribuição de temperatura T (ºC) na esfera em função do raio r (m); 
(b) a taxa de transferência de calor através da superfície da esfera; 
(c) um gráfico de taxa de transferência de calor (W) versus posição radial r (m) para a esfera 
[preenchendo a tabela indicada e construindo o gráfico em escala]; 
(d) supondo que a superfície da esfera possa trocar calor exclusivamente com um fluido de condutividade 
térmica igual a 0,6 W/mK determine o gradiente de temperatura no fluido junto à superfície da esfera 
0,04r m
dT
dr
=
. 
Obs. Há necessidade de simplificar a equação da condução e indicar CLARAMENTE todas as passagens 
matemáticas, as hipóteses simplificadoras, assim como as condições de contorno adotadas! Equações 
prontas não serão aceitas! 
 
Resolução: 
item a: 
Com a equação da condução para coordenadas esféricas, desprezando o termo transitório e também a 
condução nas direções θ e φ, além da substituição da expressão da geração volumétrica não 
homogênea, temos: 
7
2
2
1 3 10 0
5
d dT r
r
r dr dr
⋅ 
+ = 
 
, 
2 7 30,6 10d dTr r
dr dr
 
= − ⋅ 
 
, Integrando: 2 7 4 10,15 10
dT
r r C
dr
= − ⋅ +
 
7 2 1
20,15 10
dT C
r
dr r
= − ⋅ + , Integrando: 
7
3 1
2
0,15 10
3
CT r C
r
− ⋅
= − + . 
Sabendo que a temperatura máxima ocorre no centro da esfera: 
0
0
r
dT
dr
=
= , tem-se que 1 0C = , e 
como para r = 0,04 m T = 80ºC [Prova A] e T = 100ºC [Prova B]: 
7
3
2 2
0,15 1080 0,04 112
3
oC C C− ⋅= + → =
 
5 35 10 112T r= − ⋅ + [Prova A] e 5 35 10 132T r= − ⋅ + [Prova B] 
 
item b: Provas A e B 
( ) ( )
( ) ( )
2 7 2
7 4
sup
0,04
2 7 2
sup 0,04
sup
5 4 0,15 10
3 10
5 4 0,15 10
241,27
r m
r
dTq kA
dr
q r r
q r
dTq kA
dr
q r r
q W
pi
pi
pi
=
=
= −
= − − ⋅
= ⋅
= −
= − − ⋅
=
 
 
 
 
 
 
 
Tabela a preencher 
 
r (m) q (W) 
0 0 
0,01 0,942 
0,02 15,07 
0,03 76,34 
0,04 241,27 
 
 
 
 
 
 
Provas A e B 
 
 
 
Item d: Provas A e B 
( )
sup
0,04
2
0,04
0,04
241,27 0,6 4 0,04
20000
f
r m
r m
r m
dTq k A
dr
dT
dr
dT K m
dr
pi
=
=
=
= −
= − ⋅
= −
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
50
100
150
200
250
300
0 0,01 0,02 0,03 0,04
T
a
x
a
 d
e
 t
ra
n
sf
e
rê
n
ci
a
 d
e
 
ca
lo
r 
(W
)
r (m)
RESPOSTAS: 
item a: Prova A 
5 35 10 112T r= − ⋅ + 
____________________ 
item a: Prova B 
5 35 10 132T r= − ⋅ + 
____________________ 
 
item b: Prova A e Prova B 
sup 241,27q W=
____________________ 
 
item d: Prova A e Prova B 
0,04
20000
r m
dT K m
dr
=
= −
____________________ 
 
 
FORMULÁRIO: 
 
q m h= ∆ɺ E m c T= ∆ 
k
dTq k A
dx
= − 
( )4 41 1 1 2rq A T Tε σ= − 
C Cq h A T= ∆ 
Tq
R
∆
=
∑
 
C rh h h= + 
( )
( )
4 4
1 2
1 2
r
T T
h
T T
ε σ −
=
−
 
2 2 2
2 2 2
1GqT T T T
x y z k tα
∂ ∂ ∂ ∂
+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂
ɺ
 
2 2
2 2 2
1 1 1GqT T T Tr
r r r r z k tφ α
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
+ + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
ɺ
 
2
2
2 2 2 2
1 1 1 1GqT T T Tr sen
r r r r sen r sen k t
θ
θ θ θ θ φ α
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
+ + + =   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
ɺ
 
Constante de Stefan-Boltzmann: 8 82 4 2 45,67.10 0,1714.10 o
W BTU
m K h ft Rσ
− −
= = 
Resistência à Convecção: 1C
C
R
h A
= 
Resistência à Radiação: 1
r
r
R
h A
= 
Resistência à Condução 
Parede plana k
LR
k A
= 
Parede cilíndrica ( )0ln /
2
i
k
r r
R
L kpi
= 
Parede esférica 0
04
i
k
i
r rR
k r rpi
−
= 
Área Superficial da esfera = 24 Rpi 
Volume da esfera = 34
3
Rpi 
Raio crítico de isolamento cilindro = / Ck h 
Raio crítico de isolamentoesfera = 2 / Ck h 
 
_ _ _ _q taxa de transferência de calor Q= = ɺ